Додавання та віднімання негативних чисел. Віднімання позитивних і негативних чисел Як обчислити негативні та позитивні числа

ВІДЧИТАННЯ

Математика, 6 клас

(Н.Я.Віленкін)

вчитель математики МОУ «Упшинська основна

загальноосвітня школа» Оршанського району Республіки Марій Ел

Сенс віднімання

Завдання. Пішохід за 2 години пройшов 9 км. Скільки кілометрів він пройшов за першу годину, якщо його шлях за другу годину дорівнює 4 км?

У цьому завданні число 9 - сума двох доданків, одне з яких одно 4 , а інше невідоме.

Дію, за допомогою якого за сумою та одним із доданків знаходять інше доданок, називають відніманням.

Сенс віднімання

Оскільки 5 + 4 = 9,

те шукане доданок дорівнює 5.

Пишуть 9 - 4 = 5

9 – 4 = 5

різниця

віднімається

зменшуване

Сенс віднімання

– 5 + 14 = 9

9 – 14 = ?

? + 14 = 9

9 – 14 = –5

– 9 – 14 = ?

– 23 + 14 = –9

? + 14 = –9

– 9 – 14 = – 23

Сенс віднімання

Віднімання негативних чисел має той самий сенс: дію, за допомогою якого за сумою та одним із доданків знаходять інше доданок, називають відніманням.

9 – (–14) = ?

23 + (–14) = 9

? + (–14) = 9

9 – (–14) = 23

Підберіть невідомий доданок

– 9 – (–14) = ?

5 + (–14) = –9

? + (–14) = –9

– 9 – (–14) = 5

9 – (–14) = 23

9 – 14 = –5

9 + (–14) = –5

9 + 14 = 23

– 9 – (–14) = 5

– 9 – 14 = – 23

– 9 + (–14) = – 23

– 9 + 14 = 5

Подумайте, як віднімання замінити додаванням.

ПРАВИЛО. Щоб від цього числа відняти інше, треба до зменшуваного додати число, протилежне віднімається.

ВІДЧИТАННЯ

а – b = a + ( -b )

15 – 18 = 15 + ( –18 ) =

15 – ( –18 ) = 15 + 18 =

ВІДЧИТАННЯ

Замініть віднімання додаванням і знайдіть значення виразу:

12 – 20 =

3,4 – 10 =

– 10 – ( –13 ) =

– 1,2 – ( –1,3 ) =

17 – ( –13 ) =

2,3 – ( –3,5 ) =

– 21 – 13 =

– 5,1 – 4,9 =

ВІДЧИТАННЯ

5 – 10 = 5 + ( – 10 )

ПРАВИЛО. Будь-який вираз, що містить лише знаки складання та віднімання, можна розглядати як суму

Назвіть кожен доданок у сумі:

5 – 10 + 7 –15 –23 =

– n + y - 9 + b – c – 1 =

Вирахуйте:

– 10 + 7 – 15 =

12 – 17 – 11 =

12 + 23 – 41 =

– 2 – 33 + 20 =

24 – 75 + 20 =

8 – 6 =

2

зменшуване

віднімається

різниця

– 2 – ( –5 ) =

3

зменшуване

різниця

віднімається

Коли різниця двох чисел є позитивною?

8 6

– 2 –5

ПРАВИЛО. Різниця двох чисел позитивна, якщо зменшуване більше віднімається .

10 – 15 =

– 5

зменшуване

віднімається

різниця

– 8 – ( –6 ) =

– 2

зменшуване

різниця

віднімається

Порівняйте зменшуване та віднімається в прикладах.

Коли різниця двох чисел є негативною?

10 15

– 8 –6

ПРАВИЛО. Різниця двох чисел негативна, якщо зменшуване менше віднімається .

Подумайте, коли різниця двох чисел дорівнює 0. Наведіть приклади.

0

зменшуване

різниця

віднімається

Визначте знак різниці, не роблячи обчислень:

– 12 – ( –13 ) =

3,4 – 10 =

15 – ( –11 ) =

2,3 – ( –3,5 ) =

– 5,1 – 4,9 =

– 31 – 23 =

Знаходження довжини відрізка

х

А (-3)

– 3 + х = 4

х = 4 - (-3) = 7

(4)

АВ -?

АВ = 7 од.

ПРАВИЛО.

Знаходження довжини відрізка

А (–1)

АВ = -1 - (-5) = 4 од.

В (–5)

АВ -?

АВ = 4 од.

ПРАВИЛО.Щоб знайти довжину відрізка на координатній прямій, треба від координати його правого кінця відняти координату лівого кінця.

Питання для закріплення:

• Що означає віднімання негативних чисел?
• Як віднімання замінити додаванням?
• Коли різниця двох чисел є позитивною?
• Коли різниця двох чисел є негативною?
• Коли різниця двох чисел дорівнює нулю?
• Як знайти довжину відрізка на координатній прямій?

вчитель початкових класів МАОУ ліцей №21, м. Іваново

ТРОХИ ІСТОРІЇ

Індійські математики уявляли собі позитивні числа як «майна» , а негативні числа як «борги»

Правила складання та віднімання, викладені Брахмагуптою:

• "Сума двох майн є майно".
• «Сума двох боргів є борг»

• «Сума майна та боргу дорівнює їх різниці»

Брахмагупта, Індійська математик і астроном.

