Перетин тетраедра площиною паралельної основи. IV

Урок на тему:

«Побудова перерізів тетраедра та паралелепіпеда»

Цілі уроку

1. Ознайомитись з основами вирішення задач на побудову перерізів тетраедра та паралелепіпеда площиною.

2. Виділити види завдань на побудову перерізів.

3. Виробити навички розв'язання задач на побудову перерізів тетраедра та паралелепіпеда.

4. Формування просторової уяви.

Хід уроку.

I Організаційний момент.

II Перевірка домашнього завдання.

Які геометричні тіла ми вивчали на останніх уроках? (Тетраедр, паралелепіпед).

Що називається тетраедром?

Що називається паралелепіпедом?

А тепер перевіримо усне домашнє завдання.

У підручнику на стор. 31 читаємо та відповідаємо на запитання 14,15.

14. Чи існує тетраедр, у якого п'ять кутів граней прямі?

(Ні, тому що в чотирьох трикутниках, що утворюють, може бути тільки чотири прямі кути, по одному в кожному не більше).

15. Чи існує паралелепіпед, у якого:

а) Тільки одна грань прямокутник. (Ні, оскільки протилежні грані паралелепіпеда рівні).

б) Тільки дві суміжні грані ромби. (Ні, ромбами можуть бути лише протилежні грані).

в) Усі кути грані гострі. (Ні, паралелограм має як гострі, так і тупі кути, а кожна грань паралелограм).

г) Усі кути грані прямі. (Так, у прямокутному паралелепіпеді).

д) Число всіх гострих кутів грані не дорівнює числу всіх тупих кутів грані. (Ні, гострих та тупих кутів порівну у кожній грані).

ІІІ Пояснення нової теми.

Тепер переходимо до нової теми. Напишіть тему уроку. Мета сьогоднішнього уроку:

1. Ознайомитись з основами вирішення задач на побудову перерізів тетраедра та паралелепіпеда площиною.

2. Виділити види завдань на побудову перерізів.

3. Виробити навички розв'язання задач на побудову перерізів тетраедра та паралелепіпеда.

4. Формування просторової уяви.

Отже, на вирішення багатьох геометричних завдань, що з тетраэдром і паралелепіпедом, корисно вміти будувати малюнку їх перерізу різними площинами.

Що ж ми розумітимемо під січучою площиною ? У підручнику на стор. 27 знайдемо відповідь це питання.

Поточною площиною називають будь-яку площину, по обидва боки якої є точки даного багатогранника.

Наступне поняття – це переріз. І знову за допомогою звертаємось до підручника. А тепер подивіться, як виглядає точне визначення перетину.

v Де розташовуються сторони багатокутника, що є перетином?

v Де розташовані вершини багатокутника, що є перетином?

А тепер відповімо на запитання. Що означає побудувати переріз багатогранника площиною. Таким чином, ми в кожній грані будуватимемо відрізки, за якими січна площина перетинає грані.

Щоб грамотно побудувати перетин, треба вміти застосовувати різні теореми і властивості. Відповімо на запитання.

Які з цих тверджень можуть стати в нагоді при побудові перерізів?

1. Якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються прямою, що містить цю точку.

2. Якщо пряма, що лежить, в одній із площин, що перетинаються, перетинає іншу площину, то вона перетинає лінію перетину площин.

3. Якщо дві паралельні площини, перетнуті третьою, лінії перетину площин паралельні.

4. Січна, площина перетинає грань багатогранника по ламаною лінії.

5. У перерізі паралелепіпеда площиною, може вийти:

v відрізок

v трикутник

v чотирикутник

v п'ятикутник

v шестикутник

v Семикутник

А тепер згадаємо способи завдання площини:

При побудові перерізів важливо знати:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Тепер у підручнику розглянемо основні завдання на побудову перерізів. І так, завдання перше, де необхідно побудувати перетин тетраедра за трьома точками, що належать січній, площині, причому дві з них лежать в одній площині, а третя лежить в іншій площині.
.jpg" width="588" height="359 src=">

Вирішення задач. Перевірка правильності рішення за допомогою слайдів.

V Підсумок уроку.

Уявіть ситуацію:

Ваш однокласник захворів та пропустив уроки, на яких проходили тему «Побудова перерізів багатогранників». Вам потрібно пояснити цю тему по телефону. Сформулюйте покроковий алгоритм.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

А зараз я проведу тестування. Вам необхідно виконати три завдання протягом трьох хвилин. Виберіть та випишіть номер малюнків, на яких зображено правильні перерізи тетраедра та паралелепіпеда, а також правильний малюнок.

