Теорема про пропорційні відрізки хорд. Додаткові властивості

Розглянемо спочатку січні АС, проведені із зовнішньої стосовно даного кола точки А (рис. 288). З тієї ж точки проведемо дотичну АТ. Будемо називати відрізок між точкою А і найближчою до неї точкою перетину з коло зовнішньою частиною січній (відрізок АВ на рис. 288), відрізок АС до більш далекої з двох точок перетину - просто січучою. Відрізок дотичної від А до точки дотику також коротко називаємо дотичною. Тоді справедлива

Теорема. Твір січеї на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної.

Доведення. З'єднаємо крапку. Трикутники ACT і ВТА подібні, тому що кут при вершині А у них загальний, а кути ACT і рівні, оскільки обидва вони вимірюються половиною однієї і тієї ж дуги ТБ. Отже, звідси отримуємо необхідний результат:

Дотична дорівнює середньому геометричному між січною, проведеною з тієї ж точки, та її зовнішньою частиною.

Слідство. Для будь-якої січної, проведеної через дану точку А, добуток її довжини на зовнішню частину постійно:

Розглянемо тепер хорди, що перетинаються у внутрішній точці. Справедливе твердження:

Якщо дві хорди перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої (маються на увазі відрізки, на які хорда розбивається точкою перетину).

Так, на рис. 289 хорди АВ і CD перетинаються в точці М, і ми маємо Інакше кажучи,

Для цієї точки М твір відрізків, на які вона розбиває будь-яку хорду, що проходить через неї, постійно.

Для доказу зауважимо, що трикутники МВС та MAD подібні: кути СМВ та DMA вертикальні, кути MAD та МСВ спираються на ту саму дугу. Звідси знаходимо

що і потрібно було довести.

Якщо дана точка М лежить на відстані l від центру, то, провівши через неї діаметр і розглядаючи його як одну з хорд, знайдемо, що добуток відрізків діаметра, а значить, і будь-якої іншої хорди, так само воно дорівнює квадрату мінімальної півхорди (перпендикулярної до зазначеного діаметру), що проходить через М.

Теорема про сталості твори відрізків хорди і теорема про сталість твори січеї на її зовнішню частину суть два випадки того самого твердження, відмінність полягає лише в тому, чи проводяться січені через зовнішню чи внутрішню точку кола. Тепер можна вказати ще одну ознаку, яка відрізняє вписані чотирикутники:

У кожному вписаному чотирикутнику твори відрізне, куди розбиваються діагоналі точкою їх перетину, рівні.

Необхідність умови очевидна, оскільки діагоналі будуть хордами описаного кола. Можна показати, що ця умова також достатньо.

Властивість 1 . Якщо хорди АВ і CD кола перетинаються у точці S, AS BS = CS DS, тобто DS/BS = AS/CS.

Доведення. Доведемо спочатку, що трикутники ASD та CSB подібні.

Вписані кути DCB і DAB рівні, як такі, що спираються на ту саму дугу.

Кути ASD та BSC рівні як вертикальні.

З рівності зазначених кутів випливає, що трикутники ASD та СSB подібні. З подоби трикутників випливає пропорція

DS/BS = AS/CS, або AS BS = CS DS,

що і потрібно було довести.

Властивість 2. Якщо з точки Р до кола проведено дві січні, що перетинають коло в точках А, В і С, D відповідно, то АР/СР = DP/BP.

Доведення. Нехай А і С - найближчі до точки Р точки перетину січуть з колом. Трикутники PAD та РСВ подібні. У них кут при вершині Р загальний, а кути В і D рівні як вписані, що спираються на ту саму дугу. З подоби трикутників випливає пропорція АР/СР = DP/BP, що потрібно було довести.

Властивість бісектриси кута трикутника

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

Доведення.Нехай CD бісектриса трикутника ABC. Якщо трикутник ABC - рівнобедрений з основою АВ, то зазначена властивість бісектриси очевидна, тому що в цьому випадку бісектриса є і медіаною. Розглянемо загальний випадок, коли АС не дорівнює ПС. Опустимо перпендикуляри AF та BE з вершин А та В на пряму CD. Прямокутні трикутники ACF і ВСІ подібні, оскільки вони рівні гострі кути при вершині З.

З подоби трикутників випливає пропорційність сторін: АС/ВС = AF/BE. Прямокутні трикутники ADF і BDE також подібні. Вони кути при вершині D рівні як вертикальні. З подібності випливає: AF/BE = AD/BD. Порівнюючи цю рівність з попереднім, отримаємо: АС/ВС = AD/BD або AC/AD = BC/BD, тобто AD та BD пропорційні сторонам АС та ВС.

Математика. Алгебра. Геометрія. Тригонометрія

ГЕОМЕТРІЯ: Планіметрія

10. Теореми про пропорційні лінії

Доведення. Потрібно довести три пропорції: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Трикутники ABD і ADC подібні, оскільки

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Використання матеріалів сайту можливе за умови вказівки активного посилання

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Ціль:підвищити мотивацію до навчання; розвивати обчислювальні навички, кмітливість, вміння працювати у команді.

Хід заняття

Актуалізація знань. Сьогодні ми продовжимо говорити про коло. Дозвольте нагадати визначення кола: що називається коло?

Окружність- це лінія, що складається з усіх точок площини, що знаходяться на заданій відстані від однієї точки площини, яка називається центром кола.

На слайді зображено коло, відзначено її центр - точку О, проведено два відрізки: ОА та СВ. Відрізок ОА з'єднує центр кола з точкою на кола. Він називається Радіус (латиною radius - "спиця в колесі"). Відрізок СВ з'єднує дві точки кола і проходить через її центр. Це діаметр кола (у перекладі з грецької – “діаметр”).

Також нам знадобиться визначення хорди кола – це відрізок, що з'єднує дві точки кола (на малюнку – хорда DE).

Давайте з'ясуємо питання про взаємне розташування прямої та кола.

Наступне питання і воно буде основним: з'ясувати властивості, якими володіють хорди, що перетинаються, січені і дотичні.

Доводити ці властивості ви будете на уроках математики, а наше завдання навчитися застосовувати ці властивості при вирішенні завдань, оскільки вони знаходять широке застосування на іспитах і у формі ЄДІ, і у формі ДІА.

Завдання для команд.

• Зобразити та записати властивість тих, що перетинаються в точці Р хорд КМ та NF.
• Зобразити та записати властивість дотичної КМ та січної КF.
• Зобразити та записати властивість січучих КМ та МF.

Використовуючи дані малюнку, знайдіть х. Слайд 5–6

Хто швидше, правильніше. З подальшим обговоренням та перевіркою вирішення всіх завдань. Ті, хто відповідає, заробляють для своєї команди заохочувальні бали.

Ну, а тепер приступимо до вирішення більш серйозних завдань. Вашій увазі пропонується три блоки: хорди, що перетинаються, дотична і січна, дві січні. Докладним чином розберемо рішення з одного завдання з кожного блоку.

(Розбирається рішення з докладним записом №4, №7, №12)

2. Практикум щодо вирішення завдань

а) хорди, що перетинаються

1. E – точка перетину хорд AB та CD. AE=4, AB=10, E:ED=1:6. Знайти CD.

Рішення:

2. E – точка перетину хорд AB та CD. AB = 17, CD = 18, ED = 2CE. Знайти AE та BE.

Рішення:

3. E – точка перетину хорд AB та CD. AB = 10, CD = 11, BE = CE +1. Знайти CE.

Рішення:

4. E – точка перетину хорд AB та CD. ED = 2AE, CE = DE-1, BE = 10. Знайти CD.

Рішення:

б) Стосовна та січна

5. З однієї точки проведені до кола дотична та січна. Дотична дорівнює 6, січна – 18. Визначити внутрішній відрізок січної.

Рішення:

6. З однієї точки проведені до кола дотична та січна. Знайти дотичну, якщо відомо, що вона менша від внутрішнього відрізка січної на 4 і більше зовнішнього відрізка на 4.

Рішення:

7. З однієї точки проведені до кола дотична та січна. Знайти січну, якщо відомо, що її внутрішній відрізок відноситься до зовнішнього, як 3:1, а довжина дотичної дорівнює 12.

Рішення:

8. З однієї точки проведені до кола дотична та січна. Знайти зовнішній відрізок, що січе, якщо відомо, що її внутрішній відрізок 12, а довжина дотичної 8.

Рішення:

9. Дотична і січна, що виходять з однієї точки, відповідно дорівнюють 12 і 24. Визначити радіус кола, якщо січна віддалена від центру на 12.

Рішення:

в) Дві січучі

10. З однієї точки проведено до кола дві січучі, внутрішні відрізки яких відповідно дорівнюють 8 і 16. Зовнішній відрізок другої сіючої на 1 менший від зовнішнього відрізка першої. Знайти довжину кожної січної.

