Вирішення раціональних нерівностей онлайн. Вирішення систем лінійних нерівностей графічно

Виду ах 2 + bх + 0 0, де (замість знака > можливо, зрозуміло, будь-який інший знак нерівності). Всі необхідні для вирішення таких нерівностей фактами теорії ми з вами маємо, в чому зараз і переконаємося.

Приклад 1. Вирішити нерівність:

а) х 2 - 2х - 3> 0; б) х 2 - 2х - 3< 0;
в) х 2 - 2х - 3> 0; г) х 2 - 2х - 3< 0.
Рішення,

а) Розглянемо параболу у = х 2 - 2х - 3, зображену на рис. 117.

Вирішити нерівність х 2 - 2х - 3 > 0 - це означає відповісти на питання, за яких значень х ординати точок параболи позитивні.

Помічаємо, що у > 0, тобто графік функції розташований вище за осі х, при х< -1 или при х > 3.

Отже, рішеннями нерівності є всі точки відкритого променя(- 00 , - 1), і навіть всі точки відкритого променя (3, +00).

Використовуючи знак U (знак поєднання множин), відповідь можна записати так: (-00 , - 1) U (3, +00). Втім, відповідь можна записати й так: х< - 1; х > 3.

б) Нерівність х 2 - 2х - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: графікрозташований нижче за осі х, якщо -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

в) Нерівність х 2 - 2х - 3 > 0 відрізняється від нерівності х 2 - 2х - 3 > 0 тим, що у відповідь треба включити і коріння рівняння х 2 - 2х - 3 = 0, тобто точки х = -1

і х = 3. Таким чином, рішеннями даної не суворої нерівності є всі точки променя (-00 , - 1], а також усі точки променя .

Практичні математики зазвичай говорять так: навіщо нам, вирішуючи нерівність ах 2 + bх + с > 0, акуратно будувати параболу графік квадратичної функції

у = ах 2 + bх + с (як це було зроблено на прикладі 1)? Досить створити схематичний малюнок графіка, навіщо слід лише визначити корінняквадратного тричлена (точки перетину параболи з віссю х) і визначити, куди спрямовані гілки параболи – вгору чи вниз. Цей схематичний малюнок дасть наочне тлумачення розв'язання нерівності.

приклад 2.Вирішити нерівність - 2х 2 + Зх + 9< 0.
Рішення.

1) Знайдемо коріння квадратного тричлена – 2х2+Зх+9: х1=3; х 2 = - 1,5.

2) Парабола, що служить графіком функції у = -2х 2 + Зх + 9, перетинає вісь х у точках 3 і - 1,5, а гілки параболи спрямовані вниз, оскільки старший коефіцієнт- Негативне число - 2. На рис. 118 представлений малюнок графіка.

3) Використовуючи рис. 118, робимо висновок: у< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Відповідь: х< -1,5; х > 3.

приклад 3.Вирішити нерівність 4х 2 - 4х + 1< 0.
Рішення.

1) З рівняння 4х 2 - 4х + 1 = 0 знаходимо.

2) Квадратний тричлен має один корінь; це означає, що парабола, яка є графіком квадратного тричлена, не перетинає вісь х, а стосується її в точці . Гілки параболи спрямовані нагору (рис. 119.)

3) За допомогою геометричної моделі, наведеної на рис. 119, встановлюємо, що задана нерівність виконується тільки в точці, оскільки при всіх інших значеннях х ординати графіка позитивні.
Відповідь: .
Ви, напевно, помітили, що фактично у прикладах 1, 2, 3 використовувався цілком певний алгоритмрозв'язання квадратних нерівностей, оформимо його.

Алгоритм розв'язання квадратної нерівності ах 2 + bх + 0 0 (ах 2 + bх + с< 0)

На першому етапі цього алгоритму потрібно знайти коріння квадратного тричлена. Але ж коріння може і не існувати, що ж робити? Тоді алгоритм не застосовується, отже, треба міркувати якось інакше. Ключ до цих міркувань дають такі теореми.