VI Домашнє завдання . n.14, питання 16 № 000,106. Придумати і вирішити одне завдання на побудову перерізу тетраедра чи паралелепіпеда.

На цьому уроці ми розглянемо тетраедр та його елементи (ребро тетраедра, поверхня, грані, вершини). І вирішимо кілька завдань на побудову перерізів у тетраедрі, використовуючи загальний метод для побудови перерізів.

Тема: Паралельність прямих та площин

Урок: Тетраедр. Завдання на побудову перерізів у тетраедрі

Як побудувати тетраедр? Візьмемо довільний трикутник АВС. Довільну точку D, що не лежить у площині цього трикутника. Отримаємо 4 трикутники. Поверхня, утворена цими 4 трикутниками, називається тетраедром (Рис. 1.). Внутрішні точки, обмежені цією поверхнею, також входять до складу тетраедра.

Мал. 1. Тетраедр АВСD

Елементи тетраедра
А,B, C, D - вершини тетраедра.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраедра.
ABC, ABD, BDC, ADC - грані тетраедра.

Примітка:можна прийняти площину АВСза основа тетраедра, і тоді точка Dє вершиною тетраедра. Кожне ребро тетраедра є перетином двох площин. Наприклад, ребро АВ- це перетин площин АВDі АВС. Кожна вершина тетраедра – це перетин трьох площин. Вершина Алежить у площинах АВС, АВD, АDЗ. Крапка А- це перетин трьох зазначених площин. Цей факт записується так: А= АВС ∩ АВD ∩ АСD.

Тетраедр визначення

Отже, тетраедр- Це поверхня, утворена чотирма трикутниками.

Ребро тетраедра- Лінія перечісування двох площин тетраедра.

Складіть із 6 сірників 4 рівні трикутники. На площині вирішити завдання не виходить. А у просторі це зробити легко. Візьмемо тетраедр. 6 сірників – це його ребра, чотири грані тетраедра і будуть чотирма рівними трикутниками. Завдання вирішено.

Дан тетраедр АВСD. Крапка Mналежить ребру тетраедра АВ, крапка Nналежить ребру тетраедра УDі крапка Рналежить ребру DЗ(Мал. 2.). Побудуйте перетин тетраедра площиною MNP.

Мал. 2. Малюнок до задачі 2 - Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Розглянемо грань тетраедра DНД. У цій межі точки Nі Pналежать грані DНД, А значить, і тетраедру. Але за умовою точки N, Pналежать січній площині. Значить, NP- це лінія перетину двох площин: площини грані DНДта січній площині. Припустимо, що прямі NPі НДне паралельні. Вони лежать в одній площині DНД.Знайдемо точку перетину прямих NPі НД. Позначимо її Е(Мал. 3.).

Мал. 3. Малюнок задачі 2. Знаходження точки Е

Крапка Еналежить площині перерізу MNP, так як вона лежить на прямий NР, а пряма NРповністю лежить у площині перерізу MNP.

Також точка Ележить у площині АВСтому, що вона лежить на прямий НДз площини АВС.

Отримуємо, що ЇМ- лінія перетину площин АВСі MNP,так як точки Еі Млежать одночасно у двох площинах - АВСі MNP.З'єднаємо точки Мі Е, і продовжимо пряму ЇМдо перетину з прямої АС. Точку перетину прямих ЇМі АСпозначимо Q.

Отже, у цьому випадку NPQМ- Перетин, що шукається.

Мал. 4. Малюнок задачі 2.Рішення задачі 2

Розглянемо тепер випадок, коли NPпаралельна BC. Якщо пряма NPпаралельна до якої-небудь прямої, наприклад, прямої НДз площини АВС, то пряма NPпаралельна всій площині АВС.

Шукана площина перерізу проходить через пряму NP, паралельну площині АВС, і перетинає площину прямою МQ. Значить, лінія перетину МQпаралельна прямий NP. Отримуємо, NPQМ- Перетин, що шукається.

Крапка Млежить на бічній грані АDУтетраедра АВСD. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через точку Мпаралельно підставі АВС.

Мал. 5. Малюнок до задачі 3 Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Поточна площина φ паралельна площині АВСза умовою, отже, ця площина φ паралельна прямим АВ, АС, НД.
У площині АВDчерез точку Мпроведемо пряму PQпаралельно АВ(Рис. 5). Пряма PQлежить у площині АВD. Аналогічно у площині АСDчерез точку Рпроведемо пряму РRпаралельно АС. Отримали крапку R. Дві прямі, що перетинаються PQі РRплощині РQRвідповідно паралельні двом прямим прямокутним прямим АВі АСплощині АВСотже, площині АВСі РQRпаралельні. РQR- Перетин, що шукається. Завдання вирішено.

Дан тетраедр АВСD. Крапка М- точка внутрішня, точка грані тетраедра АВD. N- Внутрішня точка відрізка DЗ(Мал. 6.). Побудувати точку перетину прямої NMта площині АВС.

Мал. 6. Малюнок завдання 4

Рішення:
Для вирішення збудуємо допоміжну площину DМN. Нехай пряма DМперетинає пряму АВ у точці До(Мал. 7.). Тоді, СКD- це переріз площини DМNта тетраедра. У площині DМNлежить і пряма NM, та отримана пряма СК. Значить, якщо NMне паралельна СК, то вони перетнуться в деякій точці Р. Крапка Рі буде шукана точка перетину прямий NMта площині АВС.

Мал. 7. Малюнок задачі 4. Розв'язання задачі 4

Дан тетраедр АВСD. М- Внутрішня точка грані АВD. Р- Внутрішня точка грані АВС. N- Внутрішня точка ребра DЗ(Мал. 8.). Побудувати перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки М, Nі Р.

Мал. 8. Малюнок до задачі 5 Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Розглянемо перший випадок, коли пряма MNне паралельна площині АВС. У минулому завданні ми знайшли точку перетину прямої MNта площині АВС. Це точка До, вона отримана за допомогою допоміжної площини DМN, тобто. ми проводимо DМі отримуємо точку F. Проводимо СFі на перетині MNотримуємо крапку До.

Мал. 9. Малюнок задачі 5. Знаходження точки К

Проведемо пряму КР. Пряма КРлежить і в площині перерізу, і в площині АВС. Отримуємо точки Р 1і Р 2. З'єднуємо Р 1і Мі на продовженні отримуємо крапку М 1. З'єднуємо точку Р 2і N. В результаті отримуємо шуканий переріз Р 1 Р 2 NМ 1. Завдання у першому випадку вирішено.
Розглянемо другий випадок, коли пряма MNпаралельна площині АВС. Площина МNРпроходить через пряму МNпаралельну площині АВСі перетинає площину АВСза деякою прямою Р 1 Р 2тоді пряма Р 1 Р 2паралельна даній прямий MN(Мал. 10.).

Мал. 10. Малюнок задачі 5. Шуканий перетин

Тепер проведемо пряму Р 1 Мі отримаємо точку М 1.Р 1 Р 2 NМ 1- Перетин, що шукається.

Отже, ми розглянули тетраедр, вирішили деякі типові завдання на тетраедр. На наступному уроці ми розглянемо паралелепіпед.

1. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене та доповнене - М.: Мнемозіна, 2008. - 288 с. : іл. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні)

2. Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів

3. Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. :іл. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики

Додаткові веб-ресурси

2. Як побудувати перетин тетраедра. Математика ().

3. Фестиваль педагогічних ідей ().

Зроби вдома завдання на тему "Тетраедр", як знаходити ребро тетраедра, грані тетраедра, вершини та поверхню тетраедра

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. Завдання 18, 19, 20 стор.

2. Крапка Есередина ребра МАтетраедра МАВС. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки В, Сі Е.

3. У тетраедрі МАВС точка М належить грані АМВ, точка Р – грані ВМС, точка К – ребру АС. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки М, Р, До.

4. Які фігури можуть вийти внаслідок перетину площиною тетраедра?

Слайд 2

Інформація для учителя. Мета створення цієї презентації полягає в тому, щоб наочно продемонструвати алгоритми побудови точки перетину прямої та площини, прямої перетину площин та перерізів тетраедра. Вчитель може використовувати презентацію під час проведення уроків з цієї теми, або рекомендувати її самостійного вивчення учням, пропустивши з якоїсь причини її вивчення, чи повторення ними окремих питань. Учні супроводжують вивчення презентації наповненням короткого конспекту.

Слайд 3

Інформація для учня. Мета створення цієї презентації полягає у тому, щоб наочно продемонструвати алгоритми розв'язання задач на побудову у просторі. Постарайтеся уважно і, не поспішаючи, вивчати коментарі на виносках та зіставляти їх із малюнком. Заповнюйте у короткому конспекті всі перепустки. При самостійному вирішенні завдань необхідно спочатку самому продумати рішення, та був переглянути запропоноване автором. Запишіть запитання до вчителя та поставте їх на уроці.

