Рішення тригонометричних виразів онлайн із докладним рішенням. Конспект уроку на тему «Тригонометричні висловлювання та їх перетворення

Відеоурок «Спрощення тригонометричних виразів» призначений для формування навичок у учнів у вирішенні тригонометричних завдань із використанням основних тригонометричних тотожностей. У ході відеоуроку розглядаються види тригонометричних тотожностей, приклади розв'язання задач із їх використанням. Застосовуючи наочний посібник, вчителю легко досягти цілей уроку. Яскраве уявлення матеріалу сприяє запам'ятовування важливих моментів. Використання анімаційних ефектів та озвучування дозволяють повністю замінити вчителя на етапі пояснення матеріалу. Таким чином, застосовуючи цей наочний посібник під час уроків математики, вчитель може підвищити ефективність навчання.

На початку відеоуроку оголошується його тема. Потім нагадуються тригонометричні тотожності, вивчені раніше. На екрані відображаються рівності sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, де t≠π/2+πk для kZZ, ctg t=cos t/sin t, правильне для t≠πk, де kϵZ, tg t ctg t=1, при t≠πk/2, де kZ, названі основними тригонометричними тотожностями. Наголошується, що дані тотожності часто застосовуються у вирішенні завдань, де необхідно довести рівність або спростити вираз.

Далі розглядаються приклади застосування даних тотожностей у вирішенні завдань. Спочатку пропонується розглянути розв'язання задач зі спрощення виразів. У прикладі 1 необхідно спростити вираз cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t. Щоб розв'язати приклад, спочатку виноситься за дужки загальний множник cos 2 t. В результаті такого перетворення в дужках виходить вираз 1-cos 2 t, значення якого з основної тотожності тригонометрії дорівнює sin 2 t. Після перетворення виразу очевидна можливість виведення за дужки ще одного загального множника sin 2 t, після чого вираз набуває вигляду sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). З тієї ж основної тотожності виводимо значення виразу в дужках, що дорівнює 1. В результаті спрощення отримуємо cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

У прикладі 2 також вираз cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) необхідно спростити. Так як у чисельниках обох дробів знаходиться вираз cost, його можна вивести за дужки як загальний множник. Потім дроби в дужках приводяться до спільного знаменника перемноженням (1 - sint) (1 + sint). Після приведення подібних доданків у чисельнику залишається 2, а знаменнику 1- sin 2 t. У правій частині екрана нагадується основне тригонометричне тотожність sin 2 t+cos 2 t=1. Використовуючи його, знаходимо знаменник дробу cos 2 t. Після скорочення дробу отримаємо спрощений вид виразу cost/(1-sint)+cost/(1+sint)=2/cost.

Далі розглядаються приклади доказу тотожностей, у яких застосовуються отримані знання основні тотожності тригонометрії. У прикладі 3 необхідно довести тотожність (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t=sin 2 t. У правій частині екрана відображені три тотожності, які знадобляться для доказу - tg t ct = t, t t = cos t / sin t і tg t = sin t / cos t з обмеженнями. Щоб довести тотожність, спочатку розкриваються дужки, після чого утворюється твір, що відображає вираз основного тригонометричного тотожності tg t ct t = 1. Потім, відповідно до тотожності визначення котангенсу, перетворюється ctg 2 t. В результаті перетворень виходить 1-cos 2 t. Користуючись основною тотожністю, знаходимо значення виразу. Таким чином, доведено, що (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t=sin 2 t.

У прикладі 4 необхідно визначити значення виразу tg 2 t+ctg 2 t, якщо tg t+ctg t=6. Щоб обчислити вираз, спочатку зводиться квадрат правою і лівою частиною рівності (tg t+ctg t) 2 =6 2 . Формула скороченого множення нагадується у правій частині екрана. Після розкриття дужок у лівій частині виразу утворюється сума tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, для перетворення якої можна застосувати одне з тригонометричних тотожностей tg t·ctg t=1, вигляд якого нагадується у правій частині екрану. Після перетворення виходить рівність tg 2 t+ctg 2 t=34. Ліва частина рівності збігається з умовою задачі, тому відповідь 34. Завдання вирішене.

Відеоурок «Спрощення тригонометричних виразів» рекомендується застосовувати на традиційному шкільному уроці математики. Також матеріал буде корисним вчителю, який здійснює дистанційне навчання. З метою формування навички у вирішенні тригонометричних завдань.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

"Спрощення тригонометричних виразів".

