Рішення методом координат. Координатно-векторний метод вирішення стереометричних завдань при підготовці до еге

Цілі:

виробити вміння розглядати різні підходи до вирішення завдань та проаналізувати "ефект" від застосування цих способів вирішення;
виробити вміння учня вибирати метод вирішення завдання відповідно до своїх математичних уподобань, що базуються на більш міцних знаннях та впевнених навичок;
виробити вміння скласти план послідовних етапів задля досягнення результату;
виробити вміння обґрунтувати всі кроки та обчислення;
повторити та закріпити різні теми та питання стереометрії та планиметрії, типові стереометричні конструкції, пов'язані з вирішенням поточних завдань;
розвинути просторове мислення.

аналіз різних методів розв'язання задачі: координатно-векторний метод, застосування теореми косінусів, застосування теореми про три перпендикуляри;
порівняння переваг та недоліків кожного методу;
повторення властивостей куба, трикутної призми, правильного шестигранника;
підготовка до здачі ЄДІ;
розвиток самостійності при ухваленні рішення.

Схема уроку

У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1з ребром 1 точка О – центр грані ABCD.

а) кут між прямими A 1 Dі BO;

б) відстань від точки Bдо середини відрізка A 1 D.

Рішення пункту а).

Помістимо наш куб у прямокутну систему координат, як показано на малюнку, вершини. A 1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B 1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Напрямні вектори прямих A 1 Dі B 1 O:

(0; 1; -1) та (½; ½; -1);

шуканий кут φ між ними знаходимо за формулою:

cos∠φ = ,
звідки∠φ = 30 °.

2 спосіб. Використовуємо теорему косінусів.

1) Проведемо пряму У 1 Спаралельно прямий A 1 D. Кут CB 1 Oбуде шуканим.

2) З прямокутного трикутника BB 1 Oза теоремою Піфагора:

3) По теоремі косінусів із трикутника CB 1 Oобчислюємо кут CB 1 O:

cos CB 1 O = , Шуканий кут становить 30°.

Зауваження. При розв'язанні задачі 2-м способом можна помітити, що за теоремою про три перпендикуляри COB 1 = 90 °, Тому з прямокутного ∆ CB 1 Oтакож легко обчислити косинус шуканого кута.

Рішення пункту б).

1 спосіб. Скористаємося формулою відстані між двома точками

Нехай крапка E– середина A 1 Dтоді координати E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE = .

2 спосіб. За теоремою Піфагора

З прямокутного ∆ BAEз прямим BAEзнаходимо BE = .

У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1всі ребра рівні a. Знайти кут між прямими ABі A 1 C.

1 спосіб. Координатно-векторний метод

Координати вершин призми в прямокутній системі при розташуванні призми, як на малюнку: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A 1 (0; 0; a), C (0; a; 0).

Напрямні вектори прямих A 1 Cі AB:

(0; a; -a)і (a; ; 0} ;

cos φ = ;

2 спосіб. Використовуємо теорему косінусів

Розглядаємо ∆ A 1 B 1 C, в якому A 1 B 1 || AB. Маємо

cos φ = .

(Зі збірки ЄДІ-2012. Математика: типові екзаменаційні варіанти під ред. А.Л.Семенова, І.В.Ященко)

У правильній шестикутній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки Eдо прямої B 1 C 1.

1 спосіб. Координатно-векторний метод

1) Помістимо призму прямокутну систему координат, розташувавши координатні осі, як показано малюнку. СС 1, СВі РЄпопарно перпендикулярні, тому можна спрямувати вздовж них координатні осі. Отримуємо координати:

З 1 (0; 0; 1), Е (; 0; 0), В 1 (0; 1; 1).

2) Знайдемо координати напрямних векторів для прямих З 1 В 1і З 1 Е:

(0;1;0), (;0;-1).

3) Знайдемо косинус кута між З 1 В 1і З 1 Е, використовуючи скалярний добуток векторів та :

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E – відстань, що шукається.

4)З 1 Е = = 2.

Висновок: знання різних підходів до вирішення стереометричних завдань дозволяє вибрати кращий для будь-якого учня спосіб, тобто. той, яким учень володіє впевнено, допомагає уникнути помилок, призводить до успішного вирішення завдання та отримання хорошого балу на іспиті. Координатний метод має перевагу над іншими способами тим, що вимагає менше стереометричних міркувань і бачення, а ґрунтується на застосуванні формул, які мають багато планиметричних та алгебраїчних аналогій, більш звичних для учнів.

Форма проведення уроку – поєднання пояснення вчителя із фронтальною колективною роботою учнів.

На екрані за допомогою відеопроектора демонструються багатогранники, що розглядаються, що дозволяє порівнювати різні способи рішення.

