Розв'язання модульних рівнянь. Способи розв'язання квадратних рівнянь

Відразу перейдемо до розгляду системи ставок, коли єдиним вірним варіантом результату гри замість двох стане три такі як:
Х – нічия;
П1 – перемога першої команди;
П2 – перемога другої команди.

Як уже можна було здогадатися, основним застосуванням такої стратегії є ставки на футбол. Ось кілька прикладів системи Ставок 1-Х-2, за допомогою якої ви можете уникнути програшу ваших ставок, якщо вам не вдалося вгадати результат матчів.

Приклад перший. Припустимо, є кілька хороших матчів, з непоганим коефіцієнтом від 1.75 до 2.1, здебільшого всіх матчів за які ви будете впевнені. Зробивши ставки на кілька таких матчів, само собою з'являється ризик, при якому, як мінімум, одна з футбольних команд зіграє внічию, в результаті ви можете втратити все.

А ось для того, щоб цього уникнути, вам просто потрібно використовувати систему Ставок 1-Х-2, само собою виграш при цьому буде меншим, але навіть якщо одна з обраних команд не зіграє вашу ставку, то ви зможете відіграти поставлені гроші. Але, як правило, це не дуже цікаво, тому що ви можете врахувати всі можливі нічиї в матчах і бути в непоганому плюсі.

Припустимо, є три футбольні матчі, з коефіцієнтом від 1.8 до 2.0, де, на вашу думку, має перемогти перша команда. Тоді вам буде необхідно робити ставки на 4 експреси (Рис.1):

Рис.1 - Приклад ставки

Допустимо на всі ставки, загалом, ми витратили всього 400 доларів приблизно по 10 на кожен експрес. Після виграшу всіх команд розраховуємо прибуток за таким принципом: 1.8 * 1.8 * 1.8 * 100 у.о. = 580,30$, але за розкладі, коли одна, з ігор закінчилася нічию, то розраховуємо за схемою 1.8*1.8*2.7*100 у.о. = 870 у.о. Виграш непоганий погодьтеся?

Але ризики є завжди, і не варто забувати про те, що якщо ваші ставки не зіграють або буде більше однієї нічиї, то гроші ви втратите свої. Також потрібно відзначити, що ви можете модифікувати цю систему, що, у свою чергу, збільшить шанси виграшу ваших ставок. Розглянемо невеликий приклад, наведений трохи нижче, з урахуванням можливостей перемоги другої команди, але тільки для однієї футбольної пари. У такому разі матиме дуже актуальне місце наступний набір (рис.2):

Рис.2 - Приклад ставки

Таким чином, у всіх п'яти поставлених нами експресів коефіцієнт просто повинен бути не менше 5.

Система ставок 1-Х-2 варіант другий. Від частини, нагадує першу систему, ряд особливостей цього варіанту в тому, що дана система дозволить вам дуже результативно розділити всі ставки, саме на ті команди, які краще грають на виїзді. Припустимо, всього є три команди, які краще ніж інші грають на виїзді, тобто ставки робитимемо таким чином (Рис.3):

Рис.3 - Приклад ставки

нічия - «Х»
перемога виїзної команди -«2»

Якщо враховувати, що всі коефіцієнти для команд, як правило, дуже високі, то досягти рентабельності системи для кожного експресу буде не складно.

Також потрібно зазначити, що на практиці дана система дуже часто застосовується саме до матчів з великими коефіцієнтами, так як перша, описана нами система, дозволяє отримувати непогані результати.

Але варто відзначити, що ефективність самої системи дуже часто перебуває під питанням, тому що, поставивши три матчі ставки по ординарах, ви зможете отримати не поганий, а можливо і дуже хороший результат, ніж ставки на експреси по першій з наведених систем.

А ось уже друга система, так би мовити, ефективніша для здійснення ставок безпосередньо на команди, які рідше програють на виїзді, ніж решта. Але як правило, тут буде так само, як і в першій системі, найчастіше виходити випадки, коли вами буде набагато вигідніше зробити ставку на всю суму, на один експрес у місце того, щоб грати за другою системою.

