Вирішення складних логарифмічних нерівностей з різними підставами. Складні логарифмічні нерівності

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Вирішення логарифмічних нерівностей, що містять змінну на підставі логарифму: методи, прийоми, рівносильні переходи вчитель математики МБОУ ЗОШ № 143 Князькіна Т. В.

Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k ( x) − 1) ∨ 0 Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими. Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Не забувайте ОДЗ логарифму! Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Ці чотири нерівності становлять систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і відповідь готова.

Розв'яжіть нерівність: Розв'язання Для початку випишемо ОДЗ логарифму Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останнє доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0 . Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞0)∪(0; + ∞). Тепер вирішуємо основну нерівність: Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше».

Маємо: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Перетворення логарифмічних нерівностей Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами. А саме: Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою; Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом. Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей наступна: Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність; Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів; Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.

Розв'яжіть нерівність: Рішення Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму: Розв'язуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Потім – нулі знаменника: x − 1 = 0; x = 1. Зазначаємо нулі та знаки на координатній прямій:

Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка: Як бачите, трійки в основі і перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх: log 2 (x − 1) 2

(f(x)−g(x)) · (k(x)−1)

Нас цікавить перетин множин, тому обираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) -всі точки виколоти. Відповідь: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Вирішення завдань ЄДІ-2014 типу С3

Розв'яжіть систему нерівностей Розв'язання. ОДЗ:  1) 2)

Розв'яжіть систему нерівностей 3) -7 -3 - 5 х -1 + + + − − (продовження)

Розв'яжіть систему нерівностей 4) Загальне рішення: і -7 -3 - 5 х -1 -8 7 log 2 129 (продовження)

Розв'яжіть нерівність (продовження) -3 3 -1 + − + − х 17 + -3 3 -1 х 17 -4

Розв'яжіть нерівність Розв'язання. ОДЗ: 

Розв'яжіть нерівність (продовження)

Розв'яжіть нерівність Розв'язання. ОДЗ:  -2 1 -1 + − + − х + 2 -2 1 -1 х 2

Вам здається, що до ЄДІ є ще час, і ви встигнете підготуватися? Можливо, це й так. Але в будь-якому випадку, чим раніше школяр починає підготовку, тим успішніше він складає іспити. Сьогодні ми вирішили присвятити статтю логарифмічним нерівностям. Це одне із завдань, а значить, можливість отримати додатковий бал.

Ви знаєте, що таке логарифм(log)? Ми дуже сподіваємося, що так. Але навіть якщо ви не маєте відповіді на це питання, це не проблема. Зрозуміти, що таке логарифм, дуже просто.

Чому саме 4? У такий ступінь потрібно звести число 3, щоб вийшло 81. Коли ви зрозуміли принцип, можна приступати і складніших обчислень.

Нерівності ви проходили ще кілька років тому. І з того часу вони постійно зустрічаються вам у математиці. Якщо у вас є проблеми з розв'язанням нерівностей, ознайомтеся з відповідним розділом.
Тепер, коли ми познайомилися з поняттями окремо, перейдемо до їхнього розгляду загалом.

Найпростіша логарифмічна нерівність.

Найпростіші логарифмічні нерівності не обмежуються цим прикладом, є ще три лише з іншими знаками. Навіщо це потрібно? Щоб повніше зрозуміти, як вирішувати нерівність із логарифмами. Тепер наведемо більш застосовний приклад, все ще досить простий, складні логарифмічні нерівності залишимо потім.

Як це вирішити? Все починається з ОДЗ. Про нього варто знати більше, якщо хочеться завжди легко вирішувати будь-яку нерівність.

Що таке ОДЗ? ОДЗ для логарифмічних нерівностей

Абревіатура розшифровується як область допустимих значень. У завданнях для ЄДІ часто спливає це формулювання. ОДЗ стане вам у нагоді не тільки у випадку логарифмічних нерівностей.

Подивіться ще раз на наведений вище приклад. Ми розглядатимемо ОДЗ, виходячи з нього, щоб ви зрозуміли принцип, і вирішення логарифмічних нерівностей не викликало питань. З визначення логарифму випливає, що 2х+4 має бути більше нуля. У нашому випадку це означає таке.