Домашнє завдання: розв'язати задачу 3 іншим способом, наприклад, за допомогою теореми про три перпендикуляри .

Література

1. Єршова А.П., Голобородько В.В. Самостійні та контрольні роботи з геометрії для 11 класу. - М.: ІЛЕКСА, - 2010. - 208 с.

2. Геометрія, 10-11: підручник для загальноосвітніх установ: базовий та профільний рівні / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін - М.: Просвітництво, 2007. - 256 с.

3. ЄДІ-2012. Математика: типові екзаменаційні варіанти: 10 варіантів / за ред. А.Л.Семенова, І.В.Ященко. - М.: Національна освіта, 2011. - 112 с. – (ЄДІ-2012. ФІПД – школі).

Стаття розповідає про знаходження кута між площинами. Після наведення визначення поставимо графічну ілюстрацію, розглянемо докладний спосіб знаходження методом координат. Отримаємо формулу для площин, що перетинаються, в яку входять координати нормальних векторів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

У матеріалі будуть використані дані та поняття, які раніше були вивчені у статтях про площину та пряму у просторі. Для початку необхідно перейти до міркувань, що дозволяють мати певний підхід до визначення кута між двома площинами, що перетинаються.

Задані дві площини, що перетинаються γ 1 і γ 2 . Їх перетин прийме позначення c. Побудова площини пов'язана з перетином цих площин. Площина проходить через точку М в якості прямої c . Проводитиметься перетин площин γ 1 і γ 2 за допомогою площини χ . Приймаємо позначення прямої, що перетинає γ 1 і за пряму a , а перетинає 2 і за пряму b . Виходить, що перетин прямих a і b дає точку M .

Розташування точки M не впливає на кут між прямими a і b, що перетинаються, а точка M розташовується на прямій c, через яку проходить площину χ.

Необхідно побудувати площину 1 з перпендикулярністю до прямої c і відмінну від площини . Перетин площин 1 і 2 за допомогою 1 прийме позначення прямих а 1 і b 1 .

Видно, що при побудові χ і χ 1 прямі a і b перпендикулярні до прямої c , тоді і а 1 , b 1 розташовуються перпендикулярно до прямої c . Знаходження прямих a і а 1 у площині γ 1 з перпендикулярністю до прямої c тоді їх можна вважати паралельними. Так само розташування b і b 1 в площині γ 2 з перпендикулярністю прямої c говорить про їх паралельність. Отже, необхідно зробити паралельне перенесення площини χ 1 на χ де отримаємо дві збігаються прямі a і а 1 , b і b 1 . Отримуємо, що кут між прямими a і b 1, що перетинаються, дорівнює куту перетинаються прямих a і b .

Розглянемо на малюнку, наведеному нижче.

Дане судження доводиться тим, що між прямими, що перетинаються, a і b є кут, який не залежить від розташування точки M , тобто точки перетину. Ці прямі розташовуються в площинах 1 і 2 . Фактично, що вийшов кут можна вважати кутом між двома площинами, що перетинаються.

Перейдемо до визначення кута між наявними площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 .

Визначення 1

Кутом між двома площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2називають кут, що утворився шляхом перетину прямих a і b , де площини 1 і 2 мають перетин з площиною , перпендикулярної прямої c .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Визначення може бути подане в іншій формі. При перетині площин γ 1 і γ 2 , де c - пряма, на якій вони перетнулися, відзначити точку M , через яку провести прямі a і b перпендикулярні прямий c і лежать у площинах γ 1 і γ 2 тоді кут між прямими a і b буде кутом між площинами. Практично це можна застосувати для побудови кута між площинами.

При перетині утворюється кут, який за значенням менше 90 градусів, тобто градусна міра кута дійсна на проміжку такого виду (0 , 90 ).

Звичайний спосіб для знаходження кута між площинами, що перетинаються, - це виконання додаткових побудов. Це сприяє визначати його з точністю, причому робити це можна за допомогою ознак рівності або подоби трикутника, синусів, косинусів кута.

Розглянемо розв'язання задач на прикладі із завдань ЄДІ блоку C 2 .

Приклад 1

Заданий прямокутний паралелепіпед АВС D A 1 B 1 C 1 D 1 , де сторона АВ = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7, точка E поділяє сторону А А 1 щодо 4: 3 . Знайти кут між площинами АВС і ED 1 .

Рішення

Для наочності необхідно виконати креслення. Отримаємо, що

Наочне уявлення необхідне для того, щоб було зручніше працювати з кутом між площинами.

