Спектральна густина випадкового процесу. Пара перетворень Фур'є

Спектральна щільність та сигнал пов'язані між собою парою перетворень Фур'є:

Усі властивості спектральної щільностіоб'єднані в основних теоремах про спектри.

I. Властивість лінійності.

Якщо є деяка сукупність сигналів до того ж,…, то зважена сума сигналів перетворюється по Фур'є так:

Тут – довільні числові коефіцієнти.

ІІ. Теорема про зрушення.

Припустимо, що сигналу відома відповідність. Розглянемо такий самий сигнал, але виникає на секунду пізніше. Приймаючи точку за новий початок відліку часу, позначимо цей зміщений сигнал як. Введемо заміну змінної: . Тоді,

Модуль комплексного числаза будь-яких дорівнює 1, тому амплітуди елементарних гармонійних складових, з яких складається сигнал, не залежать від його положення на осі часу. Інформація про цю характеристику сигналу полягає фазовому спектрі.

ІІІ. Теорема масштабів.

Припустимо, що вихідний сигнал змінюється масштаб часу. Це означає, що роль часу грає нова незалежна змінна (- деяке дійсне число.) Якщо > 1, то відбувається “стиснення” вихідного сигналу; якщо ж 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если, то:

Зробимо заміну змінної, тоді, звідки слідує:

При стисканні сигналу в один раз на часовій осі в стільки ж разів розширюється його діапазон на осі частот. Модуль спектральної густини при цьому зменшується в раз.

Вочевидь, що з розтягуванні сигналу у часі (тобто.<1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV. Теорема про спектр похідної та невизначеного інтеграла.

Нехай сигнал та його спектральна площина задані. Вивчатимемо новий сигнал і поставимо за мету знайти його спектральну щільність.

За визначенням:

Перетворення Фур'є - лінійна операція, отже, рівність (2.3) справедливе і стосовно спектральним щільностям. Отримуємо теорему про зрушення:

Представляючи експоненційну функцію поряд Тейлора:

підставляючи цей ряд (2.6) і обмежуючись першими двома членами ряду, знаходимо

Отже, диференціювання сигналу за часом еквівалентно простий операції алгебри множення спектральної щільності на множник. Тому кажуть, що уявне число є оператором диференціювання, що діє у частотній області.

Друга частина теореми. Розглянута функція є невизначеним інтегралом стосовно функції. Інтеграл це є, отже - його спектральна щільність, та якщо з формули (2.7) дорівнює:

Таким чином, множник є оператором інтегрування в частотній області.

V. Теорема про згортку.

При підсумовуванні сигналів їх спектри складаються. Однак спектр добутку сигналів не дорівнює добутку спектрів, а виражається деяким спеціальним інтегральним співвідношенням між спектрами співмножників.

Нехай і - два сигнали, для яких відомі відповідності. Утворимо добуток цих сигналів: і обчислимо його спектральну щільність. За загальним правилом:

Застосувавши зворотне перетворення Фур'є, виразимо сигнал через його спектральну щільність і підставимо результат (2.9):

Змінивши порядок інтегрування, матимемо:

Інтеграл, що стоїть у правій частині називають згорткоюфункцій та. Символічно операція згортки позначається як *

Таким чином, спектральна щільність добутку двох сигналів з точністю до постійного числового множника дорівнює згортці спектральних щільностей співмножників.

Періодичне продовження імпульсу. Поняття спектральної щільності сигналу. Зворотне перетворення Фур'є. Умова існування спектральної щільності сигналу. Зв'язок між тривалістю імпульсу та шириною його спектра. Узагальнена формула Релея. Взаємна спектральна щільність сигналів. Енергетичний спектр. Кореляційний аналіз сигналів. Порівняння сигналів, зрушених у часі.

