Власні значення лінійного оператора онлайн. Власні вектори та власні значення лінійного оператора

Визначення 9.3.Вектор х називається власним векторомматриці Аякщо знайдеться таке число λ, що виконується рівність: А х= λ х, тобто результатом застосування до х лінійного перетворення, що задається матрицею А, є множення цього вектора на число λ . Саме число λ називається власним числомматриці А.

Підставивши у формули (9.3) x` j = λx j ,отримаємо систему рівнянь визначення координат власного вектора:

. (9.5)

Ця лінійна однорідна система матиме нетривіальне рішення лише у разі, якщо її головний визначник дорівнює 0 (правило Крамера). Записавши цю умову у вигляді:

отримаємо рівняння для визначення власних чисел λ зване характеристичним рівнянням. Коротко його можна уявити так:

| A - λE | = 0, (9.6)

оскільки в його лівій частині стоїть визначник матриці А-λЕ. Багаточлен щодо λ | A - λE| називається характеристичним багаточленомматриці А.

Властивості характеристичного багаточлена:

1) Характеристичний многочлен лінійного перетворення залежить від вибору базису. Доведення. (див. (9.4)), але отже, . Таким чином, не залежить від вибору базису. Отже, та | A-λE| не змінюється під час переходу до нового базису.

2) Якщо матриця Алінійного перетворення є симетричної(Тобто. а ij = a ji), то все коріння характеристичного рівняння (9.6) – дійсні числа.

Властивості власних чисел та власних векторів:

1) Якщо вибрати базис із власних векторів х 1, х 2, х 3 , що відповідають власним значенням λ 1 , λ 2 , λ 3матриці А, то цьому базисі лінійне перетворення А має матрицю діагонального виду:

(9.7) Доказ цієї якості випливає з визначення власних векторів.

2) Якщо власні значення перетворення Арізні, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні.

3) Якщо характеристичний багаточлен матриці Амає три різні корені, то в деякому базисі матриця Амає діагональний вигляд.

Знайдемо власні числа та власні вектори матриці Складемо характеристичне рівняння: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Знайдемо координати власних векторів, які відповідають кожному знайденому значенню λ. З (9.5) випливає, що якщо х (1) ={x 1 x 2 x 3) – власний вектор, відповідний λ 1 =-2, то

- Спільна, але невизначена система. Її рішення можна записати у вигляді х (1) ={a,0,-a), де а - будь-яке число. Зокрема, якщо вимагати, щоб | x (1) |=1, х (1) =

Підставивши систему (9.5) λ 2 =3, отримаємо систему визначення координат другого власного вектора - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, звідки х (2) ={b,-b,b) або, за умови | x (2) |=1, x (2) =

Для λ 3 = 6 знайдемо власний вектор x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c,c) або в нормованому варіанті

х (3) = Можна помітити, що х (1) х (2) = ab – ab= 0, x (1) x (3) = ac – ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Таким чином, власні вектори цієї матриці попарно ортогональні.

лекція 10.

Квадратичні форми та їх зв'язок із симетричними матрицями. Властивості власних векторів та власних чисел симетричної матриці. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Визначення 10.1.Квадратичною формоюдійсних змінних х 1, х 2, ..., х nназивається многочлен другого ступеня щодо цих змінних, що не містить вільного члена та членів першого ступеня.

Приклади квадратичних форм:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Нагадаємо дане в минулій лекції визначення симетричної матриці:

Визначення 10.2.Квадратна матриця називається симетричноїякщо , тобто якщо рівні елементи матриці, симетричні щодо головної діагоналі.

Властивості власних чисел та власних векторів симетричної матриці:

1) Усі власні числа симетричної матриці дійсні.

Доказ (для n = 2).

Нехай матриця Амає вигляд: . Складемо характеристичне рівняння:

(10.2) Знайдемо дискримінант:

Отже, рівняння має лише дійсне коріння.

2) Власні вектори симетричної матриці ортогональні.

Доказ (для n= 2).

Координати власних векторів повинні задовольняти рівнянням.

У першій частині викладено положення, мінімально необхідні для розуміння хемометрики, а в другій частині - факти, які необхідно знати для більш глибокого розуміння методів багатовимірного аналізу. Виклад ілюструється прикладами, виконаними в робочій книзі Excel Matrix.xls, що супроводжує цей документ.

Посилання на приклади розміщені в тексті як об'єкти Excel. Ці приклади мають абстрактний характер, вони не прив'язані до завдань аналітичної хімії. Реальні приклади використання матричної алгебри в хемометриці розглянуті в інших текстах, присвячених різноманітним хемометричним додаткам.

