Рішення виразів із комплексними числами. Розв'язання задач з комплексними числами

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ

ДЕРЖАВНИЙ ОСВІТНИЙ УСТАНОВА

ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ

«ВОРОНІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА АГЛЕБРИ ТА ГЕОМЕТРІЇ

Комплексні числа

(Вибрані завдання)

ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА

за фахом 050201.65 математика

(З додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)

Виконала: студентка 5 курсу

фізико-математичного

факультету

Науковий керівник:

Вороніж - 2008

1. Введення……………………………………………………...…………..…

2. Комплексні числа (вибрані завдання)

2.1. Комплексні числа в формі алгебри….……...……….….

2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел…………..…

2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел

2.4. Додаток теорії комплексних чисел до вирішення рівнянь 3-го та 4-го ступеня……………..………………………………………………………

2.5. Комплексні числа та параметри………...……………………...….

3. Висновок…………………………………………………….................

4. Список літератури………………………….…………………...............

1. Введення

У програмі математики шкільного курсу теорія чисел вводиться з прикладів множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто. на безлічі дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння за негативного дискримінанта. Тому необхідно було поповнити запас дійсних чисел з допомогою комплексних чисел, котрим квадратний корінь з негативного числа має сенс.

Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тому, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числові системи, про розв'язання широкого класу завдань як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про розв'язання рівнянь алгебри будь-якого ступеня і про вирішення завдань із параметрами.

У цій дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.

У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено рішення задач з комплексними числами в формі алгебри, визначаються операції додавання, віднімання, множення, поділу, операція сполучення для комплексних чисел в формі алгебри, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило вилучення квадратного кореня з комплексного числа.

У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді точок або векторів комплексної площини.

У третій частині розглянуто дії над комплексними числами у тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра та витяг кореня з комплексного числа.

Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-го та 4-го ступенів.

При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа та параметри» використовуються та закріплюються відомості, наведені у попередніх частинах. Серія завдань розділу присвячена визначенню родин ліній у комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ необхідно розв'язати рівняння з параметром (над полем З). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє водночас низку умов. Особливістю розв'язання завдань цього розділу є зведення багатьох із них до розв'язання рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних із параметром.

Особливістю викладу матеріалу кожної частини є початкове введення теоретичних основ, а згодом практичне їх застосування під час вирішення завдань.

Наприкінці дипломної роботи представлено список використаної літератури. У більшості з них досить докладно та доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуто рішення деяких завдань та надано практичні завдання для самостійного вирішення. Особливу увагу хочеться звернути на такі джерела, як:

1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. . Матеріал навчального посібника викладено у вигляді лекційних та практичних занять.

2. Шклярський Д.О., Ченцов Н.М., Яглом І.М. Вибрані завдання та теореми елементарної математики. Арифметика та алгебра. Книга містить 320 завдань, що стосуються алгебри, арифметики та теорії чисел. За своїм характером ці завдання істотно відрізняються від стандартних шкільних завдань.

2. Комплексні числа (вибрані завдання)

2.1. Комплексні числа в формі алгебри

Рішення багатьох завдань математики, фізики зводиться до розв'язання рівнянь алгебри, тобто. рівнянь виду

де a0, a1, …, an дійсні числа. Тому дослідження рівнянь алгебри є одним з найважливіших питань в математиці. Наприклад, дійсних коренів немає квадратне рівняння з негативним дискримінантом. Найпростішим таким рівнянням є рівняння

Щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння

Позначимо цей корінь через

отже,

Отримане вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і уявну частини.

Отже, комплексними числами називаються вирази виду

Комплексні числа виду

Комплексні числа виду

Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними за звичайними правилами алгебри.

Для розв'язання задач із комплексними числами необхідно розібратися з основними визначеннями. Головне завдання цієї оглядової статті - пояснити, що таке комплексні числа, і пред'явити методи вирішення основних завдань з комплексними числами. Отже, комплексним числом називатимемо число виду z = a + bi, де a, b- Речові числа, які називають дійсною і уявною частиною комплексного числа відповідно і позначають a = Re (z), b = Im (z).
iназивається уявною одиницею. i 2 = -1. Зокрема, будь-яке речове число можна вважати комплексним: a = a + 0i, де a - речове. Якщо ж a = 0і b ≠ 0, то число прийнято називати чисто уявним.

Тепер запровадимо операції над комплексними числами.
Розглянемо два комплексні числа z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 i.

Розглянемо z = a + bi.

Безліч комплексних чисел розширює безліч дійсних чисел, яке своєю чергою розширює безліч раціональних чисел тощо. Цей ланцюжок вкладень можна розглянути малюнку: N – натуральні числа, Z – цілі, Q – раціональні, R – речові, C – комплексні.

Подання комплексних чисел

Алгебраїчна форма запису.

Розглянемо комплексне число z = a + bi, така форма запису комплексного числа називається алгебраїчної. Цю форму запису ми вже детально розібрали у попередньому розділі. Досить часто використовують наступний наочний малюнок

Тригонометрична форма.

З малюнка видно, що число z = a + biможна записати інакше. Очевидно, що a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, отже z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) називається аргументом комплексного числа. Таке уявлення комплексного числа називається тригонометричною формою. Тригонометрична форма запису часом дуже зручна. Наприклад, її зручно використовувати для зведення комплексного числа в цілий ступінь, а саме, якщо z = rcos(φ) + rsin(φ)i, то z n = r n cos(n?) + r n sin(n?) i, ця формула називається формулою Муавра.

Показова форма.

