Що таке спектральна густина напруженості. Спектральна густина сигналів

Нехай інтервал розкладання сигналу (див. рис. 2.1) прагне нескінченності. За його збільшення частота = 2 п/т зменшується до нескінченно малої величини:

Відстань між спектральними компонентами при цьому зменшується до нескінченно малої величини, а значення перетворюються на поточні значення частоти (див. рис. 2.2). Інтервал розкладання прагне нескінченної величини. Це дозволяє при обчисленні межі ряду Фур'є в комплексній формізамінити знак суми знаком інтеграла, основну частоту)! = 2п/Т - на?/с, а кратну частоту до (про ( замінити поточною частотою з:

Інтеграл, записаний у дужках виразу (2.13), позначимо

Тоді вираз (2.13) запишеться компактніше:

Вирази (2.14) та (2.15) називаються відповідно прямим і зворотним перетвореннями Фур'є. Функція 5(/с) називається

спектральною щільністю. Вона є комплексною та має розмірність [В/Гц], якщо розмірність сигналу та(Р)[В].

Перетворення Фур'є (2.14) може бути обчислено на основі загальних правилінтегрування, якщо сигнал задовольняє умову абсолютної інтеграції:

Ця умова означає, що перетворення (2.14) існує тих сигналів, площа під кривою |м(?)| яких обмежена.

До цього класу не відносяться, наприклад, періодичні сигнали, які не задовольняють умову абсолютної інтеграції. Однак це не означає, що для періодичних сигналів спектральна густина не може бути обчислена. Методи обчислень, спеціально розроблені цих цілей, використовують звані узагальнені функції. Прикладом узагальненої функції є дельта-функція. Деякі властивості дельта-функції наведено у додатку 1.

Перетворимо спектральну густину сигналів, які задовольняють умові абсолютної інтегрованості. Такі сигнали обмежені у часі.

З урахуванням формули Ейлера перепишемо вираз (2.14): де

Модуль | 5 (/с) | називається спектральної щільністю амплітуд сигналуабо амплітудно-частотною характеристикою

(АЧХ) спектральної густини сигналу. Функція ср(з) визначає фазо-частотну характеристику (ФЧХ) спектральної щільності сигналу. АЧХ та ФЧХ спектральної щільності є безперервними функціями частоти.

Перейдемо до аналізу спектральної щільності сигналів, які задовольняють умові абсолютної інтегрованості. Такі сигнали не обмежені у часі та мають нескінченно більшу енергію.

На основі сигналу Ц)(?), що задовольняє умові абсолютної інтегрованості, побудуємо сигнал, що періодично повторюється

і обчислимо його спектральну густину:
де

Розмірність спектральної щільності сигналу, що періодично повторюється визначається розмірністю спектральної щільності неперіодичного сигналу, з якого формується періодично повторюється сигнал, тобто. [В/Гц].

Перший співмножник отриманого виразу в рівності (2.16) визначає спектральну щільність обмеженого в часі сигналу і 0 (?), другий - спектральну щільність дельта-функції, що періодично повторюється

Переконаємося в цьому, обчисливши вказану густину:

При обчисленні інтеграла використано фільтруючу властивість дельта-функції (див. додаток 1).

Якщо дельта-функцію, що періодично повторюється, розкласти в ряд Фур'є в комплексній формі, то се спектральну щільність можна виразити інакше:

При виведенні останньої формули використано вираз дельта-функції частотної області. Прирівнюючи вирази спектральних щільностей, отримаємо

Ця функція дорівнює нулю, якщо зіФ к(х) ьі дорівнює якщо со =к(про ( ).Підставимо в (2.16) новий вираз 5 ф (/с):

Спектральна щільність сигналу, що періодично повторюється.визначається значеннями спектральної щільності обмеженого в часі сигналу г/0 (?), відрахованим через інтервал, рівний со^ = 2л /Т.