Ця стаття присвячена розбору такої теми, як виконання віднімання негативних чисел. Матеріал являє собою корисну інформацію про правило віднімання негативних чисел та інші визначення. Для закріплення суті параграфа ми детально розберемо приклади типових вправ та завдань.

Правило віднімання негативних чисел

Для того, щоб розібратися в цій темі, слід дізнатися про основні визначення та поняття.

Визначення 1

Правило віднімання негативних чисел формулюється так: щоб з числа aвідняти число b зі знаком мінуснеобхідно до зменшуваного aдодати число − b , яке є протилежним віднімається b.

Якщо уявити це правило віднімання негативного числа bз довільного числа a в буквеному вигляді, воно виглядатиме так: a − b = a + (− b) .

Щоб використати це правило, необхідно довести його справедливість.

Візьмемо числа aі b. Щоб відняти з числа aчисло b, необхідно знайти таке число з, що у сумі з числом bдорівнюватиме числу a. Іншими словами, якщо знайдено таке число c, що c + b = a, то різниця a − bдорівнює c.

Для того, щоб довести правило віднімання, необхідно показати, що додавання суми a + (− b)з числом b– це число a. Необхідно згадати про властивості дій із дійсними числами. Так як в цьому випадку працює сполучна властивість додавання, то рівність (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b)буде вірним.

Оскільки сума чисел із протилежними знаками дорівнює нулю, то a + ((− b) + b) = a + 0а сума a + 0 = а (якщо до числа додати нуль, то воно не зміниться). Рівність a − b = a + (− b)вважається доведеним, отже, доведено і справедливість наведеного правила віднімання чисел зі знаком мінус.

Ми розглянули, як працює це правило для дійсних чисел aі b. Але воно також вважається справедливим для будь-яких раціональних чи цілих чисел aі b. Дії з раціональними і цілими числами також мають властивості, використані при доказі. Слід додати, що з допомогою розібраного правила можна виконувати дії числа зі знаком мінус як із позитивного числа, і з негативного чи нуля.

Розглянемо розібране правило типових прикладах.

Приклади використання правила віднімання

Розглянемо приклади з відніманням чисел. Спочатку розглянемо простий приклад, який допоможе легко розібратися з усіма тонкощами процесу.

Приклад 1

Необхідно відібрати від числа − 13 число − 7 .

Візьмемо число, протилежне віднімається − 7 . Це число 7 . Тоді за правилом віднімання негативних чисел маємо (− 13) − (− 7) = (− 13) + 7 . Виконуємо додавання. Тепер отримуємо: (− 13) + 7 = − (13 − 7) = − 6 .

Ось все рішення: (− 13) − (− 7) = (− 13) + 7 = − (13 − 7) = − 6 . (− 13) − (− 7) = − 6 . Віднімання дрібних негативних чисел також можна виконувати. Необхідно перейти до звичайних дробів, змішаних чисел або десяткових дробів. Вибір числа залежить від того, з яким варіантом вам зручніше працювати.

Приклад 2

Необхідно виконати віднімання з числа 3 , 4 числа - 23 2 3 .

Застосовуємо описане вище правило віднімання, отримуємо 3, 4 - - 23 2 3 = 3, 4 + 23 2 3 . Замінюємо дріб на десяткове число: 3 , 4 = 34 10 = 17 5 = 3 2 5 (як перекладати дроби, можна подивитися в матеріалі по темі), отримуємо 3 , 4 + 23 2 3 = 3 2 5 + 23 2 3 . Виконуємо додавання. На цьому віднімання негативного числа - 23 2 3 з числа 3 , 4 завершено.

Наведемо короткий запис рішення: 3, 4 - - 23 2 3 = 27 1 15 .

Приклад 3

Необхідно виконати віднімання числа − 0 , (326) від нуля.

За правилом віднімання, яке ми вивчили вище, 0 − (− 0 , (326)) = 0 + 0 , (326) = 0 , (326) .

Останній перехід вірний, тому що тут працює властивість складання числа з нулем: 0 − (− 0 , (326)) = 0 , (326) .

З розглянутих прикладів видно, що з відніманні негативного числа може бути як позитивне, і негативне число. Віднімання негативного числа може в результаті дати і число 0 , Це відбувається, коли зменшуване і віднімається.

Приклад 4

Необхідно обчислити різницю негативних чисел - 5 - - 5 .

За правилом віднімання ми отримуємо - 5 - - 5 = - 5 + 5.

Ми дійшли суми протилежних чисел, яка завжди дорівнює нулю: - 5 - - 5 = - 5 + 5 = 0

Отже, - 5 - - 5 = 0.

У деяких випадках результат віднімання необхідно записати у вигляді числового виразу. Це справедливо в тих випадках, коли зменшуване або віднімання є ірраціональним числом. Наприклад, віднімання від негативного числа − 2 негативного числа – π проводиться так: (− 2) − (− π) = (− 2) + π = π − 2. Значення отриманого виразу може бути обчислено максимально точно лише у разі, якщо це необхідно. Для детальної інформації можна вивчити інші розділи, пов'язані з цією темою.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Цілі та завдання уроку:

• Узагальнюючий урок з математики у 6 класі «Складання та віднімання позитивних та негативних чисел»
• Узагальнити та систематизувати знань учнів з цієї теми.
• Розвивати предметні та загальнонавчальні навички та вміння, вміння використовувати отримані знання для досягнення поставленої мети; встановлювати закономірності різноманіття зв'язків задля досягнення рівня системності знань.
• Виховання навичок самоконтролю та взаємоконтролю; виробляти бажання та потреби узагальнювати отримані факти; розвивати самостійність, інтерес до предмета.