Мета лекції:

Отримати спектральні характеристики неперіодичних (імпульсних) сигналів шляхом узагальнення рядів Фур'є. Визначити вимоги щодо ширини смуги пропускання радіотехнічного пристрою. Подати сигнали за допомогою їх спектральних густин. Використовувати енергетичний спектр для отримання різноманітних інженерних оцінок. Зрозуміти, як виникає потреба у сигналах із спеціально обраними властивостями.

Нехай s(t) – одиночний імпульсний сигнал кінцевої тривалості. Доповнивши його такими ж сигналами, періодично наступними через деякий інтервал часу T, отримаємо вивчену раніше періодичну послідовність S пер (t),яка може бути представлена ​​у вигляді комплексного ряду Фур'є

(12.1) з коефіцієнтами . (12.2)

Для того, щоб повернутися до одиночного імпульсного сигналу, спрямуємо до нескінченності період повторення Т.При цьому очевидно:

а) частоти сусідніх гармонік n?

б) амплітудні коефіцієнти Зn стануть необмеженими малими через наявність величини Т у знаменнику формули (12.2).

Наше завдання полягає тепер у знаходженні граничного виду формули (12.1) за T→∞.

Розглянемо малий інтервал частот Δω, який утворює околицю деякого обраного значення частоти ω 0 . У межах цього інтервалу буде міститися N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) окремих пар спектральних складових, частоти яких відрізняються як завгодно мало. Тому складові можна складати так, як ніби всі вони мають ту саму частоту і характеризуються однаковими комплексними амплітудами

В результаті знаходимо комплексну амплітуду гармонійного еквівалентного сигналу, що відображає внесок всіх спектральних складових, що містяться всередині інтервалу Δω

. (12.3)

Функція (12.4)

носить назву спектральної щільностісигналу s(t). Формула (12.4) здійснює перетворення Фур'єданого сигналу.

Розв'яжемо зворотне завдання спектральної теорії сигналів: знайдемо сигнал з його спектральної щільності, яку вважатимемо заданою.

Оскільки межі частотні інтервали між сусідніми гармоніками необмежено скорочуються, останню суму слід замінити інтегралом

. (12.5)

Ця важлива формула називається зворотним перетворенням Фур'єдля сигналу s(t).

Сформулюємо остаточно фундаментальний результат: сигнал s(t)та його спектральна щільність S(ω) взаємно однозначно пов'язані прямим та зворотним перетвореннями Фур'є

, (12.6)

.

Спектральне уявлення сигналів відкриває прямий шлях до аналізу проходження сигналів через широкий клас радіотехнічних ланцюгів, пристроїв та систем.

Сигналу s(t) можна зіставити його спектральну щільність s(ω) у тому випадку, якщо цей сигнал абсолютно інтегруємо,тобто існує інтеграл

Така умова значно звужує клас допустимих сигналів. Так, у зазначеному класичному сенсі неможливо говорити про спектральну щільність гармонійного сигналу і(t) = U m cosω 0 t , існуючого на всій нескінченній осі часу.

Важливий висновок: що менше тривалість імпульсу, то ширше його спектр.

Під шириною спектра розуміють частотний інтервал, у межах якого модуль спектральної щільності не менше деякого заздалегідь заданого рівня, наприклад, змінюється в межах від |S| max до 0.1 | S | max.

Твір ширини спектру імпульсу з його тривалість є постійне число, залежить тільки від форми імпульсу і, зазвичай, має порядок одиниці: Чим коротше тривалість імпульсу, тим ширше має бути смуга пропускання відповідного підсилювача. Короткі імпульсні перешкоди мають широкий спектр і тому можуть погіршувати умови радіоприймання значної смуги частот.

Математичні моделі багатьох сигналів, що широко застосовуються в радіотехніці, не задовольняють умову абсолютної інтегрованості, тому метод перетворень Фур'є у звичайному вигляді до них непридатний. Однак можна говорити про спектральні густини таких сигналів, якщо припустити, що ці густини описуються узагальненими функціями.

Нехай два сигнали та(t)і v (t),загалом комплексно-значні, визначені своїми зворотними перетвореннями Фур'є.