Це число за визначенням має бути позитивним. Вирішіть нерівність, подану вище. Це можна зробити навіть усно, тут явно, що X не може бути меншим за 2. Вирішення нерівності і буде визначенням області допустимих значень.
Тепер перейдемо до вирішення найпростішої логарифмічної нерівності.

Відкидаємо з обох частин нерівності самі логарифми. Що в результаті залишається? Просте нерівність.

Вирішити його нескладно. X має бути більше -0,5. Тепер поєднуємо два отримані значення системи. Таким чином,

Це і буде область допустимих значень для логарифмічної нерівності, що розглядається.

Навіщо взагалі потрібне ОДЗ? Це можливість відсіяти невірні та неможливі відповіді. Якщо відповідь не входить у область допустимих значень, отже, відповідь просто немає сенсу. Це варто запам'ятати надовго, оскільки в ЄДІ часто трапляється необхідність пошуку ОДЗ, і стосується вона не лише логарифмічних нерівностей.

Алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності

Рішення складається з кількох етапів. По-перше, необхідно знайти область допустимих значень. В ОДЗ буде два значення, це ми розглянули вище. Далі потрібно вирішити саму нерівність. Методи вирішення бувають такими:

метод заміни множників;
декомпозиції;
метод раціоналізації.

Залежно від ситуації варто застосовувати один із перерахованих вище методів. Перейдемо безпосередньо до рішення. Розкриємо найпопулярніший метод, який підходить для вирішення завдань ЄДІ практично у всіх випадках. Далі ми розглянемо спосіб декомпозиції. Він може допомогти, якщо трапилася особливо «хитромудра» нерівність. Отже, алгоритм розв'язання логарифмічної нерівності.

Приклади рішення :

Ми не дарма взяли саме таку нерівність! Зверніть увагу на основу. Запам'ятайте: якщо воно більше одиниці, знак залишається незмінним при знаходженні області допустимих значень; інакше потрібно змінити знак нерівності.

В результаті ми отримуємо нерівність:

Тепер наводимо ліву частину до виду рівняння, що дорівнює нулю. Замість знака "менше" ставимо "рівно", вирішуємо рівняння. Таким чином ми знайдемо ОДЗ. Сподіваємось, що з вирішенням такого простого рівняння у вас не буде проблем. Відповіді -4 та -2. Це ще не все. Потрібно відобразити ці точки на графіці, розставити "+" та "-". Що для цього потрібно зробити? Підставити у вираз числа з інтервалів. Де значення позитивні, там ставимо "+".

Відповідь: не може бути більше -4 і менше -2.

Ми знайшли область допустимих значень тільки для лівої частини, тепер потрібно знайти область допустимих значень правої частини. Це значно легше. Відповідь: -2. Перетинаємо обидві отримані області.

І тільки тепер починаємо вирішувати саму нерівність.

Спростимо його наскільки можливо, щоб вирішувати було легше.

Знову застосовуємо метод інтервалів у рішенні. Опустимо викладки, з ним уже й так усе зрозуміло за попереднім прикладом. Відповідь.

Але цей метод підходить, якщо логарифмічна нерівність має однакові підстави.

Вирішення логарифмічних рівнянь і нерівностей з різними підставами передбачає початкове приведення до однієї основи. Далі застосовуйте описаний вище метод. Але є й складніший випадок. Розглянемо один із найскладніших видів логарифмічних нерівностей.

Логарифмічні нерівності зі змінною основою

Як вирішувати нерівності з такими характеристиками? Так, і такі можуть зустрітися у ЄДІ. Вирішення нерівностей нижченаведеним способом теж корисно позначиться на вашому освітньому процесі. Розберемося у питанні докладним чином. Відкинемо теорію, перейдемо одразу до практики. Щоб вирішувати логарифмічні нерівності, достатньо одного разу ознайомитись із прикладом.

Щоб вирішити логарифмічну нерівність представленого виду, необхідно привести праву частину до логарифму з тією самою підставою. Принцип нагадує рівносильні переходи. У результаті нерівність виглядатиме так.