Іншими словами, якщо D< 0, а >0, то нерівність ах 2 + bх + с > 0 виконується за всіх х; навпаки, нерівність ах 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Доведення. Графіком функціїу = ах 2 + bх + с є парабола, гілки якої спрямовані вгору (оскільки а > 0) і яка не перетинає вісь х, тому що коріння у квадратного тричлена за умовою немає. Графік подано на рис. 120. Бачимо, що при всіх х графік розташований вище за осі х, а це означає, що при всіх х виконується нерівність ах 2 + bх + с > 0, що й вимагалося довести.

Іншими словами, якщо D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 немає рішень.

Доведення. Графіком функції у = ах 2 + bх +с є парабола, гілки якої спрямовані вниз (оскільки а< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Приклад 4. Вирішити нерівність:

а) 2х 2 - х + 4> 0; б) -х 2 + Зх - 8> 0.

а) Знайдемо дискримінант квадратного тричлена 2х 2 - х + 4. Маємо D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Старший коефіцієнт тричлена (число 2) позитивний.

Значить, за теоремою 1, при всіх х виконується нерівність 2x 2 - х + 4> 0, тобто рішенням заданої нерівності служить вся (-00 + 00).

б) Знайдемо дискримінант квадратного тричлена - х 2 + Зх - 8. Маємо D = З2 - 4 (-1) (-8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Відповідь: а) (-00 + 00); б) немає рішень.

У наступному прикладі ми познайомимося ще з одним способом міркувань, який застосовується під час вирішення квадратних нерівностей.

Приклад 5.Вирішити нерівність Зх 2 - 10х + 3< 0.
Рішення. Розкладемо квадратний тричлен Зx 2 – 10x + 3 на множники. Корінням тричлена є числа 3 і тому скориставшись ах 2 + bх + с = а (х - x 1) (x - х 2), отримаємо Зx 2 - 10х + 3 = 3 (х - 3) (х - )
Зазначимо на числовому прямому корені тричлена: 3 і (рис. 122).

Нехай х> 3; тоді x-3>0 і x->0, отже, і добуток 3(х - 3)(х - ) позитивно. Далі, нехай< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Отже, добуток 3(х-3)(х-) негативний. Нехай, нарешті, х<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) позитивно.

Підсумовуючи міркуванням, приходимо до висновку: знаки квадратного тричлена Зx 2 - 10х + 3 змінюються так, як показано на рис. 122. Нас же цікавить, за яких квадратний тричлен приймає негативні значення. З рис. 122 робимо висновок: квадратний тричлен Зx 2 - 10х + 3 набуває негативних значень для будь-якого значення х з інтервалу (, 3)
Відповідь (, 3), або< х < 3.

Зауваження. Метод міркувань, який ми застосували на прикладі 5, зазвичай називають методом інтервалів (або методом проміжків). Він активно використовується в математиці для вирішення раціональнихнерівностей. У 9-му класі ми вивчимо метод інтервалів детальніше.

Приклад 6. За яких значень параметра р квадратне рівняння х 2 - 5х + р 2 = 0:
а) має два різні корені;

б) має один корінь;

в) не має -коріння?

Рішення. Число коренів квадратного рівняння залежить від знака його дискримінанта D. У цьому випадку знаходимо D = 25-4р2.

а) Квадратне рівняння має два різні корені, якщо D>0, отже, завдання зводиться до розв'язання нерівності 25 - 4р 2 > 0. Помножимо обидві частини цієї нерівності на -1 (не забувши змінити при цьому знак нерівності). Отримаємо рівносильну нерівність 4р 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаки виразу 4(р – 2,5) (р + 2,5) вказані на рис. 123.

Робимо висновок, що нерівність 4(р – 2,5)(р + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратне рівняннямає один корінь, якщо D – 0.
Як ми встановили вище, D = 0 за р = 2,5 або р = -2,5.