Хід уроку

I. Організаційний момент

Хлопці ми з вами подорожуємо країною «Раціональних чисел», де живуть позитивні, негативні числа та нуль. Мандруючи, ми дізнаємося багато цікавого про них, знайомимося з правилами та законами, за якими вони живуть. Отже, і ми повинні дотримуватись цих правил і підкорятися їхнім законам.

А з якими правилами та законами ми познайомилися? (Правила складання та віднімання раціональних чисел, закони складання)

І так тема нашого уроку «Складання та віднімання позитивних і негативних чисел».(Учні записують у зошитах число та тему уроку)

ІІ. Перевірка домашнього завдання

III. Актуалізація знань.

Почнемо урок із усної роботи. Перед вами ряд чисел.

8,6; 21,8; -0,5; 6,6; 4,7; 7; -18; 0.

Дайте відповідь на запитання:

Яке число у ряду найбільше?

Яке число має максимальний модуль?

Яке число є найменшим у рядку?

Яке число має найменший модуль?

Як порівняти два позитивні числа?

Як порівняти два негативні числа?

Як порівняти числа з різними знаками?

Які числа є протилежними?

Назвіть числа у порядку зростання.

IV. Знайди помилку

а) -47 + 25 + (-18) = 30

в) - 7,2 + (- 3,5) + 10,6 = - 0,1

г) - 7,2 + (- 2,9) + 7,2 = 2,4

V. Завдання «Відгадай слово»

У кожній групі я роздала завдання, у яких зашифровано слова.

Виконавши всі завдання, Ви відгадаєте ключові слова(квіти, подарунок, дівчатка)

VI. Фізхвилинка

Молодці, ви добре попрацювали, я думаю час відпочити, сконцентрувати увагу, зняти втому, повернути душевний спокій допоможуть прості вправи

ФІЗМИНУТКА (Якщо висловлювання правильне, лясніть у долоні, якщо ні - похитайте головою з боку в бік):

При додаванні двох негативних чисел модулі доданків потрібно відняти -

Суми двох негативних чисел завжди негативні

При додаванні двох протилежних чисел завжди виходить 0 +

При додаванні чисел з різними знаками потрібно їх модулі скласти -

Сума двох негативних чисел завжди менша за кожен із доданків +

При додаванні чисел з різними знаками потрібно від більшого модуля відняти менший модуль +

VII.Розв'язання завдань за підручником.

№1096(а,д,і)

VIII.Домашня робота

1 рівень «3»-№1132

2 рівень-«4»-№1139, 1146

IХ. Самостійна робота за варіантами.

1 рівень, «3»

2 рівень, «4»

3 рівень, «5»

Взаємоперевірка по дошці, міняємось сусідами по парті

Х. Підбиття підсумків уроку. Рефлексія

Згадаймо початок нашого уроку, хлопці.

А які цілі уроку ми поставили собі?

Як Ви вважаєте, нам вдалося досягти поставленої мети?

Діти, а тепер самі оціните свою роботу на уроці. Перед вами картка із зображенням гори. Якщо ви вважаєте, що добре попрацювали на уроці, все вамвінятко, то намалюйте себе на вершині гори. Якщо залишилося щось незрозуміло, намалюйте себе нижче, а ліворуч чи праворуч вирішіть самі.

Передайте свої малюнки разом з карткою оцінок, підсумкову оцінку за роботу ви дізнаєтеся на наступному уроці.

У цій статті ми розберемо, як виконується віднімання негативних чиселіз довільних чисел. Тут ми дамо правило віднімання негативних чисел, і розглянемо приклади застосування цього правила.

Навігація на сторінці.

Правило віднімання негативних чисел

Має місце наступне правило віднімання негативних чисел: щоб від числа відняти негативне число b , потрібно до зменшуваного a додати число −b , протилежне віднімається b .

У літерному вигляді правило віднімання негативного числа b з довільного числа a виглядає так: a−b=a+(−b) .

Доведемо справедливість цього правила віднімання чисел.

Для початку нагадаємо сенс віднімання чисел a і b. Знайти різницю чисел a і b - це означає знайти таке число з сума якого з числом b дорівнює a (дивіться зв'язок віднімання зі додаванням). Тобто, якщо знайдено число таке, що c+b=a , то різниця a−b дорівнює c .

Таким чином, щоб довести озвучене правило віднімання, достатньо показати, що додавання до суми a+(−b) числа b дасть число a . Щоб це показати, звернемося до властивостям дій із дійсними числами. З огляду на поєднання складності справедливо рівність (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . Оскільки сума протилежних чисел дорівнює нулю, то a+((−b)+b)=a+0 , а сума a+0 дорівнює a , оскільки додавання нуля не змінює число. Таким чином, доведено рівність a−b=a+(−b) , отже, доведено і справедливість наведеного правила віднімання негативних чисел.