Обчислимо значення спектральної густини обмеженого відрізком часу Тсигналу:

Помножимо ліву та праву частини рівності на коефіцієнт 2 /Т:

де а(/&а>1) - спектр обмеженого часу сигналу в базисі експоненційних функцій.

З урахуванням останньої формули спектральну щільність сигналу, що періодично повторюється, запишемо у вигляді

де модуль спектра визначається базисі експоненційних функцій формулою (2.9), а спектр фаз - формулою (2.10).

Значення АЧХ та ФЧХ спектральної густини обмеженого в часі сигналу г/о(0> відраховані через інтервал (щ = 2 п/ту точках частотної осі кщ, до = 0, ±1, ±2,..., визначають АЧХ та ФЧХ спектральної щільності цього періодичного сигналу.

Розглянемо деякі властивості спектральної густини сигналу, що задовольняють умові абсолютної інтегрованості.

• 1. Спектральна щільність (2.14) - це комплексна і безперервна функція частоти, визначена в нескінченному інтервалі частот.
• 2. АЧХ та ФЧХ спектральної щільності задовольняють рівнянням

де + (л)? - Вибрані значення частот.

3. Перетворення Фур'є (2.14), (2.15) є лінійними перетвореннями. Тому спектральна густина суми сигналів дорівнює сумі спектральних густин цих сигналів, а сума сигналів визначається зворотним перетворенням Фур'є від суми їх спектральних густин:

де Uj(t) - i- й сигнал; б'/О"оз) - спектральна щільність г-го сигналу.

4. Спектральна щільність сигналу, обмежена нескінченно малими інтервалами 2лА/(рис. 2.3) поблизу, наприклад, частот -з 0, з (), визначає гармонійний сигнал з нескінченно малою амплітудою.

Переконаємося в цьому, вважаючи, що через дещицю А/ значення спектральної щільності біля частот -ю () , (н () рівні відповідно S (-jco 0) = | А (70) 0) | _ - /

Мал. 2.3.

Оскільки в нескінченно малих інтервалах спектральна щільність залишається постійною, можна винести за знак інтегралів виразу | 50" з 0) | е; ф (10о) і |

Як випливає з отриманої формули, амплітуда отриманого сигналу визначається значенням спектральної густини, функцією (бшл -)/^ і дуже малим діапазоном частот А/. У разі прагнення Д/ до нуля функція (81 пх)/хпрагне одиниці, а амплітуда стає рівною нулю.

5. Якщо всі складові спектральної щільності обмеженого в часі сигналу зсуваються по фазі на +(л)?о> цей сигнал зрушується в часі на величину +? 0 . Дійсно:

6. При передачі обмеженого в часі сигналу через лінійний чотириполюсник, АЧХ якого у смузі пропускання дорівнює постійній величині До 0,а фазова характеристика ср(с) = = -а)? 0 > форма цього сигналу залишається незмінною, а сигнал запізнюється у часі величину? 0:

Рішення. Спектральна щільність затриманого на якийсь час? 0 імпульсу дорівнює

де м(?) - Імпульс, який розташований на початку координат;

Обчислення дають наступний результат:

Запишемо цю щільність у вигляді де

Останній вираз визначає спектральну щільність сигналу та(?).У діапазоні частот спектральна щільність є позитивною величиною, д(з) = = 1. Тому в цьому діапазоні фазова характеристика ф(з) = 0, так як (о)) = = со8ф(с) + ^ з1п ср(с).

У діапазоні частот спектральна густина є негативною величиною. Фазова характеристикау цьому діапазоні дорівнює ср(со) = я, оскільки

АЧХ спектральної густини затриманого імпульсу збігається з АЧХ спектральної густини сигналу «(?), а ФЧХ визначається виразом

Спектральна густина прямокутного імпульсу г/(?), АЧХ і ФЧХ цієї густини зображені на рис. 2.4.

Мал. 2.4.