Саме при цих значеннях параметра дане квадратне рівняння має тільки один корінь.

в) Квадратне рівняння не має коріння, якщо D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Отримуємо 4р 2 – 25 > 0; 4 (р-2,5) (р + 2,5)> 0, звідки (див. рис. 123) р< -2,5; р >2,5. При цих значеннях параметра дане квадратне рівняння не має коренів.

Відповідь: а) при р(-2,5, 2,5);

б) при р = 2,5 абор = -2,5;
в) при р< - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Навч. для загальноосвіт. установ.- 3-тє вид., доопрацювання. – М.: Мнемозіна, 2001. – 223 с: іл.

Допомога школяру онлайн , Математика для 8 класу скачати , календарно-тематичне планування

див. також Розв'язання задачі лінійного програмування графічно, Канонічна форма задач лінійного програмування

Система обмежень такого завдання складається з нерівностей від двох змінних:
і цільова функція має вигляд F = C 1 x + C 2 y, яку потрібно максимізувати.

Відповімо на запитання: які пари чисел ( x; y) є рішеннями системи нерівностей, т. е. задовольняють кожному з нерівностей одночасно? Інакше кажучи, що означає вирішити систему графічно?
Попередньо необхідно зрозуміти, що є рішенням однієї лінійної нерівності з двома невідомими.
Вирішити лінійну нерівність із двома невідомими – це означає визначити всі пари значень невідомих, у яких нерівність виконується.
Наприклад, нерівності 3 x – 5y≥ 42 задовольняють пари ( x , y): (100, 2); (3, –10) тощо. буд. Завдання полягає у знаходженні всіх таких пар.
Розглянемо дві нерівності: ax + by≤ c, ax + by≥ c. Пряма ax + by = cділить площину на дві напівплощини так, що координати точок однієї з них задовольняють нерівності ax + by >c, а інший нерівності ax + +by <c.
Справді, візьмемо крапку з координатою x = x 0; тоді точка, що лежить на прямій і має абсцису x 0 , має ординату

Нехай для певності a< 0, b>0, c>0. Усі крапки з абсцисою x 0 , що лежать вище P(наприклад, точка М), мають y M>y 0 , а всі крапки, що лежать нижче крапки P, з абсцисою x 0 , мають y N<y 0 . Оскільки x 0 -довільна точка, то завжди з одного боку від прямої будуть знаходитися точки, для яких ax+ by > c, що утворюють напівплощину, а з іншого боку – точки, для яких ax + by< c.

Малюнок 1

Знак нерівності у напівплощині залежить від чисел a, b , c.
Звідси випливає такий спосіб графічного розв'язання систем лінійних нерівностей двох змінних. Для вирішення системи необхідно:

1. Для кожної нерівності виписати рівняння, що відповідає даній нерівності.
2. Побудувати прямі графіки функцій, що задаються рівняннями.
3. Для кожної прямої визначити напівплощину, що задається нерівністю. Для цього взяти довільну точку, що не лежить на прямій, підставити її координати в нерівність. якщо нерівність правильна, то напівплощина, що містить обрану точку, і є рішенням вихідної нерівності. Якщо нерівність неправильна, то напівплощина з іншого боку прямий є безліччю рішень даної нерівності.
4. Щоб вирішити систему нерівностей, необхідно знайти область перетину всіх напівплощин, які є розв'язком кожної нерівності системи.

Ця область може бути порожньою, тоді система нерівностей немає рішень, несовместна. Інакше кажуть, що система є спільною.
Рішень може бути кінцеве число і безліч. Область може бути замкнутий багатокутник або бути необмеженою.

Розглянемо три відповідні приклади.

Приклад 1. Вирішити графічну систему:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• розглянемо рівняння x+y–1=0 та –2x–2y+5=0 , що відповідають нерівностям;
• побудуємо прямі, що задаються цими рівняннями.

