Вирішення однорідного диференціального рівняння 1 порядку. Що ще можна вивчити для кращого розуміння? Однорідні рівняння

У деяких завданнях фізики безпосередній зв'язок між величинами, що описують процес, встановити не вдається. Але є можливість здобути рівність, що містить похідні досліджуваних функцій. Так виникають диференціальні рівняння та потреба їх вирішення для знаходження невідомої функції.

Ця стаття призначена тим, хто зіштовхнувся із завданням розв'язання диференціального рівняння, у якому невідома функція є однією змінною. Теорія побудована так, що з нульовим уявленням про диференціальні рівняння ви зможете впоратися зі своїм завданням.

Кожному виду диференціальних рівнянь поставлений у відповідність метод рішення з докладними поясненнями та рішеннями характерних прикладів та завдань. Вам залишається лише визначити вид диференціального рівняння Вашого завдання, знайти подібний приклад і провести аналогічні дії.

Для успішного вирішення диференціальних рівнянь з Вашого боку також знадобиться вміння знаходити безліч первісних (невизначені інтеграли) різних функцій. При необхідності рекомендуємо звертатися до розділу.

Спочатку розглянемо види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можна дозволено щодо похідної, далі перейдемо до ОДУ другого порядку, потім зупинимося на рівняннях вищих порядків і закінчимо системами диференціальних рівнянь.

Нагадаємо, що якщо y є функцією аргументу x .

Диференціальні рівняння першого ладу.

Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду.

Запишемо кілька прикладів таких ДК .

Диференційне рівняння можна дозволити щодо похідної, зробивши розподіл обох частин рівності f(x) . У цьому випадку приходимо до рівняння, яке буде еквівалентно вихідному при f(x) ≠ 0 . Прикладами таких ОДУ є.

Якщо є значення аргументу x , у яких функції f(x) і g(x) одночасно перетворюються на нуль, з'являються додаткові рішення. Додатковими рішеннями рівняння за даних x є будь-які функції, визначені цих значень аргументу. Як приклади таких диференціальних рівнянь можна навести.

Диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

ЛОДУ з постійними коефіцієнтами є дуже поширеним видом диференціальних рівнянь. Їхнє рішення не становить особливої складності. Спочатку знаходять коріння характеристичного рівняння . При різних p і q можливі три випадки: коріння характеристичного рівняння можуть бути дійсними і різними, дійсними і збігаються або комплексно пов'язаними. Залежно від значень коренів характеристичного рівняння записується загальне рішення диференціального рівняння як , або , чи відповідно.

Наприклад розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Коріння його характеристичного рівняння є k 1 = -3 і k 2 = 0 . Коріння дійсне і різне, отже, загальне рішення ЛОДУ з постійними коефіцієнтами має вигляд

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами y шукається як суми загального рішення відповідного ЛОДУ і окремого рішення вихідного неоднорідного рівняння, тобто, . Знаходження загального рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами присвячений попередній пункт. А окреме рішення визначається або методом невизначених коефіцієнтів при певному вигляді функції f(x) , що стоїть у правій частині вихідного рівняння, або методом варіації довільних постійних.

Як приклади ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами наведемо

Розібратися в теорії та ознайомитися з докладними рішеннями прикладів ми пропонуємо на сторінці лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами .

Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДУ) та лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДУ) другого порядку.

Окремим випадком диференціальних рівнянь цього виду є ЛОДУ та ЛНДУ з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛОД на деякому відрізку представляється лінійною комбінацією двох лінійно незалежних приватних рішень y 1 і y 2 цього рівняння, тобто, .

Головна складність полягає саме у знаходженні лінійно-незалежних приватних рішень диференціального рівняння цього типу. Зазвичай приватні рішення вибираються з наступних систем лінійно незалежних функцій:

Проте, які завжди приватні рішення представляються у такому вигляді.

Прикладом ЛОДУ є .

Загальне рішення ЛНДУ шукається як , де - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - приватне рішення вихідного диференціального рівняння. Про перебування ми щойно говорили, а можна визначити, користуючись методом варіації довільних постійних.

Як приклад ЛНДУ можна навести .

Диференціальні рівняння найвищих порядків.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

Порядок диференціального рівняння , яке не містить шуканої функції та її похідних до k-1 порядку, може бути знижено до n-k заміною .

І тут , і вихідне диференціальне рівняння зведеться до . Після знаходження рішення p(x) залишиться повернутися до заміни і визначити невідому функцію y .