Виробляємо визначення прямої лінії, по якій відбувається перетин площин А В С і В E D 1 . Точка B є загальною точкою. Слід знайти ще одну загальну точку перетину. Розглянемо прямі DA і D 1 E , які розташовуються в одній площині A D D 1 . Їхнє розташування не говорить про паралельність, отже, вони мають загальну точку перетину.

Однак, пряма D A розташована в площині АВС, а D 1 E в B E D 1 . Звідси отримуємо, що прямі D Aі D 1 Eмають загальну точку перетину, яка є загальною і для площин АВС і BED 1 . Позначає точку перетину прямих D Aта D 1 E літерою F. Звідси отримуємо, що B F є прямою, по якій перетинаються площини АВ і В E D 1 .

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Для отримання відповіді необхідно зробити побудову прямих, розташованих у площинах АВ і В E D 1 з проходженням через точку, що знаходиться на прямій B F і перпендикулярній їй. Тоді кут, що вийшов, між цими прямими вважається шуканим кутом між площинами А В С і В E D 1 .

Звідси видно, що точка A – проекція точки E на площину АВС. Необхідно провести пряму, що перетинає під прямим кутом пряму BF у точці М. Видно, що пряма АМ – проекція прямої ЕМ на площину АВС, виходячи з теореми про ті перпендикуляри A M ⊥ B F . Розглянемо рисунок, зображений нижче.

∠ A M E - це кут, що утворюється, утворений площинами А В С і В E D 1 . З трикутника А Е М, що вийшов, можемо знайти синус, косинус або тангенс кута, після чого і сам кут, тільки при відомих двох сторонах його. За умовою маємо, що довжина А Е знаходиться таким чином: пряма А А 1 розділена точкою E щодо 4: 3, тобто повну довжину прямої – 7 частин, тоді А Е = 4 частин. Знаходимо А М.

Необхідно розглянути прямокутний трикутник АВ F . Маємо прямий кут A з висотою А М. З умови АВ = 2 тоді можемо знайти довжину A F подобою трикутників D D 1 F і A E F . Отримуємо, що A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Необхідно знайти довжину сторони B F із трикутника A B F , використовуючи теорему Піфагора. Отримуємо, що B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Довжина сторони АМ знаходиться через площу трикутника AB F . Маємо, що площа може дорівнювати як S A B C = 1 2 · A B · A F , так і S A B C = 1 2 · B F · A M .

Отримуємо, що A M = A B · A F B F = 2 · 4 2 5 = 4 5 5

Тоді можемо знайти значення тангенса кута трикутника А Е М. Отримаємо:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Шуканий кут, що отримується перетином площин А В С і B E D 1 дорівнює a r c t g 5 тоді при спрощенні отримаємо a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Відповідь: a r c t g 5 = r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Деякі випадки знаходження кута між прямими, що перетинаються, задаються за допомогою координатної площини О х у z і методом координат. Розглянемо докладніше.

Якщо дана задача, де необхідно знайти кут між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 , шуканий кут позначимо за α .

Тоді задана система координат показує, що маємо координати нормальних векторів площин, що перетинаються γ 1 і γ 2 . Тоді позначимо, що n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z є нормальним вектором площини γ 1, а n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - для площини γ 2 . Розглянемо докладне знаходження кута, розташованого між цими площинами координатами векторів.

Необхідно позначити пряму, по якій відбувається перетин площин 1 і 2 буквою c . На прямій маємо точку M , через яку проводимо площину , перпендикулярну c . Площина χ по прямих a і b виробляє перетин площин 1 і 2 в точці M . з визначення слід, що кут між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 дорівнює куту перетинаються прямих a і b , що належать цим площинам відповідно.

У площині відкладаємо від точки M нормальні вектори і позначаємо їх n 1 → і n 2 → . Вектор n 1 → розташовується на прямій, перпендикулярній до прямої a , а вектор n 2 → на прямій, перпендикулярній до прямої b . Звідси отримуємо, що задана площина має нормальний вектор прямий a , рівний n 1 → і для прямої b , рівний n 2 → . Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Звідси отримуємо формулу, за якою можемо обчислити синус кута прямих, що перетинаються, за допомогою координат векторів. Отримали, що косинусом кута між прямими a і b те ж, що і косинус між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 виводиться з формули cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , де маємо, що n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) і n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) є координатами векторів представлених площин.

Обчислення кута між прямими, що перетинаються, проводиться за формулою

α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Приклад 2

За умовою дано паралелепіпед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , де АВ = 2 , A D = 3 , АВ 1 = 7 , а точка E поділяє сторону АВ 1 4: 3 . Знайти кут між площинами АВС і BED1.