Більшість вимірів, які проводяться в аналітичній хімії, є не прямими, а непрямими. Це означає, що в експерименті замість значення шуканого аналіту C (концентрації) виходить інша величина x(Сигнал), пов'язана, але не рівна C, тобто. x(C) ≠ С. Як правило, вид залежності x(C) не відомий, однак, на щастя, в аналітичній хімії більшість вимірів пропорційні. Це означає, що при збільшенні концентрації С aраз, сигнал X збільшиться стільки ж., тобто. x(a C) = a x(C). Крім того, сигнали ще й адитивні, так що сигнал від проби, в якій присутні дві речовини з концентраціями C 1 і C 2 дорівнює сумі сигналів від кожного компонента, тобто. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C 2). Пропорційність та адитивність разом дають лінійність. Можна навести багато прикладів, що ілюструють принцип лінійності, але досить згадати два найяскравіші приклади - хроматографію та спектроскопію. Друга особливість, властива експерименту в аналітичній хімії – це багатоканальність. Сучасне аналітичне обладнання одночасно вимірює сигнали багатьох каналів. Наприклад, вимірюється інтенсивність пропускання світла одночасно кількох довжин хвиль, тобто. Спектр. Тому в експерименті ми маємо справу з безліччю сигналів x 1 , x 2 ,...., x n , що характеризують набір концентрацій C 1 ,C 2 , ..., C m речовин, присутніх в системі, що вивчається.

Мал. 1 Спектри

Отже, аналітичний експеримент характеризується лінійністю та багатовимірністю. Тому зручно розглядати експериментальні дані як вектори та матриці та маніпулювати з ними, використовуючи апарат матричної алгебри. Плідність такого підходу ілюструє приклад, показаний на де представлені три спектри, зняті для 200 довжин хвиль від 4000 до 4796 cm -1 . Перший ( x 1) та другий ( x 2) спектри отримані для стандартних зразків, у яких концентрація двох речовин A і B відомі: у першому зразку [A] = 0.5, [B] = 0.1, а в другому зразку [A] = 0.2, [B] = 0.6. Що можна сказати про новий, невідомий зразок, спектр якого позначений x 3 ?

Розглянемо три експериментальні спектри x 1 , x 2 та x 3 як три вектори розмірності 200. Засобами лінійної алгебри можна легко показати, що x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 тому у третьому зразку очевидно присутні тільки речовини A і B в концентраціях [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 і [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. Базові відомості

1.1 Матриці

Матрицеюназивається прямокутна таблиця чисел, наприклад

Мал. 2 Матриця

Матриці позначаються великими напівжирними літерами ( A), які елементи - відповідними малими літерами з індексами, тобто. a ij. Перший індекс нумерує рядки, а другий – стовпці. У хемометриці прийнято позначати максимальне значення індексу тієї ж літерою, як і сам індекс, але великої. Тому матрицю Aможна також записати як ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,..., J). Для наведеної у прикладі матриці I = 4, J= 3 і a 23 = −7.5.

Пара чисел Iі Jназивається розмірністю матриці та знається як I× J. Прикладом матриці в хемометриці може бути набір спектрів, отриманий для Iзразків на Jдовжини хвиль.

1.2. Найпростіші операції з матрицями

Матриці можна множити на числа. У цьому кожен елемент множиться цього числа. Наприклад -

Мал. 3 Розмноження матриці на число

Дві матриці однакової розмірності можна поелементно складатиі віднімати. Наприклад,

Мал. 4 Додавання матриць

В результаті множення на число та додавання виходить матриця тієї ж розмірності.

Нульовою матрицею називається матриця, що складається з нулів. Вона позначається O. Очевидно, що A+O = A, A−A = Oта 0 A = O.

Матрицю можна транспонувати. У цій операції матриця перевертається, тобто. рядки та стовпці змінюються місцями. Транспонування позначається штрихом, Aабо індексом A t. Таким чином, якщо A = {a ij , i = 1,..., I; j = 1,...,J), то A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., I). Наприклад

Мал. 5 Транспонування матриці

Очевидно, що ( A t) t = A, (A+B) t = A t + B t.

1.3. Розмноження матриць

Матриці можна перемножуватиале тільки в тому випадку, коли вони мають відповідні розмірності. Чому це так, буде ясно з визначення. Добутком матриці A, розмірністю I× K, та матриці B, розмірністю K× J, називається матриця C, розмірністю I× J, елементами якої є числа

Таким чином для твору ABнеобхідно, щоб число стовпців у лівій матриці Aдорівнювало числу рядків у правій матриці B. Приклад твору матриць -

Рис.6 Добуток матриць

Правило перемноження матриць можна сформулювати так. Для того, щоб знайти елемент матриці C, що стоїть на перетині i-ого рядка та j-ого стовпця ( c ij) треба поелементно перемножити i-ий рядок першої матриці Aна j-ий стовпець другої матриці Bта скласти всі результати. Так у наведеному прикладі, елемент з третього рядка і другого стовпця, виходить як сума поелементних творів третього рядка Aта другого стовпця B

Рис.7 Елемент твору матриць

Добуток матриць залежить від порядку, тобто. AB ≠ BA, хоча б з міркувань розмірності. Говорять, що воно некомутативно. Однак добуток матриць асоціативний. Це означає, що ABC = (AB)C = A(BC). З іншого боку, воно ще й дистрибутивно, тобто. A(B+C) = AB+AC. Очевидно, що AO = O.