Наприклад, диференціальне рівняння після заміни стане рівнянням з змінними, що розділяються, і його порядок з третього знизиться до першого.

В даний час за базовим рівнем вивчення математики на вивчення математики у старших класах передбачено лише 4 години (2 години алгебри, 2 години геометрії). У сільських малокомплектних школах намагаються збільшити кількість годинників за рахунок шкільного компонента. Але якщо клас гуманітарний, то шкільний компонент додається вивчення предметів гуманітарного напрями. У маленькому селі найчастіше школяру вибирати не доводиться, він навчається у тому класі; який є у школі. Стати ж юристом, істориком чи журналістом (бувають такі випадки) не збирається, а хоче стати інженером чи економістом, тому ЄДІ з математики має здати на високі бали. За таких обставин, вчителю математики доводиться знаходити свій вихід із ситуації, до того ж за підручником Колмогорова вивчення теми «однорідні рівняння» не передбачено. У минулі роки для запровадження цієї теми та закріплення мені потрібно два здвоєні уроки. На жаль, перевірка освітнього нагляду у нас заборонила здвоєні уроки у школі, тому кількість вправ довелося скоротити до 45 хвилин, і відповідно рівень складності вправ знизити до середньої. Пропоную вашій увазі план-конспект уроку на цю тему в 10 класі з базовим рівнем вивчення математики в сільській мало комплектній школі.

Тип уроку: традиційний

Ціль: навчитися вирішувати типові однорідні рівняння

Завдання:

Пізнавальні:

Розвиваючі:

Виховні:

Виховання працьовитості через терпляче виконання завдань, почуття товариства через роботу у парах та групах.

Хід уроку

I.Організаційний етап(3 хв.)

ІІ. Перевірка знань, необхідних засвоєння нового матеріалу (10 хв.)

Виявити основні труднощі з подальшим розбором виконаних завдань. Хлопці виконують на вибір 3 варіанти. Завдання, диференційовані за рівнем складності та за рівнем підготовленості хлопців, з наступним поясненням біля дошки.

1 рівень. Розв'яжіть рівняння:

3(х+4)=12,
2(х-15) = 2х-30
5(2-х)=-3х-2(х+5)
x 2 -10х +21 = 0 Відповіді: 7;

2 рівень. Розв'яжіть найпростіші тригонометричні рівняння та біквадратне рівняння:

відповіді:

б) x 4 -13x 3 +36 = 0 Відповіді: -2; 2; -3; 3

3 рівень.Розв'язання рівнянь методом заміни змінних:

б) x 6 -9x 3 +8 = 0 Відповіді:

ІІІ.Повідомлення теми, встановлення цілей та завдань.

Тема: Однорідні рівняння

Ціль: навчитися вирішувати типові однорідні рівняння

Завдання:

Пізнавальні:

познайомитися з однорідними рівняннями, навчитися вирішувати найпоширеніші види таких рівнянь.

Розвиваючі:

Розвиток аналітичного мислення.
Розвиток математичних навичок: навчитися виділяти основні ознаки, якими однорідні рівняння від інших рівнянь, вміти встановлювати подібність однорідних рівнянь у тому різних проявах.

IV. Засвоєння нових знань (15 хв.)

1. Лекційний момент.

Визначення 1(Записуємо у зошит). Рівняння виду P(x; y) = 0 називається однорідним, якщо P (x; y) однорідний многочлен.

Багаточлен від двох змінних х і у називають однорідним, якщо ступінь кожного його члена дорівнює одному й тому ж числу.

Визначення 2(просто ознайомлення). Рівняння виду

називають однорідним рівнянням ступеня n щодо u(x) та v(x). Поділивши обидві частини рівняння на (v(x))n, можна за допомогою заміни отримати рівняння

Що дозволяє спростити вихідне рівняння. Випадок v (x) = 0 необхідно розглянути окремо, тому що на 0 ділити не можна.

2. Приклади однорідних рівнянь:

Поясніть: чому вони однорідні, наведіть приклади таких рівнянь.

3. Завдання визначення однорідних рівнянь:

Серед заданих рівнянь визначити однорідні рівняння та пояснити свій вибір:

Після того, як пояснили свій вибір на одному з прикладів показати спосіб розв'язання однорідного рівняння:

4. Вирішити самостійно:

Відповідь:

б) 2sin x - 3 cos x = 0

Розділимо обидві частини рівняння на cos x, отримаємо 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Показати рішення прикладу з брошури«П.В. Панчохи. Рівняння та нерівності у шкільному курсі математики. Москва Педагогічний університет «Перше вересня» 2006 р. 22». Як один із можливих прикладів ЄДІ рівня С.

