Сума чисел від 1 до 5. Цікава математика: правило Гауса

Вміст:

Цілі числа – це числа, які містять дробову чи десяткову частина. Якщо задачі потрібно скласти певну кількість цілих чисел від 1 до заданого значення N, їх не потрібно складати вручну. Натомість скористайтеся формулою (N(N+1))/2, де N - найбільше число ряду.

Кроки

1. 1 Визначте найбільше ціле число (N).Підсумовуючи цілі числа від 1 до будь-якого заданого числа N, ви повинні визначити значення N (N не може бути десятковим чи дробом чи негативним числом).
   • приклад. Знайдіть суму всіх цілих чисел від 1 до 100. І тут N=100, оскільки це найбільше (і кінцеве) число даного вам числового ряду.
2. 2 Помножте N на (N +1) та розділіть результат множення на 2.Коли ви визначили ціле значення N, підставте його у формулу (N(N+1))/2 і знайдете суму всіх цілих чисел від 1 до N.
   • приклад. Підставте N=100 та отримайте (100(100+1))/2.
3. 3 Запишіть відповідь.Остаточна відповідь є сума всіх цілих чисел від 1 до даного N.
   • приклад.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • Сума всіх цілих чисел від 1 до 100 дорівнює 5050.
4. 4 Висновок формули (N(N+1))/2.Ще раз розглянемо вищеописаний приклад. Подумки розділіть ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 на два ряди – перший від 1 до 50, а другий від 51 до 100. Якщо ви складете перше число (1) першого ряду та останнє число (100) ) другого ряду, то ви отримаєте 101. Ви також отримаєте 101, якщо складете 2 та 99, 3 та 98, 4 та 97, і так далі. Якщо кожне число першої групи скласти з відповідним числом другої групи, то в результаті ми отримаємо 50 чисел, кожне з яких дорівнює 101. Тому 50 * 101 = 5050 - сума чисел від 1 до 100. 101 = 100 + 1. Насправді це справедливо для суми будь-яких позитивних цілих чисел: їхнє підсумовування можна розбити на два етапи з двома рядами чисел, причому відповідні числа в кожному ряду можуть бути складені один з одним, а результат додавання буде однаковим.
   • Можна сміливо сказати, що сума цілих чисел від 1 до N дорівнює (N/2)(N+1). Спрощений запис цієї формули є формулою (N(N+1))/2.

Обчислення суми чисел, розташованих між двома числами, сумою від 1 до N

1. 1 Визначте варіант підсумовування (включно чи ні).Часто в задачах замість того, щоб знайти суму чисел від 1 до заданого числа N, просять знайти суму цілих чисел від N 1 до N 2 , де N 2 > N 1 і обидва числа > 1. Обчислити таку суму досить просто, але, насамперед ніж приступати до обчислень, ви повинні визначити, чи включаються дані числа N 1 і N 2 в кінцеву суму чи ні.
2. 2 Щоб знайти суму цілих чисел між двома числами N 1 і N 2 , окремо знайдіть суму до N 1 , окремо знайдіть суму до N 2 і відніміть їх один від одного (відніміть суму до меншого значення N із суми до більшого значення N). При цьому важливо знати, чи підсумовувати включно чи ні. При підсумовуванні включно ви повинні відняти 1 даного значення N 1 ; в іншому випадку ви повинні відняти 1 з даного значення N 2 .
   • приклад. Знайдемо суму («включно») цілих чисел від N 1 = 75 до N 2 = 100. Інакше кажучи, ми маємо знайти 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Щоб вирішити завдання, ми маємо знайти суму цілих чисел від 1 до N 1 -1, а потім відняти її від суми чисел від 1 до N 2 (запам'ятайте: при підсумовуванні включно ми віднімаємо 1 з N 1):
     • (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 – 2775 = 2275. Сума чисел від 75 до 100 («включно») дорівнює 2275.
   • Тепер знайдемо суму чисел без включення цих чисел (іншими словами, ми повинні знайти 76+77+...+99). У цьому випадку ми віднімаємо 1 з N 2:
     • ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 – 2850 = 2100. Сума чисел від 75 до 100 (без включення цих чисел) дорівнює 2100.
3. 3 Усвідомте процес.Уявіть собі суму цілих чисел від 1 до 100 як 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 і суму цілих чисел від 1 до 75 як 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Сума цілих чисел від 75 до 100 («включно») є обчислення: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Сума чисел від 1 до 75 і сума чисел від 1 до 100 до числа 75, але сума чисел від 1 до 100 після числа 75 триває: … + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Таким чином, віднімаючи суму чисел від 1 до 75 із суми чисел від 1 до 100 ми «ізолюємо» суму цілих чисел від 75 до 100.
   • Якщо ми сумуємо включно, ми повинні використовувати суму від 1 до 74, а не на суму від 1 до 75, щоб включити число 75 у кінцеву суму.
   • Аналогічно, якщо ми сумуємо без включення даних чисел, ми повинні використовувати суму від 1 до 99, а не на суму від 1 до 100, щоб виключити число 100 із кінцевої суми. Ми можемо використовувати суму від 1 до 75, тому що її віднімання із суми від 1 до 99 виключає число 75 з кінцевої суми.

