Серьогін А. А

Введення в роботу

Актуальність теми.При дослідженні нелінійних крайових завдань, що описують процеси забруднення та рекреації середовища, що відображають поряд з дифузією адсорбцію та хімічні реакції, особливий інтерес представляють завдання типу Стефана з вільною межею та джерелами, що істотно залежать від поля концентрації. У теоретичному плані для таких завдань залишаються актуальними питання існування, єдиності, стабілізації та просторової локалізації рішень. У практичному плані - особливо важливою є розробка ефективних чисельно-аналітичних методів їх вирішення.

Розробка ефективних методів наближеного вирішення завдань зазначеного класу дозволяє встановити функціональні залежності основних параметрів процесу від вхідних даних, що дають змогу розраховувати та прогнозувати еволюцію аналізованого процесу.

Серед робіт, у яких розглядаються питання вирішення завдань типу Стефана зі вільним кордоном, слід зазначити роботи A.A. Самарського, О.А. Олійник, С.А. Каменомісткою, Л.І. Рубенштейна та ін.

Мета роботи.Метою даної дисертації є дослідження завдань із вільними межами у новій постановці, що моделює процеси перенесення та дифузії з урахуванням реакції забруднюючих субстанцій у проблемах охорони навколишнього середовища; їх якісного дослідження та, головним чином, розробки конструктивних методів побудови наближених рішень поставлених завдань.

Загальні методи дослідження.Результати роботи отримані з використанням методу Біркгофа поділу змінних, методу нелінійних інтегральних рівнянь, методу Роте, а також методу еквівалентної лінеаризації

Наукова новизна та практична цінність.Досліджувані у дисертації постановки завдань на кшталт завдання Стефана розглядаються вперше. Для даного класу завдань отримані такі, що виносяться на захист, основні результати:

Досліджено якісно нові ефекти просторово-тимчасової локалізації

Встановлено необхідні умови просторової локалізації та стабілізації до граничних стаціонарних станів,

Доведено теорему про єдиність розв'язання задачі зі вільним кордоном у разі умов Діріхле на відомій поверхні.

Отримані, методом поділу змінних, точні просторово локалізовані сімейства приватних рішень квазилінійних параболічних рівнянь, що вироджуються.

Розроблено ефективні методи наближеного вирішення одномірних стаціонарних завдань із вільними кордонами на основі застосування методу Роте у поєднанні з методом нелінійних інтегральних рівнянь.

Отримано точні просторово-локалізовані рішення стаціонарних завдань дифузії з реакцією.

Результати дисертаційної роботи можуть бути застосовані при постановці та вирішенні різних проблем сучасного природознавства, зокрема металургії та кріомедицини, і є досить ефективними методами при прогнозуванні, наприклад, повітряного середовища.

Апробація роботи.Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на семінарі відділу математичної фізики та теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України та кафедри математичної фізики Київського університету імені Тараса Шевченка, на Міжнародній конференції "Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь та математичної фізики9" (серпень 2010 р.). семінарі математичного факультету Кабардино-Балкарського державного університету з математичної фізики та обчислювальної математики.

Структура та обсяг роботи.Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку цитованої літератури, що містить 82 найменування. Обсяг роботи склад-

РГБ ЛАч

правах рук

Догучаєва Світлана Магомедівна

Конструктивні методи вирішення крайових завдань із вільними межами для нелінійних рівнянь параболічного типу

Спеціальність 01.01.03 – Математична фізика

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Нальчик -

Робота виконана у Кабардино-Балкарському державному університеті ім. Х.М. Бербекова та Інститут математики HAH України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних

наук, професор Березовський О.О.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних

наук, професор Шогенов В.Х. кандидат фізико-математичних наук, доцент Бечелова О.Р.

Провідна організація: Науково-дослідний інститут

Прикладної математики та автоматизації КБНЦ РАН

Захист відбудеться 28 грудня 2000р. о 1022 годині на засіданні спеціалізованої Ради К063.88.06 при Кабардино-Балкарському державному університеті за адресою:

360004, м. Нальчик, вул. Чернишевського, 173.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці КБГУ.

Вчений секретар ДС К063.88.06 к.ф.-м.н. Кайгермазов A.A.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. При дослідженні нелінійних крайових завдань, що описують процеси забруднення та рекреації середовища, що відображають поряд з дифузією адсорбцію та хімічні реакції, особливий інтерес представляють завдання типу Стефана з вільною межею та джерелами, що істотно залежать від поля концентрації. У теоретичному плані для таких завдань залишаються актуальними питання існування, єдиності, стабілізації та просторової локалізації рішень. У практичному плані - особливо важливою є розробка ефективних чисельно-аналітичних методів їх вирішення.

Розробка ефективних методів наближеного вирішення завдань зазначеного класу дозволяє встановити функціональні залежності основних параметрів процесу від вхідних даних, що дають змогу розраховувати та прогнозувати еволюцію аналізованого процесу.

Серед робіт, у яких розглядаються питання вирішення завдань типу Стефана зі вільним кордоном, слід зазначити роботи A.A. Самарського, О.А. Олійник, С.А. Каменомісткою, Л.І. Рубенштейна та ін.

Мета роботи. Метою даної дисертації є дослідження завдань із вільними межами у новій постановці, що моделює процеси перенесення та дифузії з урахуванням реакції забруднюючих субстанцій у проблемах охорони навколишнього середовища; їх якісного дослідження та, головним чином, розробки конструктивних методів побудови наближених рішень поставлених завдань.

Загальні методи дослідження. Результати роботи отримані з використанням методу Біркгофа поділу змінних, методу нелінійних інтегральних рівнянь, методу Роте, а також методу еквівалентної лінеаризації

Наукова новизна та практична цінність. Досліджувані у дисертації постановки завдань на кшталт завдання Стефана розглядаються вперше. Для даного класу завдань отримані такі, що виносяться на захист, основні результати:

1. Досліджено якісно нові ефекти просторово-тимчасової локалізації

2. Встановлено необхідні умови просторової локалізації та стабілізації до граничних стаціонарних станів,

Результати дисертаційної роботи можуть бути застосовані при постановці та вирішенні різних проблем сучасного природознавства, зокрема металургії та кріомедицини, і є досить ефективними методами при прогнозуванні, наприклад, повітряного середовища.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на семінарі відділу математичної фізики та теорії нелінійних коливань Інституту математики HAH України та кафедри математичної фізики Київського університету імені Тараса Шевченка, на Міжнародній конференції "Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь та математичної фізики" (7). семінарі математичного факультету Кабардино-Балкарського державного університету з математичної фізики та обчислювальної математики.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку цитованої літератури, що містить 82 найменування. Обсяг роботи склад-

96 стор, набраних у середовищі Microsoft Office 97 (стиль Times Roman).

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету досліджень, надано короткий огляд та аналіз сучасного стану проблем, що вивчаються в дисертації, та проводиться анотація отриманих результатів.

У першому розділі дана загальна характеристика завдань дифузії в активних середовищах, тобто середовищах, у яких стоки суттєво залежать від концентрації. Вказані фізично обґрунтовані обмеження на стоки при яких проблема зведена до наступного завдання з вільними межами Г(/) для квазілінійного параболічного рівняння в області Cl(t):

с, = div(K(p ,t,c)gradc)~ div(cu)- f(c) + w у Q(i), t > 0, сІ = с0ЫвП(0)

(K(p,t,c)-grad(c,n))+ac - accp на S(t), (1)

c(p,t) = 0, (K(p,t,c) grad(c,n)) = 0 на T(i),

де K (p, t, c) - тензор турбулентної дифузії; та - вектор швидкості середовища, c(p,t) - концентрація середовища.

Значна увага у першому розділі приділено постановкам початково-крайових завдань для поверхонь рівня концентрації у разі спрямованих процесів дифузії, коли має місце взаємно-однозначна відповідність між концентрацією та однією з просторових координат. Монотонна залежність з = с(х,у, z,t) від z дозволяє трансформувати диференціальне рівняння, початкове та крайові умови завдання для поля концентрацій у диференціальне рівняння та відповідні додаткові умови для поля її поверхонь рівня z = z(x,y,c ,t) .Це досягається за допомогою диференціювання зворотних функцій, дозволу рівняння відомої поверхні S:<$>(x, y, z, t) = 0 функцій, дозволу рівняння відомої поверхні S: у, z, t) = 0 - » z = zs (x, y, t) і зворотного про-

читання тотожності с(х,у,г5^)=с(х,у^). Диференціальне рівняння (1) щодо З при цьому перетворюється на рівняння для г - Аг - г, - /(с)гс,

де Аг = Ут(К-Угг)-

Уг = гх1 + г у] + до,

При переході від незалежних змінних х,у,г до незалежних змінних х,у,з фізична область трансформується в нефізичну область обмежену частиною

площині с=О, в яку переходить вільна поверхня Г, і вільної в загальному випадку невідомої поверхнею с=х(у,1) ,в яку переходить відома поверхня 5(1).