приклад 2.3.Обчислити спектральну щільність кодованого сигналу

де ак -елементи кодового слова, рівні -1 чи 1, тобто. = +1 і 0 (0 - прямокутний імпульс з амплітудою Ата тривалістю т і.

Рішення. Застосуємо формулу (2.14):

Після заміни змінної , отримаємо

Приклад 2.4.Обчислити спектральну густину періодичного сигналу, записаного у вигляді ряду Фур'є в тригонометричній формі [див. формулу (2.11)]. Записати вирази АЧХ та ФЧХ постійної, синусної та косинусної складових цього ряду.

Рішення. Функції, що визначають формулу (2.11) - періодичні, за винятком постійної складової. Цю складову апроксимуємо періодичною косинусною функцією з частотою, яка прагне нуля:

Обчислимо спектральну щільність періодичного сигналу u(t) = = a cos fit,записавши його у вигляді

Значення першого доданку, що стоїть у дужках виразу, дорівнює 1, якщо з = -Q, і дорівнює 0 для інших дискретних значеньчастоти зі = kfl, k= 0, 1, ±2, ±3, ±4, .... Значення другого доданку дорівнює 1, якщо со = Q, і дорівнює 0 для інших дискретних значень частоти to = kQ, k= 0, -1, ±2, ±3, ±4, .... Враховуючи це, знайдемо спектральну щільність, АЧХ та ФЧХ спектральної щільності періодичного сигналу u(t) = a cos Q?:

Значення АЧХ спектральної щільності в точках частотної осі з = +?2 рівні паТ/(2п) = аТ/2.

Значення ФЧХ спектральної щільності гармонійного сигналу в точках частотної осі = рівні 0.

За формулою спектральної щільності косинусоїдального сигналу можна знайти спектральну щільність постійної складової:

АЧХ спектральної щільності постійної складової визначається значенням

Обчислення спектральної щільності синусоїдального сигналу аналогічно обчислення спектральної щільності косинусоїдального сигналу.

Запишемо періодичний сигнал u(t)= bsinQ? у вигляді

де

Спектральна щільність сигналу та 0 (О:

За знайденим виразом знайдемо спектральну щільність періодичного сигналу u(t) = b sin Q t:

АЧХ спектральної щільності цього сигналу в точках частотної осі = +П:

Значення ФЧХ спектральної густини сигналу в точках частотної осі з = +П рівні -я/2, п/ 2.

Отримані формули для спектральних густин гармонічних сигналів дозволяють знайти спектральну густину суми цих сигналів:

де - модуль спектру, що дорівнює амплітуді гармонійного

сигналу; ф(П) = -екЛ%(Ь/а)- значення фази спектру, рівне значенням початкової фазицього сигналу.

Ряд Фур'є у тригонометричній формі (2.11) містить нескінченно велике числосум гармонійних сигналів:

Спектральна щільність цієї суми знаходиться за останнім виразом спектральної щільності заміною П = ко)^.Використовуючи цю формулу та формулу спектральної щільності постійної складової, отримаємо вираз спектральної щільності сигналу, записаного у вигляді ряду Фур'є в тригонометричній формі:

де - модуль спектра; ф^о^) = - значення фази спектра, що дорівнює значенню початкової фази гармонійного сигналу.

Для періодичної послідовності імпульсів наведеної на рис. 2.1,

Спектральна щільність

Обчислена спектральна щільність є математичною моделлювідеоімпульсу, що періодично повторюється прямокутної формиу частотній області. Графік спектральної густини показаний на рис. 2.5. Дельта-функції цьому малюнку умовно зображені стрілками.

Мал. 2.5.

імпульсів

Графік містить інформацію про постійну складову та гармонійні сигнали, що входять до ряду Фур'є в тригонометричній формі.

приклад 2.5.За спектральною густиною, вид якої наведено на рис. 2.6 обчислити вираз для сигналу «(?)