Саме тому, ефективність цієї стратегії ставок 1-Х-2, слід вираховувати для кожної конкретної з усіх ваших ставок.

Щоб навчитися вирішувати рівняння з модулем, треба згадати і вивчити визначення модуля.

З визначення видно, що модуль будь-якого числа негативний. Крім того, визначення показує як можна позбавлятися знаку модуляу рівнянні.

Насправді це робиться так:

1) Знаходять значення змінної, у яких вирази стоять під знаком модуля перетворюються на нуль.

2) Відзначають усі нулі на числовій прямій. Вони розіб'ють цю пряму на промені та проміжки, на яких усі підмодульні вирази мають постійний знак.

3) Визначаємо знаки підмодульних виразів на кожному проміжку та розкриваємо всі модулі (замінюючи їх підмодульними виразами зі знаком плюс або зі знаком мінус залежно від знака підмодульного виразу).

4) Вирішуємо рівняння, що вийшли на кожному проміжку (скільки проміжків, стільки і рівнянь). Зверніть увагу, що обов'язково вибираємо тільки ті рішення, які знаходяться в даному проміжку (отримані рішення можуть і не належати проміжку).

Досить уже теорії, час на прикладах подивитися як вирішуються рівняння з модулем. Почнемо з більш простого.

Розв'язання рівнянь із модулями

приклад 1.Вирішити рівняння .

Рішення.Так як, то. Якщо, то, і рівняння набуває вигляду.

Звідси отримуємо.

приклад 2.Вирішити рівняння .

Рішення.З рівняння випливає, що .

Тому , , , і рівняння набуває вигляду або .

Оскільки вихідне рівняння коренів не має.

Відповідь: коріння немає.

приклад 3.Вирішити рівняння.

Рішення.Перепишемо рівняння у рівносильному вигляді.

Отримане рівняння відноситься до рівнянь типу.

Відомо, що рівняння такого типу рівносильне нерівності. Отже, тут маємо або .

Відповідь: .

Думаю, як вирішувати такий вид рівняння з модулем ви вже розібралися. Спробуємо розібратися з більш складним рівнянням.

Приклад 4. Вирішити рівняння: | x 2 + 2x | – |2 – x| = | x 2 - x |

Знаходимо нулі підмодульних виразів:

х 2 + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 або х = ‒ 2. При цьому парабола у = х 2 + 2х позитивна на проміжках (–∞; –2) та (0; +∞ ), але в проміжку (–2; 0) вона негативна (див. малюнок).

х 2 ‒ х = 0, х(х – 1) = 0, х = 0 або х = 1. Ця парабола у = х 2 ‒ х позитивна на проміжках (–∞; 0) та (1; +∞), а на проміжку (0; 1) вона негативна (див. рисунок).

2 – х = 0, х = 2, модуль позитивний на проміжку (–∞; 0) і набуває негативних значень на проміжку (2; +∞) (див. малюнок).

Тепер вирішуємо рівняння на проміжках:

1) х ≤ ‒2: х = 1/2

2) -2 ≤ x<0: ‒(х 2 + 2х) – (2 – х) = х 2 ‒ х, ‒х 2 ‒ 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, ‒2 х 2 = 2, х 2 = ‒1, рішень немає.

3) 0 ≤ x<1: х 2 + 2х - (2 - х) = - (х 2 - х), х 2 + 2х - 2 + х = - х 2 + х, 2х 2 + 2х - 2 = 0, х 2 + х - 1 = 0, √D = √5,
х 1 = (‒1 – √5)/2 і х 2 = (‒1 + √5)/2.

Оскільки перший корінь негативний, він не належить нашому проміжку, а другий корінь більше нуля і менше одиниці і є наше рішення цьому проміжку.

4) 1 ≤ x<2: х 2 + 2х - (2 - х) = х 2 - х, х 2 + 2х - 2 + х = х 2 - х, 4х = 2, х = 1/2(Не входить у аналізований проміжок)

5) х ≥ 2:х 2 + 2х –(‒(2 – х)) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х + 2 ‒ х = х 2 ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1(Не входить у аналізований проміжок).

Відповідь: (‒1 + √5)/2 .

Ви помітили, що вирішується це рівняння так само, як і попередні, відмінність у кількості проміжків. Так як під модулем стоять квадратні вирази, то коренів вийшло більше, а відповідно і більше проміжків.

А як вирішувати рівняння в якому модуль стоїть під модулем? Давайте подивимося на прикладі.

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння |3 – |x – 2|| = 1

Підмодульний вираз може набувати значення або 1 або – 1. Отримуємо два рівняння:

3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1або 3 ‒ |х ‒ 2|= 1

Вирішуємо кожне рівняння окремо.

1) 3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 або х ‒ 2= 4, звідки отримуємо х 1 = 6, х 2 = ‒2.

2) 3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 або х – 2 = ‒2,
х 3 = 4, х 4 = 0.

Сподіваюся, після вивчення цієї статті ви успішно вирішуватимете рівняння з модулем. Якщо залишилися питання, записуйтесь до мене на уроки. Репетитор Валентина Галиневська.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Квадратні рівняння.

Квадратне рівняння- алгебраїчне рівняння загального вигляду

де x - вільна змінна,

a, b, c, - коефіцієнти, причому

Вираз називають квадратним тричленом.

Способи розв'язання квадратних рівнянь.

1. СПОСІБ : Розкладання лівої частини рівняння на множники.

Розв'яжемо рівняння х 2 + 10х - 24 = 0. Розкладемо ліву частину на множники:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(х + 12) (х - 2) = 0

Так як добуток дорівнює нулю, то принаймні один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х = 2, а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х 2 + 10х - 24 = 0.

2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.

Розв'яжемо рівняння х 2 + 6х - 7 = 0. Виділимо у лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х 2 + 6х у наступному вигляді:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а другий - подвоєний добуток х на 3. Тому щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2 так як

х 2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3) 2 .

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х 2 + 6х - 7 = 0,

додаючи до неї і віднімаючи 3 2 . Маємо:

х 2 + 6х - 7 =х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16.

Отже, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, або x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. СПОСІБ :Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а і маємо послідовно:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Приклади.

а)Розв'яжемо рівняння: 4х2+7х+3=0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0,два різні корені;

Отже, у разі позитивного дискримінанта, тобто. при

b 2 - 4ac >0, рівняння ах 2 + bх + с = 0має два різні корені.

б)Розв'яжемо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,

D = 0,один корінь;

Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто. b 2 - 4ac = 0, то рівняння

ах 2 + bх + с = 0має єдиний корінь,

в)Розв'яжемо рівняння: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Це рівняння коренів немає.

Отже, якщо дискримінант негативний, тобто. b 2 - 4ac< 0 , рівняння

ах 2 + bх + с = 0не має коріння.

Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), у тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння дорівнюють дробу, чисельник якого дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без вчетверного добутку першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

х 2 + px + c = 0.(1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1має вигляд

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Звідси можна зробити такі висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).

а) Якщо зведений член qнаведеного рівняння (1) позитивний ( q > 0), то рівняння має два однакові за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. Якщо р< 0 , то обидва корені негативні, якщо р< 0 , то обидва корені позитивні.

Наприклад,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2і x 2 = 1,так як q = 2 > 0і p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7і x 2 = - 1,так як q = 7 > 0і p = 8> 0.

б) Якщо вільний член qнаведеного рівняння (1) негативний ( q< 0 ), то рівняння має два різні за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивним, якщо p< 0 , або негативний, якщо p > 0 .