V. Вирішити для закріплення за підручником Башмакова

стор 183 № 59 (1,5) або за підручником за редакцією Колмогорова: стр81 №169 (а, в)

відповіді:

VI. Перевірна, самостійна робота (7 хв.)

1 варіант	2 варіант
Розв'язати рівняння:
а) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
б) cos 2 -3sin 2 =0	б)

Відповіді до завдань:

1 варіант а) Відповідь: arctg2 + πn, n € Z; б) Відповідь: ±π/2+ 3πn,n € Z; в)

2 варіант а) Відповідь: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Відповідь: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5; -2); (5;2)

VII. Домашнє завдання

№169 за Колмогоровим, №59 за Башмаковим.

2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Вказівка: у правій частині використовувати основне тригонометричне тотожність 2(sin 2 x + cos 2 x)

Відповідь: arctg(-1±√3) +πn ,

Використана література:

П.В. Панчохи. Рівняння та нерівності у шкільному курсі математики. - М.: Педагогічний університет «Перше вересня», 2006. стор.
А. Мерзляк, В. Полонський, Є. Рабінович, М. Якір. Тригонометрія. - М.: «АСТ-ПРЕС», 1998, стор 389
Алгебра для 8 класу за редакцією Н.Я. Віленкіна. - М.: «Освіта», 1997.
Алгебра для 9 класу за редакцією Н.Я. Віленкіна. Москва "Освіта", 2001.
М.І. Черевики. Алгебра та початку аналізу. Для 10-11 класів - М.: «Освіта» 1993
Колмогоров, Абрамов, Дудніцин. Алгебра та початку аналізу. Для 10-11 класів. - М.: «Освіта», 1990.
А.Г. Мордкович. Алгебра та початку аналізу. Частина 1 Підручник 10-11 класи. - М.: "Мнемозіна", 2004.

Однорідні

На даному уроці ми розглянемо так звані однорідні диференціальні рівняння першого порядку. Поряд з рівняннями з змінними, що розділяютьсяі лінійними неоднорідними рівняннямицей тип ДУ зустрічається практично в будь-якій контрольній роботі на тему дифурів. Якщо Ви зайшли на сторінку з пошуковика або не дуже впевнено орієнтуєтеся в диференціальних рівняннях, то спочатку рекомендую пропрацювати вступний урок на тему – Диференціальні рівняння першого порядку. Справа в тому, що багато принципів вирішення однорідних рівнянь і використовувані технічні прийоми будуть точно такими ж, як і для найпростіших рівнянь з змінними, що розділяються.

У чому відмінність однорідних диференціальних рівнянь з інших типів ДУ? Це найпростіше відразу ж пояснити на конкретному прикладі.

Приклад 1

Рішення:
Що в першу чергуслід проаналізувати під час вирішення будь-якогодиференціального рівняння першого порядку? Насамперед необхідно перевірити, а чи не можна одразу розділити змінні за допомогою «шкільних» дій? Зазвичай такий аналіз проводять подумки чи намагаються розділити змінні на чернетці.

У цьому прикладі змінні розділити не можна(можете спробувати перекидати доданки з частини до частини, піднести множники за дужки тощо). До речі, у цьому прикладі, те що, що змінні поділити не можна, досить очевидний через наявність множника .

Виникає питання – як вирішити цей диффур?

Потрібно перевірити, а чи не є дане рівняння однорідним? Перевірка нескладна, і алгоритм перевірки можна сформулювати так:

У вихідне рівняння:

замістьпідставляємо , замістьпідставляємо , похідну не чіпаємо:

Літера лямбда – це умовний параметр, і тут він грає наступну роль: якщо в результаті перетворень вдасться «знищити» ВСІ лямбди і отримати вихідне рівняння, то це диференціальне рівняння є однорідним.

Очевидно, що лямбди відразу скорочуються у показнику ступеня:

Тепер у правій частині виносимо лямбду за дужки:

і обидві частини ділимо на цю саму лямбду:

В результаті Уселямбди зникли як сон, як ранковий туман, і ми отримали початкове рівняння.

Висновок:Дане рівняння є однорідним

Як розв'язати однорідне диференціальне рівняння?

У мене дуже гарна новина. Абсолютно всі однорідні рівняння можна вирішити за допомогою однієї-єдиної (!) стандартної заміни.

