Способи розв'язання квадратних рівнянь.
Розв'язання показових рівнянь. приклади.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Що таке показове рівняння? Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться в показникахякихось ступенів. І лише там! Це важливо.
Ось вам приклади показових рівнянь:
3 х · 2 х = 8 х +3
Зверніть увагу! В основах ступенів (внизу) - тільки числа. У показникахступенів (вгорі) - найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс десь, крім показника, наприклад:
це вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. Тут ми розбиратимемося з розв'язанням показових рівняньВ чистому вигляді.
Загалом навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які можна вирішувати і потрібно. Ось ці типи ми розглянемо.
Вирішення найпростіших показових рівнянь.
Спочатку вирішимо щось зовсім елементарне. Наприклад:
Навіть без будь-яких теорій, по простому підбору ясно, що х=2. Більше ніяк, вірно!? Жодне інше значення ікса не котить. А тепер глянемо на запис розв'язання цього хитрого показового рівняння:
Що ми зробили? Ми фактично викинули однакові підстави (трійки). Зовсім викинули. І що радує, потрапили в крапку!
Справді, якщо у показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях, ці числа можна забрати і прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє. Залишається дорішати більш просте рівняння. Здорово, правда?)
Однак запам'ятаємо залізно: прибирати підстави можна тільки тоді, коли ліворуч і праворуч числа-основи перебувають у гордій самоті!Без будь-яких сусідів та коефіцієнтів. Скажімо, в рівняннях:
2 х +2 х+1 = 2 3 або
двійки прибирати не можна!
Ну ось, найголовніше ми й освоїли. Як переходити від злих показових виразів до простіших рівнянь.
"Ось ті рази!" – скажете ви. "Хто ж дасть такий примітив на контрольних та іспитах!?"
Вимушений погодитись. Ніхто не дасть. Але тепер ви знаєте, куди треба прагнути при вирішенні заморочених прикладів. Треба приводити його до вигляду, коли ліворуч - праворуч стоїть те саме число-основа. Далі все буде легше. Власне, це є класика математики. Беремо вихідний приклад та перетворюємо його до потрібного намвиду. За правилами математики, зрозуміло.
Розглянемо приклади, які потребують додаткових зусиль для приведення їх до найпростіших. Назвемо їх простими показовими рівняннями.
Вирішення простих показових рівнянь. приклади.
При вирішенні показових рівнянь головні правила - дії зі ступенями.Без знання цих дій нічого не вийде.
До дій зі ступенями треба додати особисту спостережливість та кмітливість. Нам потрібні однакові числа-підстави? Ось і шукаємо їх у прикладі у явному чи зашифрованому вигляді.
Подивимося, як це робиться на практиці?
Нехай нам дано приклад:
2 2х - 8 х +1 = 0
Перший пильний погляд - на основи.Вони... Вони різні! Два та вісім. Але засмучуватися - рано. Саме час згадати, що
Двійка і вісімка - родички за рівнем.) Цілком можна записати:
8 х+1 = (2 3) х+1
Якщо згадати формулку з дій зі ступенями:
(а n) m = a nm ,
то взагалі добре виходить:
8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)
Вихідний приклад став виглядати так:
2 2х - 2 3(х +1) = 0
Переносимо 2 3 (х+1)вправо (елементарних дій математики ніхто не скасовував!), отримуємо:
2 2х = 2 3(х+1)
Ось практично і все. Прибираємо підстави:
Вирішуємо цього монстра та отримуємо
Це правильна відповідь.
У цьому прикладі нас врятувало знання ступенів двійки. Ми упізналиу вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав під різними числами) – дуже популярний прийом у показових рівняннях! Та й у логарифмах теж. Потрібно вміти дізнаватися в числі інших чисел. Це дуже важливо для вирішення показових рівнянь.
Справа в тому, що звести будь-яке число в будь-який ступінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та й годі. Наприклад, звести 3 у п'яту ступінь зможе кожен. 243 вийде, якщо таблицю множення знаєте.) Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки... яке число якою міроюховається за числом 243, або, скажімо, 343... Тут вам ніякий калькулятор не допоможе.
Ступені деяких чисел треба знати в обличчя, так... Потренуємось?
Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Відповіді (безладно, природно!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Якщо придивитися, можна побачити дивний факт. Відповідей значно більше, ніж завдань! Що ж, так буває... Наприклад, 2 6 , 4 3 , 8 2 це все 64.
Припустимо, що ви взяли до відома інформацію про знайомство з числами.) Нагадаю ще, що для вирішення показових рівнянь застосуємо весьзапас математичних знань. У тому числі з молодших-середніх класів. Ви ж не відразу до старших класів пішли, вірно?)