Слайд 4

I. Пряма а перетинає площину? Побудувати точку перетину.

? ? Через пряму а проведемо площину ? пряма т лежить у площині? Запишіть алгоритм у короткий конспект.

Слайд 5

1) Побудувати точку перетину прямої МN та площини BDC.

D B A C M N P (М, N) (АВС) Відповідь: Через пряму МN проходить площину АВС, що перетинає площину BDC прямою ВС. Пряма МN перетинається із прямою ВС у точці Р. Пряма ВС лежить у площині BDC, отже пряма МN перетинає площину BDC у точці Р.

Слайд 6

2) Побудувати точку перетину прямої МN та площини АBD.

D B A C M N P Відповідь: Переглянути рішення Пряма MN належить площині DC, яка перетинає площину АВД по прямій DB Перетнемо прямі MN і DB. Далі

Слайд 7

ІІ. Нехай пряма АВ не є паралельною площині α. Побудувати лінію перетину площин αі АВС, якщо точка С належить площині α

B C A α β P m Побудуємо точку перетину прямої АВ із площиноюα. За умовою та побудовою точки С та Р загальні для площин АВС та α. За умовою та побудовою точки С та Р загальні для площин АВС та α. Значить пряма СР пряма перетину площин АВС і α. II. Щоб побудувати лінію перетину площини α і площині АВС (С α, (А, В) α, АВ || α), потрібно: побудувати точку перетину прямої АВ і площини α - точку Р; 2) точка Р та С загальні точки площин (АВС) та α, отже (АВС) α = СР Запишіть алгоритм у короткий конспект.

Слайд 8

3).Побудувати пряму перетин площин МNP і АDB.

Побудувати відрізок перетину площини МNP та грані АDB. M D B A C N P X Q R Відповідь: Побудуємо точку перетину прямої МР із площиною ADB (точку Х). Пряма МР лежить у площині ADС, що перетинає площину ADВ прямою AD. Пряма МР лежить у площині ADС, що перетинає площину ADВ прямою AD. Точки Х та N загальні точки площин ADВ та MNP. Значить вони перетинаються прямою ХN. Запишіть хід побудови до короткого конспекту.

Слайд 9

Перетин тетраедра.

C D B A M N P α Багатокутник, складений із відрізків, за якими січна площина перетинає грані багатогранника, називається перетином багатогранника. Відрізки, з яких складається переріз, називаються слідами площини на гранях. ∆ MNP – переріз. Нехай площину перетинає тетраедр, тоді вона називається січною площиною. Площина перетинає ребра тетраедра в точках М,N,P, а межі - по відрізках MN, MP, NP... Трикутник МNP називається перетином тетраедра цією площиною... Запишіть у короткий конспект.

Слайд 10

Перетин тетраедра може бути чотирикутником.

A C D B M N P Q α MNPQ – перетин.

Слайд 11

Алгоритм побудови перерізу тетраедра площиною, що проходить через дані точки M,N,P.

MNPQ - шуканий переріз. D B A C M N P Q X Побудувати сліди сіючої площини у тих гранях, у яких є 2 спільні точки з нею. 3)Через побудовані точки провести пряму, якою січна площина перетинає площину обраної грані АВС. 4) Відзначити та позначити точки, в яких ця пряма перетинає ребра грані АВС та добудувати інші сліди. 2) Вибрати грань, у якій ще немає сліду. Побудувати точки перетину прямих, що вже містять побудовані сліди, з площиною обраної грані: АВС.

Слайд 12

Побудувати переріз тетраедраплощиною MNP.2 спосіб.

D B A C M N P Q X MNPQ – перетин, що шукається.

Слайд 13

№1. (Вирішіть самостійно завдання). Побудувати перетин тетраедра площиною MNP.

Q D A C M N P X B X Переглянути рішення Другий спосіб: Далі

Слайд 14

№2. (Вирішіть самостійно). Побудувати перетин тетраедра площиною MNP, якщо Р належить грані АDC.

Слайд 15

№3. Побудувати переріз тетраедраплощиною α, паралельною ребру CD і проходить через т. F, що лежить на площині DBC, і точку М.