Мал. 2.6.

Рішення. Спектральна щільність сигналу обмежена значеннями частоти, рівними -з, зі ст. Знайдемо сигнал.

Нехай сигнал s(t) Заданий у вигляді неперіодичної функції, причому він існує тільки на інтервалі ( t 1 ,t 2) (приклад – одиночний імпульс). Виберемо довільний відрізок часу T, Що включає інтервал ( t 1 ,t 2) (див. рис.1).

Позначимо періодичний сигнал, отриманий з s(t), у вигляді s T(t). Тоді для нього можна записати низку Фур'є

де

Підставимо вираз для ряду:

Для того, щоб перейти до функції s(t) слід у виразі s T(t) спрямувати період до нескінченності. При цьому кількість гармонійних складових із частотами w =n 2p /Tбуде нескінченно велика, відстань між ними буде прагнути до нуля (до нескінченно малої величини: , Амплітуди складових також будуть нескінченно малі. Тому говорити про спектр такого сигналу не можна, т.к. спектр стає суцільним.

При граничному переходів разі Т=> , маємо:

Таким чином, у межі отримуємо

Внутрішній інтеграл є частотною функцією. Його називають спектральною густиною сигналу, або частотною характеристикою сигналу і позначають ,

ряме (*) і зворотне (**) перетворення Фур'є разом називають парою перетворень Фур'є. Модуль спектральної густини визначає амплітудно-частотну характеристику (АЧХ) сигналу, а її аргумент називають фазо-частотною характеристикою (ФЧХ) сигналу. АЧХ сигналу є парною функцією, а ФЧХ – непарною.

Сенс модуля S(w) визначається як амплітуда сигналу (струму або напруги), що припадає на 1 Гц в нескінченно вузькій смузі частот, яка включає в себе розглянуту частоту w. Його розмірність – [сигнал/частота].

9. Властивості перетворення Фур'є. Властивості лінійності, зміни масштабу часу та інші. Теореме про спектр похідної. Теорема про спектр інтегралу.

10. Дискретне перетворення Фур'є. Перешкоди радіоприйому. Класифікація перешкод.

Дискретне перетворення Фур'є може бути отримано безпосередньо з інтегрального перетворення дискретизації аргументів (t k = kDt, f n = nDf):

S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f n) = Dt s(t k) exp(-j2pf n kDt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t k) = Df S(f n) exp(j2pnDft k). (6.1.2)

Нагадаємо, що дискретизація функції у часі призводить до періодизації її спектра, а дискретизація спектру за частотою - до періодизації функції. Не слід також забувати, що значення (6.1.1) числового ряду S(f n) є дискретизацією безперервної функції S"(f) спектру дискретної функції s(t k), так само як і значення (6.1.2) числового ряду s(t k) є дискретизацією безперервної функції s"(t), і при відновленні цих безперервних функцій S"(f) та s"(t) за їх дискретними відліками відповідність S"(f) = S(f) та s"(t) = s(t) гарантовано тільки при виконанні теореми Котельникова-Шеннона.

Для дискретних перетворень s(kDt) S(nDf), і функція, і її спектр дискретні та періодичні, а числові масиви їх подання відповідають завданню на головних періодах Т = NDt (від 0 до Т або від -Т/2 до Т/ 2), і 2f N = NDf (від -f N до f N), де N - кількість відліків, при цьому:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)

Співвідношення (6.1.3) є умовами інформаційної рівноцінності динамічної та частотної форм подання дискретних сигналів. Іншими словами: число відліків функції та її спектра мають бути однаковими. Але кожен відлік комплексного спектру представляється двома речовими числамиі, відповідно, число відліків комплексного спектру вдвічі більше від відліків функції? Це так. Однак уявлення спектру в комплексній формі - не більш ніж зручне математичне поданняспектральної функції, реальні відліки якої утворюються додаванням двох пов'язаних комплексних відліків, а повна інформаціяпро спектр функції у комплексній формі укладено лише в одній його половині - відліках дійсної та уявної частини комплексних чиселу частотному інтервалі від 0 до f N , т.к. інформація другої половини діапазону від 0 до -f N є сполученою з першою половиною і ніякої додаткової інформаціїне несе.