Рівності

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус квадрат те плюс косинус квадрат те одно одному)

2) tgt =, при t ≠ + πk, kϵZ(тангенс те дорівнює відношенню синуса тек до косинусу тэ при те не рівному пи на два плюс піку, ка належить сет)

3) ctgt = , при t ≠ πk, kϵZ(котангенс те дорівнює відношенню косинуса тек до синуса те при те не рівному піку, ка належить сет).

4) tgt ∙ ctgt = 1 при t ≠ , kϵZ (твір тангенсу те на котангенс те дорівнює одному при те не рівному піку, поділеному на два, ка належить сет)

називають основними тригонометричними тотожностями.

Часто вони використовуються при спрощенні та доказі тригонометричних виразів.

Розглянемо приклади використання цих формул при спрощенні тригонометричних виразів.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (Вираз косинус квадрат те мінус косинус четвертого ступеня те плюс синус четвертого ступеня те).

Рішення. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t · 1 = sin 2 t

(винесемо за дужку загальний множник косинус квадрат те, в дужках отримаємо різницю одиниці і квадрата косинуса те, що дорівнює за першою тотожністю квадрату синуса те. Отримаємо суму синус четвертого ступеня те твори косинус квадрат те і синус квадрат те за дужки, в дужках отримаємо суму квадратів косинуса і синуса, що здебільшого тригонометричному тотожності дорівнює одиниці.

ПРИКЛАД 2. Спростити вираз: + .

(Вираження бе сума двох дробів у чисельнику першої косинус те в знаменнику одиниця мінус синус те, у чисельнику другий косинус те в знаменнику другий одиниця плюс синус те).

(Винесемо загальний множник косинус те за дужки, а в дужках приведемо до спільного знаменника, який є твіром один мінус синус те на один плюс синус те.

У чисельнику отримаємо: одиниця плюс синус те плюс одиниця мінус синус те, наводимо подібні, чисельник дорівнює двом після приведення подібних.

У знаменнику можна застосувати формулу скороченого множення (різницю квадратів) і отримати різницю одиниці та квадрата синуса те, що за основною тригонометричною тотожністю

одно квадрату косинуса те. Після скорочення на косинус те отримаємо кінцеву відповідь: дві поділені на косинус те).

Розглянемо приклади використання цих формул за доказом тригонометричних виразів.

ПРИКЛАД 3. Довести тотожність (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (твір різниці квадратів тангенсу е і синуса е на квадрат котангенса е дорівнює квадрату синуса те).

Доведення.

Перетворимо ліву частину рівності:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Розкриємо дужки, з раніше отриманого співвідношення відомо, що добуток квадратів тангенса те на котангенс те дорівнює одиниці. Пригадаємо, що котангенс те дорівнює відношенню косинуса те на синус те, значить, квадрат котангенса це відношення квадрата косинуса те на квадрат синуса те.

Після скорочення на синус квадрат те отримаємо різницю одиниці і косинуса квадрата те, що дорівнює синусу квадрату те). Що і потрібно було довести.

ПРИКЛАД 4. Знайти значення виразу tg 2 t + ctg 2 t, якщо tgt + ctgt = 6.

(Сума квадратів тангенсу те і котангенсу те, якщо сума тангенсу і котангенсу дорівнює шести).

Рішення. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Зведемо обидві частини вихідної рівності квадрат:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (квадрат суми тангенсу те та котангенсу те дорівнює шести в квадраті). Згадаймо формулу скороченого множення: Квадрат суми двох величин дорівнює квадрату першої плюс подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другий. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Отримаємо tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангенс квадрат те плюс подвоєний добуток тангенса те на котангенс те плюс котангенс квадрат те дорівнює тридцяти шести) .

Так як добуток тангенсу те на котангенс те дорівнює одиниці, то tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (сума квадратів тангенса те і котангенса те і двох дорівнює тридцяти шести),

Розділи: Математика

Клас: 11

Заняття 1

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Спрощення тригонометричних виразів.

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (2 години)

Цілі:

Систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням формул тригонометрії та вирішенням найпростіших тригонометричних рівнянь.

Обладнання для уроку:

Структура уроку:

Оргмомент
Тестування на ноутбуках. Обговорення результатів.
Спрощення тригонометричних виразів
Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Пояснення завдання додому.

1. Оргмомент. (2 хв.)

Вчитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку, нагадує у тому, що було дано завдання повторити формули тригонометрії і налаштовує учнів тестування.

2. Тестування. (15хв + 3хв. обговорення)

Мета – перевірити знання тригонометричних формул та вміння їх застосовувати. У кожного учня на парті ноутбук у якому варіант тесту.

Варіантів може бути скільки завгодно, наведу приклад одного з них:

І варіант.

Спростити вирази:

а) основні тригонометричні тотожності

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули додавання

3. sin5x - sin3x;

в) перетворення твору на суму

6. 2sin8y cos3y;

г) формули подвійних кутів

7. 2sin5x cos5x;

д) формули половинних кутів

е) формули потрійних кутів

ж) універсальна підстановка

з) зниження ступеня

16. cos 2 (3x/7);

Учні на ноутбуці напроти кожної формули бачать свої відповіді.

Роботу миттєво перевіряє комп'ютер. Результати висвічуються на великому екрані на загальний огляд.

Також після закінчення роботи з'являються на ноутбуках учнів правильні відповіді. Кожен учень бачить, де зроблено помилку, і які формули йому потрібно повторити.

3. Спрощення тригонометричних виразів. (25 хв.)

Мета – повторити, відпрацювати та закріпити застосування основних формул тригонометрії. Розв'язання задач В7 з ЄДІ.

На даному етапі клас доцільно розбити на групи сильних (працюють самостійно з подальшою перевіркою) та слабких учнів, які працюють із учителем.

Завдання для сильних учнів (заздалегідь підготовлені на друкованій основі). Основний упор зроблений на формули приведення та подвійного кута, згідно з ЄДІ 2011.

Спростити вирази (для сильних учнів):

Паралельно вчитель працює зі слабкими учнями, обговорюючи та вирішуючи під диктовку учнів завдання на екрані.

Обчислити:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Спростити:

Настала черга обговорення результатів роботи сильної групи.

На екрані з'являються відповіді, а також за допомогою відеокамери виводяться роботи 5-ти різних учнів (за одним завданням у кожного).

Слабка група бачить умову та метод рішення. Йде обговорення та аналіз. З використанням технічних засобів це відбувається швидко.

4. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (30 хв.)

Мета – повторити, систематизувати та узагальнити вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь, запис їх коріння. Розв'язання задачі В3.

Будь-яке тригонометричне рівняння, яким би способом ми його не вирішували, призводить до найпростішого.

При виконанні завдання слід звертати увагу учнів на запис коренів рівнянь окремих випадків та загального виду та на відбір коренів в останньому рівнянні.

Розв'язати рівняння:

У відповідь записати найменший позитивний корінь.

5. Самостійна робота (10 хв.)

Мета – перевірка здобутих навичок, виявлення проблем, помилок та шляхів їх усунення.

Пропонується різнорівнева робота на вибір учня.

Варіант на "3"

1) Знайти значення виразу

2) Спростити вираз 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Розв'язати рівняння

Варіант на 4

1) Знайти значення виразу

2) Розв'язати рівняння У відповіді записати найменший позитивний корінь.

Варіант на "5"

1) Знайти tgα, якщо

2) Знайти корінь рівняння У відповідь запишіть найменший позитивний корінь.

6. Підсумок уроку (5 хв.)

Вчитель підбиває підсумки у тому, що у уроці повторили і закріпили тригонометричні формули, рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Задається домашнє завдання (підготовлене на друкованій основі наперед) з вибірковою перевіркою на наступному уроці.

Розв'язати рівняння:

10) У відповіді вказати найменший позитивний корінь.

Заняття 2

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Методи розв'язків тригонометричних рівнянь. Відбір коренів. (2 години)

Цілі:

Узагальнити та систематизувати знання щодо вирішення тригонометричних рівнянь різних типів.
Сприяти розвитку математичного мислення учнів, вмінню спостерігати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати.
Заохочувати учнів до подолання труднощів у процесі розумової діяльності, до самоконтролю, самоаналізу своєї діяльності.

Обладнання для уроку:КРМу, ноутбуки на кожного учня.