Визначимо напівплощини, що задаються нерівностями. Візьмемо довільну точку, хай (0; 0). Розглянемо x+ y– 1 0, підставимо точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. отже, у тій напівплощині, де лежить точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, тобто. напівплощина, що лежить нижче за пряму, є рішенням першої нерівності. Підставивши цю точку (0; 0), по-друге, отримаємо: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, тобто. у напівплощині, де лежить точка (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0, а нас запитували, де –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, отже, в іншій напівплощині – у тій, що вище за пряму.
Знайдемо перетин цих двох напівплощин. Прямі паралельні, тому площини ніде не перетинаються, отже система даних нерівностей розв'язків немає, несовместна.

Приклад 2. Знайти графічно розв'язання системи нерівностей:

Малюнок 3
1. Випишемо рівняння, що відповідають нерівностям, і збудуємо прямі.
x + 2y– 2 = 0

Розглянемо ще один приклад, в якому область рішення системи, що вийшла, не обмежена.

Наприклад, нерівністю є вираз (x> 5).

Види нерівностей:

Якщо \(a\) і \(b\) – це числа або , то нерівність називається числовим. Фактично, це просто порівняння двох чисел. Такі нерівності поділяються на вірніі невірні.

Наприклад:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неправильна числова нерівність, так як \(17+3=20\), а \(20\) менше \(115\) (а не більше або одно).

Якщо ж \(a\) і \(b\) - це вирази, що містять змінну, то у нас нерівність зі змінною. Такі нерівності поділяють за типами залежно від вмісту:

Що таке розв'язання нерівності?

Якщо в нерівність замість змінної підставити якесь число, воно перетвориться на числове.

Якщо це значення для ікса перетворює вихідне нерівність вірне числове, воно називається вирішенням нерівності. Якщо ж ні - то це значення рішенням не є. І щоб вирішити нерівність- Треба знайти всі його рішення (або показати, що їх немає).

Наприклад,якщо ми в лінійну нерівність \(x+6>10\), підставимо замість ікса число \(7\) - отримаємо правильну числову нерівність: \(13>10\). А якщо підставимо \(2\), буде неправильна числова нерівність \(8>10\). Тобто \(7\) - це рішення вихідної нерівності, а \(2\) - ні.

Проте, нерівність (x+6>10) має й інші рішення. Справді, ми отримаємо вірні числові нерівності при підстановці і (5), і (12), і (138) ... І як же нам знайти всі можливі рішення? Для цього використовують Для нашого випадку маємо:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тобто нам підійде будь-яке число більше чотирьох. Тепер слід записати відповідь. Вирішення нерівностей, як правило, записують числовими , додатково позначаючи їх на числовій осі штрихуванням. Для нашого випадку маємо:

Відповідь: \(x\in(4;+\infty)\)

Коли змінюється знак у нерівності?

У нерівностях є одна велика пастка, в яку дуже люблять траплятися учні:

При множенні (або розподілі) нерівності на від'ємне число, змінюється на протилежний («більше» на «менше», «більше чи одно» на «менше чи одно» тощо)

Чому так відбувається? Щоб це зрозуміти, давайте подивимося перетворення числової нерівності \(3>1\). Воно вірне, трійка справді більше одиниці. Спочатку спробуємо помножити його на будь-яке позитивне число, наприклад двійку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Як бачимо, після множення нерівність залишилася вірною. І на яке б позитивне число ми не множили – завжди отримуватимемо правильну нерівність. А тепер спробуємо помножити на негативне число, наприклад мінус трійку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Вийшла неправильна нерівність, адже мінус дев'ять менше, ніж мінус три! Тобто для того, щоб нерівність стала вірною (а значить, перетворення множення на негативне було «законним»), потрібно перевернути знак порівняння, ось так: \(−9<− 3\).
З розподілом вийде аналогічно, можете перевірити самі.

Записане вище правило поширюється попри всі види нерівностей, а чи не лише на числові.

Відповідь: \(x\in(-1;\infty)\)

Нерівності та ОДЗ

Нерівності, як і рівняння можуть мати обмеження на , тобто значення ікса. Відповідно, із проміжку рішень мають бути виключені ті значення, які неприпустимі за ОДЗ.