При дискретному поданні сигналів аргумент t k зазвичай проставляється номерами відліків k (за умовчанням Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а перетворення Фур'є виконуються за аргументом n (номер кроку частотою) на основних періодах. При значеннях N, кратних 2:

S(f n) º S n = k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k) º s k = (1/N) S n exp(j2pkn/N), k = 0,1, ..., N-1. (6.1.5)

Головний період спектра (6.1.4) для циклічних частот від -0.5 до 0.5, для кутових частот від -p до p. При непарному значенні N межі головного періоду за частотою (значення ±f N) знаходяться на половину кроку за частотою за відліками ±(N/2) і, відповідно, верхня межапідсумовування (6.1.5) встановлюється рівним N/2.

У обчислювальних операціях на ЕОМ для виключення негативних частотних аргументів ( негативних значеньномерів n) і використання ідентичних алгоритмів прямого та зворотного перетворення Фур'є головний період спектра зазвичай приймається в інтервалі від 0 до 2f N (0 £ n £ N), а підсумовування в (6.1.5) проводиться відповідно від 0 до N-1. При цьому слід враховувати, що комплексно пов'язаним відлікам S n * інтервалу (-N,0) двостороннього спектру в інтервалі 0-2f N відповідають відліки S N+1- n (тобто сполученими відліками в інтервалі 0-2f N є відліки S n і S N+1-n).

Приклад:На інтервалі Т= , N=100, заданий дискретний сигнал s(k) = d(k-i) - прямокутний імпульс з одиничними значеннями на точках k від 3 до 8. Форма сигналу та модуль його спектра в головному частотному діапазоні, обчисленого за формулою S (n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) з нумерацією по n від -50 до +50 з кроком частотою, відповідно, Dw=2p/100, наведені на рис. 6.1.1.

Мал. 6.1.1. Дискретний сигнал та модуль його спектра.

На рис. 6.1.2 наведено огинаючу значень іншої форми подання головного діапазону спектра. Незалежно від форми подання спектр періодичний, у чому неважко переконатися, якщо обчислити значення спектра для більшого інтервалу аргументу n зі збереженням того ж кроку за частотою, як показано на рис. 6.1.3 для огинальної значень спектра.

Мал. 6.1.2. Модуль спектра. Мал. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано зворотне перетворення Фур'є для дискретного спектру, виконане за формулою s"(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), яке показує періодизацію вихідної функції s(k), але головний період k=( 0,99) цієї функції повністю збігається з вихідним сигналом s(k).

Мал. 6.1.4. Зворотне перетворення Фур'є.

Перетворення (6.1.4-6.1.5) називають дискретними перетвореннями Фур'є (ДПФ). Для ДПФ, у принципі, справедливі всі властивості інтегральних перетворень Фур'є, проте при цьому слід враховувати періодичність дискретних функційта спектрів. Створення спектрів двох дискретних функцій (при виконанні будь-яких операцій при обробці сигналів у частотному поданні, як, наприклад, фільтрації сигналів безпосередньо в частотній формі) буде відповідати згортка періодизованих функцій у тимчасовому поданні (і навпаки). Така згортка називається циклічною (див. розділ 6.4) та її результати на кінцевих ділянках інформаційних інтервалів можуть суттєво відрізнятися від згортки фінітних дискретних функцій (лінійного згортки).

З виразів ДПФ можна побачити, що з обчислення кожної гармоніки потрібно N операцій комплексного множення і додавання і відповідно N 2 операцій повне виконання ДПФ. При великих обсягах масивів даних це може призводити до суттєвих витрат часу. Прискорення обчислень досягається при використанні швидкого перетворенняФур'є.