3) α (ADB) = MN, α (ABC) = QP. Q D B A M N P F C Дано: α||DC, (M; F) α, F (BDC), M AD. Побудувати перетин тетраедра DABC Т.к. α||DC, то (DBC) α=FP і FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Оскільки α||DC, то (DAC) α=MQ і MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP і NP α, отже DC||α, отже MNPQ – шуканий переріз. Продовжіть фразу: Якщо дана пряма а паралельна до певної площини α, то будь-яка площина, що проходить через цю пряму а і непаралельна площині α, перетинає площину α по прямій b,……………………………………… паралельної прямої а. Продовжіть… α||DC, отже площина BDC перетинає α по прямій, паралельній DC і проходить через точку F α||DC, отже площина ADC перетинає α по прямій, паралельній DC і проходить через точку M

Слайд 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC) = CD, (ADC)α=MN MP||CD. P №4. Побудувати переріз тетраедраплощиною α, паралельної грані BDC і через точку М. B A C M N D Дано: α||DBC, M α, M AD. Побудувати переріз тетраедра DABC площиною α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP – шуканий переріз, т.к………. Продовжіть фразу: Якщо дві паралельні площини перетнуті третьою площиною, то лінії їх перетину……………………… паралельні. дві прямі MN і MP площини, що перетинаються, α відповідно паралельні двом перетинаються прямим DB і DC площині (DBC), значить α||(DBC). α||DВC, означає площини ADВ і ADC перетинають площини α і (ВDС) за прямими MN і МР, паралельними DB і DС відповідно і проходять через точку M.

Слайд 17

Далі М R B A C N №5. Вирішіть самостійно та запишіть хід рішення. Побудувати перетин тетраедра площиною α, що проходить через точку М та відрізок PN, якщо PN||AB та М належить площині (АВС). Р Q D 1)NP||АВ NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2) MQ AC = R. α (ADC) = NR, α (BDC) = PQ. RNPQ - шуканий переріз. Переглянути рішення NP||(AВC), отже, площина MNP перетинає площину AВС по прямій MQ, паралельній NP і проходить через точку M.

Слайд 18

Не забудьте сформулювати питання вчителю, якщо щось було не зрозуміло, а також свої рекомендації щодо вдосконалення цієї презентації.

Слайд 19

Під час створення презентації були використані підручники та посібники: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов та ін. Геометрія 10-11. М. «Освіта» 2008. 2.Б.Г. Зів, В.М. Мейлер, А.Г. Баханський Завдання з геометрії 7-11.М. «Освіта» 2000

Переглянути всі слайди

У кожній із цих граней відзначаються вершини протилежні вершині A, це будуть вершини B, C і D. Отримані відрізки AB, AC, AD, BC, DC і BD між як граней куба, тому ABCD є правильним тетраедром.

Зверніть увагу

Тетраедр є одним із п'яти можливих правильних багатогранників. До правильних багатогранників ставляться так само: октаедр, додекаедр, ікосаедр і гексаедр або куб. Куб - найпростіший для побудови багатогранник, всі інші можуть бути побудовані за його допомогою.

Стереометрія, як частина геометрії, набагато яскравіша і цікавіша саме тим, що фігури тут не площинні, а об'ємні. У численних завданнях потрібно розрахувати параметри паралелепіпедів, конусів, пірамід та інших тривимірних фігур. Іноді вже на етапі побудови виникають складності, які легко усуваються, якщо дотримуватися простих принципів стереометрії.

Вам знадобиться

• - Лінійка;
• - олівець;
• - циркуль;
• - Транспортир.

Інструкція

Визначтеся з кількістю граней, а також кількістю кутів у багатокутниках самих граней перед . Якщо в умові йдеться про правильний багатогранник, то будуйте його так, щоб він був опуклий (не ламаний), щоб грані були правильними багатокутниками, а в кожній вершині тривимірної фігури сходилася однакова кількість ребер.

Пам'ятайте про особливі багатогранники, для яких є постійні характеристики:
- Тетраедр складається з трикутників, має 4 вершини, 6 ребер, що сходяться у вершинах по 3, а також 4 грані;
- Гесаедр, або куб, складається з квадратів, має 8 вершин, 12 ребер, що сходяться по 3 на вершинах, а також;
- октаедр складається з трикутників, має 6 вершин, 12 ребер, що примикають по 4 до вершин, а також 8 граней;
- - це дванадцятигранна фігура, що складається з п'ятикутників, що має 20 вершин, а також 30 ребер, що примикають до вершини по 3;
- , У свою чергу, має 20 трикутних граней, 30 ребер, що примикають по 5 до кожної з 12 вершин.