На відміну від оператора сИу^гас1с прямої задачі оператор Л зворотного завдання суттєво нелінійний. У дисертації доведено позитивність відповідної оператору А квадратичної.

форми +т]2 +у£2 -2а^ - 2/Зт]^ і цим встановлена ​​його еліптичність, що дозволяє розглядати йому завдання у цій постановці. Інтегруванням частинами отримано аналог першої формули Гріна для оператора А

с(х,у,1) с(0

jjdxdy |і Azdc-

Розглянуто завдання з вільною межею для поля концентрацій с = с(х, у, 1,1), коли на поверхні £(£) задано умову Діріхле

diviK.grайс) - с, = /(с) - ц>, Ре * > Про с(Р,0) = со(Р), РеЙ(0),

c =

з = 0, K- = 0, PeY(t), t> Про ôn

У цьому випадку перехід щодо поверхні рівня z = z (x, y, c, î) дозволив позбавитися вільної поверхні з = с (х, y, t), так як вона повністю визначається умовою Диріхле c (x, y, 0 =

відомої області: Qc(i) :

Az = z, - (/(с) -w(z)]zc x,yeD(t), 0<с О, z (x, y, c, 0) = Zq (x, y, c), x, ye D (t), (3)

z (x, y, c, t) = z (x, y, c, t), c = c (x, y, t), x, y e D (t), t> 0, zc (x, y ,0,0 = - ° °, x, yeD (t), t> 0,

Тут же досліджується питання єдиності рішення зада-чи(3).

Має місце наступна теорема

Теорема 1. Якщо функція джерел W = COïlSt, функція стоків f(c) монотонно зростає і /(о) = 0, то розв'язання задачі Диріхле (2) для поверхонь рівня позитивне та єдине.

У третьому параграфі першого розділу розглядаються якісні ефекти процесів дифузії, що супроводжуються адсорбцією та хімічними реакціями. Ці ефекти неможливо знайти описані виходячи з лінійної теорії. Якщо в останній швидкість поширення нескінченна і тим самим відсутня просторова локалізація, то аналізовані нелінійні моделі дифузії з реакцією при встановлених в роботі функціональних залежностях коефіцієнта турбулентної дифузії К і щільності стоків (кінетики хімічної реакції) f від концентрації дозволяють описати реально спостерігаються ефекти ко-

ної швидкості поширення, просторової локалізації та стабілізації за кінцевий час (рекреації) забруднюючих речовин. У роботі встановлено, що ці ефекти можна описати за допомогою запропонованих моделей, якщо існує невласний інтеграл

¡K(w)~2dw< оо (4)

Розглянуто відповідне (1) нелокальне початково-крайове завдання з й - О

ffед^ 1 Ac), o o,

oz oz) at c(z,0) = 0, 0< z < то, /00 / \\\ct+f{c)\lzdt = -\Q{t)dt, t>0; 00 0 dc

c( , t) = 0, K (c) - = 0, z = ° o> 0. dz

Стаціонарне завдання у безкоординатній формі має вигляд: div(K(c) grade) = f(c) у Q \ Р (0< с < да},

(.K(c)grad(c,п))+ас = 0 на S = dQf)dD, (5) з = 0, (K(c)grad(c,n)) = 0 наГ=(с = 0) = аоП£>, jff/(c)dv + afj cds = Q.

У напівоколиці з е Q точки Р е Г перехід до напівкоординатної форми запису дозволив отримати завдання Коші

Divx(K(c)gradTc) = /(с) в (О (^<0),(6)

с = 0, К (с) - = 0, 7 = 0, 07

де 17 - координата, що відраховується по нормалі Я до Г в точці Р, а дві інші декартові координати г, г2 лежать у дотичній площині до Г в точці Р. Так як можна вважати, що з (г, г2 ц) слабо залежить від тангенціальних координат, тобто

с(г,т2 Г]) = с(т]), то для визначення с(//) з (6) слід завдання Коші

Пекло- =/(с), г|<0,

с = о, пекло = 0,7 = 0.

Отримано точне розв'язання задачі (7)

77(с) = |л:(і>) 21 К(у)/(у)<ь (8)

про |_ 0 і доведено таку теорему

Теорема 2. Необхідною умовою існування просторово-локалізованого вирішення нелокальних завдань з вільними кордонами, що розглядаються, є існування невласного інтеграла (4).

Крім того, доведено, що умова (4) є необхідною та достатньою для існування просторово локалізованого рішення наступного нелокального стаціонарного завдання з вільним кордоном:

0 < г < оо,

с(оо) = 0, ДГ(с)-= 0, г

тобто має місце

Теорема 3. Якщо функція f(c) задовольняє умовам /(с) = с2/М, У2 0, а К(с)-безперервна позитивна функція, то за будь-якого Q> Про позитивне рішення нелокальної крайової задачі (9) існує і єдино.

Тут же розглянуто дуже важливі для практики питання рекреації середовища за кінцевий час. У роботах В.В. Калашнікова (1974) та А.А.Самарського (1982) за допомогою теорем порівняння ця проблема зведена до вирішення диференціальної нерівності

- < -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не завися-dt

чі від координати) рішення. При цьому для часу рекреації отримано оцінку

На відміну від цих підходів у дисертації здійснено спробу отримати більш точні оцінки, в яких враховувався початковий розподіл концентрації Сд(х) та її носій 5(0).

З цією метою за допомогою отриманих у роботі апріорних оцінок знайдено диференціальну нерівність для квадрата норми розв'язання

з якого випливає точніша оцінка для Т

Т< ,(1+/?жо)

де с - корінь рівняння

"(1-ру2лУг

2_0-/у з /2 =<р,

y(t) HkMI2 , s(0) = ~-p(l + /))c

Друга глава присвячена питанням моделювання процесів перенесення та дифузії пасивних домішок у стратифікованих середовищах. Вихідною тут є завдання (1) з / (с) з Про і крайовою умовою Діріхле або нелокальною умовою ct = div (K (p, t, c) gradc) - div (cü) + з Q (t), t> Про

с(р,0) = з(р) в ОД,

c(p,t) = q>(p,t) на S(t) або jc(p,t)dv = Q(t), (13)

c(p,t) = О, (K(p,t,c)grad(c,n)) = 0 на Г(0-Розглянуто одновимірні завдання турбулентної дифузії з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від масштабу, часу та концентрації). являють собою локальні та нелокальні завдання для квазілінійного рівняння

де К(г,(,с) =К0<р(()гтс1!; <р^) - произвольная функция;

К0, т і до - деякі постійні. Приватні рішення цього рівняння розшукуються шляхом поділу змінних як

c (r, t) = f (t) B (rj), О,

де функції/(/),5(г)),ф(/) і параметр р визначаються в процесі поділу змінних (14). В результаті отримано звичайне диференціальне рівняння для (т))

та уявлення

c(r,t)^(t)f B(rj), =

значенні

довільною

постійною

С - Сх і Сх = (т ^ / рівняння (16) допускає точ-

ні рішення, що залежать від однієї довільної постійної. Останню можна визначити, задовольняючи тим чи іншим додатковим умовам. У разі крайової умови Діріхлі

з (0,0 = В0 [ф (0] У * (18)

отримано точне просторово локалізоване рішення у разі до>0,т<2:

т) 0 = [в * К0 (2 - т) р / к] Р "(2 ~ т \ р = пк + 2-т.

і точне нелокалізоване рішення у разі до<0, т<2:

0<г<гф(0 , гД0<г<со

с(г,1)=«Ш-п

Про< Г < 00. (20)

щ = [к0(2-т)р/вУ1|4"(2_т)5 Р = 2-т-п\к[

Тут = | ф (т) с1т; гф (/) = . При до 0 отримано-

них рішень слід розв'язати лінійне завдання

сМ = вМ) Г/(1"т) ехр[- г2- /(1 - т)гК^)\

яке за ф(() = 1 і т - Про перетворюється на фундаментальне рішення рівняння дифузії.

Отримані точні рішення також у разі миттєвих або постійно зосереджених джерел, коли додатковим є нелокальна крайова умова виду

Q =

де соп - площа одиничної сфери (й> 1 = 2, еог = 27і, о) ' = 4л ").

Знайдені точні рішення при к > Про виду (19) являють собою дифузійну хвилю, що розповсюджується по незбуреному середовищі з кінцевою швидкістю. При до< 0 такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

де К(г,х,с) = КцК(х)гтск, ô(r)~ дельта-функція Дірака; Q-потужність джерела. Трактування координати X як часу /, дозволило тут також отримати точні приватні рішення (22)

0<г <гф(х), Гф(х)<Г< 00,

2Скг(2 + 2к)К ко

лкй(2 + 2ку

Рішення (23) дає важливу можливість опису просторової локалізації дифузійного обурення. У цьому випадку визначається фронт дифузної хвилі, що розділяє області з нульовою та ненульовою концентраціями. При до -> 0 з нього слід відоме рішення Робертса, що не дозволяє, однак, описати просторову локалізацію.

Третій розділ дисертації присвячений дослідженню конкретних завдань дифузії з реакцією в стратифікованому повітряному середовищі, що являє собою наступне одновимірне завдання зі вільним кордоном.

їхх~і1=/(і)> 0< лт < £(/), />0,

ы(х,0) = и0(х), 0<х< 5(0), (24)

їх -Іі = ~) г<р, х = 0, ¿>0,

і-0, їх = 0, х = ¿> 0.

Здійснено чисельно-аналітичну реалізацію задачі (24), засновану на методі Роте, що дозволило отримати наступну апроксимацію задачі у вигляді системи крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь щодо наближеного значення і(х)=і(х^к), і

і(х) = і(х,1к_)):

і"-т~1і = ір - г"1 і, 0< дг <

і"-Іі = -Ьср, х = 0, (25)

н(л) = 0 н"О) = 0.

Розв'язання задачі (25) зведено до нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра

і(х) - л/т ¡зІ-^

Для чисельних розрахунків рішення (26), (27) за допомогою кінцевої апроксимації зведено до знаходження рішень системи нелінійних рівнянь алгебри щодо вузлових значень і] = і (х]) а sj.

Тут же розглянуті завдання з вільними кордонами в проблемі забруднення та самоочищення атмосфери точковими ви-

точниками. За відсутності адсорбуючої поверхні S(t) (mesS = 0) у разі плоских, циліндричних або точкових джерел забруднення, коли концентрація залежить від однієї просторової координати - відстані до джерела та часу, отримано найпростіше одновимірне нелокальне завдання з вільним кордоном

-^=/(с),0<г<гф(0,">0,

1 д f „_, 8с

г""1 дг(дгу

с(г,0) = 0, 0< г < (0) (28)

с(г,0 = 0, - = 0, г = гф(0, t> 0);

2--- = хх~рір, 0<л 0,

I 1 Т + - \ QiDdt (29)

Побудова розв'язання задачі (28), (29) проведено методом Роте разом із методом нелінійних інтегральних рівнянь.

Перетворенням залежних та незалежних змінних нелокальне завдання з вільним кордоном про точкове джерело наведено до канонічного вигляду

і (х, 0) = 0, 0<л; <5(0), (5(0) = 0), (30)

м(5(г),г) = м;с(5(г),г) = 0, г>0

В окремих випадках отримано точні рішення відповідних нелокальних стаціонарних завдань із вільним кордоном для рівняння Емдена-Фаулера

■ xx~ßuß, 0

u(s) = ux($) = 0, Jjf2 pußdx = q

] = (1 / 6) (2 s + x) (s -х) г, де

Поруч із методом Роте разом із методом інтегральних рівнянь, розв'язання нестаціонарної завдання (31) будується методом еквівалентної лінеаризації. У цьому методі суттєво використовується конструкція розв'язання стаціонарного завдання. В результаті проблема зведена до завдання Коші для звичайного диференціального рівняння, рішення якої може бути отримано одним із наближених методів, наприклад, методом Рунге-Кутта.

1. Березовський A.A., Догучаєва С.М. Просторова локалізація та стабілізація у процесах дифузії з реакцією // Доповнення HAH Украші. -1998. -№2. -С. 1-5.

2. Березовський H.A., Догучаєва С.М. Завдання Стефана в проблемі забруднення та самоочищення навколишнього середовища точковими джерелами // Нелінійні крайові завдання мат.фізики та їх застосування. – Київ: Ін-т математики HAH України, 1995. –

3. Березовська JI.M., Догучаєва С.М. Завдання Дирихле для поверхонь рівня поля концентрації // Математичні методи в науково-технічних дослідженнях - Київ: Ін-т математики HAH України, 1996.-С.9-14.

4. Березовський A.A., Догучаєва С.М. Математична модель за-бруднення та сомоочищення оточеної середовища точкавим джерелом // Завдання з вільними межами та нелокальні завдання для нелінійних параболічних рівнянь. – Київ: Ін-т математики HAH України, 1996. С.13-16.

5. Догучаєва С.М. Завдання зі вільним кордоном у проблемі довкілля //Нелінійні крайові завдання мат. фізики та їх застосування - Київ: Ін-т. математики HAH України, 1995.

6. Doguchaeva Svetlana M., Berezovsky Arnold A. Matematical models scattering, decomposition і sorption of gas, smoke і інші кисті покручування в турбулентному атмосфері //Internanional Conference Nonlinear Differential Eguations, Kiev, August 29-27 187.

7. Догучаєва C.M. Просторова локалізація рішень крайових завдань для параболічного рівняння, що вироджується, в проблемі навколишнього середовища // Нелінійні крайові завдання мат. Фізики та їх застосування.-Київ:Ін-т математики HAH України,

1996.-С. 100–104.

8. Догучаєва С.М. Одновимірне завдання Коші для поверхонь рівня поля концентрацій // Завдання з вільними межами та нелокальні задачі для нелінійних параболічних рівнянь. -Київ: Ін-т математики HAH України, 1996 – С. 27-30.

9. Догучаєва С.М. Якісні ефекти процесів дифузії та масопереносу, що супроводжуються адсорбцією та хімічними реакціями // Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь та математичної фізики. -Київ: Ін-т математики,

1997,-С. 103-106.

10. Догучаєва С.М. Завдання з вільними кордонами для параболічного рівняння, що вироджується, в проблемі навколишнього середовища // Доповцц HAH Украши. – 1999. – №12 – С.28-29.

ABA I. КЛАСИЧНІ ТА СПЕЦІАЛЬНІ ПОСТАНОВКИ ЗАВДАНЬ

Зі ВІЛЬНИМИ КОРДОНАМИ.

I. Загальна характеристика завдань масоперейосу та дифузії з реакцією.

I. Початково-крайові завдання поверхонь рівня поля концентрацій. Якісні ефекти процесів дифузії, що супроводжуються адсорбцією та хімічними реакціями.

I. Стабілізація за кінцевий час до стаціонарних, просторово-локалізованих рішень.

ABA ІІ. ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЗАВДАНЬ ПЕРЕНОСУ І

ДИФУЗІЇ ПАСИВНИХ ПРИМІСІВ У СТРАТИФІКОВАНИХ СЕРЕДОВИЩАХ.

Метод поділу змінних у квазілінійному параболічному рівнянні дифузії та перенесення.

Точні рішення задач дифузії і перенесення від зосереджених, миттєвих і постійно діючих джерел у середовищі, що покоїться.

ABA ІІІ. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ПРОЦЕСІВ ДИФУЗІЇ

З РЕАКЦІЄЮ.

Метод Роте та інтегральні рівняння задачі.

Завдання із вільними кордонами у проблемі забруднення та самоочищення точковим джерелом.

ТЕРАТУРА.

Вступдисертація з математики, на тему "Конструктивні методи вирішення крайових завдань із вільними межами для нелінійних рівнянь параболічного типу"

При дослідженні нелінійних крайових завдань, що описують процеси забруднення та рекреації середовища, що відображають поряд з дифузією адсорбцію та хімічні реакції, особливий інтерес представляють завдання типу Стефана з вільною межею та джерелами, що істотно залежать від поля концентрації.

Нелінійні завдання з вільними кордонами в екологічних проблемах дозволяють описати локалізацію процесів забруднення (рекреації) навколишнього середовища, що реально спостерігається. Нелінійність тут обумовлена ​​як залежністю тензора турбулентної дифузії До, і стоків забруднення / від концентрації с. У першому випадку просторова локалізація досягається за рахунок виродження, коли при с = О і К = 0. Однак вона має місце тільки в даний момент часу г і при г відсутня.

Еволюцію процесів дифузії з реакцією, що стабілізуються до граничних стаціонарних станів із чітко виділеною просторовою локалізацією, дозволяють описати математичні моделі зі спеціальною залежністю стоків /(с). Остання моделює витрату речовини, обумовлену хімічними реакціями дробового порядку, коли /(с) = . У цьому випадку, незалежно від виродження коефіцієнта дифузії, має місце просторово-часова локалізація дифузійного збурення середовища. У будь-який момент часу/локально дифузійне обурення займає деяку область 0(7), обмежену заздалегідь невідомою вільною поверхнею Р(7). Поле концентрації з (р, /) при цьому являє собою дифузійну хвилю з фронтом Г (/), рас-цространяющійся по обуреному середовищі, де з = Про.

Цілком природно, що ці якісні ефекти можна отримати лише на підставі нелінійного підходу до моделювання процесів із реакцією.

