З нестачею з надлишком із округленням тема. Методика вирішення завдань на «надлишок-недолік» в курсі основної загальноосвітньої школи
Округлення з недоліком та надлишком
У попередньому розділі за умови завдання було прохання округлити відповідь до цілого значення.
Найчастіше нам не пропонують округлити відповідь, хоча це треба робити за змістом завдання.
Це відбувається, оскільки треба виконати дію поділу, який часто дає в результаті дробове число.
Але ж не може кількість предметів бути дрібним.
І тоді ми округляємо отримане дрібне число до цілого або з нестачею, або з надлишком.
Коли ж із нестачею, а коли з надлишком?
Розглянемо приклади.
Завдання 1.Один метр тканини коштує 67 руб. Яке найбільше ціле число метрів тканини можна придбати на 850 рублів?
850: 67 = 12,6865 (м) Ціло число метрів 12.
Тут округлили з нестачею, тому що відповідь 12<12, 6865.
Відповідь: 12.
З адача 2. В упаковці 480 шматків крейди. За один навчальний день школа витрачає 300 шматків крейди. Яку найменшу кількість упаковок з крейдою потрібно купити до школи на 6 навчальних днів?
300 · 6 = 1800 Шматків крейди - витрата на 6 днів
1 пачка – 480 шматків крейди
хпачок – 1800 шматків крейди
х= 1800: 480 = 3,75 упаковок Кількість цілих упаковок на 6 днів потрібно 4 шт.
Тут округлили з надлишком, Оскільки відповідь 4>3,75/
Підказка:
Якщо такого завдання потрібно знайти найбільше значення, то відповідь треба округляти з нестачею(брати менше ціле число)
Якщо треба знайти найменше значення, то відповідь треба округляти з надлишком(Брати більше).
Завдання з попередньою дією
Завдання 3.У літньому таборі 172 дитини та 24 вихователі. В автобус розміщується не більше 30 пасажирів. Скільки автобусів потрібно, щоб перевезти всіх із табору до міста?
Усього 172 + 24 = 196 осіб
196: 30 = 6,533 - ціле число автобусів для перевезення всього 7
Відповідь: 7.
Завдання 4. Для приготування маринаду огірків на 1 літр води потрібно 12 г лимонної кислоти. Лимонна кислота продається в пакетиках по 10 г. Яку найменшу кількість пачок потрібно купити господині для приготування 6 літрів маринаду?
Рішення:
Для приготування 6 літрів маринаду потрібно 12 * 6 = 72 г лимонної кислоти. Розділимо 72 на 10.
Отже, потрібно буде купити 8 пакетиків.
Відповідь: 8.
Парні та непарні числа
Парне число = кратне двом (2,4,6,8,10,12,…), непарне – не кратне двом (3,5,7,9,11,13,…).
Завдання 5.На день народження потрібно дарувати букет з непарного числа квітів. Ромашки коштують 25 рублів за штуку. У Вані є 120 рублів. З якого найбільшого числа ромашок може купити букет Маші на день народження?
1 ромашка - 25 р
Значить Ваня зможе купити 4 ромашки. Але треба, щоб кількість ромашок була непарною. Тобто. 3 ромашки.
Акції та бонуси (або ускладнена умова)
Завдання 6.У магазині акція: придбавши 3 коробки цукерок, четверту коробку покупець отримує у подарунок. Яке найбільше число коробок цукерок отримає покупець на 1200 руб., якщо коробка цукерок коштує 160 руб.?
1кор. - 160руб.
хкор. - 1200руб.
х= 1200: 160 = 7,5 кор. Ціла кількість кор. = 7
7: 3 = 2,333кор. Ціла кількість коробок, отриманих у подарунок = 2
7+2=9 кор.
Відповідь: 9.
Завдання 7.Для приготування яблучного варення на 1 кг яблук потрібно кг цукру. Скільки кілограмових упаковок цукру потрібно купити, щоб зварити варення із 7 кг яблук?
1 кг яблук – 1,2 кг цукру
7 кг яблук хкг цукру
х= 7 · 1,2/1 = 8,4 кг цукру
Отже, потрібно для варення 8,4 кг цукру.
У задачі питається: скільки кілограмових упаковок цукру потрібно купити?
Щоби цукру вистачило на варення, 8 упаковок буде недостатньо. Треба купити 9. Одна упаковка не повністю витрачена.
У цьому завдання ми округлили з надлишком.
Завдання 8.В університетську бібліотеку привезли нові підручники із суспільствознавства для 2-3 курсів, по 110 штук для кожного курсу. Усі книги однакові за розміром. У книжковій шафі 6 полиць, на кожній полиці міститься 20 підручників. Скільки шаф можна заповнити новими підручниками?
110 книг · 2 курси = 220 книг
6 полиць · 20 книг = 120 книг вміщується у шафі
Цілком цими книгами заповниться лише одна шафа. Друга шафа буде заповнена не до кінця.
Тут ми округлили з нестачею.
Завдання 9. У літньому таборі кожного учасника покладається 40 р цукру на день. У таборі 166 людей. Скільки кілограмових упаковок цукру знадобиться на весь табір на 5 днів?
Рішення:
166 · 40 = 6640 г цукру,
6640 · 5 = 33200 р - на 5 днів.
33200: 1000 = 33,2.
Округлюємо з надлишком до цілого значення.
Якщо у вас виникли запитання чи побажання, пишіть у коментарях.
Вміння вирішувати хімічні завдання – важлива складова знань на предмет. Згідно з державним стандартом освіти з хімії учні, які закінчують школу, повинні вміти вирішувати понад десять типів стандартних завдань. Серед них і завдання на «надлишок-недолік».
Пропоную свій варіант подачі матеріалу щодо вирішення таких завдань у курсі хімії 9-го класу.
На вивчення цієї теми відводжу 2–2,5 уроки, залежно від рівня здібностей учнів класу. Ознайомлення з алгоритмом розв'язання завдань даного типу відбувається у рамках вивчення теми «Теорія електролітичної дисоціації». Однак якщо клас сильний, то в рамках експерименту цей тип завдань іноді вивчаємо і в кінці 8-го класу в розділі «Галогени», а час, що вивільнився, можна витратити на вивчення органічної хімії в курсі 9-го класу.
На першому уроці розбираю два типи завдань на «надлишок-недолік»:
одна з двох речовин, що вступили в реакцію, дано в надлишку;
обидва речовини, що вступили в реакцію, витрачаються на взаємодію один з одним без залишку, тобто дані в стехіометричних кількостях.
Як домашнє завдання обов'язково пропонуються дві-три завдання, подібні до вивчених на уроці.
На другому уроці закріплюю та поглиблюю вивчений матеріал, вводжу поняття «відсоткова концентрація розчинів речовин», що вступили в реакцію, «щільність розчинів». Крім того, ускладнюю завдання, вводячи «відсотковий вміст домішок у вихідній речовині» тощо. Такий прийом дозволяє повторити елементи вже вивченого матеріалу, заощадити час. Наприкінці другого уроку вивчення теми чи початку третього проводжу невелику самостійну роботу закріплення вивченого матеріалу, куди входять одну-две завдання, причому самостійна робота пропонується у трьох рівнях складності, залежно від здібностей учня.
Урок 1
Розв'язання задач на «надлишок-недолік»
Цілі.
- навчити алгоритм вирішення завдань нового типу;
- закріпити навички усного рахунку;
- повторити правила розрахунку відносних молекулярних мас;
- закріпити правила грамотного оформлення умови завдання;
- формувати навички хімічного мислення, логіки, а також сприяти вихованню гармонійної, всебічно розвиненої особистості.
ХІД УРОКУ
Розглянемо варіант, коли одна з речовин, що вступили в реакцію, дано в надлишку, інше - в нестачі.
Вирішуючи хімічні завдання, слід забувати про правила їх грамотного оформлення за схемою: дано, знайти, рішення, відповідь.
ЗАВДАННЯ 1.На 47 г оксиду калію подіяли розчином, що містить 40 г азотної кислоти. Знайдіть масу нітрату калію, що утворився.
Дано :
m(K 2 O) = 47 г,
m(HNO 3) = 40 р.Знайти :
m(КNO 3).
Рішення
M r(K 2 O) = 2 A r(K) + 1 A r(O) = 2 39 + 1 16 = 94,
M r(HNO 3) = 1 A r(H) + 1 A r(N) + 3 A r(O) = 1 1 + 1 14 + 3 16 = 63,
M r(KNO 3) = 1 A r(K) + 1 A r(N) + 3 A r(O) = 139 + 114 + 316 = 101.
Для зручності розрахунку за х 1приймемо масу НNО 3 і знайдемо, яку з речовин, що вступили в реакцію, дано в надлишку, яке – у нестачі.
47/94 = х 1/126,х 1= 63 р.
Отже, азотна кислота дана в нестачі, тому що за умовою її 40 г, а за розрахунком необхідно 63 г, тому розрахунок ведемо за HNO 3:
40/126 = х/202, х= 64 р.
Відповідь . m(КNO 3) = 64 р.
ЗАВДАННЯ 2. На 24 г металевого магнію подіяли 100 г 30% розчину соляної кислоти. Знайдіть масу хлориду магнію, що утворився.
Дано :
m(Mg) = 24 г,
m(Р-р HCl) = 100 г,
(HCl) = 30%.Знайти :
m(MgCl 2).
Рішення
Розрахуємо відносні молекулярні маси речовин, що нас цікавлять:
M r(HCl) = 1 A r(H) + 1 A r(Cl) = 1 + 35,5 = 36,5,
M r(MgCl 2) = 1 A r(Mg) + 2 A r(Cl) = 24 + 2 35,5 = 95.
Для зручності розрахунку за х 1приймемо масу соляної кислоти і знайдемо, яку з речовин, що вступили в реакцію, дано в надлишку, яке – у нестачі.
24/24 = х 1/73, х 1= 73 р.
З розрахунку видно, що соляна кислота дана в нестачі, тому що за умовою завдання її дано 30 г, а для реакції потрібно 73 г. Отже, розрахунок ведемо по соляній кислоті:
30/73 = х/95, х= 39 р.
Відповідь . m(MgCl 2) = 39 р.
Розглянемо варіант, коли обидва речовини, що вступили в реакцію, дано в стехіометричних кількостях, тобто реагують один з одним без залишку.
ЗАВДАННЯ 1.На 36 г алюмінію подіяли 64 г сірки. Знайдіть масу сульфіду алюмінію, що утворився.
Дано :
m(Al) = 36 г,
m(S) = 64 р.Знайти :
m(Al 2 S 3).
Рішення
Приймемо масу Al за х 1і знайдемо, яку з речовин, що вступили в реакцію, дано в надлишку, яке – у нестачі.
х 1/54 = 64/96, х 1= 36 р.
В даному випадку речовини, що вступили в реакцію, взяті в стехіометричних кількостях, тому розрахунок можна вести за кожним із них:
64/96 = х/150, х= 100 р.
Відповідь . m(Al 2 S 3) = 100 р.
ЗАВДАННЯ 2. На розчин, що містить 53 г карбонату натрію, подіяли розчином, що містить 49 г сірчаної кислоти. Знайдіть масу солі, що утворилася.
Дано :
m(Na 2 CO 3) = 53 г,
m(H 2 SO 4) = 49 р.Знайти :
m(Na 2 SO 4).
Рішення
Розрахуємо відносні молекулярні маси речовин, що нас цікавлять:
M r ( Na 2 CO 3) = 2 A r(Na) + 1 A r(C) + 3 A r(O) = 2 23 + 1 12 + 3 16 = 106.
M r(H 2 SO 4) = 2 A r(H) + 1 A r(S) + 4 A r(O) = 2 1 + 1 32 + 4 16 = 98.
M r(Na 2 SO 4) = 2 A r(Na) + 1 A r(S) + 4 A r(O) = 2 23 + 1 32 + 4 16 = 142.
Приймемо за х 1масу сірчаної кислоти, щоб дізнатися, яка речовина дана в надлишку, яка – у нестачі.
53/106 = х 1/98, х 1= 49 р.
В даному випадку обидві речовини взяті в стехіометричних кількостях, тому розрахунок можна вести за кожним із них:
49/98 = х/142, х= 71 р.
Відповідь . m(Na 2 SO 4) = 71 р.
Однак вчитель, підбираючи завдання для розв'язання в класі, повинен пам'ятати, що в деяких випадках (наприклад, якщо кислота або кислотний оксид дано в надлишку) рішення задачі не обмежується розрахунком двох пропорцій, тому що реакція протікатиме далі з утворенням кислої солі. Це підвищить складність матеріалу. На перших уроках при розв'язанні задач даного типу я не включаю до матеріалу завдання на проходження реакцій з утворенням кислих або основних солей.
Домашнє завдання
ЗАВДАННЯ 1. На 200 г 10% розчину сірчаної кислоти подіяли 40 г оксиду алюмінію. Знайдіть масу води, що утворилася.
Дано :
M(Р-р H 2 SO 4) = 200 г,
(H 2 SO 4) = 10%,
m(Al 2 O 3) = 40 р.Знайти:
m(Н 2 O).
Рішення
Розрахуємо відносні молекулярні маси речовин, що нас цікавлять:
M r(Al 2 O 3) = 2 A r(Al) + 3 A r(O) = 2 27 + 3 16 = 102,
M r(H 2 SO 4) = 2 A r(H) + 1 A r(S) + 4 A r(O) = 2 1 + 1 32 + 4 16 = 98,
M r(H 2 O) = 2 A r(H) + 1 A r(O) = 2 1 + 1 16 = 18.
m(H2SO4) = 200 10/100 = 20 г.
Знайдемо, яке з речовин, що вступили в реакцію, дано в надлишку, а яке - в нестачі.
х 1/102 = 20/294, х 1= 6,94 р.
З розрахунку видно, що Al 2 O 3 дано надлишку, отже, розрахунок ведемо по кислоті:
20/294 = х/54, х= 3,67 р.
Відповідь .m(Н 2 O) = 3,67 р.
ЗАВДАННЯ 2.На 40 г оксиду міді(II) подіяли розчином сірчаної кислоти, що містить 49 г безводної речовини. Знайдіть масу солі, що утворилася.
Дано :
m(CuO) = 40 г,
m(H 2 SO 4) = 49 р.Знайти :
M(СuSO 4).
Рішення
Знайдемо, яка з речовин, що вступили в реакцію, дано в надлишку, а яка – у нестачі.
х 1/80 = 49/98, х 1= 40 р.
Відповідно до рівняння цієї реакції речовини взяті в стехіометричних кількостях, тому розрахунок можна вести за будь-яким з них:
40/80 = х/160, х= 80 р.
Відповідь . m(CuSO 4) = 80 г.
§ 1 Поняття про наближене значення чисел
У житті зустрічається два види чисел: точні і наближені.
Наприклад, у квадрата чотири сторони число 4 є точним.
Інша ситуація, на питання, скільки вам років ви відповідаєте 12, це наближена величина, адже ми не говоримо 12 років 7 місяців 26 днів.
Насправді ми часто знаємо точних значень величин. Ніякі ваги, як би добре вони не були налаштовані, не можуть показати абсолютно точну вагу. Будь-який термометр показує температуру з тією чи іншою похибкою. Наше око не може побачити чітко показання приладу, тому замість того, щоб мати справу з точним значенням величини, ми змушені оперувати з її наближеним значенням.
Однак знання про наближене число вже дає розуміння про сутність справи, і до того ж не завжди точне значення буває необхідним.
Наближені значення чисел у математиці поділяють на:
1. наближені значення з надлишком;
2. наближені значення з нестачею.
Наприклад, про кавун, який важить 9 кг 280 г, ми можемо сказати, що його вага приблизно дорівнює 9 кг. Це наближене значення з нестачею. А якби його вага становила 9 кг 980 грам, ми сказали б 10 кг - це наближене значення з надлишком.
Інший приклад - якщо довжина відрізка дорівнює 25 см 3 мм, то 25 см - наближене значення довжини відрізка з недоліком, а 26 см - це наближене значення довжини відрізка з надлишком.
Отже, якщо число Х більше числа А, але менше числа, тоді А - є наближеним значенням числа Х з недоліком, а число В - наближеним значенням числа Х з надлишком.
§ 2 Округлення чисел
Давайте розглянемо такі приклади:
1) число 58,79 більше ніж 58, але менше 59. Число 58,79 ближче розташоване до натурального числа 59;
2) число 181, 123 більше, ніж 181, але менше, ніж 182. Число 181,123 розташоване ближче до натурального числа 181. Те натуральне число, до якого дріб ближче називають округленим значенням цього числа.
Округлення чисел - це математична дія, яка дозволяє зменшити кількість цифр у числі, замінюючи його наближеним значенням.
Під округленням числа розуміють відкидання однієї чи кількох цифр у десятковому поданні числа. Заміну числа найближчим щодо нього натуральним числом чи нулем називають округленням цього числа до цілих.
Наприклад, число 58,79 округляється до 59, оскільки число 59 розташоване ближче, а число 181,123 округляється до 181.
§ 3 Правило округлення чисел
А що робити, якщо відстані до наближеного значення числа з нестачею та надлишком дорівнюють, наприклад, 23,5? Виявляється, округляють у велику сторону! Тобто. вийде 24
Напевно, у вас виникло питання: «А чи можна округлювати не до цілого?» Звичайно! Округлювати можна і до інших розрядів, наприклад, до десятих, сотих, тисячних або до десятків, сотень, тисяч тощо.
Існує чітке правило для округлення чисел:
Щоб округлити число до будь-якого розряду – підкреслимо цифру цього розряду, а потім усі цифри, що стоять за підкресленою, замінюємо нулями, а якщо вони стоять після коми – відкидаємо. Якщо перша замінена банкрутом або відкинута цифра дорівнює 0, 1, 2, 3 або 4, то підкреслену цифру залишаємо без зміни. Якщо за підкресленою цифрою стоїть цифра 5, 6, 7, 8 чи 9, то підкреслену цифру збільшуємо на 1.
Тепер стало зрозуміло, чому число 23,5 заокруглили до 24.
Т.к. цифра, що відкидається, дорівнює 5.
Округлимо число 86,275 до десятих.
Підкреслимо цифру 2, відкидаємо цифри 7 та 5, які йдуть за розрядом десятих. За підкресленою цифрою 2 стоїть цифра 7, тому цифру 2 збільшуємо на 1. Отримуємо 86,3. Записують це так:
Округлимо число 6,6739 до сотих.
Наголошуємо на цифрі 7, відкидаємо цифри 3 і 9, які йдуть за розрядом сотих. За накресленою цифрою 7 стоїть цифра 3, тому цифру 7 залишаємо без зміни. Отримуємо 6,67.
Записують це так:
Таким чином, можна переконатися, що якщо десятковий дріб округлюють до якогось розряду, то всі цифри, що йдуть за цим розрядом, відкидають.
Округлимо число 8154 до сотень.
Підкреслюємо цифру 1, за нею слідує цифра 5, значить 1 замінюємо цифрою 2, а всі наступні цифри нулями, тобто вийде 8200.
Записують це так:
Робимо висновок, що при округленні натурального числа до розряду всі цифри наступних розрядів замінюються нулями.
Отже, перед вами нескладний алгоритм, який дозволяє правильно виконати округлення будь-якого числа:
Перше: знайти потрібний розряд і підкреслити цифру, що стоїть у ньому.
Друге: переписати всі цифри, які стоять до неї.
Третє: замінити всі цифри, що стоять після виділення, нулями до кінця цілої частини або відкинути всі цифри, наявні після виділення, якщо вони стоять після коми.
Четверте: збільшити виділену цифру на одиницю, якщо за цією цифрою стоїть цифра 5,6,7,8,9 або переписати виділену цифру без змін, якщо за нею стоїть цифра 0,1,2,3,4.
Таким чином, у ході цього уроку Ви дізналися, що таке наближені значення чисел з нестачею та надлишком округлення чисел, а також набули чіткого алгоритму, який дозволяє правильно виконати округлення будь-якого числа!
Список використаної литературы:
- Математика 5 клас. Віленкін Н.Я., Жохов В.І. та ін. 31-е вид., Стер. - М: 2013.
- Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автор - Попов М.А. - 2013 рік
- Обчислюємо без помилок. Роботи із самоперевіркою з математики 5-6 класи. Автор - Мінаєва С.С. - 2014
- Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автори: Дорофєєв Г.В., Кузнєцова Л.В. - 2010 рік
- Контрольні та самостійні роботи з математики 5 клас. Автори – Попов М.А. - 2012 рік
- Математика. 5 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ/І. І. Зубарєва, А. Г. Мордкович. - 9-е вид., Стер. - М: Мнемозіна, 2009
7,265; 11,638; 0,23; 8,5; 300,499; 6,5108; 0,8.
1273. Старовинна російська міра маси пуд дорівнює 16,38 кг. Округліть це значення до цілих, до десятих. Старовинний російський захід довжини верста дорівнює 1067 м. Округліть це значення до десятків, до сотень. Старовинна російська міра довжини сажень дорівнює 2,13 м. Округліть це значення до цілих, до десятих.
1274. Округліть дроби:
а) 2,781; 3,1423; 203,962; 80,46 до десятих;
б) 0,07268; 1,35506; 10,081; 76,544; 4,455 до сотих;
в) 167,1; 2085,04; 444,4; 300,7; 137 до десятків.
1275. Одна деталь має масу 13,26 кг, друга – 14,43 кг, третя – 1,66 кг, а четверта – 15,875 кг. Знайдіть загальну масу цих чотирьох деталей і округліть результат до десятих кілограма. Порівняйте відповідь з результатом, отриманим, якщо спочатку округлити ці завдання до десятих часток, а потім її вирішити.
1276. Траса лижних перегонів складається із 4 ділянок. Перша ділянка має довжину 4,35 км, друга – 5,75 км, третю – 6,95 км та четверту – 2,8 км. Знайдіть довжину всієї траси і округліть відповідь:
а) до десятих часток кілометра;
б) до кілометрів.
1277. Знайдіть периметр чотирикутника ABCD, якщо АВ = 6,2 дм, CD більший за АВ на 3,14 дм, але менший за ВС на 2,31 дм; AD більше нд на 1,2 дм. Відповідь округліть:
а) до десятих часток дециметра;
б) до цілих дециметрів.
1278. Обчисліть усно:
1279. Відновіть ланцюжок обчислень:
1) До школи завезли 24 т вугілля. За зиму витратили привезене вугілля. Скільки тонн вугілля лишилося?
2) Маляри витратили – купленої фарби для ремонту школи. Скільки фарби лишилося, якщо купили її 300 кг?
1297. Округліть дроби:
а) 1,69; 1,198; 37,444; 37,5444; 802,3022 до цілих;
б) 0,3691; 0,8218; 0,9702; 81,3501 до десятих.
1298. Для кожного з чисел знайдіть натуральні наближені значення з нестачею та з надлишком: 3,97; 21,609; 10,394; 1,057.
1299. Запишіть число, яке:
а) менше мільйона вдесятеро; на 10;
б) більше мільйона вдесятеро; на 10;
в) більше від числа 709 у 100 разів; у 1000 разів;
г) менше від числа 623 100 000 у 10 разів; у 1000 разів; у 100 000 разів.
1300. Знайдіть значення виразу:
а) 8000 60 000; в) 250 000 600 40;
б) 1700800000; г) 19000 20000 50.
1301. Власна швидкість теплохода 216 км/год. Швидкість перебігу 4,9 км/год. Знайдіть швидкість теплохода за течією та проти течії.
1302. Теплохід йшов озером 3 год зі швидкістю 27 км/год, а потім 4 год річкою, що впадає в це озеро. Знайдіть весь шлях, який пройшов теплохід за ці 7 год, якщо швидкість течії річки 3 км/год.
1303. У скарбниці Кощія Безсмертного 32 000 скриньок, у кожному скриньці 210 однакових за масою злитків золота і срібла. Яка маса запасів золота та срібла у Кощія, якщо маса десятка злитків 900 г?
1304. Поставте замість зірочок пропущені цифри:
У науці промисловості, у сільському господарстві при розрахунках десятковідроби використовуються значно частіше, ніж прості.
Це з простотою правил обчислень з десятковими дробами, схожістю їх у правила дій із натуральними числами.
Правила обчисленні з десятковими дробами описав знаменитий вченийСередньовіччя аль-Кашп Джемшйд Ібн Масуд, який працював у Самарканді в обсерваторії Улугбека на початку XV століття.
Записував аль-Каші десяткові дроби так само, як заведено зараз, але він не користувався комою: дробову частину він записував червоним чорнилом або відокремлював вертикальною рисою.
Але про це в Європі на той час не дізналися, і лише через 150 років десяткові дроби були заново винайдені фламандським інженером та вченим Симоном Стевіном. Стевін записував десяткові дроби досить складно.
Наприклад, число 24,56 виглядало так: 
- замість коми нуль у гуртку (або 0 над цілою частиною), цифрами 1, 2, 3, ... позначалося положення інших знаків.
Кома або точка для відділення цілої частини стали використовуватися з XVII століття.
У Росії вчення про десяткові дроби виклав Леонтій Пилипович Магницький у 1703 році в першому підручнику математики «Арифметика, бузок наука числівник».
Н.Я. ВІЛЕНКІН, B. І. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. І. ШВАРЦБУРД, Математика 5 клас, Підручник для загальноосвітніх установ
