Зв'язок дисперсії та середньоквадратичного відхилення. Середньоквадратичне відхилення формули в excel

Для розрахунків середньої геометричної простий використовується формула:

Геометрична зважена

Для визначення середньої зваженої геометричної застосовується формула:

Середні діаметри коліс, труб, середні сторони квадратів визначаються за допомогою середньої квадратичної.

Середньоквадратичні величини використовуються для розрахунку деяких показників, наприклад, коефіцієнт варіації, що характеризує ритмічність випуску продукції. Тут визначають середньоквадратичне відхилення від планового випуску продукції за певний період за такою формулою:

Ці величини точно характеризують зміну економічних показників проти їх базисної величиною, взяте у його усередненої величині.

Квадратична проста

Середня квадратична проста обчислюється за такою формулою:

Квадратична зважена

Середня квадратична зважена дорівнює:

22. Абсолютні показники варіації включають:

розмах варіації

середнє лінійне відхилення

дисперсію

середнє квадратичне відхилення

Розмах варіації (r)

Розмах варіації- це різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки

Він показує межі, в яких змінюється величина ознаки в сукупності, що вивчається.

Досвід роботи у п'яти претендентів на попередній роботі складає: 2,3,4,7 та 9 років. Рішення: розмах варіації = 9 – 2 = 7 років.

Для узагальненої характеристики відмінностей значення ознаки обчислюють середні показники варіації, засновані на обліку відхилень від середньої арифметичної. За відхилення від середньої приймається різниця.

При цьому, щоб уникнути перетворення на нуль суми відхилень варіантів ознаки від середньої (нульова властивість середньої) доводиться або не враховувати знаки відхилення, тобто брати цю суму за модулем , або зводити значення відхилень у квадрат

Середнє лінійне та квадратичне відхилення

Середнє лінійне відхилення- це середня арифметична з абсолютних відхилень окремих значень ознаки від середньої.

Середнє лінійне відхилення просте:

Досвід роботи у п'яти претендентів на попередній роботі складає: 2,3,4,7 та 9 років.

У прикладі: років;

Відповідь: 2,4 роки.

Середнє лінійне відхилення зваженезастосовується для згрупованих даних:

Середнє лінійне відхилення з його умовності застосовується практично порівняно рідко (зокрема, для характеристики виконання договірних зобов'язань щодо рівномірності поставки; в аналізі якості продукції з урахуванням технологічних особливостей виробництва).

Середнє квадратичне відхилення

Найбільш досконалою характеристикою варіації є середнє квадратичне відкладення, яке називають стандартом (або стандартним відхиленням). Середнє квадратичне відхилення() дорівнює квадратному кореню із середнього квадрата відхилень окремих значень ознаки від середньої арифметичної:

Середнє квадратичне відхилення просте:

Середнє зважене квадратичне відхилення застосовується для згрупованих даних:

Між середнім квадратичним та середнім лінійним відхиленнями в умовах нормального розподілу має місце таке співвідношення: ~ 1,25.

Середнє квадратичне відхилення, будучи основною абсолютною мірою варіації, використовується щодо значень ординат кривої нормального розподілу, у розрахунках, пов'язаних з організацією вибіркового спостереження та встановленням точності вибіркових характеристик, і навіть в оцінці меж варіації ознаки в однорідної сукупності.

Математичне очікування та дисперсія

Нехай ми вимірюємо випадкову величину Nразів, наприклад, десять разів вимірюємо швидкість вітру та хочемо знайти середнє значення. Як пов'язане середнє значення із функцією розподілу?

Кидатимемо гральний кубик велику кількість разів. Кількість очок, що випаде на кубику при кожному кидку, є випадковою величиною і може набувати будь-яких натуральних значень від 1 до 6. Середнє арифметичне випалих очок, підрахованих за всі кидки кубика, теж є випадковою величиною, проте при великих Nвоно прагне цілком конкретного числа – математичного очікування M x. В даному випадку M x = 3,5.

Як вийшла ця величина? Нехай у Nвипробуваннях разів випало 1 очко, разів – 2 очки і так далі. Тоді При N→ ∞ кількість наслідків, в яких випало одне очко, Аналогічно, Звідси

Модель 4.5. Гральні кубики

Припустимо тепер, що ми знаємо закон розподілу випадкової величини xтобто знаємо, що випадкова величина xможе приймати значення x 1 , x 2 , ..., x kз ймовірностями p 1 , p 2 , ..., p k.

Математичне очікування M xвипадкової величини xодно:

Відповідь. 2,8.

Математичне очікування який завжди є розумною оцінкою якоїсь випадкової величини. Так, для оцінки середньої заробітної плати розумніше використовувати поняття медіани, тобто такої величини, що кількість людей, які отримують меншу, ніж медіана, зарплату та більшу, збігаються.

Медіаноювипадкової величини називають число x 1/2 таке, що p (x < x 1/2) = 1/2.

Іншими словами, ймовірність p 1 того, що випадкова величина xвиявиться меншою x 1/2 , і ймовірність p 2 того, що випадкова величина xвиявиться більшою x 1/2, однакові та рівні 1/2. Медіана визначається однозначно задля всіх розподілів.

Повернемося до випадкової величини xяка може приймати значення x 1 , x 2 , ..., x kз ймовірностями p 1 , p 2 , ..., p k.

Дисперсієювипадкової величини xназивається середнє значення квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Приклад 2

В умовах попереднього прикладу обчислити дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини x.

Відповідь. 0,16, 0,4.

Модель 4.6. Стрілянина в ціль

Приклад 3

Знайти розподіл ймовірності числа очок, що випали на кубику з першого кидка, медіану, математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення.

Випадання будь-якої грані рівноймовірне, так що розподіл виглядатиме так:

Середньоквадратичне відхилення Видно, що відхилення від середнього значення величини дуже велике.

Властивості математичного очікування:

Математичне очікування суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

Приклад 4

Знайти математичне очікування суми та твори очок, що випала на двох кубиках.

У прикладі 3 ми виявили, що для одного кубика M (x) = 3,5. Значить, для двох кубиків

Властивості дисперсії:

Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій:

D x + y = D x + D y.

Нехай за Nкидків на кубику випало yокулярів. Тоді

Цей результат є вірним не тільки для кидків кубика. Він у багатьох випадках визначає точність виміру математичного очікування досвідченим шляхом. Видно, що при збільшенні кількості вимірів Nрозкид значень навколо середнього, тобто середньоквадратичне відхилення, зменшується пропорційно

Дисперсія випадкової величини пов'язана з математичним очікуванням квадрата цієї випадкової величини наступним співвідношенням:

Знайдемо математичні очікування обох частин цієї рівності. За визначенням,

Математичне ж очікування правої частини рівності за якістю математичних очікувань дорівнює

Середнє квадратичне відхилення

Середньоквадратичне відхиленнядорівнює квадратному кореню з дисперсії:
При визначенні середнього квадратичного відхилення при досить великому обсязі сукупності, що вивчається (n > 30) застосовуються формули:

Подібна інформація.

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Середньоквадратичне відхилення(синоніми: середнє квадратичне відхилення, середньоквадратичне відхилення, квадратичне відхилення; близькі терміни: стандартне відхилення, стандартний розкид) - в теорії ймовірностей та статистики найбільш поширений показник розсіювання значень випадкової величини щодо її математичного очікування. При обмежених масивах вибірок значень замість математичного очікування використовують середнє арифметичне сукупності вибірок.

Основні відомості

Середньоквадратичне відхилення вимірюється в одиницях виміру самої випадкової величини і використовується при розрахунку стандартної помилки середнього арифметичного при побудові довірчих інтервалів при статистичній перевірці гіпотез при вимірюванні лінійного взаємозв'язку між випадковими величинами. Визначається як квадратний корінь із дисперсії випадкової величини.

Середньоквадратичне відхилення:

$\sigma=\sqrt(\frac(1)(n)\sum_(i=1)^n\left(x_i-\bar(x)\right)^2).$

Стандартне відхилення(Оцінка середньоквадратичного відхилення випадкової величини xщодо її математичного очікування на основі незміщеної оцінки її дисперсії) $s$ :

$s=\sqrt(\frac(n)(n-1)\sigma^2)=\sqrt(\frac(1)(n-1)\sum_(i=1)^n\left(x_i-\bar (x) \right)^2);$

Правило трьох сигм

Правило трьох сигм ( $3\sigma$ ) - практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини лежать в інтервалі $\left(\bar(x)-3\sigma;\bar(x)+3\sigma\right)$ . Суворіше - приблизно з ймовірністю 0,9973 значення нормально розподіленої випадкової величини лежить у зазначеному інтервалі (за умови, що величина $\bar(x)$ справжня, а чи не отримана внаслідок обробки вибірки).

Якщо ж справжня величина $\bar(x)$ невідома, то слід користуватися не $\sigma$ , а s. Таким чином, правило трьох сигм перетворюється на правило трьох s .

Інтерпретація величини середньоквадратичного відхилення

Більше значення середньоквадратичного відхилення показує більший розкид значень у представленій множині із середньою величиною множини; менше значення, відповідно, показує, що значення у множині згруповані навколо середнього значення.

Наприклад, у нас є три числові множини: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) і (6, 6, 8, 8). У всіх трьох множин середні значення дорівнюють 7, а середньоквадратичні відхилення, відповідно, дорівнюють 7, 5 і 1. У останньої множини середньоквадратичне відхилення маленьке, тому що значення у множині згруповані навколо середнього значення; у першої множини найбільше значення середньоквадратичного відхилення - значення всередині множини сильно розходяться із середнім значенням.

У загальному сенсі середньоквадратичне відхилення вважатимуться мірою невизначеності. Наприклад, у фізиці середньоквадратичне відхилення використовується визначення похибки серії послідовних вимірів будь-якої величини. Це значення дуже важливо для визначення правдоподібності досліджуваного явища в порівнянні з передбаченим теорією значенням: якщо середнє значення вимірювань сильно відрізняється від передбачених теорією значень (велике значення середньоквадратичного відхилення), то отримані значення або метод їх отримання слід перевіряти ще раз.

Практичне застосування

На практиці середньоквадратичне відхилення дозволяє оцінити, наскільки значення з множини можуть відрізнятися від середнього значення.

Економіка та фінанси

Середнє квадратичне відхилення прибутковості портфеля $\sigma =\sqrt(D[X])$ ототожнюється із ризиком портфеля.

Клімат

Припустимо, існують два міста з однаковою максимальною середньої денною температурою, але одне розташоване на узбережжі, а інше на рівнині. Відомо, що в містах, розташованих на узбережжі, безліч різних максимальних денних температур менше, ніж у міст, розташованих усередині континенту. Тому середньоквадратичне відхилення максимальних денних температур у прибережного міста буде менше, ніж у другого міста, незважаючи на те, що середнє значення цієї величини у них однакове, що на практиці означає, що ймовірність того, що максимальна температура повітря кожного конкретного дня в році буде сильнішою. відрізнятиметься від середнього значення, вище у міста, розташованого всередині континенту.

Спорт

Припустимо, що є кілька футбольних команд, які оцінюються за деяким набором параметрів, наприклад, кількістю забитих і пропущених голів, гольових моментів і т.п. Чим менше у команди середньоквадратичне відхилення по кожному з представлених параметрів, тим більш передбачуваним є результат команди, такі команди є збалансованими. З іншого боку, у команди з великим значенням середньоквадратичного відхилення складно передбачити результат, що пояснюється дисбалансом, наприклад, сильним захистом, але слабким нападом.

Використання середньоквадратичного відхилення параметрів команди дозволяє в тій чи іншій мірі передбачити результат матчу двох команд, оцінюючи сильні та слабкі сторони команд, а отже, і способів боротьби, що вибираються.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Середньоквадратичне відхилення"

Література

Боровиков Ст. STATISTICA. Мистецтво аналізу даних на комп'ютері: Для професіоналів/В. Боровиков. - СПб. : Пітер, 2003. – 688 с. - ISBN 5-272-00078-1..

Статистичні показники

Описова
статистика

Статистичний
висновок та
перевірка
гіпотез







Загальна оцінка

Кореляція та
регресія

Графічні
методи

Уривок, що характеризує Середньоквадратичне відхилення

І, швидко відчинивши двері, він вийшов рішучими кроками на балкон. Гомін раптом замовк, шапки і картузи знялися, і всі очі піднялися до графа, що вийшов.
– Здрастуйте, хлопці! - Сказав граф швидко і голосно. - Дякую що прийшли. Я зараз вийду до вас, але перш за все нам треба впоратися з лиходієм. Нам треба покарати лиходія, від якого загинула Москва. Зачекайте на мене! - І граф так само швидко повернувся до покоїв, міцно грюкнувши дверима.
По натовпу пробіг схвальне ремствування задоволення. «Він, значить, лиходіїв управить усіх! А ти кажеш француз… він тобі всю дистанцію розв'яже! – говорили люди, ніби дорікаючи один одному за своє маловір'я.
За кілька хвилин із парадних дверей поспішно вийшов офіцер, наказав щось, і драгуни витяглися. Натовп від балкона жадібно посунувся до ґанку. Вийшовши гнівно швидкими кроками на ганок, Растопчин поспішно озирнувся довкола себе, ніби шукаючи когось.
- Де він? - сказав граф, і в ту ж хвилину, як він сказав це, він побачив з-за рогу будинку молодого чоловіка, що виходив між двома драгунами, з довгою тонкою шиєю, з до половини поголеною і заросла головою. Молодий чоловік цей був одягнений у колись чепурного, критий синім сукном, потертий лисий кожух і в брудні покінні арештантські шаровари, засунуті в нечищені, стоптані тонкі чоботи. На тонких, слабких ногах важко висіли кайдани, що ускладнювали нерішучу ходу хлопця.
– А! - сказав Растопчин, поспішно відвертаючи свій погляд від молодого чоловіка в лисячому кожушку і вказуючи на нижню сходинку ганку. - Поставте його сюди! - Молодий чоловік, брязкаючи кайданами, важко переступив на вказану сходинку, притримавши пальцем комір кожуха, повернув двічі довгою шиєю і, зітхнувши, покірним жестом склав перед животом тонкі, неробочі руки.
Декілька секунд, поки молодик встановлювався на сходинці, тривала мовчанка. Тільки в задніх рядах людей, що стискалися до одного місця, чулися кректання, стогін, поштовхи і тупіт ніг, що переставлялися.
Розтопчин, чекаючи на те, щоб він зупинився на вказаному місці, хмурно потирав рукою обличчя.
- Хлопці! – сказав Растопчин металево дзвінким голосом, – ця людина, Верещагін – той самий мерзотник, від якого загинула Москва.
Молодий чоловік у лисячому кожусі стояв у покірній позі, склавши кисті рук разом перед животом і трохи зігнувшись. Схудле, з безнадійним виразом, понівечене голеною головою молоде обличчя його було опущене вниз. При перших словах графа він повільно підняв голову і подивився знизу на графа, ніби бажаючи щось сказати йому чи хоч зустріти його погляд. Але Растопчин не дивився на нього. На довгій тонкій шиї юнака, як мотузка, напружилася і посиніла жила за вухом, і раптом почервоніло обличчя.
Всі очі були спрямовані на нього. Він глянув на натовп, і, ніби обнаділений тим виразом, який він прочитав на обличчях людей, він сумно й несміливо посміхнувся і, знову опустивши голову, одужав ногами на сходинці.
- Він зрадив своєму цареві та вітчизні, він передався Бонапарту, він один із усіх росіян осоромив ім'я російського, і від нього гине Москва, - говорив Растопчин рівним, різким голосом; але раптом швидко глянув униз на Верещагіна, який продовжував стояти в тій самій покірній позі. Наче цей погляд підірвав його, він, піднявши руку, закричав майже, звертаючись до народу: - Своїм судом розправляйтеся з ним! віддаю його вам!
Народ мовчав і тільки все тісніше й тісніше натискав один на одного. Тримати один одного, дихати в цій зараженій задусі, не мати сили поворухнутися і чекати чогось невідомого, незрозумілого і страшного ставало нестерпно. Люди, що стояли в передніх рядах, бачили і чули все те, що відбувалося перед ними, всі з перелякано широко розплющеними очима і роззявленими ротами, напружуючи всі свої сили, утримували на своїх спинах натиск задніх.
- Бий його!.. Нехай загине зрадник і не соромить ім'я російської! - Закричав Растопчин. – Рубі! Я наказую! - Почувши не слова, але гнівні звуки голосу Растопчина, натовп застогнав і насунувся, але знову зупинився.
— Граф!.. — промовив серед тиші, що знову настала, боязкий і разом театральний голос Верещагіна. – Граф, один бог над нами… – сказав Верещагін, піднявши голову, і знову налилася кров'ю товста жила на його тонкій шиї, і фарба швидко виступила та втекла з його обличчя. Він не домовив того, що хотів сказати.
- Руби його! Я наказую!.. – прокричав Растопчин, раптом зблідаючи так само, як Верещагін.
- Шаблі геть! – крикнув офіцер драгунам, сам виймаючи шаблю.
Інша ще сильна хвиля злетіла по народу, і, добігши до передніх рядів, ця хвиля зрушила передні, хитаючи, піднесла до самих сходів ганку. Високий малий, з скам'янілим виразом обличчя і з піднятою рукою, що зупинилася, стояв поруч з Верещагіним.
– Рубі! - прошепотів майже офіцер драгунам, і один із солдатів раптом з кривлявою злобою обличчям ударив Верещагіна тупим палашем по голові.
"А!" – коротко і здивовано скрикнув Верещагін, злякано озираючись і не розуміючи, навіщо це було з ним зроблено. Такий же стогін здивування та жаху пробіг по натовпу.
"О Боже!" – почувся чиєсь сумний вигук.
Але за вигуком подиву, що вирвався У Верещагіна, він жалібно скрикнув від болю, і цей крик погубив його. Та натягнута до вищого ступеня перешкода людського почуття, яка ще тримала натовп, прорвалося миттєво. Злочин був започаткований, необхідно було довершити його. Жалобний стогін докору був заглушений грізним і гнівним ревом натовпу. Як останній сьомий вал, що розбиває кораблі, злетіла з задніх рядів ця остання нестримна хвиля, долинула до передніх, збила їх і поглинула все. Драгун, що вдарив, хотів повторити свій удар. Верещагін із криком жаху, затуляючись руками, кинувся до народу. Високий хлопець, на якого він натрапив, вчепився руками в тонку шию Верещагіна і з диким криком, з ним разом, упав під ноги народу, що навалився.
Одні били та рвали Верещагіна, інші високого малого. І крики задавлених людей і тих, хто намагався врятувати високого малого, тільки збуджували лють натовпу. Довго драгуни було неможливо звільнити закривавленого, до смерті побитого фабричного. І довго, незважаючи на всю спекотну поспішність, з якою натовп намагався довершити раз розпочату справу, ті люди, які били, душили і рвали Верещагіна, не могли вбити його; але натовп тиснув їх з усіх боків, з ними в середині, як одна маса, колихався з боку в бік і не давав їм можливості ні добити, ні кинути його.

Наближений метод оцінки коливання варіаційного ряду - визначення ліміту та амплітуди, проте не враховують значень варіант усередині ряду. Основною загальноприйнятою мірою коливання кількісної ознаки в межах варіаційного ряду є середнє квадратичне відхилення (σ - сигма). Чим більше середнє квадратичне відхилення, тим ступінь коливання даного ряду вищий.

Методика розрахунку середнього квадратичного відхилення включає такі етапи:

1. Знаходять середню арифметичну величину (Μ).

2. Визначають відхилення окремих варіантів від середньої арифметичної (d=V-M). У медичній статистиці відхилення від середньої позначаються як d(deviate). Сума всіх відхилень дорівнює нулю.

3. Зводять кожне відхилення у квадрат d 2 .

4. Перемножують квадрати відхилень на відповідні частоти d2*p.

5. Знаходять суму творів å(d 2 *p)

6. Обчислюють середнє відхилення за формулою:

При n більше 30,або при n менше або дорівнює 30, де n - число всіх варіантів.

Значення середнього квадратичного відхилення:

1. Середнє квадратичне відхилення характеризує розкид варіант відносно середньої величини (тобто коливання варіаційного ряду). Чим більша сигма, тим ступінь розмаїття даного ряду вищий.

2. Середнє квадратичне відхилення використовується для порівняльної оцінки ступеня відповідності середньої арифметичної величини варіаційному ряду, для якого вона обчислена.

Варіації масових явищ підпорядковуються закону нормального розподілу. Крива, що відображає цей розподіл, має вигляд плавної дзвоноподібної симетричної кривої (крива Гауса). Відповідно до теорії ймовірності в явищах, що підкоряються закону нормального розподілу, між значеннями середньої арифметичної та середнього квадратичного відхилення існує строга математична залежність. Теоретичний розподіл варіантів у однорідному варіаційному ряду підпорядковується правилу трьох сигм.

Якщо системі прямокутних координат на осі абсцис відкласти значення кількісного ознаки (варіанти), але в осі ординат - частоти встречаемости варіант у варіаційному ряду, то сторонам від середньої арифметичної рівномірно розташовуються варіанти з більшими і меншими значеннями.

Встановлено, що за нормального розподілу ознаки:

68,3% значень варіант знаходиться в межах М±1s

95,5% значень варіант знаходиться в межах М±2s

99,7% значень варіант знаходиться в межах М±3s

3. Середнє квадратичне лоняння дозволяє встановити значення норми для клініко-біологічних показників. У медицині інтервал М±1s зазвичай приймається межі норми для досліджуваного явища. Відхилення оцінюваної величини від середньої арифметичної більше, ніж на 1s вказує на відхилення параметра, що вивчається від норми.

4. У медицині правило трьох сигм застосовується у педіатрії для індивідуальної оцінки рівня фізичного розвитку дітей (метод сигмальних відхилень), для розробки стандартів дитячого одягу

5. Середнє квадратичне відхилення необхідне характеристики ступеня різноманітності досліджуваного ознаки і обчислення помилки середньої арифметичної величини.

Величина середнього квадратичного відхилення зазвичай використовується для порівняння коливання однотипних рядів. Якщо порівнюються два ряди з різними ознаками (зростання та маса тіла, середня тривалість лікування в стаціонарі та лікарняна летальність тощо), то безпосереднє зіставлення розмірів сигм неможливе , т.к. середньоквадратичне відхилення - названа величина, виражена в абсолютних числах. У цих випадках застосовують коефіцієнт варіації (Cv), Що являє собою відносну величину: відсоткове відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної

Коефіцієнт варіації обчислюється за такою формулою:

Чим вищий коефіцієнт варіації , тим більша мінливість цього ряду. Вважають, що коефіцієнт варіації понад 30% свідчить про якісну неоднорідність сукупності.

Варто зазначити, що такий розрахунку дисперсії є недолік – вона виходить зміщеною, тобто. її математичне очікування не дорівнює справжньому значенню дисперсії. Докладніше про це. У той же час не все так погано. При збільшенні обсягу вибірки вона наближається до свого теоретичного аналогу, тобто. є асимптотично не зміщеною. Тому під час роботи з великими розмірами вибірок можна використати формулу вище.

Мова знаків корисно перекласти мовою слів. Вийде, що дисперсія – це середній квадрат відхилень. Тобто спочатку розраховується середнє значення, потім береться різниця між кожним вихідним та середнім значенням, зводиться у квадрат, складається і потім ділиться на кількість значень у цій сукупності. Різниця між окремим значенням та середньою відображає міру відхилення. У квадрат зводиться для того, щоб усі відхилення стали виключно позитивними числами і щоб уникнути взаємознищення позитивних та негативних відхилень при їхньому сумуванні. Потім, маючи квадрати відхилень, ми просто розраховуємо середню арифметичну. Середній – квадрат – відхилень. Відхилення зводяться у квадрат, і вважається середня. Розгадка полягає лише у трьох словах.

Однак у чистому вигляді, як, наприклад, середня арифметична, або індекс, дисперсія не використовується. Це скоріше допоміжний і проміжний показник, необхідний інших видів статистичного аналізу. У неї навіть одиниці вимірювання нормальної немає. Судячи з формули, це квадрат одиниці виміру вихідних даних. Без пляшки, як кажуть, не розберешся.

(Module 111)

Щоб повернути дисперсію в реальність, тобто використовувати з більш приземлених цілей, з неї витягують квадратний корінь. Виходить так зване середньоквадратичне відхилення (СКО). Зустрічаються назви "стандартне відхилення" або "сигма" (від назви грецької літери). Формула стандартного відхилення має вигляд:

Для отримання цього показника за вибіркою використовують формулу:

Як і з дисперсією, є й трохи інший варіант розрахунку. Але зі зростанням вибірки різниця зникає.

Середньоквадратичне відхилення, очевидно, також характеризує міру розсіювання даних, але тепер (на відміну дисперсії) його можна порівнювати з вихідними даними, так як одиниці виміру у них однакові (це випливає з формули розрахунку). Але і цей показник у чистому вигляді не дуже інформативний, тому що в ньому закладено занадто багато проміжних розрахунків, які збивають з пантелику (відхилення, квадрат, сума, середнє, корінь). Тим не менш, із середньоквадратичним відхиленням вже можна працювати безпосередньо, тому що властивості даного показника добре вивчені та відомі. Наприклад, є таке правило трьох сигм, Що свідчить, що у даних 997 значень з 1000 знаходяться в межах ±3 сигми від середньої арифметичної. Середньоквадратичне відхилення як міра невизначеності також бере участь у багатьох статистичних розрахунках. З її допомогою встановлюють ступінь точності різних оцінок та прогнозів. Якщо варіація дуже велика, то стандартне відхилення теж вийде великим, отже, і прогноз буде неточним, що висловиться, наприклад, у дуже широких інтервалах довірчих.

Коефіцієнт варіації

Середнє квадратичне відхилення дає абсолютну оцінку міри розкиду. Тому щоб зрозуміти, наскільки розкид великий щодо самих значень (тобто незалежно від їх масштабу), потрібен відносний показник. Такий показник називається коефіцієнтом варіаціїі розраховується за такою формулою:

Коефіцієнт варіації вимірюється у відсотках (якщо помножити на 100%). За цим показником можна порівнювати найрізноманітніших явищ незалежно від їх масштабу та одиниць виміру. Цей факт і робить коефіцієнт варіації настільки популярним.

У статистиці прийнято, що, якщо значення коефіцієнта варіації менше 33%, то сукупність вважається однорідною, якщо більше 33%, то неоднорідною. Мені тут важко щось прокоментувати. Не знаю хто і чому так визначив, але це вважається аксіомою.

Відчуваю, що я захопився сухою теорією і треба навести щось наочне та образне. З іншого боку, всі показники варіації описують приблизно те саме, тільки розраховуються по-різному. Тому різноманітністю прикладів блиснути важко, Відрізнятися можуть лише значення показників, але не їхня суть. Ось і порівняємо, як відрізняються значення різних показників варіації для однієї й тієї сукупності даних. Візьмемо приклад із розрахунком середнього лінійного відхилення (з ). Ось вихідні дані:

І графік нагадування.

За цими даними розрахуємо різні показники варіації.

Середнє значення – це середня середня арифметична.

Розмах варіації – різниця між максимумом та мінімумом:

Середнє лінійне відхилення вважається за формулою:

Стандартне відхилення:

Розрахунок зведемо до таблички.

Як видно, середнє лінійне та середньоквадратичне відхилення дають схожі значення ступеня варіації даних. Дисперсія – це сигма у квадраті, тому вона завжди буде відносно великою кількістю, що, власне, ні про що не говорить. Розмах варіації – це різниця між крайніми значеннями і може багато про що говорити.

Підіб'ємо деякі підсумки.

Варіація показника відбиває мінливість процесу чи явища. Її ступінь може вимірюватися за допомогою кількох показників.

1. Розмах варіації – різниця між максимумом та мінімумом. Відображає діапазон можливих значень.
2. Середнє лінійне відхилення – відбиває середнє з абсолютних (за модулем) відхилень всіх значень аналізованої сукупності їх середньої величини.
3. Дисперсія – середній квадрат відхилень.
4. Середньоквадратичне відхилення – корінь із дисперсії (середнього квадрата відхилень).
5. Коефіцієнт варіації – найбільш універсальний показник, відбиває ступінь розкиду значень незалежно від своїх масштабу та одиниць виміру. Коефіцієнт варіації вимірюється у відсотках і може бути використаний для порівняння варіації різних процесів та явищ.

Таким чином, у статистичному аналізі існує система показників, що відображають однорідність явищ та стійкість процесів. Часто показники варіації не мають самостійного сенсу та використовуються для подальшого аналізу даних (розрахунок довірчих інтервалів