Теорема про існування монотонної та обмеженої послідовності. Теорема вейєрштрасу про межу монотонної послідовності

Визначення 1. Послідовністьназивається спадаючою (незростаючою ), якщо для всіх
виконується нерівність
.

Визначення 2. Послідовність
називається зростаючою (невпадаючою ), якщо для всіх
виконується нерівність
.

Визначення 3. Зменшувальні, незростаючі, зростаючі та неубутні послідовності називаються монотонними послідовностями, спадні та зростаючі послідовності називають також суворо монотонними послідовності.

Очевидно, що незнижена послідовність обмежена знизу, послідовність, що не зростає, обмежена зверху. Тому будь-яка монотонна послідовність свідомо обмежена з одного боку.

приклад 1. Послідовність
зростає, не зменшується,
зменшується,
не зростає,
- Немонотонна послідовність.

Для монотонних послідовностей важливу роль відіграє

Теорема 1. Якщо незнижена (незростаюча) послідовність обмежена зверху (знизу), вона сходиться.

Доведення. Нехай послідовність
не зменшується і обмежена зверху, тобто.
і безліч
обмежена зверху. По теоремі 1 § 2 існує
. Доведемо, що
.

Візьмемо
довільно. Оскільки а- Точна верхня межа, існує номер N такий, що
. Так як послідовність незнижена, то для всіх
маємо, тобто.
тому
для всіх
, А це і означає, що
.

Для незростаючої послідовності, обмеженої знизу, доказ проводиться аналогічно ( студенти можуть довести це твердження вдома самостійно). Теорему доведено.

Зауваження. Теорему 1 можна сформулювати інакше.

Теорема 2. Для того, щоб монотонна послідовність сходилася, необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена.

Достатність встановлена ​​у теоремі 1, необхідність – у теоремі 2 § 5.

Умова монотонності не є необхідною для збіжності послідовності, оскільки послідовність, що сходить, не обов'язково монотонна. Наприклад, послідовність
не монотонна, проте сходиться до нуля.

Слідство. Якщо послідовність
зростає (зменшується) і обмежена зверху (знизу), то
(
).

Дійсно, за теоремою 1
(
).

Визначення 4. Якщо
при
, то послідовність називається стягується системою вкладених відрізків .

Теорема 3 (принцип вкладених відрізків). У будь-якої системи вкладених відрізків, що стягується, існує, і до того ж єдина, точка з, Що належить усім відрізкам цієї системи.

Доведення. Доведемо, що точка зІснує. Оскільки
, то
і, отже, послідовність
не зменшується, а послідовність
не зростає. При цьому
і
обмежені, оскільки. Тоді за теоремою 1 існують
і
, але так як
, то
=
. Знайдена точка зналежить всім відрізкам системи, оскільки за наслідком теореми 1
,
, тобто.
для всіх значень n.

Покажемо тепер, що точка з- Єдина. Припустимо, що таких точок дві: зі dі нехай для визначеності
. Тоді відрізок
належить усім відрізкам
, тобто.
для всіх n, що неможливо, тому що
і, отже, починаючи з деякого номера,
. Теорему доведено.

Зазначимо, тут істотно те, що розглядаються замкнуті проміжки, тобто. відрізки. Якщо розглянути систему інтервалів, що стягуються, то принцип, взагалі кажучи, неправильний. Наприклад, інтервали
, очевидно, стягуються в крапку
, проте точка
не належить жодному інтервалу цієї системи.

Розглянемо тепер приклади монотонних послідовностей, що сходяться.

1) Число е.

Розглянемо тепер послідовність
. Як вона поводиться? підстава

ступеня
тому
? З іншого боку,
, а
тому
? Чи межа не існує?

Щоб відповісти на ці питання, розглянемо допоміжну послідовність
. Доведемо, що вона зменшується і обмежена знизу. При цьому нам буде потрібна

Лемма. Якщо
, то для всіх натуральних значень nмаємо

(Нерівність Бернуллі).

Доведення. Скористаємося методом математичної індукції.

Якщо
, то
, тобто. нерівність вірна.

Припустимо, що воно вірне для
і доведемо його справедливість для
+1.

Правильно
. Помножимо цю нерівність на
:

Таким чином, . Отже, згідно з принципом математичної індукції, нерівність Бернуллі правильна для всіх натуральних значень n. Лемма доведена.

Покажемо, що послідовність
зменшується. Маємо

‌‌‌׀нерівність Бернуллі׀
,А це і означає, що послідовність
зменшується.

Обмеженість знизу випливає з нерівності
‌‌‌׀нерівність Бернуллі׀
для всіх натуральних значень n.

За теоремою 1 існує
, який позначають буквою е. Тому
.

Число еірраціонально та трансцендентно, е= 2,718281828…. Воно є, як відомо, основою натуральних логарифмів.

Зауваження. 1) Нерівність Бернуллі можна використовувати для доказу того, що
при
. Справді, якщо
, то
. Тоді, за нерівністю Бернуллі,
. Звідси при
маємо
, тобто
при
.

2) У розглянутому вище прикладі основа ступеня прагне до 1, а показник ступеня n- До , тобто має місце невизначеність виду . Невизначеність такого виду, як ми показали, розкривається за допомогою чудової межі
.

2)
(*)

Доведемо, що це послідовність сходиться. Для цього покажемо, що вона обмежена знизу та не зростає. При цьому скористаємося нерівністю
для всіх
, яке є наслідком нерівності
.

Маємо
див. нерівність вище
, тобто. послідовність обмежена знизу числом
.

Далі,
так як

, тобто. послідовність не зростає.

За теоремою 1 існує
, який позначимо х. Переходячи в рівності (*) до межі при
, отримаємо

, тобто.
, звідки
(беремо знак «плюс», оскільки всі члени послідовності є позитивними).

Послідовність (*) застосовується при обчисленні
приблизно. За беруть будь-яке позитивне число. Наприклад, знайдемо
. Нехай
. Тоді
,. Таким чином,
.

3)
.

Маємо
. Оскільки
при
, існує номер N, такий, що для всіх
виконується нерівність
. Таким чином, послідовність
, починаючи з деякого номера N, зменшується і обмежена знизу, оскільки
для всіх значень n. Отже, за теоремою 1 існує
. Оскільки
, маємо
.

Отже,
.

4)
, справа – n коріння.

Методом математичної індукції покажемо, що
для всіх значень n. Маємо
. Нехай
. Тоді звідси отримуємо твердження за принципом математичної індукції. Використовуючи цей факт, бачимо, тобто. послідовність
зростає та обмежена зверху. Тому існує, оскільки
.

Таким чином,
.

Наводиться доказ теореми Вейєрштраса про межі монотонної послідовності. Розглянуто випадки обмеженої та необмеженої послідовностей. Розглянуто приклад, у якому потрібно, застосовуючи теорему Вейєрштраса, довести збіжність послідовності та знайти її межу.

Будь-яка монотонна обмежена послідовність ( x n )має кінцеву межу, рівну точної вірніше межі, sup ( x n )для незабутньої та точної нижньої межі, inf ( x n )для зростаючої послідовності.
Будь-яка монотонна необмежена послідовність має нескінченну межу, рівну плюс нескінченності, для незнищальної і мінус нескінченності, для послідовності, що не зростає.

Доведення

1) неубутньою обмеженою послідовністю.

(1.1) .

Оскільки послідовність обмежена, вона має точну верхню границю
.
Це означає, що:

• для всіх n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Тут ми також використали (1.3). Комбінуючи з (1.2), знаходимо:
при .
Оскільки , то
,
або
при .
Першу частину теореми доведено.

2) Нехай тепер послідовність є незростаючою обмеженою послідовністю:
(2.1) всім n .

Оскільки послідовність обмежена, вона має точну нижню границю
.
Це означає таке:

• для всіх n виконуються нерівності:
  (2.2) ;
• для будь-якого позитивного числа існує такий номер, що залежить від ε, для якого
  (2.3) .

.
Тут ми також використали (2.3). Враховуючи (2.2), знаходимо:
при .
Оскільки , то
,
або
при .
Це означає, що число є межею послідовності .
Другу частину теореми доведено.

Тепер розглянемо необмежені послідовності.
3) Нехай послідовність є необмеженою неубутньою послідовністю.

Оскільки послідовність неубутня, то для всіх n виконуються нерівності:
(3.1) .

Оскільки послідовність є неубутньою і необмеженою, вона необмежена з правого боку. Тоді для будь-якого числа M існує такий номер, що залежить від M, для якого
(3.2) .

Оскільки послідовність неубутня, то маємо:
.
Тут ми також використали (3.2).

.
Це означає, що межа послідовності дорівнює плюс нескінченності:
.
Третя частина теореми доведена.

4) Нарешті розглянемо випадок, коли є необмеженою незростаючою послідовністю.

Аналогічно попередньому, оскільки послідовність незростаюча, то
(4.1) всім n .

Оскільки послідовність є незростаючою і необмеженою, вона необмежена з лівого боку. Тоді для будь-якого числа M існує такий номер, що залежить від M, для якого
(4.2) .

Оскільки послідовність незростаюча, то маємо:
.

Отже, для будь-якого числа M існує таке натуральне число, що залежить від M, так що для всіх номерів виконуються нерівності:
.
Це означає, що межа послідовності дорівнює мінус нескінченності:
.
Теорему доведено.

Приклад розв'язання задачі

Користуючись теоремою Вейєрштраса, довести збіжність послідовності:
, , . . . , , . . .
Після чого знайти її межу.

Подаємо послідовність у вигляді рекурентних формул:
,
.

Доведемо, що задана послідовність обмежена згори значенням
(П1) .
Доказ виконуємо методом математичної індукції.
.
Нехай. Тоді
.
Нерівність (П1) доведено.

Доведемо, що послідовність монотонно зростає.
;
(П2) .
Оскільки , то знаменник дробу і перший множник у чисельнику позитивні. З огляду на обмеженість членів послідовності нерівністю (П1), другий множник також позитивний. Тому
.
Тобто послідовність є строго зростаючою.

Оскільки послідовність зростає і обмежена зверху, вона є обмеженою послідовністю. Тому, за теоремою Вейєрштраса, вона має межу.

Знайдемо цю межу. Позначимо його через a:
.
Скористаємося тим, що
.
Застосуємо це до (П2), використовуючи арифметичні властивості меж послідовностей, що сходяться :
.
Умові задовольняє корінь.