Знайдемо скалярний добуток цих сигналів, висловивши один із них, наприклад v (t),через його спектральну щільність

Отримане співвідношення є узагальненою формулою Релея. Трагування цієї формули, що легко запам'ятовується, така: скалярний добуток двох сигналів з точністю до коефіцієнта пропорційно скалярному добутку їх спектральних щільностей. Якщо сигнали тотожно збігаються, то скалярний твір стає рівним енергії

. (12.7)

Назвемо взаємним енергетичним спектромречових сигналів u(t) та v(t) функцію

, (12.8)

таку, що

. (4.9)

Неважко помітити, що Re W uv(ω)-парна, а Im W uv(ω)-непарна функція частоти. Вклад в інтеграл (12.9) дає лише речова частина, тому

. (12.10)

Остання формула дозволяє проаналізувати «тонку структуру» взаємозв'язку сигналів.

Більше того, узагальнена формула Релея, подана у вигляді (12.10), вказує на принциповий шлях, що дозволяє зменшити ступінь зв'язку між двома сигналами, досягнувши межі їхньої ортогональності. Для цього один із сигналів необхідно піддати обробці в особливій фізичній системі, яка називається частотним фільтром.До цього фільтру пред'являється вимога: не пропускати на вихід спектральні складові, що знаходяться в межах частотного інтервалу, де речова частина взаємного спектра енергетична велика. Частотна залежність коефіцієнта передачі такого ортогоналізуючого фільтраматиме різко виражений мінімум у межах зазначеної області частот.

Спектральне подання енергії сигналу легко отримати з узагальненої формули Релея, якщо сигнали та(t)і v (t)вважати однаковими. Формула (12.8), що виражає спектральну щільність енергії, набуває вигляду

Величина W u (ω) носить назву спектральної щільності енергіїсигналу та(t),або, коротше, його енергетичний спектр.Формула (3.2) у своїй запишеться так

. (12.12)

Співвідношення (4.12) відоме як формула Релея(у вузькому значенні), яка констатує наступне: енергія будь-якого сигналу є результатом підсумовування вкладів від різних інтервалів частотної осі.

Вивчаючи сигнал за допомогою його енергетичного спектру, ми неминуче втрачаємо інформацію, яка укладена у фазовому спектрі сигналу, оскільки відповідно до формули (4.11) енергетичний спектр є квадратом модуля спектральної щільності і не залежить від її фази.

Звернемося до спрощеної ідеї роботи імпульсного радіолокатора, призначеного для виміру дальності до мети. Тут інформація про об'єкт вимірювання закладена у величині τ - затримки часу між зондуючим і прийнятим сигналами. Форми зондуючого і(t) та прийнятого і(t-τ) сигналів однакові за будь-яких затримок. Структурна схема пристрою обробки сигналів радіолокації, призначеного для вимірювання дальності, може виглядати так, як це зображено на малюнку 12.1.

Рисунок 12.1 - Пристрій для вимірювання часу затримки сигналів

Розглянемо так звану енергетичну форму інтеграла Фур'є. У розділі 5 були наведені формули (7.15) та (7.16), що дають перехід від функції часу до зображення Фур'є та назад. Якщо розглядається деяка випадкова функція часу х(с), то для неї ці формули можуть бути записані у вигляді

і проінтегруємо по всьому

замінимо виразом (11.54):

Розмір, що у квадратних дужках (11.57), як неважко бачити, є вихідною функцією часу (11.55). Тому в результаті виходить так звана формула Релея (теорема Парсеваля), яка відповідає енергетичній формі інтеграла Фур'є:

Права частина (11.58) і (11.39) є величиною, пропорційною енергії аналізованого процесу. Так, наприклад, якщо розглядається струм, що протікає по деякому резистори з опором К, то енергія, що виділилася в цьому резистори за час і буде

Формули (11.58) та (11.59) і виражають енергетичну форму інтеграла Фур'є.