Рішення:

11. З однієї точки проведено до кола дві січучі. Зовнішній відрізок першої січної відноситься до свого внутрішнього, як 1:3. Зовнішній відрізок другої січної на 1 менший від зовнішнього відрізка першої і відноситься до свого внутрішнього відрізка, як 1:8. Знайти довжину кожної січної.

Рішення:

12. Через точку А, яка знаходиться поза коло на відстані 7 від її центру, проведено пряме, що перетинає коло в точках В і С. Знайдіть довжину радіуса кола, якщо АВ=3, ВС=5.

Рішення:

13. З точки А проведені до кола січна довжиною 12 см і дотична, що становить внутрішнього відрізка січної. Знайдіть довжину дотичної.

Рішення:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Закріплення знань

Вважаю, що ви маєте достатній запас знань, щоб вирушити в невелику подорож лабіринтами вашого інтелекту, відвідавши наступні станції:

• Розумій!
• Вирішуй!
• Відповідай!

На станції можна перебувати трохи більше 6 хвилин. За кожне правильне рішення завдання команда отримує заохочувальні бали.

Командам вручаються маршрутні листи:

Маршрутний лист

Хотілося б підвести підсумки нашого заняття:

Крім нових знань, сподіваюся, ви краще познайомилися один з одним, набули досвіду роботи в команді. А як ви вважаєте, отримані знання знаходять десь застосування в житті?

Поет Г. Лонгфелло був ще математиком. Напевно, тому яскраві образи, які прикрашають математичні поняття, які він використав у своєму романі "Каванг", дозволяють зобразити на все життя деякі теореми та їх застосування. Читаємо в романі таке завдання:

“Лілія, що на одну п'ядь піднімалася над поверхнею води, під поривом свіжого вітру торкнулася поверхні озера за два лікті від колишнього місця; тому потрібно було визначити глибину озера” (1 п'ядь дорівнює 10 дюймам, 2 ліктя – 21 дюйму).

А вирішується це завдання на основі властивості хорд, що перетинаються. Подивіться на малюнок, і стане зрозумілим, як знаходиться глибина озера.

Рішення:

§ 11. Пропорційні відрізки у колі.

1. Ферма мосту обмежена дугою кола (чорт. 38); висота ферми MK= h= 3 м; радіус дуги АМВ прольоту R = 8,5 м. Обчислити довжину АВ прольоту моста.

2. У склепінчастому підвалі, що має форму напівциліндра, треба поставити дві стійки, кожну на однаковій відстані від найближчої стіни. Визначити висоту стійок, якщо ширина підвалу внизу дорівнює 4 м, а відстань між стійками 2 м.

3. 1) З точки кола проведено перпендикуляр на діаметр. Визначити його довжину при наступній довжині відрізків діаметра: 1) 12 см та 3 см; 2) 16см і 9 см, 3) 2 м та 5 дм.

2) З точки діаметра проведено перпендикуляр до перетину з колом. Визначити довжину цього перпендикуляра, якщо діаметр дорівнює 40 см, а проведений перпендикуляр віддалений від одного з кінців діаметра на 8 см.

4. Діаметр поділено на відрізки: АС= 8 дм і СВ=5 м, і з точки С проведений до нього перпендикуляр CD даної довжини. Вказати положення точки D щодо кола, коли CD дорівнює: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.

5. АСВ-півколо; CD – перпендикуляр на діаметр АВ. Потрібно:

1) визначити DB, якщо AD = 25 та CD = 10;

2) визначити АВ, якщо AD: DB = 4: 9 та CD = 30;

3) визначити AD, якщо CD = 3AD, а радіус дорівнює r;

4) визначити AD, якщо A = 50 і CD = 15.

6. 1) Перпендикуляр, опущений з точки кола на радіус, рівний 34 см, ділить його щодо 8:9 (починаючи від центру). Визначити довжину перпендикуляра.

2) Хорда BDC перпендикулярна радіусу ODA. Визначити ПС, якщо ОA = 25 см і AD=10 см.

3) Ширина кільця, утвореного двома концентричними колами, дорівнює 8 дм; хорда більшого кола, дотична до меншого, дорівнює 4 м. Визначити радіуси кіл.

7. За допомогою порівняння відрізків довести, що середнє арифметичне двох нерівних чисел більше від їхнього середнього геометричного.

8. Побудувати відрізок середній пропорційний між відрізками 3 см і 5 см.

9. Побудувати відрізок, що дорівнює: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-діаметр; АС-хорд; CD-перпендикуляр до діаметру. Визначити хорду АС: 1) якщо АВ = 2 м та AD = 0,5 м; 2) якщо AD = 4 см та DB = 5 см; 3) якщо AB=20 м та DB= 15 м.

11. АВ-діаметр; АС-хорд; AD-їє проекція на діаметр АВ. Потрібно:

1) визначити AD, якщо АB = 18 см та АС = 12 см;

2) визначити радіус, якщо АС = 12 м і AD = 4 м;

3) визначити DB, якщо AС = 24 см і DB = 7/9 AD.

12. АВ-діаметр; АС-хорд; AD-їє проекція на діаметр АВ. Потрібно:

1) визначити АС, якщо АВ = 35 см та AC = 5AD;

2) визначити АС, якщо радіус дорівнює rта AC=DB.

13. Дві хорди перетинаються всередині кола. Відрізки однієї хорди дорівнюють 24 см і 14 см; один із відрізків іншої хорди дорівнює 28 см. Визначити другий її відрізок.

14. Мостова ферма обмежена дугою кола (чорт. 38); довжина моста АВ = 6 м, висота А = 1,2 м. Визначити радіус дуги (OM = R).

15. Два відрізки АВ і CD перетинаються в точці М так, що МА = 7 см, MB = 21 см,
МС = 3 см і MD = 16 см. Чи лежать точки А, В, С та D на одному колі?

16. Довжина маятника MA = l= 1 м (чорт. 39), висота його підйому, при відхиленні на кут α, CA = h= 10 см. Знайти відстань НД точки В від МА (ВС = х).

17. Для переведення залізничної колії шириною b= 1,524 м у місці АВ (чорт. 40) зроблено заокруглення; у своїй виявилося, ; що BС= а= 42,4 м. Визначити радіус заокруглення OA = R.

18. Хорда АМВ повернута біля точки М так, що відрізок МА збільшився у 2 1/2 рази. Як змінився відрізок МБ?

19. 1) З двох хорд, що перетинаються, одна розділилася на частини в 48 см і 3 см, а інша - навпіл. Визначити довжину другої хорди.

2) З двох хорд, що перетинаються, одна розділилася на частини в 12 м і 18 м, а інша-відносно 3:8. Визначити довжину другої хорди.

20. З двох хорд, що перетинаються, перша дорівнює 32 см, а відрізки іншої хорди рівні
12 см та 16 см. Визначити відрізки першої хорди.

21. Поточна ABC повернена біля зовнішньої точки А так, що її зовнішній відрізок АВ зменшився втричі. Як змінилася довжина січної?

22. Нехай ADB і AЕС-дві прямі, що перетинають коло: перша в точках D і В, друга в точках E і С. Потрібно:

1) визначити АЕ, якщо AD = 5 см, DB = 15 см та АС = 25 см;

2) визначити BD, якщо АВ = 24 м, АС = 16 м та ЄС = 10м;

3) визначити АВ та АС, якщо АВ+АС=50 м, a AD: AE = 3:7.

23. Радіус кола дорівнює 7 см. З точки, віддаленої від центру на 9 см, проведена січна так, що вона ділиться коло навпіл. Визначити довжину цієї січної.

24. МАВ та MCD-дві ​​січучі до одного кола. Потрібно:

1) визначити CD, якщо МВ = 1 м, MD = 15 дм та CD = MA;

2) визначити MD, якщо MA = 18 см, АВ = 12 см та MC:CD = 5:7;

3) визначити АВ, якщо АВ = МС, МА = 20 та CD = 11.

25. Дві хорди продовжені до взаємного перетину. Визначити довжину отриманих продовжень, якщо хорди дорівнюють аі b, А їх продовження відносяться, як т: п.

26. З однієї точки проведені до кола січна та дотична. Визначити довжину дотичної, якщо зовнішній та внутрішній відрізки сіючої відповідно виражаються такими числами: 1) 4 та 5; 2) 2,25 та 1,75; 3) 1 та 2.

27. Дотична дорівнює 20 см, а найбільша січна, проведена з тієї ж точки, дорівнює 50 см. Визначити радіус кола.

28. Секція більша за свій зовнішній відрізок у 2 1 / 4 рази. У скільки разів вона більша за дотичну, проведену з тієї ж точки?

29. Загальна хорда двох кіл, що перетинаються, продовжена, і з точки, взятої на продовженні, проведені до них дотичні. Довести, що вони є рівними.

30. На одній стороні кута А відкладені один за одним відрізки: A = 6 см і ВС = 8 см; а на іншій стороні відкладено відрізок AD = 10 см. Через точки В, С і D проведено коло. Дізнатися, чи стосується цього кола пряма AD, а якщо ні, то буде точка D першою (вважаючи A) або другою точкою перетину.

31. Нехай буде: АВ-дотик і ACD-секучий того ж кола. Потрібно:

1) визначити CD, якщо АВ = 2 см та AD = 4 см;

2) визначити AD, якщо AC:CD = 4:5 та АВ=12 см;

3) визначити АВ, якщо AB = CD та АС = а.

32. 1) Як далеко видно з повітряної кулі (рис. 41), що піднялася на висоту 4 км над землею (радіус землі дорівнює = 6370 км)?

2) Гора Ельбрус (на Кавказі) піднімається над рівнем моря на 5600 м. Як далеко можна бачити з вершини цієї гори?

3) М – спостережний пункт висотою А метрів над землею (чорт. 42); радіус землі R, МТ= dє найбільша видима відстань. Довести, що d= √2R h+ h 2

Зауваження.Так як h 2 внаслідок своєї дрібниці порівняно з 2R hна результат майже не впливає, то можна користуватися наближеною формулою d≈ √2R h .

33. 1) Дотична і січна, що виходять з однієї точки, відповідно дорівнюють 20 см і 40 см; січна віддалена від центру на 8 см. Визначити радіус кола.

2) Визначити відстань від центру до тієї точки, з якої виходять дотична та січна, якщо вони відповідно дорівнюють 4 см та 8 см, а січна віддалена від центру на
12 см.

34. 1) Із загальної точки проведені до кола дотична та січна. Визначити довжину дотичної, якщо вона на 5 см більша від зовнішнього відрізка січної та на стільки ж менша від внутрішнього відрізка.

2) З однієї точки проведені до кола січна та дотична. Поточна рівна а, та її внутрішній відрізок більше зовнішнього відрізка на довжину дотичної. Визначити дотичну.

36. З однієї точки проведено до одного кола дотичне та січене. Відносна більше внутрішнього і зовнішнього відрізків січної відповідно на 2 см і 4 см. Визначити довжину січної.

36. З однієї точки проведені до кола дотична та січна. Визначити їх довжину, якщо дотична на 20 см менша від внутрішнього відрізка січної та на 8 см більша від зовнішнього відрізка.

37. 1) З однієї точки проведені до кола січна та дотична. Сума їх дорівнює 30 см, а внутрішній відрізок січе на 2 см менше дотичної. Визначити січну та дотичну.

2) З однієї точки проведені до кола січна та дотична. Сума їх дорівнює 15 см, а зовнішній відрізок січе на 2 см менше дотичної. Визначити січну та дотичну.

38. Відрізок АВ продовжено на відстань ПС. На АВ та АС, як на діаметрах, побудовані кола. До відрізка АС у точці В проведено перпендикуляр BD до перетину з більшим колом. З точки З проведено дотичну СК до меншого кола. Довести, що CD = СК.

39. До цього кола проведено дві паралельні дотичні та третя дотична, що перетинає їх. Радіус є середня пропорційна між відрізками третьої дотичної. Довести.

40. Дано дві паралельні прямі на відстані 15 дм одна від одної; між ними дано точку М на відстані 3 дм від однієї з них. Через точку М проведено коло, що стосується обох паралелей. Визначити відстань між проекціями центру та точки М на одну з даних паралелей.

41. У коло радіусу rвписаний рівнобедрений трикутник, у якого сума висоти та основи дорівнює діаметру кола. Визначте висоту.

42. Визначити радіус кола, описаного біля рівнобедреного трикутника: 1) якщо основа дорівнює 16 см, а висота 4 см; 2) якщо бічний бік дорівнює 12 дм, а висота 9 дм; 3) якщо бічна сторона дорівнює 15 м, а основа 18 м.

43. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 48 дм, а бічна сторона дорівнює 30 дм. Визначити радіуси кіл, описаного та вписаного, та відстань між їхніми центрами.

44. Радіус дорівнює r, хорда цієї дуги дорівнює а. Визначити хорду подвоєної дуги.

45. Радіус кола дорівнює 8 дм; хорда АВ дорівнює 12 дм. Через точку А проведена дотична, а з точки В-хорду ВС, паралельна дотичній. Визначити відстань між дотичною та хордою ПС.

46. ​​Точка А віддалена від прямої MN на відстань з. Даним радіусом rописано коло так, що вона проходить через точку А і стосується лінії MN. Визначити відстань між отриманою точкою торкання та цією точкою А.