Рішення

З умови видно, що сторони його попарно перпендикулярні. Це означає, що необхідно ввести систему координат О х у z з вершиною в точці З координатними осями О х, О у, О z . Необхідно поставити напрямок з відповідних сторін. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Пересічні площини А В Сі B E D 1утворюють кут, який можна знайти за формулою α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , в якій n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) і n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) є нормальними векторами цих площин. Потрібно визначити координати. На малюнку бачимо, що координатна вісь О х у збігається в площині АВС, це означає, що координати нормального вектора k → дорівнюють значенню n 1 → = k → = (0 , 0 , 1) .

За нормальний вектор площини B E D 1 приймається векторний добуток B E → і B D 1 → , де їх координати знаходяться шляхом координат крайніх точок, Е, D 1 які визначаються, виходячи з умови завдання.

Отримуємо, що B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Тому що A E E A 1 = 4 3 з координат точок A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 знайдемо E 2 , 3 , 4 . Отримуємо, що B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 · j → - 6 · k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Необхідно зробити підстановку знайдених координат формулу обчислення кута через арккосинус. Отримуємо

α = a r c cos 0 · 12 + 0 · (- 6) + 1 · (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 · 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Метод координат дає аналогічний результат.

Відповідь: a r c cos 6 6 .

Завершальна задача розглядається з метою знаходження кута між площинами, що перетинаються, при наявних відомих рівняннях площин.

Приклад 3

Обчислити синус, косинус кута і значення кута, утвореного двома прямими, що перетинаються, які визначені в системі координат О х у z і задані рівняннями 2 x - 4 y + z + 1 = 0 і 3 y - z - 1 = 0 .

Рішення

При вивченні теми загального рівняння прямої виду A x + B y + C z + D = 0 виявили, що А, В є коефіцієнтами, рівними координатам нормального вектора. Отже, n 1 → = 2, - 4, 1 і n 2 → = 0, 3, - 1 є нормальним векторами заданих прямих.

Необхідно підставити координати нормальних векторів площин у формулу обчислення шуканого кута площин, що перетинаються. Тоді отримуємо, що

α = a r c cos 2 · 0 + - 4 · 3 + 1 · (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Звідси маємо, що косинус кута набуває вигляду cos α = 13 210 . Тоді кут прямих, що перетинаються, не є тупим. Підставивши в тригонометричну тотожність, отримуємо, що значення синуса кута дорівнює виразу. Обчислимо та отримаємо, що

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Відповідь: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Задача 1. Основа прямої чотирикутної призми АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – прямокутник АВСD, в якому АВ = 5, AD = 11. Знайти тангенс кута між площиною основи призми та площиною, що проходить через середину ребра AD перпендикулярно до прямої BD 1, якщо відстань між прямими АС та B 1 D 1 дорівнює 12. Рішення. Введемо систему координат. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Координати нормалі до площини перерізу: Координати нормалі до площини основи: – гострий кут, то D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 х у z N Кут між площинами Відповідь: 0,5. Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 2. В основі трикутної піраміди SABC лежить прямокутний трикутник АВС. Кут А – прямий. АС = 8, ВС = 219. Висота піраміди SA дорівнює 6. На ребері АС взято точку М так, що АМ = 2. Через точку М, вершину В і точку N – середину ребра SC – проведено площину α. Знайти двогранний кут, утворений площиною і площиною основи піраміди. A S x B C M N y z Рішення. Введемо систему координат. Тоді А (0; 0; 0), С (0; 8; 0), М (0; 2; 0), N (0; 4; 3), S (0; 0; 6), Нормаль до площини ( АВС) вектор Нормаль до площини (ВМN) Кут між площинами Відповідь: 60 °. Рівняння площини (ВМN): Ненашев Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 3. Основа чотирикутної піраміди PABCD квадрат зі стороною, що дорівнює 6, бічне ребро PD перпендикулярно площині основи і дорівнює 6. Знайдіть кут між площинами (BDP) та (BCP). Рішення. 1. Проведемо медіану DF рівнобедреного трикутника CDP (ВС = PD = 6) Значить DF PC. І з того, що BC (CDP), випливає, що DF BC, означає DF (PCB) A D C B P F 2. Так як AC DB і AC DP, то AC (BDP) 3. Таким чином, кут між площинами (BDP) і (BCP ) знаходиться з умови: Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 3. Основа чотирикутної піраміди PABCD квадрат зі стороною, що дорівнює 6, бічне ребро PD перпендикулярно площині основи і дорівнює 6. Знайдіть кут між площинами (BDP) та (BCP). Рішення.4. Виберемо систему координат. Координати точок: 5. Тоді вектори матимуть наступні координати: 6. Обчислюючи значення, знаходимо:, отже, A D C B P F z x y Кут між площинами Відповідь: Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 4. У одиничному кубі АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть кут між площинами (AD 1 E) і (D 1 FC), де точки E і F - середини ребер А 1 В 1 і В 1 С 1 відповідно. Рішення: 1. Введемо прямокутну систему координат і визначимо координати точок: 2. Складемо рівняння площини (AD 1 E): 3. Складемо рівняння площини (D 1 FC): - Нормальний вектор площини (AD 1 Е). - Нормальний вектор площини (D 1 FС). Кут між площинами х у z Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 4. У одиничному кубі АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть кут між площинами (AD 1 E) і (D 1 FC), де точки E і F - середини ребер А 1 В 1 і В 1 С 1 відповідно. Рішення: 4. Знайдемо косинус кута між площинами за формулою Відповідь: Кут між площинами х у z Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z 1. Введемо прямокутну систему координат і визначимо координати точок А, В, С: К Нехай сторона основи дорівнює 1. Для визначеності розглянемо межі SAC та SBC 2. Знайдемо координати точки S: Е Кут між площинами Ненашева Н.Г . вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z К Е 3. Рівняння площини (SAC): - Нормальний вектор площини (SAC). 4. Рівняння площини (SBC): - Нормальний вектор площини (SBC). Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z К Е 5. Знайдемо косинус кута між площинами за формулою Відповідь: Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