Перешкоди

Перешкодами зазвичай називають сторонні електричні збурення, що накладаються на сигнал, що передається і утруднюють його прийом. За великої інтенсивності перешкод прийом стає практично неможливим.

Класифікація перешкод:

а) перешкоди від сусідніх радіопередавачів (станцій);

б) перешкоди від промислових установок;

в) атмосферні перешкоди (грози, опади);

г) перешкоди, зумовлені проходженням електромагнітних хвильчерез верстви атмосфери: тропосферу, іоносферу;

д) теплові та дробові шуми в елементах радіоланцюгів, обумовлені тепловим рухом електронів.

Математично сигнал на вході приймача можна уявити або у вигляді суми сигналу і перешкоди, що передається, і тоді перешкоду називають адитивний, або просто шумом, або у вигляді твору переданого сигналу та перешкоди, і тоді таку перешкоду називають мультиплікативної. Ця перешкода призводить до значних змін інтенсивності сигналу на вході приймача і пояснює такі явища, як завмирання.

Наявність перешкод ускладнює прийом сигналів за великої інтенсивності перешкод, розпізнавання сигналу може стати практично неможливим. Здатність системи протистояти перешкоді, що заважає, носить назву завадостійкості.

Зовнішні природні активні перешкоди є шумами, що виникають в результаті радіовипромінювання земної поверхніта космічних об'єктів, роботи інших радіоелектронних засобів. Комплекс заходів, вкладених у зменшення впливу взаємних перешкод РЕМ, називається электромагнитной сумісністю. Цей комплекс включає як технічні заходи вдосконалення радіоапаратури, вибір форми сигналу та способу його обробки, так і організаційні заходи: регламентація частоти, рознесення РЕМ у просторі, нормування рівня позасмугових і побічних випромінювань та ін.

11. Дискретизація безперервних сигналів. Теорема Котельникова (відліків). Поняття частоти Найквіста. Концепція інтервалу дискретизації.

У статистичній радіотехніці та фізиці щодо детермінованих сигналів і випадкових процесів широко використовується їх спектральне уявлення у вигляді спектральної щільності, яка базується на перетворенні Фур'є.

Якщо процес має кінцеву енергію та квадратично інтегруємо (а це нестаціонарний процес), то для однієї реалізації процесу можна визначити перетворення Фур'є як випадкову комплексну функціючастоти:

Однак вона виявляється майже марною для опису ансамблю. Виходом із цієї ситуації є відкидання деяких параметрів спектра, а саме спектру фаз, та побудова функції, що характеризує розподіл енергії процесу по осі частот. Тоді згідно з теоремою Парсеваля енергія

Функція S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2))характеризує, таким чином, розподіл енергії реалізації осі частот і називається спектральної щільністю реалізації. Усереднивши цю функцію за всіма реалізаціями можна отримати спектральну щільність процесу.

Перейдемо тепер до стаціонарного широкому значенніцентрованого випадкового процесу x(t) (\displaystyle x(t)), реалізації якого з ймовірністю 1 мають нескінченну енергіюі, отже, немає перетворення Фур'є. Спектральна щільність потужності такого процесу може бути знайдена на підставі теореми Вінера-Хінчина як перетворення Фур'є від кореляційної функції:

Якщо існує пряме перетворення, то існує і зворотне перетворення Фур'є, яке за відомою визначає k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

Якщо вважати у формулах (3) та (4) відповідно f = 0 (\displaystyle f = 0)і τ = 0 (\displaystyle \tau =0), маємо

Формула (6) з урахуванням (2) показує, що дисперсія визначає повну енергію стаціонарного випадкового процесуяка дорівнює площі під кривою спектральної щільності. Розмірну величину S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df)можна трактувати як частку енергії, зосереджену в малому інтервалі частот від f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2)до f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Якщо розуміти під x(t) (\displaystyle x(t))випадковий (флуктуаційний) струм чи напруга, то величина S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))матиме розмірність енергії [2/Гц] = [2 с]. Тому S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))іноді називають енергетичним спектром. У літературі часто можна зустріти іншу інтерпретацію: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))– розглядається як середня потужність, що виділяється струмом чи напругою на опорі 1 Ом. При цьому величину S x (f) (\displaystyle S_(x)(f))називають спектром потужностівипадкового процесу.