Структура уроку:

Оргмомент
Обговорення д/з та одинок. роботи минулого уроку
Повторення методів розв'язків тригонометричних рівнянь.
Розв'язання тригонометричних рівнянь
Відбір коренів у тригонометричних рівняннях.
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Домашнє завдання.

1. Оргмомент (2 хв.)

Вчитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку та план роботи.

2. а) Розбір домашнього завдання (5 хв.)

Мета – перевірити виконання. Одна робота за допомогою відеокамери видається на екран, інші вибірково збираються на перевірку вчителя.

б) Розбір самостійної роботи (3 хв.)

Ціль – розібрати помилки, вказати способи їх подолання.

На екрані відповіді та рішення у учнів заздалегідь видані їх роботи. Швидко йде аналіз.

3. Повторення методів розв'язання тригонометричних рівнянь (5 хв.)

Мета – згадати методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Запитати в учнів, які методи розв'язків тригонометричних рівнянь вони знають. Акцентувати на тому, що є так звані основні методи, що часто використовуються:

заміна змінної,
розкладання на множники,
однорідні рівняння,

і є прикладні методи:

за формулами перетворення суми на твір та твори на суму,
за формулами зниження ступеня,
універсальна тригонометрична підстановка
введення допоміжного кута,
множення на деяку тригонометричну функцію.

Також слід нагадати, що одне рівняння може вирішуватися різними способами.

4. Розв'язання тригонометричних рівнянь (30 хв.)

Мета – заощадити та закріпити знання та навички з цієї теми, підготуватися до рішення С1 з ЄДІ.

Вважаю за доцільне вирішувати разом з учнями рівняння на кожен метод.

Учень диктує рішення, вчитель записує планшет, весь процес відображається на екрані. Це дозволить швидко та ефективно відновити в пам'яті раніше пройдений матеріал.

Розв'язати рівняння:

1) заміна змінної 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) розкладання на множники 3cos(x/3) + 4cos 2(x/3) = 0

3) однорідні рівняння sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) перетворення суми у добуток cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) перетворення твору на суму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) зниження ступеня sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) універсальна тригонометрична підстановка sinx+5cosx+5=0.

Вирішуючи це рівняння, слід зазначити, що використання цього методу веде до звуження області визначення, оскільки синус та косинус замінюється на tg(x/2). Тому, перш ніж виписувати відповідь, потрібно зробити перевірку, чи числа з безлічі π + 2πn, n Z конями даного рівняння.

8) введення допоміжного кута √3sinx + cosx - √2 = 0

9) множення на деяку тригонометричну функцію cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Відбір коренів тригонометричних рівнянь (20 хв.)

Так як в умовах жорсткої конкуренції при вступі до ВНЗ рішення однієї першої частини іспиту недостатньо, слід більшості учнів звертати увагу на завдання другої частини (С1, С2, С3).

Тому мета цього етапу заняття – згадати раніше вивчений матеріал, підготуватися до вирішення задачі С1 із ЄДІ 2011 року.

Існують тригонометричні рівняння, у яких потрібно проводити відбір коренів під час виписки відповіді. Це з деякими обмеженнями, наприклад: знаменник дробу не дорівнює нулю, вираз під коренем парної ступеня неотрицательно, вираз під знаком логарифму позитивно тощо.

Такі рівняння вважаються рівняннями підвищеної складності та у варіанті ЄДІ знаходяться у другій частині, а саме С1.

Вирішити рівняння:

Дріб дорівнює нулю, якщо тоді за допомогою одиничного кола зробимо відбір коренів (див. рисунок 1)

Малюнок 1.

отримаємо x = π + 2πn, n Z

Відповідь: π + 2πn, n Z

На екрані відбір коренів відображається на колі кольорового зображення.

Добуток дорівнює нулю коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а дугою, при цьому, не втрачає сенсу. Тоді

За допомогою одиничного кола відберемо коріння (див. рисунок 2)

Малюнок 2.

Переходимо до системи:

У першому рівнянні системи зробимо заміну log 2 (sinx) = y, отримаємо рівняння тоді , повернемося до системи

за допомогою одиничного кола відберемо коріння (див. рисунок 5),

Малюнок 5.

6. Самостійна робота (15 хв.)

Мета – закріпити та перевірити засвоєння матеріалу, виявити помилки, намітити шляхи їх виправлення.