Ми довели це правило для дійсних чисел a і b. Однак, це правило справедливе і для будь-яких раціональних чисел a і b, а також для будь-яких цілих чисел a і b, так як дії з раціональними і цілими числами теж мають властивості, які ми використовували за доказом. Зазначимо, що за допомогою розібраного правила можна виконувати віднімання від'ємного числа як з позитивного, так і з від'ємного числа, а також з нуля.

Залишилося розглянути, як виконується віднімання негативних чисел за допомогою розібраного правила.

Приклади віднімання негативних чисел

Розглянемо приклади віднімання негативних чисел. Почнемо з рішення простого прикладу, щоб розібратися з усіма тонкощами процесу, не турбуючись обчисленнями.

приклад.

Відніміть від від'ємного числа −13 від'ємне число −7 .

Рішення.

Числом, протилежним віднімається −7 є число 7 . Тоді за правилом віднімання негативних чисел маємо (−13)−(−7)=(−13)+7 . Залишилося виконати додавання чисел з різними знаками , одержуємо (−13)+7=−(13−7)=−6 .

Ось все рішення: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .

Відповідь:

(−13)−(−7)=−6 .

Віднімання дробових негативних чисел можна виконати, здійснивши перехід до відповідних звичайних дробів, змішаних чисел або десяткових дробів. Тут варто відштовхуватись від того, з якими числами зручніше працювати.

приклад.

Виконайте віднімання з числа 3,4 від'ємного числа.

Рішення.

Застосувавши правило віднімання негативних чисел, маємо . Тепер замінимо десятковий дріб 3,4 змішаним числом: (дивіться переведення десяткових дробів у звичайні дроби), отримуємо . Залишилося виконати додавання змішаних чисел: .

У цьому віднімання негативного числа з числа 3,4 завершено. Наведемо короткий запис рішення: .

Відповідь:

.

приклад.

Заберіть від'ємне число −0,(326) від нуля.

Рішення.

За правилом віднімання негативних чисел маємо 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Останній перехід справедливий з якості складання числа з нулем.

Як відомо віднімання - це дія, протилежна додавання.

Якщо "a" і "b" - позитивні числа, то відняти від числа "a" число "b", значить знайти таке число "c", яке при додаванні "з" числом "b" дає число "a".

Визначення віднімання зберігається всім раціональних чисел. Тобто віднімання позитивних та негативних чиселможна замінити додаванням.

Щоб з одного числа відняти інше, потрібно до зменшуваного додати протилежне число віднімається.

Або інакше можна сказати, що віднімання числа "b" - це теж саме додавання, але з числом протилежним числу "b".

Варто запам'ятати вирази нижче.

Правила віднімання негативних чисел

Як видно з прикладів вище віднімання числа "b" - це додавання з числом протилежним числу "b".

Це правило зберігається не тільки при відніманні з більшого числа меншого, але й дозволяє від меншого числа відняти більше, тобто завжди можна знайти різницю двох чисел.

Різниця може бути позитивним числом, негативним чи числом нуль.

Приклади віднімання негативних та позитивних чисел.

Зручно запам'ятати правило знаківщо дозволяє зменшити кількість дужок.

Знак «плюс» не змінює знак числа, тому, якщо перед дужкою стоїть плюс, то знак у дужках не змінюється.

Знак мінус перед дужками змінює знак числа в дужках на протилежний.

З рівностей видно, якщо перед і всередині дужок стоять однакові знаки, то отримуємо « + », і якщо знаки різні, то отримуємо « − ».

Правило знаків зберігається у тому разі, якщо у дужках не одне число, а алгебраїчна сума чисел.

Зверніть увагу, якщо в дужках стоїть кілька чисел і перед дужками стоїть знак мінус, то повинні змінюватися знаки перед усіма числами в цих дужках.

Щоб запам'ятати правило знаків, можна скласти таблицю визначення знаків числа.

Розподіл негативних чисел

Як виконувати розподіл негативних чиселлегко зрозуміти, згадавши, що розподіл - це дія, зворотна до множення.

Якщо "a" і "b" позитивні числа, то розділити число "a" на число "b", значить знайти таке число "с", яке при множенні на "b" дає число "a".

Дане визначення поділу діє будь-яких раціональних чисел, якщо дільники відмінні від нуля.

Тому, наприклад, поділити число «−15» на число 5 - отже, знайти таке число, яке при множенні на число 5 дає число «-15». Таким числом буде «−3», оскільки

Приклади поділу раціональних чисел.

1. 10: 5 = 2, так як 12 · 5 = 10
2. (−4) : (−2) = 2 , оскільки 2 · (−2) = −4
3. (−18) : 3 = −6 , оскільки (−6) · 3 = −18
4. 12: (−4) = −3 , оскільки (−3) · (−4) = 12

З прикладів видно, що час двох чисел з однаковими знаками - число позитивне (приклади 1, 2), а приватне двох чисел з різними знаками - число негативне (приклади 3, 4).

Правила поділу негативних чисел

Щоб знайти приватний модуль, потрібно розділити модуль діленого на модуль дільника.

Отже, щоб розділити два числа з однаковими знаками, Треба:

Приклади розподілу чисел з однаковими знаками:

Щоб розділити два числа з різними знаками, Треба:

Приклади поділу чисел із різними знаками:

Для визначення приватного знака можна також користуватися наступною таблицею.