Властивості спектральної щільності

• Енергетичний спектр стаціонарного процесу(речовинного або комплексного) – невід'ємна величина:

• Енергетичний спектр речовинного стаціонарного в широкому розумінні випадкового процесу є дійсним і парна функціячастоти:

Величина, що характеризує розподіл енергії по спектру сигналу і звана енергетичної спектральної щільністю, існує лише для сигналів, у яких енергія за нескінченний інтервал часу кінцева і, отже, до них застосовується перетворення Фур'є.

Для незагасаючих у часі сигналів енергія нескінченно велика та інтеграл (1.54) розходиться. Завдання спектра амплітуд неможливе. Однак середня потужність Рср, що визначається співвідношенням

виявляється кінцевою. Тому застосовується ширше поняття "спектральна щільність потужності". Визначимо її як похідну середньої потужності сигналу за частотою та позначимо Сk(щ):

Індексом k підкреслюється, що ми розглядаємо спектральну щільність потужності як характеристику детермінованої функції u(t), що описує реалізацію сигналу.

Ця характеристика сигналу менш змістовна, ніж спектральна щільність амплітуд, оскільки позбавлена ​​фазової інформації [див. (1.38)]. Тому однозначно поновити по ній вихідну реалізацію сигналу неможливо. Проте відсутність фазової інформації дозволяє застосувати це поняття до сигналів, які фаза не визначена.

Для встановлення зв'язку між спектральною щільністю Сk(щ) та спектром амплітуд скористаємося сигналом u(t), що існує на обмеженому інтервалі часу (-T<. t

де - спектральна густина потужності сигналу, обмеженого в часі.

Надалі буде показано (див. § 1.11), що, середня цю характеристику за безліччю реалізацій, можна отримати спектральну густину потужності для великого класу випадкових процесів.

Функція автокореляції детермінованого сигналу

Тепер у частотній області є дві характеристики: спектральна характеристика та спектральна щільність потужності. Спектральна характеристика, що містить повну інформацію про сигнал u(t), відповідає перетворення Фур'є у вигляді тимчасової функції. З'ясуємо, чому відповідає у часовій області спектральна густина потужності, позбавлена ​​фазової інформації.

Слід припустити, що однієї й тієї спектральної щільності потужності відповідає безліч часових функцій, що відрізняються фазами. Радянським ученим Л.Я. Хінчіним та американським вченим Н. Вінером практично одночасно було знайдено зворотне перетворення Фур'є від спектральної щільності потужності:

Узагальнену тимчасову функцію r(), що не містить фазової інформації, назвемо часовою автокореляційною функцією. Вона показує ступінь зв'язку значень функції u(t), розділених інтервалом часу, і може бути отримана статистичної теорії шляхом розвитку поняття коефіцієнта кореляції. Зазначимо, що у часовій функції кореляції усереднення проводиться за часом у межах однієї реалізації досить великої тривалості.

Для повноти ми коротко обговоримо нижче поняття спектра та спектральної густини. Застосування цих важливих понять докладніше описано у . Ми не використовуємо їх для аналізу часових рядів у цій книзі, тому при першому читанні цей розділ можна опустити.

Вибірковий спектр. Під час визначення періодограми (2.2.5) передбачається, що частоти є гармоніками основний частоти . Вводячи спектр, ми послаблюємо це і дозволяємо частоті змінюється безперервно в діапазоні 0-0,5 Гц. Визначення періодограми може бути змінено так:

, , (2.2.7)

де називається вибірковим спектром. Подібно до періодограми, він може бути використаний для виявлення та оцінки амплітуд синусоїдальної компоненти невідомої частоти , прихованої в шумі, і дійсно це навіть зручніше, якщо тільки не відомо, що частота пов'язана гармонійно з довгою ряду, тобто . Більше того, він є відправним пунктом для теорії спектрального аналізу, що використовує важливе співвідношення, наведене у додатку П2.1. Це співвідношення встановлює зв'язок вибіркового аналізу спектра та оцінок автоковаріаційної функції:

. (2.2.8)

Таким чином, вибірковий спектр – це косинус-перетворення Фур'є вибіркової автоковарійної функції.

Спектр. Періодограма і вибірковий спектр - зручні поняття аналізу часових рядів, утворених сумішшю косинусоїд синусоїд з постійними частотами, прихованими в шумі. Однак стаціонарні часові ряди такого типу, як описані в розд. 2.1, характеризуються випадковими змінами частоти, амплітуди та фази. Для таких рядів вибірковий спектр сильно флуктує і не допускає будь-якої розумної інтерпретації.

Припустимо, однак, що вибірковий спектр був обчислений для тимчасового ряду спостережень, що є реалізацією стаціонарного нормального процесу. Як уже говорилося вище, такий процес не має ніяких детермінованих синусоїдальних або косинусоїдальних компонентів, але ми можемо формально провести аналіз Фур'є і отримати значення для будь-якої частоти. Якщо повторні реалізації спостережень породжені стохастичним процесом, ми можемо зібрати популяцію значень і . Тоді ми можемо знайти середнє значення за повторними реалізаціями довжини, а саме

. (2.2.9)

Для великих значень можна показати (див., наприклад, ), що середнє значення автоковаріації у повторних реалізаціях йти до теоретичної автоковаріації, тобто.

Переходячи до межі (2.2.9) для , визначаємо спектру потужності як

, . (2.2.10)

Зазначимо, що оскільки

то для збіжності спектра має зменшуватися зі зростанням настільки швидко, що забезпечувати збіжність ряду (2.2.11). Так як спектр потужності це косинус - перетворення Фур'є автоковаріаційної функції, знання автоковаріаційної функції математично еквівалентне знання спектра потужності і навпаки. Далі ми називатимемо спектр потужності просто спектром.

Інтегруючи (2.2.10) в межах від 0 і 1/2, знайдемо дисперсію процесу

. (2.2.12)

Отже, як і періодограма показує, яким чином дисперсія (2.2.6) ряду, що складається з суміші синусоїд і косінусоїд, розподілена між різними гармонійними компонентами, спектр показує, як дисперсія стохастичного процесу розподілена в безперервному діапазоні частот. Можна інтерпретувати як наближене значення дисперсії процесу частотному діапазоні від до .

Нормований спектр. Іноді зручніше визначати спектр (2.2.10) за допомогою автокореляцій, а не автоковарацій. Результуюча функція

, (2.2.13). Проте можна показати (див. ), що вибірковий спектр стаціонарного часового ряду сильно флуктує навколо теоретичного спектра. Інтуїтивне пояснення цього факту полягає в тому, що вибірковий спектр відповідає використанню надто вузького інтервалу частотної області. Це аналогічно використанню занадто вузького інтервалу групування для гістограми при оцінці звичайного розподілу ймовірностей, використовуючи модифіковану або згладжену оцінку

, (2.2.14)

де - спеціально підібрані ваги, які називають кореляційним вікном, можна збільшити «ширину смуги» оцінки і отримає згладжену оцінку спектра.

На рис. 2.8 показано вибіркову оцінку спектра даних про партії продукту. Видно, що дисперсія ряду сконцентрована переважно на високих частотах. Це викликано швидкими осциляціями ряду, показаного на рис. 2.1.