Робота пропонується у трьох варіантах, заготовлених заздалегідь на друкованій основі, на вибір учнів.

Вирішувати рівняння можна будь-яким способом.

Варіант на "3"

Розв'язати рівняння:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Варіант на 4

Розв'язати рівняння:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Варіант на "5"

Розв'язати рівняння:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. Підсумок уроку, домашнє завдання (5 хв.)

Вчитель підбиває підсумок уроку, ще раз звертає увагу, що тригонометричне рівняння можна вирішити кількома способами. Найкращий спосіб досягнення швидкого результату це той, який найкраще засвоєний конкретним учнем.

При підготовці до іспиту необхідно систематично повторювати формули та методи розв'язування рівнянь.

Домашнє завдання (приготовлене заздалегідь на друкованій основі) лунає та коментуються способи розв'язання деяких рівнянь.

Розв'язати рівняння:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

У тотожних перетвореннях тригонометричних виразівможуть бути використані наступні прийоми алгебри: додавання і віднімання однакових доданків; винесення загального множника за дужки; множення та розподіл на одну й ту саму величину; застосування формул скороченого множення; виділення повного квадрата; розкладання квадратного тричлена на множники; запровадження нових змінних з метою спрощення перетворень.

При перетвореннях тригонометричних виразів, що містять дроби, можна використовувати властивості пропорції, скорочення дробів або приведення дробів до спільного знаменника. Крім того, можна користуватися виділенням цілої частини дробу, множенням чисельника і знаменника дробу на однакову величину, а також по можливості враховувати однорідність чисельника чи знаменника. При необхідності можна представляти дріб у вигляді суми або різниці кількох простіших дробів.

Крім того, застосовуючи всі необхідні методи перетворення тригонометричних виразів, необхідно постійно враховувати обсяг допустимих значень виразів, що перетворюються.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.

Обчислити А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) · cos ( 2x – 7π/2) +
+ sin (3π/2 – x) · sin (2x –5π/2)) 2

Рішення.

З формул приведення випливає:

sin (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x;

sin (2x - 9π/2) = -cos 2x; cos(x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) = sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x - 5π/2) = -cos 2x.

Звідки в силу формул складання аргументів та основної тригонометричної тотожності отримуємо

А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Відповідь: 1.

приклад 2.

Перетворити на твір вираз М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β - sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Рішення.

З формул складання аргументів та формул перетворення суми тригонометричних функцій на твір після відповідного угруповання маємо

М = (cos (α + β) · cos γ - sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β - γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) · 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) · cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β+γ)/2) · cos ((α+β)/2) · cos ((α+γ)/2).

Відповідь: М = 4cos ((α+β)/2) · cos ((α+γ)/2) · cos ((β+γ)/2).

Приклад 3.

Показати, що вираз А = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) приймає для всіх х із R одно і те саме значення. Знайти це значення.

Рішення.

Наведемо два способи вирішення цього завдання. Застосовуючи перший спосіб шляхом виділення повного квадрата і користуючись відповідними основними тригонометричними формулами, отримаємо

А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =

4sin 2 x · sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 - cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Розв'язуючи задачу другим способом, розглянемо А як функцію від х із R і обчислимо її похідну. Після перетворень отримаємо

А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) - 2cos (x - π/6) · sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Звідси через критерій сталості диференційованої на проміжку функції укладаємо, що

А(х) ≡(0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Відповідь: А = 3/4 для x € R.

Основними прийомами доказу тригонометричних тотожностей є:

а)зведення лівої частини тотожності до правої шляхом відповідних перетворень;
б)зведення правої частини тотожності до лівої;
в)зведення правої та лівої частин тотожності одному й тому виду;
г)зведення до нуля різниці лівої та правої частин доказуваного тотожності.

приклад 4.

Перевірити, що cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Рішення.

Перетворюючи праву частину цієї тотожності за відповідними тригонометричними формулами, маємо

4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) =

2cos x · (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x · (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x – cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Права частина тотожності зведена до лівої.

Приклад 5.

Довести, що sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, якщо α, β, γ – внутрішні кути деякого трикутника.

Рішення.

Враховуючи, що α, β, γ – внутрішні кути деякого трикутника, отримуємо, що

α + β + γ = π і, отже, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) · (cos (α + β) =

1/2 · (1 - сos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Вихідна рівність доведена.