Правило знаків при розподілі

При обчисленні «довгих» виразів, у яких фігурують лише множення та розподіл, користуватися правилом знаків дуже зручно. Наприклад, для обчислення дробу

Можна звернути увагу, що в чисельнику два знаки мінус, які при множенні дадуть плюс. Також у знаменнику три знаки "мінус", які при множенні дадуть "мінус". Тому наприкінці результат вийде зі знаком мінус.

Скорочення дробу (подальші дії з модулями чисел) виконується так само, як і раніше:

Приватне від розподілу нуля на число, відмінне від нуля, дорівнює нулю.

Ділити на нуль НЕ МОЖНА!

Усі відомі раніше правила розподілу на одиницю діють і безліч раціональних чисел.

Де «а» - будь-яке раціональне число.

Залежності між результатами множення та поділу, відомі для позитивних чисел, зберігаються і для всіх раціональних чисел (крім числа нуль):

Дані залежності використовуються для знаходження невідомого множника, діленого та дільника (при вирішенні рівнянь), а також для перевірки результатів множення та поділу.

Приклад знаходження невідомого.

Знак «мінус» у дробах

Розділимо число "-5" на "6" і число "5" на "-6".

Нагадуємо, що риса в записі звичайного дробу - це той самий знак поділу, тому можна записати приватну кожну з цих дій у вигляді негативного дробу.

Таким чином знак «мінус» у дробі може бути:

• перед дробом;
• у чисельнику;
• у знаменнику.



При записі негативних дробів знак "мінус" можна ставити перед дробом, переносити його з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник.

Це часто використовується при виконанні дій з дробами, полегшуючи обчислення.

приклад. Зверніть увагу, що після винесення знака мінуса перед дужкою ми з більшого модуля віднімаємо менший за правилами складання чисел з різними знаками.





Використовуючи описану властивість перенесення знака в дроби, можна діяти, не з'ясовуючи, модуль якого з цих дробових чисел більше.

Частки, прості дроби, визначення, позначення, приклади, події з дробами.

Ця стаття про звичайні дроби. Тут ми познайомимося з поняттям частки цілого, яке приведе нас до визначення звичайного дробу. Далі зупинимося на прийнятих позначеннях для звичайних дробів і наведемо приклади дробів, скажімо про чисельник та знаменник дробу. Після цього дамо визначення правильних та неправильних, позитивних та негативних дробів, а також розглянемо положення дробових чисел на координатному промені. На закінчення перерахуємо основні події з дробами.

Навігація на сторінці.

Частки цілого

Спочатку введемо поняття частки.

Припустимо, що ми маємо певний предмет, складений із кількох абсолютно однакових (тобто, рівних) частин. Для наочності можна уявити, наприклад, яблуко, розрізане кілька рівних частин, чи апельсин, що з кількох рівних часточок. Кожну з цих рівних частин, що становлять цілий предмет, називають часткою цілогоабо просто часткою.

Зауважимо, що частки бувають різні. Пояснимо це. Нехай у нас є два яблука. Розріжемо перше яблуко на дві рівні частини, а друге – на шість рівних частин. Зрозуміло, частка першого яблука відрізнятиметься від частки другого яблука.

Залежно від кількості часток, що становлять цілий предмет, ці частки мають свої назви. Розберемо назви часток. Якщо предмет становлять дві частки, кожна їх називається одна друга частка цілого предмета; якщо предмет становлять три частки, то кожна з них називається одна третя частка, і таке інше.

Одна друга частка має спеціальну назву – половина. Одна третя частка називається третю, а одна четверна частка – чвертю.

Для стислості запису було введено такі позначення часток. Одну другу частку позначають як або 1/2, одну третю частку – як або 1/3; одну четверту частку - як або 1/4 і так далі. Зазначимо, що запис із горизонтальною характеристикою використовується частіше. Для закріплення матеріалу наведемо ще один приклад: запис означає одну сто шістдесят сьому частку цілого.

Поняття частки природно поширюється з предметів на величини. Наприклад, одним із заходів вимірювання довжини є метр. Для вимірювання довжин менших за метр можна використовувати частки метра. Так можна скористатися, наприклад, половиною метра або десятою або тисячною часткою метра. Аналогічно застосовуються частки інших величин.

Звичайні дроби, визначення та приклади дробів

Для опису кількості часток використовуються звичайні дроби. Наведемо приклад, який дозволить нам підійти до визначення звичайних дробів.

Нехай апельсин складається з 12 часток. Кожна частка у разі представляє одну дванадцяту частку цілого апельсина, тобто, . Дві частки позначимо як , три частки - як , і так далі, 12 часток позначимо як . Кожен із наведених записів називають звичайним дробом.

Тепер дамо спільне визначення звичайних дробів.

Звичайні дроби– це записи виду (або m/n), де m та n – будь-які натуральні числа.

Озвучене визначення звичайних дробів дозволяє навести приклади звичайних дробів: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А ось записи не підходять під озвучене визначення звичайних дробів, тобто не є звичайними дробами.

Чисельник і знаменник

Для зручності у звичайному дробі розрізняють чисельник та знаменник.

Чисельникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число m.

Знаменникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число n .

Отже, чисельник розташований зверху над межею дробу (ліворуч від похилої межі), а знаменник – знизу під межею дробу (праворуч від похилої межі). Для прикладу наведемо звичайний дріб 17/29, чисельником цього дробу є число 17, а знаменником - число 29.