\(\blacktriangleright\) Двогранний кут - кут, утворений двома напівплощинами і прямою \(a\) , яка є їх спільним кордоном.

\(\blacktriangleright\) Щоб знайти кут між площинами \(\xi\) і \(\pi\) потрібно знайти лінійний кут (причому гострийабо прямий) двогранного кута, утвореного площинами \(\xi\) і \(\pi\) :

Крок 1: нехай \(\xi\cap\pi=a\) (лінія перетину площин). У площині \(\xi\) відзначимо довільну точку \(F\) і проведемо \(FA\perp a\);

Крок 2: проведемо (FG perp );

Крок 3: за ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) – похила, (AG) – проекція) маємо: (AG perpa);

Крок 4: кут \(\angle FAG\) називається лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами \(\xi\) і \(\pi\) .

Зауважимо, що трикутник (AG) - прямокутний.
Зауважимо також, що площина (AFG), побудована таким чином, перпендикулярна обох площин ((xi)) і (pi). Отже, можна сказати інакше: кут між площинами\(\xi\) і \(\pi\) - це кут між двома пересічними прямими \(c\in \xi\) і \(b\in\pi\) , що утворюють площину, перпендикулярну і \(\xi\) ) і \(\pi\) .

Завдання 1 #2875

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Дано чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні, причому основа є квадратом. Знайдіть \(6\cos \alpha\) , де \(\alpha\) - кут між її суміжними бічними гранями.

Нехай \(SABCD\) - дана піраміда (\(S\) - вершина), ребра якої рівні \(a\). Отже, всі бічні грані є рівними рівносторонні трикутники. Знайдемо кут між гранями (SAD) і (SCD).

Проведемо \(CH\perp SD\). Так як \(\triangle SAD=\triangle SCD\), то \(AH\) також буде висотою \(\triangle SAD\) . Отже, за визначенням \(\angle AHC=\alpha\) - лінійний кут двогранного кута між гранями \(SAD\) і \(SCD\).
Так як в основі лежить квадрат, то (AC = a sqrt2). Зауважимо також, що \(CH=AH\) - висота рівностороннього трикутника зі стороною \(a\), отже, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Тоді за теоремою косінусів з \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Відповідь: -2

Завдання 2 #2876

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Площини \(\pi_1\) і \(\pi_2\) перетинаються під кутом, косинус якого дорівнює \(0,2\). Площини \(\pi_2\) і \(\pi_3\) перетинаються під прямим кутом, причому лінія перетину площин \(\pi_1\) і \(\pi_2\) паралельна лінії перетину площин \(\pi_2\) і \(\ pi_3 \). Знайдіть синус кута між площинами \(\pi_1\) і \(\pi_3\) .

Нехай лінія перетину \(\pi_1\) і \(\pi_2\) - пряма \(a\) , лінія перетину \(\pi_2\) і \(\pi_3\) - пряма \(b\) , а лінія перетину \(\pi_3\) та \(\pi_1\) - пряма \(c\) . Оскільки \(a\parallel b\) , то \(c\parallel a\parallel b\) (за теоремою з розділу теоретичної довідки "Геометрія в просторі" (rightarrow\) "Введення в стереометрію, паралельність").