1.4. Квадратні матриці

Якщо число стовпців матриці дорівнює числу її рядків ( I = J = N), то така матриця називається квадратною. У цьому розділі ми розглядатимемо лише такі матриці. Серед цих матриць можна виділити матриці, що мають особливі властивості.

Одиничноюматрицею (позначається I,а інколи E) називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю, за винятком діагональних, які дорівнюють 1, тобто.

Очевидно AI = IA = A.

Матриця називається діагональної, якщо всі її елементи, крім діагональних ( a ii) Дорівнюють нулю. Наприклад

Мал. 8 Діагональна матриця

Матриця Aназивається верхньою трикутної, Якщо всі її елементи, що лежать нижче діагоналі, дорівнюють нулю, тобто. a ij= 0, при i>j. Наприклад

Мал. 9 Верхня трикутна матриця

Аналогічно визначається нижня трикутна матриця.

Матриця Aназивається симетричною, якщо A t = A. Іншими словами a ij = a ji. Наприклад

Мал. 10 Симетрична матриця

Матриця Aназивається ортогональні, якщо

A t A = AA t = I.

Матриця називається нормальноюякщо

1.5. Слід та визначник

Слідомквадратної матриці A(позначається Tr( A) або Sp( A)) називається сума її діагональних елементів,

Наприклад,

Мал. 11 Слід матриці

Очевидно, що

Sp(α) A) = Sp( A) та

Sp( A+B) = Sp ( A)+ Sp( B).

Можна показати, що

Sp( A) = Sp ( A t), Sp( I) = N,

а також, що

Sp( AB) = Sp ( BA).

Іншою важливою характеристикою квадратної матриці є її визначник(позначається det ( A)). Визначення визначника в загальному випадку досить складне, тому ми почнемо з найпростішого варіанта – матриці Aрозмірністю (2×2). Тоді

Для матриці (3×3) визначник дорівнюватиме

У разі матриці ( N× N) визначник обчислюється як сума 1 · 2 · 3 · ... · N= N! доданків, кожен з яких дорівнює

Індекси k 1 , k 2 ,..., k Nвизначаються як всілякі впорядковані перестановки rчисел у наборі (1, 2, ... , N). Обчислення визначника матриці – це складна процедура, яку практично здійснюється за допомогою спеціальних програм. Наприклад,

Мал. 12 Визначник матриці

Відзначимо лише очевидні властивості:

det( I) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. Вектори

Якщо матриця складається лише з одного стовпця ( J= 1), то такий об'єкт називається вектором. Точніше, вектором-стовпцем. Наприклад

Можна розглядати і матриці, що складаються з одного рядка, наприклад

Цей об'єкт також є вектором, але вектор-рядок. При аналізі даних важливо розуміти, з якими векторами ми маємо справу – зі стовпцями чи рядками. Так спектр, знятий одного зразка можна як вектор-рядок. Тоді набір спектральних інтенсивностей на якійсь довжині хвилі для всіх зразків слід трактувати як вектор-стовпець.

Розмірністю вектора називається кількість його елементів.

Зрозуміло, кожен вектор-стовпець можна перетворити на вектор-рядок транспонуванням, тобто.

У тих випадках, коли форма вектора спеціально не обговорюється, а просто говориться вектор, то мають на увазі вектор-стовпець. Ми також дотримуватимемося цього правила. Вектор позначається малою прямою напівжирною літерою. Нульовим вектором називається вектор, всі елементи якого рани нулю. Він позначається 0 .

1.7. Найпростіші операції з векторами

Вектори можна складати і множити числа так само, як це робиться з матрицями. Наприклад,

Мал. 13 Операції з векторами

Два вектори xі yназиваються колінеарнимиякщо існує таке число α, що

1.8. Твори векторів

Два вектори однакової розмірності Nможна перемножити. Нехай є два вектори x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t і y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t. Керуючись правилом перемноження "рядок на стовпець", ми можемо скласти з них два твори: x t yі xy t. Перший твір

називається скалярнимабо внутрішнім. Його результат – це число. Для нього також використовується позначення ( x,y)= x t y. Наприклад,

Мал. 14 Внутрішній (скалярний) твір

Другий твір

називається зовнішнім. Його результат – це матриця розмірності ( N× N). Наприклад,

Мал. 15 Зовнішній твір

Вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються ортогональними.

1.9. Норма вектора

Скалярне твір вектора себе називається скалярним квадратом. Ця величина

визначає квадрат довжинивектора x. Для позначення довжини (названої також нормоювектора) використовується позначення

Наприклад,

Мал. 16 Норма вектора

Вектор одиничної довжини (|| x|| = 1) називається нормованим. Ненульовий вектор ( x ≠ 0 ) можна нормувати, розділивши їх у довжину, тобто. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Тут e = x/||x|| - Нормований вектор.

Вектори називаються ортонормованими, якщо всі вони нормовані та попарно ортогональні.

1.10. Кут між векторами

Скалярний твір визначає і кутφ між двома векторами xі y

Якщо вектори ортогональні, то cosφ = 0 і φ = π/2, а якщо вони колінеарні, то cosφ = 1 та φ = 0.

1.11. Векторне подання матриці

кожну матрицю Aрозміру I× Jможна подати як набір векторів

Тут кожен вектор a jє j-им стовпцем, а вектор-рядок b iє i-им рядком матриці A

1.12. Лінійно залежні вектори

Вектори однакової розмірності ( N) можна складати та множити на число, також як матриці. В результаті вийде вектор тієї ж розмірності. Нехай є кілька векторів однієї розмірності x 1 , x 2 ,...,x K і стільки ж чисел α 1 , 2 ,...,α K. Вектор

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α K x K

називається лінійною комбінацієювекторів x k .

Якщо є такі ненульові числа α k ≠ 0, k = 1,..., K, що y = 0 , то такий набір векторів x kназивається лінійно залежним. Інакше вектори називаються лінійно незалежними. Наприклад, вектори x 1 = (2, 2) t і x 2 = (−1, −1) t лінійно залежні, т.к. x 1 +2x 2 = 0

1.13. Ранг матриці

Розглянемо набір з Kвекторів x 1 , x 2 ,...,x Kрозмірності N. Ранг цієї системи векторів називається максимальне число лінійно-незалежних векторів. Наприклад у наборі

є тільки два лінійно незалежні вектори, наприклад x 1 та x 2 тому її ранг дорівнює 2.

Очевидно, що якщо векторів у наборі більше, ніж їх розмірність ( K>N), то вони обов'язково лінійно залежні.

Рангом матриці(позначається rank ( A)) називається ранг системи векторів, з яких вона складається. Хоча будь-яку матрицю можна уявити двома способами (вектори стовпці чи рядки), це впливає величину рангу, т.к.

1.14. зворотна матриця

Квадратна матриця Aназивається невиродженою, якщо вона має єдину зворотнуматрицю A-1 , що визначається умовами

AA −1 = A −1 A = I.

Зворотна матриця існує для всіх матриць. Необхідною та достатньою умовою невиродженості є

det( A) ≠ 0 або rank( A) = N.

Звернення матриці – це складна процедура, для виконання якої існують спеціальні програми. Наприклад,

Мал. 17 Звернення матриці

Наведемо формули для найпростішого випадку - матриці 2×2

Якщо матриці Aі Bневироджені, то

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Псевдозворотна матриця

Якщо матриця Aвироджена та зворотна матриця не існує, то в деяких випадках можна використовувати псевдозворотнуматрицю, яка визначається як така матриця A+ , що

AA + A = A.

Псевдобрітельна матриця - не єдина і її вид залежить від способу побудови. Наприклад, для прямокутної матриці можна використовувати метод Мура-Пенроуза .

Якщо число стовпців менше числа рядків, то

A + =(A t A) −1 A t

Наприклад,

Мал. 17a Псевдообіг матриці

Якщо ж число стовпців більше числа рядків, то

A + =A t ( AA t) −1

1.16. Розмноження вектора на матрицю

Вектор xможна множити на матрицю Aвідповідної розмірності. При цьому вектор-стовпець множиться праворуч Ax, а вектор рядок - ліворуч x t A. Якщо розмірність вектора J, а розмірність матриці I× Jто в результаті вийде вектор розмірності I. Наприклад,

Мал. 18 Розмноження вектора на матрицю

Якщо матриця A- Квадратна ( I× I), то вектор y = Axмає ту ж розмірність, що і x. Очевидно, що

A(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .

Тому матриці можна як лінійні перетворення векторів. Зокрема Іх = x, Ox = 0 .

2. Додаткова інформація

2.1. Системи лінійних рівнянь

Нехай A- матриця розміром I× J, а b- Вектор розмірності J. Розглянемо рівняння

Ax = b

щодо вектора x, розмірності I. По суті - це система з Iлінійних рівнянь з Jневідомими x 1 ,...,x J. Рішення існує в тому, і тільки в тому випадку, коли

rank( A) = Rank ( B) = R,

де B- це розширена матриця розмірності I×( J+1), що складається з матриці A, доповненою стовпцем b, B = (A b). Інакше рівняння несумісні.