Однак ці формули незручні тим, що для більшості процесів енергія за нескінченний інтервал часу прагне також нескінченності. Тому зручніше мати справу не з енергією, а із середньою потужністю процесу, яка буде отримана, якщо енергію поділити на інтервал спостереження. Тоді формулу (11.58) можна подати у вигляді

Вводячи позначення

зветься спектральної щільності. Важливим

За своїм фізичним змістом спектральна щільність є величина, яка пропорційна середній потужності процесу в інтервалі частот від со до со + й?

У деяких випадках спектральну густину розглядають тільки для позитивних частот, подвоюючи її при цьому, що можна зробити, оскільки спектральна густина є парною функцією частоти. Тоді, наприклад, формула (11.62) має бути записана у вигляді

- Спектральна щільність для позитивних частот.

тому що при цьому формули набувають більш симетричного характеру.

Дуже важливою обставиною є те, що спектральна щільність та кореляційна функція випадкових процесів є взаємними перетвореннями Фур'є, тобто вони пов'язані інтегральними залежностями типу (11.54) і (11.55). Ця властивість наводиться без доказів.

Таким чином, можуть бути записані такі формули:

Оскільки спектральна щільність і кореляційна функція є парні речові функції, то іноді формули (11.65) і (11.66) представляють у більш простому вигляді;

)

Це випливає із того, що мають місце рівності:

і уявні частини можуть бути відкинуті після підстановки (11.65) і (11.66), так як зліва стоять речові функції.

полягає в тому, що чим уже графік спектральної щільності (рис, 11.16 а), тобто чим менші частоти представлені в спектральній щільності, тим повільніше змінюється величина х в часі. Навпаки, чим ширший графік спектральної густини (рис. 11.16, б), тобто чим більші частоти представлені в спектральній густині, тим тонша структура функції х (г) і тим швидше відбуваються зміни в часі.

Як видно з цього розгляду, зв'язок між видом спектральної щільності і видом функції часу виходить зворотним, але порівняно зі зв'язком між кореляційною функцією і самим процесом (рис. 11.14). Звідси випливає, що ширшому графіку спектральної щільності має відповідати вужчий графік кореляційної функції і навпаки.

і 8 (з). Ці функції, на відміну імпульсних функцій, що розглядалися у розділі 4, є парними. Це означає, що функція 8 (т) розташована симетрично щодо початку координат і може бути визначена в такий спосіб;

Аналогічне визначення відноситься до функції 8 (с). Іноді на розгляд вводять нормовану спектральну щільність, що є зображенням Фур'є нормованої кореляційної функції (11.52):

і, отже,

де О – дисперсія.

Взаємні спектральні густини також є мірою зв'язку між двома випадковими величинами. За відсутності зв'язку взаємні спектральні густини дорівнюють нулю.

Розглянемо деякі приклади.

Ця функція зображена на рис. 11.17, а. Відповідне їй зображення Фур'є виходячи з табл. 11.3 буде

Спектр процесу складається з єдиного піку типу імпульсної функції, яка розташована на початку координат (рис. 11,17, б).

Це означає, що вся потужність процесу, що розглядається, зосереджена на кульовій частоті, що і слід очікувати.

Ця функція зображена на рис. 11.18 а, Відповідно до табл. 11.3 спектральна щільність буде

3. Для періодичної функції, що розкладається в ряд Фур'є

крім періодичної частини міститиме неперіодичну складову, то спектр цієї функції міститиме, поряд з окремими лініями типу імпульсної функції, також і безперервну частину (рис. 11.20). Окремі піки на графіку спектральної щільності вказують на присутність у досліджуваній функції прихованих неріодичностей.

не містить періодичної частини, вона матиме безперервний спектр без яскраво виражених піків.

Розглянемо деякі стаціонарні випадкові процеси, які мають значення щодо систем управління. Розглянемо тільки центровані

При цьому середній квадрат випадкової величини дорівнюватиме дисперсії:

облік постійного зміщення у системі управління є елементарним.