Залишилося обговорити зміст, укладений у чисельнику і знаменнику звичайного дробу. Знаменник дробу показує, з скільки частин складається один предмет, чисельник у свою чергу вказує кількість таких часток. Наприклад, знаменник 5 дробу 12/5 означає, що один предмет складається з п'яти часток, а чисельник 12 означає, що взято 12 таких часток.

Натуральне число як дріб із знаменником 1

Знаменник звичайного дробу може дорівнювати одиниці. У цьому випадку можна вважати, що предмет неподільний, іншими словами, є чимось цілим. Чисельник такого дробу вказує, скільки цілих предметів взято. Таким чином, звичайний дріб виду m/1 має сенс натурального числа m. Так ми довели справедливість рівності m/1=m .

Перепишемо останню рівність так: m=m/1. Ця рівність дає нам можливість будь-яке натуральне число m представляти у вигляді звичайного дробу. Наприклад, число 4 – це дріб 4/1, а число 103498 дорівнює дробу 103498/1.

Отже, будь-яке натуральне число m можна представити у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1 як m/1, а будь-який звичайний дріб виду m/1 можна замінити натуральним числом m.

Чорта дробу як знак розподілу

Уявлення вихідного предмета як n часток є нічим іншим як поділ на n рівних частин. Після того, як предмет розділений на n частиною, ми можемо розділити порівну між n людьми – кожен отримає по одній частці.

Якщо ж у нас є спочатку m однакових предметів, кожен з яких розділений на n частиною, то ці m предметів ми можемо порівну поділити між n людьми, роздавши кожній людині по одній частці кожного з m предметів. При цьому у кожної людини буде m часткою 1/n, а m часткою 1/n дає звичайний дріб m/n. Таким чином, звичайний дріб m/n можна застосовувати для позначення розподілу предметів m між n людьми.

Так ми отримали явний зв'язок між звичайними дробами та поділом (дивіться загальне уявлення про розподіл натуральних чисел). Цей зв'язок виражається в наступному: рису дробу можна розуміти як знак розподілу, тобто m/n=m:n .

За допомогою звичайного дробу можна записати результат поділу двох натуральних чисел, для яких не виконується поділ націло. Наприклад, результат розподілу 5 яблук на 8 чоловік можна записати як 5/8, тобто, кожному дістанеться п'ять восьмих часток яблука: 5:8 = 5/8.

Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів

Досить природною дією є порівняння звичайних дробів, адже зрозуміло, що 1/12 апельсина відрізняється від 5/12, а 1/6 частка яблука така сама, як інша 1/6 частка цього яблука.

В результаті порівняння двох звичайних дробів виходить один із результатів: дроби або рівні, або не рівні. У першому випадку ми маємо рівні звичайні дроби, а у другому – нерівні звичайні дроби. Дамо визначення рівних та нерівних звичайних дробів.

Два звичайні дроби a/b та c/d рівні, якщо справедлива рівність a d = b c .

www.cleverstudents.ru

Урок 3. Як працює комп'ютер

Для успішного «спілкування» з комп'ютером шкідливо сприймати його як чорну скриньку, яка ось-ось видасть щось несподіване. Щоб розуміти реакцію комп'ютера на Ваші дії, потрібно знати як він влаштований і як працює.

У цьому IT-уроці дізнаємося, як працює більшість обчислювальних пристроїв (до яких належать не лише персональні комп'ютери).

У другому уроці ми розібралися, що комп'ютер необхідний обробки інформації, її зберігання та передачі. Подивімося, як відбувається обробка інформації.

Як зберігається інформація на комп'ютері

Комп'ютер зберігає, передає та обробляє інформацію у вигляді нулів «0»і одиниць «1», тобто використовується двійковий кодта двійкова система числення.

Наприклад, десяткове число « 9 він бачить як двійкове число 1001 ».

У вигляді нулів та одиниць зберігаються і всі дані, які необхідно обробити, і все програми, що керують процесом обробки.

Наприклад, фотографію комп'ютер бачить так (тільки перші два рядки файлу з 527 рядків):

Так людина бачить зображення:

Комп'ютер бачить набір «0» та «1»

(перші два рядки файлу):



А текст для комп'ютера виглядає так:

Людина бачить текст:

Комп'ютер знову бачить набір «0» та «1»:

Сьогодні ми не розбиратимемося в тонкощах обчислень і перетворень, подивимося на процес загалом.

Де зберігається інформація

Коли інформація занесена в комп'ютер (записана), вона зберігається на спеціальному пристрої – накопичувачі даних. Зазвичай накопичувач даних – це жорсткий диск (вінчестер).

Жорстким диском цей пристрій називається через конструкцію. Усередині його корпусу знаходиться один або кілька твердих млинців (металевих або скляних), на яких і зберігаються всі дані(текстові документи, фотографії, фільми тощо) та встановлені програми(Операційна система, прикладні програми, як Word, Excel, та ін).



Жорсткий диск (накопичувач даних) зберігає програми та дані

Інформація на жорсткому диску зберігається після вимкнення комп'ютера.

Докладніше про пристрій жорсткого диска ми дізнаємося в одному з наступних IT-уроків.

Що обробляє всю інформацію у комп'ютері

Основне завдання комп'ютера – обробляти інформаціютобто виконувати обчислення. Більшість обчислень виконує спеціальний пристрій – процесор. Це складна мікросхема, що містить сотні мільйонів елементів (транзисторів).



