Скоротити дріб приклади рішення. Додавання змішаних дробів

Минулого разу ми склали план, за яким можна навчитися швидко скорочувати дроби. Наразі розглянемо конкретні приклади скорочення дробів.

Приклади.

Перевіряємо, а чи не ділиться більше на менше (числитель на знаменник або знаменник на чисельник)? Так, у всіх трьох цих прикладах більше ділиться на менше. Таким чином, кожний дріб скорочуємо на менший з чисел (на чисельник або на знаменник). Маємо:

Перевіряємо, чи не ділиться більше на менше? Ні, не ділиться.

Тоді переходимо до перевірки наступного пункту: а чи не закінчується запис і чисельника, і знаменника одним, двома чи кількома нулями? У першому прикладі запис чисельника та знаменника закінчується нулем, у другому – двома нулями, у третьому – трьома нулями. Отже, перший дріб скорочуємо на 10, другий — на 100, третій — на 1000:

Отримали нескоротні дроби.

Більше на менше не ділиться, запис чисел нулями не закінчується.

Тепер перевіряємо, а чи не стоять чисельник та знаменник в одному стовпці в таблиці множення? 36 і 81 обидва діляться на 9, 28 і 63 - на 7, а 32 і 40 - на 8 (вони діляться ще й на 4, але якщо є можливість вибору, завжди скорочуватимемо на більше). Таким чином, приходимо до відповідей:

Усі отримані числа є нескоротними дробами.

Більше на менше не ділиться. А ось запис і чисельника, і знаменника закінчується банкрутом. Отже, скорочуємо дріб на 10:

Цей дріб ще можна скоротити. Перевіряємо за таблицею множення: і 48, і 72 поділяються на 8. Зменшуємо дріб на 8:

Отриманий дріб ще можемо скоротити на 3:

Цей дріб — нескоротний.

Більше чисел на менше не ділиться. Запис чисельника та знаменника закінчується на нуль.Отже, скорочуємо дріб на 10.

Отримані в чисельнику та знаменнику числа перевіряємо на і . Так як сума цифр і 27, і 531 діляться на 3 і на 9, то цей дріб можна скоротити як на 3, так і на 9. Вибираємо більше і скорочуємо на 9. Отриманий результат - нескоротний дріб.

Без знання того, як скоротити дріб, і наявність стійкої навички у вирішенні подібних прикладів дуже непросто вивчати алгебру в школі. Чим далі, тим більше базові знання про скорочення звичайних дробів накладається нової інформації. Спочатку з'являються ступеня, потім множники, які пізніше стають багаточленами.

Як тут не заплутатися? Грунтовно закріплювати вміння в попередніх темах і поступово готуватися до знань про те, як скоротити дріб, що ускладнюється з року в рік.

Базові знання

Без них не вдасться впоратися із завданнями будь-якого рівня. Щоб зрозуміти, потрібно усвідомити два прості моменти. Перший: скорочувати можна лише множники. Цей нюанс виявляється дуже важливим при появі багаточленів у чисельнику чи знаменнику. Тоді потрібно чітко розрізняти, де знаходиться множник, а де стоїть доданок.

Другий момент говорить про те, що будь-яке число можна подати у вигляді множників. Причому результатом скорочення є такий дріб, чисельник та знаменник яких вже неможливо скоротити.

Правила скорочення звичайних дробів

Спочатку варто перевірити, чи ділиться чисельник на знаменник чи навпаки. Тоді саме на цю кількість потрібно провести скорочення. Це найпростіший варіант.

Другим є аналіз зовнішнього вигляду чисел. Якщо обидва закінчуються на один або кілька нулів, їх можна скоротити на 10, 100 або тисячу. Тут можна помітити, чи є числа парними. Якщо так, то можна сміливо скорочувати на два.

Третім правилом того, як скоротити дріб, стає розкладання на прості множники чисельника та знаменника. У цей час потрібно активно використовувати всі знання про ознаки поділення чисел. Після такого розкладання залишається тільки знайти всі повторювані, перемножити їх і зробити скорочення на число, що вийшло.