Наприклад, при вирішенні показових рівнянь часто допомагає винесення загального множника за дужки (привіт 7 класу!). Дивимося приклад:
3 2х +4 -11 · 9 х = 210
І знову, перший погляд – на підстави! Підстави у ступенів різні... Трійка та дев'ятка. А нам хочеться, щоби були – однакові. Що ж, у разі бажання цілком здійсненне!) Тому, що:
9 х = (3 2) х = 3 2х
За тими ж правилами дій зі ступенями:
3 2х +4 = 3 2х · 3 4
Ось і добре, можна записати:
3 2х · 3 4 - 11 · 3 2х = 210
Ми навели приклад до однакових підстав. І що далі!? Трійки не можна викидати... Тупик?
Зовсім ні. Запам'ятовуємо найуніверсальніше і найпотужніше правило рішення всіхматематичних завдань:
Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!
Дивишся, все й утворюється.
Що в цьому показовому рівнянні можна, можливозробити? Та в лівій частині прямо проситься винесення за дужки! Загальний множник 3-х явно натякає на це. Спробуємо, а далі буде видно:
3 2х (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Приклад стає все краще та краще!
Згадуємо, що для ліквідації підстав нам необхідний чистий ступінь, без жодних коефіцієнтів. Нам число 70 заважає. Ось і ділимо обидві частини рівняння на 70, отримуємо:
Оп-па! Все налагодилося!
Це остаточна відповідь.
Трапляється, однак, що вирулювання на однакові підстави виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває у показових рівняннях іншого типу. Освоїмо цей тип.
Заміна змінної у вирішенні показових рівнянь. приклади.
Розв'яжемо рівняння:
4 х - 3 · 2 х +2 = 0
Спочатку – як завжди. Переходимо до однієї основи. До двійки.
4 х = (2 2) х = 2 2х
Отримуємо рівняння:
2 2х - 3 · 2 х +2 = 0
А ось тут і зависнемо. Попередні прийоми не спрацюють, як не крутись. Прийде діставати з арсеналу ще один могутній і універсальний спосіб. Називається він заміна змінної.
Суть способу проста напрочуд. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2 х) пишемо інший, простіше (наприклад – t). Така, здавалося б, безглузда заміна призводить до потрясних результатів!) Просто все стає зрозумілим!
Отже, нехай
Тоді 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2
Замінюємо в нашому рівнянні всі ступені з іксами на t:
Ну що, осяює?) Квадратні рівняння не забули ще? Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
Тут, головне, не зупинятися, як буває... Це ще не відповідь, нам потрібен ікс, а не t. Повертаємося до іксів, тобто. робимо зворотну заміну. Спочатку для t 1:
Стало бути,
Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
Гм... Зліва 2 х, праворуч 1... Проблема? Та ні! Досить (з дій зі ступенями, так ...), що одиниця - це будь-якечисло в нульовому ступені. Будь-яке. Яке треба, таке й поставимо. Нам потрібна двійка. Значить:
Ось тепер все. Отримали 2 корені:
Це відповідь.
При розв'язанні показових рівняньнаприкінці іноді виходить якийсь незручний вираз. Типу:
З сімки двійка через простий ступінь не виходить. Чи не родичі вони... Як тут бути? Хтось, може, й розгубиться... А ось людина, яка прочитала на цьому сайті тему "Що таке логарифм?" , тільки скупо усміхнеться і запише твердою рукою цілком вірну відповідь:
Такої відповіді у завданнях "В" на ЄДІ бути не може. Там конкретне число потрібне. А ось у завданнях "С" – запросто.
У цьому уроці наведено приклади розв'язання найпоширеніших показових рівнянь. Виділимо головне.
Практичні поради:
1. Насамперед дивимося на основиступенів. Розуміємо, чи не можна їх зробити однаковими.Пробуємо це зробити, активно використовуючи дії зі ступенями.Не забуваємо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міру!
2. Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях. Використовуємо дії зі ступенямиі розкладання на множники.Те, що можна порахувати в числах - вважаємо.
3. Якщо друга рада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінної. У результаті може вийти рівняння, яке легко вирішується. Найчастіше – квадратне. Або дробове, що теж зводиться до квадратного.
4. Для успішного розв'язання показових рівнянь треба ступеня деяких чисел знати "на обличчя".
Як завжди, наприкінці уроку вам пропонується трохи вирішити.) Самостійно. Від простого – до складного.
Розв'язати показові рівняння:
Складніше:
2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48
9 х - 8 · 3 х = 9
2 х - 2 0,5 х +1 - 8 = 0
Знайти твір коріння:
2 3-х + 2 х = 9
Вийшло?
Ну, тоді найскладніший приклад (вирішується, щоправда, в умі...):
7 0.13х + 13 0,7 х +1 + 2 0,5 х +1 = -3
Що вже цікавіше? Тоді ось вам злий приклад. Цілком тягне на підвищену трудність. Нам'якну, що в цьому прикладі рятує кмітливість і найуніверсальніше правило вирішення всіх математичних завдань.)
2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х
Приклад простіше, для відпочинку):
9 · 2 х - 4 · 3 х = 0
І на десерт. Знайти суму коренів рівняння:
х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0
Так Так! Це рівняння змішаного типу! Які ми у цьому уроці не розглядали. А що їх розглядати, їх вирішувати треба!) Цього уроку цілком достатньо для вирішення рівняння. Ну і, кмітливість потрібна... І хай допоможе вам сьомий клас (це підказка!).
Відповіді (безладно, через точку з комою):
1; 2; 3; 4; рішень немає; 2; -2; -5; 4; 0.
Все вдало? Чудово.
Є проблеми? Не питання! У Особливому розділі 555 усі ці показові рівняння вирішуються з докладними поясненнями. Що навіщо і чому. Ну і, звичайно, там є додаткова цінна інформація щодо роботи з усілякими показовими рівняннями. Не лише з цими.)
Останнє цікаве питання на міркування. На цьому уроці ми працювали з показовими рівняннями. Чому я тут жодного слова не сказав про ОДЗ?В рівняннях - це дуже важлива штука, між іншим.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Розв'язання рівнянь та нерівностей з модулемчасто викликає труднощі. Однак, якщо добре розуміти, що таке модуль числа, і як правильно розкривати вирази, що містять знак модуля, то наявність у рівнянні вирази, що стоїть під знаком модуля, перестає бути перешкодою щодо його рішення.
Трохи теорії. Кожне число має дві характеристики: абсолютне значення числа та його знак.
Наприклад, число +5 або просто 5 має знак "+" і абсолютне значення 5.
Число -5 має знак "-" та абсолютне значення 5.
Абсолютні значення чисел 5 та -5 дорівнюють 5.
Абсолютне значення числа х називається модулем числа та позначається | x |.
Як бачимо, модуль числа дорівнює самому числу, якщо це число більше або дорівнює нулю, і цьому числу з протилежним знаком, якщо це число є негативним.
Це стосується будь-яких виразів, які стоять під знаком модуля.
Правило розкриття модуля виглядає так:
|f(x)|= f(x), якщо f(x) ≥ 0 і
|f(x)|= - f(x), якщо f(x)< 0
Наприклад |x-3|=x-3, якщо x-3≥0 і |x-3|=-(x-3)=3-x, якщо x-3<0.
Щоб вирішити рівняння, що містить вираз, що стоїть під знаком модуля, потрібно спочатку розкрити модуль за правилом розкриття модуля.
Тоді наше рівняння чи нерівність перетворюється два різних рівняння, що існують на двох різних числових проміжках.
Одне рівняння існує на числовому проміжку, у якому вираз, що стоїть під знаком модуля неотрицательно.
А друге рівняння існує на проміжку, на якому вираз, що стоїть під знаком модуля негативно.
Розглянемо найпростіший приклад.
Розв'яжемо рівняння:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Розкриємо модуль.
|x-3|=x-3, якщо x-3≥0, тобто. якщо х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, якщо x-3<0, т.е. если х<3
2. Ми отримали два числові проміжки: х≥3 і х<3.
Розглянемо, у які рівняння перетворюється вихідне рівняння кожному проміжку:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, і наше уранення має вигляд:
Увага! Це рівняння існує лише на проміжку х≥3!
Розкриємо дужки, наведемо таких членів:
і розв'яжемо це рівняння.
Це рівняння має коріння:
х 1 =0, х 2 =3
Увага! оскільки рівняння x-3=-x 2 +4x-3 існує тільки на проміжку х≥3, нас цікавить тільки те коріння, яке належить цьому проміжку. Цій умові задовольняє лише х 2 =3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Увага! Це рівняння існує тільки на проміжку х<3!
Розкриємо дужки, наведемо таких членів. Отримаємо рівняння:
х 1 =2, х 2 =3
Увага! оскільки рівняння 3-х = -x 2 +4x-3 існує тільки на проміжку x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Отже: з першого проміжку беремо лише корінь х=3, з другого - корінь х=2.