• В результаті обчислення суми завжди виходить ціле число, тому що або N, або N +1 - парне число, яке ділиться на 2 без залишку.
• Сума = Сума - Сума.
• Іншими словами: Сума = n(n+1)/2

Попередження

• Хоча поширити цей метод на негативні числа не дуже складно, у цій статті розглядаються тільки будь-які позитивні цілі числа N, де N більше або 1.

Допоможіть будь ласка!! обчисліть суму натуральних чисел від 1+2+3+4+...+97+98+99+100. і отримав найкращу відповідь

Відповідь від Олександр Хейнонен[гуру]
Видатного німецького математика Карла Фрідріха Гауса (1777-1855) сучасники називали «королем математики».
Ще в ранньому дитинстві він виявляв неабиякі математичні здібності. У віці трьох років Гаус вже виправляв рахунки батька.
Розповідають, що у початковій школі, де навчався Гаус (6 років), вчитель, щоб зайняти клас на тривалий час самостійною роботою, дав завдання учням – обчислити суму всіх натуральних чисел від 1 до 100. Маленький Гаус відповів на запитання майже миттєво, ніж неймовірно здивував усіх і, перш за все, вчителі.
Давайте спробуємо усно вирішити задачу про знаходження суми вказаних вище чисел. Для початку візьмемо суму чисел від 1 до 10: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
Гаус виявив, що 1 + 10 = 11, і 2 + 9 = 11, і так далі. Він визначив, що при додаванні натуральних чисел від 1 до 10 виходить 5 таких пар, і що 5 разів по 11 дорівнює 55.
Гаусс побачив, що додавання чисел всього ряду слід проводити попарно, і склав алгоритм швидкого складання чисел від 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Необхідно підрахувати кількість пар чисел у послідовності від 1 до 100. Отримуємо 50 пар.
2. Складаємо перше та останнє числа всієї послідовності. У нашому випадку це 1 та 100. Отримуємо 101.
3. Примножуємо кількість пар чисел у послідовності на отриману в пункті 2 суму. Отримуємо 5050.
Таким чином, сума натуральних чисел від 1 до 100 дорівнює 5050.
Проста формула: сума чисел від 1 до n = n * (n+1): 2. Замість n підставляйте останнє число та обчислюйте.
Перевірте! Це працює!

Відповідь від Аня Фертікова[Новичок]
5050

Відповідь від Михайло Медведєв[активний]
5050

Відповідь від Павло Солом'яних[Новичок]
5050

Відповідь від Алевтина башкова[Новичок]
5050

Відповідь від Аігр Тихомирова[активний]
5050

Відповідь від Марія дібровіна[Новичок]
5050

Відповідь від Кавіл Бадіров[Новичок]
5050

Відповідь від Дмитро[активний]
5050

Відповідь від Євген Саяпов[активний]
5050

Відповідь від 2 відповіді[гуру]

Цикл «Цікава математика» присвячений діткам, що захоплюються математикою та батькам, які приділяють час розвитку своїх дітей, «підкидаючи» їм цікаві та цікаві завдання, головоломки.

Перша стаття цього циклу присвячена правилу Гаусса.

Трішки історії

Відомий німецький математик Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) з дитинства відрізнявся від своїх однолітків. Незважаючи на те, що він був із небагатої сім'ї, він досить рано навчився читати, писати, рахувати. У його біографії є ​​навіть згадка про те, що у віці 4-5 років він зміг скоригувати помилку в невірних підрахунках батька, просто спостерігаючи за ним.

Одне з перших його відкриттів було зроблено у віці 6 років на уроці математики. Вчителю було потрібно захопити дітей на тривалий час і він запропонував таке завдання:

Знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 100.

Юний Гаус справився з цим завданням досить швидко, знайшовши цікаву закономірність, яка набула великого поширення і застосовується до цього дня при усному рахунку.

Давайте спробуємо вирішити це завдання усно. Але для початку візьмемо числа від 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Подивіться уважно на цю суму і спробуйте здогадатися, що ж незвичайного розгледів Гаус? Для відповіді необхідно добре уявляти склад чисел.

Гаус згрупував числа наступним чином:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Таким чином, маленький Карл отримав 5 пар чисел, кожна з яких окремо в сумі дає 11. Тоді, щоб обчислити суму натуральних чисел від 1 до 10 необхідно

Повернемося до початкового завдання. Гаус зауважив, що перед підсумовуванням необхідно групувати числа в пари і тим самим винайшов алгоритм, завдяки якому можна швидко скласти числа від 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Знаходимо кількість пар у ряді натуральних чисел. У разі їх 50.

Підсумовуємо перше та останнє числа даного ряду. У нашому прикладі це 1 і 100. Отримуємо 101.

Помножуємо отриману суму першого та останнього члена ряду на кількість пар цього ряду. Отримуємо 101*50 = 5050

Отже, сума натуральних чисел від 1 до 100 дорівнює 5050.

Завдання на використання правила Гауса

А зараз до вашої уваги пропонуються завдання, в яких тією чи іншою мірою використовується правило Гауса. Ці завдання цілком здатний зрозуміти і вирішити четверокласник.

Можна дати можливість дитині поміркувати самому, щоб вона сама «винайшла» це правило. А можна розібрати разом і подивитися, як він зможе його застосувати. Серед наведених нижче завдань є приклади, в яких потрібно зрозуміти як модифікувати правило Гауса, щоб його застосувати до даної послідовності.

У будь-якому випадку, щоб дитина могла оперувати цим у своїх обчисленнях, необхідно розуміння алгоритму Гауса, тобто вміння розбити правильно по парах і порахувати.

Важливо!Якщо буде завчено формулу без розуміння, це дуже швидко буде забуто.

Завдання 1

Знайти суму чисел:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Рішення.

Спочатку можна дати можливість дитині вирішити перший приклад і запропонувати знайти спосіб, при якому це зробити легко в розумі. Далі розібрати цей приклад разом із дитиною та показати як це зробив Гаусс. Найкраще для наочності записати ряд і з'єднати лініями пари чисел, що дають у сумі однакове число. Важливо, щоб дитина зрозуміла як утворюються пари - беремо найменше і найбільше з чисел, що залишилися, за умови, що кількість чисел у ряді парна.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Завдання2

Є 9 гир вагою 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Чи можна розкласти ці гирі на три купки з рівною вагою?

Рішення.

За допомогою правила Гауса знаходимо суму всіх ваг:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Значить, якщо ми зможемо згрупувати гирі так, щоб у кожній купці були гірі сумарною вагою 15г, завдання вирішене.

Один з варіантів:

• 9г, 6г
• 8г, 7г
• 5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Інші можливі варіанти знайдіть самі з дитиною.

Зверніть увагу дитини на те, що коли вирішуються подібні завдання, краще завжди починати групувати з більшої ваги (числа).

Завдання 3

Чи можна розділити циферблат годинника прямою лінією на дві частини так, щоб суми чисел у кожній частині дорівнювали?

Рішення.

Для початку до ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 застосуємо правило Гауса: знайдемо суму і подивимося, чи вона ділиться на 2:

Отже розділити можна. Тепер подивимося як.

Отже, треба провести лінію на циферблаті так, щоб три пари потрапили в одну половину, а три в іншу.

Відповідь: лінія пройде між числами 3 та 4, а потім між числами 9 та 10.

Завдання4

Чи можна провести на циферблаті годинника дві прямі лінією так, щоб у кожній частині сума чисел була однаковою?

Рішення.

Для початку до ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 застосуємо правило Гауса: знайдемо суму і подивимося чи ділитися вона на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 ділитися на 3 без залишку, значить можна розділити. Тепер подивимося як.

За правилом Гауса у нас виходить 6 пар чисел, кожна з яких у сумі дає 13:

1 та 12, 2 та 11, 3 та 10, 4 та 9, 5 та 8, 6 та 7.

Отже, треба провести лінії на циферблаті так, щоб у кожну частину потрапили по дві пари.

Відповідь: перша лінія пройде між числами 2 та 3, а потім між числами 10 та 11; друга лінія між числами 4 і 5, а потім між 8 і 9.

Завдання 5

Летить зграя птахів. Попереду один птах (ватажок), за ним два, потім три, чотири і т. д. Скільки птахів у зграї, якщо в останньому ряду їх 20?

Рішення.

Отримуємо, що нам необхідно додати числа від 1 до 20. А до обчислення такої суми можна застосувати правило Гауса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Завдання 6

Як розсадити 45 кроликів у 9 клітин так, щоб у всіх клітинах була різна кількість кроликів?

Рішення.

Якщо дитина вирішила і з розумінням розібрала приклади із завдання 1, то тут же згадується, що 45 це сума чисел від 1 до 9. Отже, садимо кроликів так:

• перша клітина - 1,
• друга - 2,
• третя - 3,
• восьма - 8,
• дев'ята - 9.

Але якщо дитина відразу не може збагнути, то спробуйте наштовхнути її на думку про те, що подібні завдання можна вирішити перебором і треба починати з мінімального числа.

Завдання 7

Обчислити суму, використовуючи прийом Гауса:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Рішення.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Завдання 8

Є набір з 12 гирьок масою 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. З набору прибрали 4 гирки, загальна маса яких дорівнює третині загальної маси всього набору гирьок. Чи можна гирки, що залишилися, розташувати на двох чашках ваг по 4 штуки на кожній чашці так, щоб вони опинилися в рівновазі?

Рішення.

Застосовуємо правило Гауса, щоб знайти загальну масу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Обчислюємо масу гирек, які прибрали:

Отже, гирки, що залишилися (загальною масою 78-26 = 52г) треба розмістити по 26 г на кожну чашу терезів, щоб вони опинилися в рівновазі.

Нам не відомо які гирки були прибрані, отже, ми повинні розглянути всі можливі варіанти.

Застосовуючи правило Гауса можна розбити гирки на 6 пар з рівною вагою (по 13г):

1г та 12г, 2г та 11г, 3г та 10, 4г та 9г, 5г та 8г, 6г та 7г.

Тоді найкращий варіант, коли при забиранні 4 гирек заберуться дві пари з наведених вище. У цьому випадку у нас залишаться 4 пари: 2 пари на одну чашу терезів і 2 пари на іншу.

Найгірший варіант - це коли 4 прибрані гирки розіб'ють 4 пари. У нас залишаться 2 нерозбиті пари загальною вагою 26г, значить їх поміщаємо на одну чашу терезів, а гирки, що залишилися, можна помістити на іншу чашу терезів і вони теж будуть 26г.

Успіхів у розвитку Ваших дітей.