Розв'язання задач за допомогою систем рівнянь. Урок алгебри "Розв'язання задач за допомогою систем рівнянь" (7-й клас)

Вміти вирішувати системи лінійних рівнянь дуже добре, але саме собою рішення систем рівняння - це лише спосіб складніших завдань. За допомогою систем рівнянь можна розв'язувати різні завдання, що зустрічаються нам у житті.

Алгебра - це наука про розв'язання рівнянь та систем рівнянь. Саме таким визначенням користувалися вчені до кінця ХХ століття. Відомий вчений Рене Декарт відомий однією зі своїх праць, яку називають «Метод Декарта». Декарт поклав, що будь-яку задачу можна звести до математичної, будь-яку математичну задачу можна звести до системи алгебри рівнянь. А будь-яку систему можна звести до розв'язання одного рівняння.

На жаль, Декарт не встиг повністю закінчити свій метод, написав не всі його пункти, але дуже гарна ідея.

І тепер і ми, подібно до Декарта, вирішуватимемо завдання за допомогою систем рівнянь, звичайно, не будь-які, а тільки ті, які можна звести до вирішення систем лінійних рівнянь.

Загальна схема розв'язання задачі за допомогою систем рівнянь

Опишемо загальну схему розв'язання задач за допомогою систем рівнянь:

• 1. Для невідомих величин вводимо певні позначення та складаємо систему лінійних рівнянь.
• 2. Вирішуємо отриману систему лінійних рівнянь.
• 3. Використовую введені позначення, записуємо відповідь.

Спробуємо застосувати цю схему на конкретній задачі.

Відомо що, два олівці та три зошити коштують 35 рублів, а два зошити та три олівці коштують 40 рублів. Необхідно з'ясувати, скільки коштують п'ять олівців та шість зошитів.

Рішення:

Нам необхідно знайти, скільки коштує окремо один олівець та один зошит. Якщо такі дані у нас будуть, то вирішити, скільки коштують п'ять олівців і шість зошитів, не важко.

Позначимо за їхню ціну одного олівця в рублях. А у – ціна одного зошита в рублях. Тепер уважно читаємо умову та складаємо рівняння.

«два олівці і три зошити коштують 35 рублів» означає

• 2 * x + 3 * y = 35;

«два зошити і три олівці коштують 40 рублів»

• 3 * x + 2 * y = 40;

Отримуємо систему рівнянь:

(2 * x + 3 * y = 35;
(3 * x + 2 * y = 40;

З першим пунктом покінчено. Тепер необхідно вирішити отриману систему рівнянь будь-яким із відомих способів.

Вирішивши, отримуємо х=10, а y=5.

Повернувшись до вихідних позначень маємо, ціна одного олівця 10 рублів, а ціна одного зошита 5 рублів.

Тема уроку: «Рішення рівнянь за допомогою систем»

Мета: навчити розв'язувати рівняння за допомогою систем.

Завдання:

Навчальні.

Навчити вирішувати рівняння за допомогою систем та закріпити ці знання

Розвиваючі.

Розвиток операцій мислення (узагальнення, аналізу, виділення суттєвого). Розвиток уваги.

Розвиток навичок співробітництва.

Виховні.

Виховання свідомого ставлення до вивчення алгебри.

Виховання прагнення самовдосконалення.

Тип уроку – комбінований.

Хід уроку

Ι.Мотивація до навчальної діяльності.

Ціль: організувати актуалізацію вимог до учня з боку навчальної діяльності.

– Доброго дня, хлопці! Епіграфом нашого уроку будуть слова - "У єдності наша сила".

Тема нашого уроку «Вирішення рівнянь за допомогою систем. Як ви думаєте, чим ми займатимемося на уроці? (Відповіді учнів). Узагальним та закріпимо отримані знання про розв'язання рівнянь за допомогою систем.

ΙΙ. Перевірка домашнього завдання.

Ціль: організувати актуалізацію вивчених способів дій, достатніх для побудови нового знання.

Обміняйтесь, будь ласка, зошитами та перевірте, як виконано завдання одне в одного.

