Найбільша цифра, як називається. Найбільші числа у світі

Іноді люди, не пов'язані з математикою, запитують себе: яке найбільше число? З одного боку, відповідь очевидна – нескінченність. Зануди навіть уточнять, що "плюс нескінченність" або "+∞" у записі математиків. Ось тільки найв'їдливіших ця відповідь не переконає, тим більше, що це не натуральне число, а математична абстракція. Але добре розібравшись у питанні, вони можуть відкрити собі цікаву проблему.

Справді, межі розміру у разі немає, але є межа людської фантазії. Для кожного числа є назва: десять, сто, мільярд, секстиляр і так далі. Але де закінчується фантазія людей?

Не плутати з торговою маркою Google, хоча вони і мають спільне походження. Це число записується як 10100, тобто одиниця і за нею хвостиком сто нулів. Уявити його складно, але воно активно використовувалося в математиці.

Забавно, що вигадала його дитина - племінник математика Едварда Казнера. У 1938 році дядечко розважав молодших родичів міркуваннями про дуже великі числа. До обурення дитини виявилося, що таке чудове число немає назви, і він привів свій варіант. Пізніше дядечко вставив його в одну зі своїх книг, і термін прижився.

Теоретично, гугол – це натуральне число, адже його можна використовувати на рахунку. От тільки навряд чи в когось вистачить терпіння дорахувати до кінця. Тому лише теоретично.

А щодо назви компанії Google, то тут закралася звичайна помилка. Перший інвестор і один із співзасновників, коли виписував чек, дуже поспішав, і пропустив букву «О», але щоб перевести в готівку його, компанію довелося реєструвати саме за таким варіантом написання.

Гуголплекс

Це число - похідна від гугола, але відчутно більше за нього. Приставка «плекс» означає, зведення десятки в ступінь, рівну основному числу, таким чином, гулоплекс - це 10 в 10 ступеня в ступені 100 або 101000.

Число, що вийшло - перевищує кількість частинок в найближчому Всесвіті, яке оцінюється десь в 1080 ступеня. Але це не завадило вченим збільшувати число простим додаванням до нього приставки «плекс»: гуголплексплекс, гуголплексплексплекс і таке інше. А для особливо збочених математиків винайшли варіант збільшення без нескінченного повторення приставки "плекс" - перед нею просто ставлять грецькі числа: тетра (чотири), пента (п'ять) і так далі, аж до дека (десять). Останній варіант звучить як гуголдекаплекс і означає десятикратне накопичувальне повторення процедури зведення числа 10 ступінь його основи. Головне, не уявляти собі результату. Усвідомити його все одно не вийде, але отримати травму психіки просто.

48-е число Мерсена

Головні герої: Купер, його комп'ютер та нове просте число

Порівняно недавно, близько року тому, вдалося відкрити чергове, 48 число Мерсена. На даний момент воно – найбільше просте число у світі. Нагадаємо, що прості числа - це ті, які діляться без залишку тільки на одиницю і на себе. Найпростіші приклади – 3, 5, 7, 11, 13, 17 тощо. Проблема в тому, що що далі в нетрі, то рідше такі числа зустрічаються. Але тим ціннішим є виявлення кожного наступного. Наприклад, нове просте число складається з 17425170 символів, якщо його уявити у вигляді звичної нам десяткової системи числення. Попереднє було близько 12 мільйонів знаків.

Виявив його американський математик Кертіс Купер, який уже втретє потішив математичну громадськість таким рекордом. Тільки на те, щоб перевірити його результат і довести, що це число справді просте, знадобилося 39 днів роботи його персонального комп'ютера.

Так виглядає запис числа Грема у стрілочній нотації Кнута. Як це розшифрувати, сказати складно, не маючи закінченої вищої освіти у теоретичній математиці. Записати ж його у звичному нам десятковому вигляді теж неможливо: Всесвіт, що спостерігається, просто не в змозі вмістити його. Городити ступінь на ступінь, як у випадку з гуголплексами, також не вихід.

Хороша формула, тільки незрозуміла

То навіщо ж потрібне це марне на перший погляд число? По-перше, його для цікавих помістили до Книги рекордів Гіннеса, а це вже чимало. По-друге, воно використовувалося для вирішення завдання, що входить до проблеми Рамсея, що теж незрозуміло, але звучить серйозно. По-третє, це число визнано найбільшим, використовуваним колись у математиці, і над жартівливих доказах чи інтелектуальних іграх, а вирішення цілком конкретної математичної проблеми.

Увага! Наступна інформація є небезпечною для вашого психічного здоров'я! Читаючи її, ви берете на себе відповідальність за всі наслідки!

Для бажаючих випробувати свій розум і помедитувати число Грема, можемо постаратися пояснити його (але тільки постаратися).

Уявіть 33. Це досить легко – виходить 3*3*3=27. А якщо тепер звести трійку до цього числа? Вийде 3 3 3 ступеня, або 3 27 . У десятковому записі це дорівнює 7625597484987. Багато, але поки що це можна усвідомити.

У стрілочній нотації Кнута це число можна відобразити трохи простіше - 33. Але якщо додати тільки одну стрілочку, вийде вже складніше: 33, що означає 33 у ступінь 33 або в статечному записі. Якщо розгорнути в десятковий запис, отримаємо 7625597484987 7625597484987 . Ще виходить стежити за думкою?