Процесор – обробляє інформацію

Що в даний момент часу робити процесору говорить програма, вона вказує, які дані потрібно обробити і що з ними необхідно зробити.



Схема обробки даних

Програми та дані завантажуються з накопичувача (жорсткого диска).

Але жорсткий диск – щодо повільний пристрій, і якби процесор чекав, доки зчитуватиметься інформація, та був записуватися після обробки назад, він би довго залишався без діла.

Не залишимо процесор без діла

Тому між процесором і жорстким диском встановили більш швидкий пристрій - оперативну пам'ять(Оперативний пристрій, ОЗУ). Це невелика друкована плата, де знаходяться швидкі мікросхеми пам'яті.



Оперативна пам'ять – прискорює доступ процесора до програм та даних

В оперативну пам'ять заздалегідь зчитуються з жорсткого диска всі необхідні програми та дані. Під час роботи процесор звертається до оперативної пам'яті, зчитує команди програми, яка каже, які дані потрібно взяти і як саме їх обробити.

При вимкненні комп'ютера вміст оперативної пам'яті не зберігається у ній (на відміну жорсткого диска).

Процес обробки інформації

Отже, тепер ми знаємо, які пристрої беруть участь у обробці інформації. Подивимося тепер весь процес обчислень.



Анімація процесу обробки інформації комп'ютером (IT-uroki.ru)

Коли комп'ютер вимкнено, всі програми та дані зберігаються на жорсткому диску. При включенні комп'ютера та запуску програми, відбувається таке:

1. Програма з жорсткого диска заноситься до оперативної пам'яті та повідомляє процесору, які завантажити дані до оперативної пам'яті.

2. Процесор по черзі виконує команди програми, порціями обробляючи дані, взявши їх із оперативної пам'яті.

3. Коли дані оброблені, результат обчислень процесор повертає оперативну пам'ять і бере наступну порцію даних.

4. Результат роботи програми повертається на жорсткий диск та зберігається.

Описані кроки зображені червоними стрілками на анімації (ексклюзивно від сайту IT-uroki.ru).

Введення та виведення інформації

Щоб комп'ютер отримав інформацію для обробки, потрібно ввести її. Для цього використовуються пристрої введення даних:

• Клавіатура(за допомогою неї ми вводимо текст та керуємо комп'ютером);
• Миша(за допомогою миші ми керуємо комп'ютером);
• Сканер(Заносимо зображення до комп'ютера);
• Мікрофон(Записуємо звук) і т.д.

Для виведення результату обробки інформації використовуються пристрої виведення даних:

• Монітор(виводимо зображення на екран);
• Принтер(виводимо текст та зображення на папір);
• Акустичні системиабо «колонки» (слухаємо звуки та музику);

Крім того, ми можемо вводити та виводити дані на інші пристрої за допомогою:

• Зовнішні накопичувачі(З них ми копіюємо вже наявні дані в комп'ютер):
  • флешка,
  • компакт-диск (CD або DVD),
  • переносний жорсткий диск,
  • дискета;
• Комп'ютерна мережа(отримуємо дані з інших комп'ютерів через Інтернетчи міську мережу).

Якщо в нашу схему додати пристрої введення-виводу, то вийде така діаграма:



Введення, обробка та виведення даних

Тобто комп'ютер працює з нуліками та одиничками, а коли інформація надходить на пристрій виведення, вона перекладається у звичні нам образи(Зображення, звук).

Підбиваємо підсумок

Отже, сьогодні ми разом із сайтом IT-uroki.ru дізналися, як працює комп'ютер. Якщо стисло, то комп'ютер отримує дані з пристроїв введення (клавіатура, миша і т.д.), заносить їх на жорсткий диск, потім передає в оперативну пам'ять і обробляє процесор. Результат обробки повертається спочатку в оперативну пам'ять, потім або на жорсткий диск, або відразу пристрої виведення (наприклад, монітор).

Якщо виникли питання, можна поставити їх у коментарях до цієї статті.

Про всі перераховані у сьогоднішньому уроці пристрої Ви можете дізнатися докладніше з наступних уроків на сайті IT-уроки. Щоб не пропустити нові уроки, підпишіться на новини сайту.

Копіювання заборонено

Нагадаю, що на сайті IT-уроки є довідники, що постійно оновлюються:

Відео-доповнення

Сьогодні невелике пізнавальне відео про виробництво процесорів.


it-uroki.ru

КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ

Контрольні роботи - 1 клас, Моро

Теми: «Цифри: 5, 6, 7, 8, 9, 0», «Порівняння чисел», «Складання чисел», «Віднімання чисел».

Контрольні роботи у 2 класі, Петерсон

Що мають уміти учні 1 класу з математики до кінця навчального року. Підсумкова контрольна робота з математики призначена для перевірки знань, умінь та навичок, отриманих учнями до кінця першого року навчання.

Контрольні роботи для 3 класу, Моро

Теми: «Відрізок, кути», «Множення та поділ», «Рішення текстових завдань», «Множення та поділ чисел на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9», «Обчислення значень виразів», «Порядок виконання дій», «Правила розкриття дужок», «Поза табличним множенням і поділом з числами до 100», «Кількість, коло, радіус і діаметр».