Як бути, якщо в дробі стоїть вираз алгебри?

Тут виникають перші труднощі. Тому що саме тут з'являються доданки, які можуть бути ідентичним множникам. Їх дуже хочеться скоротити, а не можна. Перш ніж скоротити алгебраїчну дріб, її потрібно перетворити так, щоб вона мала множники.

Для цього потрібно виконати кілька дій. Можливо, потрібно пройти їх усі, а може, вже перше дасть відповідний варіант.

Перевірити, чи не відрізняються чисельник і знаменник чи якесь вираз у них на знак. У цьому випадку потрібно просто винести за дужки мінус одиницю. Так виходять однакові множники, які можна скоротити.

Подивитися, чи можна винести із багаточлена за дужки загальний множник. Можливо, так вийде дужка, яку можна скоротити, або це буде винесений одночлен.

Спробувати провести угруповання одночленів для того, щоб потім у них винести спільний множник. Після цього може виявитися, що з'являться множники, які можна скоротити або знову повторити винесення за дужки загальних елементів.

Спробувати розглянути у записі формули скороченого множення. З їх допомогою легко вдасться перетворити багаточлен на множники.

Послідовність дій з дробами зі ступенями

Для того, щоб без проблем розібратися в питанні про те, як скоротити дріб зі ступенями, необхідно твердо запам'ятати основні дії з ними. Перше пов'язані з множенням ступенів. У разі, якщо підстави однакові, показники необхідно скласти.

Друге – розподіл. Знову ж таки, у тих, які мають однакові підстави, показники потрібно відняти. Причому віднімати потрібно з того числа, яке стоїть у поділеному, а не навпаки.

Третє - зведення до ступеня ступеня. У цій ситуації показники множаться.

Для успішного скорочення знадобиться також уміння призводити ступеня до однакових підстав. Тобто бачити, що чотири – це два у квадраті. Або 27 - куб трьох. Тому що скоротити 9 у квадраті та 3 у кубі складно. Але якщо перетворити перший вираз як (3 2) 2 то скорочення пройде успішно.

Щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, спочатку розглянемо приклад.

Скоротити дріб - значить, розділити чисельник і знаменник на те саме. І 360, і 420 закінчуються на цифру, тому можемо скоротити цей дріб на 2. У новому дробі і 180, і 210 теж діляться на 2, скорочуємо і цей дріб на 2. У числах 90 і 105 сума цифр ділиться на 3, тому обидва ці числа діляться на 3, скорочуємо дріб на 3. У новому дробі 30 і 35 закінчуються на 0 і 5, значить, обидва числа діляться на 5, тому скорочуємо дріб на 5. Дріб, що вийшов, шість сьомих — нескоротний. Це остаточна відповідь.

До цієї ж відповіді можемо дійти іншим шляхом.

І 360, і 420 закінчуються нулем, отже, вони діляться на 10. Скорочуємо дріб на 10. У новому дробі і чисельник 36, і знаменник 42 діляться на 2. Скорочуємо дріб на 2. У наступному дробі і чисельник 18 і знаменник на 3, отже, скорочуємо дріб на 3. Прийшли до результату – шість сьомих.

І ще один варіант вирішення.

Наступного разу розглянемо приклади скорочення дробів.

Дроби

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Дроби у старших класах не сильно докучають. До пори до часу. Поки не зіткнетеся зі ступенями з оптимальними показниками і логарифмами. А ось там. Дусиш, давиш калькулятор, а він все повне табло якихось циферок каже. Доводиться головою думати, як у третьому класі.

Давайте вже розберемося з дробами, нарешті! Ну скільки можна в них плутатися! Тим більше це все просто і логічно. Отже, які бувають дроби?

Види дробів. Перетворення.

Дроби бувають трьох видів.

1. Звичайні дроби , наприклад:

Іноді замість горизонтальної рисочки ставлять похилу межу: 1/2, 3/4, 19/5, ну, і так далі. Тут ми часто будемо таким написанням користуватися. Верхнє число називається чисельником, нижнє - знаменником.Якщо ви постійно плутаєте ці назви (буває ...), скажіть собі фразу: " Зззззпригадай! Зззззнамінник - вниз зззззу!" Дивишся, все і ззапам'ятається.)

Чортка, що горизонтальна, що похила означає поділверхнього числа (числитель) на нижнє (знаменник). І все! Замість рисочки цілком можна поставити знак розподілу – дві точки.

Коли поділ можливо націло, це треба робити. Так, замість дробу "32/8" набагато приємніше написати число "4". Тобто. 32 просто поділити на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я вже й не говорю про дріб "4/1". Яка також просто "4". А якщо вже не ділиться націло, так і залишаємо у вигляді дробу. Іноді доводиться зворотну операцію робити. Робити із цілого числа дріб. Але про це далі.

2. Десяткові дроби , наприклад:

Саме у такому вигляді потрібно буде записувати відповіді на завдання "В".

3. Змішані числа , наприклад:

Змішані числа практично не використовуються у старших класах. Для того, щоб з ними працювати, їх треба переводити у звичайні дроби. Але це точно треба вміти робити! А то трапиться таке число в завданню і зависніть ... На порожньому місці. Але ми згадаємо цю процедуру! Трохи нижче.

Найбільш універсальні звичайні дроби. З них і почнемо. До речі, якщо в дробі стоять всякі логарифми, синуси та інші літери, це нічого не змінює. У тому сенсі, що все дії з дробовими виразами нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами!

Основна властивість дробу.

Тож поїхали! Спочатку я вас здивую. Все різноманіття перетворень дробів забезпечується одним-єдиним властивістю! Воно так і називається, основна властивість дробу. Запам'ятовуйте: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, дріб не зміниться.Тобто:

Зрозуміло, що писати можна далі, до посиніння. Синуси та логарифми нехай вас не бентежать, з ними далі розберемося. Головне зрозуміти, що всі ці різноманітні висловлювання є один і той же дріб . 2/3.

А воно нам потрібне, всі ці перетворення? Ще й як! Нині самі побачите. Для початку вживаємо основну властивість дробу для скорочення дробів. Здається, річ елементарна. Ділимо чисельник і знаменник на те саме число і всі справи! Помилитись неможливо! Але... людина - творча істота. Помилитись скрізь може! Особливо, якщо доводиться скорочувати не дріб типу 5/10, а дробовий вираз із будь-якими літерами.

Як правильно і швидко скорочувати дроби, не роблячи зайвої роботи, можна прочитати в розділі 555 .

Нормальний учень не морочиться розподілом чисельника і знаменника на одне і те ж число (або вираз)! Він просто закреслює все однакове зверху та знизу! Тут-то і приховується типова помилка, ляп, якщо хочете.

Наприклад, треба спростити вираз:

Тут і думати нічого, закреслюємо букву "а" зверху та двійку знизу! Отримуємо:

Все правильно. Але реально ви поділили весь чисельник та весь знаменник на "а". Якщо ви звикли просто закреслювати, то, похапцем, можете закреслити "а" у виразі

і отримати знову

Що буде категорично невірно. Тому що тут весьчисельник на "а" вже не ділиться! Цей дріб скоротити не можна. До речі, таке скорочення – це, гм… серйозний виклик викладачеві. Такого не вибачають! Запам'ятали? При скороченні ділити треба весь чисельник та весь знаменник!

Скорочення дробів дуже полегшує життя. Вийде десь у вас дріб, наприклад 375/1000. І як тепер із нею далі працювати? Без калькулятора? Помножувати, скажімо, складати, у квадрат зводити!? А якщо не полінуватися, та акуратно скоротити на п'ять, та ще на п'ять, та ще... поки скорочується, коротше. Отримаємо 3/8! Куди приємніше, правда?

Основна властивість дробу дозволяє переводити звичайні дроби в десяткові та навпаки без калькулятора! Це важливо на ЄДІ, правда?

Як переводити дроби з одного виду до іншого.

Із десятковими дробами все просто. Як чується, так і пишеться! Скажімо, 0,25. Це нуль цілих, двадцять п'ять сотих. Так і пишемо: 25/100. Скорочуємо (ділимо чисельник та знаменник на 25), отримуємо звичайний дріб: 1/4. Всі. Буває, і нічого не скорочується. Типу 0,3. Це три десятих, тобто. 3/10.

А якщо цілих – не нуль? Нічого страшного. Записуємо весь дріб без жодних ком.в чисельник, а знаменник - те, що чується. Наприклад: 3,17. Це три цілих, сімнадцять сотих. Пишемо до чисельника 317, а до знаменника 100. Отримуємо 317/100. Нічого не скорочується, отже, все. Це відповідь. Елементарно, Ватсон! З усього сказаного корисний висновок: будь-який десятковий дріб можна перетворити на звичайний .

А ось зворотне перетворення, звичайне в десяткову, деякі без калькулятора не можуть зробити. А треба! Як ви відповідь записуватимете на ЄДІ!? Уважно читаємо та освоюємо цей процес.

Десятковий дріб чим характерний? У неї у знаменнику завждикоштує 10, чи 100, чи 1000, чи 10000 тощо. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, 4/10 = 0,4. Або 7/100 = 0,07. Або 12/10 = 1,2. А якщо у відповіді на завдання розділу "В" вийшло 1/2? Що у відповідь будемо писати? Там десяткові потрібні...

Згадуємо основна властивість дробу ! Математика прихильно дозволяє множити чисельник і знаменник на те саме число. На будь-яке, між іншим! Крім нуля, зрозуміло. Ось і застосуємо цю властивість собі на користь! На що можна примножити знаменник, тобто. 2 щоб він став 10, або 100, або 1000 (менше краще, звичайно...)? На 5, очевидно. Сміливо множимо знаменник (це намтреба) на 5. Але, тоді і чисельник треба помножити теж на 5. Це вже математикавимагає! Отримаємо 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. От і все.

Однак знаменники всякі трапляються. Потрапиться, наприклад, дріб 3/16. Спробуй, зміркуй тут, на що 16 помножити, щоб 100 вийшло, або 1000 ... Не виходить? Тоді можна просто розділити 3 на 16. За відсутністю калькулятора ділити доведеться куточком, на папірці, як у молодших класах навчали. Отримаємо 0,1875.

А бувають і зовсім погані знаменники. Наприклад, дріб 1/3 ну ніяк не перетвориш на хорошу десяткову. І на калькуляторі, і на папірці, ми отримаємо 0,3333333... Це означає, що 1/3 у точний десятковий дріб НЕ перекладається. Так само, як і 1/7, 5/6 і таке інше. Багато їх, неперекладних. Звідси ще один корисний висновок. Не кожен звичайний дріб переводиться в десятковий !

До речі, це корисна інформація для самоперевірки. У розділі "В" у відповідь треба десятковий дріб записувати. А у вас вийшло, наприклад, 4/3. Цей дріб не переводиться в десятковий. Це означає, що десь ви помилилися дорогою! Поверніться, перевірте рішення.

Отже, зі звичайними та десятковими дробами розібралися. Залишилося розібратися із змішаними числами. Для роботи з ними їх потрібно перевести в прості дроби. Як це зробити? Можна спіймати шестикласника та запитати у нього. Але не завжди шестикласник опиниться під руками... Доведеться самим. Це не складно. Потрібно знаменник дробової частини помножити на цілу частину і додати чисельник дробової частини. Це буде чисельник звичайного дробу. А знаменник? Знаменник залишиться тим самим. Звучить складно, але насправді все просто. Дивимося приклад.

Нехай у завданні ви з жахом побачили число:

Спокійно, без паніки розуміємо. Ціла частина – це 1. Одиниця. Дробова частина – 3/7. Отже, знаменник дробової частини - 7. Цей знаменник і буде знаменником звичайного дробу. Вважаємо чисельник. 7 множимо на 1 (ціла частина) і додаємо 3 (числитель дробової частини). Отримаємо 10. Це буде чисельник звичайного дробу. От і все. Ще простіше це виглядає в математичному записі:

Ясно? Тоді закріпіть успіх! Переведіть у звичайні дроби. У вас має вийде 10/7, 7/2, 23/10 та 21/4.

Зворотна операція - переведення неправильного дробу до змішаного числа - у старших класах рідко потрібно. Ну якщо вже ... І якщо Ви - не в старших класах - можете заглянути в особливий Розділ 555 . Там же, до речі, і про неправильні дроби дізнаєтесь.

Ну ось, практично і все. Ви згадали види дробів і зрозуміли, як переводити їх із одного виду до іншого. Залишається питання: навіщо це робити? Де і коли застосовувати ці глибокі знання?

Відповідаю. Будь-який приклад сам нагадує необхідні дії. Якщо в прикладі змішалися в купу прості дроби, десяткові, та ще й змішані числа, переводимо все в прості дроби. Це завжди можна зробити. Ну а якщо написано, щось типу 0,8 + 0,3, то так і вважаємо, без жодного перекладу. Навіщо нам зайва робота? Ми обираємо той шлях рішення, який зручний нам !

Якщо в завданні суцільно десяткові дроби, але гм... злі якісь, перейдіть до звичайних, спробуйте! Дивишся, все й налагодиться. Наприклад, доведеться у квадрат зводити число 0,125. Не так просто, якщо від калькулятора не відвикли! Мало того, що числа перемножувати стовпчиком треба, так ще думай, куди кому вставити! В умі точно не вийде! А якщо перейти до звичайного дробу?

0,125 = 125/1000. Скорочуємо на 5 (це для початку). Отримуємо 25/200. Ще раз на 5. Отримуємо 5/40. О, ще скорочується! Знову на 5! Отримуємо 1/8. Легко зводимо у квадрат (в умі!) і отримуємо 1/64. Всі!

Підіб'ємо підсумки цього уроку.

1. Дроби бувають трьох видів. Звичайні, десяткові та змішані числа.

2. Десяткові дроби та змішані числа завждиможна перевести у прості дроби. Зворотній переклад не завждиможливий.

3. Вибір виду дробів для роботи із завданням залежить від цього завдання. За наявності різних видів дробів в одному завданні найнадійніше - перейти до звичайних дробів.

Тепер можна потренуватись. Для початку переведіть ці десяткові дроби у прості:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Повинні вийти ось такі відповіді (безладно!):

На цьому й завершимо. У цьому уроці ми освіжили у пам'яті ключові моменти по дробах. Буває, правда, що освіжати особливо нічого...) Якщо вже хтось зовсім міцно забув, або ще не освоїв... Тим можна пройти в особливий Розділ 555 . Там всі основи детально розписані. Багато хто раптом все розумітипочинають. І вирішують дроби з льоту).

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Дроби та їх скорочення – ще одна тема, яка починається у 5 класі. Тут формується основа цієї події, та був ці вміння тягнуться ниточкою у вищу математику. Якщо учень не засвоїв, то у нього можуть виникнути проблеми в алгебрі. Тому краще усвідомити кілька правил раз і назавжди. А ще запам'ятати одну заборону і ніколи її не порушувати.

Дроб та її скорочення

Що це таке знає кожен учень. Будь-які дві цифри розташовані між горизонтальною межею відразу сприймаються, як дріб. Однак не всі розуміють, що нею може стати будь-яка кількість. Якщо воно ціле, його завжди можна розділити на одиницю, тоді вийде неправильний дріб. Але про це згодом.

Початок завжди простий. Спочатку потрібно з'ясувати, як скоротити правильний дріб. Тобто таку, яка має чисельник менше, ніж знаменник. Для цього потрібно згадати основну властивість дробу. Воно стверджує, що з множенні (як і, розподілі) одночасно її чисельника і знаменника на однакове число виходить, рівноцінна вихідний дріб.

Дії поділу, які виконуються у цій властивості та призводять до скорочення. Тобто максимальному її спрощенню. Дроб можна скорочувати доти, поки над рисою і під нею є спільні множники. Коли їх уже не буде, то скорочення неможливе. І кажуть, що цей дріб нескоротний.

Два способи

1.Покрокове скорочення.У ньому використовується метод прикидки, коли обидва числа поділяються на мінімальний загальний множник, який помітив учень. Якщо після першого скорочення видно, що це не кінець, то поділ триває. Поки що дріб не стане нескоротним.

2. Знаходження найбільшого спільного дільника у чисельника та знаменника.Це найраціональніший спосіб того, як скорочувати дроби. Він має на увазі розкладання чисельника та знаменника на прості множники. Серед них потім потрібно вибрати однакові. Їхній твір дасть найбільший загальний множник, на який скорочується дріб.

Обидва ці способи рівноцінні. Учню пропонується освоїти їх та користуватися тим, який більше сподобався.

Що робити, якщо є букви та дії додавання та віднімання?

З першою частиною питання все більш-менш зрозуміло. Літери можна скорочувати так само, як і числа. Головне, щоб вони виступали у ролі множників. А ось з другого у багатьох виникають проблеми.

Важливо запам'ятати! Скорочувати можна лише числа, які є множниками. Якщо вони доданки — не можна.

Щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, мають вигляд алгебраїчного висловлювання, потрібно засвоїти правило. Спочатку уявити чисельник і знаменник у вигляді твору. Потім можна скорочувати, якщо з'явилися спільні множники. Для представлення у вигляді множників стануть у нагоді такі прийоми:

• угруповання;
• винесення за дужку;
• застосування тотожностей скороченого множення.

Причому останній спосіб дає можливість відразу отримати доданки у вигляді множників. Тому його необхідно використовувати завжди, якщо помітна відома закономірність.

Але це ще не страшно, потім з'являються завдання зі ступенями та корінням. Ось тоді потрібно набратися сміливості та засвоїти пару нових правил.

Вираз зі ступенем

Дріб. У чисельнику та знаменнику твір. Є літери та числа. А вони ще й зведені в ступінь, який теж складається з доданків або множників. Є що злякатися.

Для того щоб розібратися в тому, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно вивчити два моменти:

• якщо у показнику ступеня коштує сума, то її можна розкласти на множники, ступенями яких будуть вихідні доданки;
• якщо різницю, то на ділене і дільник, у першого ступеня буде зменшуване, у другого — віднімається.

Після виконання цих дій стає видно загальні множники. У таких прикладах немає необхідності обчислювати всі ступені. Достатньо просто скоротити ступеня з однаковими показниками та підставами.

Для того, щоб остаточно засвоїти те, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно багато практикуватися. Після кількох однотипних прикладів дії виконуватимуться вже автоматично.

А якщо у виразі стоїть корінь?

Його також можна скоротити. Тільки знову ж таки, дотримуючись правил. Причому вірні всі, описані вище. Загалом, якщо стоїть питання про те, як скоротити дріб із корінням, то треба ділити.

На ірраціональні висловлювання теж можна поділити. Тобто якщо в чисельнику та знаменнику стоять однакові множники, укладені під знак кореня, їх можна сміливо скорочувати. Це призведе до спрощення виразу та виконання завдання.

Якщо після скорочення під межею дробу залишилася ірраціональність, то її потрібно позбутися. Інакше кажучи, помножити її у чисельник і знаменник. Якщо після цієї операції з'явилися спільні множники, їх знову потрібно буде скоротити.

Ось, мабуть, і все про те, як скорочувати дроби. Правил небагато, а заборона одна. Ніколи не скорочувати доданки!