Наприклад,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5і x 2 = 1,так як q= - 5< 0 і p = 4> 0;

x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9і x 2 = - 1,так як q = - 9< 0 і p = - 8< 0.

приклади.

1) Розв'яжемо рівняння 345х 2 - 137х - 208 = 0.

Рішення.Так як а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0),то

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

2) Вирішимо рівняння 132х 2 - 247х + 115 = 0.

Рішення.Так як а + b + с = 0 (132 - 247 + 115 = 0),то

х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

Б. Якщо другий коефіцієнт b = 2k– парне число, то формулу коріння

приклад.

Розв'яжемо рівняння 3х2 - 14х + 16 = 0.

Рішення. Маємо: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, D > 0,два різні корені;

Відповідь: 2; 8/3

Ст. Наведене рівняння

х 2 + рх + q = 0

збігається з рівнянням загального виду, в якому а = 1, b = рі с = q. Тому для наведеного квадратного рівняння формула коренів

Набуває вигляду:

Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р- парне число.

приклад.Розв'яжемо рівняння х 2 - 14х - 15 = 0.

Рішення.Маємо: х 1,2 = 7±

Відповідь: х 1 = 15; х 2 = -1.

5. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь графічне.

приклад. Розв'язати рівняння х2 – 2х – 3 = 0.

Побудуємо графік функції у = х2 - 2х - 3

1) Маємо: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. Значить, вершиною параболи є точка (1; -4), а віссю параболи - пряма х = 1.

2) Візьмемо на осі х дві точки, симетричні щодо осі параболи, наприклад, точки х = -1 і х = 3.

Маємо f(-1) = f(3) = 0. Побудуємо на координатній площині точки (-1; 0) та (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводимо параболу (рис. 68).

Корінням рівняння х2 – 2х – 3 = 0 є абсциси точок перетину параболи з віссю х; отже, коріння рівняння таке: х1 = - 1, х2 - 3.

Квадратний тричлен ax 2 +bx+cможна розкласти на лінійні множники за такою формулою:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), де x 1, x 2- Коріння квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.

Розкласти квадратний тричлен на лінійні множники:

приклад 1). 2x2-7x-15.

Рішення. 2x2-7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. Це загальний випадок повного квадратного рівняння. Знаходимо дискримінант D.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 дійсних кореня.

Застосуємо формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).

2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Ми представили цей тричлен 2x 2 -7x-15 2х+3і х-5.

Відповідь: 2x 2 -7x-15 = (2х +3) (х-5).

приклад 2). 3x 2 +2x-8.

Рішення.Знайдемо коріння квадратного рівняння:

a=3; b=2;c=-8. Це окремий випадок для повного квадратного рівняння з парним другим коефіцієнтом ( b=2). Знаходимо дискримінант D1.

Застосуємо формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).

Ми представили тричлен 3x 2 +2x-8у вигляді твору двочленів х+2і 3х-4.

Відповідь: 3x 2 +2x-8 =(х+2)(3х-4).

Приклад 3). 5x2-3x-2.

Рішення.Знайдемо коріння квадратного рівняння:

a=5; b=-3; c=-2. Це окремий випадок для повного квадратного рівняння з виконаною умовою: a+b+c=0(5-3-2 = 0). В таких випадках перший коріньзавжди дорівнює одиниці, а другий коріньдорівнює частці від поділу вільного члена на перший коефіцієнт:

Застосуємо формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).

5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Ми представили тричлен 5x 2 -3x-2у вигляді твору двочленів х-1і 5х+2.

Відповідь: 5x 2 -3x-2= (х-1)(5х +2).

приклад 4). 6x2+x-5.

Рішення.Знайдемо коріння квадратного рівняння:

a=6; b=1; c=-5. Це окремий випадок для повного квадратного рівняння з виконаною умовою: a-b+c=0(6-1-5 = 0). В таких випадках перший коріньзавжди дорівнює мінус одиниці, а другий коріньдорівнює мінус частки від поділу вільного члена на перший коефіцієнт:

Застосуємо формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).