Однак такий підхід пов'язаний зі значними математичними труднощами при дослідженні нелінійних завдань, що виникають тут з вільними кордонами, коли визначенню підлягає пара функцій - поле концентрації c(p,t) і вільна межа Г(/) = ((p,t): c(p t) = О). Такі завдання, як зазначалося, ставляться до складнішим, мало дослідженим завданням математичної фізики.

Значно менше досліджень проведено для крайових завдань з вільними кордонами через їхню складність, яка пов'язана як з їхньою нелінійністю, так і з тим, що вони потребують апріорного завдання топологічних характеристик полів, що шукаються. p align="justify"> Серед робіт, в яких розглядаються питання розв'язності таких завдань, слід зазначити роботи A.A. Самарського, О.А. Олійник, С.А.Каменомосткой, та ін. При деяких обмеженнях на задані функції в роботах А.А.Березовського, Є.С. Сабініною доведено теореми існування та єдиності розв'язання крайового завдання з вільною межею для рівняння теплопровідності.

Не менш важливе значення має розробка ефективних методів наближеного вирішення завдань зазначеного класу, що дозволить встановити функціональні залежності основних параметрів процесу від вхідних даних, що дають змогу розраховувати та прогнозувати еволюцію процесу, що розглядається.

У зв'язку зі швидким удосконаленням обчислювальної техніки все більшого розвитку набувають ефективні чисельні методи вирішення таких завдань. До них належать метод прямих, проекційно-сітковий метод, розвинений у роботах Г.І.Марчука, В.І.Огошкова. Останнім часом успішно застосовується метод фіксованих полів, основна ідея якого полягає в тому, що фіксується рухомий кордон і на ньому задається частина відомих крайових умов, вирішується отримана крайова задача, а потім, користуючись крайовими, що залишилися, і отриманим рішенням, знаходиться нове, більш точне положення вільної кордону тощо. буд. Завдання перебування вільної кордону у своїй зводиться до подальшому вирішенню низки класичних крайових завдань для звичайних диференціальних рівнянь.

Так як завдання з вільними кордонами все ж таки досліджені недостатньо повно, а вирішення їх пов'язане зі значними труднощами, то для їх дослідження та вирішення потрібно залучення нових ідей, використання всього арсеналу конструктивних методів нелінійного аналізу, сучасних досягнень математичної фізики, обчислювальної математики та можливостей сучасної обчислювальної техніки. У теоретичному плані для таких завдань залишаються актуальними питання існування, єдиності, позитивності, стабілізації та просторово-часової локалізації рішень.

Дисертаційна робота присвячена постановці нових завдань із вільними кордонами, що моделюють процеси перенесення та дифузії з реакцією забруднюючих субстанцій у проблемах охорони навколишнього середовища, їх якісному дослідженню та, головним чином, розробці конструктивних методів побудови наближених рішень таких завдань.

У першому розділі дана загальна характеристика завдань дифузії в активних середовищах, тобто середовищах, у яких стоки суттєво залежать від концентрації. Вказані фізично обґрунтовані обмеження на стоки, при яких проблема зведена до наступного завдання з вільними межами для квазілінійного параболічного рівняння: с, = div (K (p, t, с) grade) - div (cu) - f (с) + w в Q (/) ,t> 0, с(р,0) = е0(р) у cm c)grade, n)+ac = accp на S(t), c)gradc,n) = 0 на Г if) де K(p,t,c) - тензор турбулентної дифузії; ü - вектор швидкості середовища, c(p, t) - концентрація середовища.

Значна увага у першому розділі приділено постановкам початково-крайових завдань для поверхонь рівня концентрації у разі спрямованих процесів дифузії, коли має місце взаємно-однозначна відповідність між концентрацією та однією з просторових координат. Монотонна залежність c(x,y,z,t) від z дозволяє трансформувати диференціальне рівняння, початкове та крайові умови завдання для поля концентрацій у диференціальне рівняння та відповідні додаткові умови для поля її поверхонь рівня - z = z(x,y,c, t). Це досягається за допомогою диференціювання зворотних функцій, дозволу рівняння відомої поверхні S: Ф (x, y, z, t) = 0-> z = zs (x, y, t) і зворотного прочитання тотожності з (х, у, zs, t) = з (x, y, t). Диференціальне рівняння (1) щодо при цьому перетворюється на рівняння для z- Az=zt-f (c)zc, де

2 ^ Az = vT (К * т *) - [К-Ъ Vz = lzx + jz + k, VT = V-к-. zc dz

При переході від незалежних змінних x,y,z до незалежних змінних х>у,з фізична область Q(i) трансформується в нефізичну область Qc(/), обмежену частиною площини = 0, в яку переходить вільна поверхня Г, і вільної в загальному випадку невідомою поверхнею c=c(x,y,t), яку переходить відома поверхня S(t).

На відміну від оператора divKgrad ■ пряме завдання оператор А зворотного завдання суттєво нелінійний. У дисертації доведено позитивність відповідної оператору А квадратичної форми e+rf+yf-latf-lßrt, і тим самим встановлено його еліптичність, що дозволяє розглядати для нього постановки крайових завдань. Інтегруванням частинами отримано аналог першої формули Гріна для оператора А c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy

Vzf x, y, t) 0 c (x, y, t) - í *

Розглянуто завдання з вільною межею для поля концентрацій с = с (х, у, г, 1), коли на поверхні задана умова Діріхле div (Kgradc) - с, = / (с) - Рег с (Р, 0) = с0 (Р), РЕЩО), з = (р(р,0, РеБ^), ¿>0, (2)

РеГ(4 ¿>0. с = 0, К- = 0, дп

У цьому випадку перехід щодо поверхні рівня г = г (х, у, с ^) дозволив позбавитися вільної поверхні с = с (х, у,?), так як вона повністю визначається умовою Диріхле с (х, у ^) = д >(х,у,гх(х,у^),О-В результаті отримана наступна початково-крайова задача для сильно нелінійного параболічного оператора^ - - змінюється в часі, але вже відомої області С2с(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), х,у,сеПс(О), z(x, y,c,t) = zs(x, y, c, t), з = c (x, y, t), X, y G D (t), t> 0, zc (x, y, 0, t) = -co, x, y & D (t), t> 0 .

Тут же досліджується питання щодо єдиності розв'язання задачі (3). Виходячи з отриманого аналога першої формули Гріна для оператора А з урахуванням крайових умов після елементарних, але досить громіздких перетворень з використанням нерівності Юнга, встановлено монотонність оператора А на рішеннях zx та z2 задачі

Лг2 - Аг1) (г2 -) (Ьсс1ус1с< 0 . (4)

З іншого боку, за допомогою диференціального рівняння, крайових та початкової умови показано, що

Отримане протиріччя і доводить теорему єдиності розв'язання задачі Дирихле поверхонь рівня концентрації c(x,y,t)

Теорема 1. Якщо функція джерел w - const, функція стоків f(c) монотонно зростає і /(0) = 0, то розв'язання задачі Диріхле (2) для поверхонь рівня позитивне і єдине.

У третьому параграфі першого розділу розглядаються якісні ефекти процесів дифузії, що супроводжуються адсорбцією та хімічними реакціями. Ці ефекти неможливо знайти описані виходячи з лінійної теорії. Якщо в останній швидкість поширення нескінченна і тим самим відсутня просторова локалізація, то аналізовані нелінійні моделі дифузії з реакцією при встановлених у роботі функціональних залежностях коефіцієнта турбулентної дифузії К і щільності стоків (кінетики хімічної реакцій) / від концентрації дозволяють описати реально спостерігаються ефекти кінцевої , просторової локалізації та стабілізації за кінцевий час (рекреації) забруднюючих речовин У роботі встановлено, що ці ефекти можна описати за допомогою запропонованих моделей, якщо існує невласний інтеграл з w 1

K(w)dzdt = -Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

Стаціонарне завдання у безкоординатній формі має вигляд div(K(c)grade) = f(c) у Q \ Р (0< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 на 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) grade,п) = 0 на Г s (с = 0) = dQ. П D,

JJJ/(c)dv + cds = q. as

У напівоколиці з eQ точки Ре Г перехід до напівкоординатної форми запису дозволив отримати завдання Коші drj

К(с) дс дт] divT (K(c)gradTc) = f(c) в з rj<0

8) дс = 0, К(с)~ = 0,77 = 0,

ОТ] де т] - координата, що відраховується за нормаллю і до Р в точці Р, а дві інші декартові координати т1,т2 лежать у дотичній площині до Р в точці Р. Так як в можна вважати, що з(т1,т2, г/) слабо залежить від тангенціальних координат, тобто з (тх, т2,1]) = с(т]), то для визначення с(т]) з (8) слід завдання Коші drj drj f(c), TJ< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj

Отримано точне розв'язання задачі(9)

77(с)= редо 2 з [ про с1м?< 00 (10) и доказана следующая теорема

Теорема 2. Необхідною умовою існування простороволокалізованого рішення нелокальних завдань з вільними кордонами, що розглядаються, є існування невласного інтеграла(б).