Функцію «гравець» слідує замінити творомдеякої функції (теж залежить від «ікс»)та «ікса»:

Майже завжди пишуть коротко:

З'ясовуємо, на що перетвориться похідна за такої заміни, використовуємо правило диференціювання твору. Якщо то:

Підставляємо і у вихідне рівняння:

Що дасть така заміна? Після цієї заміни та проведених спрощень ми гарантованоотримаємо рівняння з змінними, що розділяються. ЗАПАМ'ЯТАЄМОяк перше кохання:) і, відповідно, .

Після підстановки проводимо максимальні спрощення:

Оскільки – це функція, яка від «икс», її похідну можна записати стандартним дробом: .
Таким чином:

Розділяємо змінні, при цьому в лівій частині потрібно зібрати лише «те», а в правій частині – лише «ікси»:

Змінні розділені, інтегруємо:

Згідно з моєю першою технічною порадою зі статті Диференціальні рівняння першого порядкуконстанту у часто доцільно «оформити» як логарифма.

Після того, як рівняння проінтегроване, потрібно провести зворотну заміну, Вона теж стандартна і єдина:
Якщо то
В даному випадку:

У 18-19 випадках із 20 рішення однорідного рівняння записують у вигляді загального інтегралу.

Відповідь:загальний інтеграл:

Чому майже завжди відповідь однорідного рівняння дається як загального інтеграла?
У більшості випадків неможливо виразити «гравець» у явному вигляді (отримати загальне рішення), а якщо і можливо, то найчастіше загальне рішення виходить громіздким та кострубатим.

Так, наприклад, у розглянутому прикладі, загальне рішення можна отримати, навішуємо логарифми на обидві частини загального інтеграла:

- Ну, ще куди не йшло. Хоча, погодьтеся, все одно кривувато.

До речі, у цьому прикладі я не зовсім «пристойно» записав загальний інтеграл. Це не помилка, але у «хорошому» стилі, нагадую, загальний інтеграл прийнято записувати як . Для цього відразу після інтегрування рівняння константу слід записати без жодного логарифму. (ось і виняток із правила!):

І після зворотної заміни отримати загальний інтеграл у «класичному» вигляді:

Отриману відповідь можна перевірити. Для цього потрібно продиференціювати загальний інтеграл, тобто знайти похідну від функції, заданої неявно:

Позбавляємося дробів, помножуючи кожну частину рівняння на :

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, рішення знайдено правильно.

Бажано завжди проводити перевірку. Але однорідні рівняння неприємні тим, що перевіряти їх загальні інтеграли зазвичай важко – для цього необхідна дуже пристойна техніка диференціювання. У розглянутому прикладі під час перевірки вже довелося знаходити не найпростіші похідні (хоча сам собою приклад досить простий). Якщо зможете перевірити – перевіряйте!

Приклад 2

Перевірити рівняння на однорідність та знайти його загальний інтеграл.

Відповідь записати у вигляді

Це приклад для самостійного рішення – щоб ви освоїлися у самому алгоритмі дій. Перевірку проведете на дозвіллі, т.к. тут вона досить складна, і я навіть не став її приводити, а то ви більше не прийдете до такого маніяка:)

А тепер обіцяний важливий момент, згаданий ще на початку теми,
виділю жирними чорними літерами:

Якщо під час перетворень ми «скидаємо» множник (не константу)у знаменник, то РИЗИКУЄМО втратити рішення!

І насправді з цим ми зіткнулися в першому прикладі вступного уроку про диференціальні рівняння. У процесі вирішення рівняння «гравець» опинився в знаменнику: , але, очевидно, є рішенням ДУ і в результаті нерівносильного перетворення (поділу) є всі шанси втратити його! Інша річ, що воно увійшло до загального рішення при нульовому значенні константи. Скидання «ікса» у знаменник теж можна брати до уваги, т.к. не задовольняє вихідного дифуру.

Аналогічна історія з третім рівнянням того ж уроку, під час вирішення якого ми «скинули» у знаменник. Строго кажучи, тут слід перевірити, а чи не є рішенням цього дифуру? Адже є! Але і тут все обійшлося, оскільки ця функція увійшла в загальний інтеграл при .

І якщо з рівняннями, що «розділяються», таке часто;) «прокатує», то з однорідними та деякими іншими диффурами може і «не прокатити». З високою імовірністю.

