Рішення дробу привести до загального. Складні вирази з дробами

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Додавання дробів буває двох видів:

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками
2. Додавання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо додавання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, складемо дроби та . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:

приклад 2.Скласти дроби та .

У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбутися неправильного дробу, потрібно виділити в ньому цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко - два розділити на два одно одиниці:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:

Приклад 3. Скласти дроби та .

Знову ж складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:

приклад 4.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.

Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни;

Додавання дробів з різними знаменниками

Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.

Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони мають однакові знаменники.

А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.

Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник.

Потім чисельники та знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.

Приклад 1. Складемо дроби та

Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6

НОК (2 та 3) = 6

Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.

Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.

Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:

Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отже, приклад завершується. Додати виходить.

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца та ще одна шоста піци:

Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).

Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).

Зазначимо, що ми з вами розписали цей приклад дуже докладно. У навчальних закладах не заведено писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Знаходячись у школі, цей приклад нам довелося б записати так:

Але є й зворотний бік медалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.

Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:

1. Знайти НОК знаменників дробів;
2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
4. Скласти дроби, які мають однакові знаменники;
5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;

приклад 2.Знайти значення виразу .

Скористайтеся інструкцією, яка наведена вище.

Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів

Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4

Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу

Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:

Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники

Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:

Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:

Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.

Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити в ньому цілу частину

У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:

Отримали відповідь

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Віднімання дробів буває двох видів:

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками
2. Віднімання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від числа першого числа вирахувати чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб розв'язати цей приклад, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 2.Знайти значення виразу.

Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 3.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:

Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
2. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.

Віднімання дробів з різними знаменниками

Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.

Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12

НОК (3 та 4) = 12

Тепер повертаємось до дробів і

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:

Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отримали відповідь

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци

Це докладна версія рішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:

Приведення дробів і до спільного знаменника може бути зображено за допомогою малюнка. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби будуть зображуватись тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):

Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок — дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.

приклад 2.Знайти значення виразу

Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Знайдемо НОК знаменників цих дробів.

Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:

Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.

Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:

У відповіді вийшов правильний дріб, і начебто нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.

Щоб скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на (НД) чисел 20 і 30.

Отже, знаходимо НОД чисел 20 та 30:

Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник та знаменник дробу на знайдений НОД, тобто на 10

Отримали відповідь

Розмноження дробу на число

Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити тим самим.

Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .

Помножимо чисельник дробу на число 1

Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци

З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:

Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножимо чисельник дробу на 4

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци

А якщо поміняти множимо і множник місцями, то отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:

Розмноження дробів

Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.

приклад 1.Знайти значення виразу.

Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення набуде наступного вигляду:

Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо, у нас є половина піци:

Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:

І взяти від цих трьох шматочків два:

У нас вийде піца. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:

Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:

Іншими словами, йдеться про один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

приклад 3.Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, потрібно чисельник та знаменник даного дробу розділити на найбільший спільний дільник (НДД) чисел 105 та 450.

Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:

Тепер ділимо чисельник та знаменник нашої відповіді на НОД, яку ми зараз знайшли, тобто на 15

Подання цілого числа у вигляді дробу

Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:

Зворотні числа

Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темою математики. Вона називається «зворотні числа».

Визначення. Зворотнім доa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.

Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:

Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.

Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:

Потім помножити цей дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник та знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернутий:

Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:

Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.

Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.

Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.

Розподіл дробу на число

Допустимо, у нас є половина піци:

Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?

Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівні шматочки, кожен з яких складає піци. Значить кожному дістанеться піци.

Розподіл дробів виконується за допомогою зворотних чисел. Зворотні числа дозволяють замінити поділ множенням.

Щоб розділити дріб на число, потрібно цей дріб помножити на число, яке зворотне дільнику.

Користуючись цим правилом, запишемо поділ нашої половини піци на дві частини.

Отже, потрібно розділити дріб на число 2 . Тут поділеним є дріб, а дільником число 2.

Щоб розділити дріб на число 2, потрібно цей дріб помножити на число, зворотне дільнику 2. Зворотний дільнику 2 це дріб . Значить потрібно помножити на

У статті покажемо, як вирішувати дробина простих зрозумілих прикладах. Розберемося, що таке дріб і розглянемо вирішення дробів!

Концепція дробивводиться курс математики починаючи з 6 класу середньої школи.

Дроби мають вигляд: ±X/Y, де Y - знаменник, повідомляє на скільки частин розділили ціле, а X - чисельник, він повідомляє, скільки таких частин взяли. Для наочності візьмемо приклад із тортом:

У першому випадку торт розрізали порівну і взяли половину, тобто. 1/2. У другому випадку торт розрізали на 7 частин, у тому числі взяли 4 частини, тобто. 4/7.

Якщо частина від розподілу одного числа на інше не є цілим числом, її записують у вигляді дробу.

Наприклад, вираз 4:2 = 2 дає ціле число, а ось 4:7 націло не ділиться, тому такий вираз записується у вигляді дробу 4/7.

Іншими словами дріб- це вираз, який позначає розподіл двох чисел або виразів, і який записується за допомогою дробової межі.

Якщо чисельник менший за знаменник - дріб є правильним, якщо навпаки - неправильним. До складу дробу може входити ціле число.

Наприклад, 5 цілих 3/4.

Цей запис означає, що для того, щоб отримати цілу 6, не вистачає однієї частини від чотирьох.

Якщо ви хочете запам'ятати, як вирішувати дроби за 6 клас, вам треба зрозуміти, що вирішення дробів, в основному, зводиться до розуміння кількох простих речей.

• Дріб по суті це вираз частки. Тобто числове вираження того, яку частину становить це значення від одного цілого. Наприклад дріб 3/5 висловлює, що, якщо ми поділили щось ціле на 5 частин і кількість часток чи частин це цього цілого - три.
• Дроб може бути менше 1, наприклад 1/2 (або по суті половина), тоді він правильний. Якщо дріб більше 1, наприклад 3/2(три половини чи з половиною), вона неправильна й у спрощення рішення, краще виділити цілу частину 3/2= 1 ціла 1/2.
• Дроби це такі ж числа, як 1, 3, 10, і навіть 100, тільки числа це не цілі, а дробові. З ними можна виконувати ті самі операції, що з числами. Вважати дроби не складніше, і на конкретних прикладах ми це покажемо.

Як вирішувати дроби. приклади.

До дробів застосовні різні арифметичні операції.

Приведення дробу до спільного знаменника

Наприклад, необхідно порівняти дроби 3/4 та 4/5.

Щоб розв'язати завдання, спочатку знайдемо найменший спільний знаменник, тобто. найменше число, яке ділиться без залишку на кожен із знаменників дробів

Найменший загальний знаменник(4,5) = 20

Потім знаменник обох дробів наводиться до найменшого спільного знаменника

Відповідь: 15/20

Додавання та віднімання дробів

Якщо потрібно порахувати суму двох дробів, їх спочатку призводять до спільного знаменника, потім складають чисельники, при цьому знаменник залишиться без змін. Різниця дробів вважається аналогічним чином, відмінність лише в тому, що чисельники віднімаються.

Наприклад, необхідно знайти суму дробів 1/2 та 1/3

Тепер знайдемо різницю дробів 1/2 та 1/4

Множення та поділ дробів

Тут рішення дробів нескладне, тут усе досить просто:

• Множення - чисельники та знаменники дробів перемножуються між собою;
• Розподіл - спершу отримуємо дріб, обернений до другого дробу, тобто. міняємо місцями її чисельник та знаменник, після чого отримані дроби перемножуємо.

Наприклад:

На цьому про те, як вирішувати дроби, всі. Якщо у вас залишилися якісь питання щодо рішенню дробівЩо то незрозуміло, то пишіть у коментарі і ми обов'язково вам відповімо.

Якщо ви вчитель, то можливо завантажити презентацію для початкової школи буде вам доречним.

Інструкція

Приведення до спільного знаменника.

Нехай дані дроби a/b і c/d.

Чисельник та знаменник першого дробу множиться на НОК/b

Чисельник та знаменник другого дробу множиться на НОК/d

Приклад наведено малюнку.

Для порівняння дробів їх необхідно до спільного знаменника, потім порівняти чисельники. Наприклад, 3/4< 4/5, см. .

Складання та віднімання дробів.

Для знаходження суми двох звичайних дробів їх необхідно привести до спільного знаменника, після чого скласти чисельники, знаменник без змін. Приклад додавання дробів 1/2 і 1/3 наведено на малюнку.

Різниця дробів знаходиться аналогічним чином, після знаходження спільного знаменника, чисельники дробів віднімаються, див. на малюнку.

При множенні звичайних дробів чисельники і знаменники перемножуються між собою.

Щоб розділити два дроби, необхідно дріб другого дробу, тобто. поміняти його чисельник і знаменник, після чого зробити множення отриманих дробів.

Відео на тему

Джерела:

• дроби 5 клас на прикладі
• Основні завдання на дроби

Модульє абсолютною величиною виразу. Для позначення модуля застосовують прямі дужки. В'язні в них значення вважаються взятими за модулем. Рішення модуля полягає в розкритті дужок за певними правилами і знаходження безлічі значень виразу. У більшості випадків модуль розкривається таким чином, що підмодульний вираз отримує ряд позитивних і негативних значень, у тому числі і нульове значення. Виходячи з даних властивостей модуля, складаються і вирішуються далі рівняння та нерівності вихідного виразу.

Інструкція

Запишіть вихідне рівняння з . Для нього розкрийте модуль. Розгляньте кожен підмодульний вираз. Визначте, при якому значенні невідомих величин, що входять до нього, вираз у модульних дужках звертається в нуль.

Для цього прирівняйте підмодульний вираз до нуля і знайдіть рівняння, що вийшло. Напишіть знайдені значення. Так само визначте значення невідомої змінної кожного модуля в заданому рівнянні.

Намалюйте числову пряму і відкладіть отримані значення. Значення змінної в нульовому модулі будуть обмеженнями при розв'язанні модульного рівняння.

У вихідному рівнянні потрібно розкрити модульні , змінюючи знак так, щоб значення змінної відповідали відображеним на числовій прямій. Розв'яжіть отримане рівняння. Знайдене значення змінної перевірте на обмеження модуля. Якщо рішення задовольняє умову, воно є істинним. Коріння, що не задовольняє обмежень, повинні відкидатися.

Аналогічним чином розкривайте модулі вихідного виразу з урахуванням знака і обчислюйте коріння рівняння, що отримується. Запишіть усі отримані корені, що задовольняють нерівності обмеження.

Дробові числа дозволяють виражати у різному вигляді точне значення величини. З дробами можна виконувати самі математичні операції, як і з цілими числами: віднімання, додавання, множення і розподіл. Щоб навчитися вирішувати дроби, треба пам'ятати про деякі їх особливості. Вони залежать від виду дроби, наявності цілої частини загального знаменника. Деякі арифметичні дії після виконання вимагають скорочення дрібної частини результату.

Вам знадобиться

• - Калькулятор

Інструкція

Уважно подивіться на числа. Якщо серед дробів є десяткові та неправильні, іноді зручніше спочатку виконати дії з десятковими, а потім перевести їх у неправильний вигляд. Можете перекласти дробиу такий вид спочатку, записавши значення після коми в чисельник і поставивши 10 знаменник. При необхідності скоротите дріб, розділивши числа вище та нижче на один дільник. Дроби, у яких виділяється ціла частина, приведіть до неправильного вигляду, помноживши її на знаменник і додавши до результату чисельник. Це значення стане новим чисельником дроби. Щоб виділити цілу частину спочатку неправильної дроби, Треба поділити чисельник на знаменник. Цілий результат записати від дроби. А залишок від поділу стане новим чисельником, знаменник дробиу своїй не змінюється. Для дробів із цілою частиною можливе виконання дій окремо спочатку для цілої, а потім для дробової частин. Наприклад, сума 1 2/3 і 2 ¾ може бути обчислена:
- Переведення дробів у неправильний вигляд:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Підсумовування окремо цілих та дробових частин доданків:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Для значень під рисою знайдіть спільний знаменник. Наприклад, для 5/9 та 7/12 загальним знаменником буде 36. Для цього чисельник та знаменник першої дробитреба помножити на 4 (вийде 28/36), а другий – на 3 (вийде 15/36). Тепер можете здійснити розрахунки.

Якщо ви збираєтеся обчислювати суму або різницю дробів, спочатку запишіть знайдений спільний знаменник під межу. Виконайте необхідні дії між чисельниками, а результат запишіть над рисою новою дроби. Таким чином, новим чисельником стане різниця чи сума чисельників початкових дробів.

Для розрахунку добутку дробів перемножте чисельники дробів та запишіть результат на місце чисельника підсумкової дроби. Те саме проробіть для знаменників. При розподілі однієї дробина інший запишіть один дріб, а потім помножте його чисельник на знаменник другого. У цьому знаменник першої дробимножиться відповідно на чисельник другий. У цьому відбувається своєрідний переворот другий дроби(Дільника). Підсумковий дріб буде з результатів множення чисельників та знаменників обох дробів. Нескладно навчитися дроби, записані за умови у вигляді «чотириповерхової» дроби. Якщо поділяє дві дроби, перепишіть їх через роздільник: і продовжіть звичайний поділ.

Для отримання кінцевого результату отриманий дріб скоротить, розділивши чисельник і знаменник на одне ціле число, найбільше можливе в даному випадку. При цьому вище та нижче риси мають бути цілі числа.

Зверніть увагу

Не виконуйте арифметичні дії з дробами, знаменники яких відрізняються. Підберіть таке число, щоб при множенні на нього чисельника та знаменника кожного дробу в результаті знаменники обох дробів дорівнювали.

Корисна порада

При записі дробових чисел ділене пишеться над межею. Ця величина позначається як чисельник дробу. Під рисою записується дільник, чи знаменник, дроби. Наприклад, півтора кілограма рису у вигляді дробу запишеться так: 1 ½ кг рису. Якщо знаменник дробу дорівнює 10, такий дріб називають десятковим. При цьому чисельник (ділене) пишеться праворуч від цілої частини через кому: 1,5 кг рису. Для зручності обчислень такий дріб завжди можна записати в неправильному вигляді: 1 2/10 кг картоплі. Для спрощення можна скоротити значення чисельника та знаменника, поділивши їх на одне ціле число. В даному прикладі можливий поділ на 2. В результаті вийде 1 1/5 кг картоплі. Переконайтеся, що числа, з якими ви збираєтесь виконувати арифметичні дії, представлені в одному вигляді.

Інструкція

Клацніть один раз за пунктом меню «Вставка», а потім виберіть «Символ». Це один із найпростіших способів вставки дробитексту. Полягає він у наступному. У наборі готових символів є дроби. Їх кількість, як правило, невелика, але якщо вам у тексті потрібно написати ½, а не 1/2, то для вас подібний варіант буде найоптимальнішим. Крім того, кількість символів дробів може залежати від шрифту. Наприклад, для шрифту Times New Roman дробів трохи менше, ніж для того ж Arial. Варіювати шрифтами, щоб знайти найоптимальніший варіант, якщо справа стосується простих виразів.

Клацніть по меню «Вставка» та виберіть підпункт «Об'єкт». Перед вами з'явиться вікно із переліком можливих об'єктів для вставки. Виберіть серед них Microsoft Equation 3.0. Ця програма допоможе вам друкувати дроби. Причому не лише дроби, а й складні математичні вирази, що містять різні тригонометричні функції та інші елементи. Двічі клацніть по цьому об'єкту лівою кнопкою мишки. Перед вами з'явиться вікно з багатьма символами.

Щоб надрукувати дріб, виберіть символ, який зображує дріб з порожнім чисельником і знаменником. Клацніть по ньому один раз лівою кнопкою миші. З'явиться додаткове меню, яке уточнює схему самої дроби. Можливо кілька її варіантів. Виберіть найбільш підходящий для вас і клікніть по ньому один раз лівою кнопкою миші.

З дробами учні знайомляться ще у 5 класі. Раніше людей, які вміли чинити дії з дробами, вважали дуже розумними. Першим дробом була 1/2, тобто половина, далі з'явилися 1/3 тощо. Кілька століть приклади вважалися надто складними. Зараз же розроблені докладні правила щодо перетворення дробів, додавання, множення та інших дій. Достатньо трохи розібратися в матеріалі, і рішення даватиметься легко.

Звичайний дріб, який називають простим дробом, записується як розподіл двох чисел: m і n.

M - це ділимо, тобто чисельник дробу, а дільник n називають знаменником.

Виділяють правильні дроби (m< n) а также неправильные (m >n).

Правильна дріб менше одиниці (наприклад 5/6 — це означає, що з одиниці взято 5 елементів; 2/8 — від одиниці взято 2 частини). Неправильний дріб дорівнює або більше 1 (8/7 - одиницею буде 7/7 і плюсом взято ще одну частину).

Так, одиниця, це коли чисельник та знаменник збіглися (3/3, 12/12, 100/100 та інші).

Дії зі звичайними дробами 6 клас

З простими дробами можна робити такі дії:

• Розширювати дріб. Якщо помножити верхню та нижню частину дробу на якесь однакове число (тільки не на нуль), то значення дробу не зміниться (3/5 = 6/10 (просто помножили на 2).
• Скорочення дробів — схоже на розширення, але тут ділять на якесь число.
• Порівнювати. Якщо у двох дробів чисельники однаковими, то більшим виявиться дріб із меншим знаменником. Якщо однакові знаменники, то більше буде дріб із найбільшим чисельником.
• Виконувати додавання та віднімання. При однакових знаменниках це зробити просто (підсумовуємо верхні частини, а нижня не змінюється). При різних доведеться знайти спільний знаменник та додаткові множники.
• Помножити та розділити дроби.

Приклади дій із дробами розглянемо нижче.

Скорочені дроби 6 клас

Скоротити — означає поділити верхню і нижню частину дробу якесь однакове число.

На малюнку представлені найпростіші приклади скорочення. У першому варіанті можна відразу здогадатися, що чисельник та знаменник діляться на 2.

На замітку! Якщо число парне, воно по-любому ділиться на 2. Парні числа — це 2, 4, 6…32 8 (закінчується на парне) тощо.

У другий випадок при розподілі 6 на 18 відразу видно, що числа діляться на 2. Розділивши, отримуємо 3/9. Цей дріб ділиться ще на 3. Тоді у відповіді виходить 1/3. Якщо перемножити обидва дільники: 2 на 3, то вийде 6. Виходить, що дріб був поділений на шістку. Такий поступовий поділ називається послідовним скороченням дробу на спільні дільники.

Хтось одразу поділить на 6, комусь знадобиться поділ частинами. Головне, щоб наприкінці залишився дріб, який вже не скоротити.

Зазначимо, що якщо число складається з цифр, при додаванні яких вийде число, що ділиться на 3, то і первісне також можна скоротити на 3. Приклад: число 341. Складаємо цифри: 3 + 4 + 1 = 8 (8 на 3 не ділиться, значить, число 341 не можна скоротити на 3 без залишку). Інший приклад: 264. Складаємо: 2+6+4=12 (ділиться на 3). Отримуємо: 264: 3 = 88. Це спростить скорочення великих чисел.

Крім методу послідовного скорочення дробу загальні дільники є й інші способи.

НОД - це найбільший дільник для числа. Знайшовши НОД для знаменника та чисельника, можна відразу скоротити дріб на потрібне число. Пошук здійснюється шляхом поступового розподілу кожного числа. Далі дивляться, які дільники збігаються, якщо їх кілька (як на зображенні нижче), то потрібно перемножити.

Змішані дроби 6 клас

Усі неправильні дроби можна перетворити на змішані, виділивши в них цілу частину. Ціла кількість пишеться зліва.

Часто доводиться із неправильного дробу робити змішане число. Процес перетворення з прикладу нижче: 22/4 = 22 ділимо на 4, отримуємо 5 цілих (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Отримуємо 5 цілих і 2/4 (знаменник не змінюється). Оскільки дріб можна скоротити, то ділимо верхню та нижню частину на 2.

Змішане число легко перетворити на неправильний дріб (це необхідно при розподілі та множенні дробів). Для цього: ціле число помножимо на нижню частину дробу та додамо до цього чисельник. Готово. Знаменник не змінюється.

Обчислення з дробами 6 клас

Змішані числа можна складати. Якщо знаменники однакові, зробити це просто: складаємо цілі частини і чисельники, знаменник залишається дома.

При додаванні чисел з різними знаменниками процес складніший. Спочатку наводимо числа до одного найменшого знаменника (НОЗ).

У прикладі нижче для чисел 9 та 6 знаменником буде 18. Після цього потрібні додаткові множники. Щоб їх знайти, слід розділити 18 на 9, так знаходиться додаткове число — 2. Його множимо на чисельник 4 вийшов дріб 8/18). Те саме роблять і з другим дробом. Перетворені дроби вже складаємо (цілі числа та чисельники окремо, знаменник не змінюємо). У прикладі відповідь довелося перетворити на правильний дріб (спочатку чисельник виявився більшим за знаменник).

Зверніть увагу, що при різниці дробів алгоритм дій такий самий.

При множенні дробів важливо помістити обидві під одну межу. Якщо число змішане, то перетворюємо його на простий дріб. Далі множимо верхню та нижню частини та записуємо відповідь. Якщо видно, що дроби можна скоротити, скорочуємо відразу.

У цьому прикладі скорочувати нічого не довелося, просто записали відповідь і виділили цілу частину.

У цьому прикладі довелося скоротити числа під однією межею. Хоча скорочувати можна і готову відповідь.

При розподілі алгоритм майже такий самий. Спочатку перетворюємо змішаний дріб на неправильний, потім записуємо числа під однією рисою, замінивши поділ множенням. Не забуваємо верхню і нижню частину другого дробу поміняти місцями (це правило поділу дробів).

При необхідності скорочуємо числа (у прикладі нижче скоротили на п'ятірку та двійку). Неправильний дріб перетворимо, виділивши цілу частину.

Основні завдання на дроби 6 клас

На відео показано ще кілька завдань. Для наочності використано графічні зображення рішень, які допоможуть наочно подати дроби.

Приклади множення дробу 6 клас із поясненнями

дроби, Що Перемножуються, записуються під однією лінією. Після цього їх скорочують шляхом розподілу на ті самі числа (наприклад, 15 в знаменнику і 5 в чисельнику можна розділити на п'ятірку).

Порівняння дробів 6 клас

Щоб порівняти дроби, потрібно запам'ятати два прості правила.

Правило 1. Якщо знаменники різні

Правило 2. Коли знаменники однакові

Наприклад, порівняємо дроби 7/12 та 2/3.

1. Дивимося на знаменники, вони не збігаються. Значить, потрібно знайти загальний.
2. Для дробів загальним знаменником буде 12.
3. Ділимо 12 спочатку на нижню частину першого дробу: 12: 12 = 1 (це дод. множник для 1-го дробу).
4. Тепер 12 ділимо на 3, отримуємо 4 - дод. множник 2-го дробу.
5. Помножуємо отримані цифри на чисельники, щоб перетворити дроби: 1 х 7 = 7 (перший дріб: 7/12); 4 х 2 = 8 (другий дріб: 8/12).
6. Тепер можемо порівнювати: 7/12 та 8/12. Вийшло: 7/12< 8/12.

Щоб репрезентувати дроби краще, можна для наочності використовувати малюнки, де предмет ділиться на частини (наприклад, торт). Якщо потрібно порівняти 4/7 і 2/3, то першому випадку торт ділять на 7 частин і вибирають 4 їх. У другому ділять на 3 частини і беруть 2. Неозброєним поглядом буде зрозуміло, що 2/3 буде більше 4/7.

Приклади з дробами 6 клас для тренування

Як тренування можна виконати такі завдання.

• Порівняти дроби

• виконати множення

Порада: якщо складно знайти найменший загальний знаменник у дробів (особливо якщо значення їх невеликі), то можна перемножити знаменник першого і другого дробу. Приклад: 2/8 та 5/9. Знайти їх знаменник просто: 8 множимо на 9, вийде 72.

Розв'язання рівнянь із дробами 6 клас

У вирішенні рівнянь потрібно згадати дії з дробами: множення, розподіл, віднімання та додавання. Якщо невідомий один із множників, то добуток (підсумок) ділиться на відомий множник, тобто дроби перемножуються (другий перевертається).

Якщо невідомо ділене, то знаменник множиться на дільник, а пошуку дільника потрібно ділене розділити на приватне.

Наведемо прості приклади розв'язання рівнянь:

Тут потрібно лише зробити різницю дробів, не призводячи до спільного знаменника.

Відповідь вийшла у вигляді неправильного дробу. Її можна перетворити на 1 цілу і 3/5.

У другому способі чисельник та знаменник помножили на 4, щоб скоротити нижню частину, а не перевертати знаменник.

Дріб- Число, яке складається з цілого числа часток одиниці і подається у вигляді: a/b

Чисельник дробу (a)- Число, що знаходиться над рисою дробу і показує кількість часток, на які була поділена одиниця.

Знаменник дробу (b)- Число, що знаходиться під межею дробу і показує на скільки часток поділили одиницю.

2. Приведення дробів до спільного знаменника

3. Арифметичні події над звичайними дробами

3.1. Додавання звичайних дробів

3.2. Віднімання звичайних дробів

3.3. Розмноження звичайних дробів

3.4. Розподіл звичайних дробів

4. Взаємно зворотні числа

5. Десяткові дроби

6. Арифметичні дії над десятковими дробами

6.1. Додавання десяткових дробів

6.2. Віднімання десяткових дробів

6.3. Розмноження десяткових дробів

6.4. Розподіл десяткових дробів

#1. Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю, то вийде дріб, рівний даній.

3/7=3*3/7*3=9/21, тобто 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - так виглядає основна властивість дробу.

Іншими словами, ми отримаємо дріб, рівний даній, помноживши або розділивши чисельник і знаменник вихідного дробу на те саме натуральне число.

Якщо ad=bc, то два дроби a/b =c /d вважаються рівними.

Наприклад, дроби 3/5 та 9/15 будуть рівними, оскільки 3*15=5*9, тобто 45=45

Скорочення дробу- це процес заміни дробу, при якому новий дріб виходить рівним вихідним, але з меншим чисельником і знаменником.

Скорочувати дроби прийнято, спираючись на основну властивість дробу.

Наприклад, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (числитель і знаменник ділиться на число 3, 5 і 15 ).

Нескоротний дріб- це дріб виду 3/4 ​ ​ , де чисельник та знаменник є взаємно простими числами. Основна мета скорочення дробу - зробити дріб нескоротним.

2. Приведення дробів до спільного знаменника

Щоб привести два дроби до спільного знаменника, треба:

1) розкласти знаменник кожного дробу на прості множники;

2) помножити чисельник і знаменник першого дробу на відсутні

множники із розкладання другого знаменника;

3) помножити чисельник і знаменник другого дробу на множники, що бракують, з першого розкладання.

Приклади: наведіть дроби до спільного знаменника .

Розкладемо знаменники на прості множники: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Помножили чисельник і знаменник дробу недостатній множник 5 з другого розкладання.

чисельник і знаменник дробу на множники 3 і 2 з першого розкладання.

= , 90 - загальний знаменник дробів.

3. Арифметичні події над звичайними дробами

3.1. Додавання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках чисельник першого дробу складають із чисельником другого дробу, залишаючи знаменник колишнім. Як видно з прикладу:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

б) При різних знаменниках дроби спочатку призводять до спільного знаменника, а потім виконують додавання чисельників за правилом а):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Віднімання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, залишаючи знаменник тим самим:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

б) Якщо ж знаменники дробів різні, спочатку дроби призводять до спільного знаменника, та був повторюють дії як у пункті а) .

3.3. Розмноження звичайних дробів

Примноження дробів підпорядковується наступному правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

тобто перемножують окремо чисельники та знаменники.

Наприклад:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Розподіл звичайних дробів

Розподіл дробів виробляють наступним способом:

a/b:c/d=a*d/b*c,

тобто дріб a/b множиться на дріб, зворотний даної, тобто множиться на d/c.

Приклад: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Взаємно зворотні числа

Якщо a*b=1,то число b є зворотним числомдля числа a.

Приклад: для числа 9 оберненим є 1/9 ​ ​ , оскільки 9*1/9 = 1 для числа 5 - зворотне число 1/5 ​ ​ , так як 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Десяткові дроби

Десятичним дробомназивається правильний дріб, знаменник якого дорівнює 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Наприклад: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

У такий же спосіб пишуться неправильні зі знаменником 10^nчи змішані числа.

Наприклад: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

У вигляді десяткового дробу представляється кожен звичайний дріб зі знаменником, який є дільником певного ступеня числа 10 .

менником, який є дільником певного ступеня числа 10 .

Приклад: 5 - дільник числа 100 тому дроб 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Арифметичні дії над десятковими дробами

6.1. Додавання десяткових дробів

Для складання двох десяткових дробів, потрібно їх розташувати так, щоб один під одним виявилися однакові розряди і кома під комою, а потім виконати додавання дробів як звичайних чисел.

6.2. Віднімання десяткових дробів

Виконується аналогічно до додавання.

6.3. Розмноження десяткових дробів

При множенні десяткових чисел достатньо перемножити задані числа, не звертаючи уваги на коми (як натуральні числа), а в отриманій відповіді комою праворуч відокремлюється стільки цифр, скільки їх коштує після коми в обох множниках сумарно.

Давайте виконаємо множення 2,7 на 1,3. Маємо 27 \ cdot 13 = 351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Відокремлюємо праворуч дві цифри коми (у першого та другого числа - одна цифра після коми; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). У результаті отримуємо 2,7 \cdot 1,3 = 3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Якщо в отриманому результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть нулі, що бракують, наприклад:

Для множення на 10, 100, 1000, треба в десятковому дробі перенести кому на 1, 2, 3 цифри вправо (у разі необхідності праворуч приписується певна кількість нулів).

Наприклад: 1,47 \ cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Розподіл десяткових дробів

Розподіл десяткового дробу на натуральне число роблять також, як і розподіл натурального числа на натуральне. Кома в приватному ставиться після того, як закінчено розподіл цілої частини.

Якщо ціла частина діленого менше дільника, то у відповіді виходить нуль цілих, наприклад:

Розглянемо розподіл десяткового дробу на десятковий. Нехай потрібно розділити 2,576 на 1,12. Насамперед, помножимо ділене і дільник дробу на 100 , тобто перенесемо кому вправо в ділимому і дільнику на стільки знаків, скільки їх коштує в дільнику після коми (у даному прикладі на дві). Потім потрібно виконати поділ дробу 257,6 на натуральне число 112 тобто завдання зводиться до вже розглянутого випадку:

Буває так, що не завжди виходить кінцевий десятковий дріб при розподілі одного числа на інше. В результаті виходить нескінченний десятковий дріб. У разі переходять до звичайним дробам.

Наприклад, 2,8: 0,09 = 28/10: 9/100 = 28 * 100/10 * 9 = 2800/90 = 280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .