Зсув горизонтального пружинного маятника масою 10. За аналогією з вантажем на пружині можна отримати

Добридень!

Все досить просто. Зараз я, можливо, скажу кілька складних слів, але потім постараюся роз'яснити їхній зміст. Для простоти викладу йтиметься про одновимірний випадок, на випадок багатьох ступенів свободи все легко узагальнюється.

Отже, головне завдання механіки - знайти залежність координати тіла від часу, тобто, по суті, знайти деяку функцію, яка кожному моменту часу зіставляє деяке значення координати. Будь-який рух ми описуємо за допомогою другого закону Ньютона. Цей закон включає прискорення, яке є другою похідною координати тіла за часом, і сила, яка зазвичай залежить від самої координати. Також сила може залежати від швидкості тіла, тобто від першої похідної координати часу. Таким чином, з математичної точки зору другий закон Ньютона представляє деяке співвідношення між координатою, її першою та другою похідними. Таке співвідношення називається в математиці диференціальним рівнянням. Старша похідна, що входить у таке рівняння, - друга. Математика каже, що рішення такого рівняння, тобто загальний вигляд функції, що задовольняє наше співвідношення, залежить від двох довільних постійних, які неможливо визначити з рівняння. Ці довільні постійні визначаються кожному за конкретного випадку, наприклад, з допомогою про початкових умов. Тобто щоб точно зрозуміти, як буде рухатися тіло, потрібно знати не тільки, які сили на нього діють, але і які його початкова координата і швидкість. Дві довільні константи у вирішенні підбираються таким чином, щоб отримана нами функція та її похідна (тобто швидкість) у початковий момент мали задані значення.

Це є абсолютно загальна ситуація. Згадайте, коли ми говоримо про рух тіла з постійним прискоренням, щоб точно задати рух нам потрібно саме два числа, початкова координата і початкова швидкість.

Те саме справедливо і для вагання. Коливання конкретного маятника (тобто маятника із заданою власною частотою) визначається також двома числами. Зазвичай рішення рівняння маятника, одержуваного з другого закону Ньютона, записують як .

Тут і грають якраз роль довільних постійних, які треба визначати з початкових умов. Порахуємо швидкість: . Нехай нам відомо, що в нульовий момент часу координата і швидкість маятника дорівнювали і . Розв'язавши систему звичайних рівнянь, можна знайти конкретні вирази для і через і.

Не наводитиму відповіді в загальному випадку, якщо Ви захочете, то легко зробите це самі. Розповім тільки про конкретні випадки. Нехай, наприклад, відомо, що у нульовий момент часу тіло перебуває у становищі рівноваги (тобто ), яке швидкість дорівнює своїй максимальній величині (тобто ). Тоді отримуємо для конкретного випадку, що система рівнянь набуває вигляду: . З першого рівняння відразу зрозуміло, що (першому рівнянню, звичайно, задовольняє і умова, але тоді наше рішення вийде нульовим, а це не влаштовує). Друге тоді набуває вигляду: , звідки . Таким чином ми знайшли вирази для обох постійних. У результаті маємо: . При цьому для прискорення виходить. Якщо тепер позначити через звичніший вираз для амплітуди , вийдуть більш звичні формули.

Розглянемо ще один приклад. Нехай тепер вантаж перебуває у крайньому положенні, тобто його швидкість дорівнює нулю. Вважатимемо, що від відхилився в негативний бік осі, тобто його координата дорівнює . Тоді рівняння на початкові умови набувають вигляду: . З другого рівняння. З першого: . Таким чином, координати має: (друга рівність за допомогою формули приведення). Для швидкості: . Для прискорення: .

Конкретні формули залежить від початкових даних. З урахуванням періодичності синусів і косінусів, користуючись різними формулами наведення, можна з формул забирати знаки додавати фази і т.д.

Що стосується формули в задачі, там немає частоти, тому що підставлено її конкретне значення:

Пружинний маятник - це коливальна система, що складається з матеріальної точки масою т пружини. Розглянемо горизонтальний пружинний маятник (рис. 13.12 а). Він є масивним тілом, просвердленим посередині і одягненим на горизонтальний стрижень, уздовж якого воно може ковзати без тертя (ідеальна коливальна система). Стрижень закріплений між двома вертикальними опорами. До тіла одним кінцем прикріплена невагома пружина. Інший її кінець закріплений на опорі, яка в найпростішому випадку знаходиться у спокої щодо інерційної системи відліку, в якій відбуваються коливання маятника. На початку пружина не деформована, і тіло знаходиться в положенні рівноваги С. Якщо, розтягнувши або стиснувши пружину, вивести тіло з положення рівноваги, то з боку деформованої пружини на нього почне діяти сила пружності завжди спрямована до положення рівноваги. Нехай ми стиснули пружину, перемістивши тіло в положення А, і відпустили \((\upsilon_0=0).\) Під дією сили пружності воно рухатиметься прискорено. При цьому в положенні А на тіло діє максимальна сила пружності, тому що тут повне подовження x m пружини найбільше. Отже, в цьому положенні максимальне прискорення. При русі тіла до положення рівноваги абсолютне подовження пружини зменшується, а отже, зменшується прискорення, що повідомляється силою пружності. Але так як прискорення при даному русі сонаправлено зі швидкістю, швидкість маятника збільшується і в положенні рівноваги вона буде максимальна. Досягши положення рівноваги, тіло не зупиниться (хоча в цьому положенні пружина не деформована, і сила пружності дорівнює нулю), а володіючи швидкістю, буде по інерції рухатися далі, розтягуючи пружину. Виникаюча при цьому сила пружності спрямована проти руху тіла і гальмує його. У точці D швидкість тіла виявиться рівною нулю, а прискорення максимально, тіло на мить зупиниться, після чого під дією сили пружності почне рухатися у зворотний бік до положення рівноваги. Знову пройшовши його за інерцією, тіло, стискаючи пружину і сповільнюючи рух, сягне точки А (оскільки тертя відсутня), тобто. зробить повне коливання. Після цього рух тіла повторюватиметься в описаній послідовності. Отже, причинами вільних коливань пружинного маятника є дія сили пружності, що виникає при деформації пружини, та інертність тіла.

За законом Гука \(~F_x=-kx.\) За другим законом Ньютона \(~F_x = ma_x.\) Отже, \(~ma_x = -kx.\) Звідси

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) або \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - динамічне рівняння руху пружинного маятника.

Бачимо, що прискорення прямопропорційне до змішання і протилежно йому спрямоване. Порівнюючи отримане рівняння з рівнянням гармонійних коливань \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) бачимо, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою \(\omega = \sqrt \frac(k)(m)\) Так як \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) то

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\)- період коливань пружинного маятника.

За цією формулою можна розраховувати і період коливань вертикального пружинного маятника (рис. 13.12. б). Дійсно, у положенні рівноваги завдяки дії сили тяжіння пружина вже розтягнута на деяку величину x 0 , що визначається співвідношенням \(~mg=kx_0.\) При зміщенні маятника з положення рівноваги Oна хпроекція сили пружності \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) і за другим законом Ньютона \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Підставляючи сюди значення \(~kx_0 =mg,\) отримаємо рівняння руху маятника \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) збігається з рівнянням руху горизонтального маятника.

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 377-378.

Пружинний маятник - це коливальна система, що складається з матеріальної точки масою т пружини. Розглянемо горизонтальний пружинний маятник (рис. 1, а). Він є масивним тілом, просвердленим посередині і одягненим на горизонтальний стрижень, уздовж якого воно може ковзати без тертя (ідеальна коливальна система). Стрижень закріплений між двома вертикальними опорами.

До тіла одним кінцем прикріплена невагома пружина. Інший її кінець закріплений на опорі, яка в найпростішому випадку знаходиться у спокої щодо інерційної системи відліку, в якій відбуваються коливання маятника. На початку пружина не деформована, і тіло знаходиться в положенні рівноваги С. Якщо, розтягнувши або стиснувши пружину, вивести тіло з положення рівноваги, то з боку деформованої пружини на нього почне діяти сила пружності завжди спрямована до положення рівноваги.

Нехай ми стиснули пружину, перемістивши тіло в положення А і відпустили . Під впливом сили пружності воно рухатиметься прискорено. При цьому в положенні А на тіло діє максимальна сила пружності, тому що тут повне подовження x m пружини найбільше. Отже, в цьому положенні максимальне прискорення. При русі тіла до положення рівноваги абсолютне подовження пружини зменшується, а отже, зменшується прискорення, що повідомляється силою пружності. Але так як прискорення при даному русі сонаправлено зі швидкістю, швидкість маятника збільшується і в положенні рівноваги вона буде максимальна.

Досягши положення рівноваги, тіло не зупиниться (хоча в цьому положенні пружина не деформована, і сила пружності дорівнює нулю), а володіючи швидкістю, буде по інерції рухатися далі, розтягуючи пружину. Виникаюча при цьому сила пружності спрямована проти руху тіла і гальмує його. У точці D швидкість тіла виявиться рівною нулю, а прискорення максимально, тіло на мить зупиниться, після чого під дією сили пружності почне рухатися у зворотний бік до положення рівноваги. Знову пройшовши його за інерцією, тіло, стискаючи пружину і сповільнюючи рух, сягне точки А (оскільки тертя відсутня), тобто. зробить повне коливання. Після цього рух тіла повторюватиметься в описаній послідовності. Отже, причинами вільних коливань пружинного маятника є дія сили пружності, що виникає при деформації пружини, та інертність тіла.

За законом Гука F x = -kx. За другим законом Ньютона F x = ma x. Отже, ma x = -kx. Звідси

Динамічне рівняння руху пружинного маятника.

Бачимо, що прискорення прямопропорційне до змішання і протилежно йому спрямоване. Порівнюючи отримане рівняння з рівнянням гармонійних коливань , бачимо, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою

Якщо змістити кульку від положення рівноваги на відстань х, то подовження пружини дорівнюватиме Δl 0 + х. Тоді результуюча сила набуде значення:

Враховуючи умову рівноваги (1.7.1), отримаємо:

Знак "мінус" показує, що зміщення та сила мають протилежні напрямки.

Пружна сила f має такі властивості:

1. Вона пропорційна усунення кульки з положення рівноваги;
2. Вона завжди спрямована на положення рівноваги.

Для того, щоб повідомити систему усунення х, потрібно здійснити проти пружної сили роботу:

Ця робота йде на створення запасу потенційної енергії системи:

Під дією пружної сили кулька рухатиметься до положення рівноваги з дедалі більшою швидкістю. Тому потенційна енергія системи зменшуватиметься, зате зростає кінетична енергія (масою пружини нехтуємо). Прийшовши в положення рівноваги, кулька продовжуватиме рухатися за інерцією. Це – уповільнений рух і припиниться тоді, коли кінетична енергія повністю перейде у потенційну. Потім такий самий процес протікатиме при русі кульки у зворотному напрямку. Якщо тертя в системі відсутнє, кулька коливатиметься необмежено довго.

Рівняння другого закону Ньютона у разі має вигляд:

Перетворимо рівняння так:

Вводячи позначення, отримаємо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

Прямою підстановкою легко переконатися, що загальне рішення рівняння (1.7.8) має вигляд:

де а - амплітуда і - початкова фаза коливання - постійні величини. Отже, коливання пружинного маятника є гармонійним (рис. 1.7.2).

Мал. 1.7.2. Гармонічне коливання

Внаслідок періодичності косинуса різні стани коливальної системи повторюються через певний проміжок часу (період коливань) Т, протягом якого фаза коливання отримує збільшення 2π. Розрахувати період можна за допомогою рівності:

звідки слідує:

Число коливань в одиницю часу називається частотою:

За одиницю частоти приймається частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Таку одиницю називають 1 Гц.

З (1.7.11) випливає, що:

Отже, ω 0 - це число коливань, що відбувається за 2 секунд. Величину 0 називають круговою або циклічною частотою. Використовуючи (1.7.12) та (1.7.13), запишемо:

Диференціюючи () за часом, отримаємо вираз для швидкості кульки:

З (1.7.15) випливає, що швидкість також змінюється за гармонійним законом і випереджає зміщення фазою на ½π. Диференціюючи (1.7.15), отримаємо прискорення:

1.7.2. Математичний маятник

Математичним маятникомназивають ідеалізовану систему, що складається з нерозтяжної невагомої нитки, де підвішено тіло, вся маса якого зосереджена лише у точці.

Відхилення маятника від положення рівноваги характеризують кутом φ, утвореним ниткою з вертикаллю (рис. 1.7.3).

Мал. 1.7.3. Математичний маятник

При відхиленні маятника від положення рівноваги виникає крутний момент, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

Напишемо для маятника рівняння динаміки обертального руху з огляду на те, що момент його інерції дорівнює ml 2:

Це рівняння можна привести до вигляду:

Обмежуючись випадком малих коливань sinφ ≈ φ і вводячи позначення:

рівняння (1.7.19) може бути подане так:

що збігається формою з рівнянням коливань пружинного маятника. Отже, його вирішенням буде гармонійне коливання:

З (1.7.20) випливає, що циклічна частота коливань математичного маятника залежить від його довжини та прискорення вільного падіння. Використовуючи формулу для періоду коливань () та (1.7.20), отримаємо відоме співвідношення:

1.7.3. Фізичний маятник

Фізичним маятником називається тверде тіло, здатне здійснювати коливання навколо нерухомої точки, що не збігається з центром інерції. У положенні рівноваги центр інерції маятника знаходиться під точкою підвісу Про на одній з нею вертикалі (Рис. 1.7.4).

Мал. 1.7.4. Фізичний маятник

При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут φ виникає обертальний момент, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

де m - маса маятника, l - відстань між точкою підвісу та центром інерції маятника.

Напишемо для маятника рівняння динаміки обертального руху, враховуючи, що момент його інерції дорівнює I:

Для малих коливань sinφ ≈ φ. Тоді, вводячи позначення:

що також збігається формою з рівнянням коливань пружинного маятника. З рівнянь (1.7.27) і (1.7.26) випливає, що при малих відхиленнях фізичного маятника від положення рівноваги він здійснює гармонійне коливання, частота якого залежить від маси маятника, моменту інерції та відстані між віссю обертання та центром інерції. За допомогою (1.7.26) можна обчислити період коливань:

Порівнюючи формули (1.7.28) та () отримаємо, що математичний маятник з довжиною:

матиме такий самий період коливань, як і розглянутий фізичний маятник. Величину (1.7.29) називають наведеною довжиноюфізичний маятник. Отже, наведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника.

Крапка на прямій, що з'єднує точку підвісу з центром інерції, що лежить на відстані наведеної довжини від осі обертання, називається центром хитанняфізичний маятник. По теоремі Штайнера момент інерції фізичного маятника дорівнює:

де I 0 – момент інерції щодо центру інерції. Підставляючи (1.7.30) (1.7.29), отримаємо:

Отже, наведена довжина завжди більша за відстань між точкою підвісу і центром інерції маятника, так що точка підвісу і центр гойдання лежать по різні боки від центру інерції.

1.7.4. Енергія гармонійних коливань

При гармонійному коливанні відбувається періодичне взаємне перетворення кінетичної енергії коливається тіла Е до і потенційної енергії Е п, обумовленої дією квазіпружної сили. З цих енергій складається повна енергія Е коливальної системи:

Розпишемо останній вираз

Але до = mω 2 , тому отримаємо вираз для повної енергії тіла, що коливається

Таким чином, повна енергія гармонійного коливання стала і пропорційна квадрату амплітуди і квадрату кругової частоти коливання.

1.7.5. Затухаючі коливання .

Під час вивчення гармонійних коливань не враховувалися сили тертя і опору, які у реальних системах. Дія цих сил суттєво змінює характер руху, коливання стає загасаючим.

Якщо в системі, крім квазіпружної сили, діють сили опору середовища (сили тертя), то другий закон Ньютона можна записати так:

де r - коефіцієнт тертя, що характеризує властивості середовища чинити опір руху. Підставимо (1.7.34б) у (1.7.34а):

Графік цієї функції показаний на рис.1.7.5 суцільною кривою 1, а штриховою лінією 2 зображено зміну амплітуди:

При дуже малому терті період загасаючого коливання близький до періоду вільного коливання незатухающего (1.7.35.б)

Швидкість зменшення амплітуди коливань визначається коефіцієнтом згасання: чим більше β, тим сильніша гальмівна дія середовища і тим швидше зменшується амплітуда. На практиці, ступінь згасання часто характеризують логарифмічним декрементом згасання, розуміючи під цим величину, що дорівнює натуральному логарифму відношення двох послідовних амплітуд коливань, розділених інтервалом часу, рівним періоду коливань:

;

Отже, коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання пов'язані досить простою залежністю:

При сильному згасанні формули (1.7.37) видно, що період коливання є уявною величиною. Рух у цьому випадку вже називається аперіодичним. Графік аперіодичного руху у вигляді показаний на рис. 1.7.6. Незагасні та загасаючі коливання називають власними або вільними. Вони виникають внаслідок початкового усунення чи початкової швидкості і відбуваються за відсутності зовнішнього впливу з допомогою спочатку накопиченої енергії.

1.7.6. Вимушені коливання. Резонанс .

Вимушеними коливаннями називаються такі, що виникають у системі за участю зовнішньої сили, що змінюється за періодичним законом.

Припустимо, що на матеріальну точку крім квазіпружної сили та сили тертя діє зовнішня сила, що змушує.

,

де F 0 - Амплітуда; ω - кругова частота коливань сили, що змушує. Складемо диференціальне рівняння (другий закон Ньютона):

,

Амплітуда вимушеного коливання (1.7.39) прямо пропорційна амплітуді вимушує сили і має складну залежність від коефіцієнта загасання середовища та кругових частот власного та вимушеного коливання. Якщо ? 0 і ? резонансної.

Саме явище - досягнення максимальної амплітуди для заданих 0 і β - називають резонансом.

Мал. 1.7.7. Резонанс

За відсутності опору амплітуда вимушених коливань при резонансі дуже велика. У цьому з ω рез =ω 0 , тобто. резонанс у системі без згасання настає тоді, коли частота сили, що змушує, збігається з частотою власних коливань. Графічна залежність амплітуди вимушених коливань від кругової частоти примусової сили при різних значеннях коефіцієнта згасання показана на рис. 5.

Механічний резонанс може бути як корисним, і шкідливим явищем. Шкідлива дія резонансу пов'язана головним чином із руйнуванням, яке може викликати. Так, у техніці, враховуючи різні вібрації, необхідно передбачати можливі виникнення резонансних умов, інакше можуть бути руйнування та катастрофи. Тіла зазвичай мають кілька власних частот коливань і кілька резонансних частот.

Якщо коефіцієнт загасання внутрішніх органів людини був невеликий, то резонансні явища, що виникли в цих органах під впливом зовнішніх вібрацій або звукових хвиль, могли б призвести до трагічних наслідків: розриву органів, ушкодження зв'язок тощо. Однак такі явища при помірних зовнішніх впливах практично не спостерігаються, оскільки коефіцієнт загасання біологічних систем досить великий. Тим не менш, резонансні явища при дії зовнішніх механічних коливань відбуваються у внутрішніх органах. У цьому, мабуть, одна з причин негативного впливу інфразвукових коливань та вібрацій на організм людини.

1.7.7. Автоколивання

Існують і такі коливальні системи, які самі регулюють періодичне заповнення витраченої енергії і тому можуть коливатися тривалий час.

Незагасні коливання, які у будь-якій системі за відсутності змінного зовнішнього впливу, називаються автоколиваннями, а самі системи - автоколивальними.

Амплітуда та частота автоколивань залежать від властивостей у самій автоколивальній системі, на відміну від вимушених коливань вони не визначаються зовнішніми впливами.

У багатьох випадках автоколивальні системи можна уявити трьома основними елементами (рис.1.7.8): 1) власне коливальна система; 2) джерело енергії; 3) регулятор надходження енергії у власне коливальну систему. Коливальна система каналом зворотного зв'язку (рис. 6) впливає на регулятор, інформую регулятор про стан цієї системи.

Класичним прикладом механічної автоколивальної системи є годинник, в якому маятник або баланс є коливальною системою, пружина або піднята гиря - джерелом енергії, а анкер - регулятором надходження енергії від джерела в коливальну систему.

Багато біологічних систем (серце, легені та інших.) є автоколивальними. Характерний приклад електромагнітної автоколивальної системи – генератори автоколивальних коливань.

1.7.8. Складання коливань одного напрямку

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Гармонічне коливання можна задати за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливань, а напрям утворює з деякою віссю кут, що дорівнює початковій фазі коливань. Якщо цей вектор обертається з кутовою швидкістю ω 0 то його проекція на обрану вісь буде змінюватися за гармонічним законом. Виходячи з цього, виберемо деяку вісь Х і представимо коливання за допомогою векторів а1 і а2 (рис.1.7.9).

З рис.1.7.6 випливає, що

.

Схеми, у яких коливання зображуються графічно як векторів на площині, називаються векторними діаграмами.

З формули 1.7.40 випливає. Якщо різниця фаз обох коливань дорівнює нулю, амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються. Якщо різниця фаз коливань, що складаються, дорівнює, то амплітуда результуючого коливання дорівнює. Якщо частоти коливань, що складаються, не однакові, то вектори, відповідні цим коливанням будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з незмінною швидкістю. Отже, в результаті додавання виходить не гармонійне коливання, а складний коливальний процес.

1.7.9. Биття

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку мало відрізняються за частотою. Нехай частота одного з них дорівнює ω , а другого ω+∆ω, причому ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 = cos ωt, x 2 = cos(ω+∆ω)t.

Склавши ці вирази і використовуючи формулу для суми косінусів, отримуємо:

Коливання (1.7.41) можна як гармонійне коливання частотою ω, амплітуда якого змінюється за законом . Ця функція є періодичною з частотою вдвічі перевищує частоту висловлювання, що стоїть під знаком модуля, тобто. із частотою ∆ω. Таким чином, частота пульсацій амплітуди, звана частотою биття, дорівнює різниці частот коливань, що складаються.

1.7.10. Додавання взаємно перпендикулярних коливань (фігури Лісажу)

Якщо матеріальна точка здійснює коливання як вздовж осі х, так і вздовж осі у, то вона рухатиметься деякою криволінійною траєкторією. Нехай частота коливань однакова і початкова фаза першого коливання дорівнює нулю, тоді рівняння коливань запишемо як:

Рівняння (1.7.43) є рівнянням еліпса, осі якого орієнтовані довільно щодо координатних осей х і у. Орієнтація еліпса та величина його півосей залежать від амплітуду а і b і різниці фаз α. Розглянемо деякі окремі випадки:

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, яке півосі рівні амплітудам (рис. 1.7.12). Якщо амплітуди рівні, то еліпс стає коло.

Рис.1.7.12

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань відрізняються на малу величину ∆ω, їх можна розглядати як коливання однакової частоти, але з різницею фаз, що повільно змінюється. У цьому випадку рівняння коливань можна записати

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

і вираз ∆ωt+α розглядати як різницю фаз, що повільно змінюється з часом за лінійним законом. Результуючий рух у цьому випадку відбувається за кривою, що повільно змінюється, яка буде послідовно приймати форму, що відповідає всім значенням різниці фаз від -π до +π.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторія результуючого руху має вигляд досить складних кривих, які називаються фігурами Лісажу. Нехай, наприклад, частоти коливань, що складаються, відносяться як 1 : 2 і різницю фаз π/2. Тоді рівняння коливань мають вигляд

x = cos ωt, y = b cos.

За той час, поки вздовж осі х точка встигає переміститися з одного крайнього положення в інше, уздовж осі, вийшовши з нульового положення, вона встигає досягти одного крайнього положення, потім іншого і повернутися. Вигляд кривої показано на рис. 1.7.13. Крива при такому співвідношенні частот, але різниці фаз рівної нулю показана на рис.1.7.14. Відношення частот коливань, що складаються, назад відношенню числа точок перетину фігур Ліссажу з прямими, паралельними осям координат. Отже, за видом фігур Ліссажу можна визначити співвідношення частот коливань, що складаються, або невідому частоту. Якщо одна із частот відома.

Рис.1.7.13

Рис.1.7.14

Чим ближче до одиниці раціональний дріб, що виражає відношення частот коливань, тим складніше фігури Ліссажу, що виходять.

1.7.11. Поширення хвиль у пружному середовищі

Якщо в будь-якому місці пружного (твердого рідкого або газоподібного) середовища збудити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання поширюватиметься в середовищі від частинки до частинки з деякою швидкістю υ. процес поширення коливань у просторі називається хвилею.

Частинки середовища, у якій поширюється хвиля, не залучаються хвилею в поступальний рух, вони лише коливання біля своїх положень рівноваги.

Залежно від напрямів коливань частинок стосовно напрямку, у якому поширюється хвиля, розрізняють поздовжні та поперечніхвилі. У поздовжній хвилі частинки середовища коливаються вздовж поширення хвилі. У поперечній хвилі частки середовища коливаються у напрямах, перпендикулярних до напряму поширення хвиль. Пружні поперечні хвилі можуть виникнути лише в середовищі, що має опір зсуву. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можливе виникнення лише поздовжніх хвиль. У твердому середовищі можливе виникнення як поздовжніх, і поперечних хвиль.

На рис. 1.7.12 показано рух частинок при поширенні серед поперечної хвилі. Номерами 1,2 і т. д. позначені частинки відстають один від одного на відстань, що дорівнює (? υT), тобто. на відстань, що проходить хвилею за чверть періоду коливань, що здійснюються частинками. У момент, прийнятий за нульовий, хвиля, поширюючись уздовж осі зліва направо, досягла частки 1, внаслідок чого частка почала зміщуватися з положення рівноваги вгору, захоплюючи за собою наступні частинки. Через чверть періоду частка 1 досягає крайнього верхнього положення рівноваги частка 2. Після наступу чверті періоду перша частина проходитиме положення рівноваги, рухаючись у напрямку зверху вниз, друга частка досягне крайнього верхнього положення, а третя частка почне зміщуватися вгору з положення рівноваги. У момент часу рівний T, перша частка закінчить повний цикл коливання і перебуватиме в такому стані руху, як початковий момент. Хвиля на момент часу T, пройшовши шлях (υT), досягне частки 5.

Рис. 1.7.13 показано рух частинок при поширенні в середовищі поздовжньої хвилі. Всі міркування щодо поведінки частинок у поперечній хвилі можуть бути віднесені і до цього випадку із заміною зсувів вгору і вниз зсувами вправо і вліво.

З малюнка видно, що при поширенні поздовжньої хвилі в середовищі створюються згущення, що чергуються, і розрядження частинок (місця згущення обведені на малюнку пунктиром), що переміщаються в напрямку поширення хвилі зі швидкістю υ.