Проаналізуємо вже вирішені завдання цього уроку: Приклад 1був «скидання» ікса, проте може бути рішенням рівняння . А ось у Приклад 2ми розділили на , але це теж «зійшло з рук»: оскільки , то рішення загубитися не могли, їх просто немає. Але «щасливі випадки» я, звичайно, влаштував спеціально, і не факт, що на практиці трапляться саме вони:

Приклад 3

Розв'язати диференціальне рівняння

Чи не так простий приклад? ;-)

Рішення:однорідність цього рівняння очевидна, але все одно – на першому кроціОБОВ'ЯЗКОВО перевіряємо, чи не можна розділити змінні . Бо рівняння теж однорідне, але змінні у ньому спокійнісінько поділяються. Так, бувають такі!

Після перевірки на «розділюваність» проводимо заміну та максимально спрощуємо рівняння:

Розділяємо змінні, ліворуч збираємо "те", праворуч - "ікси":

І ось тут СТОП. При розподілі ми ризикуємо втратити відразу дві функції. Оскільки , це функції:

Перша функція, очевидно, є рішенням рівняння . Перевіряємо другу – підставляємо та її похідну до нашого диффуру:

– отримано правильну рівність, отже, функція є рішенням.

І ці рішення ми ризикуємо втратити.

Крім того, у знаменнику виявився «ікс», проте заміна має на увазі, що він не дорівнює нулю. Запам'ятайте цей факт. Але! Обов'язково перевіряємо, чи є рішенням ВИХІДНОГО диференціального рівняння. Ні не є.

Беремо все це на замітку і продовжуємо:

Треба сказати, що з інтегралом лівої частини пощастило, буває набагато гірше.

Збираємо в правій частині єдиний логарифм і скидаємо пута:

І ось тільки тепер зворотна заміна:

Помножимо всі доданки на:

Тепер слід перевірити – чи увійшли до загального інтегралу «небезпечні» рішення. Так, обидва рішення увійшли в загальний інтеграл при нульовому значенні константи: тому їх не потрібно додатково вказувати в відповіді:

загальний інтеграл:

Перевірка. Навіть не перевірка, а суцільне задоволення:)

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, рішення знайдено правильно.

Для самостійного вирішення:

Приклад 4

Виконати перевірку на однорідність та вирішити диференціальне рівняння

Загальний інтеграл перевірити диференціюванням.

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо кілька прикладів, коли однорідне рівняння поставлено з готовими диференціалами.

Приклад 5

Розв'язати диференціальне рівняння

Це дуже цікавий приклад, прямо цілий трилер!

Рішеннязвикатимемо оформляти компактніше. Спочатку подумки чи чернетці переконуємося у цьому, що змінні тут розділити не можна, після чого проводимо перевірку на однорідність – на чистовику її зазвичай проводять (якщо спеціально не потрібно). Таким чином, майже завжди рішення починається із запису: « Це рівняння є однорідним, проведемо заміну: …».

Якщо однорідне рівняння містить готові диференціали, його можна вирішити модифікованою заміною:

Але я не раджу використовувати таку підстановку, оскільки вийде Велика китайська стіна диференціалів, де потрібне око та око. З технічної точки зору вигідніше перейти до «штрихового» позначення похідної, для цього ділимо всі члени рівняння на:

І вже тут ми здійснили "небезпечне" перетворення!Нульовому диференціалу відповідає - сімейство прямих, паралельних осі. Чи є вони корінням нашого ДУ? Підставимо і у вихідне рівняння:

Ця рівність справедлива, якщо, тобто, при розподілі на ми ризикували втратити рішення, і ми його втратили- так як воно вже не задовольняєотриманому рівнянню .

Слід зауважити, що якби нам від самого початкубуло дано рівняння , то про корені мови не йшлося. Але в нас він є, і ми його вчасно відловили.

Продовжуємо рішення стандартною заміною:
:

Після підстановки максимально спрощуємо рівняння:

Розділяємо змінні:

І ось тут знову СТОП: при розподілі ми ризикуємо втратити дві функції. Оскільки , це функції:

Очевидно, що перша функція є рішенням рівняння . Перевіряємо другу - підставляємо і її похідну:

– отримано правильна рівністьОтже, функція теж є рішенням диференціального рівняння.

І при розподілі на ми ці рішення ризикуємо втратити. Втім, вони можуть увійти до спільного інтегралу. Але можуть і не увійти

Беремо це на замітку та інтегруємо обидві частини:

Інтеграл лівої частини стандартно вирішується за допомогою виділення повного квадрата, але в дифурах набагато зручніше використовувати метод невизначених коефіцієнтів:

Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, розкладемо підінтегральну функцію на суму елементарних дробів:

Таким чином:

Знаходимо інтеграли:

- Так як у нас намалювалися одні логарифми, то константу теж заштовхуємо під логарифм.