Якщо R = I = J, то рішення єдине

x = A −1 b.

Якщо R < I, то існує безліч різних рішень, які можна виразити через лінійну комбінацію J−Rвекторів. Система однорідних рівнянь Ax = 0 з квадратною матрицею A (N× N) має нетривіальне рішення ( x ≠ 0 ) і тоді, коли det( A) = 0. Якщо R= Rank ( A)<N, то існують N−Rлінійно-незалежних рішень.

2.2. Білінійні та квадратичні форми

Якщо A- це квадратна матриця, а xі y- Вектор відповідної розмірності, то скалярний добуток виду x t Ayназивається білінійноїформою, яка визначається матрицею A. При x = yвираз x t Axназивається квадратичноїформою.

2.3. Позитивно визначені матриці

Квадратна матриця Aназивається позитивно визначеноюякщо для будь-якого ненульового вектора x ≠ 0 ,

x t Ax > 0.

Аналогічно визначаються негативно (x t Ax < 0), невід'ємно (x t Ax≥ 0) та позитивно (x t Ax≤ 0) певні матриці.

2.4. Розкладання Холецького

Якщо симетрична матриця Aпозитивно визначена, існує єдина трикутна матриця Uз позитивними елементами, для якої

A = U t U.

Наприклад,

Мал. 19 Розкладання Холецького

2.5. Полярне розкладання

Нехай A- це невироджена квадратна матриця розмірності N× N. Тоді існує однозначне полярнеподання

A = SR,

де S- це невід'ємна симетрична матриця, а R- це ортогональна матриця. Матриці Sі Rможуть бути визначені явно:

S 2 = AA t або S = (AA t) ½ і R = S −1 A = (AA t) −½ A.

Наприклад,

Мал. 20 Полярне розкладання

Якщо матриця Aвироджена, то розкладання не єдине - а саме: Sяк і раніше одна, а ось Rможе бути багато. Полярне розкладання представляє матрицю Aяк комбінацію стиснення/розтягування Sта повороту R.

2.6. Власні вектори та власні значення

Нехай A- Це квадратна матриця. Вектор vназивається власним векторомматриці A, якщо

Av = λ v,

де число λ називається власним значеннямматриці A. Таким чином, перетворення, яке виконує матриця Aнад вектором v, зводиться до простого розтягування або стиснення коефіцієнтом λ. Власний вектор визначається з точністю до множення константу α ≠ 0, тобто. якщо v- Власний вектор, то і α v- Власний вектор.

2.7. Власні значення

У матриці A, Розмірністю ( N× N) не може бути більше ніж Nвласних значень. Вони задовольняють характеристичного рівняння

det( A − λ I) = 0,

алгебраїчним рівнянням, що є N-го порядку. Зокрема, для матриці 2×2 характеристичне рівняння має вигляд

Наприклад,

Мал. 21 Власні значення

Набір власних значень λ 1 ,..., λ Nматриці Aназивається спектром A.

Спектр має різноманітні властивості. Зокрема

det( A) = λ 1 ×...×λ N, Sp ( A) = λ 1 +...+λ N.

Власні значення довільної матриці можуть бути комплексними числами, але якщо матриця симетрична ( A t = A), то її власні значення речові.

2.8. Власні вектори

У матриці A, Розмірністю ( N× N) не може бути більше ніж Nвласних векторів, кожен із яких відповідає своєму власному значенню. Для визначення власного вектора v nпотрібно вирішити систему однорідних рівнянь

(A − λ n I)v n = 0 .

Вона має нетривіальне рішення, оскільки det( A −λ n I) = 0.

Наприклад,

Мал. 22 Власні вектори

Власні вектори симетричної матриці ортогональні.

Найбільш просто влаштовані матриці діагонального вигляду. Виникає питання, чи не можна знайти базис, у якому матриця лінійного оператора мала б діагональний вигляд. Такий базис існує.
Нехай дано лінійний простір R n і лінійний оператор A, що діє в ньому; у цьому випадку оператор A переводить R n у себе, тобто A: R n → R n .

Визначення. Ненульовий вектор називається власним вектором оператора A якщо оператор A переводить в колінеарний йому вектор, тобто . Число λ називається власним значенням або власним числом оператора A, що відповідає власному вектору.
Зазначимо деякі властивості власних чисел та власних векторів.
1. Будь-яка лінійна комбінація власних векторів оператора A, відповідальних одному й тому власному числу λ, є власним вектором з тим самим власним числом.
2. Власні вектори оператора A з попарно різними власними числами λ 1 , λ 2 , …, λ m лінійно незалежні.
3. Якщо власні числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то власному числу λ відповідає не більше m лінійно незалежних власних векторів.