Крім того, доведено, що умова (6) є необхідною та достатньою 1 для існування просторово-локалізованого рішення наступної одновимірної стаціонарної задачі з вільною межею яг /(с), 0<г<со,

00 О тск=^- сі) о 2 с1с с(оо) = 0 , К(с)- = 0, г = оо, с1г тобто має місце

Теорема 3. Якщо функція/(с) задовольняє умовам f(c) = c^,^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 позитивне рішення нелокальної крайової задачі (11) існує і єдино.

Тут же розглянуто дуже важливі для практики питання рекреації середовища за кінцевий час. У роботах В.В.Калашнікова та А.А.Самарського за допомогою теорем порівняння ця проблема зведена до вирішення диференціальної нерівності -< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.

При цьому для часу рекреації отримано оцінку ш

Т<]. ск х)

На відміну від цих підходів у дисертації здійснено спробу отримати більш точні оцінки, в яких враховувався б початковий розподіл концентрації з (х) та її носій «(0). З цією метою за допомогою отриманих у роботі апріорних оцінок знайдено диференціальну нерівність для квадрата норми розв'язання Ж

13) з якого випливає більш точна оцінка для Т т<

1+ /?>(())] де з - корінь рівняння

Уг^-Р)/ з /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

Друга глава присвячена питанням моделювання процесів перенесення та дифузії пасивних домішок у стратифікованих середовищах. Вихідною тут є завдання (1)з /(с) = 0 і крайовою умовою Діріхле або нелокальною умовою з, = (І(К(р,Г,с)%гайс)-<И\{сй) + а>0(0, t>0 с(р,0) = с0(р) 0(0),

С(Р>*) = ф(р,0 або = ()((), с(р,Г) = 0, (К(р^,с)%?аес,п) = 0 на Р(Г) ).

Розглянуто одновимірні завдання турбулентної дифузії з урахуванням залежності коефіцієнта дифузії від масштабу, часу та концентрації. Вони є локальними і нелокальними завданнями для квазілінійного рівняння дс

1 д dt г"-1 дг п-\

K(r,t,c) дс дг п = 1,2,3,

16) де K(r,t,c) = K0(p(t)rmck;

17) де функції і параметр р визначаються в процесі поділу змінних (16) . В результаті отримано звичайне диференціальне рівняння для (т)) ат] і уявлення

Оn+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, о,

Для двох значень довільної постійної С( - С, = і

С1 = Ур рівняння (18) допускає точні рішення, що залежать від однієї довільної постійної. Останню можна визначити, задовольняючи тим чи іншим додатковим умовам. У разі крайової умови Дирихле с(0,0 = В0[ф^)]"п/р (20) отримано точне просторово локалізоване рішення у випадку до > 0, т< 2:

2-т Г гф\год;

Л/к 0<г <гф(/),

О, гф(/)<г< оо,

Вд^0(2-т р = пк + 2-т, і точне нелокалізоване рішення у випадку до<0, т <2:

1/к 0< г < 00.

22) = [к^2 - т)/?/^1 р = 2-т-п\к\.

Тут ф(1) = \(р(г)йт; гф(/) = [^(О)^ о

При к -» 0 з отриманих рішень слід розв'язати лінійну задачу с(г,0 = ВйШт-т) ехр[- /(1 - т)2к0ф(1)\ , яке при ф(1) = 1 і т = 0 перетворюється у фундаментальне рішення рівняння дифузії.

Отримані точні рішення також у разі миттєвих або постійно зосереджених джерел, коли додатковим є нелокальна крайова умова виду б = 0>„ ¡Ф,0гП-^Г,

23) де о)п - площа одиничної сфери (со1 = 2, а> 2 = 2я, а> 3 = 4ж).

Знайдені точні рішення при к >0 виду (21) являють собою дифузійну хвилю, що розповсюджується по незбуреному середовищі з кінцевою швидкістю. При до< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

Розглянуто завдання про дифузію від постійно діючих точкового та лінійного джерел у середовищі, що рухається, коли для визначення концентрації служить квазілінійне рівняння

Vdivc = -^S(r),

24) де К(г,х,с) = К0к(х)гтск, 8(г) - дельта-функція Дірака, - потужність джерела. Трактування координати х як часу/, дозволило тут також отримати точні приватні рішення нелокальної задачі виду (21) г 2/(2+2 к) 2 о, 1

Гф(х)<Г<СС,

Мк 0<г<гф (х), Ф

2С2 (2 + 2к) К0 до

Рішення (25) дає важливу можливість опису просторової локалізації дифузійного обурення. У цьому випадку визначається фронт дифузної хвилі, що розділяє області з нульовою та ненульовою концентраціями. При до -» 0 з нього слід відоме рішення Робертса, що не дозволяє, однак, описати просторову локалізацію.

Третя глава дисертації присвячена дослідженню конкретних завдань дифузії з реакцією в стратифікованому повітряному середовищі, що є наступною одновимірною задачею з вільною межею uxx-ut = / (і), 0< х < s(t), t>О, і (х, 0) = Uq (Х), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0 і = 0, їх = 0, х = s(t), t > 0.

Здійснено чисельно-аналітичну реалізацію задачі(26), засновану на методі Роте, що дозволило отримати наступну семидикретну апроксимацію задачі у вигляді системи крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь щодо наближеного значення і(х) = і(х,1к), і 5 =) V і(х)-і(х^к1): V і"-т~хі = рр - т~1 і, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.

Рішення (27) зведено до нелінійних інтегральних рівнянь типу Воль-терра та нелінійного рівняння при х = 0 5 і(х) ~ 4т [я/г-^--* с/г + к^тек -?г V л/ г л/г

0 < X < 5, к(р.

Для чисельних розрахунків рішення системи (28) за допомогою кінцевої апроксимації зведено до знаходження рішень системи нелінійних рівнянь алгебри щодо вузлових значень і. = і(х)) та я-.

Тут же розглянуто завдання із вільними кордонами у проблемі забруднення та самоочищення атмосфери точковими джерелами. За відсутності адсорбуючої поверхні 5(0 (тіє&З = 0) у разі плоских, циліндричних або точкових джерел забруднення, коли концентрація залежить від однієї просторової координати - відстані до джерела та часу, отримано найпростіше одномірне нелокальне завдання з вільним кордоном

-- = / (с), 0<г<гф(О,/>0, дt гп~х 8г \ 8г, ф,0) = 0, 0<г<гф (0) (29) 5с с(г,0 = 0, - = 0, г = гф(0, ^>0; аг

1 I Ьг + /(с) Г~1£/г=- (30) про ^ ; ^

Побудова розв'язання задачі (29), (30) проведено методом Роте разом із методом нелінійних інтегральних рівнянь.

Перетворенням залежних і незалежних змінних нелокальне завдання з вільним кордоном про точкове джерело наведено до канонічного виду д2і ді 1-я д Л, ч л г--= х рир, 0<х<^(г), г>0,

5л:2 8т і (х, 0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Пмг + = д(г), т> 0, що містить тільки одну функцію, що визначає функцію д(т).

У окремих випадках отримані точні рішення відповідних нелокальних стаціонарних завдань із вільним кордоном рівняння Емдена-Фаулера с12и 1-я в л

2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

Зокрема, при /? = 0 м (л:) = (1/6) (25 + х) (5-х) 2, де * = (Зз) 1/3.

Поруч із методом Роте, разом із методом нелінійних інтегральних рівнянь, рішення нестаціонарної задачи(32) будується методом еквівалентної лінеаризації. У цьому методі суттєво використовується конструкція розв'язання стаціонарного завдання. В результаті проблема зведена до завдання Коші для звичайного диференціального рівняння, рішення якої може бути отримано одним із наближених методів, наприклад, методом Рунге-Кутта.

На захист виносяться такі результати:

Дослідження якісних ефектів просторово-часової локалізації;

встановлення необхідних умов просторової локалізації до граничних стаціонарних станів;

Теорема про єдиність розв'язання задачі з вільним кордоном у разі умов Діріхле на відомій поверхні;

Отримання методом поділу змінних точних просторово локалізованих сімейств приватних рішень квазилінійних параболічних рівнянь, що вироджуються;

Розробка ефективних методів наближеного вирішення одновимірних нестаціонарних локальних та нелокальних завдань із вільними межами на основі застосування методу Роте у поєднанні з методом інтегральних рівнянь;

Отримання точних просторово-локалізованих рішень стаціонарних завдань дифузії з реакцією.

Висновок дисертації на тему "Математична фізика"

Основні результати дисертаційної роботи можуть бути сформульовані в такий спосіб.

1. Досліджено якісно нові ефекти просторово-часової локалізації.

2. Встановлено необхідні умови просторової локалізації та стабілізації до граничних стаціонарних станів.

3. Доведено теорему про єдиність розв'язання задачі з вільним кордоном у разі умов Діріхле на відомій поверхні.

4. Отримані, методом поділу змінних, точні просторово локалізовані сімейства приватних рішень квазилінійних параболічних рівнянь, що вироджуються.

5. Розроблено ефективні методи наближеного вирішення одновимірних стаціонарних завдань із вільними межами на основі застосування методу Роте у поєднанні з методом нелінійних інтегральних рівнянь.

6. Отримано точні просторово-локалізовані рішення стаціонарних завдань дифузії з реакцією.

На основі варіаційного методу в поєднанні з методом Роте, методу нелінійних інтегральних рівнянь розроблені ефективні методи рішення з доведенням до алгоритмів і програм чисельних розрахунків на ЕОМ, і отримані наближені рішення одномірних нестаціонарних локальних і нелокальних завдань з вільними межами, що дозволяють описувати просторову та самоочищення стратифікованих водного та повітряного середовищ.

Результати дисертаційної роботи можуть бути використані при постановці та вирішенні різних проблем сучасного природознавства, зокрема металургії та кріомедицини.

ВИСНОВОК

Список джерелдисертації та автореферату з математики, кандидата фізико-математичних наук, Догучаєва, Світлана Магомедівна, Нальчик

1. Арсенін В.Я. Крайові завдання математичної фізики та спеціальні функції. -М: НаукаД 984.-384с.

2. АхромєєваТ. С., Курдюмов С. П., МалинецькийГ. Г. Самарський A.A. Двох-компонентні дисипативні системи на околиці точки біфуркації // Математичне моделювання. Процеси у нелінійних середовищах. -М: Наука, 1986. -С. 7-60.

3. Базалій Б.В.Про один доказ існування рішення двофазного завдання Стефана // Математичний аналіз та теорія ймовірностей. -Київ: Ін-т математики АН УРСР, 1978.-С. 7-11.

4. Базалій Б.В., Шелепов В. Ю. Варіаційні методи у змішаній задачі теплової рівноваги з вільним кордоном // Крайові завдання математичної фізики. -Київ: Ін-т математики АН УРСР, 1978. С. 39-58.

5. Баренблат Г.І., Ентов В.М., Рижик В.М. Теорія нестаціонарної фільтрації рідини та газу. М: Наука, 1972.-277с.

6. Бєляєв В.І. Про зв'язок розподілу сірководню в Чорному морі з вертикальним перенесенням його вод/Юкеаналогія.-1980.-14, Вип.З.-С. 34-38.

7. Березоїська Л.М., Догучаєва С.М. Завдання з винною межею для поверхні рівня поля концентрації в проблем! оточуючого середовища//Крайов1 задач! для ліференщальних рівнів.-Вип. 1 (17).-Кшв: 1н-т математики HAH Украші, 1998. С. 38-43.

8. Березов'ка Л.М., Догучаєва С.М. Завдання Дирихле для поверхонь рівня поля концентрації //Матиматичні методи в науково-технічних дослідженнях. -КШВ: 1н-т математики HAH Украші, 1996. С. 9-14.

9. Березовська JI. М., Докучаєва С.М. Просторова локалізація та стабілізація у процесах дифузії з реакцією // Доповцц HAH Украши.-1998.-№2.-С. 7-10.

10. Ю.Березовський A.A. Лекції з нелінійних крайових завдань математичної фізики. В. 2 ч. -Київ: Наукова думка, 1976.-Ч.1. 252с.

11. М.Березовський A.A. Нелінійні інтегральні рівняння кондуктивного і променистого теплообміну в тонких циліндричних оболочках//Диференціальні рівняння з приватними похідними в прикладних задачах. Київ, 1982. – С. 3-14.

12. Березовський A.A. Класичні та спеціальні постановки задач Стефана // Нестаціонарні завдання Стефана. Київ, 1988. – С. 3-20. – (Препр./АН УРСР. Ін-т математики; 88.49).

13. Березовський A.A., Богуславський С.Г. Питання гідрології Чорного моря // Комплексні океанографічні дослідження Чорного моря. Київ: Наукова думка, 1980. – С. 136-162.

14. Березовський A.A., Богуславський С./". Завдання тепло- та масопереносу у вирішенні актуальних проблем Чорного моря. Київ, 1984. - 56с. (Препр. /АН УРСР. Ін-т математики; 84.49).

15. Березовський М.А., Догучаєва С.М. Математична модель забруднена та самоочищення оточуючого середовища // Вюнік Кшвського ушверситету. -Віп 1. - 1998.-С. 13-16.

16. Боголюбов H.H., Митропольський Ю.А. Асимптотичні методи теорії нелінійних колобань. М.: Наука, 1974. – 501с.

17. Виклику Н.Л., Розсіяння домішки у прикордонному шарі атмосфери. Л.: Гід-рометеоіздат, 1974. - 192с.21. Будок Б.М., Самарський A.A., Тихонов А.М. Збірник задач з математичної фізики. М.: Наука, 1972. – 687с.

18. Вайнберг M. М. Варіаційний метод та метод монотонних операторів. М: Наука, 1972.-415с.

19. Володимиров В.С. Рівняння математичної фізики. М.: Наука, 1976. 512с.

20. Галактіонов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарський А.А. Локалізація тепла у нелінійних середовищах //Діфф. Рівняння. 1981. – Вип. 42. -С. 138-145.31. Данилюк І.І. Про завдання Стефана// Успіхи мат. наук. 1985. – 10. – Вип. 5 (245)-С. 133-185.

21. Данилюк ІІ, Кашкаха В.Є. Про одну нелінійну систему Ритца. //Докл. АН УРСР. Сер.А. 1973. - №40. – С. 870-873.

22. ЪЪДогучаєва С.М. Завдання зі вільним кордоном у проблемі довкілля //Нелінійні крайові завдання мат. фізики та їх застосування. Київ: Ін-т математики HAH України, 1995. – С. 87-91.

23. Догучаева Светлана М. Березовський Арнольд А. Математичні моделі скаттерінгу, декомпозиції і скидання gas, губи та інші види поразок у турбулентній атмосфері //Internat. Conf. Nonlinear Diff/Equations? Київ, August 21-27, 1995, p. 187.

24. ЪЪДогучаєва С.М. Просторова локалізація рішень крайових завдань для параболічного рівняння, що вироджується, в проблемі навколишнього середовища // Нелінійні крайові завдання мат. фізики та їх застосування. -Київ: Ін-т математики HAH України, 1996. С. 100-104.

25. ЪбДогучаева С.М. Одномірна задача Коші для поверхонь рівня поля концентрацій // Завдання з вільними межами та нелокальні задачі для нелінійних параболічних рівнянь. Київ: Ін-т математики HAH України, 1996. – С. 27-30.

26. ЪЪ.Догучаєва С.М. Просторова локалізація рішень крайових завдань для параболічного рівняння, що вироджується, в проблемі навколишнього середовища // Нелінійні крайові завдання мат. фізики та їх застосування. -Київ: Ін-т математики HAH України, 1996. С. 100-104.

27. Догучаєва С. М. Завдання з вільними кордонами для параболічного рівняння, що вироджується, в проблемі навколишнього середовища // Доповда HAH Украші. 1997. - №12. – С. 21-24.

28. Калашніков А. С. Про характер поширення збурень у завданнях нелінійної теплопровідності з поглинанням //Мат. нотатки. 1974. – 14, №4. – С. 891-905. (56)

29. Калашніков A.C. Деякі питання якісної теорії нелінійних параболічних рівнянь другого порядку, що вироджуються // Успіхи мат. наук. 1987. - 42, вип.2 (254). – С. 135-164.

30. Калашніков А. С. Про клас систем типу "реакція-дифузія" / / Праці семінару ім. І.Г. Петровського. 1989. – Вип. 11. – С. 78-88.

31. Калашніков A.C. Про умови миттєвої компактифікації носіїв рішень напівлінійних параболічних рівнянь та систем // Мат. нотатки. 1990. – 47, вип. 1. – С. 74-78.

32. Ab.Калашніков А. С. Про дифузію сумішей за наявності далекодії //Журн. обчисл. математики та мат. фізики. М., 1991. – 31, №4. – С. 424436.

33. Каменомостська С. Л. Про завдання Стефана / / Мат. збірка. 1961. -53 №4, -С. 488-514.

34. Камке Е. Довідник за звичайними диференціальними рівняннями-М.: Наука, 1976. 576с.

35. Ладиженська О.А., Солонніков В.А., Уральцева H.H. Лінійні та квазілінійні рівняння параболічного типу. М.: Наука, 1967. – 736 с. (78)

36. Ладиженська О.А., Уральцева H.H. Лінійні та квазілінійні рівняння еліптичного типу. М.: Наука, 1964. – 736с.

37. Ликов А.В. Теорія теплопровідності. М: Вища. шк., 1967. 599с.

38. Мартінсон Л.К. Про кінцеву швидкість поширення теплових збурень у середовищах із постійними коефіцієнтами теплопровідності //Журн. обчисл. матем. та мат. фізики. М., 1976. – 16, №6. – С. 1233-1241.

39. Марчук Г.М., Агошков В.І. Введення у проекційно-сіточні методи. -М: Наука, 1981. -416 с.

40. Митропол'ський Ю.А., Березовський A.A. Завдання Стефана з граничним стаціонарним станом у спеціалізованій електрометалургії, кріохірургії та фізиці моря //Мат. фізика та нелін. Механіка. 1987. – Вип. 7. – С. 50-60.

41. Митропол'ський Ю.А., Березовський A.A., Шхануков МХПросторово тимчасова локалізація у завданнях із вільними кордонами для нелінійного рівняння другого порядку //Укр. мат. журн. 1996. – 48, №2 – С. 202211.

42. Митропол'ський Ю. А., Шхануков М.Х., Березовський A.A. Про одну нелокальну задачу для параболічного рівняння //Укр. мат. журн. 1995. -47 №11.- С. 790-800.

43. Озмідов Р.В. Горизонтальна турбулентність та турбулентний обмін в океані. М.: Наука, 1968. – 196с.

44. Озмідов Р.В. Деякі результати дослідження дифузії домішок у морі // Океанологія. 1969. – 9. – №1. - С. 82-86.66. Okubo A.A. Перетворення теоретичних моделей з turbulent diffusion in sea. -Oceanogr. Soc. Japan, 1962, p. 38-44.

45. Олійник O.A. Про один спосіб вирішення спільного завдання Стефана // Докл. АН СРСР. Сер. А. 1960. - №5. – С. 1054-1058.

46. ​​Олійник O.A. Про завдання Стефана // Перша літня математична школа. Т.2. Київ: Наук, думка, 1964. – С. 183-203.

47. Roberts О. F. Theorotical Scattering of Smoke в Turbulent Atmosphere. Proc. Roy., London, Ser. A., v. 104,1923. – P.640-654.

48. Ю.Сабініна E.C. Про один клас нелінійних параболічних рівнянь, що вироджуються // Докл. ÀH СРСР. 1962. – 143, №4. – С. 494-797.

49. Х.Сабініна Є.С. Про один клас квазілінійних параболічних рівнянь не можна розв'язати щодо похідної за часом //Сиб. мат. журн. 1965. – 6, №5. – С. 1074-1100.

50. Самарський A.A. Локалізація тепла у нелінійних середовищах // Успіхи мат. наук. 1982. – 37, вип. 4 – С. 1084-1088.

51. Самарський A.A. Введення у чисельні методи. М.: Наука, 1986. – 288с.

52. А.Самарський A.A., Курдюмов С.П., Галактіонов В.А. Математичне моделювання. Процеси у нелін. середовищах. М.: Наука, 1986. – 309с.

53. Сансон Дж. Звичайні диференціальні рівняння. М.: ІЛ, 1954.-416 с.

54. Stefan J. Uber dietheorie der vei Stimmung., insbesondere über die ei. Wien. Akad. Nath. naturw., Bd. 98, IIa, 1889. P.965-983

55. Sutton O.G. Мікрометеорологія. New. York-Toronto-London. 1953. 333p.1%. Фрідман А. Рівняння з приватними похідними параболічного типу. -М: Мир, 1968.-427с.

56. Фрідман А. Варіаційні принципи у завданнях із вільними кордонами. М.: Наука, 1990. -536с.

Автоматизовані інформаційні технології та математичні моделі у соціально-економічних проблемах.

С. М. Догучаєва

Кандидат фізико-математичних наук, доцент,

Фінансовий університет при

Уряд Російської Федерації

М Москва

Анотація.

Соціальна відповідальність підприємництва має сприяти мінімізації компаніями негативних наслідків своєї виробничої діяльності, турботі щодо впровадження нових Інформаційних технологій та зміцнення здоров'я працівника. Сучасний інноваційний розвиток російської економіки вимагає формування соціально-економічної моделі, в якій держава, враховуючи особливості території, діє на користь всього суспільства, а не лише великого бізнесу

Ключові слова:

Інформаційні системи, соціально-економічні завдання, математичні моделі, провідні технології, інноваційний розвиток.

Problems of organization of information security in the cloud different economic activities

Doguchaeva Svetlana Magomedovna

Candidate of Physical and Mathematical

Sciences, Senior Lecturer, Finance University.

Correspondence Financial and Economic Institute (Москва)

Abstract.

Social responsability of business should help companies minimize the negative effects of its production activities, caring for the introduction of new information technologies and improve the health of the employee. Modern innovative development of Russian economy requires the formation of socio-economic model in which the state, given the characteristics of the territory, acts in the interests of whole society, no just big business.

Key words:

інформаційні системи, соціальні та економічні проблеми, математичні моделі,Cloud technology, innovative development.

Російська економічна наука об'єктивно порівнює свій досвід реформування та вибір шляху, яким має піти соціальна економіка на етапі її модернізації та трансформації в інноваційну, що дозволяє систему пізнання підняти на новий рівень і посилити можливості застосування теорії до практики. З переходом до інформаційної та соціальної економіки значно зросла популярність систем обробки інформації та управління компанією. На цьому етапі необхідна координована діяльність усіх учасників соціально-економічного процесу на основі взаємної довіри.

p align="justify"> Комп'ютерні інформаційні технології є процесами в соціально-економічних проблемах, що складаються з чітко регламентованих правил виконання операцій різного ступеня складності над даними, що зберігаються в хмарах.Ця робота більш ніж актуальна, т.к. у ній розглядаються проблеми, пов'язані із забрудненням водного середовища саме на тому рівні, на якому слід звернути значну увагу на соціально-економічну обстановку в країні.

У розвинених країнах виробництво екологічної техніки та технологій є одним із найприбутковіших, тому соціально-економічний ринок бурхливо розвивається. Західноєвропейські фірми, які займаються екологічним бізнесом, успішно використовують сучасні тенденції в природоохоронній політиці для збільшення своїх прибутків.

Методологічна база дослідження включає такі методи: системний аналіз, суб'єктно-об'єктний аналіз, економічний аналіз, ситуаційний аналіз та ін. Актуальність дослідження зумовлена ​​тим, що соціально-економічні проблеми сьогодні є одними з найважливіших та глобальних.

Дифузійні процеси, що протікають в атмосфері та океані, є практично важливим завданням у соціально-економічному дослідженні. В умовах створення нового економічного та правового механізму природокористування розглядаються можливості застосування низки економіко-математичних моделей та інформаційних технологій для вирішення завдань управління промисловим природокористуванням.

Для вирішення соціально - економічних проблем у роботі розглядаються математичні моделі процесів поглинання та окислення у стратифікованому водному середовищі. Нові екотехнології з очищення та аналізу повітряного та водного середовищ розглянуті в роботі. Розглянемо нові постановки таких завдань.

У Чорному морі є сукупність різних органічних та неорганічних речовин з концентраціями, які є нейтральними у воді киснем, споживаючи його та вступаючи з ним у реакції окислення.

До відносно нейтральним відносяться численні органічні речовини, зокрема, органічний вуглець, а також розчинені гази, азот, двоокис вуглецю, метан, сірководень. Всі вони дифундують по глибині Чорного моря за допомогою механізмів молекулярної та турбулентної дифузії, переносяться конвективно (вертикальним підйомом або опусканням водних мас) і, що є найважливішим, безпосередньо або через складні ланцюжки проміжних реакцій вступають у взаємодію з киснем. Це призводить до зменшення концентрацій як кисню, так і вступають з ним в реакції згаданих речовин.

Сучасні практики-економісти та дослідники відзначають, що в даний час вплив людини на природу досягає такого розмаху, що природні регуляторні механізми вже не в змозі самостійно нейтралізувати багато небажаних та шкідливих його наслідків.

Характер реакцій нейтральних речовин із киснем різний. Реакція окислення їх призводить або до повної витрати кисню при великих кількостях сірководню, або зникнення сірководню. Виявлення сірководню в глибинних водах Чорного моря спричинило припущення про обмежене поширення кисню по глибині. Проведені експедиційні дослідження дозволили встановити нижню межу вертикального розподілу кисню, яка є ізооксигенною поверхнею з нульовою концентрацією.

Основні дифузійні, хімічні та біологічні уявлення про динаміку процесу перерозподілу концентрацій по глибині зводяться до наступних систем:

Верхня:

Нижня

Кордони шару співіснування являють собою рухливі із поверхні з нульовими значеннями концентрацій і потоків відповідно сірководню/ізосульфіду/ та кисню/ізооксигену/. Локальні піднесення чи зниження поверхонь розділу переважно обумовлюється схемою циркуляції вод. У центрах циклонічних кругообігів спостерігається підйом із поверхонь, а на їх периферіях і в центрах антициклонічних кругообігів - заглиблення.

Механізм поширення кисню та сірководню є дифузійним та характеризується коефіцієнтом турбулентної дифузії.

Який періодично залежить від часу

Де і - середнє та амплітудне значення,

- Період річних коливань.

І перебувають у сильній залежності від глибини.

У верхньому шарі

Монотонно зменшується до деякого мінімального значення галокліні на глибині від 60 до 80 м., та був монотонно зростає з глибиною .

Ці висновки важливі з метою оцінки соціально-економічної ефективності природоохоронних зон, т.к. у Росії усі напрями економіки щодо короткі терміни мають трансформуватися в інноваційні.

У шарі співіснування має місце турбулентна дифузія, що супроводжується реакцією окислення сірководню. Витратна при цьому потужність стоків кисню в раз перевищує потужність стоку сірководню, де коефіцієнт кінетики реакції окислення.

Кисень надходить з атмосфери, утворюється в результаті фотосинтезу та витрачається на біохімічне споживання, основу якого становить окислення сірководню. Сірководень утворюється в результаті розпаду органічних речовин, діяльності сульфатредукуючих бактерій і, можливо, надходить з морського дна.

Кількісний опис динаміки цих проблем пов'язаний із труднощами методичного, інформаційного та алгоритмічного характеру.

Головну роль відіграють оптимальні оцінки, отримані в цій роботі, які виражають ефективність використання ресурсів, порівняльну ефективність об'єктів системи, що оптимізується, що увійшли до вирішення завдань економіко-математичного моделювання з використанням ІТ-інфраструктури.

Потужність джерел кисню зменшується за експоненційним законом і має чітко виражений річний хід. Так як максимальні глибини, на яких ще відбувається фотосинтез, не перевищують 60-70м., нижче цих глибин джерела кисню відсутні, тобто .

Аналогічно, можна припускати, що розпад органічних речовин відбувається нижче верхньої межі шару співіснування, і потужність джерел сірководню

Періодично змінюється протягом року.

У випадку визначення полів концентрацій кисню

І сірководню,

Приходимо до нестаціонарного завдання типу Стефана.

Нехай

Область за просторовими змінними займає весь обсяг Чорного моря.

В області

Відбувається турбулентна дифузія кисню

- область дифузії та реакції кисню та сірководню,

Область турбулентної дифузії сірководню.

Тут - плоска область, займана поверхнею моря,

Поверхня дна моря,

Підлягає визначенню ізосульфіду та ізооксигену нульових концентрацій.

При проведенні дослідження в цій галузі використовувалися вивчені раніше нові екотехнології матеріали наукових та практичних семінарів із соціальної економіки, конференцій та симпозіумів з проблеми ІТ-систем у Росії.

Сьогодні Росії, як ніколи, необхідна нова економічна ідея, яка не лише дозволить консолідувати суспільство, інтелектуальні та матеріальні ресурси, а й призведе до реального підвищення конкурентоспроможності національної економіки та її сталого розвитку у майбутньому.

Головна проблема, яку треба вирішувати сьогодні, – це побудувати ефективне управління дослідженнями та розробками як процесами генерації інноваційного знання з використанням нових технологічних можливостей сучасності.

Останнім часом багато говорять про «Екологічні хмари», про роботу в екологічно чистому середовищі. Компанії, що обирають хмарні технології, дозволяють у сумі скоротити викиди вуглецю щонайменше на 30% порівняно із запуском цих же додатків у своїй власній ІТ-інфраструктурі.

На міжнародних конференціях також обговорюється проблема «Зеленої» економіки, пов'язана з розвитком екологічно стійких проектів у компаніях, і одна з таких важливих проблем стосується складнощів при зборі вихідних даних, розрахунку споживання електроенергії та викидів вуглекислого газу в атмосферу, тобто «Новий зелений курс ».

У рамках конференції IDC IT Security Road show 2015, яка відбудеться 10 вересня у Москві,буде можливість не тільки познайомитися з пропонованими для вирішення цих завдань продуктами провідних світових та вітчизняних виробників, а й обговорити з експертами найбільш актуальні питання забезпечення «Зелених» ІТ-структур для вирішення соціально-економічних проблем у Росії.Розглянуто багато питань повсюдного поширення хмарних і віртуальних інфраструктур, а також широке використання мобільного доступу до корпоративних ресурсів, сучасні рішення щодо забезпечення безпеки хмарних та віртуальних інфраструктур.

Формально ринок хмарних послуг у Росії зростає випереджаючими темпами проти світової галуззю. Його динаміка оцінюється у 40–60% проти загальносвітових 20–25%. За прогнозами IDC, сегмент досягне $1,2 млрд у 2015 р. Orange Business Services вважають, що частка хмарних сервісів та пов'язаних з ними супутніх послуг до 2016 р. досягне 13% у загальному обсязі всього ринку ІТ-послуг Росії.

При будівництві центрів обробки даних (ЦОД) багато компаній зараз використовують останні «зелені» технології: інтелектуальна система управління будівлею (BMS - building management system) дозволяє вести цілодобовий моніторинг поточних параметрів з метою більш ефективного витрачання енергії та підвищення безпеки.

Одне з основних соціально-економічних завдань нашого часу - це підготовка фахівців у галузі інформаційних технологій та обробки результатів даних за допомогою нових апаратно-програмних засобів. Теоретичною та методологічною основою дослідження є наукові роботи російських та зарубіжних фахівців у соціально-економічній сфері, прикладні дослідження особливостей процесу розвитку ІТ-послуг.

Після виходу з екологічної та соціально-економічної кризи в Росії робляться серйозні рішення, проте треба пройти найвідповідальніші ділянки шляху. Вони й вирішать, чи вийде Росія з кризи чи залишиться в безодні екологічного невігластва, і небажання керуватися фундаментальними законами розвитку біосфери та обмеженнями, що випливають з них. Одним із пріоритетних завдань екологічної політики в Росії є аналіз статистичної інформації за вартісними показниками, що характеризує масштаби природоохоронних заходів, рух фінансових ресурсів, ефективність прийнятих рішень і т.д. Це вимагатиме перебудови науки і техніки в їхньому відношенні до природи, тим самим забезпечуючи екологізацію суспільного розвитку та екологічної компетентності,включаючи інноваційні засоби інструментального контролю забруднень. http://www.tadviser.ru/ http://www.datafort.ru/ Провідний сервісний провайдер.

ABA I. КЛАСИЧНІ ТА СПЕЦІАЛЬНІ ПОСТАНОВКИ ЗАВДАНЬ

Зі ВІЛЬНИМИ КОРДОНАМИ.

I. Загальна характеристика завдань масоперейосу та дифузії з реакцією.

I. Початково-крайові завдання поверхонь рівня поля концентрацій. Якісні ефекти процесів дифузії, що супроводжуються адсорбцією та хімічними реакціями.

I. Стабілізація за кінцевий час до стаціонарних, просторово-локалізованих рішень.

ABA ІІ. ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЗАВДАНЬ ПЕРЕНОСУ І

ДИФУЗІЇ ПАСИВНИХ ПРИМІСІВ У СТРАТИФІКОВАНИХ СЕРЕДОВИЩАХ.

Метод поділу змінних у квазілінійному параболічному рівнянні дифузії та перенесення.

Точні рішення задач дифузії і перенесення від зосереджених, миттєвих і постійно діючих джерел у середовищі, що покоїться.

ABA ІІІ. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ПРОЦЕСІВ ДИФУЗІЇ

З РЕАКЦІЄЮ.

Метод Роте та інтегральні рівняння задачі.

Завдання із вільними кордонами у проблемі забруднення та самоочищення точковим джерелом.

ТЕРАТУРА.

Введення дисертації (частина автореферату) на тему "Конструктивні методи вирішення крайових завдань із вільними межами для нелінійних рівнянь параболічного типу"

Висновок дисертації на тему "Математична фізика", Догучаєва, Світлана Магомедівна

Список літератури дисертаційного дослідження кандидат фізико-математичних наук Догучаєва, Світлана Магомедівна, 2000 рік

Зверніть увагу, наведені вище наукові тексти розміщені для ознайомлення та отримані за допомогою розпізнавання оригінальних текстів дисертацій (OCR). У зв'язку з чим у них можуть бути помилки, пов'язані з недосконалістю алгоритмів розпізнавання. У PDF файлах дисертацій та авторефератів, які ми доставляємо, таких помилок немає.