Перед зворотною заміною знову спрощуємо все, що можна спростити:

Скидаємо ланцюги:

І зворотна заміна:

Тепер згадуємо про «втрати»: рішення увійшло до загального інтегралу при , а ось – «пролетіло повз касу», т.к. виявилося у знаменнику. Тому у відповіді воно удостоюється окремої фрази, і так – не забуваємо про втрачене рішення, яке, до речі, теж виявилося внизу.

Відповідь:загальний інтеграл: . Ще рішення:

Тут не так важко висловити загальне рішення:
але це вже понти.

Зручні, проте, для перевірки. Знайдемо похідну:

і підставимо у ліву частину рівняння:

– у результаті отримана права частина рівняння, що потрібно перевірити.

Наступний диффур – самостійно:

Приклад 6

Розв'язати диференціальне рівняння

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Спробуйте заразом для тренування і тут висловити загальне рішення.

У заключній частині уроку розглянемо ще кілька характерних завдань на тему:

Приклад 7

Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення:Ідемо второваною дорогою. Дане рівняння є однорідним, проведемо заміну:

З «іксом» тут все гаразд, але що з квадратним тричленом? Оскільки він нерозкладний на множники:, то рішень ми точно не втрачаємо. Завжди так! Виділяємо у лівій частині повний квадрат та інтегруємо:

Спрощувати тут нічого, а тому зворотна заміна:

Відповідь:загальний інтеграл:

Приклад 8

Розв'язати диференціальне рівняння

Це приклад самостійного рішення.

Отже:

При нерівносильних перетвореннях ЗАВЖДИ перевіряйте (принаймні, усно), чи не втрачаєте ви рішення!Які це перетворення? Як правило, скорочення на щось або поділ на щось. Так, наприклад, при розподілі потрібно перевірити, чи є функції рішеннями диференціального рівняння. У той же час при поділі на необхідність у такій перевірці вже відпадає – тому, що цей дільник не звертається до нуля.

Ось ще одна небезпечна ситуація:

Тут, позбавляючись, слід перевірити, чи не є рішенням ДК. Часто як такий множник зустрічається «ікс», «ігрок», і скорочуючи на них, ми втрачаємо функції, які можуть бути рішеннями.

З іншого боку, якщо щось спочатку знаходиться в знаменнику, то приводу для такого занепокоєння немає. Так, в однорідному рівнянні можна не турбуватися про функцію, оскільки вона «заявлена» у знаменнику.

Перелічені тонкощі не втрачають актуальності, навіть якщо завдання потребує знайти лише приватне рішення. Існує нехай маленький, але шанс, що ми втратимо саме потрібне приватне рішення. Щоправда завдання Кошіу практичних завданнях з однорідними рівняннями вимагають досить рідко. Проте такі приклади є у статті Рівняння, що зводяться до одноріднихя рекомендую вивчити «за гарячими слідами» щоб закріпити свої навички рішення.

Існують і складніші однорідні рівняння. Складність полягає не в заміні змінної або спрощення, а в досить важких або рідкісних інтегралах, які виникають в результаті поділу змінних. У мене є приклади рішень таких однорідних рівнянь – страшні інтеграли та страшні відповіді. Але про них не будемо, бо на найближчих уроках (див. нижче)ще встигну вас закатувати я хочу вас бачити свіжими та оптимістичними!

Успішного просування!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення:перевіримо рівняння на однорідність, для цього вихідне рівняння замістьпідставимо, а замістьпідставимо:

В результаті отримано вихідне рівняння, отже дане ДК є однорідним.

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку - це рівняння виду
де f - функція.

Як визначити однорідне диференціальне рівняння

Для того щоб визначити, чи є диференціальне рівняння першого порядку однорідним, потрібно ввести постійну t і замінити y на ty і x на tx : y → ty , x → tx . Якщо t скоротиться, то це однорідне диференціальне рівняння. Похідна y′ за такого перетворення не змінюється.
.

приклад

Визначити, чи є дане рівняння однорідним

Рішення

Робимо заміну y → ty, x → tx.

Ділимо на t 2 .

.
Рівняння не містить t. Отже, це однорідне рівняння.

Метод вирішення однорідного диференціального рівняння

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку приводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки y = ux . Покажемо це. Розглянемо рівняння:
(i)
Робимо підстановку:
y = ux,
де u - функція від x. Диференціюємо по x:
y′ =
Підставляємо у вихідне рівняння (i).
,
,
(ii) .
Розділяємо змінні. Помножуємо на dx та ділимо на x (f(u) - u).