Приклад 6.

Довести, що для того, щоб один з кутів α, β, γ трикутника дорівнював 60°, необхідно і достатньо, щоб sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Рішення.

Умова цього завдання передбачає доказ як необхідності, і достатності.

Спочатку доведемо необхідність.

Можна показати, що

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2).

Звідси, враховуючи, що cos (3/2 · 60°) = cos 90° = 0, отримуємо, що якщо один із кутів α, β або γ дорівнює 60°, то

cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0 і, отже, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Доведемо тепер достатністьзазначеної умови.

Якщо sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, то cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0, і тому

або cos (3α/2) = 0, або cos (3β/2) = 0, або cos (3γ/2) = 0.

Отже,

чи 3α/2 = π/2 + πk, тобто. α = π/3 + 2πk/3,

чи 3β/2 = π/2 + πk, тобто. β = π/3 + 2πk/3,

або 3γ/2 = π/2 + πk,

тобто. γ = π/3 + 2πk/3, де k ϵ Z.

З того, що α, β, γ – це кути трикутника, маємо

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Тому для α = π/3 + 2πk/3 або β = π/3 + 2πk/3 або

γ = π/3 + 2πk/3 зі всіх kϵZ підходить тільки k = 0.

Звідки випливає, що α = π/3 = 60°, або β = π/3 = 60°, або γ = π/3 = 60°.

Твердження доведено.

Залишились питання? Не знаєте, як спрощувати тригонометричні вирази?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Розділи: Математика

Клас: 11

Заняття 1

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Спрощення тригонометричних виразів.

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (2 години)

Цілі:

Систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням формул тригонометрії та вирішенням найпростіших тригонометричних рівнянь.

Обладнання для уроку:

Структура уроку:

Оргмомент
Тестування на ноутбуках. Обговорення результатів.
Спрощення тригонометричних виразів
Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Пояснення завдання додому.

1. Оргмомент. (2 хв.)

2. Тестування. (15хв + 3хв. обговорення)

Варіантів може бути скільки завгодно, наведу приклад одного з них:

І варіант.

Спростити вирази:

а) основні тригонометричні тотожності

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули додавання

3. sin5x - sin3x;

в) перетворення твору на суму

6. 2sin8y cos3y;

г) формули подвійних кутів

7. 2sin5x cos5x;

д) формули половинних кутів

е) формули потрійних кутів

ж) універсальна підстановка

з) зниження ступеня

16. cos 2 (3x/7);

Учні на ноутбуці напроти кожної формули бачать свої відповіді.

Роботу миттєво перевіряє комп'ютер. Результати висвічуються на великому екрані на загальний огляд.

3. Спрощення тригонометричних виразів. (25 хв.)

Спростити вирази (для сильних учнів):

Обчислити:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Спростити:

Настала черга обговорення результатів роботи сильної групи.

4. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (30 хв.)

Будь-яке тригонометричне рівняння, яким би способом ми його не вирішували, призводить до найпростішого.

Розв'язати рівняння:

У відповідь записати найменший позитивний корінь.

5. Самостійна робота (10 хв.)

Мета – перевірка здобутих навичок, виявлення проблем, помилок та шляхів їх усунення.

Пропонується різнорівнева робота на вибір учня.

Варіант на "3"

1) Знайти значення виразу

2) Спростити вираз 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Розв'язати рівняння

Варіант на 4

1) Знайти значення виразу

2) Розв'язати рівняння У відповіді записати найменший позитивний корінь.

Варіант на "5"

1) Знайти tgα, якщо

2) Знайти корінь рівняння У відповідь запишіть найменший позитивний корінь.

6. Підсумок уроку (5 хв.)

Розв'язати рівняння:

10) У відповіді вказати найменший позитивний корінь.

Заняття 2

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Методи розв'язків тригонометричних рівнянь. Відбір коренів. (2 години)

Цілі:

Узагальнити та систематизувати знання щодо вирішення тригонометричних рівнянь різних типів.
Сприяти розвитку математичного мислення учнів, вмінню спостерігати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати.
Заохочувати учнів до подолання труднощів у процесі розумової діяльності, до самоконтролю, самоаналізу своєї діяльності.

Обладнання для уроку:КРМу, ноутбуки на кожного учня.

Структура уроку: