Існує три випадки розташування прямої та площини. Взаємне розташування точки, прямої та площини

КВИТОК 16.

Властивості піраміди, яка має двогранні кути рівні.

А) Якщо бічні грані піраміди з її основою утворюють рівні двогранні кути, то всі висоти бічних граней піраміди рівні (у правильної піраміди це апофеми), і вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в багатокутник основи.

Б) У піраміди можуть бути рівні двогранні кути при основі тоді, коли в багатокутник основи можна вписати коло.

Призма. Визначення. Елементи. Види призм.

Призма-це багатогранник, дві грані якого є рівними багатокутниками, що у паралельних площинах, інші грані - паралелограммами.

Грані, що знаходяться у паралельних площинах, називаються підставамипризми, а інші грані - бічними гранямипризми.

Залежно від заснування призми бувають:

1) трикутними

2) чотирикутними

3) шестикутними

Призма з бічними ребрами, перпендикулярними її основам, називається прямий призмою.

Пряма призма називається правильною, якщо її підстави – правильні багатокутники.

КВИТОК 17.

Властивість діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

Усі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні.

У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Провівши діагональ основи АС, отримаємо трикутники АС 1 С та АСВ. Обидва вони прямокутні: перший тому, що паралелепіпед прямий і, отже, ребро СС 1 перпендикулярно до основи; другий тому, що паралелепіпед прямокутний і, отже, в основі його лежить прямокутник. З цих трикутників знаходимо:

АС 1 2 = АС 2 + СС 1 2 та АС 2 = АВ 2 + ВС 2

Отже, AC 12 = АВ2 + ВС2 + СС12 = АВ2 + AD2 + АА12.

Випадки взаємного розташування двох площин.

ВЛАСТИВОСТІ 1:

Лінії перетину двох паралельних площин третьою площиною паралельні.

ВЛАСТИВОСТІ 2:

Відрізки паралельних прямих, укладених між двома паралельними площинами, дорівнюють довжині.

ВЛАСТИВОСТІ 3

Через кожну точку простору, що не лежить у даній площині, можна провести площину, паралельну цій площині, і до того ж лише одну.

КВИТОК 18.

Властивість протилежних граней паралелепіпеда.

Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

Наприклад , площини паралелограмів АА 1 В 1 В і DD 1 C 1 C паралельні, так як прямі АВ і АА 1 площини АА 1 В 1, що перетинаються, відповідно паралельні двом перетинаються прямим DC і DD 1 площини DD 1 C 1 . Паралелограми АА 1 В 1 В і DD 1 C 1 C рівні (тобто їх можна поєднати накладенням), так як рівні сторони АВ і DС, АА 1 і DD 1 і рівні кути А 1 АВ і D 1 DC.

Площа поверхонь призми, піраміди, правильної піраміди.

Правильна піраміда: Sповн.пов. =3SASB+Sосн.

Взаємне розташування двох прямих

Наступні твердження висловлюють необхідні та достатні ознаки взаємного розташування двох прямих у просторі, заданих канонічними рівняннями

а) Прямі схрещуються, тобто. не лежать на одній площині.

б) Прямі перетинаються.

Але вектори і неколінеарні (інакше їх координати пропорційні).

в) Прямі паралельні.

Вектори і колінеарні, але вектор їм неколінеарний.

г) Прямі збігаються.

Усі три вектори: , колінеарні.

Доведення.Доведемо достатність зазначених ознак

а) Розглянемо вектор та напрямні вектори даних прямих

ці вектори некомпланарні, отже, дані прямі не лежать на одній площині.

б) Якщо, то вектори компланарні, отже дані прямі лежать в одній площині, а так як у випадку ( б) напрямні вектори і цих прямих передбачаються неколінеарними, то прямі перетинаються.

в) Якщо напрямні вектори та даних прямих колінеарні, то прямі чи паралельні, чи збігаються. В разі ( в) Прямі паралельні, т.к. за умовою вектор, початок якого знаходиться в точці першої прямої, а кінець – у точці другої прямої не колінеарен.

г) Якщо всі вектори та колінеарні, то прямі збігаються.

Необхідність ознак доводиться шляхом протилежного.

Клетеник №1007

Наступні твердження дають необхідні та достатні умови взаємного розташування прямої, заданої канонічними рівняннями

та площині, заданої загальним рівнянням

щодо загальної декартової системи координат.

Площина та пряма перетинаються:

Площина та пряма паралельні:

Пряма лежить на площині:

Доведемо спочатку достатність зазначених ознак. Запишемо рівняння даної прямої у параметричному вигляді:

Підставляючи в рівняння (2 (площини)) координати довільної точки даної прямої, взяті з формул (3), матимемо:

1. Якщо, то рівняння (4) має відносно tєдине рішення:

отже, дана пряма і дана площина мають лише одне загальну точку, тобто. перетинаються.

2. Якщо, то рівняння (4) не задовольняється за жодного значення t, тобто. на даній прямій немає жодної точки, що лежить на даній площині, отже дані пряма і площина паралельні.

3. Якщо, то рівняння (4) задовольняється за будь-якого значення t, тобто. всі точки цієї прямої лежать даної площині, отже, дана пряма лежить даної площині.

Виведені нами достатні умови взаємного розташування прямої та площини є й необхідними та доводяться одразу методом від протилежного.

З доведеного випливає необхідна і достатня умова того, що вектор компланарен площині, заданої загальним рівнянням щодо загальної декартової системи координат.

Пряма може належати площині, бути їй паралельноюабо перетинатиплощину. Пряма належить площині, якщо дві точки, що належать прямій та площині, мають однакові позначки. Наслідок, що випливає зі сказаного: точка належить площині, якщо вона належить прямій, що лежить у цій площині.

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна прямій, що лежить у цій площині.

Пряма площина, що перетинає.Щоб знайти точку перетину прямої з площиною, необхідно (рис. 3.28):

1) через задану пряму m провести допоміжну площину Т;

2) побудувати лінію nперетину заданої площини Σ з допоміжною площиною Т;

3) відзначити точку перетину R,заданою прямою mз лінією перетину n.

Розглянемо задачу (рис. 3.29). Пряма m задана на плані крапкою А 6та кутом нахилу 35°. Через цю пряму проведено допоміжну вертикальну площину. Т,яка перетинає площину Σ по лінії n (У 2 З 3). Таким чином, переходять від взаємного положення прямої та площини до взаємного положення двох прямих, що лежать в одній вертикальній площині. Таке завдання вирішується побудовою профілів цих прямих. Перетин прямих mі nна профілі визначає потрібну точку R. Висотну позначку точки Rвизначають за шкалою вертикальних масштабів.

Пряма, перпендикулярна до площини. Пряма лінія перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-яких двох прямих цієї площини, що перетинаються. На рис 3.30 зображено пряму mперпендикулярна до площини Σ і перетинає її в точці А. На плані проекції прямої mі горизонталі площини взаємно перпендикулярні (прямий кут, одна сторона якого паралельна площині проекцій, проектується без спотворення. Обидві прямі лежать в одній вертикальній площині, тому закладення у таких прямих обернені за величиною один одному: l m = l /l u. Але l uΣ = lΣ , тоді l m = l/lΣ , тобто закладення прямий m назад пропорційно до закладення площини. Падіння у прямій та площині спрямовані в різні боки.

3.4. Проекції із числовими відмітками. Поверхні

3.4.1. Багатогранники та криві поверхні. Топографічна поверхня

У природі багато речовин мають кристалічну будову у вигляді багатогранників. Багатогранником називають сукупність плоских багатокутників, що не лежать в одній площині, де кожна сторона одного з них є одночасно стороною іншого. При зображенні багатогранника достатньо вказати проекції його вершин, з'єднавши в певному порядку прямими лініями - проекціями ребер. При цьому на кресленні необхідно вказувати видимі та невидимі ребра. На рис. 3.31 зображені призма та піраміда, а також знаходження відміток точок, що належать даним поверхням.

p align="justify"> Особливою групою опуклих багатокутників є група правильних багатокутників, у яких всі грані - рівні між собою правильні багатокутники і всі багатокутні кути рівні. Існує п'ять видів правильних багатокутників.

Тетраедр- правильний чотирикутник, обмежений рівносторонніми трикутниками, має 4 вершини та 6 ребер (рис. 3.32 а).

Гексаедр- правильний шестигранник (куб) – 8 вершин, 12 ребер (рис. 3.32б).

Октаедр- правильний восьмигранник, обмежений вісьмома рівносторонніми трикутниками – 6 вершин, 12 ребер (рис. 3.32в).

Додекаедр- правильний дванадцятигранник, обмежений дванадцятьма правильними п'ятикутниками, з'єднаними по три біля кожної вершини.

Має 20 вершин та 30 ребер (рис.3.32 г).

Ікосаедр- правильний двадцятигранник, обмежений двадцятьма рівносторонніми трикутниками, з'єднаними по п'ять біля кожної вершини.12 вершин і 30 ребер (рис. 3.32 д).

При побудові точки, що лежить на межі багатогранника, необхідно провести пряму, що належить цій грані та на її проекції відзначити проекцію точки.

Конічні поверхні утворюються переміщенням прямолінійної утворює по криволінійній напрямній так, що у всіх положеннях утворює проходить через нерухому точку-вершину поверхні. Конічні поверхні загального вигляду на плані зображують напрямною горизонталлю та вершиною. На рис. 3.33 показано знаходження позначки крапки на поверхні конічної поверхні.

Прямий круговий конус зображується серією концентричних кіл, проведених через рівні інтервали (рис.3.34а). Еліптичний конус із круговою основою - серією ексцентричних кіл (рис. 3.34 б)

Сферичні поверхні. Сферичну поверхню належать до поверхонь обертання. Вона утворюється обертанням кола навколо її діаметра. На плані сферичну поверхню визначено центром Дота проекцією однієї з її горизонталей (екватором сфери) (рис. 3.35).

Топографічна поверхня. Топографічну поверхню відносять до геометрично неправильних поверхонь, тому що вона не має геометричного закону освіти. Для характеристики поверхні визначають положення характерних точок щодо площини проекцій. На рис. 3.3 ба даний приклад ділянки топографічної поверхні, на якому показані проекції її окремих точок. Такий план хоч і дає можливість скласти уявлення про форму зображуваної поверхні, проте відрізняється малою наочністю. Щоб надати кресленню велику наочність і полегшити цим його читання, проекції точок з однаковими відмітками з'єднують плавними кривими лініями, які називають горизонталями (изолиниями) (рис. 3.36 б).

Горизонталі топографічної поверхні іноді визначають і як лінії перетину цієї поверхні з горизонтальними площинами, що віддаляються одна від одної на ту саму відстань (рис. 3.37). Різницю відміток у двох суміжних горизонталів називають висотою перерізу.

Зображення топографічної поверхні тим точніше, що менше різниця відміток у двох суміжних горизонталей. На планах горизонталі замикаються в межах креслення або поза ним. На крутіших схилах поверхні проекції горизонталей зближуються, на пологих – їх проекції розходяться.

Найкоротшу відстань між проекціями двох суміжних горизонталей на плані називають закладенням. На рис. 3.38 через точку Атопографічної поверхні проведено кілька відрізків прямих А ВАСі АD. Усі вони мають різні кути падіння. Найбільший кут падіння має відрізок АС, Закладення якого має мінімальне значення. Тому він і буде проекцією лінії падіння поверхні в цьому місці.

На рис. 3.39 наводиться приклад побудови проекції лінії падіння через задану точку А. З точки А 100, Як з центру, проводять дугу кола, що стосується найближчої горизонталі в точці У 90. Крапка У 90 ,лежача на горизонталі h 90 ,належатиме лінії падіння. З точки У 90проводять дугу, що стосується наступної горизонталі в точці З 80 ,і т. д. З креслення видно, що лінією падіння топографічної поверхні є ламана лінія, кожна ланка якої перпендикулярна до горизонталі, що проходить через нижній, що має меншу позначку, кінець ланки.

3.4.2.Перетин конічної поверхні площиною

Якщо січна площина проходить через вершину конічної поверхні, то вона перетинає її по прямих лініях, що утворюють поверхні. У решті випадків лінія перерізу буде плоскою кривою: колом, еліпсом і т.д. Розглянемо випадок перетину конічної поверхні площиною.

Приклад 1. Побудувати проекцію лінії перетину кругового конуса Φ( h про , S 5) з площиною Ω, паралельної утворюючої конічної поверхні.

Конічна поверхня при заданому розташуванні площини перетинається параболою. Проінтерполіровавши утворюючу tбудуємо горизонталі кругового конуса - концентричні кола з центром S 5 . Потім визначаємо точки перетину однойменних горизонталей площини та конуса (рис. 3.40).

3.4.3. Перетин топографічної поверхні з площиною та прямою лінією

Випадок перетину топографічної поверхні з площиною найчастіше трапляється у вирішенні геологічних завдань. На рис. 3.41 наведено приклад побудови перетину топографічної поверхні з площиною Σ. Шукану криву mвизначають точками перетину однойменних горизонталів площини та топографічної поверхні.

На рис. 3.42 наведено приклад побудови істинного виду топографічної поверхні з вертикальною площиною Σ. Шукану лінію m визначають точками А, В, С… перетину горизонталів топографічної поверхні із січною площиною Σ. На плані проекція кривої вироджується у пряму лінію, що збігається з проекцією площини: m≡ Σ. Профіль кривої m побудований з урахуванням розташування на плані проекцій її точок, а також їх висотних позначок.

3.4.4. Поверхня рівного ухилу

Поверхня рівного ухилу є лінійчастою поверхнею, всі прямолінійні утворюють якої складають з горизонтальною площиною постійний кут. Отримати таку поверхню можна переміщенням прямого кругового конуса з віссю, перпендикулярної площині плану, так, щоб його вершина ковзала по деякій напрямній, а вісь у будь-якому положенні залишалася вертикальною.

На рис. 3.43 зображена поверхня рівного ухилу (i=1/2), спрямовуючою якої служить просторова крива A, B, C, D.

Градуювання поверхні. Як приклади розглянемо площину укосів дорожнього полотна.

Приклад 1. Поздовжній ухил дорожнього полотна i=0, ухил укосу насипу i н =1:1,5 (рис. 3.44а). Потрібно провести горизонталі через 1м. Рішення зводиться до наступного. Проводимо масштаб ухилу площини перпендикулярно до брівки дорожнього полотна, відзначаємо точки на відстані, що дорівнює інтервалу 1,5м, взятому з лінійного масштабу, і визначаємо позначки 49, 48 і 47. Через отримані точки проводимо горизонталі укосу паралельно бровці дороги.

Приклад 2. Поздовжній ухил дороги i≠0, ухил укосу насипу i н =1:1,5 (рис.3.44б). Площина дорожнього полотна градує. Укіс дорожнього полотна градуюється в такий спосіб. У точці з вершиною 50,00 (або іншій точці) поміщаємо вершину конуса, описуємо коло радіусом, що дорівнює інтервалу укосу насипу (у нашому прикладі l= 1,5 м). Позначка цієї горизонталі конуса буде на одиницю менша від позначки вершини, тобто. 49м. Проводимо ряд кіл, отримуємо позначки горизонталей 48, 47, щодо яких з точок брівки з відмітками 49, 48, 47 проводимо горизонталі укосу насипу.

Градуювання поверхонь.

Приклад 3. Якщо поздовжній ухил дороги i=0 і ухил укосу насипу i н =1:1,5, то горизонталі укосів проводять через точки масштабу ухилу, інтервал якого дорівнює інтервалу укосів насипу (рис.3.45а). Відстань між двома проекціями суміжних горизонталей у бік загальної норми (масштаб ухилу) всюди однакова.

Приклад 4. Якщо поздовжній ухил дороги i≠0,а ухил укосу насипу i н =1:1,5, (рис.3.45б) то горизонталі будують аналогічно, крім того, що горизонталі укосу проводять не прямими лініями, а кривими.

3.4.5. Визначення лінії меж земляних робіт

Так як більшість грунтів нездатна зберігати вертикальні стінки, доводиться будувати укоси (штучні споруди). Ухил, що надається укосом, залежить від ґрунту.

Щоб ділянці поверхні землі надати вигляду площині з певним ухилом, потрібно знати лінію меж земляних та нульових робіт. Ця лінія, що обмежує заплановану ділянку, є лініями перетину укосів насипів і виїмок із заданою топографічною поверхнею.

Оскільки кожна поверхня (зокрема і плоска) зображується з допомогою горизонталей, то лінію перетину поверхонь будують як безліч точок перетину горизонталей з однаковими позначками. Розглянемо приклади.

Приклад 1. На рис. 3.46 дано земляну споруду, що має форму зрізаної чотирикутної піраміди, що стоїть на площині. Н. Верхня основа АВСDпіраміди має відмітку 4мта розміри сторін 2×2,5 м. Бічні грані (укоси насипу) має ухил 2:1 і 1:1, напрямок яких показано стрілками.

Потрібно побудувати лінію перетину укосів споруди із площиною Ні між собою, а також побудувати поздовжній профіль по осі симетрії.

Спочатку будують діаграму ухилів, інтервалів та масштабів закладень, заданих укосів. Перпендикулярно кожній стороні майданчика викреслюються масштаби ухилів укосів із заданими інтервалами, після чого проекції горизонталів з однаковими відмітками суміжних граней знаходяться лінії перетину укосів, які є проекціями бічних ребер даної піраміди.

Нижня основа піраміди збігається з нульовими горизонталями укосів. Якщо ця земляна споруда перетнути вертикальною площиною Q, У перетині вийде ламана лінія - поздовжній профіль споруди.

Приклад 2. Побудувати лінію перетину укосів котловану з плоским косогором та між собою. Дно ( АВСD) котлована є прямокутним майданчиком з відміткою 10м і розмірами 3×4м. Вісь майданчика складає з лінією південь - північ кут 5 °. Укоси виїмок мають однакові ухили 2:1 (рис. 3.47).

Лінія нульових робіт встановлюється за планом території. Її будують по точках перетину між собою однойменних проекцій горизонталей поверхонь, що розглядаються. По точках перетину горизонталей укосів та топографічної поверхні з однаковими відмітками знаходять лінію перетину укосів, які є проекціями бічних ребер даного котловану.

В даному випадку до дна котловану примикають бічні укоси виїмок. Лінія abcd- Шукана лінія перетину. Aa, Bb, Сс, Dd– ребра котловану, лінії перетину укосів між собою.

4. Питання для самоконтролю та завдання для самостійної роботи на тему «Прямокутні проекції»

Крапка

4.1.1. Сутність методу проекцій.

4.1.2. Що таке проекція точки?

4.1.3. Як називаються та позначаються площини проекцій?

4.1.4. Що таке лінії проекційного зв'язку на кресленні та як вони розташовуються на кресленні стосовно осей проекцій?

4.1.5. Як побудувати третю (профільну) проекцію точки?

4.1.6. Побудувати на трикартинному кресленні три проекції точок А, В, С, записати їх координати та заповнити таблицю.

4.1.7. Побудувати відсутні осі проекцій, х А =25, y A =20. Побудувати профільну проекцію точки А.

4.1.8. Побудувати три проекції точок за їх координатами: А(25,20,15), В(20,25,0) та С(35,0,10). Вказати положення точок по відношенню до площин та осей проекцій. Яка з точок ближче до площини П 3?

4.1.9. Матеріальні точки А та В починають одночасно падати. У якому становищі опиниться точка, коли точка А торкнеться землі? Визначити видимість точок. Побудувати точки у новому положенні.

4.1.10. Побудувати три проекції точки А, якщо точка лежить у площині П 3 а відстань від неї до площини П 1 дорівнює 20 мм, до площини П 2 - 30 мм. Записати координати точки.

Пряма

4.2.1. Чим може бути задана пряма лінія на кресленні?

4.2.2. Яка пряма називається прямою загального становища?

4.2.3. Яке становище може займати пряма щодо площин проекцій?

4.2.4. У якому разі проекція прямої перетворюється на точку?

4.2.5. Що характерно для комплексного креслення прямого рівня?

4.2.6. Визначити взаємне становище даних прямих.

a … b a … b a … b

4.2.7. Побудувати проекції відрізка прямою АВ завдовжки 20 мм, паралельного площинам: а) П 2 ; б) П 1; в) осі Ох. Позначити кути нахилу відрізка до площин проекцій.

4.2.8. Побудувати проекції відрізка АВ за координатами його кінців: А(30,10,10),(10,15,30). Побудувати проекції точки С, що ділить відрізок щодо АС:СВ = 1:2.

4.2.9. Визначити та записати кількість ребер даного багатогранника та положення їх щодо площин проекцій.

4.2.10. Через точку А провести горизонталь та фронталь, що перетинають пряму m.

4.2.11. Визначити відстань між прямою b і точкою А

4.2.12. Побудувати проекції відрізка АВ завдовжки 20 мм, що проходить через точку А та перпендикулярного до площини а) П 2 ; б) П 1; в) П 3 .

Стереометрія

Взаємне розташування прямих та площин

В просторі

Паралельність прямих та площин

Дві прямі у просторі називаються паралельними якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Пряма та площина називаються паралельними якщо вони не перетинаються.

Дві площини називаються паралельними якщо вони не перетинаються.

Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються схрещуються .

Ознака паралельності прямої та площини. Якщо пряма, що не належить площині, паралельна до якої-небудь прямої в цій площині, то вона паралельна і до самої площини.

Ознака паралельності площин. Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом прямим інший площині, то ці площини паралельні.

Ознака схрещуваних прямих. Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а інша перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, дані прямі схрещуються.

Теореми паралельних прямих і паралельних площинах.

1. Дві прямі, паралельні третій прямий, паралельні.

2. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то інша пряма перетинає цю площину.

3. Через точку поза цією прямою можна провести пряму, паралельну даній, і лише одну.

4. Якщо пряма паралельна кожній з двох площин, що перетинаються, то вона паралельна їх лінії перетину.

5. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною, лінії перетину паралельні.

6. Через точку, що не лежить у даній площині, можна провести площину, паралельну даній, і лише одну.

7. Дві площини, паралельні третій, паралельні між собою.

8. Відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами, рівні.

Кути між прямими та площинами

Кутом між прямою та площиноюназивається кут між прямою та її проекцією на площину (кут на рис. 1).

Кутом між схрещуються прямиминазивається кут між прямими, що перетинаються, паралельними відповідно даним схрещується прямим.

Двогранним кутомназивається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною прямою. Напівплощини називаються гранями , Пряма - рубом двогранного кута.

Лінійним кутом двогранного кута називається кут між напівпрямими, що належать граням двогранного кута, що виходять з однієї точки на ребрі і перпендикулярними до ребра (кут на рис. 2).

Градусна (радіанна) міра двогранного кута дорівнює градусній (радіанної) мірі його лінійного кута.

Перпендикулярність прямих та площин

Дві прямі називаються перпендикулярними якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною цій площині, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в площині, що проходить через точку перетину даної прямої і площини.

Дві площини називаються перпендикулярними якщо перетинаються, вони утворюють прямі двогранні кути.

Ознака перпендикулярності прямої та площини. Якщо пряма, що перетинає площину, перпендикулярна двом прямим, що перетинається в цій площині, то вона перпендикулярна площині.

Ознака перпендикулярності двох площин. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.

Теореми про перпендикулярні прямі та площини.

1. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої.

2. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то вони паралельні.

3. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна до іншої.

4. Якщо дві площини перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні.

Перпендикуляр та похила

Теорема. Якщо з однієї точки поза площиною проведені перпендикуляр та похилі, то:

1) похилі, що мають рівні проекції, рівні;

2) із двох похилих більша та, проекція якої більша;

3) рівні похилі мають рівні проекції;

4) з двох проекцій більша та, що відповідає більшій похилій.

Теорема про три перпендикуляри. Для того щоб пряма, що лежить у площині, була перпендикулярна до похилої, необхідно і достатньо, щоб ця пряма була перпендикулярна до похилої проекції (рис.3).

Теорема про площу ортогональної проекції багатокутника на площину.Площа ортогональної проекції багатокутника на площину дорівнює добутку площі багатокутника на косинус кута між площиною багатокутника та площиною проекції.

Побудова.

1. На площині aпроводимо пряму а.

3. У площині bчерез точку Апроведемо пряму b, паралельну прямий а.

4. Побудовано пряму bпаралельна площині a.

Доведення.За ознакою паралельності прямої та площини пряма bпаралельна площині a, так як вона паралельна прямий а, що належить площині a.

Дослідження.Завдання має безліч рішень, оскільки пряма ау площині aвибирається довільно.

приклад 2.Визначте, на якій відстані від площини знаходиться точка А, якщо пряма АВперетинає площину під кутом 45 º, відстань від точки Адо точки У, Що належить площині, дорівнює см?

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 5):

АС– перпендикуляр до площини a, АВ- Похила, кут АВС– кут між прямою АВта площиною a. Трикутник АВС- Прямокутний так як АС- Перпендикуляр. Шукаюча відстань від точки Адо площини – це катет АСпрямокутний трикутник. Знаючи кут і гіпотенузу див знайдемо катет АС:

Відповідь: 3 див.

приклад 3.Визначте, на якій відстані від площини рівнобедреного трикутника знаходиться точка, віддалена від кожної з вершин трикутника на 13 см, якщо основа та висота трикутника дорівнюють 8 см?

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 6). Крапка Sвіддалена від точок А, Уі Зна однакову відстань. Значить, похилі SA, SBі SCрівні, SO– загальний перпендикуляр цих похилих. За теоремою про похилих та проекції АТ = ВО = СО.

Крапка Про– центр кола описаного біля трикутника АВС. Знайдемо її радіус:

де НД- заснування;

AD- Висота даного рівнобедреного трикутника.

Знаходимо сторони трикутника АВСіз прямокутного трикутника ABDза теоремою Піфагора:

Тепер знаходимо ОВ:

Розглянемо трикутник SOB: SB= 13 см, ОВ= = 5 см. Знаходимо довжину перпендикуляра SOза теоремою Піфагора:

Відповідь: 12 см.

приклад 4.Дано паралельні площині aі b. Через точку М, що не належить жодній з них, проведено прямі аі b, які перетинають aу точках А 1 і У 1 , а площина b- У точках А 2 та У 2 . Знайти А 1 У 1 , якщо відомо, що МА 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 У 2 = 25 см.

Рішення.Так як в умові не сказано, як розташована щодо обох площин точка М, то можливі два варіанти: (рис. 7, а) та (рис. 7, б). Розглянемо кожен із них. Дві прямі, що перетинаються аі bзадають площину. Ця площина перетинає дві паралельні площини. aі bпо паралельним прямим А 1 У 1 і А 2 У 2 згідно теореми 5 про паралельні прямі і паралельні площини.

Трикутники МА 1 У 1 і МА 2 У 2 подібні (кути А 2 МВ 2 та А 1 МВ 1 – вертикальні, кути МА 1 У 1 і МА 2 У 2 – внутрішні навхрест лежать при паралельних прямих А 1 У 1 і А 2 У 2 і січній А 1 А 2). З подоби трикутників випливає пропорційність сторін:

Варіант а):

Варіант б):

Відповідь: 10 см та 50 см.

Приклад 5.Через точку Аплощині gпроведено пряму АВ, що утворює з площиною кут a. Через пряму АВпроведена площина r, що утворює з площиною gкут b. Знайти кут між проекцією прямою АВна площину gта площиною r.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 8). З точки Уопустимо перпендикуляр на площину g. Лінійний кут двогранного кута між площинами gі r– це кут Пряма AD DBC, за ознакою перпендикулярності прямої та площини, так як і за ознакою перпендикулярності площин rперпендикулярна площині трикутника DBCтому, що вона проходить через пряму AD. Шуканий кут збудуємо, опустивши перпендикуляр з точки Зна площину r, позначимо його Знайдемо синус цього кута прямокутного трикутника САМ. Введемо допоміжний відрізок а = НД. З трикутника АВС: З трикутника ВМСзнайдемо

Тоді шуканий кут

Відповідь:

Завдання для самостійного вирішення

I рівень

1.1. Через точку проведіть пряму перпендикулярну двом заданим прямим, що схрещується.

1.2. Визначте, скільки різних площин можна провести:

1) через три різні точки;

2) через чотири різні точки, жодні три з яких не лежать на одній площині?

1.3. Через вершини трикутника АВС, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведені паралельні прямі, що перетинають другу площину в точках А 1 , У 1 , З 1 . Доведіть рівність трикутників АВСі А 1 У 1 З 1 .

1.4. З вершини Апрямокутника ABCDвідновлений перпендикуляр АМдо його площині.

1) доведіть, що трикутники MBCі MDC- Прямокутні;

2) вкажіть серед відрізків MB, MC, MDі MAвідрізок найбільшої та найменшої довжини.

1.5. Грані одного двогранного кута відповідно паралельні граням іншого. Визначте, якою є залежність між величинами цих двогранних кутів.

1.6. Знайдіть величину двогранного кута, якщо відстань від точки, взятої на одній грані, до ребра в 2 рази більша за відстань від точки до площини другої грані.

1.7. З точки, що віддаляється від площини на відстань проведено дві рівні похилі, що утворюють кут 60º. Проекції похилих взаємно перпендикулярні. Знайдіть довжини похилих.

1.8. З вершини Уквадрата ABCDвідновлений перпендикуляр ВЕдо площі квадрата. Кут нахилу площини трикутника АСЕдо площини квадрата дорівнює j, сторона квадрата дорівнює а АСЕ.

II рівень

2.1. Через точку, яка не належить жодній з двох прямих, що схрещуються, проведіть пряму, що перетинає обидві дані прямі.

2.2. Паралельні прямі а, bі зне лежать у одній площині. Через точку Ана прямий апроведено перпендикуляри до прямих bі з, що перетинають їх відповідно у точках Уі З. Доведіть, що пряма НДперпендикулярна прямим bі з.

2.3. Через вершину Апрямокутного трикутника АВСпроведена площина, паралельна НД. Катети трикутника АС= 20 см, НД= 15 см. Проекція одного з катетів на площину дорівнює 12 см. Знайдіть проекцію гіпотенузи.

2.4. В одній із граней двогранного кута, що дорівнює 30º, розташована точка М. Відстань від неї до ребра кута дорівнює 18 см. Знайдіть відстань від проекції точки Мна другу грань до першої грані.

2.5. Кінці відрізка АВналежать граням двогранного кута, що дорівнює 90º. Відстань від точок Аі Удо ребра рівні відповідно АА 1 = 3 см, ВВ 1 = 6 см, відстань між точками на ребері Знайдіть довжину відрізка АВ.

2.6. З точки віддаленої від площини на відстань а, Проведено дві похилі, що утворюють з площиною кути 45º і 30º, а між собою кут – 90º. Знайдіть відстань між основами похилих.

2.7. Сторони трикутника дорівнюють 15 см, 21 см та 24 см. Точка Мвіддалена від площини трикутника на 73 см і знаходиться на однаковій відстані від вершин. Знайдіть цю відстань.

2.8. Із центру Прокола, вписаного в трикутник АВС, до площини трикутника відновлено перпендикуляр. ОМ. Знайдіть відстань від точки Мдо сторін трикутника, якщо АВ = ВС = 10 см, АС= 12 см, ОМ= 4 див.

2.9. Відстань від точки Мдо сторін і вершини прямого кута відповідно дорівнюють 4 см, 7 см і 8 см. Знайдіть відстань від точки Мдо площини прямого кута.

2.10. Через основу АВрівнобедреного трикутника АВСпроведено площину під кутом bдо площини трикутника. Вершина Звіддалена від площини на відстань а. Знайдіть площу трикутника АВСякщо підстава АВрівнобедреного трикутника дорівнює його висоті.

III рівень

3.1. Макет прямокутника ABCDзі сторонами аі bперегнутий по діагоналі BDтак, що площини трикутників BADі BCDстали взаємно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка АС.

3.2. Дві прямокутні трапеції з кутами 60º лежать у перпендикулярних площинах і мають більшу загальну основу. Великі бічні сторони дорівнюють 4 см і 8 см. Знайдіть відстань між вершинами прямих і вершинами тупих кутів трапецій, якщо вершини їх гострих кутів збігаються.

3.3.Заданий куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Знайдіть кут між прямою CD 1 та площиною BDC 1 .

3.4. На ребрі АВкуба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка Р- середина цього ребра. Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через крапки C 1 PDі знайдіть площу цього перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.

3.5. Через бік ADпрямокутника ABCDпроведена площина aтак, що діагональ BDстановить із цією площиною кут 30º. Знайдіть кут між площиною прямокутника та площиною a, якщо АВ = а, AD = b. Визначте, за якого співвідношення аі bЗавдання має рішення.

3.6. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих, визначених сторонами трикутника.

Призма. Паралелепіпед

Призмоюназивається багатогранник, дві грані якого – рівні n-кутники (основи) , що у паралельних площинах, інші n граней – паралелограммы (Бічні грані) . Боковим ребром призми називається сторона бічної грані, яка не належить підставі.

Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то призма називається похилій . Правильною призмою називається пряма призма, основи якої – правильні багатокутники.

Висотоюпризми називається відстань між площинами основ. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать до однієї грані. Діагональним перетином називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані. Перпендикулярним перетином називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бокового ребра призми.

Площею бічної поверхні призми називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх граней призми (тобто. сума площ бічних граней та площ основ).

Для довільної призми вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P

Q

S бік

S повний

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямої призми вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота.

Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра не перпендикулярні основам, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Оскільки паралелепіпед – це призма, основні його елементи визначаються аналогічно тому, як вони визначені для призм.

Теореми.

1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:

3. Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.

Для довільного паралелепіпеда вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P- Періметр перпендикулярного перерізу;

Q- Площа перпендикулярного перерізу;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямого паралелепіпеда вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота прямого паралелепіпеда.

Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:

де p– периметр основи;

H- Висота;

d– діагональ;

a, b, c- Виміри паралелепіпеда.

Для куба вірні формули:

де a- Довжина ребра;

d- Діагональ куба.

приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його виміри відносяться, як 2: 6: 9. Знайти виміри паралелепіпеда.

Рішення.Для знаходження вимірів паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто. тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Позначимо через kкоефіцієнт пропорційності. Тоді виміри паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6kта 9 k. Запишемо формулу (3) для даних завдання:

Вирішуючи це рівняння щодо k, Отримаємо:

Отже, вимірювання паралелепіпеда дорівнюють 6 дм, 18 дм і 27 дм.

Відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

приклад 2.Знайти об'єм похилої трикутної призми, основою якої служить рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні основи і нахилено під кутом 60º до основи.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 3).

Для того, щоб знайти обсяг похилої призми необхідно знати площу її основи та висоту. Площа підстави цієї призми – це площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Обчислимо її:

Висотою призми є відстань між її основами. З вершини А 1 верхньої основи опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде заввишки призми. Розглянемо D А 1 АD: так як це кут нахилу бокового ребра А 1 Адо площини основи, А 1 А= 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:

Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):

Відповідь: 192 см 3 .

приклад 3.Бокове ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2 . Знайти площу повної поверхні призми.

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 4)

Найбільший діагональний переріз – прямокутник AA 1 DD 1 , оскільки діагональ ADправильного шестикутника ABCDEFє найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати бік основи та довжину бічного ребра.

Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ основи.

Оскільки , то

Бо те АВ= 6 див.

Тоді периметр основи дорівнює:

Знайдемо площу бічної поверхні призми:

Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:

Знаходимо площу повної поверхні призми:

Відповідь:

приклад 4.Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перерізів 300 см 2 та 875 см 2 . Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 5).

Позначимо бік ромба через а, діагоналі ромба d 1 і d 2 , висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр основи помножити на висоту: (формула (2)). Периметр основи р = АВ + НД + CD + DA = 4AB = 4a, так як ABCD- Ромб. Н = АА 1 = h. Т.о. Необхідно знайти аі h.

Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 – прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1 , друга – бічне ребро АА 1 = hтоді

Аналогічно для перерізу ВВ 1 DD 1 отримаємо:

Використовуючи властивість паралелограма така, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, отримаємо рівність.

З перших двох рівностей висловимо і підставимо третє. Отримаємо: то

1.3. У похилій трикутній призмі проведено переріз перпендикулярне бічному ребру, що дорівнює 12 см. В отриманому трикутнику дві сторони з довжинами см і 8 см утворюють кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

1.4. Підставою прямого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60 °. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда, якщо довжина бічного ребра 10 см.

1.5. Підставою прямого паралелепіпеда є квадрат з діагоналлю, що дорівнює див. Бокове ребро паралелепіпеда 5 см. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.

1.6. Підставою похилого паралелепіпеда є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см. Бокове ребро рівне см нахилено до площини основи під кутом 60°. Знайдіть обсяг паралелепіпеда.

1.7. Обчисліть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо два ребра і діагональ, що виходять з однієї вершини, дорівнюють відповідно 11 см, см і 13 см.

1.8. Визначте вагу кам'яної колони, що має форму прямокутного паралелепіпеда, з розмірами 0,3 м, 0,3 м і 2,5 м, якщо питома вага матеріалу дорівнює 2,2 г/см 3 .

1.9. Знайдіть площу діагонального перерізу куба, якщо діагональ його грані дорівнює дм.

1.10. Знайдіть об'єм куба, якщо відстань між двома його вершинами, що не лежать в одній грані, дорівнює див.

II рівень

2.1. Підставою похилої призми є рівносторонній трикутник зі стороною див. Знайдіть площу перерізу призми, що проходить через бічне ребро та висоту призми, якщо відомо, що одна з вершин верхньої основи проектується на середину сторони нижньої основи.

2.2. Підставою похилої призми є рівносторонній трикутник ABC зі стороною 3 см. Вершина A 1 проектується в центр трикутника ABC. Ребро AA 1 складає з площиною основи кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

2.3. Обчисліть об'єм похилої трикутної призми, якщо сторони основи 7 см, 5 см і 8 см, а висота призми дорівнює меншій висоті трикутника-основи.

2.4. Діагональ правильної чотирикутної призми нахилена до бічної грані під кутом 30°. Знайдіть кут нахилу до площини основи.

2.5. Підставою прямої призми є рівнобедрена трапеція, основи якої дорівнюють 4 см і 14 см, а діагональ – 15 см. Дві бічні грані призми – квадрати. Знайдіть площу повної поверхні призми.

2.6. Діагоналі правильної шестикутної призми дорівнюють 19см і 21 см. Знайдіть її об'єм.

2.7. Знайдіть вимірювання прямокутного паралелепіпеда, у якого діагональ дорівнює 8 дм, і вона утворює з бічними гранями кути 30° та 40°.

2.8. Діагоналі основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 34 см і 38 см, а площі бічних граней 800 см 2 і 1200 см 2 . Знайдіть обсяг паралелепіпеда.

2.9. Визначте об'єм прямокутного паралелепіпеда, в якому діагоналі бічних граней, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 4 см і 5 см і утворюють кут 60°.

2.10. Знайдіть об'єм куба, якщо відстань від його діагоналі до ребра, що не перетинається з нею, дорівнює мм.

III рівень

3.1. У правильній трикутній призмі проведено перетин через бік основи та середину протилежного бічного ребра. Площа основи 18 см 2 а діагональ бічної грані нахилена до основи під кутом 60°. Знайдіть площу перерізу.

3.2. В основі призми лежить квадрат ABCD, всі вершини якого рівновіддалені від вершини A 1 верхньої основи. Кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює 60 °. Сторона основи 12 см. Побудуйте переріз призми площиною, проходячи через вершину C, перпендикулярно до ребра AA 1 і знайти його площу.

3.3. Підставою прямої призми є рівнобедрена трапеція. Площа діагонального перерізу та площі паралельних бічних граней відповідно дорівнюють 320 см 2 , 176 см 2 та 336 см 2 . Знайдіть площу бічної поверхні призми.

3.4. Площа основи прямої трикутної призми дорівнює 9см 2 площі бічних граней 18 см 2 , 20 см 2 і 34 см 2 . Знайдіть обсяг призми.

3.5. Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда, знаючи, що діагоналі його граней дорівнюють 11 см, 19 см і 20 см.

3.6. Кути, утворені діагоналлю основи прямокутного паралелепіпеда зі стороною основи та діагоналлю паралелепіпеда, рівні відповідно a та b. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда, якщо його діагональ дорівнює d.

3.7. Площа того перерізу куба, який є правильним шестикутником, дорівнює см 2 . Знайдіть площу поверхні куба.