Ми представили тричлен 6x 2 +x-5у вигляді твору двочленів х+1і 6х-5.

Відповідь: 6x 2 +x-5= (х+1)(6х-5).

приклад 5). x 2 -13x +12.

Рішення.Знайдемо коріння наведеного квадратного рівняння:

x 2 -13x +12 = 0. Перевіримо, чи можна застосувати . Для цього знайдемо дискримінант і переконаємось, що він є повним квадратом цілого числа.

a=1; b=-13; c=12. Знаходимо дискримінант D.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Застосуємо теорему Вієта: сума коренів повинна дорівнювати другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів повинен дорівнювати вільному члену:

x 1 + x 2 = 13; x 1 x 2 =12. Вочевидь, що x 1 =1; х 2 =12.

Застосуємо формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x1)(x-x2).

x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).

Відповідь: x 2 -13x+12= (х-1)(х-12).

Приклад 6). x 2-4x-6.

Рішення. Знайдемо коріння наведеного квадратного рівняння:

a=1; b=-4; c=-6. Другий коефіцієнт – парне число. Знаходимо дискримінант D1.

Дискримінант не є повним квадратом цілого числа, тому теорема Вієта нам не допоможе, і ми знайдемо коріння за формулами для парного другого коефіцієнта:

Застосуємо формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) і запишемо відповідь.

У наших каталогах ви знайдете дріт ПТПЖ 2х1,2 за доступними цінами. Ми гарантуємо високу якість всієї продукції. Торговий Дім «Кабель Ресурс» дає можливість придбати провід ПТПЗ 2х1,2 як оптом, так і мінімальними партіями. Оперативне відмотування на складі в Москві. Ви зможете купити весь асортимент електротехніки, світлотехніки та кабельно-провідникової продукції в одному місці.

Призначення дроту ПТПЗ 2х1,2

Провід ПТПЗ 2х1,2, що реалізується зі складу ТД «Кабель-Ресурс», має подвійне призначення:

• він може використовуватися при розгортанні провідних мереж радіомовлення. У цьому випадку провід повинен експлуатуватися при температурі навколишнього повітря не нижче -40°С та не вище +60°С;
• його можна використовувати на будмайданчиках для прогріву бетону. При виконанні цієї операції враховуються умови прогріву, що береться до уваги температура навколишнього середовища. За спеціальними таблицями підбирається суворо певна довжина дроту ПТПЗ 2х1,2, після чого останній закріплюється на арматурному каркасі. Важливо пам'ятати, що при прогріванні бетону повітря не повинно мати температури нижче -30°С.

Конструкція дроту ПТПЗ 2х1,2

Провід, про який йдеться у цьому огляді, складається з:

• двох (див. число 2 у маркуванні) струмопровідних жил, виготовлених із сталі. Мають однодротяне виконання, круглу форму, діаметр, що дорівнює 1,2 мм (див. відповідне число в маркуванні), і опір, що не перевищує 140 Ом на 1 км довжини;
• ізоляційних оболонок жил, виготовлених із ПВД (поліетилену високого тиску). Основною перевагою цих компонентів є їх надзвичайно високий електричний опір (воно дорівнює як мінімум 5000 МОм на 1 км довжини). Завдяки цій якості електричний контакт – не лише між жилами проводу ПТПЗ 2х1,2, а й між цими елементами та зовнішніми предметами (у тому числі людьми) повністю виключено.

Ізольовані провідні жили розташовані паралельно один одному, внаслідок чого провід ПТПЗ 2х1,2 має плоску форму. Ізоляційні оболонки з'єднані роздільною основою, матеріалом якого є той самий ПВД.

Незалежно від того, для яких цілей використовується провід ПТПЗ 2х1,2, при його прокладці необхідно дотримуватися правила: радіус кожного монтажного вигину, що формується на виробі, повинен бути більше 10 зовнішніх діаметрів.