Мал. 1.7.15

Мал. 1.7.16

На рис. 1.7.15 та 1.7.16 показані коливання частинок, положення, рівноваги яких лежать на осі x.Насправді коливаються як частинки, розташовані вздовж осі x,а сукупність частинок, ув'язнених у певному обсязі. Поширюючись від джерел коливань, хвильовий процес охоплює нові і нові частини простору, геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу t, називається фронтом хвилі(або хвильовим фронтом). Фронт хвилі є ту поверхню, яка відокремлює частину простору, вже залучену в хвильовий процес, від області, в якій коливання ще не виникли.

Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею . Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, охопленого хвильовим процесом. Отже, хвильових поверхонь існує безліч, тоді як хвильовий фронт кожен момент часу лише один. Хвильові поверхні залишаються не рухливими (вони проходять через положення рівноваги частинок, що коливаються в одній фазі ). Хвильовий фронт постійно переміщається.

Хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми. У найпростіших випадках вони мають форму площини чи сфери. Відповідно хвиля у цих випадках називається плоскою чи сферичною. У плоскій хвилі хвильові поверхні є безліч паралельних один одному площин, у сферичній хвилі - безліч концентричних сфер.

Мал. 1.7.17

Нехай плоска хвиля поширюється вздовж осі x. Тоді всі точки сфери, положення, рівноваги яких мають однакову координату x(але відмінність значення координат yі z),коливаються у однаковій фазі.

Рис. 1.7.17 зображено криву, яка дає зміщення ξ із положення рівноваги точок з різними xу певний час. Не слід сприймати цей малюнок як видиме зображення хвилі. На малюнку показано графік функцій ξ (x, t)для деякого фіксованого моменту часу t.Такий графік можна будувати як для поздовжньої, так і для поперечної хвилі.

Відстань λ, на короткий поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називається довжиною хвилі. Очевидно, що

де - швидкість хвилі, T- період коливань. Довжину хвилі можна визначити також як відстань між найближчими точками середовища, що коливаються з різницею фаз, що дорівнює 2π (див. рис. 1.7.14)

Замінивши у співвідношенні(1.7.45) T через 1/ν (ν - частота коливань), отримаємо

До цієї формули можна прийти також з таких міркувань. За одну секунду джерело хвиль здійснює коливання ν, породжуючи в середовищі при кожному коливанні один "гребінь" і одну "впадину" хвилі. До того моменту, коли джерело завершуватиме - коливання, перший "гребінь" встигне пройти шлях υ. Отже, "гребенів" і "впадин" хвилі повинні вкластися в довжині υ.

1.7.12. Рівняння плоскої хвилі

Рівнянням хвилі називається вираз, який дає зміщення коливної частки як функцію її координат x, y, z та часу t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(маються на увазі координати рівноважного становища частинки). Ця функція має бути періодичною щодо часу t , і щодо координат x, y, z. . Періодичність за часом випливає з того, що точки, віддалені одна від одної на відстані λ , коливаються однаковим чином.

Знайдемо вигляд функції ξ у разі плоскої хвилі, припускаючи, що коливання мають гармонійний характер. Для спрощення направимо осі координат так, щоб вісь x збігалася із напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні будуть перпендикулярними до осі. x і, оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, ξ буде залежати тільки від x і t:

ξ = ξ (x, t) .

Рис.1.7.18

Нехай коливання точок, що лежать у площині x = 0 (рис. 1.7.18), мають вигляд

Знайдемо вид коливання точок у площині, що відповідає довільному значенню x . Для того, щоб пройти шлях від площини x=0 до цієї площині хвилі потрібен час( υ - швидкість поширення хвилі). Отже, коливання частинок, що лежать у площині x , відставатимуть за часом на τ від коливань частинок у площині x = 0 , тобто. матимуть вигляд

Отже, рівняння плоскої хвилі(Поздовжньої, і поперечної), що поширюється в напрямку осі x , виглядає наступним чином:

Цей вираз визначає зв'язок між часом t і тим місцем x , В якому фаза має зафіксоване значення. Значення dx/dt, що випливає з нього, дає швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Продиференціювавши вираз (1.7.48), отримаємо

Рівняння хвилі, що поширюється у бік спадання x :

При виведенні формули (1.7.53) ми припускали, що амплітуда коливань залежить від x . Для плоскої хвилі це спостерігається у тому випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. При поширенні в поглинаючому енергію середовищі інтенсивність хвилі з віддаленням від джерела коливань поступово зменшується - спостерігається згасання хвилі. Досвід показує, що в однорідному середовищі таке загасання відбувається за експоненційним законом:

Відповідно рівняння плоскої хвилі, з урахуванням згасання, має такий вигляд:

(a 0 – амплітуда у точках площині x = 0).

Вільні коливаннявідбуваються під дією внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги.

Для того щобвільні коливання відбувалися за гармонійним законом, необхідно, щоб сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги, була пропорційна зміщенню тіла з положення рівноваги і спрямована у бік, протилежний зсуву (див. §2.1):

Сили будь-якої іншої фізичної природи, що задовольняють цю умову, називаються квазіпружними .

Таким чином, вантаж деякої маси m, прикріплений до пружини жорсткості k, другий кінець якої закріплений нерухомо (рис. 2.2.1), становлять систему, здатну здійснювати без тертя вільні гармонічні коливання. Вантаж на пружині називають лінійним гармонічним осцилятором.

