Схрещуються прямі. Приклади завдань з рішеннями та без

§ 2. САМОСТІЙНІ РОБОТИ

1. Основні поняття та аксіоми стереометрії

Самостійна робота N 1

Варіант 1

1. Зобразіть пряму aі крапки A, Bі C, що не належать даній прямій. Зробіть потрібні записи.

2. Зобразіть площину b, точки E, F, що належать їй, і точку G, їй не належить. Зробіть потрібні записи.

3. Зобразіть пряму a, що лежить у площині a. Зробіть потрібний запис.

4. Зобразіть дві площини, що перетинаються, a і b. Зробіть потрібний запис.

Варіант 2

1. Зобразіть дві, що перетинаються в точці Oпрямі aі bі крапки A, B, C, причому крапка Aналежить прямий a, Bналежить прямий b, крапка Cне належить цим прямим.

2. Зобразіть площину g, які не належать їй точки K, Lі точку, що належить їй M. Зробіть потрібні записи.

3. Зобразіть пряму b, що перетинає площину b у ​​точці O. Зробіть потрібний запис.

4. Зобразіть три пересічні по прямій aплощині a, b та g. Зробіть потрібний запис.

Самостійна робота N 2

Варіант 1

1) Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

2) Через дві точки простору проходить єдина пряма.

3) Вертикальні кути рівні.

4) Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

2. Визначте взаємне розташування площин a та b, якщо в них лежить трикутник ABC. Відповідь обґрунтуйте.

3. Скільки площин може проходити через три точки?

4. Знайдіть найбільшу кількість прямих, що проходять через різні пари з чотирьох точок.

Варіант 2

1. З наступних пропозицій вкажіть аксіоми, визначення, теореми:

1) Якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються прямою.

2) Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

3) Для прямих і площин у просторі виконуються аксіоми планіметрії.

4) Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

2. Визначте взаємне розташування двох площин b та g, якщо їм належать точки Bі C. Відповідь обґрунтуйте.

3. Знайдіть найбільшу кількість прямих, що проходять через різні пари з 5 точок.

4. Знайдіть найбільшу кількість площин, що проходять через різні трійки з чотирьох точок.

2. Наслідки з аксіом стереометрії

Варіант 1

1. У площині двох прямих, що перетинаються. aі bзадана точка C, що не належить цим прямим. Пряма c, що лежить у цій площині, проходить через точку C. Як може бути розташована пряма cщодо даних прямих?

2. Дано три точки, що не належать одній прямій. Доведіть, що всі прямі, що перетинають два з трьох відрізків, що з'єднують ці точки, лежать в одній площині.

3. Площина задана прямою cі не належить їй точкою C a, відмінну від цієї прямої і не проходить через цю точку.

4. Площина задана двома перетинаються у точці Oпрямими aі b. Намалюйте пряму cяка перетинає дані прямі і не лежить у даній площині.

Варіант 2

1. Пряма d, що лежить у площині трикутника ABC, перетинає його бік AB. Яким може бути взаємне розташування прямих dі BC?

2. У площині a проведено дві паралельні прямі aі b. Доведіть, що всі прямі, що перетинають ці прямі, лежать в одній площині.

3. Площина задана двома перетинаються у точці Oпрямими mі n. Побудуйте у цій площині пряму k, відмінну від даних прямих і не проходить через точку O.

4. Площина задана трьома точками D, E, F, що не належать до однієї прямої. Намалюйте пряму a, яка перетинає сторони DEі DFтрикутника DEFі лежить у цій площині.

3. Просторові фігури

Варіант 1

1. Намалюйте п'ятикутну призму та розділіть її на тетраедри.

2. Визначте число вершин, ребер та граней: а) куба; б) 7-кутової призми; в) n-Вугільної піраміди.

3. Визначте вид призми, якщо вона має: а) 10 вершин; б) 21 ребро; в) 5 граней.

4. Як можна пофарбувати грані 4-кутової призми, щоб сусідні (що мають спільне ребро) грані були пофарбовані в різні кольори? Яка найменша кількість кольорів знадобиться?

Варіант 2

1. Намалюйте п'ятикутну піраміду та розділіть її на тетраедри.

2. Визначте число вершин, ребер та граней: а) прямокутного паралелепіпеда; б) 6-кутової піраміди; в) n-Вугільної призми.

3. Визначте вид піраміди, якщо вона має: а) 5 вершин; б) 14 ребер; в) 9 граней.

4. Як можна пофарбувати грані октаедра, щоб сусідні (що мають спільне ребро) грані були пофарбовані в різні кольори. Яка найменша кількість кольорів знадобиться?

4. Моделювання багатогранників

Варіант 1

1. Намалюйте кілька розгорток куба.

2. Намалюйте фігуру, що складається з чотирьох рівних рівносторонніх трикутників, яка не є розгорткою правильного тетраедра.

3. Намалюйте розгортку правильної чотирикутної піраміди та розфарбуйте її таким чином, щоб при склеюванні сусідні грані мали різні кольори. Яку найменшу кількість кольорів потрібно взяти?

4. Намалюйте розгортку прямокутного паралелепіпеда і розфарбуйте її таким чином, щоб при склеюванні сусідні грані мали різні кольори. Яку найменшу кількість кольорів потрібно взяти?

Варіант 2

1. Намалюйте кілька розгорток правильного тетраедра.

2. Намалюйте фігуру, що складається з шести квадратів, яка не є розгорткою куба.

3. Намалюйте розгортку куба і розфарбуйте так, щоб при склеюванні сусідні грані мали різні кольори. Яку найменшу кількість кольорів потрібно взяти?

4. Намалюйте розгортку правильної 6-кутної піраміди і розфарбуйте її таким чином, щоб при склеюванні сусідні грані мали різні кольори. Яку найменшу кількість кольорів потрібно взяти?

5. Паралельність прямих у просторі

Варіант 1

1. Запишіть у правильній 4-кутній піраміді SABCDвсі пари паралельних ребер.

2. У площині двох паралельних прямих aі bдана точка C, що не належить цим прямим. Через точку Cпроведено пряму c. Як може бути розташована пряма cщодо прямих aі b.

3. Через точку, що не належить даній прямій, проведіть пряму, паралельну даній.

4. Знайдіть геометричне місце прямих, що перетинають дві дані паралельні прямі.

Варіант 2

1. Запишіть чотири пари паралельних ребер куба A… D 1 .

2. Дано три прямі a, bі з. Як можуть розташовуватись ці прямі, щоб можна було провести площину, що містить усі дані прямі.

3. Дано дві паралельні прямі aі b. Доведіть, що будь-яка площина, що перетинає одну з них, перетне й іншу.

4. Знайдіть геометричне місце прямих, паралельних даній прямій і тих, що перетинають іншу пряму, що перетинається з першою.

6. Схрещувальні прямі

Варіант 1

1. У кубі A… D 1 запишіть ребра, що схрещуються з рубом AB.

2. Запишіть пари ребер 4-кутної піраміди, що схрещуються. SABCD.

3. Як розташовані відносно один одного прямі aі bмалюнку 1? Відповідь обґрунтуйте.

4. Дано дві схрещувальні прямі aі bі точка, що їм не належить C. Побудуйте пряму c, що проходить через точку Cі перетинає прямі aі b.

Варіант 2

1. Запишіть ребра, що схрещуються з рубом SAправильної 4-кутової піраміди SABCD.

2. Запишіть ребра, що схрещуються з діагоналлю B 1 Dкуба A…D 1 .

c(Рис. 1). Пряма aлежить у площині a і перетинає пряму c. Чи можна в площині b провести пряму, паралельну прямій a? Відповідь обґрунтуйте.

4. Чи існують дві паралельні прямі, кожна з яких перетинає дві дані прямі, що схрещуються? Відповідь обґрунтуйте.

7. Паралельність прямої та площини

Варіант 1

1. Запишіть ребра, паралельні площині грані CC 1 D 1 Dправильної призми ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .

2. Пряма aпаралельна площині a; пряма bперетинає площину a у точці B; пряма c, що перетинає прямі aі bвідповідно у точках Eі F, перетинає площину a у точці C. Зробіть малюнок. Як можуть розташовуватися відносно один одного прямі aі b?

3. Площини a і b перетинаються прямою c. Крапка Aналежить площині a, точка B- Площини b. Побудуйте: а) пряму a, що лежить у площині a, що проходить через точку Aта паралельну площині b; б) пряму b, що лежить у площині b, що проходить через точку Bта паралельну площині a. Як будуть розташовуватися відносно один одного прямі aі b?

4. Крапки Aі Bналежать суміжним бічним граням піраміди. Проведіть у цих гранях через ці точки два відрізки, паралельні між собою.

Варіант 2

1. Запишіть площини граней, паралельних ребру CC 1 паралелепіпеда A… D 1 .

2. Пряма aпаралельна площині a; прямі bі c, що перетинають пряму aвідповідно у точках Bі C, перетинають площину a відповідно у точках Dі E. Зробіть малюнок. Як можуть розташовуватися відносно один одного прямі aі b?

3. Площини a і b перетинаються прямою c. Пряма aлежить у площині a. Доведіть, що якщо: а) aперетинає площину b у ​​точці A, то Aналежить прямий c; б) aпаралельна площині b, то вона паралельна прямій c.

4. Крапки Aі Bналежать суміжним бічним граням призми. Проведіть у цих гранях через ці точки два відрізки, паралельні між собою.

8. Паралельність двох площин

Варіант 1

1. Запишіть паралельні площини паралелепіпеда A… D 1 .

2. Чи вірні твердження:

1) Через точку, яка не належить даній площині, проходить єдина площина, паралельна даній.

2) Якщо дві прямі, що лежать в одній площині, паралельні двом прямим, що лежать в іншій площині, то ці площини паралельні.

3) Існує нескінченно багато прямих, паралельних даній площині і проходять через точку, що не належить цій площині.

4) Якщо одна з двох даних площин паралельна двом прямим, що перетинаються, лежать в іншій площині, то ці площини паралельні.

3. Доведіть, що дві площини, паралельні одній третій площині, паралельні між собою.

4. Відрізки ABі CDлежать відповідно у паралельних площинах a та b (рис. 2). Як можуть розташовуватися відносно один одного прямі ACі BD? Чи можуть вони бути паралельними?

Варіант 2

1. У трикутній піраміді SABCпроведіть площину, паралельну до її основи ABC.

2. Чи вірні твердження:

1) Якщо пряма, що лежить в одній площині, паралельна до прямої, що лежить в іншій площині, то ці площини паралельні.

2) Якщо площина перетинає дві дані площини по паралельним прямим, ці площини паралельні.

3) Існує нескінченно багато площин, паралельних даній прямий і проходять через точку, що не належить цій прямій.

4) Якщо дві площини паралельні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні.

3. Доведіть, що якщо площина перетинає одну із двох паралельних площин, то вона перетинає й іншу.

4. Відрізки ABі CDлежать відповідно у паралельних площинах a та b (рис. 3). Як можуть розташовуватися відносно один одного прямі ADі BC? Чи можуть вони перетинатись?

9. Вектори у просторі

Варіант 1

1. Для цього вектора
побудуйте вектори: а) - ; б) 2; в) - .

2. Скільки векторів задають різні пари точок, складені з вершин правильної чотирикутної піраміди?

ABCDта намалюйте вектор: а)
; б)
; в)
.

4. Даний паралелепіпед A… D
; б)
; в)
.

Варіант 2

1. Для цього вектора побудуйте вектори: а) 3; б) -2; в).

2. Скільки векторів задають різні пари точок, складені з вершин трикутної призми?

3. Зобразіть правильний тетраедр ABCDта намалюйте вектор: а)
; б)
; в)
.

4. Даний паралелепіпед A… D 1 . Знайдіть суму векторів: а)
; б)
; в).

10. Колінеарні та компланарні вектори

Варіант 1

, щоб отримати вектор , однаково спрямований і | |=1.

2. Дано два протилежно спрямовані вектори і , причому | | > | |. Знайдіть напрямок та довжину вектора + .

3. Даний тетраедр ABCD. Запишіть три пари вершин, які задають компланарні вектори.

4. Даний куб A… D 1 . Запишіть трійки некомпланарних векторів із початками та кінцями у його вершинах.

Варіант 2

1. На яке число потрібно помножити ненульовий вектор , щоб отримати вектор , протилежно спрямований і | |=2.

2. Дано два протилежно спрямовані вектори і , причому | | |. Знайдіть напрямок та довжину вектора + .

3. Даний тетраедр ABCD. Запишіть три пари вершин, які задають некомпланарні вектори.

4. Даний куб A… D 1 . Запишіть трійки компланарних векторів із початками та кінцями у його вершинах.

11. Паралельне перенесення

Варіант 1

1. Побудуйте фігуру, яка виходить паралельним перенесенням прямої aна вектор
якщо: а) Eналежить a, Fне належить a; б) точки Eі Fне належать a.

2. Задайте паралельне перенесення, яке середину відрізка GHпереводить у деяку точку M.

3. Побудуйте фігуру, яка виходить із квадрата ABCDпаралельним перенесенням на вектор: а)
; б).

ABCDпаралельним перенесенням на вектор.

Варіант 2

1. Побудуйте фігуру, яка виходить паралельним перенесенням кола з центром у точці O на вектор
якщо: а) точка Kналежить колу; б) точка Kне належить колу.

2. Задайте паралельне перенесення, яке має точку перетину Oдвох прямих aі bпереводить у деяку точку N.

3. Побудуйте фігуру, яка виходить із правильного трикутника ABCпаралельним перенесенням на вектор: а); б) , де точка M– середина сторони BC.

4. Побудуйте фігуру, яка виходить із тетраедра ABCDпаралельним перенесенням на вектор
.

12. Паралельне проектування

Варіант 1

1. Скільки точок вийде при паралельному проектуванні двох різних точок простору? Зробіть відповідні малюнки та обґрунтування.

2. Перерахуйте властивості прямокутника, які зберігаються при паралельному проектуванні.

3. Як мають бути розташовані дві прямі, щоб вони проектувалися на площину в пряму та точку, що не належить цій прямій?

4. Паралельні прямі aі b A, Bі Cзображено на малюнку 4. Зобразіть четверту точку D. Відповідь обґрунтуйте.

Варіант 2

1. Скільки точок вийде під час проектування трьох різних точок простору? Зробіть відповідні малюнки та обґрунтування.

2. Перерахуйте властивості ромба, які зберігаються при паралельному проектуванні.

3. Як мають бути розташовані пряма та точка, щоб вони проектувалися на площину в пряму та точку, що належить цій прямій?

4. Пересічні прямі aі bперетинають паралельні площини a та b у чотирьох точках. Три з них A, Bі Cзображено на малюнку 5. Зобразіть четверту точку D. Відповідь обґрунтуйте.

13. Паралельні проекції плоских фігур

Варіант 1

1. Зобразіть паралельну проекцію прямокутного рівнобедреного трикутника, що лежить у площині, паралельній площині проектування.

2. Зобразіть паралельну проекцію рівностороннього трикутника ABCі на ній побудуйте зображення перпендикулярів, опущених з точки M– середини сторони ABна сторони ACі BC.

ABCDEF, Взявши за вихідну фігуру прямокутник ABDE.

4. Зобразіть паралельну проекцію рівностороннього трикутника ABCта побудуйте на ній зображення перпендикуляра, опущеного з точки K- середини відрізка BO(O– центр трикутника) на бік AB.

Варіант 2

1. Зобразіть паралельну проекцію рівностороннього трикутника, що лежить у площині, паралельній площині проектування.

2. Зобразіть паралельну проекцію квадрата ABCDі на ній побудуйте зображення перпендикулярів, опущених з точки E– середини сторони BCна прямі BDі AC.

3. Зобразіть паралельну проекцію правильного шестикутника ABCDEF, Взявши за вихідну фігуру рівносторонній трикутник ACE.

4. Зобразіть паралельну проекцію прямокутника ABCD, у якого AD = 2AB. Побудуйте зображення перпендикуляра, опущеного з вершини Cна діагональ BD.

14. Зображення просторових фігур

Варіант 1

1. Зобразіть правильну чотирикутну піраміду та її висоту.

2. Зобразіть куб, дві грані якого паралельні площині проектування.

3. На малюнку 6 зображено паралельну проекцію куба A… D

4. Даний тетраедр ABCD. Площа його грані ADCдорівнює S BDCна площину ADCу напрямі прямої AB.

Варіант 2

1. Зобразіть правильну трикутну піраміду та її висоту.

2. Зобразіть куб, межі якого не є паралельними площині проектування.

3. На малюнку 7 зображено паралельну проекцію куба A… D 1 . Як розташований куб щодо площини проектування?

4. Даний тетраедр ABCD. Площа його грані ABDдорівнює Q. Знайдіть площу проекції його грані BDCна площину ADBу напрямі прямої CM, де M- середина ребра AB.

15. Переріз багатогранників

Варіант 1

1. У шестикутній призмі A… F 1 (рис. 8) побудуйте точку перетину прямої PQз площиною ABC, де точки Qі Pналежать відповідно бічним ребрам призми BB 1 та DD 1 .

2. На бічних ребрах чотирикутної призми A… D 1 задані три точки K, L, M(Рис. 9). Побудуйте лінію перетину площини KLMз площиною ABC.

3. Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через крапки X, Y, Z, що належать відповідно ребрам AD, AA 1 , BB 1 і такі, що AX:XD = 1:2, A 1 Y:YA= 2:1, B 1 Z:ZB = 1:2.

4. У правильній піраміді SABCDпобудуйте перетин, що проходить через бік основи ADі точку M, що належить бічному ребру SB.

Варіант 2

1. На бічних ребрах BB 1 та EE 1 призми ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 задані відповідно точки Fі G(Рис. 10). Побудуйте точку перетину прямої FGз площиною ABC.

2. Даний куб A… D 1 . На його ребрах AA 1 , CC 1 та DD 1 задані відповідно три точки X, Y, Z(Рис. 11). Побудуйте лінію перетину площин XYZі ABC.

3. У правильній трикутній призмі A… C 1 збудуйте перетин, що проходить через точки K, Lі M, що належать відповідно ребрам AA 1 , ACі BB 1 і такі, що: AK = KA 1 ; AL:LC = 1:2 та BM = MB 1 .

4. У правильній піраміді SABCDпобудуйте перетин, що проходить через діагональ ACоснови та паралельне бічному ребру SD.

16. Кут між прямими у просторі. Перпендикулярність прямих

Варіант 1

1. У кубі A… D ABі BB 1; б) BDі ВВ 1; в) AB 1 та CC 1; г) AB 1 та CD 1 .

A… C 1 відрізок CDперпендикулярний ребру AB. Знайдіть кут між прямими: а) CDі AA 1; б) CDі A 1 B 1 .

SABCDз рівними ребрами знайдіть кут між діагоналлю ACпідстави та бічним ребром SC.

4. Знайдіть кут між ребрами правильного тетраедра, що схрещуються.

Варіант 2

1. У кубі A… D 1 знайдіть кут між прямими: а) BCі BB 1; б) A 1 C 1 і AD; в) BB 1 та BD; г) A 1 Dі BC 1 .

2. У правильній трикутній призмі A… C 1 AM– медіана основи ABC. Знайдіть кут між прямими: а) AMі C 1 B 1; б) AMі A 1 C 1 .

3. У правильному тетраедрі ABCDкрапка M- середина ребра CB. Знайдіть кут між прямими AMі DC.

4. Знайдіть кут між непересічними ребрами правильної трикутної піраміди.

17. Перпендикулярність прямої та площини

Варіант 1

1. Доведіть, що пряма, перпендикулярна до площини, перетинає цю площину.

2. Через центр Oквадрата ABCDпроведено пряму OK, перпендикулярна до площини цього квадрата. Доведіть, що пряма AKперпендикулярна до прямої BD.

3. Знайдіть геометричне місце точок, що належать прямим, що проходять через дану точку і перпендикулярно даній прямій.

4. Крапка Mналежить бічній грані ABDтрикутної піраміди ABCD, у якої AB = BDі AC = CD. Побудуйте переріз цієї піраміди площиною, що проходить через точку Mта перпендикулярної прямої AD.

Варіант 2

1. Пряма a, перпендикулярна до площини a, перетинає цю площину в точці A. Доведіть, що пряма b, що проходить через точку Aі перпендикулярна до прямої a, лежить у площині a.

2. Через точку M– середину сторони ABрівностороннього трикутника ABCпроведено пряму MHперпендикулярна площині цього трикутника. Доведіть перпендикулярність прямих ABі HC.

3. Дані пряма aі точка, що їй не належить A. Знайдіть геометричне місце прямих, що проходять через точку Aта перпендикулярних прямий a.

4. У прямокутному паралелепіпеді A… D 1 побудуйте перетин, що проходить через точку K, внутрішню точку діагонального перерізу AA 1 C 1 C, і перпендикулярне до прямої BB 1 .

18. Перпендикуляр та похила

Варіант 1

1. Дано площину a. З точки Aпроведено до неї дві похилі AB= 20 см та AC= 15 см. Проекція першої похилої на цю площину дорівнює 16 см. Знайдіть проекцію другої похилої.

2. З точки M, що не належить площині g, проведені до неї рівні похилі MA, MBі MC. Доведіть, що підстави похилих належать одному колу. Знайдіть центр.

3. З точки Bпроведені до площини дві рівні по 2 см похилі. Кут між ними дорівнює 600, а між їх проекціями - 900. Знайдіть перпендикуляр, опущений з точки Bна площину b.

4. Даний трикутник зі сторонами 13 см, 14 см та 15 см. Точка M, що не належить площині цього трикутника, віддалена від сторін трикутника на 5 см. Знайдіть перпендикуляр, опущений з точки Mна площину цього трикутника.

Варіант 2

1. З точки Aпроведені до площини a похила AB= 9 см та перпендикуляр AO= 6 см. Знайдіть проекцію цього перпендикуляра на дану похилу.

2. Знайдіть геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від усіх точок даного кола.

3. З цієї точки проведено до даної площини дві рівні похилі, що утворюють між собою кут 60 0 . Кут між їхніми проекціями – прямий. Знайдіть кут між кожною похилою та її проекцією.

4. Крапка Mвіддалена від кожної вершини правильного трикутника на
см, а від кожної сторони – на 2 см. Знайдіть перпендикуляр, опущений з точки Mна площині трикутника.

19. Кут між прямою та площиною

Варіант 1

1. У піраміді бічні ребра однаково нахилені до площини основи. На яку точку проектується вершина піраміди?

2. У кубі A… D AA 1 та площиною AB 1 D 1 .

3. До площини a проведено похилу MH (Hналежить площині a). Доведіть, якщо проекція похилої MHутворює рівні кути з прямими AHі BH, що лежать у площині a, то й сама похила MHутворює із нею рівні кути.

4. Проведіть до цієї площини через дану на ній точку пряму, яка утворює з площиною кут 90 0 .

Варіант 2

1. Доведіть, що у правильній піраміді бічні ребра однаково нахилені до площини основи.

2. У кубі A… D 1 знайдіть косинус кута між ребром A 1 D 1 та площиною AB 1 D 1 .

3. До площини b проведена похила BP (Pналежить площині b), яка утворює рівні кути з прямими PEі PF, що лежить у площині b. Доведіть, що кути, утворені прямими PEі PFз проекцією похилої BPна площину b рівні.

4. Через точку, що не належить даній площині, проведіть пряму, яка утворює з площиною кут 90 0 .

20. Відстань між точками, прямими та площинами

Варіант 1

1. У прямокутному трикутнику ABC(
C= 90 0) катет ACдорівнює 8 см. З вершини Bдо площини цього трикутника проведено перпендикуляр BD. Відстань між точками Aі Dдорівнює 10 см Dдо катета AC.

2. У одиничному кубі A… D Aі: а) вершиною C 1; б) рубом CC 1; в) гранню BB 1 C 1 C.

3. Крапка Mвіддалена від усіх вершин прямокутного трикутникана відстань a. Гіпотенуза трикутника дорівнює c. Знайдіть відстань від точки Mдо площини цього трикутника.

4. У кубі A… D 1 з ребром a ABі B 1 C 1 .

Варіант 2

1. Катети прямокутного трикутника ABC(C= 90 0) дорівнюють 15 см і 20 см. З вершини Cдо площини трикутника проведено перпендикуляр CD, рівний 5 см. Знайдіть відстань від точки Dдо гіпотенузи AB.

2. У одиничному кубі A… D 1 знайдіть відстань між вершиною D 1 і: а) вершиною B; б) рубом AB; в) гранню BB 1 C 1 C.

3. З точки Kна площину b опущений перпендикуляр завдовжки dта проведено дві похилі, кути яких з перпендикуляром становлять 30 0 . Кут між похилими дорівнює 60 0 . Знайдіть відстань між основами похилих.

4. У кубі A… D 1 з ребром aзнайдіть відстань між ребрами, що схрещуються DCі BB 1 .

21. Двогранний кут

Варіант 1

a. Знайдіть ортогональну проекцію цієї похилої на площину, якщо кут між похилою та площиною дорівнює 30 0 .

2. На одній грані двогранного кута взято дві точки Aі B. З них опущені перпендикуляри AA 1 , BB 1 на іншу грань і AA 2 , BB 2 на ребро двогранного кута. Знайдіть BB 2 , якщо AA 1 = 6 см, BB 1 = 3 см, AA 2 = 24 см.

3. Два рівні прямокутники мають загальну сторону та їх площини утворюють кут 45 0 . Знайдіть відношення площ двох фігур, на які ортогональна проекція сторони одного прямокутника розбиває іншу.

4. Доведіть, що перпендикуляри, проведені з точок даної прямої на площину, лежать в одній площині та геометричним місцем підстав цих перпендикулярів є лінія перетину цих площин.

Варіант 2

1. Похила, проведена до площини, дорівнює a. Знайдіть ортогональну проекцію цієї похилої на площину, якщо кут між похилою та площиною дорівнює 60 0 .

2. На одній грані двогранного кута взято дві точки, що віддаляються від його ребра на 9 см і 12 см. Відстань від першої точки до іншої грані двогранного кута дорівнює 20 см. Знайдіть відстань від цієї грані до другої точки.

3. Два рівнобедрених трикутники мають загальну основу, які площини утворюють кут 60 0 . Загальна основа дорівнює 16 см, бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см, а бічні сторони іншого перпендикулярні. Знайдіть відстань між вершинами трикутників, що лежать проти загальної основи.

4. Доведіть, що точка перетину ортогональних проекцій двох прямих на площину є ортогональною проекцією точки перетину даних прямих на ту саму площину.

22. Перпендикулярність площин

Варіант 1

1. Даний куб A… D ABDі DCC 1; б) AB 1 C 1 та ABB 1 .

2. Через дану пряму, що лежить у даній площині, проведіть площину, перпендикулярну до цієї площини.

3. Дві перпендикулярні площини a і b перетинаються прямою AB. Пряма CDлежить у площині a, паралельна ABта знаходиться на відстані 60 см від неї. Крапка Eналежить площині b і знаходиться на відстані 91 см від AB. Знайдіть відстань від точки Eдо прямої CD.

4. Доведіть, що пряма aі площину a, перпендикулярні до однієї і тієї ж площини b, паралельні, якщо пряма aне лежить у площині a.

Варіант 2

1. Даний куб A… D 1 . Доведіть перпендикулярність площин: а) AA 1 D 1 і D 1 B 1 C 1; б) A 1 B 1 Dі BB 1 C 1 .

2. Через похилу до площини проведіть площину, перпендикулярну до цієї площини.

3. Відрізок MNмає кінці двох перпендикулярних площинах і становить із нею рівні кути. Доведіть, що точки Mі Nоднаково віддалені від лінії перетину даних площин.

4. Доведіть, що дві площини a та b паралельні, якщо вони перпендикулярні площині g і перетинають її паралельними прямими.

23*. Центральне проектування

Самостійна робота N 1

Варіант 1

1. Куди при центральному проектуванні переходить пряма паралельна площині проектування?

2. Плоска фігура лежить у площині, паралельній площині проектування, і знаходиться між центром та площиною проектування. Як при цьому визначається коефіцієнт подібності фігури та її проекції?

R. Через середину висоти проведена площина, паралельна до основи. Знайдіть площу перерізу.

4. У трикутній піраміді ABCD(рис. 12) через точки Mі N, що належать відповідно до гранів ABDі BCD, проведіть перетин, паралельний ребру AC.

Варіант 2

1. У якому разі центральною проекцією двох прямих будуть дві паралельні прямі?

2. Плоска фігура лежить у площині, паралельній площині проектування. Площина проектування розташована між центром проектування та площиною даної фігури. Як при цьому визначається коефіцієнт подібності фігури та її проекції?

3. Радіус основи конуса дорівнює R. Він перетнутий площиною, паралельною основі і ділить висоту конуса щодо m:nз вершини. Знайдіть площу перерізу.

4. У трикутній піраміді ABCD(Мал. 13) через точку M, що належить висоті піраміди DO, проведіть перетин, паралельне грані BCD.

Самостійна робота N 2

Варіант 1

1. Пряма mS. Зобразіть центральну проекцію частини даної прямої, розташованої в одному півпросторі з точкою Sщодо площини p.

A… D AA 1 C 1 .

3. Зобразіть центральну проекцію правильної шестикутної призми на площину, паралельну її основам.

4. Дана правильна чотирикутна піраміда SABCD, у якої двогранний кут на підставі дорівнює 60 0 . Знайдіть відстань між прямими ABі SC, якщо AB= 1.

Варіант 2

1. Пряма mперетинає площину проектування p і не проходить через центр проектування S. Зобразіть центральну проекцію частини цієї прямої, розташованої в різних напівпросторах з точкою Sщодо площини p.

2. Зобразіть центральну проекцію куба A… D 1 на площину, паралельну площині AB 1 C 1 .

3. Зобразіть центральну проекцію правильної шестикутної призми на площину, не паралельну її основам.

4. Дана правильна трикутна призма A… C 1 , усі ребра якої дорівнюють 1. Знайдіть відстань між прямими AA 1 та BC 1 .

24. Багатогранні кути

Варіант 1

1. Запишіть, за яких умов кути a, b та g можуть бути плоскими кутами тригранного кута.

2. У тригранному куті всі плоскі кути прямі. На його ребрах від вершини відкладено відрізки 2 см, 4 см, 6 см і через їх кінці проведено площину. Знайдіть площу перетину, що вийшов.

3. По скільки прямо попарно перетинаються площини всіх граней чотиригранного кута?

Варіант 2

1. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють a і b, причому a > b. Запишіть, у яких межах можливі значення третього плоского кута g цього тригранного кута.

2. У тригранному куті всі двогранні кути – прямі. З вершини цього кута у його внутрішній області проведено відрізок, проекції якого на ребра рівні a, bі c. Знайдіть цей відрізок.

3. За скільки прямим попарно перетинаються площини всіх граней п'ятигранного кута?

25*. Випуклі багатогранники

Варіант 1

n-вугільної призми: а) опуклою; б) невипуклою.

2. Намалюйте опуклий багатогранник із 5 вершинами.

3. У опуклому багатограннику відоме число граней Г, причому кожна грань має одну і ту ж кількість сторін n. Знайдіть число: а) плоских кутів (
); б) ребер (Р) цього багатогранника. Як пов'язані між собою числа та Р?

4. Випуклий багатогранник має В вершин, Р ребер та Г граней. Від нього відсікли m-Гранний кут. Знайдіть число вершин, ребер та граней отриманого багатогранника.

Варіант 2

1. Визначте число вершин (В), ребер (Р) та граней (Г) n-вугільної піраміди: а) опуклою; б) невипуклою.

2. Намалюйте опуклий багатогранник із 6 вершинами.

3. У опуклому багатограннику відоме число вершин В, причому в кожній вершині сходиться те саме число ребер m. Знайдіть число: а) плоских кутів (); б) ребер цього багатогранника (Р). Як пов'язані між собою числа та Р?

4. Випуклий багатогранник має В вершин, Р ребер та Г граней. До нього n-вугільної грані прилаштували піраміду. Знайдіть число вершин, ребер та граней нового багатогранника.

26*. Теорема Ейлера

Варіант 1

1. Намалюйте неопуклий багатогранник, для якого виконується теорема Ейлера.

3. Доведіть, що у будь-якому опуклому багатограннику з В вершинами, Р ребрами та Г гранями виконується нерівність: 3В – 6 Р.

4. Знайдіть бік основи правильної трикутної піраміди з висотою hта боковим рубом b.

Варіант 2

1. Намалюйте неопуклий багатогранник, для якого не виконується теорема Ейлера.

2. Доведіть, що для будь-якого опуклого багатогранника справедливе співвідношення

3. Доведіть, що у будь-якому опуклому багатограннику з В вершинами, Р ребрами і Г гранями виконується нерівність: 3Г – 6 Р.

4. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди зі стороною основи aта висотою бічної грані h.

27. Правильні багатогранники

Варіант 1

1. Намалюйте: а) розгорнення тетраедра; б) багатогранник, подвійний гексаедру.

2. Побудуйте перетин октаедра площиною, що проходить через одну з його вершин та середини двох паралельних ребер, яким не належить дана вершина. Визначте вид перерізу.

3. У тетраедр ABCDвписано правильну трикутну призму з рівними ребрами таким чином, що вершини однієї її основи знаходяться на бічних ребрах AD, BD, CD, а іншого – у площині ABC. Ребро тетраедра дорівнює a. Знайдіть ребро призми.

4. У тетраедрі ABCD M– середину висоти DOтетраедра, паралельно площині грані ADC. Визначте вид перерізу.

Варіант 2

1. Намалюйте: а) розгорнення куба; б) багатогранник, подвійний тетраедру.

2. Побудуйте перетин октаедра площиною, що проходить через два його паралельні ребра. Визначте вид перерізу.

3. У октаедр вписаний куб таким чином, що його вершини знаходяться на ребрах октаедра. Ребро октаедра одно a. Знайдіть ребро куба.

4. У тетраедрі ABCDпроведіть переріз площиною, що проходить через точку M, що належить грані ABCпаралельно площині грані BCD. Визначте вид перерізу.

28*. Напівправильні багатогранники

Варіант 1

1. Знайдіть число вершин (В), ребер (Р) та граней (Г) усіченого гексаедра.

2. Як можна отримати 5-кутову антипризму?

3. Намалюйте багатогранник, подвійний правильній 6-кутній призмі.

4. Правильний трикутник ABCта інший трикутник ADCмають спільну сторону ACі розташовані в різних площинах, кут між якими дорівнює 300. Вершина Dортогонально проектується на площину трикутника ABCу його центр. Висота правильного трикутника дорівнює h. Знайдіть бік ADтрикутника ADC.

Варіант 2

1. Знайдіть число вершин (В), ребер (Р) та граней (Г) усіченого октаедра.

2. Як можна отримати 8-кутову антипризму?

3. Намалюйте багатогранник, подвійний 6-кутній антипризмі.

4. Квадрат ABCDта трикутник ABEмають спільну сторону ABі розташовані в різних площинах, кут між якими дорівнює 450. Вершина Eтрикутника ортогонально проектується на площину квадрата до його центру O. Висота EHтрикутника дорівнює h. Знайдіть площу ортогональної проекції трикутника на площину квадрата та ортогональну проекцію відрізка OEна площині трикутника.

29*. Зірчасті багатогранники

Варіант 1

1. Як отримати зірку Кеплера з октаедра?

2. Знайдіть число вершин (В), ребер (Р) та граней (Г) малого зірчастого додекаедра.

3. Яким чином із куба виходить усічений куб? Чому дорівнює його ребро, якщо ребро куба дорівнює a?

4. Доведіть, що якщо площина перетинає трикутну піраміду і паралельна двом її ребрам, що схрещуються, то в перерізі буде паралелограм.

Варіант 2

1. Як отримати зірку Кеплера із гексаедра?

2. Знайдіть число вершин (В), ребер (Р) та граней (Г) великого додекаедра.

3. Яким чином із куба виходить кубооктаедр? Чому дорівнює його ребро, якщо ребро куба дорівнює a?

4. Доведіть, що правильний тетраедр можна перетнути площиною таким чином, щоб у перерізі вийшов квадрат.

30*. Кристали – природні багатогранники

Варіант 1

1. Намалюйте кристал гірського кришталю.

2. Намалюйте ромбододекаедр. Чому дорівнює кількість його вершин, ребер та граней.

3. Знайдіть суму всіх плоских кутів кристала ісландського шпату.

4. Знайдіть суму площ усіх граней кристала алмазу (у вигляді кубооктаедра), якщо його ребро дорівнює a.

Варіант 2

1. Намалюйте кристал ісландського шпату.

2. Намалюйте ромбододекаедр. Визначте число його пласких кутів, двогранних кутів; багатогранних кутів та їх тип.

3. Знайдіть суму всіх плоских кутів кристала гранату.

4. Знайдіть суму площ усіх граней кристала алмазу (у вигляді усіченого октаедра), якщо його ребро дорівнює a.

31. Сфера та куля. Взаємне розташування сфери та площини

Варіант 1

1. Куля, радіус якої дорівнює 10 см, перетнута площиною, що знаходиться на відстані 9 см від центру. Знайдіть площу перерізу.

2. Перетин кулі радіусу R r 1 та r 2 . Знайдіть відстань між цими площинами, якщо вони розташовані з різних боків від центру.

3. Сторони трикутника стосуються сфери. Знайдіть відстань від центру сфери до площини трикутника, якщо радіус сфери дорівнює 5 см, а сторони трикутника дорівнюють 12 см, 10 см, 10 см.

4. Кожна сторона ромба стосується сфери радіуса 10 см. Площина ромба віддалена від центру сфери на 8 см. Знайдіть площу ромба, якщо його сторона дорівнює 12,5 см.

Варіант 2

1. Через середину радіуса кулі проведено перпендикулярно до нього площину. Як відноситься площа великого кола даної кулі до площі перетину, що вийшов?

2. Перетин кулі радіусу Rдвома паралельними площинами мають радіуси r 1 та r 2 . Знайдіть відстань між цими площинами, якщо вони розташовані по одну сторону від центру.

3. Сторони ромба стосуються сфери радіуса 13 см. Знайдіть відстань від площини ромба до центру сфери, якщо діагоналі ромба дорівнюють 30 см і 40 см.

4. Через кінець радіусу кулі проведено площину, що становить з ним 30 0 . Знайдіть площу перерізу кулі цією площиною, якщо радіус кулі дорівнює 6 см.

32. Багатогранники, вписані у сферу

Варіант 1

1. Перерахуйте властивості, яким має задовольняти призма, щоб у неї можна було описати сферу.

2. На малюнку 14 зображено трикутну піраміду ABCD, у якої ребро DBперпендикулярно до площини ABCта кут ACBдорівнює 90 0 . Знайдіть центр сфери, описаної у цієї піраміди.

3. У правильній чотирикутній піраміді SABCDсторона основи ABCDдорівнює 4 см, двогранний кут при підставі 450. Знайдіть радіус описаної галузі. Де буде її центр?

4. Радіус сфери, описаної при правильній чотирикутній призмі, дорівнює R. Знайдіть висоту цієї призми, знаючи, що її діагональ утворює з боковою гранню кут a.

Варіант 2

1. Перерахуйте властивості, яким має задовольняти піраміда, щоб у неї можна було описати сферу.

2. На малюнку 15 зображено піраміду ABCD, у якої кути ADB, ADCі BDCпрямі. Знайдіть центр сфери, описаної у цієї піраміди.

3. У правильній трикутній піраміді SABCцентр описаної сфери ділить висоту на частини, рівні 6 см і 3 см. Знайдіть бік основи ABCпіраміди.

4. У правильній 4-кутній призмі діагональ основи та діагональ бічної грані дорівнюють відповідно 16 см та 14 см. Знайдіть радіус описаної сфери.

33. Багатогранники, описані біля сфери

Варіант 1

1. Чи можна вписати сферу в піраміду, яка має рівні двогранні кути при основі? Відповідь поясніть.

2. Біля сфери описано пряму призму, основою якої є ромб з діагоналями 6 см і 8 см. Знайдіть площу основи та висоту призми.

3. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює a, двогранний кут на підставі дорівнює 60 0 . Знайдіть радіус вписаної кулі.

4. Сторони основ правильної 4-кутової усіченої піраміди дорівнюють 1 см та 7 см. Бокове ребро нахилено до основи під кутом 45 0 . Знайдіть радіус описаної кулі.

Варіант 2

1. Якою властивістю має мати пряма трикутна призма, щоб у неї можна було вписати сферу?

2. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, кожен з рівних кутів якого дорівнює a і основа якого дорівнює a. Бічні грані піраміди нахилені до поверхні під кутом b. Знайдіть радіус сфери, вписаної в цю піраміду.

3. Знайдіть радіус кулі, вписаної у правильну піраміду, у якої висота дорівнює h, а двогранний кут на підставі дорівнює 45 0 .

4. У правильній трикутній усіченій піраміді висота дорівнює 17 см, радіуси кіл, описаних біля основ, дорівнюють 5 см і 12 см. Знайдіть радіус описаної кулі.

34. Циліндр. Конус

Варіант 1

1. У циліндрі, радіус основи якого дорівнює 4 см і висота 6 см, проведено переріз, паралельний осі. Відстань між діагоналлю перерізу та віссю циліндра дорівнює 2 см. Знайдіть площу перерізу.

2. Через вершину конуса проведено переріз під кутом 600 до його основи. Знайдіть відстань від центру основи конуса до площини перерізу, якщо висота конуса дорівнює 12 см.

3. Крапка Mналежить висоті конуса. Крапка Nналежить площині основи конуса, але знаходиться поза цією основою. Побудуйте точку перетину прямої MNз поверхнею конуса.

4. Діагоналі осьового перерізу зрізаного конуса перпендикулярні, висота дорівнює 2 см. Знайдіть площу перерізу зрізаного конуса, проведеного через середину висоти паралельно основам.

Варіант 2

1. Висота циліндра дорівнює 15 см, радіус основи 10 см. Даний відрізок, кінці якого належать кіл обох основ і довжина якого дорівнює 3
див. Знайдіть відстань між цим відрізком та віссю циліндра.

2. Через вершину конуса проведено переріз під кутом 300 до його висоти. Знайдіть площу перерізу, якщо висота конуса дорівнює 3
см, а радіус основи 5 см.

3. У конусі задано осьовий перетин. Крапки Kі Lналежать двом утворюючим конуса, що не лежать у даному перерізі. Побудуйте точку перетину прямої KLз площиною цього осьового перерізу.

4. Радіуси основ усіченого конуса відносяться як 1:3, що утворює складає з площиною основи кут 45 0 висота дорівнює h. Знайдіть площі основ.

35. Поворот. Фігури обертання

Варіант 1

1. Намалюйте фігуру, яка виходить при обертанні квадрата ABCDнавколо прямої a, що проходить через вершину B BD.

2. Намалюйте фігуру, яка виходить обертанням кола навколо дотичної.

3. Крива задана рівнянням y = sin x, 0 x p. Намалюйте фігуру, яка вийде під час обертання цієї кривої навколо осі Ой.

4. Площина проходить через вісь циліндра, причому площа осьового перерізу циліндра відноситься до площі його основи як 4: p. Знайдіть кут між діагоналями осьового перетину.

Варіант 2

1. Намалюйте фігуру, яка виходить під час обертання ромба ABCDнавколо прямої a, що проходить через вершину Cта перпендикулярної діагоналі AC.

2. Намалюйте фігуру, яка виходить обертанням кола навколо хорди, яка не є діаметром.

3. Крива задана рівнянням y =
, 0 x 4. Намалюйте фігуру, яка вийде під час обертання цієї кривої навколо осі Ox.

4. Висота конуса дорівнює 20 см, кут між нею і утворює 60 0 . Знайдіть площу перерізу, проведеного через дві взаємно перпендикулярні утворюючі конуси.

36. Вписані та описані циліндри

Варіант 1

1. У сферу радіуса 10 см вписано циліндр, діагональ осьового перерізу якого нахилена до площини основи під кутом 30 0 . Знайдіть висоту циліндра та радіус його основи.

2. Знайдіть радіус основи циліндра, описаного біля сфери радіуса R.

r, вписано правильну трикутну призму. Знайдіть площу перерізу призми, що проходить через вісь циліндра та бічне ребро призми.

r, описано правильну чотирикутну призму. Знайдіть площу її граней.

Варіант 2

1. У сферу вписаний циліндр, що утворює якого дорівнює 8 см і діагональ осьового перерізу нахилена до площини основи під кутом 600. Знайдіть радіуси сфери та основи циліндра.

2. Знайдіть утворювальну циліндра, описаного біля сфери радіусу R.

3. У рівносторонній циліндр (висота дорівнює діаметру основи), радіус основи якого дорівнює r, вписано правильну чотирикутну призму. Знайдіть площу перерізу призми, що проходить через вісь циліндра та бічне ребро призми.

4. Біля рівностороннього циліндра, радіус основи якого дорівнює r, описано правильну трикутну призму. Знайдіть площу її граней.

37*. Переріз циліндра площиною. Еліпс

Варіант 1

1. Зобразіть циліндр та еліпс, що є перетином бічної поверхні циліндра площиною, що утворює з основою циліндра кут 45 0 .

2. Бічна поверхня циліндра перетнута площиною, що утворює з віссю циліндра кут 30 0 . Знайдіть велику вісь еліпса, що вийшов у перерізі, якщо радіус основи циліндра дорівнює R.

3. Площина перетинає бічну поверхню циліндра та утворює з площиною основи кут 30 0 . Знайдіть відстань між фокусами еліпса, що вийшов у перерізі, якщо радіус основи циліндра дорівнює 3 см.

R, перетнутий площиною, що утворює з основою циліндра кут 45 0 . Знайдіть суму відстаней від точок еліпса, що вийшов у перерізі, до фокусів.

Варіант 2

1. Зобразіть циліндр та еліпс, що є перетином бічної поверхні циліндра площиною, що утворює з основою циліндра кут 60 0 .

2. Під яким кутом до площини основи циліндра потрібно провести площину, щоб у перерізі бічної поверхні отримати еліпс, у якого велика вісь у два рази більша за малу?

3. Площина перетинає бічну поверхню циліндра і утворює з площиною основи кут 450. Знайдіть відстань між фокусами еліпса, що вийшов у перерізі, якщо радіус основи циліндра дорівнює 2 см.

4. Циліндр, радіус основи якого дорівнює R, перетнутий площиною, що утворює з основою циліндра кут 30 0 . Знайдіть суму відстаней від точок еліпса, що отримав у перерізі, до фокусів.

38. Вписані та описані конуси

Варіант 1

1. У сферу радіусу 4 см вписано конус. Знайдіть висоту цього конуса та радіус його основи, якщо кут при вершині осьового перерізу дорівнює 60 0 .

2. Радіус основи конуса дорівнює r, що утворює нахилена до площини основи під кутом 60 0 . Знайдіть радіус вписаної в конус сфери.

3. Чи можна вписати в конус 4-кутову піраміду, у якої кути основи послідовно відносяться як: а) 1:5:9:7; б) 4:2:5:7?

4. Підставою піраміди є рівнобедрена трапеція з основами 8 см та 18 см; двогранні кути при основі піраміди рівні. У піраміду вписано конус. Знайдіть радіус основи конуса та його висоту, якщо менше бічне ребро піраміди становить із меншою стороною трапеції кут 60 0 .

Варіант 2

1. У конусі утворююча дорівнює 15 см і становить з основою кут 60 0 . Знайдіть радіус описаної галузі.

2. У конус вписано сферу, радіус якої дорівнює R. Знайдіть радіус основи конуса, якщо кут при вершині осьового перерізу дорівнює 60 0 .

3. Чи можна описати біля конуса 4-кутову піраміду, у якої сторони основи послідовно відносяться як: а) 5:6:8:7; б) 3:10:15:7?

4. Підставою піраміди є прямокутний трикутник; бічні ребра рівні між собою, а бічні грані, що проходять через катети, складають з основою кути 300 і 600. Біля піраміди описаний конус в такий спосіб, що вони загальна висота. Знайдіть радіус основи конуса, якщо висота піраміди дорівнює h.

39*. Конічні перерізи

Варіант 1

1. Утворююча конуса нахилена до площини його основи під кутом 60 0 . Радіус основи конуса дорівнює R. Через центр основи проведено площину під кутом 60 0 до площини основи. Знайдіть радіус сфери, вписаної в конічну поверхню, що стосується цієї площини.

2. Зобразіть конус і площину, що перетинає конічну поверхню еліпсом.

3. Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 900. Під яким кутом до площини основи конуса потрібно провести площину, щоб у перерізі конічної поверхні одержати: а) еліпс; б) параболу; в) гіперболу?

4. Кут між віссю конуса та його твірної дорівнює 45 0 . Через точку, що утворює, віддалену від вершини конуса на відстань aпроведена площина, перпендикулярна цій утворювальній. Знайдіть відстань між фокусом і директрисою параболи, що виходить у перерізі конічної поверхні цією площиною.

Варіант 2

1. Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 900. Через точку утворює, що віддаляється від вершини конуса на відстань aпроведена площина, перпендикулярна цій утворювальній. Знайдіть радіус сфери, що вписана в конічну поверхню, що стосується цієї площини.

2. Зобразіть конус і площину, що перетинає конічну поверхню параболою.

3. Утворююча конуса нахилена до площини його основи під кутом 60 0 . Під яким кутом до площини основи потрібно провести площину, щоб у перерізі конічної поверхні одержати: а) еліпс; б) параболу; в) гіперболу?

4. Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 300. Через точку утворює, що віддаляється від вершини на відстань bпроведена площина, перпендикулярна цій утворювальній. Знайдіть велику вісь еліпса, що вийшов у перерізі конічної поверхні цією площиною.

40. Симетрія просторових фігур

Варіант 1

1. Для двох точок простору знайдіть точку, щодо якої вони центрально симетричні.

2. Побудуйте пряму, дзеркально-симетричну даної прямої щодо даної площини a. Розгляньте різні випадки.

3. Доведіть, що при осьовій симетрії площина, перпендикулярна до осі, переходить у себе.

4. Знайдіть елементи симетрії правильної трикутної призми.

Варіант 2

1. Для двох точок простору знайдіть пряму, щодо якої вони симетричні.

2. Побудуйте площину, центрально-симетричну даної площини щодо точки O. Розгляньте різні випадки.

3. Доведіть, що при осьовій симетрії прямі, перпендикулярні до осі, переходять у прямі, також перпендикулярні до осі.

4. Знайдіть елементи симетрії правильної 6-ї піраміди.

41. Рухи

Варіант 1

1. Доведіть, що композиція двох рухів (послідовне їх виконання) є рухом.

Aкуба A… D 1 у вершину C 1 .

Aправильного тетраедра ABCDу вершину C.

4. Яким рухом є композиція (послідовне виконання) двох осьових симетрій із паралельними осями?

Варіант 2

1. Доведіть, що перетворення, обернене до руху, теж є рухом.

2. Знайдіть рухи, які переводять вершину B 1 куба A… D 1 у вершину D.

3. Знайдіть рухи, які переводять вершину Dправильного тетраедра ABCDу вершину B.

4. Яким рухом є композиція (послідовне виконання) двох центральних симетрій?

42*. Орієнтація поверхні. Аркуш Мебіуса

Варіант 1

1. Скільки сторін має поверхню: а) піраміди; б) призми; в) двічі перекрученої стрічки Мебіуса?

2. Зобразіть аркуш Мебіуса.

a, b(a b) склеюванням сторін довжини a. Яка площа поверхні аркуша Мебіуса?

4. Чи можна односторонню поверхню склеїти із шестикутника?

Варіант 2

1. Скільки сторін має поверхню: а) конуса; б) циліндра; в) аркуша Мебіуса?

2. Зобразіть двічі перекручену стрічку Мебіуса.

3. Лист Мебіуса отриманий із прямокутника зі сторонами a, b(a b) склеюванням сторін довжини a. Яка довжина краю аркуша Мебіуса?

4. Чи можна склеїти односторонню поверхню з восьмикутника?

43. Обсяг фігур у просторі. Об'єм циліндра

Варіант 1

1. Осьовий переріз прямого кругового циліндра - квадрат зі стороною 3 см. Знайдіть об'єм циліндра.

2. Від куба A… D 1 , ребро якого дорівнює 1 відсічені 4 трикутні призми площинами, які проходять через середини суміжних сторін грані ABCD, паралельно ребру AA 1 . Знайдіть обсяг частини куба, що залишилася.

3. Пряма трикутна призма пересічена площиною, яка проходить через бічне ребро і ділить площу протилежної йому бічної грані щодо m:n. У чому ділиться обсяг призми?

4. Підставою прямого паралелепіпеда є ромб, діагоналі якого відносяться як 5:2. Знаючи, що діагоналі паралелепіпеда дорівнюють 17 дм і 10 дм, знайдіть об'єм паралелепіпеда.

Варіант 2

1. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 2 см і нахилена до площини основи під кутом 600. Знайдіть об'єм циліндра.

2. Об'єм правильної шестикутної призми дорівнює V. Визначте обсяг призми, вершинами якої є середини сторін підстав цієї призми.

3. У якому відношенні ділиться обсяг прямої трикутної призми площиною, що проходить через середні лінії основ.

4. Підставою прямого паралелепіпеда є ромб, діагоналі якого дорівнюють 1 дм і 7 ​​дм. Знаючи, що діагоналі паралелепіпеда відносяться як 13:17, знайдіть об'єм паралелепіпеда.

44. Принцип Кавальєрі

Варіант 1

1. Чи правильно, що два конуси, що мають рівні основи та висоти, рівновеликі?

1. Знайдіть обсяг похилої призми, площа основи якої дорівнює S, а бічне ребро bнахилено до площини основи під кутом 60 0 .

3. У похилому паралелепіпеді дві бічні грані мають площі S 1 та S 2 , їх спільне ребро одно aі вони утворюють між собою двогранний кут 150 0 . Знайдіть обсяг паралелепіпеда.

4. У похилій трикутній призмі площа однієї з бічних граней дорівнює Q, а відстань від неї до протилежного ребра дорівнює d. Знайдіть обсяг призми.

Варіант 2

1. Чи правильно, що дві піраміди, що мають рівновеликі основи та рівні висоти, рівновеликі?

2. Знайдіть об'єм похилого циліндра, радіус основи якого дорівнює R, а бічне ребро bнахилено до площини основи під кутом 45 0 .

3. У похилому паралелепіпеді основа та бічна грань є прямокутниками та їх площі рівні відповідно 20 см 2 та 24 см 2 . Кут між площинами дорівнює 30 0 . Ще одна грань паралелепіпеда має площу 15 см 2 . Знайдіть обсяг паралелепіпеда.

4. У похилій трикутній призмі дві бічні грані перпендикулярні і мають спільне ребро, що дорівнює a. Площі цих граней рівні S 1 і S 2 . Знайдіть обсяг призми.

45. Обсяг піраміди

Варіант 1

1. Піраміда, обсяг якої дорівнює V, а в основі лежить прямокутник, перетнута чотирма площинами, кожна з яких проходить через вершину піраміди і середини суміжних сторін основи. Знайдіть обсяг частини піраміди, що залишилася.

2. Підставою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною, що дорівнює 1. Дві її бічні грані перпендикулярні до площини основи, а третя утворює з основою кут 60 0 . Знайдіть обсяг піраміди.

3. В основі прираміди лежить прямокутний трикутник, один з катетів якого дорівнює 3 см, а гострий кут, що прилягає до нього, дорівнює 30 0 . Усі бічні ребра піраміди нахилені до поверхні під кутом 60 0 . Знайдіть обсяг піраміди.

4. Центри граней куба, ребро якого дорівнює 2 aслужать вершинами октаедра. Знайдіть його обсяг.

Варіант 2

1. Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, якщо її діагональним перетином є правильний трикутник із стороною, що дорівнює 1.

2. Підставою піраміди служить прямокутник, одна бічна грань перпендикулярна до площини основи, а три інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60 0 . Висота піраміди дорівнює 3 см. Знайдіть об'єм піраміди.

3. Бічні грані піраміди, на основі якої лежить ромб, нахилені до площини основи під кутом 30 0 . Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 24 см. Знайдіть об'єм піраміди.

4. У куб з ребром, рівним a, вписаний правильний тетраедр таким чином, що його вершини збігаються із чотирма вершинами куба. Знайдіть обсяг тетраедра.

46. ​​Обсяг конуса

Варіант 1

1. Діаметр основи конуса дорівнює 12 см, а кут при вершині осьового перерізу дорівнює 90 0 . Знайдіть об'єм конуса.

2. Два конуси мають загальну висоту та паралельні основи. Знайдіть об'єм їх загальної частини, якщо об'єм кожного конуса дорівнює V.

3. У конус, обсяг якого дорівнює V, вписаний циліндр. Знайдіть об'єм циліндра, якщо відношення діаметрів основ конуса та циліндра дорівнює 10:9.

4. Кожне ребро правильної 4-кутової піраміди дорівнює a. Площина, паралельна площині основи піраміди, відсікає від неї усічену піраміду. Знайдіть об'єм зрізаної піраміди, якщо сторона перерізу дорівнює b.

Варіант 2

1. Осьовим перетином конуса служить рівнобедрений прямокутний трикутник площі 9 см 2 . Знайдіть об'єм конуса.

2. У конус вписаний інший конус таким чином, що центр підстави вписаного конуса ділить висоту даного конуса щодо 3:2, рахуючи від вершини конуса, а вершина вписаного конуса знаходиться в центрі підстави цього конуса. Знайдіть відношення обсягів даного та вписаного конусів.

3. Доведіть, що якщо два рівні конуси мають загальну висоту і паралельні площини основ, то об'єм їх загальної частини становить обсяг кожного з них.

4. Радіуси основ усіченого конуса дорівнюють 3 см і 5 см. Знайдіть відношення об'ємів частин усіченого конуса, на які він ділиться середнім перетином.

47. Обсяг кулі та її частин

Варіант 1

1. Знайдіть відношення об'єму кулі до об'єму вписаного в нього куба.

2. Знайдіть відношення об'єму кулі до об'єму описаного біля нього октаедра.

3. У кулі проведена площина, перпендикулярна до діаметра і ділить його на частини, рівні 3 см і 9 см. Знайдіть об'єми частин кулі.

4. Радіус кульового сектора R, кут в осьовому перерізі 120 0 . Знайдіть обсяг кульового сектора.

Варіант 2

1. Знайдіть відношення об'єму кулі до об'єму вписаного в нього октаедра.

2. Знайдіть відношення об'єму кулі до об'єму описаного біля нього куба.

3. У кулі радіуса 13 см проведено по різні боки від центру два рівні паралельні перерізи радіуса 5 см. Знайдіть об'єм отриманого кульового шару.

4. Знайдіть об'єм кульового сектора, якщо радіус кола його основи дорівнює 60 см, а радіус кулі 75 см.

48. Площа поверхні

Варіант 1

1. Площина, що проходить через бік основи правильної трикутної призми і середину протилежного ребра, утворює з основою кут 45 0 а сторона основи дорівнює a. Знайдіть площу бічної та повної поверхні призми.

2. Підставою піраміди є квадрат, сторона якого дорівнює a. Дві грані піраміди перпендикулярні до основи, а решта двох бічних граней нахилена до нього по куту 60 0 . Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

3. У правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює b; переріз, проведений через протилежні сторони основ, становить з площиною основи кут j. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, описаного біля цієї призми.

4. Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 600; площа великого кола, вписаного в цей конус кулі, дорівнює Q

Варіант 2

1. У правильній 4-кутній призмі сторона основи дорівнює a. Площина, проведена через протилежні сторони основ, становить один з них кут 60 0 . Знайдіть площу бічної та повної поверхні призми.

2. Дві бічні грані трикутної піраміди перпендикулярні до її основи; висота піраміди дорівнює h; плоскі кути при вершині дорівнюють 60 0 , 60 0 та 90 0 . Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

3. У правильній трикутній призмі бічне ребро дорівнює b; відрізок, що з'єднує середину бічного ребра з центром основи, складає з основою кут j. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, вписаного в цю призму.

4. У конусі утворювальна складає з основою кут 60 0; площа великого кола описаної кулі дорівнює Q. Знайдіть площу повної поверхні конуса.

49. Площа поверхні кулі та її частин

Варіант 1

1. Доведіть, що площа повної поверхні рівностороннього конуса (осьовий переріз – рівносторонній трикутник) дорівнює площі поверхні кулі, що має діаметром висоту конуса.

2. Знайдіть площу поверхні кулі, вписаної в рівносторонній циліндр (осьовий перетин – квадрат), діагональ осьового перерізу якого дорівнює a.

3. Радіуси основ кульового поясу дорівнюють 10 см і 12 см, а його висота дорівнює 11 см. Знайдіть площу поверхні кульового пояса.

4. Радіус кульового сегмента дорівнює Rдуга осьового перерізу становить 90 0 . Знайдіть площу повної поверхні сегмента.

Варіант 2

1. Доведіть, що якщо рівносторонній конус (осьовий перетин – рівносторонній трикутник) та півкуля мають загальну основу, то площа бічної поверхні конуса дорівнює площі поверхні півкулі.

2. Знайдіть відношення площ поверхонь двох куль, одна з яких вписана, а друга описана біля рівностороннього циліндра (осьовий перетин – квадрат).

3. Радіус кулі дорівнює 25 см. Знайдіть площі частин, на які ділиться поверхні кулі перетином, площа якого дорівнює 49p см 2 .

4. Висота кульового сегмента дорівнює hдуга осьового перерізу дорівнює 120 0 . Знайдіть площу повної поверхні сегмента.

50. Прямокутна система координат у просторі

Варіант 1

1. Побудуйте за координатами точки: A(1,2,3); B(-2,0,3); C(0,0,-4); D(3,-1,0).

2. Серед даних точок K(-6,0,0), L(10,-5,0), M(0,6,0), N(7,-8,0), P(0,0,-20), Q(0,11,-2) знайдіть ті, що належать: а) осі Ой; б) осі Oz; в) площині Oxy; г) площині Oyz.

3. Знайдіть координати основ перпендикулярів, опущених із даних точок E(6,-2,8) та F(-3,2,-5) на: а) вісь Ox; б) площину Oxz.

GH, якщо G(2,-3,5), H(4,1,-3).

U(8,0,6), V(20,-14,0) щодо: а) площини Oyz; б) осі Ox.

Варіант 2

1. 1. Побудуйте за координатами точки: E(-1,2,0); F(1,0,-4); G(2,3,-1); H(0,-2,0).

2. Серед точок A(0,-1,0), B(0,1,-3), C(4,0,0), D(0,0,-5), E(-1,0,7), F(0,10,10) знайдіть ті, що належать: а) осі Ox; б) осі Ой; в) площині Oyz; г) площині Oxz.

3. Знайдіть координати основ перпендикулярів, опущених з точок M(9,-1,-6) та N(-12,5,8) на: а) вісь Oz; б) площину Oxy.

4. Знайдіть координати середини відрізка GH, якщо G(3,-2,4), H(5,2,-6).

5. Знайдіть координати точок, симетричних точок P(0,0,5), V(0,-1,-2) щодо: а) площини Oxy; б) осі Ой.

51. Відстань між точками у просторі

Варіант 1

A(2,3,4), B(1,2,3), C(3,4,5) вершинами трикутника.

Oz M(-1,-2,0) та N(3,0,4).

C(-2,0,3) і: а) радіусом; б) проходить через точку K(1,-4,3).

x 2 + 8y + y 2 + z 2 – 6x =0.

5. Сфера x 2 + y 2 + z 2 +4x – 2y=0 перетнута площиною Oyz

Варіант 2

1. Визначте, чи є точки E(-4,-5,-6), F(-1,-2,-3), G(-2,-3,-4) вершинами трикутника.

2. Знайдіть координати точки, що належить осі Ойі однаково віддаленої від точок K(1,3,0) та L(4,-1,3).

3. Запишіть рівняння сфери з центром у точці C(0,-5,6) та: а) радіусом 10; б) проходить через точку H(2,-3,5).

4. Знайдіть координати центру та радіус сфери, заданої рівнянням x 2 + y 2 + z 2 – 8z - 20 =0.

5. Сфера x 2 + y 2 + z 2 +2x – 6z=0 перетнута площиною Oxy. Знайдіть координати центру та радіус кола, що лежить у перерізі.

52. Координати вектора

Варіант 1

1. Знайдіть координати вектора: а) 2 + 3 - 4 ; б) -5 + 10; в) - +.

2. Знайдіть довжину вектора: а) (1,-2,10); б) якщо A(0,-5,1), B(2,0,-8); в) + якщо (6,2,-6), (2,-2,0).

3. Знайдіть координати точки Cякщо: а)
(-5,6,8), D(0,-1,2); б) D(-13, ,6),
(-5,0,0).

4. Знайдіть числа x, y, zщоб виконуватись рівність =
, якщо (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8), (-5,2,-4).

Варіант 2

1. Знайдіть координати вектора: а) 3 - 4 + 2; б) -2 -; в) - .

2. Знайдіть довжину вектора: а) (0,-3,2); б) якщо M(0,-5,1), N(2,0,-8); в) - якщо (0,-2,6), (-5,0,3).

3. Знайдіть координати точки Eякщо: а) (0,-3,11), F(5,-1,0); б) F(5,0,-9),
(-2,4,-6).

4. Знайдіть числа u, v, w, щоб виконувалася рівність =
, якщо (-30,6,-12), (5,-6,0), (10,-3,2), (0,1,2).

53. Скалярне твір векторів

Варіант 1

1. Визначте знак скалярного добутку векторів і якщо кут між ними задовольняє нерівностям: а) 0 0

2. Кут між векторами дорівнює 90 0 . Чому дорівнює кут між векторами: а) - та ; б) - і?

+
+
= 0.

4. У правильному тетраедрі ABCDз ребром, рівним 1, знайдіть скалярний добуток: а)
; б)
; в)
, де Hі QACі BD.

Варіант 2

1. Визначте, в якому проміжку знаходиться кут між векторами і якщо: а) > 0.

2. Кут між векторами та
дорівнює 90 0 . Чому дорівнює кут між векторами: а) і -; б) - і -?

3. Доведіть рівність: а) ; б)
=
.

4. У правильному тетраедрі ABCDз ребром, рівним a, знайдіть скалярний твір: а)
; б); в), де Eі F– середини відповідно ребер BCі AD.

54. Рівняння площини у просторі

Варіант 1

H(-3,0,7) та перпендикулярну вектору з координатами (1,-1,3).

2. Знайдіть координати точки перетину площини. x – y + 3z- 1 = 0 з віссю: а) абсцис; б) ординат.

B(3,-2,2) і: а) паралельна площині Oyz; б) перпендикулярна до осі Ox.

M(5,-1,3) і перпендикулярна вектору , якщо N(0,-2,1).

Варіант 2

1. Напишіть рівняння площини, що проходить через точку P(5,-1,0) та перпендикулярну вектору з координатами (0,-6,10).

2. Знайдіть координати точки перетину площини x + 4y - 6z- 7 = 0 з віссю: а) ординат; б) аплікат.

3. Напишіть рівняння площини, якщо вона проходить через точку C(2,-4,-3) і: а) паралельна площині Oxz; б) перпендикулярна до осі Ой.

4. Напишіть рівняння площини, яка проходить через точку Eі перпендикулярна вектору (4,-5,0), якщо F(3,-1,6).

55*. Рівняння прямої у просторі

Варіант 1

1. Знайдіть значення d, при якому пряма

перетинає вісь Oz.

для того, щоб пряма: а) була паралельна осі Ox; б) лежала у площині Oxz; в) перетинала вісь Ой.

із координатними площинами.

Варіант 2

1. Знайдіть значення bі d, при яких пряма

перетинає площину Oxy.

2. Знайдіть умови, яким повинні задовольняти коефіцієнти у рівняннях прямої

для того, щоб пряма: а) збігалася з віссю Oz; б) була паралельна площині Oyz; в) проходила через початок координат.

3. Знайдіть координати точок перетину прямої

із координатними площинами.

4. Запишіть параметричні рівняння прямої

56. Аналітичне завдання просторових фігур

Варіант 1

x 2 + y 2 +z 2 = 1; б) x 2 = 1; в) xyz = 0.

а)
б)

3. Дані точки A(2,5,12), B(1,0,0), C(-1,-5,4) та площині
і , задані відповідно до рівнянь 2 x – y + z+1 = 0 і x – 5y –13z+1 = 0. Для кожної з цих площин знайдіть серед даних точок ті, що лежать по ту ж сторону від площини, що й початок координат.

4. Дана площина 3 x – y +4z O(0,0,0) та D(2,1,0); б) E(1,2,1) та F(5,15,-1)?

Варіант 2

1. З'ясуйте, яку геометричну фігуру задає рівняння: а) x 2 + y 2 + (z + 1) 2 = 1; б) x 2 – y 2 = 0; в) x 2 = 0.

2. З'ясуйте, яку геометричну фігуру задає система:

а)
б)

3. Дані точки E(-14,22,0), F(1,-5,12), G(0,0,5) та площині і , задані відповідно до рівнянь x – 2z+12 = 0 та x + 5y + z+25 = 0. Для кожної з цих площин знайдіть серед даних точок ті, що лежать по ту ж сторону від площини, що й початок координат.

4. Дана площина 3 x – y +4z+1 = 0. Чи лежать по одну й ту саму сторону від неї крапки: а) A(-1,2,-5) та B(-15,1,0); б) K(1,
,5) та L(1,15,-15)?

57*. Багатогранники у завданнях оптимізації

Варіант 1

1. Вершини тетраедра мають такі координати: O(0,0,0), A(1,1,0), B(0,2,0),C(1,5,7). Запишіть нерівності, що характеризують внутрішню ділянку даного тетраедра.

2. Знайдіть область, що визначається наступною системою нерівностей:

а) б)

Зобразіть її.

3. Запишіть систему нерівностей, що визначає внутрішню область прямої трикутної призми OABO 1 A 1 B 1 , якщо O(0,0,0), A(0,2,0), B(0,0,2), O 1 (5,0,0). Зобразіть її та знайдіть її об'єм.

u = x + y – 2z + 1 на трикутній призмі з попередньої задачі.

Варіант 2

1. Дані вершини тетраедра A(-1,1,0), B(-2,2,0), C(-2,0,0), D(-1,5,7). Які з точок M(2,3,-1), N(- , , ), P(0,0,1), H(- , , ) належать внутрішній області даного тетраедра?

2. Знайдіть область, що визначається наступною системою нерівностей: а) б)

3. Запишіть систему нерівностей, що визначають внутрішню область тетраедра OABC, якщо O(0,0,0), A(5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6). Зобразіть її та знайдіть її об'єм.

4. Знайдіть найбільше та найменше значення лінійної функції u= x – y + z – 1 на тетраедрі з попереднього завдання.

58*. Полярні координати на площині

Варіант 1

A(2, ), B(1, ), C( , ), D(3, ), E(4, ), F( , ).

2. Запишіть декартові координати точок G(2, ), H( , ), P(5, ), Q(3,- ).

3. Знайдіть полярні координати вершин і точки перетину діагоналей одиничного квадрата, взявши за початок координат одну з його вершин, а за полярну вісь – сторону, яка проходить через вибрану вершину.

M(1, ), N(3, ), P( ,- ), Q(,) щодо: а) полярної осі; б) початку координат.

Варіант 2

1. Зобразіть у полярній системі координат точки A(3, ), B(5, ), C( , ), D(6, ), E(2, ), F( , ).

2. Запишіть полярні координати точок K(0,6), L(-2,0), M(-1,1), N( ,1).

3. Знайдіть полярні координати вершин правильного шестикутника, сторона якого дорівнює 1, прийнявши за початок координат одну з його вершин, а за полярну вісь – сторону, яка проходить через вибрану вершину.

4. Знайдіть полярні координати точок, симетричних точок G(2, ), H(3, ), R(3,- ), S( , ) щодо: а) початку координат; б) полярної осі.

59*. Сферичні координати у просторі

Варіант 1

1. Знайдіть декартові координати наступних точок простору, заданих сферичними координатами: (1,45 0 ,60 0), (2,30 0 ,90 0), (1,90 0 , 20 0).

2. Знайдіть сферичні координати наступних точок простору, заданих декартовими координатами: A(1,1, ), B(1,0,1), C(0,0,1).

3. Знайдіть геометричне місце точок простору, сферичні координати яких задовольняють умовам: а) y = 450; б) j = 600.

r 2; б) r 1, y 0?

Варіант 2

1. Знайдіть декартові координати наступних точок простору, заданих сферичними координатами: (1,-45 0 ,60 0), (2,30 0 ,-90 0), (3,-90 0 , 50 0).

2. Знайдіть сферичні координати наступних точок простору, заданих декартовими координатами: A(2,2 ), B(-1,0,1), C(0,0,-1).

3. Знайдіть геометричне місце точок простору, сферичні координати яких задовольняють умовам: а) y = 30 0; б) j = 900.

4. Яка постать у просторі задається нерівностями: а) r 1; б) r 1, - j 0?

60*. Використання комп'ютерної програми «Математика» для зображення просторових фігур

Варіант 1

1. Отримайте зображення тетраедра.

2. Зробіть операцію усічення тетраедра та отримайте октаедр.

3. Як із октаедра отримати зірку Кеплера?

z = xy.

Варіант 2

1. Отримайте зображення куба.

2. Зробіть операцію зрізання куба і отримайте кубооктаедр.

3. Як із куба отримати ромбододекаедр?

4. Отримайте зображення поверхні z = cos x cos y.

ВІДПОВІДІ

Самостійна робота N 2

В 1. 4. 6. В2. 3. 10. 4. 4.

В 1. 2. а) В = 8, Р = 12, Г = 6; б) В = 14, Р = 21, Г = 9; в) В= n+1, Р = 2 n, Г = n+1. 3. а) 5-кутова; б) 7-кутова; в) трикутна. 4. Три кольори. В 2. 2. а) В = 8, Р = 12, Г = 6; б) В = 7, Р = 12, Г = 7; в) В = 2 n, Р = 3 n, Г = n+2. 3. а) 4-кутова; б) 7-кутова; в) 8-кутова. 4. Два кольори.

В 1. 3. 3. 4. 3. В2. 3. 3. 4. 3.

В 1. 3. Схрещуються. В 2. 3. Ні. 4. Ні.

В 1. 3. Паралельні.

В 1. 2. Вірні твердження 1), 3), 4). 4. Якщо AB || CD, то AC|| BD; якщо ABсхрещується з CD, то ACсхрещується з BD. В 2. 2. Правильне затвердження 3). 4. Якщо AB || CD, то ADі BCперетинаються; якщо ABі CDсхрещуються, то ADі BCсхрещуються.

В 1. 2. 26. 3. а); б)
; в)
, де M– середина BC. 4. а)
; б); в)
. В 2. 2. 24. 3. а)
; б); в)
, де M– середина BA. 4. а)
; б); в).

В 1. 1. . 2. Вектор + однаково спрямований з вектором; | + | = | | - | |. В 2. 1.
. 2. Вектор + однаково спрямований з вектором; | + |=| | - | |.

В 1. 1. Одна, якщо пряма, яка через них, паралельна напрямку проектування; дві в іншому випадку. 2. Паралельність та рівність протилежних сторін; розподіл діагоналей навпіл у точці перетину. 3. Прямі схрещуються і одна з них паралельна напряму проектування. В 2. 1. Одна, якщо всі точки належать одному прямому, паралельному напрямку проектування; дві, якщо пряма, яка проходить через якісь дві з цих точок, паралельна напрямку проектування, а третя точка не належить цій прямій; три інших випадках. 2. Паралельність та рівність протилежних сторін; розподіл діагоналей у точці перетину навпіл. 3. Пряма не паралельна напрямку проектування і точка належить прямій або площина, що проходить через цю точку і пряму, паралельна напрямку проектування.

В 1. 3. Грані куба не паралельні площині проектування та напрямок проектування паралельно діагоналі BD. 4. . В 2. 1. В = 24, Р = 36, Г = 14. 4. . 3. R ​​b; б) y B. 4. а) Так; б) ні. В 2. 1. а) Сфера з центром у точці (0,0,-1) та радіусом 1; б) дві площини, що перетинаються; в) площину Oyz. 2. а) Прямокутний паралелепіпед; б) дві прямі, що перетинаються, лежать у площині Oxy. 3. Для: точка F; для : точки E, F, G. 4. а) Так; б) ні.

В 1. 1.

2. а) Внутрішня область тетраедра з вершинами (0,0,0), (1,0,0). (0,1,0), (0,0,1); б) внутрішня область прямокутного паралелепіпеда з вершинами (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10), (5) ,3,10), (7,3,10), (7,5,10).

3.
V = 20. 4. 8 – найбільше; 3 – найменше.

В 2. 1. Крапки Nі H. 2. а) Область між двома паралельними площинами; б) внутрішня область прямої трикутної призми з вершинами (0,0,0), (0,3,0). (0,0,3), (-2,0,0), (-2,3,0), (-2, 0,3).

(); (); (0, стереометрії . Наводити приклади реальних об'єктів... багатогранників. Розгортка. Перераховувати основні поняттяі аксіоми стереометрії. Наводити приклади реальних об'єктів...

Стереометрія

Самостійна робота N 1

Варіант 1

1. Зобразіть пряму aі крапки A,Bі C, що не належать даній прямій. Зробіть потрібні записи.

2. Зобразіть площину b, точки E,F, що належать їй, і точку G, їй не належить. Зробіть потрібні записи.

3. Зобразіть пряму a, що лежить у площині a. Зробіть потрібний запис.

4. Зобразіть дві площини, що перетинаються, a і b. Зробіть потрібний запис.

Варіант 2

1. Зобразіть дві, що перетинаються в точці Oпрямі aі bі крапки A,B,C,причому крапка Aналежить прямий a, Bналежить прямий b, крапка Cне належить цим прямим.

2. Зобразіть площину g, які не належать їй точки K,Lі точку, що належить їй M. Зробіть потрібні записи.

3. Зобразіть пряму b, що перетинає площину b у ​​точці O. Зробіть потрібний запис.

4. Зобразіть три пересічні по прямій aплощині a, b та g. Зробіть потрібний запис.

Самостійна робота N 2

Варіант 1

1) Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

2) Через дві точки простору проходить єдина пряма.

3) Вертикальні кути рівні.

4) Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

2. Визначте взаємне розташування площин a та b, якщо в них лежить трикутник ABC. Відповідь обґрунтуйте.

3. Скільки площин може проходити через три точки?

4. Знайдіть найбільшу кількість прямих, що проходять через різні пари з чотирьох точок.

Варіант 2

1. З наступних пропозицій вкажіть аксіоми, визначення, теореми:

1) Якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються прямою.

2) Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

3) Для прямих і площин у просторі виконуються аксіоми планіметрії.

4) Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

2. Визначте взаємне розташування двох площин b та g, якщо їм належать точки Bі C. Відповідь обґрунтуйте.

3. Знайдіть найбільшу кількість прямих, що проходять через різні пари з 5 точок.

4. Знайдіть найбільшу кількість площин, що проходять через різні трійки з чотирьох точок.

2. Наслідки з аксіом стереометрії

Варіант 1

1. У площині двох прямих, що перетинаються. aі bзадана точка C, що не належить цим прямим. Пряма c, що лежить у даній площині, проходить через точку C cщодо даних прямих?

2. Дано три точки, що не належать одній прямій. Доведіть, що всі прямі, що перетинають два з трьох відрізків, що з'єднують ці точки, лежать в одній площині.

3. Площина задана прямою cі не належить їй точкою C a, відмінну від цієї прямої і не проходить через цю точку.

4. Площина задана двома перетинаються у точці Oпрямими aі b. Намалюйте пряму cяка перетинає дані прямі і не лежить у даній площині.

Варіант 2

1. Пряма d, що лежить у площині трикутника ABC, перетинає його бік AB. Яким може бути взаємне розташування прямих dі BC?

2. У площині a проведено дві паралельні прямі aі b. Доведіть, що всі прямі, що перетинають ці прямі, лежать в одній площині.

3. Площина задана двома перетинаються у точці Oпрямими mі n. Побудуйте у цій площині пряму k, відмінну від даних прямих і не проходить через точку O.

4. Площина задана трьома точками D,E,F, що не належать до однієї прямої. Намалюйте пряму a, яка перетинає сторони DEі DFтрикутника DEFі лежить у цій площині.

3. Просторові фігури

Варіант 1

1. Намалюйте п'ятикутну призму та розділіть її на тетраедри.

2. Визначте число вершин, ребер та граней: а) куба; б) 7-кутової призми; в) n-Вугільної піраміди.

3. Визначте вид призми, якщо вона має: а) 10 вершин; б) 21 ребро; в) 5 граней.

4. Як можна пофарбувати грані 4-кутової призми, щоб сусідні (що мають спільне ребро) грані були пофарбовані в різні кольори? Яка найменша кількість кольорів знадобиться?

Варіант 2

1. Намалюйте п'ятикутну піраміду та розділіть її на тетраедри.

2. Визначте число вершин, ребер та граней: а) прямокутного паралелепіпеда; б) 6-кутової піраміди; в) n-Вугільної призми.

3. Визначте вид піраміди, якщо вона має: а) 5 вершин; б) 14 ребер; в) 9 граней.

4. Як можна пофарбувати грані октаедра, щоб сусідні (що мають спільне ребро) грані були пофарбовані в різні кольори. Яка найменша кількість кольорів знадобиться?

4. Моделювання багатогранників

Варіант 1

1. Намалюйте кілька розгорток куба.

2. Намалюйте фігуру, що складається з чотирьох рівних рівносторонніх трикутників, яка не є розгорткою правильного тетраедра.

3. Намалюйте розгортку правильної чотирикутної піраміди та розфарбуйте її таким чином, щоб при склеюванні сусідні грані мали різні кольори. Яку найменшу кількість кольорів потрібно взяти?

4. Намалюйте розгортку прямокутного паралелепіпеда і розфарбуйте її таким чином, щоб при склеюванні сусідні грані мали різні кольори. Яку найменшу кількість кольорів потрібно взяти?

Варіант 2

1. Намалюйте кілька розгорток правильного тетраедра.

2. Намалюйте фігуру, що складається з шести квадратів, яка не є розгорткою куба.

3. Намалюйте розгортку куба і розфарбуйте так, щоб при склеюванні сусідні грані мали різні кольори. Яку найменшу кількість кольорів потрібно взяти?

4. Намалюйте розгортку правильної 6-кутної піраміди і розфарбуйте її таким чином, щоб при склеюванні сусідні грані мали різні кольори. Яку найменшу кількість кольорів потрібно взяти?

5. Паралельність прямих у просторі

Варіант 1

1. Запишіть у правильній 4-кутній піраміді SABCDвсі пари паралельних ребер.

2. У площині двох паралельних прямих aі bдана точка C, що не належить цим прямим. Через точку Cпроведено пряму c. Як може бути розташована пряма cщодо прямих aі b.

3. Через точку, що не належить даній прямій, проведіть пряму, паралельну даній.

4. Знайдіть геометричне місце прямих, що перетинають дві дані паралельні прямі.

Варіант 2

1. Запишіть чотири пари паралельних ребер куба A…D 1.

2. Дано три прямі a,bі з. Як можуть розташовуватись ці прямі, щоб можна було провести площину, що містить усі дані прямі.

3. Дано дві паралельні прямі aі b. Доведіть, що будь-яка площина, що перетинає одну з них, перетне й іншу.

4. Знайдіть геометричне місце прямих, паралельних даній прямій і тих, що перетинають іншу пряму, що перетинається з першою.

6. Схрещувальні прямі

Варіант 1

1. У кубі A…D 1 запишіть ребра, що схрещуються з рубом AB.

2. Запишіть пари ребер 4-кутної піраміди, що схрещуються. SABCD.

3. Як розташовані відносно один одного прямі aі bмалюнку 1? Відповідь обґрунтуйте.

4. Дано дві схрещувальні прямі aі bі точка, що їм не належить C. Побудуйте пряму c, що проходить через точку Cі перетинає прямі aі b.

Варіант 2

1. Запишіть ребра, що схрещуються з рубом SAправильної 4-кутової піраміди SABCD.

2. Запишіть ребра, що схрещуються з діагоналлю B 1Dкуба A…D 1.

c(Рис. 1). Пряма aлежить у площині a і перетинає пряму c. Чи можна в площині b провести пряму, паралельну прямій a? Відповідь обґрунтуйте.

4. Чи існують дві паралельні прямі, кожна з яких перетинає дві дані прямі, що схрещуються? Відповідь обґрунтуйте.

7. Паралельність прямої та площини

Варіант 1

1. Запишіть ребра, паралельні площині грані CC 1D 1Dправильної призми ABCDEFA 1B 1C 1D 1E 1F 1.

2. Пряма aпаралельна площині a; пряма bперетинає площину a у точці B; пряма c, що перетинає прямі aі bвідповідно у точках Eі F, перетинає площину a у точці C aі b?

3. Площини a і b перетинаються прямою c. Крапка Aналежить площині a, точка B- Площини b. Побудуйте: а) пряму a, що лежить у площині a, що проходить через точку Aта паралельну площині b; б) пряму b, що лежить у площині b, що проходить через точку Bта паралельну площині a. Як будуть розташовуватися відносно один одного прямі aі b?

4. Крапки Aі Bналежать суміжним бічним граням піраміди. Проведіть у цих гранях через ці точки два відрізки, паралельні між собою.

Варіант 2

1. Запишіть площини граней, паралельних ребру CC 1 паралелепіпеда A…D 1.

2. Пряма aпаралельна площині a; прямі bі c, що перетинають пряму aвідповідно у точках Bі C, перетинають площину a відповідно у точках Dі E. Зробіть малюнок. Як можуть розташовуватися відносно один одного прямі aі b?

3. Площини a і b перетинаються прямою c. Пряма aлежить у площині a. Доведіть, що якщо: а) aперетинає площину b у ​​точці A, то Aналежить прямий c; б) aпаралельна площині b, то вона паралельна прямій c.

4. Крапки Aі Bналежать суміжним бічним граням призми. Проведіть у цих гранях через ці точки два відрізки, паралельні між собою.

8. Паралельність двох площин

Варіант 1

1. Запишіть паралельні площини паралелепіпеда A…D 1.

2. Чи вірні твердження:

1) Через точку, яка не належить даній площині, проходить єдина площина, паралельна даній.

2) Якщо дві прямі, що лежать в одній площині, паралельні двом прямим, що лежать в іншій площині, то ці площини паралельні.

3) Існує нескінченно багато прямих, паралельних даній площині і проходять через точку, що не належить цій площині.

4) Якщо одна з двох даних площин паралельна двом прямим, що перетинаються, лежать в іншій площині, то ці площини паралельні.

3. Доведіть, що дві площини, паралельні одній третій площині, паралельні між собою.

4. Відрізки ABі CDлежать відповідно у паралельних площинах a та b (рис. 2). Як можуть розташовуватися відносно один одного прямі ACі BD? Чи можуть вони бути паралельними?

Варіант 2

1. У трикутній піраміді SABCпроведіть площину, паралельну до її основи ABC.

2. Чи вірні твердження:

1) Якщо пряма, що лежить в одній площині, паралельна до прямої, що лежить в іншій площині, то ці площини паралельні.

2) Якщо площина перетинає дві дані площини по паралельним прямим, ці площини паралельні.

3) Існує нескінченно багато площин, паралельних даній прямий і проходять через точку, що не належить цій прямій.

4) Якщо дві площини паралельні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні.

3. Доведіть, що якщо площина перетинає одну із двох паралельних площин, то вона перетинає й іншу.

4. Відрізки ABі CDлежать відповідно у паралельних площинах a та b (рис. 3). Як можуть розташовуватися відносно один одного прямі ADі BC? Чи можуть вони перетинатись?

9. Вектори у просторі

Варіант 1

1. Для цього вектора побудуйте вектори: а) -; б) 2; в) -.

2. Скільки векторів задають різні пари точок, складені з вершин правильної чотирикутної піраміди?

ABCD .

4. Даний паралелепіпед A…D 1..gif" width="128" height="29 src=">.gif" width="15" height="19 src="> побудуйте вектори: а) 3; б) -2; в).

2. Скільки векторів задають різні пари точок, складені з вершин трикутної призми?

3. Зобразіть правильний тетраедр ABCDі намалюйте вектор: а); б); в) .

4. Даний паралелепіпед A…D 1..gif" width="133" height="29 src=">.gif" width="15" height="17 src=">, щоб отримати вектор , однаково спрямований з і ||=1.

2. Дано два протилежно спрямовані вектори і , причому || > ||..gif" width="15" height="19 src=">.

3. Даний тетраедр ABCD. Запишіть три пари вершин, які задають компланарні вектори.

4. Даний куб A…D 1. Запишіть трійки некомпланарних векторів з початками та кінцями у його вершинах.

Варіант 2

1..gif" width="15" height="21">, протилежно спрямований з і ||=2.

2..gif" width="15" height="21 src=">.gif" width="15" height="21 src=">|. Знайдіть напрямок та довжину вектора + .

3. Даний тетраедр ABCD. Запишіть три пари вершин, які задають некомпланарні вектори.

4. Даний куб A…D 1. Запишіть трійки компланарних векторів із початками та кінцями у його вершинах.

11. Паралельне перенесення

Варіант 1

1. Побудуйте фігуру, яка виходить паралельним перенесенням прямої aна вектор, якщо: а) Eналежить a, Fне належить a; б) точки Eі Fне належать a.

2. Задайте паралельне перенесення, яке середину відрізка GHпереводить у деяку точку M.

3. Побудуйте фігуру, яка виходить із квадрата ABCDпаралельним перенесенням на вектор: а) width="28".

4. Побудуйте фігуру, яка виходить із тетраедра ABCDпаралельним перенесенням на вектор.

Варіант 2

1. Побудуйте фігуру, яка виходить паралельним перенесенням кола з центром у точці Oна вектор https://pandia.ru/text/78/221/images/image024_45.gif "width="29".

12. Паралельне проектування

Варіант 1

1. Скільки точок вийде при паралельному проектуванні двох різних точок простору? Зробіть відповідні малюнки та обґрунтування.

2. Перерахуйте властивості прямокутника, які зберігаються при паралельному проектуванні.

3. Як мають бути розташовані дві прямі, щоб вони проектувалися на площину в пряму та точку, що не належить цій прямій?

4. Паралельні прямі aі b A,Bі Cзображено на малюнку 4. Зобразіть четверту точку D. Відповідь обґрунтуйте.

Варіант 2

1. Скільки точок вийде під час проектування трьох різних точок простору? Зробіть відповідні малюнки та обґрунтування.

2. Перерахуйте властивості ромба, які зберігаються при паралельному проектуванні.

3. Як мають бути розташовані пряма та точка, щоб вони проектувалися на площину в пряму та точку, що належить цій прямій?

4. Пересічні прямі aі bперетинають паралельні площини a та b у чотирьох точках. Три з них A,Bі Cзображено на малюнку 5. Зобразіть четверту точку D. Відповідь обґрунтуйте.

13. Паралельні проекції плоских фігур

Варіант 1

1. Зобразіть паралельну проекцію прямокутного рівнобедреного трикутника, що лежить у площині, паралельній площині проектування.

2. Зобразіть паралельну проекцію рівностороннього трикутника ABCі на ній побудуйте зображення перпендикулярів, опущених з точки M– середини сторони ABна сторони ACі BC.

ABCDEF, Взявши за вихідну фігуру прямокутник ABDE.

4. Зобразіть паралельну проекцію рівностороннього трикутника ABCта побудуйте на ній зображення перпендикуляра, опущеного з точки K- середини відрізка BO(O– центр трикутника) на бік AB.

Варіант 2

1. Зобразіть паралельну проекцію рівностороннього трикутника, що лежить у площині, паралельній площині проектування.

2. Зобразіть паралельну проекцію квадрата ABCDі на ній побудуйте зображення перпендикулярів, опущених з точки E– середини сторони BCна прямі BDі AC.

3. Зобразіть паралельну проекцію правильного шестикутника ABCDEF, Взявши за вихідну фігуру рівносторонній трикутник ACE.

4. Зобразіть паралельну проекцію прямокутника ABCD, у якого AD = 2AB. Побудуйте зображення перпендикуляра, опущеного з вершини Cна діагональ BD.

14. Зображення просторових фігур

Варіант 1

1. Зобразіть правильну чотирикутну піраміду та її висоту.

2. Зобразіть куб, дві грані якого паралельні площині проектування.

3. На малюнку 6 зображено паралельну проекцію куба A…D

4. Даний тетраедр ABCD. Площа його грані ADCдорівнює S BDCна площину ADCу напрямі прямої AB.

Варіант 2

1. Зобразіть правильну трикутну піраміду та її висоту.

2. Зобразіть куб, межі якого не є паралельними площині проектування.

3. На малюнку 7 зображено паралельну проекцію куба A…D 1. Як розташований куб щодо площини проектування?

4. Даний тетраедр ABCD. Площа його грані ABDдорівнює Q. Знайдіть площу проекції його грані BDCна площину ADBу напрямі прямої CM, де M- середина ребра AB.

15. Переріз багатогранників

Варіант 1

1. У шестикутній призмі A…F 1 (рис. 8) побудуйте точку перетину прямої PQз площиною ABC, де точки Qі Pналежать відповідно бічним ребрам призми BB 1 та DD 1.

2. На бічних ребрах чотирикутної призми A…D 1 задані три точки K,L,M(Рис. 9). Побудуйте лінію перетину площини KLMз площиною ABC.

3. Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через крапки X,Y,Z AD,AA 1, BB 1 і такі, що AX:XD = 1:2, A 1Y:YA= 2:1, B 1Z:ZB = 1:2.

4. У правильній піраміді SABCDпобудуйте перетин, що проходить через бік основи ADі точку M, що належить бічному ребру SB.

Варіант 2

1. На бічних ребрах BB 1 та EE 1 призми ABCDEA 1B 1C 1D 1E 1 задані відповідно точки Fі G(Рис. 10). Побудуйте точку перетину прямої FGз площиною ABC.

2. Даний куб A…D 1. На його ребрах AA 1, CC 1 та DD 1 задані відповідно три точки X,Y,Z(Рис. 11). Побудуйте лінію перетину площин XYZі ABC.

3. У правильній трикутній призмі A…C 1 збудуйте перетин, що проходить через точки K,Lі M, що належать відповідно ребрам AA 1, ACі BB 1 і такі, що: AK =KA 1; AL:LC = 1:2 та BM =MB 1.

4. У правильній піраміді SABCDпобудуйте перетин, що проходить через діагональ ACоснови та паралельне бічному ребру SD.

16. Кут між прямими у просторі. Перпендикулярність прямих

Варіант 1

1. У кубі A…D ABі BB 1; б) BDі ВВ 1; в) AB 1 та CC 1; г) AB 1 та CD 1.

A…C 1 відрізок CDперпендикулярний ребру AB CDі AA 1; б) CDі A 1B 1.

3. У правильній чотирикутній піраміді SABCDз рівними ребрами знайдіть кут між діагоналлю ACпідстави та бічним ребром SC.

4. Знайдіть кут між ребрами правильного тетраедра, що схрещуються.

Варіант 2

1. У кубі A…D 1 знайдіть кут між прямими: а) BCі BB 1; б) A 1C 1 та AD; в) BB 1 та BD; г) A 1Dі BC 1.

2. У правильній трикутній призмі A…C 1 AM– медіана основи ABC. Знайдіть кут між прямими: а) AMі C 1B 1; б) AMі A 1C 1.

3. У правильному тетраедрі ABCDкрапка M- середина ребра CB. Знайдіть кут між прямими AMі DC.

4. Знайдіть кут між непересічними ребрами правильної трикутної піраміди.

17. Перпендикулярність прямої та площини

Варіант 1

1. Доведіть, що пряма, перпендикулярна до площини, перетинає цю площину.

2. Через центр Oквадрата ABCDпроведено пряму OK, перпендикулярна до площини цього квадрата. Доведіть, що пряма AKперпендикулярна до прямої BD.

3. Знайдіть геометричне місце точок, що належать прямим, що проходять через дану точку і перпендикулярно даній прямій.

4. Крапка Mналежить бічній грані ABDтрикутної піраміди ABCD, у якої AB =BDі AC =CD. Побудуйте переріз цієї піраміди площиною, що проходить через точку Mта перпендикулярної прямої AD.

Варіант 2

1. Пряма a, перпендикулярна до площини a, перетинає цю площину в точці A. Доведіть, що пряма b, що проходить через точку Aі перпендикулярна до прямої a, лежить у площині a.

2. Через точку M– середину сторони ABрівностороннього трикутника ABCпроведено пряму MHперпендикулярна площині цього трикутника. Доведіть перпендикулярність прямих ABі HC.

3. Дані пряма aі точка, що їй не належить A. Знайдіть геометричне місце прямих, що проходять через точку Aта перпендикулярних прямий a.

4. У прямокутному паралелепіпеді A…D 1 побудуйте перетин, що проходить через точку K, внутрішню точку діагонального перерізу AA 1C 1C, і перпендикулярне до прямої BB 1.

18. Перпендикуляр та похила

Варіант 1

1. Дано площину a. З точки Aпроведено до неї дві похилі AB= 20 см та AC= 15 см. Проекція першої похилої на цю площину дорівнює 16 см. Знайдіть проекцію другої похилої.

2. З точки M, що не належить площині g, проведені до неї рівні похилі MA,MBі MC. Доведіть, що підстави похилих належать одному колу. Знайдіть центр.

3. З точки Bпроведені до площини дві рівні по 2 см похилі. Кут між ними дорівнює 600, а між їх проекціями – 900. Знайдіть перпендикуляр, опущений з точки Bна площину b.

4. Даний трикутник зі сторонами 13 см, 14 см та 15 см. Точка M, що не належить площині цього трикутника, віддалена від сторін трикутника на 5 см. Знайдіть перпендикуляр, опущений з точки Mна площину цього трикутника.

Варіант 2

1. З точки Aпроведені до площини a похила AB= 9 см та перпендикуляр AO= 6 см. Знайдіть проекцію цього перпендикуляра на дану похилу.

2. Знайдіть геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від усіх точок даного кола.

3. З цієї точки проведені до цієї площини дві рівні похилі, що утворюють між собою кут 600. Кут між їх проекціями - прямий. Знайдіть кут між кожною похилою та її проекцією.

4. Крапка Mвіддалена від кожної вершини правильного трикутника на см, а від кожної сторони – на 2 см. Знайдіть перпендикуляр, опущений з точки Mна площині трикутника.

19. Кут між прямою та площиною

Варіант 1

1. У піраміді бічні ребра однаково нахилені до площини основи. На яку точку проектується вершина піраміди?

2. У кубі A…D AA 1 та площиною AB 1D 1.

3. До площини a проведено похилу MH (Hналежить площині a). Доведіть, якщо проекція похилої MHутворює рівні кути з прямими AHі BH, що лежать у площині a, то й сама похила MHутворює із нею рівні кути.

4. Проведіть до цієї площини через дану на ній точку пряму, яка утворює з площиною кут 900.

Варіант 2

1. Доведіть, що у правильній піраміді бічні ребра однаково нахилені до площини основи.

2. У кубі A…D 1 знайдіть косинус кута між ребром A 1D 1 та площиною AB 1D 1.

3. До площини b проведена похила BP (Pналежить площині b), яка утворює рівні кути з прямими PEі PF, що лежить у площині b. Доведіть, що кути, утворені прямими PEі PFз проекцією похилої BPна площину b рівні.

4. Через точку, що не належить даній площині, проведіть пряму кут 900, що утворює з площиною.

20. Відстань між точками, прямими та площинами

Варіант 1

1. У прямокутному трикутнику ABC(DIV_ADBLOCK16">

4. У кубі A…D 1 з ребром a ABі B 1C 1.

Варіант 2

1. Катети прямокутного трикутника ABC(C= 900) дорівнюють 15 см і 20 см. З вершини Cдо площини трикутника проведено перпендикуляр CD, рівний 5 см. Знайдіть відстань від точки Dдо гіпотенузи AB.

2. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань між вершиною D 1 і: а) вершиною B; б) рубом AB; в) гранню BB 1C 1C.

3. З точки Kна площину b опущений перпендикуляр завдовжки dі проведено дві похилі, кути яких з перпендикуляром становлять 300. Кут між похилими дорівнює 600. Знайдіть відстань між основами похилих.

4. У кубі A…D 1 з ребром aзнайдіть відстань між ребрами, що схрещуються DCі BB 1.

21. Двогранний кут

Варіант 1

a. Знайдіть ортогональну проекцію цієї похилої на площину, якщо кут між похилою та площиною дорівнює 300.

2. На одній грані двогранного кута взято дві точки Aі B. З них опущені перпендикуляри AA 1, BB 1 на іншу грань і AA 2, BB 2 на ребро двогранного кута. Знайдіть BB 2, якщо AA 1 = 6 см, BB 1 = 3 см, AA 2 = 24 см.

3. Два рівні прямокутники мають спільну сторону і їх площини утворюють кут 450. Знайдіть відношення площ двох фігур, на які ортогональна проекція сторони одного прямокутника розбиває іншу.

4. Доведіть, що перпендикуляри, проведені з точок даної прямої на площину, лежать в одній площині та геометричним місцем підстав цих перпендикулярів є лінія перетину цих площин.

Варіант 2

1. Похила, проведена до площини, дорівнює a. Знайдіть ортогональну проекцію цієї похилої на площину, якщо кут між похилою та площиною дорівнює 600.

2. На одній грані двогранного кута взято дві точки, що віддаляються від його ребра на 9 см і 12 см. Відстань від першої точки до іншої грані двогранного кута дорівнює 20 см. Знайдіть відстань від цієї грані до другої точки.

3. Два рівнобедрених трикутники мають загальну основу, а їх площини утворюють кут 600. Загальна основа дорівнює 16 см, бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см, а бічні сторони іншого перпендикулярні. Знайдіть відстань між вершинами трикутників, що лежать проти загальної основи.

4. Доведіть, що точка перетину ортогональних проекцій двох прямих на площину є ортогональною проекцією точки перетину даних прямих на ту саму площину.

22. Перпендикулярність площин

Варіант 1

1. Даний куб A…D 1. Доведіть перпендикулярність площин: а) ABDі DCC 1; б) AB 1C 1 та ABB 1.

2. Через дану пряму, що лежить у даній площині, проведіть площину, перпендикулярну до цієї площини.

У правильній трикутній піраміді SABCз вершиною Sкут між бічним ребром і
площиною основи дорівнює 60°, сторона основи дорівнює 1 , SH- Висота піраміди.
Знайдіть площу перерізу піраміди площиною, що проходить через точку Н
паралельно ребрам SAі BC.

Основа висоти правильної піраміди – це центр трикутника АВС. Спочатку проведемо
через точку Нвідрізок РТ, паралельний ребру НД. Точки Р і Т належать перерізу.

У площині грані ACSчерез точку Тпроведемо відрізок ТКпаралельно ребру AS.

У площині грані AВСчерез точку Рпроведемо відрізок PLпаралельно ребру AS.

З'єднавши точки Доі L, Отримаємо шуканий переріз. Доведемо, що то прямокутник.

Відрізки ТКі PLне тільки паралельні (кожен паралельний AS), а й рівні.

Значить, чотирикутник KLPT- Паралелограм за ознакою паралелограма.
Крім того, ТК ⊥ ТР, так як AS ⊥ CB, а сторони ТКі ТРпаралельні ASі CB.
Доведемо, що AS ⊥ CB. Можна скористатися теоремою про три перпендикуляри.
AS- похила, ADпроекція цієї похилої на АВС, AD ⊥ CBотже, AS ⊥ CB.

Щоб знайти площу прямокутника, треба знайти та перемножити його сторони.
Зауважимо, що сторона ТРскладає дві третини від сторони основи НД = 1.
Друга сторона прямокутника ТКстановить одну третину від бічного ребра AS.
Бокове ребро ми зможемо знайти з трикутника SAH, В якому ∠SAH = 60 °
(кут між боковим ребром і основою) та ∠ASH = 30°, а значить, АS = 2 · AН.

Знайти довжину відрізка АНЗнаючи бік основи, можна різними способами.
Краще обійтися без формул та розглянути прямокутний трикутник АНF.

Повернемося до трикутника SAHі знайдемо бічне ребро піраміди:

Залишилося перемножити знайдені сторони та отримати площу перерізу.