Наступний етап: 33 = 3333. Тобто потрібно вирахувати це дике число з попередньої дії і звести його в такий самий ступінь.

А 33 – це лише перший із 64 членів числа Грема. Щоб отримати другий, потрібно вирахувати результат цієї зубозроблювальної формули, і підставити в схему 3(...)3 відповідну кількість стрілочок. І так далі, ще 63 рази.

Цікаво, у когось крім нього і ще десятка суперматематиків вийде дістатися хоча б до середини послідовності і не збожеволіти?

Ви щось зрозуміли? Ми – ні. Але який кайф!

Навіщо потрібні найбільші числа? Обивателю складно це зрозуміти та усвідомити. Але одиниці фахівців з їхньою допомогою здатні уявити тим самим обивателям нові технологічні іграшки: телефони, комп'ютери, планшети. Обивателі так само не здатні зрозуміти, як вони працюють, зате із задоволенням використовують їх для своєї розваги. І всі щасливі: обивателі отримують свої іграшки, «суперботаніки» – можливість і далеко грати у свої ігри розуму.

Питання "Яке найбільше у світі?", щонайменше, некоректний. Існують як різні системи обчислень – десяткова, двійкова та шістнадцяткова, так і різноманітні категорії чисел – напівпрості та прості, причому останні поділяються на законні та незаконні. Крім того, є числа Скьюза (Skewes" number), Стейнхауза та інших математиків, які чи жартома, чи серйозно винаходять і викладають на суд публіки такі екзоти, як «мегістон» або «мозер».

Яка найбільша кількість у світі в десятковій системі

З десяткової системи більшості «нематематиків» добре відомі мільйон, мільярд та трильйон. Причому, якщо мільйон у росіян, в основному, асоціюється з доларовим хабарем, який можна забрати у валізці, то куди розіпхати мільярд (не кажучи вже про трильйон) північноамериканських грошових знаків - у більшості не вистачає фантазії. Однак у теорії великих чисел існують такі поняття, як квадрильйон (десять у п'ятнадцятому ступені – 1015), секстильйон (1021) та октильйон (1027).

В англійській, найбільш поширеній у світі десятковій системі максимальним числом вважається дециліон – 1033.

У 1938 році, у зв'язку з розвитком прикладної математики та розширенням мікро- та макросвіту, професор Колумбійського університету (США), Едвард Каснер (Edward Kasner) опублікував на сторінках журналу "Scripta Mathematica" пропозицію свого дев'ятирічного племінника використовувати в десятковій системі обчислення як самого великого числа «гугол» («googol») – це десять у сотому ступені (10100), який на папері виражається як одиниця зі ста нулями. Однак вони не зупинилися на цьому і через кілька років запропонували ввести в обіг нове найбільше число у світі - «гуголплекс» (googolplex), яке є десять, зведене в десятий ступінь і ще раз зведене в сотий ступінь - (1010)100, виражається одиницею, якої праворуч приписаний гугол нулів. Втім, для більшості навіть професійних математиків і «гугол», і «гуголплекс» представляють чисто умоглядний інтерес, і навряд чи в повсякденній практиці їх можна застосувати до чогось.

Екзотичні числа

Яке найбільше в світі серед простих чисел – тих, які можуть ділитися тільки на самих себе та на одиницю. Одним з перших, хто зафіксував найбільше просте число, що дорівнює 2147483647, був великий математик Леонард Ейлер. На січень 2016 року таким числом визнано вираз, який обчислюється як 274 207 281 – 1.

Багатьох цікавлять питання про те, як називаються великі числа та яке число є найбільшим у світі. З цими цікавими питаннями і розбиратимемося в цій статті.

Історія

Південні та східні слов'янські народи для запису чисел використовували алфавітну нумерацію, причому лише ті літери, які є у грецькому алфавіті. Над літерою, що позначала цифру, ставили спеціальний значок "титло". Числові значення літер зростали так само, в якому порядку букви йшли в грецькому алфавіті (у слов'янському алфавіті порядок букв був трохи іншим). У Росії її слов'янська нумерація збереглася остаточно 17 століття, а за Петра I перейшли до “арабської нумерації”, якою ми користуємося і зараз.

Назви чисел також змінювалися. Так, до 15 століття число "двадцять" позначалося як "два десяти" (два десятки), а потім скоротилося для більш швидкої вимови. Число 40 до 15 століття називалося "чотиридесяте", потім було витіснене словом "сорок", що означає спочатку мішок, що вміщає 40 білиць або соболиних шкурок. Назва "мільйон" з'явилося в Італії 1500 року. Воно було утворено додаванням збільшувального суфікса до “міллі” (тисяча). Пізніше ця назва прийшла і в російську мову.

У старовинній (XVIII ст.) «Арифметиці» Магницького наводиться таблиця назв чисел, доведена до «квадрильйона» (10^24, за системою через 6 розрядів). Перельман Я.І. у книзі «Цікава арифметика» наводяться назви великих чисел того часу, які дещо відрізняються від сьогоднішніх: септильйон (10^42), октальйон (10^48), нональйон (10^54), декальон (10^60), ендекальон (10^ 66), додекальон (10^72) і написано, що «далі назв немає».

Способи побудови назв великих чисел

Існує 2 основних способи назв великих чисел:

• Американська системаяка використовується в США, Росії, Франції, Канаді, Італії, Туреччини, Греції, Бразилії. Назви великих чисел будуються досить просто: спочатку йде латинське порядкове число, а до нього в кінці додається суфікс "-ілліон". Винятком є ​​число "мільйон", яке є назвою тисячі (mille) і збільшувального суфікса "-ілліон". Кількість нулів у числі, що записано за американською системою, можна дізнатися за формулою: 3х+3, де х – латинське порядкове число
• Англійська системанайбільш поширена у світі, її використовуються у Німеччині, Іспанії, Угорщині, Польщі, Чехії, Данії, Швеції, Фінляндії, Португалії. Назви чисел за цією системою будуються наступним чином: до латинського чисельного додається суфікс “-ілліон”, наступне число (у 1000 разів більше) – те саме латинське числівник, але додається суфікс “-ілліард”. Кількість нулів у числі, що записано за англійською системою і закінчується суфіксом “-ілліон”, можна дізнатися за формулою: 6х+3, де х – латинське числове число. Кількість нулів у числах, що закінчуються суфіксом "-ілліард", можна дізнатися за формулою: 6х +6, де х - латинське числове число.

З англійської системи в російську мову перейшло лише слово мільярд, яке все ж таки правильніше називати так, як його називають американці – більйон (оскільки в російській мові використовується американська система найменування чисел).

Крім чисел, які записані за американською чи англійською системою за допомогою латинських префіксів, відомі позасистемні числа, що мають власні назви без латинських префіксів.

Власні назви великих чисел

• Вігінтильйон (від лат. viginti - двадцять) - 10 63
• Центилліон (від латів. centum - сто) - 10 303
• Міллеілліон (від латів. mille - тисяча) - 10 3003

Для чисел більше тисячі римлян власних назв був (всі назви чисел далі були складовими).

Складові назви великих чисел

Крім власних назв, для чисел більше 1033 можна отримати складові назви за допомогою об'єднання приставок.

Складові назви великих чисел

• 10 123 - квадрагінтіліон
• 10 153 - квінквагінтильйон
• 10 183 - сексагінтильйон
• 10 213 - септуагінтиліон
• 10 243 - октогінтильйон
• 10 273 - нонагінтиліон
• 10 303 - центиліон

Подальші назви можна одержати прямим або зворотним порядком латинських числівників (як правильно, невідомо):

• 10 306 - анцентилліон або центунільйон
• 10309 - дуоцентильйон або центдуолліон
• 10 312 - третентіліон або центтрильйон
• 10315 - кватторцентилліон або центквадрилліон
• 10 402 - третригінтацентилліон або центтретригінтильйон

Другий варіант написання більше відповідає побудові числівників у латинській мові і дозволяє уникнути двозначностей (наприклад, у числі третентільйон, яке за першим написанням є і 10903 і 10312).

• 10 603 - дуцентіліон
• 10 903 - Трецентіліон
• 10 1203 - квадрингентилліон
• 10 1503 - квінгентилліон
• 10 1803 - сесцентільйон
• 10 2103 - септингентилліон
• 10 2403 - октингентилліон
• 10 2703 - нонгентилліон
• 10 3003 - міліліон
• 10 6003 - дуоміліаліон
• 10 9003 - тремільйон
• 10 15003 - квінквеміліаліон
• 10 308760 - дуцентдуоміліанонгентновемдеціліон
• 10 3000003 - міліаміліаілліон
• 10 6000003 - дуоміліаміліаілліон

Міріада- 10 000. Назва застаріла і практично не використовується. Однак широко використовується слово "міріади", яке означає не певну кількість, а незліченну, незліченну безліч чогось.

Гугол (англ . googol) — 10 100 . Про це вперше написав американський математик Едвард Каснер (Edward Kasner) у 1938 році в журналі Scripta Mathematica у статті “New Names in Mathematics”. За його словами, назвати таку кількість запропонував його 9-річний племінник Мілтон Сіротта (Milton Sirotta). Це число стало відомим завдяки пошуковій машині Google, названій на честь нього.

Асанкхейя(Від кит. Асенці - незліченний) - 10 1 4 0 . Це число зустрічається у відомому буддійському трактаті Джайна-сутри (100 р. е.). Вважається, що цьому числу дорівнює кількість космічних циклів, необхідних для набуття нірвани.

Гуголплекс (англ . Googolplex) — 10^10^100. Це число теж вигадав Едвард Каснер зі своїм племінником, означає воно одиницю з гуголом нулів.

Число Скьюза (Skewes’ number, Sk 1) означає e у ступені e у ступеню e у ступеню 79, тобто e^e^e^79. Це число було запропоновано Скьюзом в 1933 році (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933) при доказі гіпотези Ріманна, що стосується простих чисел. Пізніше, Рієл (te Riele, HJ J. "On the Sign of the Difference П(x)-Li(x)." Math. Comput. 48, 323-328, 1987) звів число Скьюза до e^e^27/4, що дорівнює 8,185·10^370. Однак це число не ціле, тому таблицю великих чисел не включено.

Друге число Скьюза (Sk2)одно 10^10^10^10^3, тобто 10^10^10^1000. Це число було введено Дж. Скьюзом у тій статті для позначення числа, до якого гіпотеза Ріманна справедлива.

Для надвеликих чисел користуватися ступенями незручно, тому є кілька способів для запису чисел – нотації Кнута, Конвея, Стейнхауза та інших.

Хьюго Стейнхауз запропонував записувати великі числа всередині геометричних фігур (трикутника, квадрата та кола).

Математик Лео Мозер доопрацював нотацію Стейнхауза, запропонувавши після квадратів малювати не кола, а п'ятикутники, потім шестикутники тощо. Мозер також запропонував формальний запис цих багатокутників, щоб числа можна було записувати, не малюючи складні малюнки.

Стейнхауз придумав два нові надвеликі числа: Мега і Мегістон. У нотації Мозера вони записуються так: Мега – 2, Мегістон– 10. Лео Мозер запропонував також називати багатокутник з числом сторін, що дорівнює меге – мегагоном, а також запропонував число “2 у Мегагоні” – 2. Останнє число відоме як число Мозера (Moser's number)або просто як Мозер.

Існують числа, більші за Мозер. Найбільшим числом, яке використовувалося в математичному доказі, є число Грема(Graham's number). Воно вперше було використано у 1977 році у доказі однієї оцінки в теорії Рамсея. Це число пов'язане з біхроматичними гіперкубами і не може бути виражене без особливої ​​64-рівневої системи спеціальних математичних символів, введених Кнутом у 1976 році. Дональд Кнут (який написав «Мистецтво програмування» і створив редактор TeX) придумав поняття надступеня, яке запропонував записувати стрілками, спрямованими вгору:

Загалом

Грем запропонував G-числа:

Число G 63 називається числом Грема, часто позначається просто G. Це число є найбільшим відомим числом у світі і занесено до "Книги рекордів Гіннеса".

Коректно відповісти на це питання не можна, оскільки числовий ряд не має верхньої межі. Так, до будь-якого числа достатньо лише додати одиницю, щоб отримати число ще більше. Хоча самі числа нескінченні, власних назв у них не так вже й багато, оскільки більшість із них задовольняються іменами, складеними з менших чисел. Так, наприклад, числа і мають власні назви "одиниця" і "сто", а назва числа вже складова ("сто один"). Зрозуміло, що в кінцевому наборі чисел, яких людство нагородило власним ім'ям, має бути якесь найбільше. Але як воно називається і чому воно рівне? Давайте ж, спробуємо в цьому розібратися і заразом дізнатися, наскільки великі числа придумали математики.

«Коротка» та «довга» шкала

У системі Шюке число, що знаходилося між мільйоном і більйоном, не мало власної назви і називалося просто тисячі мільйонів, аналогічно називалося тисячі більйонів, - тисяча трильйонів і т.д. Це було не дуже зручно, і в 1549 французький письменник і вчений Жак Пелетьє (Jacques Peletier du Mans, 1517-1582) запропонував назвати такі «проміжні» числа за допомогою тих же латинських префіксів, але закінчення «-ілліард». Так стало називатися «мільярдом», - «біліардом», - «трільярдом» і т.д.

Система Шюке-Пелетьє поступово стала популярною і їй стали користуватися по всій Європі. Однак у XVII столітті виникла несподівана проблема. Виявилося, деякі учені чомусь стали плутатися і називати число не «мільярдом» чи «тисячю мільйонів», а «більйоном». Незабаром ця помилка швидко поширилася, і виникла парадоксальна ситуація – «більйон» став одночасно синонімом «мільярда» () та «мільйона мільйонів» ().

Ця плутанина тривала досить довго і призвела до того, що США створили свою систему найменування великих чисел. За американською системою назви чисел будуються так само, як у системі Шюке, - латинський префікс та закінчення «ілліон». Проте величини цих чисел різняться. Якщо в системі Шюке назви із закінченням "ілліон" отримували числа, які були ступенями мільйона, то в американській системі закінчення "-ілліон" отримали ступеня тисячі. Тобто тисяча мільйонів () стала називатися «більйоном», () – «трильйоном», () – «квадрилліоном» тощо.

Стара ж система найменування великих чисел продовжувала використовуватися в консервативній Великій Британії і стала в усьому світі називатися «британською», незважаючи на те, що вона була придумана французами Шюке та Пелетьє. Однак у 1970-х роках Великобританія офіційно перейшла на «американську систему», що призвело до того, що називати одну систему американською, а іншу британською стало дивно. У результаті зараз американську систему зазвичай називають «короткою шкалою», а британську систему або систему Шюке-Пелетьє - «довгою шкалою».

Щоб не заплутатися, підіб'ємо проміжний підсумок:

Цікаво, що в нашій країні остаточний перехід до короткої шкали стався лише у другій половині ХХ століття. Так, наприклад, ще Яків Ісидорович Перельман (1882–1942) у своїй «Захоплюючій арифметиці» згадує паралельне існування у СРСР двох шкал. Коротка шкала, згідно з Перельманом, використовувалася в життєвому побуті та фінансових розрахунках, а довга - у наукових книгах з астрономії та фізики. Однак зараз використовувати в Росії довгу шкалу неправильно, хоча цифри там виходять і більші.

Але повернемося до пошуку найбільшого числа. Після дециліону назви чисел виходять шляхом поєднання приставок. Так виходять такі числа як ундециліон, дуодециліон, тредециліон, кваттордециліон, квіндециліон, сексдециліон, септемдециліон, октодециліон, новемдециліон і т.д. Однак ці назви нам уже не цікаві, тому що ми домовилися знайти найбільше з власною нескладною назвою.

Якщо ж ми звернемося до латинської граматики, то виявимо, що нескладних назв для чисел більше десяти у римлян було всього три: viginti – «двадцять», centum – «сто» та mille – «тисяча». Для чисел більше, ніж «тисяча», своїх назв у римлян не було. Наприклад, мільйон () римляни називали "decies centena milia", тобто "десять разів по сотні тисяч". За правилом Шюке, ці три латинські числівники, що залишилися, дають нам такі назви для чисел як «вігінтильйон», «центильйон» і «міллеілліон».

Отже, ми з'ясували, що за «короткою шкалою» максимальна кількість, яка має власну назву і не є складовою з менших чисел – це «міллеілліон» (). Якби в Росії була б прийнята «довга шкала» найменування чисел, то найбільшим числом із власною назвою виявився б «міллєліард» ().

Проте існують назви і ще більших чисел.

Числа поза системою

До XVII століття на Русі застосовувалася власна система найменування чисел. Десятки тисяч називалися «темрявами», сотні тисяч – «легіонами», мільйони – «леодрами», десятки мільйонів – «воронами», а сотні мільйонів – «колодами». Цей рахунок до сотень мільйонів називався «малим рахунком», а деяких рукописах авторами розглядався і «великий рахунок», у якому вживалися самі назви великих чисел, але з іншим смыслом. Так, «темрява» означала вже не десять тисяч, а тисячу тисяч () , «легіон» - темряву () ; «Леодр» - легіон легіонів () , «ворон» - леодр леодрів (). «Колодою» ж у великому слов'янському рахунку чомусь називали не «ворон воронів» () , а лише десять «воронів», тобто (див. таблицю).

Назва числа	Значення в «малому рахунку»	Значення у «великому рахунку»	Позначення
Темрява
Легіон
Леодр
Ворон (брехня)
Колода
Темрява тим

Назва для ще більшого числа, ніж гугол, виникла в 1950 завдяки батькові інформатики Клоду Шеннону (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). У своїй статті "Програмування комп'ютера для гри в шахи" він спробував оцінити кількість можливих варіантів шахової гри. Згідно з ним, кожна гра триває в середньому ходів і на кожному ході гравець робить вибір у середньому з варіантів, що відповідає (приблизно рівне) варіантам гри. Ця робота стала широко відомою, і це число стало називатися «числом Шеннона».

У відомому буддійському трактаті Джайна-сутри, що відноситься до 100 року до н. Вважається, що цьому числу дорівнює кількість космічних циклів, необхідних для набуття нірвани.

Дев'ятирічний Мілтон Сіротта увійшов в історію математики не тільки тим, що придумав число гугол, але й тим, що одночасно з ним запропонував ще одне число - «гуголплекс», яке дорівнює ступеню «гугол», тобто одиниці з нулями гуголів.

Ще два числа, більші за гуголплекс, були запропоновані південноафриканським математиком Стенлі Ск'юзом (Stanley Skewes, 1899–1988) за доказом гіпотези Рімана. Перше число, яке пізніше стали називати «першим числом Скьюза», дорівнює ступеня ступеня , тобто . Однак "друге число Скьюза" ще більше і складає .

Очевидно, що чим більше серед ступенів у ступенях, тим складніше записувати числа і розуміти їх значення при читанні. Мало того, можна придумати такі числа (і вони, до речі, вже придумані), коли ступені ступенів просто не поміщаються на сторінку. Так що на сторінку! Вони не вмістяться навіть у книгу розміром із весь Всесвіт! У такому разі постає питання, як же такі числа записувати. Проблема, на щастя, можна вирішити, і математики розробили кілька принципів для запису таких чисел. Щоправда, кожен математик, хто ставив цю проблему, придумував свій спосіб записи, що призвело до існування кількох не пов'язаних один з одним способів для запису великих чисел - це нотації Кнута, Конвея, Штейнгауза та інших. З деякими нам зараз належить розібратися.

Інші нотації

"в трикутнику" означає "",
"у квадраті" означає "в трикутниках",
"у колі" означає "у квадратах".

Пояснюючи цей спосіб запису, Штейнгауз вигадує число «мега», рівне в колі і показує, що воно рівне в «квадраті» чи трикутниках. Щоб підрахувати його, треба звести в ступінь, що вийшло число звести в ступінь, потім число, що вийшло, звести в ступінь отриманого числа і так далі всього зводити в ступінь разів. Наприклад, калькулятор у MS Windows не може підрахувати через переповнення навіть у двох трикутниках. Приблизно це величезна кількість становить .

Визначивши число "мега", Штейнгауз пропонує вже читачам самостійно оцінити інше число - "медзон", що дорівнює колу. В іншому виданні книги Штейнгауз замість медзона пропонує оцінити ще більше - "мегістон", рівне в колі. Слідом за Штейнгаузом я також порекомендую читачам на якийсь час відірватися від цього тексту і самим спробувати записати ці числа за допомогою звичайних ступенів, щоб відчути їхню гігантську величину.

Втім, є назви для великих чисел. Так, канадський математик Лео Мозер (Leo Moser, 1921-1970) доопрацював нотацію Штейнгауза, яка була обмежена тим, що, якби знадобилося записати числа багато великих мегістонів, то виникли б труднощі та незручності, оскільки довелося б малювати безліч кіл один всередині іншого. Мозер запропонував після квадратів малювати не кола, а п'ятикутники, потім шестикутники і таке інше. Також він запропонував формальний запис цих багатокутників, щоб можна було записувати числа, не малюючи складних малюнків. Нотація Мозера виглядає так:

«трикутнику» = =;
"У квадраті" = = "У трикутниках" = ;
«У п'ятикутнику» = = «У квадратах» = ;
«у-кутнику» = = «у-кутниках» = .

Таким чином, за нотацією Мозера штейнгаузовський «мега» записується як , «медзон» як , а «мегістон» як . Крім того, Лео Мозер запропонував називати багатокутник із числом сторін рівним меге – «мегагоном». І запропонував число « у мегагоні», тобто . Це число стало відомим як число Мозер або просто як «мозер».

Але навіть і «мозер» не найбільше. Отже, найбільшим числом, яке коли-небудь застосовувалося в математичному доказі, є «число Грема». Вперше це число було використане американським математиком Рональдом Гремом (Ronald Graham) у 1977 році за доказом однієї оцінки в теорії Рамсея, а саме при підрахунку розмірності певних -мірнихбіхроматичних гіперкубів. Популярність же число Грема одержало лише після розповіді про нього в книзі Мартіна Гарднера, що вийшла в 1989 році, «Від мозаїк Пенроуза до надійних шифрів».

Щоб пояснити, наскільки велике число Грема, доведеться пояснити ще один спосіб запису великих чисел, введений Дональдом Кнутом в 1976 році. Американський професор Дональд Кнут вигадав поняття надступеня, яке запропонував записувати стрілками, спрямованими вгору.

Звичайні арифметичні операції - додавання, множення та зведення в ступінь - природним чином можуть бути розширені в послідовність гіпероператорів в такий спосіб.

Множення натуральних чисел може бути визначено через повторно вироблену операцію додавання («скласти копій числа»):

Наприклад,

Зведення числа в ступінь може бути визначено як повторно вироблена операція множення («перемножити копії числа»), і в позначеннях Кнута цей запис виглядає як одиночна стрілочка, що вказує нагору:

Наприклад,

Така одиночна стрілка вгору використовувалася як значок ступеня у мові програмування Алгол.

Наприклад,

Тут і далі обчислення виразу завжди йде справа наліво, також і стрілочні оператори Кнута (як і операція зведення в ступінь) за визначенням мають правою асоціативністю (черговістю справа наліво). Згідно з цим визначенням,

Вже це призводить до чималим числам, але система позначень на цьому не закінчується. Оператор потрійна стрілочка використовується для запису повторного зведення в ступінь оператора подвійна стрілочка (також відомого як пентація):

Потім оператора "четверна стрілочка":

І т. д. Загальне правило оператор «-ястрілочка», відповідно до правої асоціативності, продовжується праворуч у послідовну серію операторів « стрілочка». Символічно це можна записати так,

Наприклад:

Форма позначення зазвичай використовується для запису зі стрілками.

Деякі числа настільки великі, що навіть запис стрілочками Батіга стає занадто громіздким; у цьому випадку використання оператора-стрілочка переважніше (і також для опису зі змінним числом стрілочок), або еквівалентно, гіпероператорам. Але деякі числа настільки величезні, що навіть такий запис недостатній. Наприклад, число Грема.

При використанні стрілочної нотації батога число грема може бути записано як

Де кількість стрілок у кожному шарі, починаючи з верхнього, визначається числом у наступному шарі, тобто де , де верхній індекс у стрілки показує загальну кількість стрілок. Іншими словами, обчислюється в кроку: на першому кроці ми обчислюємо з чотирма стрілками між трійками, на другому – зі стрілками між трійками, на третьому – зі стрілками між трійками тощо; в кінці ми обчислюємо зі стрілок між трійками.

Це може бути записано як , де , де верхній індекс означає ітерації функцій.

Якщо іншим числам з «іменами» можна підібрати відповідну кількість об'єктів (наприклад, кількість зірок у видимій частині Всесвіту оцінюється в секстильйонах - , а кількість атомів, з яких складається земна куля має порядок додекальйонів), то гугол вже «віртуальний», не кажучи вже про число Грема. Масштаб тільки першого члена настільки великий, що його практично неможливо усвідомити, хоча запис вище відносно простий для розуміння. Хоча - це всього лише кількість веж у цій формулі для , вже це число набагато більше кількості об'ємів Планка (найменший можливий фізичний обсяг), які містяться у всесвіті (приблизно ). Після першого члена нас чекають ще члена послідовності, що стрімко зростає.

Кожного рано чи пізно мучить питання, а яке найбільше число. На запитання дитини можна відповісти мільйон. А що далі? Трильйон. А ще далі? Насправді, відповідь на питання які ж найбільші числа є простою. До найбільшого просто варто додати одиницю, як воно вже не буде найбільшим. Цю процедуру можна продовжувати до нескінченності. Тобто. виходить немає найбільшого числа у світі? Це нескінченність?

А якщо ж поставити питання: яке найбільше число існує, і яке в нього власна назва? Зараз ми всі дізнаємось...

Існують дві системи найменування чисел – американська та англійська.

Американська система побудована досить просто. Усі назви великих чисел будуються так: на початку йде латинське порядкове число, а в кінці до неї додається суфікс-ілліон. Виняток становить назву "мільйон", яка є назвою числа тисяча (лат. mille) та збільшувального суфікса -ілліон (див. таблицю). Так виходять числа - трильйон, квадриліон, квінтиліон, секстильйон, септиліон, октиліон, нонільйон та дециліон. Американська система використовується у США, Канаді, Франції та Росії. Дізнатися кількість нулів у числі, записаному за американською системою, можна за простою формулою 3 x + 3 (де x - латинське числівник).

Англійська система найменування найпоширеніша у світі. Їй користуються, наприклад, у Великій Британії та Іспанії, а також у більшості колишніх англійських та іспанських колоній. Назви чисел у цій системі будуються так: так: до латинського чисельного додають суфікс -ілліон, наступне число (у 1000 разів більше) будується за принципом - те саме латинське чисельне, але суфікс - -ілліард. Тобто після трильйона в англійській системі йде трильярд, а потім квадрилліон, за яким слідує квадрилліард і т.д. Таким чином, квадрильйон за англійською та американською системами - це зовсім різні числа! Дізнатися кількість нулів у числі, записаному за англійською системою і що закінчується суфіксом -ілліон, можна за формулою 6 x + 3 (де x - латинське числове) і за формулою 6 x +6 для чисел, що закінчуються на -ілліард.

З англійської системи в російську мову перейшло лише число мільярд (10 9), яке все ж таки було б правильніше називати так, як його називають американці - більйоном, так як у нас прийнята саме американська система. Але хто у нас у країні щось робить за правилами! 😉 До речі, іноді в російській мові вживають і слово трильярд (можете самі в цьому переконатися, запустивши пошук у Гуглі чи Яндексі) і означає воно, зважаючи на все, 1000 трильйонів, тобто. квадрильйон.

Крім чисел, записаних з допомогою латинських префіксів за американської чи англійської системі, відомі і звані позасистемні числа, тобто. числа, які мають свої власні назви без жодних латинських префіксів. Таких чисел існує кілька, але докладніше про них розповім трохи пізніше.

Повернемося до запису за допомогою латинських чисельників. Здавалося б, що ними можна записувати числа до безкінечності, але це не зовсім так. Зараз поясню чому. Подивимося для початку як називаються числа від 1 до 10 33:

І ось тепер виникає питання, а що далі. Що там за дециліоном? В принципі, можна, звичайно ж, за допомогою об'єднання приставок породити такі монстри, як: андециліон, дуодециліон, тредециліон, кваттордециліон, квіндециліон, сексдециліон, септемдециліон, октодециліон і новемдециліон, але це вже будуть нам складні чисел. Тому власних імен за цією системою, крім зазначених вище, ще можна отримати лише три - вігінтильйон (від лат. viginti- двадцять), центильйон (від лат. centum- сто) та міліліон (від лат. mille– тисяча). Більше тисячі своїх назв для чисел у римлян не було (усі числа більше тисячі у них були складовими). Наприклад, мільйон (1 000 000) римляни називали decies centena milia, тобто "десять сотень тисяч". А тепер, власне, таблиця:

Таким чином, за подібною системою числа більше, ніж 10 3003, який мав би власну, нескладну назву отримати неможливо! Проте числа більше мільйона відомі - це ті самі позасистемні числа. Розкажемо нарешті про них.

Найменше таке число – це міріада (воно є навіть у словнику Даля), яке означає сотню сотень, тобто – 10 000. Слово це, щоправда, застаріло і практично не використовується, але цікаво, що широко використовується слово “міріади”, яке означає зовсім не певну кількість, а незліченну, незліченну безліч чогось. Вважається, що слово міріада (англ. myriad) прийшло до європейських мов із стародавнього Єгипту.

Щодо походження цієї кількості існують різні думки. Одні вважають, що воно виникло в Єгипті, інші вважають, що воно народилося лише в Античній Греції. Як би там не було насправді, але популярність міріаду набула саме завдяки грекам. Міріада була назвою для 10 000, а для чисел більше десяти тисяч назв не було. Однак у замітці "Псаміт" (тобто обчислення піску) Архімед показав, як можна систематично будувати і називати скільки завгодно великі числа. Зокрема, розміщуючи в маковому зерні 10 000 (міріада) піщин, він знаходить, що у Всесвіті (куля діаметром у міріаду діаметрів Землі) помістилося б (у наших позначеннях) не більше ніж 1063 піщанок. Цікаво, що сучасні підрахунки кількості атомів у видимому Всесвіті призводять до 1067 (всього в міріаду разів більше). Назви чисел Архімед запропонував такі:
1 міріада = 104.
1 ді-міріада = міріада міріад = 108.
1 три-міріада = ді-міріада ді-міріад = 1016.
1 тетра-міріада = три-міріада три-міріад = 1032.
і т.д.

Гугол (від англ. Googol) - це число десять сотою мірою, тобто одиниця зі ста нулями. Про "гугол" вперше написав у 1938 році у статті "New Names in Mathematics" у січневому номері журналу Scripta Mathematica американський математик Едвард Каснер (Edward Kasner). За його словами, назвати "гуголом" велику кількість запропонував його дев'ятирічний племінник Мілтон Сіротта (Milton Sirotta). Загальновідомим же число стало завдяки, названій на честь нього, пошуковій машині Google. Зверніть увагу, що Google - це торгова марка, а googol - число.

Едвард Каснер (Edward Kasner).

В інтернеті ви часто можете зустріти згадку, що Гугол найбільше в світі- але це не так...

У відомому буддійському трактаті Джайна-сутри, що відноситься до 100 до н.е., зустрічається число асанкхейя (від кит. асенці- незліченний), що дорівнює 10140. Вважається, що цьому числу дорівнює кількість космічних циклів, необхідних для набуття нірвани.

Гуголплекс (англ. googolplex) - Число також придумане Каснер зі своїм племінником і означає одиницю з гуголом нулів, тобто 10 10100. Ось як сам Каснер описує це "відкриття":

Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. Назву "googol" був введений за хлопцем (Dr. Kasner's nine-year-old nephew), який був поставлений до думки про дуже велику кількість, хіба що, 1 з високим ceroм після нього. Це те, що цей номер не був infinite, і там, де ви думаєте, що це буде мати назву. a googol, але це продовжується finite, as the inventor of name була quick to point out.

Mathematics and the Imagination(1940) Kasner і James R. Newman.

Ще більше, ніж гуголплекс число - число Скьюза (Skewes) було запропоновано Скьюзом в 1933 році (Skewes). J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) за доказом гіпотези Ріманна, що стосується простих чисел. Воно означає eу ступені eу ступені eступенем 79, тобто eee79. Пізніше, Рієл (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference П(x)-Li(x)." Math. Comput. 48, 323-328, 1987) звів число Скьюза до ee27/4, що приблизно дорівнює 8,185 · 10370. Зрозуміло, що якщо значення числа Скьюза залежить від числа e, то воно не ціле, тому розглядати ми його не будемо, інакше довелося б згадати інші ненатуральні числа – число пі, число e, тощо.

Але слід зазначити, що є друге число Скьюза, що у математиці позначається як Sk2, яке ще більше, ніж перше число Скьюза (Sk1). Друге число Скьюза було введено Дж. Скьюзом у тій же статті для позначення числа, для якого гіпотеза Ріманна не справедлива. Sk2 дорівнює 101010103, тобто 1010101000.

Як ви розумієте чим більше серед ступенів, тим складніше зрозуміти яке з чисел більше. Наприклад, подивившись на числа Ск'юза, без спеціальних обчислень практично неможливо зрозуміти яке з цих двох чисел більше. Таким чином, для надвеликих чисел користуватися ступенями стає незручно. Мало того, можна придумати такі числа (і вони вже придумані), коли ступені ступенів просто не влазять на сторінку. Так що на сторінку! Вони не влізуть, навіть у книгу, розміром із увесь Всесвіт! У такому разі постає питання як їх записувати. Проблема, як ви розумієте, можна вирішити, і математики розробили кілька принципів для запису таких чисел. Щоправда, кожен математик, хто ставив цю проблему придумував свій спосіб записи, що призвело до існування кількох, які пов'язані друг з одним, способів для запису чисел - це нотації Кнута, Конвея, Стейнхауза та інших.

Розглянемо нотацію Х'юго Стенхауза (H. Steinhaus). Mathematical Snapshots 3rd edn. 1983), яка досить проста. Стейн хауз запропонував записувати великі числа всередині геометричних фігур - трикутника, квадрата та кола:

Стейнхауз придумав два нові надвеликі числа. Він назвав число – Мега, а число – Мегістон.

Математик Лео Мозер доопрацював нотацію Стенхауза, яка була обмежена тим, що якщо потрібно записувати числа набагато більше мегістону, виникали труднощі і незручності, тому що доводилося малювати безліч кіл один всередині іншого. Мозер запропонував після квадратів малювати не кола, а п'ятикутники, потім шестикутники і таке інше. Також він запропонував формальний запис цих багатокутників, щоб можна було записувати числа, не малюючи складних малюнків. Нотація Мозера виглядає так:

• • n[k+1] = "nв n k-кутників" = n[k]n.

Таким чином, за нотацією Мозера стейнхаузовська мега записується як 2, а мегістон як 10. Крім того, Лео Мозер запропонував називати багатокутник з числом сторін рівним меге - мегагоном. І запропонував число "2 у Мегагоні", тобто 2. Це число стало відомим як число Мозер (Moser's number) або просто як мозер.

Але й мозер не найбільше. Найбільшим числом, яке коли-небудь застосовувалося в математичному доказі, є гранична величина, відома як число Грема (Graham"s number), вперше використана в 1977 році в доказі однієї оцінки в теорії Рамсея. без особливої ​​64-рівневої системи спеціальних математичних символів, введених Кнутом у 1976 році.

На жаль, число записане в нотації батога не можна перевести в запис за системою Мозера. Тому доведеться пояснити і цю систему. У принципі, у ній теж немає нічого складного. Дональд Кнут (так, так, це той самий Кнут, який написав "Мистецтво програмування" і створив редактор TeX) придумав поняття надступеня, яке запропонував записувати стрілками, спрямованими вгору:

Загалом це виглядає так:

Думаю, що все зрозуміло, тому повернемося до Грема. Грем запропонував, так звані G-числа:

Число G63 почало називатися числом Грема (позначається воно часто просто як G). Це число є найбільшим відомим у світі числом і занесене навіть до "Книги рекордів Гінесса".

То чи є числа більше, ніж число Грема? Є, звичайно, для початку є число Грема + 1. Що стосується значущої кількості… добре, є деякі диявольськи складні галузі математики (зокрема області, відомої як комбінаторика) та інформатики, в яких зустрічаються числа навіть більші, ніж число Грема. Але ми майже досягли краю того, що можна розумно і зрозуміло пояснити.

джерела http://ctac.livejournal.com/23807.html
http://www.uznayvse.ru/interesting-facts/samoe-bolshoe-chislo.html
http://www.vokrugsveta.ru/quiz/310/

https://masterok.livejournal.com/4481720.html