Зазначимо точки \(A\in a, B\in b\) так, щоб \(AB\perp a, AB\perp b\) (це можливо, тому що \(a\parallel b\) ). Зазначимо \(C\in c\) так, щоб \(BC\perp c\) , отже, \(BC\perp b\) . Тоді \(AC\perp c\) і \(AC\perp a\) .
Справді, оскільки \(AB\perp b, BC\perp b\) , то \(b\) перпендикулярна площині (ABC\) . Оскільки \(c\parallel a\parallel b\) , то прямі \(a\) і \(c\) теж перпендикулярні площині \(ABC\) , а значить і будь-який прямий з цієї площини, зокрема, прямий \ (AC) .

Звідси слідує що \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Виходить, що \(\triangle ABC\) прямокутний, отже \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Відповідь: 0,2

Завдання 3 #2877

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Дано прямі \(a, b, c\) , що перетинаються в одній точці, причому кут між будь-якими двома з них дорівнює \(60^\circ\) . Знайдіть \(\cos^(-1)\alpha\) , де \(\alpha\) – кут між площиною, утвореною прямими \(a\) і \(c\) , і площиною, утвореною прямими \(b\) ) і (c) . Відповідь дайте у градусах.

Нехай прямі перетинаються в точці (O). Так як кут між будь-якими двома з них дорівнює \(60^\circ\), то всі три прямі не можуть лежати в одній площині. Зазначимо на прямій \(a\) точку \(A\) і проведемо \(AB\perp b\) та \(AC\perp c\) . Тоді \(\triangle AOB=\triangle AOC\)як прямокутні з гіпотенузи та гострого кута. Отже, \(OB=OC\) і (AB=AC\) .
Проведемо \(AH\perp (BOC)\). Тоді за теоремою про три перпендикуляри \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Оскільки \(AB=AC\) , то \(\triangle AHB=\triangle AHC\)як прямокутні з гіпотенузи та катету. Отже, (HB = HC). Значить, \(OH\) - бісектриса кута \(BOC\) (оскільки точка \(H\) рівновіддалена від сторін кута).

Зауважимо, що таким чином ми до того ж побудували лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною, утвореною прямими (a) і (c), і площиною, утвореною прямими (b) і (c). Це кут (ACH).

Знайдемо цей кут. Оскільки точку (A) ми вибирали довільно, то нехай ми вибрали її так, що (OA = 2). Тоді в прямокутному \(\triangle AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]Так як \(OH\) - бісектриса, то \(\angle HOC=30^\circ\) , Отже, в прямокутному \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]Тоді з прямокутного \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Відповідь: 3

Завдання 4 #2910

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Площини \(\pi_1\) і \(\pi_2\) перетинаються по прямій \(l\) , де лежать точки \(M\) і \(N\) . Відрізки \(MA\) і \(MB\) перпендикулярні до прямої \(l\) і лежать у площинах \(\pi_1\) і \(\pi_2\) відповідно, причому \(MN = 15\) , \(AN = 39 \), \ (BN = 17 \), \ (AB = 40 \). Знайдіть \(3\cos\alpha\) , де \(\alpha\) - кут між площинами \(\pi_1\) і \(\pi_2\).

Трикутник \(AMN\) прямокутний, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), звідки \ Трикутник \(BMN\) прямокутний, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , звідки \ Запишемо для трикутника \(AMB\) теорему косінусів: \ Тоді \ Так як кут \(\alpha\) між площинами - це гострий кут, а \(\angle AMB\) вийшов тупим, то \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Тоді \

Відповідь: 1,25

Завдання 5 #2911

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – паралелепіпед, \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(a\) , точка \(M\) – основа перпендикуляра, опущеного з точки \(A_1\) на площину \((ABCD)\) , крім того (M) - точка перетину діагоналей квадрата (ABCD). Відомо що \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Знайдіть кут між площинами \((ABCD)\) і \((AA_1B_1B)\) . Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо (MN) перпендикулярно (AB) як показано на малюнку.

Так як \(ABCD\) - квадрат зі стороною \(a\) і \(MNperp AB\) і \(BCperp AB\) , то \(MNparallel BC\) . Так як \(M\) - точка перетину діагоналей квадрата, то \(M\) - середина \(AC\), отже, \(MN\) - середня лінія і \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) – проекція \(A_1N\) на площину \((ABCD)\) , причому \(MN\) перпендикулярний \(AB\) , тоді за теоремою про три перпендикуляри \(A_1N\) перпендикулярний \(AB \) і кут між площинами \((ABCD)\) і \((AA_1B_1B)\) є \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Відповідь: 60

Завдання 6 #1854

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

У квадраті \(ABCD\): \(O\) - точка перетину діагоналей; \(S\) - не лежить у площині квадрата, \(SO \perp ABC\) . Знайдіть кут між площинами \(ASD\) і \(ABC\) , якщо \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .

Прямокутні трикутники \(\triangle SAO\) і \(\triangle SDO\) рівні по обидва боки і кут між ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \ (AO = DO \), т.к. \(O\) - точка перетину діагоналей квадрата, \(SO\) - загальна сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) - рівнобедрений. Точка \(K\) - середина \(AD\) , тоді \(SK\) - висота в трикутнику \(\triangle ASD\) , а \(OK\) - висота в трикутнику \(AOD\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOK\) перпендикулярна площинам \(ASD\) і \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) - лінійний кут, що дорівнює шуканому двогранному куту.

У \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) - рівнобедрений прямокутний трикутник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Відповідь: 45

Завдання 7 #1855

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

У квадраті \(ABCD\): \(O\) - точка перетину діагоналей; \(S\) - не лежить у площині квадрата, \(SO \perp ABC\) . Знайдіть кут між площинами \(ASD\) і \(BSC\) якщо \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .

Прямокутні трикутники \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) і \(\triangle SOC\) рівні по двох сторонах і кут між ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \ (AO = OD = OB = OC \), т.к. \(O\) - точка перетину діагоналей квадрата, \(SO\) - загальна сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) та \(\triangle BSC\) - рівнобедрені. Точка \(K\) - середина \(AD\) , тоді \(SK\) - висота в трикутнику \(\triangle ASD\) , а \(OK\) - висота в трикутнику \(AOD\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOK\) перпендикулярна площині \(ASD\) . Точка \(L\) - середина \(BC\) , тоді \(SL\) - висота в трикутнику \(\triangle BSC\) , а \(OL\) - висота в трикутнику \(BOC\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOL\) (вона ж площина \(SOK\)) перпендикулярна площині \(BSC\). Таким чином отримуємо, що (angle KSL) - лінійний кут, рівний шуканому двогранному куті.

\(KL = KO + OL = 2 \ cdot OL = AB = 10 \)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\); \(SK = SL\) – висоти в рівних рівнобедрених трикутниках, які можна знайти за теоремою Піфагора: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Можна помітити, що \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) для трикутника \(\triangle KSL\) виконується зворотна теорема Піфагора \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) - прямокутний трикутник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circ) .

Відповідь: 90

Підготовка учнів до здачі ЄДІ з математики, як правило, починається з повторення основних формул, у тому числі й тих, що дозволяють визначити кут між площинами. Незважаючи на те, що цей розділ геометрії досить докладно висвітлюється в рамках шкільної програми, багато випускників потребують повторення базового матеріалу. Розуміючи, як знайти кут між площинами, старшокласники зможуть оперативно вирахувати правильну відповідь у ході вирішення завдання та розраховувати на отримання гідних балів за підсумками складання єдиного державного іспиту.

Основні нюанси

Щоб питання, як знайти двогранний кут, не викликало труднощів, рекомендуємо дотримуватися алгоритму рішення, який допоможе впоратися із завданнями ЄДІ.

Спочатку необхідно визначити пряму, якою перетинаються площини.

Потім на цій прямій потрібно вибрати точку і провести до неї два перпендикуляри.

Наступний крок – знаходження тригонометричної функції двогранного кута, який утворений перпендикулярами. Робити це найзручніше за допомогою трикутника, що вийшов, частиною якого є кут.

Відповіддю буде значення кута або його тригонометричної функції.

Підготовка до екзаменаційного випробування разом зі «Школковим» - запорука вашого успіху

У процесі занять напередодні здачі ЄДІ багато школярів стикаються з проблемою пошуку визначень і формул, які дозволяють обчислити кут між двома площинами. Шкільний підручник не завжди є під рукою саме тоді, коли це потрібно. А щоб знайти потрібні формули та приклади їх правильного застосування, у тому числі і для знаходження кута між площинами в Інтернеті в режимі онлайн, часом потрібно витратити чимало часу.

Математичний портал «Школкове» пропонує новий підхід до підготовки до державного іспиту. Заняття на нашому сайті допоможуть учням визначити найскладніші для себе розділи та заповнити прогалини у знаннях.

Ми підготували та зрозуміло виклали весь необхідний матеріал. Базові визначення та формули представлені у розділі «Теоретична довідка».

Для того, щоб краще засвоїти матеріал, пропонуємо також попрактикуватися у виконанні відповідних вправ. Велика добірка завдань різного ступеня складності, наприклад, на , представлена розділ «Каталог». Усі завдання містять докладний алгоритм знаходження правильної відповіді. Перелік вправ на сайті постійно доповнюється та оновлюється.

Практикуючись у вирішенні завдань, у яких потрібно знайти кут між двома площинами, учні мають можливість в онлайн-режимі зберегти будь-яке завдання у «Вибраному». Завдяки цьому вони зможуть повернутися до нього необхідну кількість разів та обговорити хід його рішення зі шкільним учителем чи репетитором.

Величину кута між двома різними площинами можна визначити для будь-якого взаємного розташування площин.

Тривіальний випадок, якщо площини паралельні. Тоді кут між ними вважається рівним нулю.

Нетривіальний випадок, якщо площини перетинаються. Цьому випадку присвячено подальше обговорення. Спочатку нам знадобиться поняття двогранного кута.

9.1 Двогранний кут

Двогранний кут це дві напівплощини із загальною прямою (яка називається ребром двогранного кута). На рис. 50 зображений двогранний кут, утворений напівплощинами; ребром цього двогранного кута служить пряма a, загальна даних напівплощин.

Рис. 50. Двогранний кут

Двогранний кут можна вимірювати в градусах або радіанах словом, запровадити кутову величину двогранного кута. Робиться це так.

На ребрі двогранного кута, утвореного напівплощинами і, візьмемо довільну точку M. Проведемо промені MA і MB, що лежать відповідно в даних напівплощинах і перпендикулярні до ребра (рис. 51).

Рис. 51. Лінійний кут двогранного кута

Отриманий кут AMB – це лінійний кут двогранного кута. Кут " = \AMB і є кутовий величиною нашого двогранного кута.

Визначення. Кутова величина двогранного кута це величина лінійного кута цього двогранного кута.

Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному (адже вони виходять один з одного паралельним зрушенням). Тому це визначення коректно: величина " залежить від конкретного вибору точки M на ребре двогранного кута.

9.2 Визначення кута між площинами

При перетині двох площин виходять чотири двогранні кути. Якщо вони мають однакову величину (по 90), то площини називаються перпендикулярними; кут між площинами тоді дорівнює 90 .

Якщо не всі двогранні кути однакові (тобто є два гострі і два тупі), то кутом між площинами називається величина гострого двогранного кута (рис. 52).

Рис. 52. Кут між площинами

9.3 Приклади розв'язання задач

Розберемо три завдання. Перша проста, друга та третя приблизно на рівні C2 на ЄДІ з математики.

Завдання 1. Знайдіть кут між двома гранями правильного тетраедра.

Рішення. Нехай ABCD правильний тетраедр. Проведемо медіани AM та DM відповідних граней, а також висоту тетраедра DH (рис. 53).

Рис. 53. До задачі 1

Будучи медіанами, AM та DM є також висотами рівносторонніх трикутників ABC та DBC. Тому кут = = AMD є лінійний кут двогранного кута, утвореного гранями ABC і DBC. Знаходимо його з трикутника DHM:

			1 AM

Відповідь: arccos 1 3 .

Завдання 2. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (з вершиною S) бічне ребро дорівнює стороні основи. Крапка K середина ребра SA. Знайдіть кут між площинами

Рішення. Пряма BC паралельна AD і тим самим паралельна площині ADS. Тому площина KBC перетинає площину ADS прямою KL, паралельною BC (рис. 54 ).

Рис. 54. До задачі 2

При цьому KL буде паралельна прямий AD; отже, KL середня лінія трикутника ADS, і точка L середина DS.

Проведемо висоту піраміди SO. Нехай N середина DO. Тоді середня лінія LN трикутника DOS, і тому LN k SO. Значить LN перпендикуляр до площини ABC.

З точки N опустимо перпендикуляр NM на пряму BC. Пряма NM буде проекцією похилої LM на площину ABC. З теореми про три перпендикуляри випливає тоді, що LM також перпендикулярна BC.

Таким чином, кут " = \LMN є лінійним кутом двогранного кута, утвореного напівплощинами KBC і ABC. Шукатимемо цей кут із прямокутного трикутника LMN.

Нехай ребро піраміди дорівнює a. Спочатку знаходимо висоту піраміди:

SO = p

Рішення. Нехай L точка перетину прямих A1 K та AB. Тоді площина A1 KC перетинає площину ABC прямою CL (рис.55 ).

A C

Рис. 55. До задачі 3

Трикутники A1 B1 K і KBL рівні по катету та гострому куту. Отже, дорівнюють інші катети: A1 B1 = BL.

Розглянемо трикутник ACL. У ньому BA = BC = BL. Кут CBL дорівнює 120; отже, \BCL = 30 . Крім того, \ BCA = 60 . Тому \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Отже, LC? AC. Але пряма AC є проекцією прямої A1 C на площину ABC. По теоремі про три перпендикуляри укладаємо тоді, що LC? A1 C.

Таким чином, кут A1 CA лінійний кут двогранного кута, утвореного напівплощинами A1 KC та ABC. Це і є шуканий кут. З рівнобедреного прямокутного трикутника A1 AC бачимо, що він дорівнює 45 .