Розглянемо z = rcos(φ) + rsin(φ)i- Комплексне число в тригонометричній формі, запишемо в іншому вигляді z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, остання рівність випливає з формули Ейлера, таким чином ми отримали нову форму запису комплексного числа: z = re iφ, яка називається показовою. Така форма запису також дуже зручна для зведення комплексного числа в ступінь: z n = r n e inφ, тут nне обов'язково ціле, а може бути довільним речовим числом. Така форма запису часто використовується на вирішення завдань.

Основна теорема вищої алгебри

Уявімо, що ми маємо квадратне рівняння x 2 + x + 1 = 0 . Очевидно, що дискримінант цього рівняння негативний і речових коренів воно не має, але виявляється, що це рівняння має два різні комплексні корені. Так от, основна теорема вищої алгебри стверджує, що будь-який багаточлен ступеня n має хоча б один комплексний корінь. З цього випливає, що будь-який багаточлен ступеня n має рівно n комплексного коріння з урахуванням їх кратності. Ця теорема є дуже важливим результатом математики і широко застосовується. Простим наслідком цієї теореми є такий результат: існує рівно n різних коренів ступеня n з одиниці.

Основні типи завдань

У цьому розділі будуть розглянуті основні типи найпростіших завдань на комплексні числа. Умовно завдання на комплексні числа можна розбити на такі категорії.

• Виконує найпростіші арифметичні операції над комплексними числами.
• Знаходження коріння багаточленів у комплексних числах.
• Зведення комплексних чисел у ступінь.
• Вилучення коренів із комплексних чисел.
• Застосування комплексних чисел для вирішення інших завдань.

Тепер розглянемо загальні методики розв'язання цих завдань.

Виконання найпростіших арифметичних операцій з комплексними числами відбувається за правилами описаними в першому розділі, якщо комплексні числа представлені в тригонометричній або показовій формах, то в цьому випадку можна перевести їх в форму алгебри і проводити операції за відомими правилами.

Знаходження коренів багаточленів зазвичай зводиться до знаходження коренів квадратного рівняння. Припустимо, що у нас є квадратне рівняння, якщо його дискримінант невід'ємний, то його коріння буде речовим і знаходиться за відомою формулою. Якщо ж дискримінант негативний, тобто D = -1∙a 2, де a- Деяке число, то можна представити дискримінант у вигляді D = (ia) 2, отже √D = i|a|а далі можна скористатися вже відомою формулою для коренів квадратного рівняння.

приклад. Повернемося до згаданого вище квадратного рівняння x2+x+1=0.
Дискримінант D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Тепер з легкістю знайдемо коріння:

Зведення комплексних чисел у ступінь можна виконувати кількома способами. Якщо потрібно звести комплексне число в формі алгебри в невеликий ступінь (2 або 3), то можна зробити це безпосереднім перемноженням, але якщо ступінь більше (у завданнях вона часто буває набагато більше), то потрібно записати це число в тригонометричній або показовій формах і скористатися вже відомими методами.

приклад. Розглянемо z = 1 + i і зведемо до десятого ступеня.
Запишемо z у показовій формі: z = √2 e iπ/4 .
Тоді z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Повернемося до форми алгебри: z 10 = -32i .

Вилучення коренів із комплексних чисел є зворотною операцією по відношенню до операції зведення в ступінь, тому проводиться аналогічним чином. Для отримання коріння досить часто використовується показова форма запису числа.

приклад. Знайдемо все коріння ступеня 3 із одиниці. Для цього знайдемо всі корені рівняння z 3 = 1, коріння шукатимемо у показовій формі.
Підставимо в рівняння: r 3 e 3iφ = 1 або r 3 e 3iφ = e 0 .
Звідси: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, отже φ = 2πk/3.
Різне коріння виходить при φ = 0, 2π/3, 4π/3 .
Отже 1, e i2π/3, e i4π/3 - коріння.
Або в формі алгебри:

Останній тип завдань включає в себе безліч завдань і немає загальних методів їх вирішення. Наведемо простий приклад такого завдання:

Знайти суму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Хоч у формулюванні цього завдання й не йдеться про комплексні числа, але за допомогою їх можна легко вирішити. Для її вирішення використовуються такі уявлення:


Якщо тепер підставити це уявлення у суму, то завдання зводиться до підсумовування звичайної геометричної прогресії.

Висновок

Комплексні числа широко застосовуються в математиці, у цій оглядовій статті було розглянуто основні операції над комплексними числами, описано кілька типів стандартних завдань та коротко описано загальні методи їх вирішення, для більш детального вивчення можливостей комплексних чисел рекомендується використовувати спеціалізовану літературу.

Література

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Для наочності вирішимо таке завдання:

Обчислити \[(z_1\cdot z_2)^(10),\] якщо \

Насамперед звернемо увагу на те, що одне число представлене в алгебраїчній, інше - у тригонометричній формі. Його необхідно спростити та привести до такого вигляду

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).

Вираз говорить про те, що в першу чергу робимо множення і зведення в 10-у ступінь за формулою Муавра. Ця формула сформульована для тригонометричної форми комплексного числа. Отримаємо:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Дотримуючись правил множення комплексних чисел у тригонометричній формі, зробимо таке:

У нашому випадку:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\) pi) (3).

Роблячи дріб [[frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] правильним, приходимо до висновку, що можна "скрутити" 4 обороти [[8\pi рад.):\]

\[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Відповідь: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Дане рівняння можна вирішити ще одним способом, який зводиться до того, щоб привести 2-е число в форму алгебри, після чого виконати множення в формі алгебри, перевести результат в тригонометричну форму і застосувати формулу Муавра:

Де можна вирішити систему рівнянь із комплексними числами онлайн?

Вирішити систему рівнянь можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.