Контрольні за 4 клас з математики, Моро

Контрольні роботи за всі чверті на теми: «Множення та розподіл чисел», «Рівняння», «Рішення текстових завдань на множення та розподіл», «Периметр і площа фігур»

Контрольні з математики - 5 клас, Віленкін

Контрольні роботи з підручника Н.Я. Віленкіна за темами: «Долі та дроби звичайні, правильні та неправильні», «Складання та віднімання звичайних дробів», «Складання та віднімання десяткових дробів», «Вирази, рівняння та розв'язання рівнянь», «Квадрат і куб числа», «Площа, обсяг, формули вимірювання площі та обсягу».

Контрольна для 6 класу, Віленкін

Контрольні роботи на теми: "Пропорції", "Масштаб", "Довжина кола та площа кола", "Координати на прямій", "Протилежні числа", "Модуль числа", "Порівняння чисел".

Контрольні роботи - 7 клас, з алгебри

Контрольні роботи на теми: «Математична мова та математична модель», «Лінійна функція», «Системи двох лінійних рівнянь (метод постановки та метод складання)», «Ступінь з натуральним показником та її властивості», «Одночлени», «Многочлени» , «Розкладання многочлена на множники», «Функція $y=x^2$».

Контрольні роботи для 8 класу з алгебри по Мордковичу

Контрольні роботи на теми: "Алгебраїчні дроби", "Функція $у=\sqrt", "Квадратична функція", "Квадратні рівняння", "Нерівності".

Контрольні роботи для 9 класу з алгебри, Мордкович

Контрольні роботи на теми: «Нерівності з однією змінною», «Системи нерівностей», «Нерівності з модулями. Ірраціональні нерівності», «Рівняння та нерівності з двома змінними», «Системи рівнянь: ірраціональні, однорідні, симетричні».

САМОСТІЙНІ РОБОТИ



Завдання та приклади для самостійної роботи з математики для 1 класу за 3 та 4 чверті

Теми: «Числа від 0 до 20», «Порівняння чисел», «Складання та віднімання чисел».

Завдання та приклади для 2 класу за підручниками М.І. Моро та Л.Г. Петерсона для самостійної роботи

Теми: «Множення та розподіл», «Складання та віднімання чисел від 1 до 100», «Купки, порядок виконання дій», «Відрізок, кут, прямокутник».

Завдання та приклади для самостійних робіт з математики за підручником М. І. Моро для 3 класу, 3 та 4 чверті

Теми: «Відрізок, кути», «Множення та розподіл», «Рішення текстових завдань».

Завдання з математики за 4 клас, приклади за 3 та 4 чверті

Теми: «Множення та розподіл чисел», «Рівняння», «Рішення текстових завдань на множення та розподіл», «Периметр і площа фігур».

Завдання з математики – 5 клас, приклади за 3 чверть за підручником Н.Я. Віленкіна

Теми: «Кількість і коло», «Дроби звичайні, десяткові та змішані», «Порівняння дробів», «Складання та віднімання звичайних і змішаних дробів».

Завдання для 6 класу для самостійних робіт за 3 чверть

Теми: "Пропорції", "Масштаб", "Довжина і площа кола", "Координати", "Протилежні числа", "Модуль числа", "Порівняння чисел".

Алгебра - 7 клас, самостійні роботи за підручником Мордковича за 1, 2, 3, 4 чверті

Теми: «Числові та алгебраїчні вирази», «Математична мова та математична модель», «Лінійне рівняння з однією змінною», «Координатна пряма та площина», «Лінійні рівняння з двома змінними», «Лінійна функція та її графік».

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ДОМАШНІХ РОБОТ



Домашні завдання з математики для 1 класу, 3 та 4 чверті

Теми: «Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10», «Порівняння», «Складання та віднімання», «Рішення текстових завдань».

Домашні завдання з математики для 2 класу за 3 та 4 чверті

Теми: «Складання та віднімання», «Рішення текстових завдань», «Множення та поділ».

Домашні завдання з математики за підручником М. І. Моро для 3 класу за 3 та 4 чверті

Теми: «Множення та розподіл чисел від 0 до 100», «Рішення текстових завдань».

Завдання з математики для 4 клас за 3 та 4 чверті

Завдання за підручником Моро на теми: «Множення та розподіл чисел», «Рівняння», «Рішення текстових завдань на множення та розподіл», «Периметр і площа фігур».

Завдання з математики - 5 клас, за 3 чверть за підручником М. Я. Віленкіна

Теми: «Кількість і коло. Звичайні дроби», «Порівняння дробів», «Складання та віднімання десяткових дробів», «Округлення чисел».

Завдання з математики для 6 класу за 3 чверть

Теми: «Дільники та кратні», «Ознаки ділимості», «Найбільший спільний дільник», «Найбільше загальне кратне», «Властивість дробів», «Скорочення дробів», «Дії з дробами: додавання, віднімання, порівняння».

Завдання з алгебри для 7 класу за підручником Мордковича за 1, 2, 3, 4 чверті

Теми: «Числові та алгебраїчні вирази», «Математична мова та математична модель», «Системи двох лінійних рівнянь з двома змінними», «Ступінь з натуральним показником та її властивості», «Одночлени, операції над одночленами – додавання, віднімання, множення, зведення в ступінь», «Умноження одночленів», «Зведення одночлена в натуральний ступінь», «Ділення одночлена на одночлен».