Продовжіть пропозицію «Я знаю на цю тему …», «Я вмію на цю тему….». Скажіть чим відрізняються поняття «знаю» та «умію»?

III. Виявлення місця та причини скрути

Мета: організувати відновлення фіксацію місця утруднення, співвіднесення своїх дій з використовуваними еталонами – визначити знання й уміння, яких бракує вирішення й одного завдання.

Я пропоную вам вирішити наступне рівняння

Скажіть, будь ласка, що ми називаємо рівнянням? ( Рівнянням називається математичне співвідношення, що виражає рівність двох виразів алгебри)

Що означає розв'язати рівняння? ( Вирішити рівняння - значить знайти все його коріння, тобто ті значення x, які звертають рівняння у тотожність, або довести, що коріння немає)

IV. Побудова проекту виходу із скрути

Мета: організувати побудову проекту виходу із скрути.

Як ви вважаєте, що потрібно зробити, щоб вирішити це рівняння за допомогою систем? (Звести в квадрат) Правильно. Який ви знаєте спосіб розв'язання цього рівняння? (Можливі варіанти відповідей: звести в квадрат і зробити перевірку, але при цьому можуть з'явитися зайві корені; ні, не можемо). Потрібно врахувати при вирішенні цього рівняння, що права частина його більше або дорівнює 2.

Яке рівняння ми здобули? (Квадратне). Припустіть, хлопці, чи можна правильно і грамотно вирішити рівняння відразу і повністю? (Ні) А якщо розбити його на складові та вирішити окремо? (Так, можна) Тобто ми можемо сказати, що навіть у рівняннях єдності – сила. Подумайте та скажіть, що є прикладом прояву єдності та сили? (Відповіді: під час війни люди єдині).

Коріння даного рівняння 3 та -23/7. Перший корінь задовольняє нерівності х>2, а другий корінь не задовольняє. Рішенням рівняння є лише один корінь. (Відповідь х = 3)

Діти, зараз при вирішенні цього рівняння ми використовували теорему:

Цією теоремою ми користуватимемося під час вирішення подібних рівнянь. Будь ласка, відкрийте підручник на сторінці 243. Прочитайте ще раз теорему.

V. Первинне закріплення.

Наразі я пропоную вам вирішити наступні рівняння.

Тим, хто займається «5» рівняння під номером один, іншим завдання під номером 2.

(У зошитах рішення записують усі. На дошці записує рішення один, хто навчається. Після рішення відкриваю слайд із правильною відповіддю для завдання під номером 1)

V. Самостійна робота із самоперевіркою.

Мета: організувати самостійне виконання типовими завдань, що навчаються, на новий спосіб дії.

Тест на комп'ютерах.

VI. Включення в систему знань та повторення.

Ціль: організувати виявлення типів завдань, де використовується новий спосіб.

Може ви вже десь зустрічалися з подібними рівняннями? (Це завдання В5,

Тож з чим ми з вами сьогодні познайомилися? Що ви дізналися нового? (Відповіді)

Зараз я знову хочу звернутися до епіграфа нашого уроку «У єдності наша сила». Хлопці, як ви вважаєте, чому до уроку я обрала саме цей епіграф? (Відповіді учнів).

VII . Рефлексія навчальної діяльності.

Мета: організувати оцінювання учнями своєї діяльності під час уроку.

«Хлопці, продовжіть, будь ласка, фразу «На уроці мені вдалося…» (Відповіді учнів.)

VIII . Домашнє завдання.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Вирішуючи завдання з допомогою рівнянь, ми шукали, зазвичай, одне невідоме. Але трапляються й завдання, де є кілька невідомих. Такі завдання прийнято вирішувати у вигляді складання систем рівнянь.

Назустріч один одному з одного міста до іншого, відстань між якими становить 30 км, їдуть два велосипедисти. Припустимо, якщо велосипедист 1 виїде на 2 год раніше свого товариша, всі вони зустрінуться через 2,5 години після від'їзду велосипедиста 2; якщо ж велосипедист 2 виїде 2 години раніше велосипеда 1, то зустріч відбудеться через 3 години після від'їзду першого. З якою швидкістю рухається кожен велосипедист?