Отже, якщо є n лінійно незалежних власних векторів , відповідних різним власним числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , всі вони лінійно незалежні, отже, їх можна вважати базис простору R n . Знайдемо вид матриці лінійного оператора A у базисі з його власних векторів, для чого подіємо оператором A на базисні вектори: тоді .
Таким чином, матриця лінійного оператора A в базисі його власних векторів має діагональний вигляд, причому по діагоналі стоять власні числа оператора A.
Чи існує інший базис, у якому матриця має діагональний вигляд? Відповідь на поставлене запитання дає така теорема.

Теорема. Матриця лінійного оператора A у базисі (i = 1..n) має діагональний вигляд тоді і лише тоді, коли всі вектори базису - власні вектори оператора A.

Правило відшукання власних чисел та власних векторів

. (*)

(1)
де - матриця лінійного оператора.

Система (1) має ненульове рішення, якщо її визначник D дорівнює нулю

приклад 12. Лінійний оператор A діє в R 3 згідно із законом , де x 1 , x 2 , .., x n - координати вектора в базисі , , . Знайти власні числа та власні вектори цього оператора.
Рішення. Будуємо матрицю цього оператора:
.
Складаємо систему визначення координат власних векторів:

Складаємо характеристичне рівняння та вирішуємо його:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Підставляючи λ = -1 у систему, маємо:
або
Так як , то залежних змінних два, а вільне одне.
Нехай x 1 - вільне невідоме, тоді Вирішуємо цю систему будь-яким способом і знаходимо загальне рішення цієї системи: Фундаментальна система рішень складається з одного рішення, оскільки n – r = 3 – 2 = 1.
Безліч власних векторів, що відповідають своєму числу λ = -1, має вигляд: , де x 1 - будь-яке число, відмінне від нуля. Виберемо з цієї множини один вектор, наприклад, поклавши x 1 = 1: .
Розмірковуючи аналогічно, знаходимо власний вектор, що відповідає власному числу = 3: .
У просторі R 3 базис складається з трьох лінійно незалежних векторів, ми отримали тільки два лінійно незалежних власних вектора, з яких базис в R 3 скласти не можна. Отже, матрицю A лінійного оператора призвести до діагонального вигляду не можемо.

приклад 13. Дано матрицю .
1. Довести, що вектор є власним вектором матриці A. Знайти власне число, що відповідає цьому власному вектору.
2. Знайти базис, у якому матриця A має діагональний вигляд.
Рішення.
1. Якщо , то - власний вектор

.
Вектор (1, 8, -1) – власний вектор. Власне число = -1.
Діагональний вигляд матриця має в базисі, що складається зі своїх векторів. Один із них відомий. Знайдемо решту.
Власні вектори шукаємо із системи:

Характеристичне рівняння: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Знайдемо власний вектор, що відповідає власному числу = -3:

Ранг матриці цієї системи дорівнює двом і дорівнює числу невідомих, тому ця система має тільки нульове рішення x 1 = x 3 = 0. x 2 тут може бути будь-яким, відмінним від нуля, наприклад, x 2 = 1. Таким чином, вектор (0 ,1,0) є власним вектором, що відповідає λ = -3. Перевіримо:
.
Якщо λ = 1, то одержуємо систему
Ранг матриці дорівнює двом. Останнє рівняння викреслюємо.
Нехай x 3 – вільне невідоме. Тоді x 1 = -3 x 3, 4 x 2 = 10 x 1 - 6 x 3 = -30 x 3 - 6 x 3, x 2 = -9 x 3.
Вважаючи x 3 = 1, маємо (-3,-9,1) - власний вектор, що відповідає власному числу λ = 1. Перевірка:

.
Так як власні числа дійсні і різні, то вектори, що їм відповідають, лінійно незалежні, тому їх можна прийняти за базис R 3 . Таким чином, у базисі , , матриця A має вигляд:
.
Не будь-яку матрицю лінійного оператора A:R n → R n можна призвести до діагонального вигляду, оскільки для деяких лінійних операторів лінійно незалежних власних векторів може бути менше n. Однак, якщо матриця симетрична, кореню характеристичного рівняння кратності m відповідає рівно m лінійно незалежних векторів.