При f (u) - u ≠ 0та x ≠ 0 отримуємо:

Інтегруємо:

Таким чином, ми отримали загальний інтеграл рівняння (i)у квадратурах:

Замінимо постійну інтегрування C на ln Cтоді

Опустимо знак модуля, оскільки потрібний знак визначається вибором постійного знака C . Тоді загальний інтеграл набуде вигляду:

Далі слід розглянути випадок f (u) - u = 0.
Якщо це рівняння має коріння, то вони є рішенням рівняння (ii). Оскільки рівняння (ii)не збігається з вихідним рівнянням, слід переконатися, що додаткові рішення задовольняють вихідному рівнянню (i).

Щоразу, коли ми, у процесі перетворень, ділимо якесь рівняння на деяку функцію, яку позначимо як g (x, y), то подальші перетворення справедливі при g (x, y) ≠ 0. Тому слід окремо розглядати випадок g (x, y) = 0.

Приклад розв'язання однорідного диференціального рівняння першого порядку

Вирішити рівняння

Рішення

Перевіримо, чи є дане рівняння однорідним. Робимо заміну y → ty, x → tx. У цьому y′ → y′ .
,
,
.
Скорочуємо на t.

Постійна t скоротилася. Тому рівняння є однорідним.

Робимо підстановку y = ux, де u - функція від x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Підставляємо у вихідне рівняння.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , | X | = x. При x ≤ 0 , | X | = - x. Ми пишемо | x | = x маючи на увазі, що верхній знак відноситься до значень x ≥ 0 , а нижній - до значень x ≤ 0 .
,
Множимо на dx і ділимо на .

У u 2 - 1 ≠ 0 маємо:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні,
.

Застосуємо формулу:
(a + b) (a - b) = a 2 - b 2.
Покладемо a = u , .
.
Візьмемо обидві частини за модулем і логарифмуємо,
.
Звідси
.

Таким чином маємо:
,
.
Опускаємо знак модуля, оскільки потрібний знак забезпечується вибором постійного знака C .

Помножуємо на x і підставляємо ux = y.
,
.
Зводимо у квадрат.
,
,
.

Тепер розглянемо випадок, u 2 - 1 = 0 .
Коріння цього рівняння
.
Легко переконатися, що функції y = x задовольняють вихідне рівняння.

Відповідь

,
,
.

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Наприклад, функція
- однорідна функція першого виміру, оскільки

- однорідна функція третього виміру, оскільки

- однорідна функція нульового виміру, оскільки

, тобто.
.

Визначення 2. Диференціальне рівняння першого порядку y" = f(x, y) називається однорідним, якщо функція f(x, y) є однорідна функція нульового виміру щодо x і y, або, як кажуть, f(x, y) - однорідна функція ступеня нуль.

Його можна уявити у вигляді

що дозволяє визначити однорідне рівняння як таке диференціальне, яке можна перетворити на вигляд (3.3).

Заміна
приводить однорідне рівняння до рівняння з змінними, що розділяються. Справді, після підстановки у =xzотримаємо
,
Розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо:

Приклад 1. Розв'язати рівняння.

Δ Вважаємо у =zx,
Підставляємо ці висловлювання y і dyна дане рівняння:
або
Розділяємо змінні:
та інтегруємо:
,

Замінюючи zна , отримаємо
.

приклад 2. Знайти загальне рішення рівняння.

Δ У даному рівнянні P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy– однорідні функції другого виміру, отже, це рівняння є однорідним. Його можна уявити у вигляді
і вирішувати так само, як і подане вище. Але використовуємо іншу форму запису. Покладемо y = zx, звідки dy = zdx + xdz. Підставляючи ці вирази у вихідне рівняння, матимемо

dx+2 zxdz = 0 .

Розділяємо змінні, вважаючи

Інтегруємо почленно це рівняння

, звідки

тобто
. Повертаючись до колишньої функції
знаходимо загальне рішення


Приклад 3 . Знайти загальне рішення рівняння
.

Δ Ланцюжок перетворень: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

лекція 8.

4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Тут - вільний член, званий також правою частиною рівняння. У цьому вигляді розглядатимемо лінійне рівняння надалі.

Якщо
0, то рівняння (4.1а) називається лінійним неоднорідним. Якщо ж
0, то рівняння набуває вигляду

і називається лінійним однорідним.

Назва рівняння (4.1а) пояснюється тим, що невідома функція y та її похідна входять до нього лінійно, тобто. у першому ступені.