Рішення.

1. Визначимо швидкість велосипедиста 1 як х км/год, а швидкість велосипедиста 2 як км/год.

2. Якщо перший велосипедист виїде на 2 год раніше за другий, то, згідно з умовою, він їхатиме до зустрічі 4,5 год, тоді як другий 2,5 години. За 4,5 год перший проїде шлях 4,5 х км, а за 2,5 год другий проїде шлях 2,5 км.

3. Зустріч двох велосипедистів означає, що сумарно проїхали шлях 30 км, тобто. 4,5 х + 2,5 у = 30. Це і є наше перше рівняння.

4. Якщо другий виїде на 2 год раніше першого, то, згідно з умовою, він їхатиме до зустрічі 5 год, тоді як перший – 3 год. Використовуючи міркування, аналогічні викладеним вище міркуванням, приходимо до рівняння:

5. Отже, ми отримали систему рівнянь

(4,5 х + 2,5 у = 30,
(3х + 5у = ​​30).

6. Розв'язавши отриману систему рівнянь, ми знайдемо коріння: х = 5, у = 3.

Т.ч., перший велосипедист їде зі швидкістю 5 км/год, а другий – 3 км/год.

Відповідь: 5 км/год, 3 км/год.

Вкладнику на його заощадження через рік було нараховано 6$ відсоткових грошей. Додавши 44 доларів, вкладник залишив гроші ще на рік. Після закінчення року знову було здійснено нарахування відсотків, і тепер вклад разом із відсотками склав 257,5 $. Яка сума становила внесок спочатку та скільки відсотків нараховує банк?

Рішення.

1. Нехай х ($) – початковий внесок, а у (%) – це відсотки, які нараховуються щорічно.

2. Тоді до кінця року до початкового вкладу додасться (у/100) х $.
З умови отримуємо рівняння (ух/100) = 6.

3. За умовою відомо, що наприкінці року вкладник зробив ще 44 $, отже внесок на початку другого року становив х + 6 + 44, тобто. (Х + 50) $. Таким чином, сума, отримана до кінця другого року з урахуванням нарахування, дорівнювала (х + 50 + (у/100) (х + 50)) $. За умовою ця сума дорівнює 275,5 $. Це дозволило нам скласти друге рівняння:

х + 50 + (у/100) (х + 50) = 257,5

4. Отже, ми отримали систему рівнянь:

((Ух/100) = 6,
(х + 50 + (у/100) (х + 50) = 257,5

Після перетворення системи рівнянь ми отримаємо:

(ху = 600,
(100х + 50у + ху = 20750).

Вирішивши систему рівнянь, ми знайшли два корені: 200 та 1,5. Тільки перше значення задовольняє нашу умову.

Підставимо значення х у рівняння та знайдемо значення у:
якщо x = 200, то у = 3.

Таким чином, початковий внесок становив 200 $, а банк на рік робить нарахування в розмірі 3%.

Відповідь: 200$; 3%.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Цілі:

• навчити дітей розв'язувати задачі за допомогою складання систем рівнянь;
• познайомити та літературною спадщиною рідного краю, згадуючи творчість П.П.Бажова;
• використовувати під час вирішення завдань факти навколишньої дійсності.

ХІД УРОКУ

1. Підготовка до сприйняття матеріалу (перевірка опорних знань)

Вчитель, використовуючи медіапроектор, відновлює раніше вивчену тему. Дітям ставлять запитання їхні передбачувані відповіді, що відтворюються на екрані.

Запитання:

• Подивіться на екран, що ви бачите? ( Презентація . Слайд 1)
• Що таке система рівнянь? ( Презентація . Слайд 2)
• Які способи розв'язання систем рівнянь ви знаєте? ( Презентація . Слайд 3)
• Давайте згадаємо суть застосування кожного способу ( Презентація . Слайди 4, 5, 6).

– Система рівнянь не тільки дозволяє встановити загальне коріння рівнянь, що міститься в ній, але й стає хорошим помічником під час вирішення завдань. У таких завданнях невідомих компонентів більше одного і вони пов'язані один з одним умовою. Сьогодні ми розглянемо завдання, у яких невідомо два будь-які елементи і будемо вчитися вирішувати такі завдання за допомогою складання системи рівнянь.

Діти записують у зошитах число, тему уроку. (Презентація . Слайд 7)

2. Вивчення нової теми

Завдання 1

– Розглянемо для прикладу таке завдання.
Я знаю, що у класі 20 учнів. Серед них є дівчатка та хлопчики. А ще я знаю, що дівчаток більше ніж хлопчиків на 4 особи. Скільки хлопчиків та дівчаток у цьому класі? Відповідь можна дізнатися двома способами: просто перерахувати; 2) вирішити таке завдання: ( Презентація . Слайд 8)
Нехай х – кількість дівчаток
y – кількість хлопчиків
Т.к. хлопчиків та дівчаток разом – 20. Отримаємо рівняння: х + у = 20
З іншого боку, дівчаток більше ніж хлопчиків на 4
Значить, можна отримати наступне рівняння х – у = 4
Об'єднаємо обидва ці рівняння в систему, тому що в кожному рівнянні йдеться про одних і тих же дітей., Отримаємо:
Далі діти самостійно вирішують систему рівнянь на листочках під копірку.

Відповідь:У класі 8 хлопчиків та 12 дівчаток .

3. Самостійна робота у парах

У вас на партах лежать кольорові картки. На екрані з'являться умови завдань. Ви вибираєте для вирішення те завдання, яке розташоване на такому ж кольоровому фоні, що і колір картки. (Слайд 9)

Записують складену систему на тих же листочках під копірку.

Завдання 2

1) У Зоопарку м. Єкатеринбурга, мешкає багато різних тварин. Серед них є ведмеді – бурі та білі. Відомо, що всього в зоопарку мешкає 9 ведмедів, а бурих на 5 ведмедів більше, ніж білих. Скільки білих та бурих ведмедів живе у зоопарку м. Єкатеринбурга?

Рішення:

Відповідь:У зоопарку 2 білих ведмедя та 7 бурих ведмедів.

2) У Зоопарку м. Єкатеринбурга, мешкає багато різних тварин. Серед них є лисиці – чорні та руді. Відомо, що всього у зоопарку живе 7 лисиць, а чорних на 3 лисиці менше, ніж рудих. Скільки чорних та рудих лисиць живе у зоопарку м. Єкатеринбурга?

Рішення

Відповідь:У зоопарку 5 рудих лисиць та 2 чорні лисиці.

Після того, як діти самостійно склали систему рівнянь – листочки здають, перевірка. Вирішуватиме ці системи вони будуть вдома.

– Ви повинні підняти картку, якщо система складена правильно. ( Презентація . Слайд 10)

4. Закріплення матеріалу

- А зараз, я хочу розповісти вам про дуже цікаву людину. Він народився 28 січня 1879 року, в сім'ї майстра Сисертського заводу. І батько, і його дід, і прадід все життя провели на медеплавильних заводах Сисертського гірського округу. У 1899 році він став народним учителем і трудовий шлях почав у глухому уральському селі Шайдуріхе, біля старовинного міста Нев'янська.
З дитинства він прислухався до розповідей робітників про їхнє важке життя, пізніше вивчив багато документів, що розповідають про гірничозаводський Урал. У літні канікули він пішки або велосипедом подорожував уральськими заводами і селами, річкою Чусовою, вивчав працю каменерізів і гранильників, сталеварів і ливарників, розмовляв з ними про таємниці їх ремесла.
Люди говорили, що живе в горах Малахітниця (Гасподиня Мідної гори), охороняє каміння, поруч із нею завжди багато ящірок, а іноді й сама ящіркою обертається.
А звали цю цікаву людину Павло Петрович Бажов . (Презентація . Слайд11)