(Рис. 11.21, а):

Приклад такого процесу – теплові шуми резистора, які дають рівень спектральної щільності хаотичної напруги на цьому резисторі.

Абсолютна температура.

На підставі (11,68) спектральної густини (11.71) відповідає кореляційна функція

відсутня кореляція між наступними та попередніми значеннями випадкової величини х.

отже, нескінченно велика потужність.

Щоб отримати фізично реальний процес, зручно запровадити поняття білого шуму з обмеженою спектральною щільністю (рис. 11.21, б):

Смуга частот для спектральної густини.

Цьому процесу відповідає кореляційна функція

Середньоквадратичне значення випадкової величини пропорційно до кореня квадратного зі смуги частот:

Часто буває зручніше апроксимувати залежність (11.73) плавною кривою. Для цієї мети можна, наприклад, використовувати вираз

Коефіцієнт, що визначає ширину смуги частот.

Процес наближається до білого шуму, так

як для цих частот

Інтегрування (11.77) по всіх частотах дозволяє визначити дисперсію:

Тому спектральна густина (11.77) може бути записана в іншому вигляді:

Кореляційна функція для цього процесу

Кореляційна функція також зображено на рис. 11.21, ст.

Перехід від одного значення до іншого відбувається миттєво. Інтервали часу підпорядковуються закону розподілу Пуассона (11.4).

Графік такого виду виходить, наприклад, у першому наближенні при стеженні радіолокатором за метою, що рухається. Постійне значення швидкості відповідає руху мети прямою. Зміна знака чи величини швидкості відповідає маневру мети.

Буде середнім значенням інтервалу часу протягом якого кутова швидкість зберігає постійне значення. Стосовно радіолокатора це значення буде середнім часом руху мети по прямій.

Для визначення кореляційної функції необхідно знайти середнє значення твору

При знаходженні цього твору може бути два випадки.

відносяться до одного інтервалу. Тоді середнє значення твору кутових швидкостей дорівнюватиме середньому квадрату кутової швидкості або дисперсії:

відносяться до різних інтервалів. Тоді середнє значення добутку швидкостей дорівнюватиме кулю:

оскільки твори з позитивним та негативним знаками будуть рівноймовірними. Кореляційна функція дорівнюватиме

Імовірність знаходження їх у різних інтервалах.

Ймовірність відсутності

Для інтервалу часу

оскільки ці події незалежні.

В результаті для кінцевого проміжку Ат отримуємо

Знак модуля при поставлений внаслідок того, що вираз (11.80) повинен відповідати парної функції. Вираз кореляційної функції збігається з (11.79). Тому спектральна щільність процесу, що розглядається, повинна збігатися з (11.78):

Зауважимо, що на відміну (11.78) формула спектральної щільності (11.81) записана для кутової швидкості процесу (рис. 11.22). Якщо перейти від кутової швидкості до кута, то вийде випадковий нестаціонарний процес з дисперсією, що прагне до нескінченності. Однак у більшості випадків стежить система, на вході якої діє цей процес, має астатизм першого і більш високих порядків. Тому перший коефіцієнт помилки с0 у стежить системи дорівнює нулю і її помилка визначатиметься тільки вхідною швидкістю і похідними вищих порядків, щодо яких стаціонарний процес. Це дає можливість використовувати спектральну щільність (11.81) при розрахунку динамічної помилки системи, що стежить.

3. Нерегулярна хитавиця. Деякі об'єкти, наприклад кораблі, літаки та інші, перебуваючи під дією нерегулярних обурень (нерегулярне хвилювання, атмосферні обурення тощо), рухаються по випадковому закону. Так як самі об'єкти мають певну їм властиву частоту коливань, то вони мають властивість підкреслювати ті частоти збурень, які близькі до їхньої власної частоти коливань. Випадковий рух об'єкта, що виходить при цьому, називають нерегулярною качкою на відміну від регулярної качки, що являє собою періодичний рух.