Почніть побудову з , якщо ребра багатогранника паралельні. Це стосується паралелепіпеда, . При цьому буде зручніше розпочинати побудову з малювання основи багатогранника, а потім добудовувати грані відповідно до заданих кутів щодо площини основи. Для куба і прямого паралелепіпеда це буде прямий кут між площиною основи та бічних граней. Для похилого паралелепіпеда дотримуйтесь умов завдання, за потреби використовуючи транспортир. Пам'ятайте, що площини верхньої та нижньої грані цієї фігури паралельні.

Побудуйте неправильний з урахуванням кількості кутів у кожній із граней, а також числа суміжних . При побудові багатогранника не забувайте, що межі багатогранних фігур не завжди рівновеликі, з однаковою кількістю кутів. Наприклад, в основі може бути ромб, а бічні грані її становитимуть з різною довжиною ребер.

Відео на тему

Зверніть увагу

Якщо в задачі просять зобразити тетраедр, гексаедр (або куб), октаедр, додекаедр, ікосаедр, то відразу зауважте, що йдеться про правильний багатогранник з відповідним числом граней.

Корисна порада

Багатогранник загалом складається з певної кількості плоских багатокутників. При цьому обов'язково дотримуються наступних умов:
- суміжність багатокутників, у тому числі складається багатогранник. Це означає, що сторона одного багатокутника одночасно є стороною та іншого – суміжного;
- усі багатокутники безперервно пов'язані між собою. Це так званий принцип «зв'язності».

Виготовити модель тетраедра можна з різних матеріалів. Один з найбільш доступних варіантів – склеїти його з паперу. При цьому клей потрібний не завжди, оскільки самоклеючий папір теж підходить для таких цілей.

Вам знадобиться

• - папір для побудови розгортки;
• - папір для моделі;
• - Лінійка;
• - олівець;
• - транспортир;
• - ножиці;
• - Комп'ютер з AutoCAD.

Інструкція

Почніть із побудови розгортки. Якщо ви збираєтеся клеїти тетраедр із звичайного щільного паперу, розгортку можна зробити прямо на ній. Для паперу, що самоклеїться, краще накресліть форму, як це виконується в класичному моделюванні. Можна використовувати комп'ютер з AutoCAD або будь-яким іншим графічним редактором, що дозволяє будувати правильні багатокутники.

Сьогодні ще раз розберемо, як побудувати перетин тетраедра площиною.
Розглянемо найпростіший випадок (обов'язковий рівень), коли 2 точки площини перерізу належать до однієї грані, а третя точка - до іншої грані.

Нагадаємо алгоритм побудови перерізівтакого виду (випадок: 2 точки належать до однієї грані).

1. Шукаємо грань, що містить 2 точки площини перерізу. Проводимо пряму через дві точки, що лежать в одній грані. Знаходимо точки її перетину з ребрами тетраедра. Частина пряма, що опинилася в грані, є стороною перерізу.

2. Якщо багатокутник можна замкнути – перетин побудований. Якщо не можна замкнути, то знаходимо точку перетину побудованої прямої та площини, що містить третю точку.

1. Бачимо, що точки E та F лежать в одній грані (BCD), проведемо пряму EF у площині (BCD).
2. Знайдемо точку перетину прямої EF з ребром тетраедра BD, це точка Н.
3. Тепер слід знайти точку перетину прямої EF і площині, що містить третю точку G, тобто. площині (ADC).
Пряма CD лежить у площинах (ADC) та (BDC), отже вона перетинається з прямої EF, і точка К є точкою перетину прямої EF та площини (ADC).
4. Далі знаходимо ще дві точки, що лежать в одній площині. Це точки G і K, обидві лежать у площині лівої бічної грані. Проводимо пряму GK, відзначаємо точки, у яких ця пряма перетинає ребра тетраедра. Це точки M та L.
4. Залишилося "замкнути" перетин, тобто з'єднати точки, що лежать в одній грані. Це точки M і H, і L і F. Обидва цих відрізка - невидимі, проводимо їх пунктиром.

У перерізі вийшов чотирикутник MHFL. Усі його вершини лежать на ребрах тетраедра. Виділимо перетин, що вийшов.

Тепер сформулюємо "властивості" правильно побудованого перерізу:

1. Усі вершини багатокутника, що є перетином, лежать на ребрах тетраедра (паралелепіпеда, багатокутника).

2. Усі сторони перерізу лежать у гранях багатогранника.
3. У кожній грані багаторанника може бути не більше однієї (одна або жодної!) сторони перерізу