Чаклун уральський бородатий,
Бажов дарує нам нову оповідь.
«Живинка у справі» – оповідь багата
І повчальний для нас.
У ньому слово кожне лучиться,
Його спрямованість мудра,
Знайдуть, чому тут повчитися,
Будь-якої справи майстра
Важливі в роботі розум і почуття
У праці подвійне єство
«Живинкою у справі» майстерність
Перетворюється мистецтво,
І немає тоді йому меж.
І досконалості немає межі,
Не відірвати тоді від справи
Ні майстрів, ні майстринь.
Їхнє натхнення безмірно,
Очі їх полум'ям горять.
Вони працюють? Неправильно.
Вони – творять.

Дем'ян Бідний

– Ви знаєте його оповіді чи повісті?
- Що означає слово "сказ"?

Оповідь - Це літературний твір, в якому оповідачам є не сам письменник, а інший, вигадана ним людина.

- У оповідях Бажова живе хранителька надр, покровителька уральських рудокопів. Як її звати?
– Господиня Мідної гори . (Презентація . Слайд12 )
– У яких оповідях Бажова зустрічається Хазяйка Мідної гори?

• Малахітова скринька,
• Кам'яна квітка
• Гірський майстер
• Тендітна гілочка
• Таюткіне дзеркальце
• Дві ящірки
• Прикажчикові підошви
• Сочневі камінці

- У оповідях Бажова головними героями виступали і діти ( Презентація . Слайд 13), це такі оповіді як:

• Тяжка витушка
• Срібне копитце
• Тендітна гілочка
• Кам'яна квітка
• Вогневушка-Поскакушка
• Таюткіне дзеркальце
• Малахітова скринька
• Жабреїв ходок
• Блакитна змійка

– У мене в руках книга, в якій зібрано твори П.П.Бажова. Вона називається «Малахітова скринька». У цій книзі різна кількість оповідей та повістей. Книжка велика і в ній багато сторінок.

Завдання 3 (Презентація . Слайд 15)

Я знаю, що 2 оповіді про Господиню Мідної гори та 3 оповіді про героїв-дітей займають 94 сторінки. А 3 розповіді про Господиню Мідної гори та 4 розповіді про героїв дітей займають 133 сторінок. Допоможіть мені дізнатися, скільки сторінок може займати 1 оповідь про Господиню Мідної гори та 1 оповідь про героїв-дітей?

Х стор. - про Х. М.г. 2х + 3у = 94
У стор. - про Д. 3х + 4у = 133
Отримаємо систему

Відповідь: 1 оповідь про ХМг займає 23 сторінки; 1 оповідь про дітей займає 16 сторінок

Завдання 4 (додатково) ( Презентація . Слайд17)

Старий Кокованя дав притулок сироті. Дівчинка Даренка була тямуща і чудова. Зустрілася вона з чарівним козлом, якого прозвали Срібним копитцем. За кожної зустрічі з ним можна було зібрати багато каміння. При першій зустрічі Даренка зібрала два мішечки гранатів та три мішечки малахіту, всього 1300 гр. А при другій зустрічі один мішечок гранатів та два мішечки малахіт, всього 800 грам. Скільки грамів самоцвітів міститься в кожному мішечку з малахітом і в кожному мішечку з гранатом?

Хгр - 1 мішечок малахіту 2у + 3х = 1300
Угр - 1 мішечок граната у + 2х = 800

Отримаємо систему

Відповідь:У 1 мішечку 300гр малахіту та 200гр. граната

– Я пропоную кожному з вас, повернувшись додому, прочитати оповіді Бажова, адже він писав їх для нас.

5. Підбиття підсумків уроку, виставлення оцінок.

- Отже, підіб'ємо підсумки. Яка сьогодні у нас була тема уроку?
- Що нового ви дізналися, чого навчилися?
– Чи залишилися у вас питання, на які вчитель має відповісти на наступному уроці?

6. Домашнє завдання

1. Розв'язати задачу 1 графічним способом.
2. Скласти та розв'язати завдання, в якому ви можете дізнатися вік своїх батьків, за допомогою системи рівнянь.