Кругова частота ω 0 вільних коливань вантажу на пружині знаходиться з другого закону Ньютона:

При горизонтальному розташуванні системи пружина-вантаж сила тяжіння, прикладена до вантажу, компенсується силою реакції опори. Якщо вантаж підвішений на пружині, то сила тяжіння спрямована по лінії руху вантажу. У положенні рівноваги пружина розтягнута на величину x 0 , рівну

Тому другий закон Ньютона для вантажу на пружині може бути записаний у вигляді

Рівняння (*) називається рівнянням вільних коливань . Слід звернути увагу на те, що фізичні властивості коливальної системи визначають лише власну частоту коливань ω 0 чи період T . Такі параметри процесу коливань, як амплітуда x m і початкова фаза φ 0 визначаються способом, за допомогою якого система була виведена зі стану рівноваги в початковий момент часу.

Якщо, наприклад, вантаж був зміщений із положення рівноваги на відстань Δ lі потім у момент часу t= 0 відпущено без початкової швидкості, то x m = Δ l, φ0 = 0.

Якщо ж вантажу, що знаходився в положенні рівноваги, за допомогою різкого поштовху була повідомлена початкова швидкість ± 0, то ,

Таким чином, амплітуда x m вільних коливань та його початкова фаза φ 0 визначаються початковими умовами .

Існує багато різновидів механічних коливальних систем, у яких використовуються сили пружних деформацій. На рис. 2.2.2 показаний кутовий аналог лінійного гармонійного осцилятора. Горизонтально розташований диск висить на пружній нитці, що закріплена в його центрі мас. При повороті диска на кут θ з'являється момент сил Mупругої деформації кручення:

де I = I C - момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, - кутове прискорення.

За аналогією з вантажем на пружині можна отримати:

Вільні вагання. Математичний маятник

Математичним маятникомназивають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерозтяжній нитці, маса якої зневажливо мала порівняно з масою тіла. У положенні рівноваги, коли маятник висить по схилу, сила тяжіння врівноважується силою натягу нитки . При відхиленні маятника з положення рівноваги на деякий кут з'являється дотична складова сили тяжіння F τ = - mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «мінус» у цій формулі означає, що дотична складова спрямована у бік, протилежний відхиленню маятника.

Якщо позначити через xлінійне усунення маятника від положення рівноваги по дузі кола радіусу l, то його кутове зміщення дорівнюватиме φ = x / l. Другий закон Ньютона, записаний для проекцій векторів прискорення та сили на напрям дотичної, дає:

Це співвідношення показує, що математичний маятник є складною. нелінійнусистему, оскільки сила, що прагне повернути маятник у положення рівноваги, пропорційна не зміщенню x, а

Тільки у випадку малих коливаньколи наближеноможна замінити математичним маятником є ​​гармонічним осцилятором, т. е. системою, здатної здійснювати гармонійні коливання. Майже таке наближення справедливе для кутів порядку 15-20 °; при цьому величина відрізняється не більше ніж на 2%. Коливання маятника при великих амплітудах є гармонійними.

Для малих коливань математичного маятника другий закон Ньютона записується як

Ця формула висловлює власну частоту малих коливань математичного маятника .

Отже,

Будь-яке тіло, насаджене на горизонтальну вісь обертання, здатне здійснювати в полі тяжіння вільні коливання і, отже, є маятником. Такий маятник прийнято називати фізичним (Рис. 2.3.2). Він відрізняється від математичного лише розподілом мас. У положенні стійкої рівноваги центр мас Cфізичного маятника знаходиться нижче осі обертання на вертикалі, що проходить через вісь. При відхиленні маятника на кут φ виникає момент сили тяжіння, що прагне повернути маятник у положення рівноваги:

і другий закон Ньютона для фізичного маятника набуває вигляду (див. §1.23)

Тут ω 0 - власна частота малих коливань фізичного маятника .

Отже,

Тому рівняння, яке виражає другий закон Ньютона для фізичного маятника, можна записати у вигляді

Остаточно для кругової частоти ω 0 вільних коливань фізичного маятника виходить вираз:

Перетворення енергії при вільних механічних коливаннях

При вільних механічних коливаннях кінетична та потенційна енергії періодично змінюються. При максимальному відхиленні тіла від положення рівноваги його швидкість, а отже, і кінетична енергія перетворюються на нуль. У цьому положенні потенційна енергія тіла, що коливається, досягає максимального значення. Для вантажу на пружині потенційна енергія – це енергія пружних деформацій пружини. Для математичного маятника – це енергія у полі тяжіння Землі.

Коли тіло під час свого руху проходить через положення рівноваги, його швидкість максимальна. Тіло проскакує положення рівноваги згідно із законом інерції. У цей момент воно має максимальну кінетичну і мінімальну потенційну енергію. Збільшення кінетичної енергії відбувається рахунок зменшення потенційної енергії. При подальшому русі починає збільшуватися потенційна енергія за рахунок зменшення кінетичної енергії і т.д.

Таким чином, при гармонійних коливаннях відбувається періодичне перетворення кінетичної енергії на потенційну і навпаки.

Якщо коливальній системі відсутня тертя, то повна механічна енергія при вільних коливаннях залишається незмінною.

Для вантажу на пружині(Див. §2.2):

У реальних умовах будь-яка коливальна система перебуває під впливом сил тертя (опору). При цьому частина механічної енергії перетворюється на внутрішню енергію теплового руху атомів і молекул і коливання стають загасаючими (Рис. 2.4.2).