У лінійному однорідному рівнянні змінні поділяються. Переписавши його у вигляді
звідки
та інтегруючи, отримуємо:
,Тобто.

При розподілі на втрачаємо рішення
. Однак воно може бути включене до знайденого сімейства рішень (4.3), якщо вважати, що Зможе приймати значення 0.

Існує кілька методів розв'язання рівняння (4.1а). Згідно методом Бернуллі, рішення шукається у вигляді виконання двох функцій від х:

Одна з цих функцій може бути обрана довільно, оскільки лише твір uv має задовольняти вихідне рівняння, інша визначається на підставі рівняння (4.1а).

Диференціюючи обидві частини рівності (4.4), знаходимо
.

Підставляючи отриманий вираз похідної , а також значення у на рівняння (4.1а), отримуємо
, або

тобто. як функція vвізьмемо рішення однорідного лінійного рівняння (4.6):

(Тут Cписати обов'язково, інакше вийде не загальне, а часткове рішення).

Таким чином, бачимо, що в результаті використовуваної підстановки (4.4) рівняння (4.1а) зводиться до двох рівнянь з змінними (4.6) і (4.7), що розділяються.

Підставляючи
і v(x) у формулу (4.4), остаточно отримуємо

приклад 1. Знайти загальне рішення рівняння

 Покладемо
тоді
. Підставляючи вирази і у вихідне рівняння, отримаємо
або
(*)

Прирівняємо нулю коефіцієнт при :

Розділяючи змінні в отриманому рівнянні, маємо

(довільну постійну C не пишемо), звідси v= x. Знайдене значення vпідставляємо в рівняння (*):

,
,
.

Отже,
загальне рішення вихідного рівняння.

Зазначимо, що рівняння (*) можна було записати в еквівалентному вигляді:

Довільно вибираючи функцію u, а не v, ми могли вважати
. Цей шлях рішення відрізняється від розглянутого лише заміною vна u(і, отже, uна v), так що остаточне значення увиявляється тим самим.

З викладеного вище отримуємо алгоритм рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку.

Зазначимо далі, що іноді рівняння першого порядку стає лінійним, якщо увважати незалежною змінною, а x- Залежної, тобто. поміняти ролі x і y. Це можна зробити за умови, що xі dxвходять до рівняння лінійно.

Приклад 2 . Вирішити рівняння
.

На вигляд це рівняння не є лінійним щодо функції у.

Однак якщо розглядати xяк функцію від у, то, враховуючи, що
,його можна привести до вигляду

(4.1 б)

Замінивши на ,отримаємо
або
. Розділивши обидві частини останнього рівняння на твір ydy, приведемо його до вигляду

, або
. (**)

Тут P(y)=,
. Це лінійне рівняння щодо x. Вважаємо
,
. Підставляючи ці вирази в (**), отримуємо

або
.

Виберемо так, щоб
,
, звідки
;
. Далі маємо
,
,
.

Т.к.
, то приходимо до загального рішення даного рівняння у вигляді

.

Зазначимо, що рівняння (4.1а) P(x) та Q (x) можуть входити не тільки у вигляді функцій від x, а й констант: P= a,Q= b. Лінійне рівняння

можна вирішувати і за допомогою підстановки y= uv та поділом змінних:

;
.

Звідси
;
;
; де
. Звільняючись від логарифму, отримуємо загальне рішення рівняння

(тут
).

При b= 0 приходимо до вирішення рівняння

(Див. рівняння показового зростання (2.4) при
).

Спочатку інтегруємо відповідне однорідне рівняння (4.2). Як зазначено вище, його рішення має вигляд (4.3). Вважатимемо співмножник Зв (4.3) функцією від х, тобто. по суті робимо заміну змінною

звідки, інтегруючи, знаходимо

Зазначимо, що згідно з (4.14) (див. також (4.9)), загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння дорівнює сумі загального рішення відповідного однорідного рівняння (4.3) та окремого рішення неоднорідного рівняння, що визначається другим складником, що входить до (4.14) (і 4.9)).

При вирішенні конкретних рівнянь слід повторювати наведені вище викладки, а не використовувати громіздку формулу (4.14).

Застосуємо метод Лагранжа до рівняння, розглянутого в приклад 1 :

Інтегруємо відповідне однорідне рівняння
.

Розділяючи змінні, отримуємо
і далі
. Рішення виразу формулою y = Cx. Рішення вихідного рівняння шукаємо у вигляді y = C(x)x. Підставивши цей вираз у задане рівняння, отримаємо
;
;
,
. Загальне рішення вихідного рівняння має вигляд