Приклад: Розв'язати нерівність \(\sqrt(x+1)<3\)

Рішення: Зрозуміло, що для того щоб ліва частина була меншою (3), підкорене вираз має бути менше (9) (адже з (9) саме (3)). Отримуємо:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Всі? Нам підійде будь-яке значення ікса менше (8)? Ні! Тому що якщо ми візьмемо, наприклад, начебто підходяще під вимогу значення \(-5\) - воно рішенням вихідної нерівності не буде, тому що призведе нас до обчислення кореня з негативного числа.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Тому ми повинні враховувати обмеження на значення ікса – він може бути таким, щоб під коренем було негативне число. Таким чином, маємо другу вимогу на ікс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

І щоб ікс був остаточним рішенням, він повинен задовольняти відразу обом вимогам: він повинен бути меншим (8) (щоб бути рішенням) і більше (-1) (щоб бути допустимим у принципі). Наносячи на числову вісь, маємо остаточну відповідь:

Відповідь: \(\left[-1;8\right)\)

Лінійними називаються нерівностіліва і права частина яких є лінійними функціями щодо невідомої величини. До них відносяться, наприклад, нерівності:

2х-1-х +3; 7х0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Суворі нерівності: ax +b>0або ax + b<0

2) Нестрогі нерівності: ax +b≤0або ax + b≫ 0

Розберемо таке завдання. Одна із сторін паралелограма становить 7см. Якою має бути довжина іншої сторони, щоб периметр паралелограма був більшим за 44 см?

Нехай потрібна сторона складе хсм. У такому разі периметр паралелограма буде представлений (14 + 2х) см. Нерівність 14 + 2х > 44 є математичною моделлю задачі про периметр паралелограма. Якщо в цій нерівності замінити змінну хна, наприклад, число 16, то отримаємо правильну числову нерівність 14 + 32 > 44. У такому разі кажуть, що число 16 є розв'язком нерівності 14 + 2х > 44.

Розв'язанням нерівностіназивають значення змінної, яке звертає їх у вірну числову нерівність.

Отже, кожне із чисел 15,1; 20;73 виступають розв'язком нерівності 14 + 2х > 44, а число 10, наприклад, не є його розв'язком.

Розв'язати нерівністьозначає встановити всі рішення чи довести, що рішень немає.

Формулювання розв'язання нерівності подібне до формулювання кореня рівняння. І все ж таки не прийнято позначати «корінь нерівності».

Властивості числових рівностей допомагали вирішувати рівняння. Так само властивості числових нерівностей допоможуть вирішувати нерівності.

Вирішуючи рівняння, ми змінюємо його іншим, простішим рівнянням, але рівнозначним заданому. За такою схемою знаходять відповідь і нерівності. При зміні рівняння на рівнозначне йому рівняння користуються теоремою про перенесення доданків з однієї частини рівняння в протилежну і про множення обох частин рівняння на те саме відмінне від нуля число. При розв'язанні нерівності є суттєва відмінність його з рівнянням, яке полягає в тому, що будь-яке рішення рівняння можна перевірити просто підстановкою у вихідне рівняння. У нерівностях такий спосіб відсутній, оскільки незліченна безліч рішень підставити у вихідну нерівність неможливо. Тому є важливе поняття, ось ці стрілочки<=>- це знак еквівалентних, чи рівносильних, перетворень. Перетворення називаються рівносильними,або еквівалентнимиякщо вони не змінюють безліч рішень.

Подібні правила розв'язання нерівностей.

Якщо якесь доданок перемістити з однієї частини нерівності в іншу, замінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, еквівалентну даному.

Якщо обидві частини нерівності помножити (розділити) на те саме позитивне число, то отримаємо нерівність, еквівалентну даному.

Якщо обидві частини нерівності помножити (розділити) на те саме негативне число, замінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, еквівалентну даному.