Визначення. Симетричною матрицею називається квадратна матриця, у якій елементи, симетричні щодо головної діагоналі, рівні, тобто у якій .
Зауваження. 1. Усі власні числа симетричної матриці речові.
2. Власні вектори симетричної матриці, що відповідають попарно різним власним числам, ортогональні.
Як один з численних додатків вивченого апарату, розглянемо завдання визначення виду кривої другого порядку.

www.сайтдозволяє знайти. Сайт здійснює обчислення. За кілька секунд сервер видасть правильне рішення. Характеристичним рівнянням для матрицібуде алгебраїчне вираз, знайдений за правилом обчислення визначника матриці матриці, при цьому по головній діагоналі стоятимуть різниці значень діагональних елементів та змінної. При обчисленні характеристичного рівняння для матриці онлайн, кожен елемент матрицібуде перемножуватись з відповідними іншими елементами матриці. Знайти у режимі онлайнможна тільки для квадратної матриці. Операція знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайнзводиться до обчислення алгебраїчної суми добутку елементів матриціяк результат від знаходження визначника матриці, тільки з метою визначення характеристичного рівняння для матриці онлайн. Ця операція займає особливе місце в теорії матриць, дозволяє знайти власні числа та вектори, використовуючи коріння . Завдання щодо знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайнполягає у перемноженні елементів матриціз наступним підсумовуванням цих творів за певним правилом. www.сайтзнаходить характеристичне рівняння для матрицізаданої розмірності в режимі онлайн. Обчислення характеристичного рівняння для матриці онлайнпри заданій її розмірності - це знаходження багаточлена з числовими чи символьними коефіцієнтами, знайденого за правилом обчислення визначника матриці- як сума творів відповідних елементів матриці, тільки з метою визначення характеристичного рівняння для матриці онлайн. Знаходження полінома щодо змінної для квадратної матриці, як визначення характеристичного рівняння для матриці, поширене в теорії матриць. Значення коренів багаточлена характеристичного рівняння для матриці онлайнвикористовується для визначення власних векторів та власних чисел для матриці. При цьому, якщо визначник матрицідорівнюватиме нулю, то характеристичне рівняння матрицівсе одно буде існувати, на відміну від зворотної матриці. Для того, щоб обчислити характеристичне рівняння для матриціабо знайти відразу для кількох матриць характеристичні рівняння, необхідно витратити чимало часу та зусиль, тоді як наш сервер за лічені секунди знайде характеристичне рівняння для матриці онлайн. При цьому відповідь щодо знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайнбуде правильним і з достатньою точністю, навіть якщо числа при знаходженні характеристичного рівняння для матриці онлайнбудуть ірраціональними. На сайті www.сайтдопускаються символьні записи в елементах матриць, тобто характеристичне рівняння для матриці онлайнможе бути представлено у загальному символьному вигляді при обчисленні характеристичного рівняння матриці онлайн. Корисно перевірити відповідь, отриману при вирішенні задачі знаходження характеристичного рівняння для матриці онлайн, використовуючи сайт www.сайт. При здійсненні операції обчислення полінома - характеристичного рівняння матриці, необхідно бути уважним і гранично зосередженим під час вирішення цього завдання. У свою чергу, наш сайт допоможе Вам перевірити своє рішення на тему характеристичне рівняння матриці онлайн. Якщо Ви не маєте часу на довгі перевірки вирішених завдань, то www.сайтбезумовно буде зручним інструментом для перевірки при знаходженні та обчисленні характеристичного рівняння для матриці онлайн.

Власний вектор квадратної матриці - це вектор, який при множенні на задану матрицю дає в результаті колінеарний вектор. Простими словами, при множенні матриці на власний вектор останній залишається тим самим, але помноженим на деяке число.

Визначення

Власний вектор - це ненульовий вектор V, який при множенні на квадратну матрицю Mперетворюється на себе, збільшеного на деяке число λ. В записі алгебри це виглядає як:

M × V = ? × V,

де - власне число матриці M.

Розглянемо числовий приклад. Для зручності запису числа в матриці відокремлюватиме крапкою з комою. Нехай у нас є матриця:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Помножимо її на вектор-стовпець:

• V = -2;

При множенні матриці на вектор-стовпець ми отримуємо також вектор-стовпець. Суворою математичною мовою формула множення матриці 2 × 2 на вектор-стовпець буде виглядати так:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

М11 означає елемент матриці M, що стоїть у першому рядку та першому стовпці, а M22 - елемент, розташовані у другому рядку та другому стовпці. Для нашої матриці ці елементи дорівнюють M11 = 0, М12 = 4, М21 = 6, М22 10. Для вектора-стовпця ці значення дорівнюють V11 = –2, V21 = 1. Відповідно до цієї формули ми отримаємо наступний результат добутку квадратної матриці на вектор:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6×(-2) + 10×(1)=-2.

Для зручності запишемо вектор стовпець у рядок. Отже, ми помножили квадратну матрицю на вектор (-2; 1), у результаті отримали вектор (4; -2). Очевидно, що це той самий вектор, помножений на = -2. Лямбда у разі позначає власне число матриці.

Власний вектор матриці - колінеарний вектор, тобто об'єкт, який не змінює свого положення в просторі при множенні його на матрицю. Поняття колінеарності у векторній алгебрі подібне до терміну паралельності в геометрії. У геометричній інтерпретації колінеарні вектори - це паралельні спрямовані відрізки різної довжини. Ще з часів Евкліда ми знаємо, що в одній прямій існує нескінченна кількість паралельних їй прямих, тому логічно припустити, що кожна матриця має нескінченну кількість власних векторів.

З попереднього прикладу видно, що власними векторами може бути і (-8; 4), і (16; -8), і (32, -16). Все це колінеарні вектори, що відповідають власному числу = -2. При множенні вихідної матриці на ці вектори ми так само буде отримувати в результаті вектор, який відрізняється від вихідного в 2 рази. Саме тому під час вирішення завдань на пошук власного вектора потрібно знайти лише лінійно незалежні векторні об'єкти. Найчастіше для матриці розміром n × n існує n кількість власних векторів. Наш калькулятор заточений під аналіз квадратних матриць другого порядку, тому практично завжди в результаті буде знайдено два власні вектори, за винятком випадків, коли вони збігаються.

У прикладі вище ми наперед знали свій вектор вихідної матриці і наочно визначили число лямбда. Однак на практиці все відбувається навпаки: спочатку знаходиться власні числа і тільки потім власні вектори.

Алгоритм рішення

Давайте знову розглянемо вихідну матрицю M і спробуємо знайти обидва її власні вектори. Отже, матриця виглядає як:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Для початку нам необхідно визначити власне число, для чого потрібно обчислити детермінант наступної матриці:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Дана матриця отримана шляхом віднімання невідомої з елементів на головній діагоналі. Детермінант визначається за стандартною формулою:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Так як наш вектор має бути не нульовим, отримане рівняння приймаємо як лінійно залежне та прирівнюємо наш детермінант detA до нуля.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Розкриємо дужки та отримаємо характеристичне рівняння матриці:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Це стандартне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити через дискримінант.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Корінь із дискримінанта дорівнює sqrt(D) = 14, отже, λ1 = -2, λ2 = 12. Тепер для кожного значення лямбда потрібно знайти власний вектор. Виразимо коефіцієнти системи для = -2.

• М − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

У цій формулі E - це поодинока матриця. На підставі отриманої матриці складемо систему лінійних рівнянь:

2x + 4y = 6x + 12y,

де x та y - елементи власного вектора.

Зберемо всі ікси зліва, а всі ігреки праворуч. Вочевидь, що - 4x = 8y. Розділимо вираз на - 4 і отримаємо x = -2y. Тепер ми можемо визначити перший власний вектор матриці, прийнявши будь-які значення невідомих (згадуємо нескінченність лінійно залежних власних векторів). Приймемо y = 1, тоді x = -2. Отже, перший власний вектор має вигляд V1 = (–2; 1). Поверніться до початку статті. Саме цей векторний об'єкт ми множили матрицю для демонстрації поняття власного вектора.

Тепер знайдемо власний вектор для λ = 12.

• М - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Складемо таку саму систему лінійних рівнянь;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Тепер приймемо x = 1, отже, y = 3. Таким чином, другий власний вектор виглядає як V2 = (1; 3). При множенні вихідної матриці на даний вектор, у результаті завжди буде такий самий вектор, помножений на 12. На цьому алгоритм рішення закінчується. Тепер ви знаєте як вручну визначити власний вектор матриці.

• визначник;
• слід, тобто суму елементів головної діагоналі;
• ранг, тобто максимальна кількість лінійно незалежних рядків/стовпців.

Програма діє за наведеним вище алгоритмом, максимально скорочуючи процес рішення. Важливо зазначити, що у програмі лямбда позначена літерою "c". Давайте розглянемо чисельний приклад.

Приклад роботи програми

Спробуємо визначити власні вектори для наступної матриці:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Введемо ці значення в комірки калькулятора і отримаємо відповідь у такому вигляді:

• Ранг матриці: 2;
• Детермінант матриці: 18;
• Слід матриці: 19;
• Розрахунок власного вектора: c 2 - 19,00 c + 18,00 (характеристичне рівняння);
• Розрахунок власного вектора: 18 (перше значення лямбда);
• Розрахунок власного вектора: 1 (друге значення лямбда);
• Система рівнянь вектора 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• Система рівнянь вектора 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Власний вектор 1: (1; 1);
• Власний вектор 2: (-3,25; 1).

Таким чином, ми отримали два лінійно незалежні власні вектори.

Висновок

Лінійна алгебра та аналітична геометрія – стандартні предмети для будь-якого першокурсника технічної спеціальності. Велика кількість векторів і матриць жахає, а в таких громіздких обчисленнях легко зробити помилку. Наша програма дозволить студентам перевірити свої викладки або автоматично розв'яже завдання на пошук власного вектора. У нашому каталозі є інші калькулятори з лінійної алгебри, використовуйте їх у своєму навчанні або роботі.