Типовий графік нерегулярної качки зображено на рис. 11.23. З розгляду цього графіка видно, що, незважаючи на випадковий характер, це

рух досить близький до періодичного.

У практиці кореляційну функцію нерегулярної хитавиці часто апроксимують виразом

Дисперсія.

зазвичай знаходяться шляхом обробки експериментальних даних (натурних випробувань).

Кореляційна функція (11.82) відповідає спектральна щільність (див. табл. 11.3)

Незручністю апроксимації (11.82) є те, що цією формулою можна описати поведінку будь-якої однієї величини нерегулярної хитавиці (кута, кутової швидкості або кутового прискорення), У цьому випадку величина буде відповідати дисперсії кута, швидкості або прискорення.

Якщо, наприклад, записати формулу (11.82) для кута, то цьому процесу відповідатиме нерегулярна камка з дисперсією для кутових швидкостей, що прагне нескінченності, тобто це буде фізично нереальний процес.

Більш зручна формула для апроксимації кута качки

Однак і ця апроксимація відповідає фізично нереальному процесу, так як дисперсія кутового прискорення виходить нескінченності, що прагне.

Для отримання кінцевої дисперсії кутового прискорення потрібні ще складніші формули апроксимації, які тут не наводяться.

Типові криві для кореляційної функції та спектральної щільності нерегулярної хитавиці наведені на рис. 11.24.

У статистичній радіотехніці та фізиці при вивченні детермінованих сигналів і випадкових процесів широко використовується їх спектральне подання у вигляді спектральної щільності, яка базується на перетворенні Фур'є.

Якщо процес має кінцеву енергію і квадратично інтегруємо (а це нестаціонарний процес), то для однієї реалізації процесу можна визначити перетворення Фур'є як випадкову комплексну функцію частоти:

Однак вона виявляється майже марною для опису ансамблю. Виходом із цієї ситуації є відкидання деяких параметрів спектра, а саме спектру фаз, та побудова функції, що характеризує розподіл енергії процесу по осі частот. Тоді згідно з теоремою Парсеваля енергія

Функція S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2))характеризує, таким чином, розподіл енергії реалізації осі частот і називається спектральної щільністю реалізації. Усереднивши цю функцію за всіма реалізаціями можна отримати спектральну щільність процесу.

Перейдемо тепер до стаціонарного у широкому сенсі центрованого випадкового процесу x(t) (\displaystyle x(t)), Реалізації якого з ймовірністю 1 мають нескінченну енергію і, отже, не мають перетворення Фур'є. Спектральна, щільність, потужність такого процесу може бути знайдена на підставі теореми Вінера-Хінчина як перетворення Фур'є від кореляційної функції:

Якщо існує пряме перетворення, то існує і зворотне, перетворення, Фур'є, яке за відомою визначає k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

Якщо вважати у формулах (3) та (4) відповідно f = 0 (\displaystyle f = 0)і τ = 0 (\displaystyle \tau =0), маємо

Формула (6) з урахуванням (2) показує, що дисперсія визначає повну енергію стаціонарного випадкового процесу, яка дорівнює площі під кривою спектральної густини. Розмірну величину S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df)можна трактувати як частку енергії, зосереджену в малому інтервалі частот від f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2)до f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Якщо розуміти під x(t) (\displaystyle x(t))випадковий (флуктуаційний) струм чи напруга, то величина S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))матиме розмірність енергії [2/Гц] = [2 с]. Тому S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))іноді називають енергетичним спектром. У літературі часто можна зустріти іншу інтерпретацію: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))– розглядається як середня потужність, що виділяється струмом чи напругою на опорі 1 Ом. При цьому величину S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))називають спектром потужностівипадкового процесу.

Енциклопедичний YouTube

1 / 3

Спектр та спектральна щільність

Спектральна щільність прямокутного імпульсу

Спектральна щільність трикутного імпульсу