Використовуючи ці правилаобчислимо нижченаведені нерівності.

1) Розберемо нерівність 2x - 5 > 9.

Це лінійна нерівність, знайдемо його рішення та обговоримо основні поняття.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 перенесли до лівої частини з протилежним знаком), далі поділили все на 2 і маємо x > 7. Нанесемо багато рішень на вісь x

Нами отримано позитивно спрямований промінь. Зазначимо безліч рішень або як нерівності x > 7, або як інтервалу х(7; ∞). А що є приватним рішенням цієї нерівності? Наприклад, x = 10- це приватне вирішення цієї нерівності, x = 12- це також приватне вирішення цієї нерівності.

Приватних рішень багато, але наше завдання знайти всі рішення. А рішень, як правило, безліч.

Розберемо приклад 2:

2) Вирішити нерівність 4a - 11 > a + 13.

Вирішимо його: аперемістимо в один бік, 11 перемістимо в інший бік, отримаємо 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 нерівність має вигляд a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Теж відобразимо безліч a< 8 , але вже на осі а.

Відповідь чи пишемо як нерівності a< 8, либо а(-∞;8), 8 не вмикається.

Вирішення нерівностей онлайн

Перед тим як вирішувати нерівності, необхідно добре засвоїти, як вирішуються рівняння .

Не важливо якою є нерівність – суворою () або нестрогою (≤, ≥), насамперед приступають до розв'язання рівняння, замінивши знак нерівності на рівність (=).

Пояснимо, що означає вирішити нерівність?

Після вивчення рівнянь у голові у школяра складається така картина: необхідно визначити такі значення змінної, у яких обидві частини рівняння приймають однакові значення. Інакше кажучи, знайти всі точки, у яких виконується рівність. Все правильно!

Коли говорять про нерівності, мають на увазі знаходження інтервалів (відрізків), у яких виконується нерівність. Якщо в нерівності дві змінні, то рішенням будуть не інтервали, а якісь площі на площині. Чи здогадаєтеся самі, що буде рішенням нерівності від трьох змінних?

Як розв'язувати нерівності?

Універсальним способом вирішення нерівностей вважають метод інтервалів (він же метод проміжків), який полягає у визначенні всіх інтервалів, у межах яких виконуватиметься задана нерівність.

Не вдаючись у тип нерівності, у разі це суть, потрібно вирішити відповідне рівняння і його коріння з наступним позначенням цих рішень на числової осі.

Як правильно записувати розв'язання нерівності?

Коли ви визначили інтервали розв'язків нерівності, потрібно грамотно виписати саме рішення. Чи є важливий нюанс – чи входять межі інтервалів у рішення?

Тут все просто. Якщо рішення рівняння задовольняє ОДЗ і нерівність є суворим, межа інтервалу входить у рішення нерівності. Інакше – ні.

Розглядаючи кожен інтервал, рішенням нерівності може бути сам інтервал, або напівінтервал (коли одна з його кордонів задовольняє нерівності), або відрізок – інтервал разом із його межами.

Важливий момент

Не думайте, що розв'язанням нерівності можуть бути лише інтервали, напівінтервали та відрізки. Ні, у рішення можуть входити і окремі точки.

Наприклад, у нерівності |x|≤0 лише одне рішення – це точка 0.

А в нерівності | x |

Навіщо потрібен калькулятор нерівностей?

Калькулятор нерівностей видає правильну підсумкову відповідь. При цьому здебільшого наводиться ілюстрація числової осі або площини. Видно, чи входять межі інтервалів у розв'язання чи ні – крапки відображаються зафарбованими чи проколотими.

Завдяки онлайн калькулятору нерівностей можна перевірити чи правильно ви знайшли коріння рівняння, позначили їх на числовій осі та перевірили на інтервалах (і межах) виконання умови нерівності?

Якщо ваша відповідь розходиться з відповіддю калькулятора, то однозначно потрібно перевірити ще раз своє рішення і виявити допущену помилку.