Швидкість загасання коливань залежить від величини сил тертя. Інтервал часу τ, протягом якого амплітуда коливань зменшується в e≈ 2,7 разів, називається часом згасання .

Частота вільних коливань залежить від швидкості загасання коливань. У разі зростання сил тертя власна частота зменшується. Однак, зміна власної частоти стає помітною лише за досить великих сил тертя, коли власні коливання швидко згасають.

Важливою характеристикою коливальної системи, що здійснює вільні загасаючі коливання, є добротність Q. Цей параметр визначається як число Nповних коливань, які здійснюють система за час згасання τ, помножене на π:

Таким чином, добротність характеризує відносне зменшення енергії коливальної системи через наявність тертя на інтервалі часу, що дорівнює одному періоду коливань.

Вимушені коливання. Резонанс. Автоколивання

Коливання, що відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними.

Зовнішня сила здійснює позитивну роботу та забезпечує приплив енергії до коливальної системи. Вона не дає коливань загасати, незважаючи на дію сил тертя.

Періодична зовнішня сила може змінюватись у часі за різними законами. Особливий інтерес представляє випадок, коли зовнішня сила, що змінюється за гармонічним законом із частотою ω, впливає на коливальну систему, здатну здійснювати власні коливання деякою частотою ω 0 .

Якщо вільні коливання відбуваються на частоті 0, яка визначається параметрами системи, то вимушені коливання, що встановилися, завжди відбуваються на частоті ω зовнішньої сили.

Після початку впливу зовнішньої сили на коливальну систему потрібен деякий час Δ tдля встановлення вимушених коливань. Час встановлення по порядку величини дорівнює часу згасання вільних коливань в коливальній системі.

У початковий момент у коливальній системі збуджуються обидва процеси - вимушені коливання на частоті і вільні коливання на власній частоті 0 . Але вільні коливання згасають через неминучу наявність сил тертя. Тому через деякий час в коливальній системі залишаються тільки стаціонарні коливання на частоті зовнішньої сили, що змушує.

Розглянемо як приклад вимушені коливання тіла на пружині (рис. 2.5.1). Зовнішня сила прикладена до вільного кінця пружини. Вона змушує вільний (лівий на рис. 2.5.1) кінець пружини переміщатися згідно із законом

Якщо лівий кінець пружини зміщений на відстань y, а правий - на відстань xвід їхнього початкового положення, коли пружина була недеформована, то подовження пружини Δ lодно:

У цьому рівнянні сила, що діє на тіло, представлена ​​у вигляді двох доданків. Перший доданок у правій частині - це пружна сила, що прагне повернути тіло в положення рівноваги ( x= 0). Другий доданок - зовнішній періодичний вплив на тіло. Це доданок і називають силою, що змушує.

Рівнянню, що виражає другий закон Ньютона для тіла на пружині за наявності зовнішнього періодичного впливу, можна надати сувору математичну форму, якщо врахувати зв'язок між прискоренням тіла та його координатою: Тоді запишеться у вигляді

Рівняння (**) не враховує дії сил тертя. На відміну від рівняння вільних коливань(*) (Див. §2.2) рівняння вимушених коливань(**) Містить дві частоти - частоту ω 0 вільних коливань і частоту ω змушує сили.

Вимушені коливання вантажу, що встановилися, на пружині відбуваються на частоті зовнішнього впливу за законом

Амплітуда вимушених коливань x m і початкова фаза θ залежать від співвідношення частот 0 і ω і від амплітуди y m зовнішньої сили.

На дуже низьких частотах, коли<< ω 0 , движение тела массой m, Прикріплений до правого кінця пружини, повторює рух лівого кінця пружини. При цьому x(t) = y(t), і пружина залишається практично недеформованою. Зовнішня сила прикладена до лівого кінця пружини, роботи не здійснює, тому модуль цієї сили при ω<< ω 0 стремится к нулю.

Якщо частота ω зовнішньої сили наближається до власної частоти ω 0 виникає різке зростання амплітуди вимушених коливань. Це явище називається резонансом . Залежність амплітуди x m вимушених коливань від частоти ω змушує сили називається резонансною характеристикоюабо резонансної кривої(Рис. 2.5.2).

При резонансі амплітуда x m коливання вантажу може у багато разів перевершувати амплітуду y m коливань вільного (лівого) кінця пружини, спричиненого зовнішнім впливом. За відсутності тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі має необмежено зростати. У реальних умовах амплітуда вимушених коливань, що встановилися, визначається умовою: робота зовнішньої сили протягом періоду коливань повинна дорівнювати втратам механічної енергії за той же час через тертя. Чим менше тертя (тобто чим вище добротність Qколивальної системи), тим більше амплітуда вимушених коливань при резонансі.

У коливальних систем з не дуже високою добротністю (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явище резонансу може спричинити руйнування мостів, будівель та інших споруд, якщо власні частоти їх коливань збігатимуться з частотою сили, що періодично діє, що виникла, наприклад, через обертання незбалансованого мотора.

Вимушені коливання – це незагасаючіколивання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаних коливань у таких системах - автоколиваннями . В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи - коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).

Джерелом енергії може бути енергія деформація пружини чи потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис. 2.5.3 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.

Прикладом механічної автоколивальної системи може служити годинниковий механізм анкернимходом (рис. 2.5.4). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплено анкер(якірок) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник - балансиром - маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною. Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир.

Джерелом енергії - піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод. Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.

Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.

Малюнок 2.5.4. Часовий механізм із маятником.