Власне, залишається створити систему нерівностей без логарифмів. Використовуючи метод раціоналізації, переходимо до рівносильної системи нерівностей. Ви зрозумієте і саме правило, коли підставите відповідні значення та простежите їх зміни. У системі будуть такі нерівності.

Скориставшись методом раціоналізації при розв'язанні нерівностей потрібно пам'ятати таке: з підстави необхідно відняти одиницю, х за визначенням логарифму з обох частин нерівності віднімається (праве з лівого), два вирази перемножуються і виставляються під вихідним знаком по відношенню до нуля.

Подальше рішення здійснюється методом інтервалів, тут усе просто. Вам важливо зрозуміти відмінності у методах вирішення, тоді все почне легко виходити.

У логарифмічних нерівностях багато аспектів. Найпростіші їх вирішувати досить легко. Як зробити так, щоб вирішувати кожну з них без проблем? Усі відповіді ви вже отримали у цій статті. Тепер попереду на вас чекає тривала практика. Постійно практикуйтеся у вирішенні найрізноманітніших завдань у рамках іспиту та зможете отримати найвищий бал. Успіхів вам у вашій непростій справі!

Вирішення найпростіших логарифмічних нерівностей та нерівностей, де основа логарифму фіксована, ми розглядали в минулому уроці .

А що робити, якщо в основі логарифму стоїть змінна?

Тоді нам на допомогу прийде раціоналізація нерівностей.Щоб зрозуміти, як це працює, давайте розглянемо, наприклад, нерівність:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Як годиться, почнемо з ОДЗ.

ОДЗ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

Розв'язання нерівності

Давайте міркувати, якби ми вирішували нерівність із фіксованою основою. Якщо основа більше одиниці, позбавляємося логарифмів, і знак нерівності не змінюється, якщо менше одиниці – змінюється.

Запишемо це у вигляді системи:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1, \\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Для подальших міркувань перенесемо всі праві частини нерівностей вліво.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0, \\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \ left \ ( \ begin (array) (l) 2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Що в нас вийшло? Вийшло, що нам потрібно, щоб вирази `2x-1` та `x^2 - x` були одночасно або позитивними, або негативними. Такий самий результат вийде, якщо ми вирішимо нерівність:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Це нерівність як і як вихідна система правильно, якщо обидва множника або позитивні, або негативні. Виходить можна від логарифмічної нерівності перейти до раціонального (з огляду на це ОДЗ).

Сформулюємо метод раціоналізації логарифмічних нерівностей$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ де `\vee` - це будь-який знак нерівності. (Для знаку `>` ми щойно перевірили справедливість формули. Для інших пропоную перевірити самостійно – так запам'ятається краще).

Повернемося до розв'язання нашої нерівності. Розклавши на дужки (щоб було краще видно нулі функції), отримаємо

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Метод інтервалів дасть таку картину:

(Оскільки нерівність строга і кінці інтервалів нас не цікавлять, вони не зафарбовані.) Як видно, отримані інтервали задовольняють ОДЗ. Отримали відповідь: `(0,\frac(1)(2)) \cup(1,∞)`.

Приклад другий. Розв'язання логарифмічної нерівності зі змінною основою

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ОДЗ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0. \end(array)\right.$$

Розв'язання нерівності

За щойно отриманим нами правилом раціоналізації логарифмічних нерівностей,отримаємо, що ця нерівність тотожна (з урахуванням ОДЗ) наступному:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Поєднавши це рішення з ОДЗ, отримаємо відповідь: `(1,2)`.

Третій приклад. Логарифм від дробу

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ОДЗ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \x>0,\x≠ 1.end(array) \right.$ $

Оскільки система відносно складна, давайте одразу нанесемо розв'язання нерівностей на числову вісь:

Отже, ОДЗ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

Розв'язання нерівності

Представимо `-1` у вигляді логарифму з основою `x`.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

За допомогою раціоналізації логарифмічної нерівностіотримаємо раціональну нерівність:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності становлять систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і відповідь готова.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифму:

Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:

Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити за стандартними правилами роботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:

Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схема розв'язання логарифмічних нерівностей така:

Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
Звести нерівність до стандартної за формулами додавання та віднімання логарифмів;
Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Потім – нулі знаменника:

x − 1 = 0;
x = 1.

Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:

Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меншим за нуль. Маємо:

(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Отримали дві множини:

ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).

Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому обираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.

З ними перебувають усередині логарифмів.

Приклади:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Як вирішувати логарифмічні нерівності:

Будь-яка логарифмічна нерівність потрібно прагнути привести до вигляду $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (символ $˅$ означає будь-який з ). Такий вид дозволяє позбутися логарифмів та їх підстав, зробивши перехід до нерівності виразів під логарифмами, тобто до виду (f(x) ˅ g(x)).

Але при виконанні цього переходу є одна дуже важлива тонкість:
$-$ якщо - число і воно більше 1 - знак нерівності при переході залишається таким,
$-$ якщо основа - число більше 0, але менше 1 (лежить між нулем та одиницею), то знак нерівності повинен змінюватися на протилежний, тобто.

Приклади:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ОДЗ: $8-x>0$
$-x>-8$
$x<8$

Рішення:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Відповідь: ((6; 8))

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ 1))$
ОДЗ: $\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)$
$\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)$ $\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x>2\x > -1\end(cases) $ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Рішення:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Відповідь: $(2;5]$

Дуже важливо!У будь-якій нерівності перехід від виду $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ до порівняння виразів під логарифмами можна робити тільки якщо:

приклад . Розв'язати нерівність: $\log$$≤-1$

Рішення:

$\log$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Випишемо ОДЗ.
ОДЗ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Розкриваємо дужки, наводимо .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Помножуємо нерівність на (-1), не забувши при цьому перевернути знак порівняння.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Побудуємо числову вісь і відзначимо на ній точки $\frac(7)(3)$ і $\frac(3)(2)$. Зверніть увагу, точка із знаменника – виколота, незважаючи на те, що нерівність не сувора. Справа в тому, що ця точка не буде рішенням, тому що при підстановці в нерівність призведе нас до поділу на нуль.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Тепер на ту ж числову вісь наносимо ОДЗ і записуємо у відповідь проміжок, який потрапляє в ОДЗ.
	Записуємо остаточну відповідь.

Відповідь: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

приклад . Вирішити нерівність: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Рішення:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Випишемо ОДЗ.
ОДЗ: $x>0$	Приступимо до вирішення.
Рішення: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Перед нами типова квадратно-логарифмічна нерівність. Робимо.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Розкладаємо ліву частину нерівності на .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Тепер потрібно повернутись до вихідної змінної – ікса. Для цього перейдемо до , Що має таке ж рішення, і зробимо зворотну заміну.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Перетворюємо $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Робимо перехід до порівняння аргументів. Підстави у логарифмів більше (1), тому знак нерівностей не змінюється.
$\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Поєднаємо рішення нерівності та ОДЗ на одному малюнку.
	Запишемо відповідь.

Відповідь: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Випишемо ОДЗ.
ОДЗ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Розкриваємо дужки, наводимо .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Помножуємо нерівність на (-1), не забувши при цьому перевернути знак порівняння.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Побудуємо числову вісь і відзначимо на ній точки \(\frac(7)(3)\) і \(\frac(3)(2)\). Зверніть увагу, точка із знаменника – виколота, незважаючи на те, що нерівність не сувора. Справа в тому, що ця точка не буде рішенням, тому що при підстановці в нерівність призведе нас до поділу на нуль.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Тепер на ту ж числову вісь наносимо ОДЗ і записуємо у відповідь проміжок, який потрапляє в ОДЗ.
	Записуємо остаточну відповідь.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Випишемо ОДЗ.
ОДЗ: \(x>0\)	Приступимо до вирішення.
Рішення: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Перед нами типова квадратно-логарифмічна нерівність. Робимо.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Розкладаємо ліву частину нерівності на .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Тепер потрібно повернутись до вихідної змінної – ікса. Для цього перейдемо до , Що має таке ж рішення, і зробимо зворотну заміну.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Перетворюємо \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Робимо перехід до порівняння аргументів. Підстави у логарифмів більше (1), тому знак нерівностей не змінюється.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Поєднаємо рішення нерівності та ОДЗ на одному малюнку.
	Запишемо відповідь.