Теорема побудова кута рівного даному. Побудова кута, що дорівнює даному

У завданнях на побудову розглядатимемо побудову геометричної фігури, яку можна виконати за допомогою лінійки та циркуля.

За допомогою лінійки можна провести:

довільну пряму;

довільну пряму, яка проходить через цю точку;

пряму через дві дані точки.

За допомогою циркуля можна описати з даного центру коло даного радіусу.

Циркулем можна відкласти відрізок на цій прямій від цієї точки.

Розглянемо основні завдання побудова.

Завдання 1.Побудувати трикутник із даними сторонами а, b, з (рис.1).

Рішення. За допомогою лінійки проведемо довільну пряму і візьмемо на ній довільну точку В. Розчином циркуля, рівним а, описуємо коло з центром і радіусом а. Нехай С - точка її перетину з прямою. Розчином циркуля, рівним с, описуємо коло з центру, а розчином циркуля, рівним b - коло з центру С. Нехай А - точка перетину цих кіл. Трикутник ABC має сторони, рівні a, b, c.

Зауваження. Щоб три відрізки прямої могли служити сторонами трикутника, необхідно, щоб більший з них був меншим від суми двох інших (а< b + с).

Завдання 2.

Рішення. Даний кут з вершиною А та промінь ОМ зображені на малюнку 2.

Проведемо довільне коло з центром у вершині А даного кута. Нехай У і З - точки перетину кола зі сторонами кута (рис.3, а). Радіусом АВ проведемо коло з центром у точці О - початковій точці даного променя (рис.3, б). Точку перетину цього кола з цим променем позначимо 1 . Опишемо коло з центром 1 і радіусом ВС. Точка В 1 перетину двох кіл лежить на стороні шуканого кута. Це випливає з рівності ΔABC = Δ ОВ 1 С 1 (третя ознака рівності трикутників).

Завдання 3.Побудувати бісектрису даного кута (рис.4).

Рішення. З вершини А даного кута, як із центру, проводимо коло довільного радіусу. Нехай В і С – точки її перетину зі сторонами кута. З точок У і З тим самим радіусом описуємо кола. Нехай D - точка їх перетину, відмінна від А. Промінь AD ділить кут А навпіл. Це випливає з рівності ABD = ACD (третя ознака рівності трикутників).

Завдання 4.Провести серединний перпендикуляр до даного відрізка (рис.5).

Рішення. Довільним, але однаковим розчином циркуля (великим 1/2 АВ) описуємо дві дуги з центрами в точках А та В, які перетнуться між собою в деяких точках С та D. Пряма CD буде шуканим перпендикуляром. Дійсно, як видно з побудови, кожна з точок С та D однаково віддалена від А і В; отже, ці точки мають лежати на серединному перпендикулярі до відрізка АВ.

Завдання 5.Розділити цей відрізок навпіл. Вирішується як і, як і завдання 4 (див. рис.5).

Завдання 6.Через дану точку провести пряму, перпендикулярну до цієї прямої.

Рішення. Можливі два випадки:

1) дана точка лежить на даній прямій а (рис. 6).

З точки Про проводимо довільним радіусом коло, що перетинає пряму а в точках А і В. З точок А і тим самим радіусом проводимо кола. Нехай О 1 - точка їх перетину, відмінна від О. Отримуємо ГО 1 ⊥ AB. Насправді, точки О і О 1 рівновіддалені від кінців відрізка АВ і, отже, лежать на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Побудова кута, що дорівнює цьому. Дано: кут А. А Побудували кут О. В С О D E Довести: А = О Доказ: розглянемо трикутники АВС та ОDE. 1.АС=ОЕ, як радіуси одного кола. 2.АВ=ОD, як радіуси одного кола. 3.ВС=DE, як радіуси одного кола. АВС = ОDЕ (3 приз.) А = О

Доведемо, що промінь АВ – бісектриса А П Л А Н 1.Додаткова побудова. 2. Доведемо рівність трикутників АСВ та АDB. 3. Висновки АВС D 1.АС=АD, як радіуси одного кола. 2.СВ=DB, як радіуси одного кола. 3.АВ - загальна сторона. АСВ = АDВ, за III ознакою рівності трикутників Промінь АВ – бісектриса Побудова бісектриси кута.

A N B A C 1 = 2 12 В р/б трикутнику АМВ відрізок МС є бісектрисою, а отже, і висотою. Тоді, а МN. М Доведемо, що MN Подивимося на розташування циркулів. АМ = АN = MB = BN, як рівні радіуси. МN-загальна сторона. MВN = MAN, за трьома сторонами Побудова перпендикулярних прямих. М a

Q P ВА АРQ = BPQ, за трьома сторонами = 2 Трикутник АРВ р/б. Відрізок РВ є бісектрисою, а значить, і медіаною. Тоді точка О – середина АВ. Про Доведемо, що – середина відрізка АВ. Побудова середини відрізка

D С Побудова трикутника з обох боків та кута між ними. Кут hk h 1. Побудуємо промінь. 2. Відкладемо відрізок АВ, рівний P 1 Q 1. 3. Побудуємо кут, рівний даному. 4. Відкладемо відрізок АС, рівний P 2 Q 2. А Трикутник АВС шуканий. Обґрунтуй, використовуючи I ознаку. Дано: Відрізки Р 1 Q 1 і Р 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 а k

D С Побудова трикутника з обох боків і двох кутів, що прилягають до неї. Кут h 1 k 1 h2h2 1. Побудуємо промінь. 2. Відкладемо відрізок АВ, рівний P 1 Q 1. 3. Побудуємо кут, рівний даному h 1 k 1. 4. Побудуємо кут, рівний h 2 k 2. А Трикутник АВС шуканий. Обґрунтуй, використовуючи II ознаку. Дано: Відрізок Р 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 а k2k2 h1h1 k1k1 N

З 1. Побудуємо промінь. 2. Відкладемо відрізок АВ, рівний P 1 Q 1. 3. Побудуємо дугу з центром у т. А та радіусом Р 2 Q 2. 4. Побудуємо дугу з центром у т. В та радіусом P 3 Q 3. В А Трикутник АВС шуканий. Обґрунтуй, використовуючи III ознаку. Дано: відрізки Р 1 Q 1, Р 2 Q 2, P 3 Q3.

Побудова кута, що дорівнює цьому. Дано: напівпряма, кут. Побудова. В. А. С. 7. Для доказу досить помітити, що трикутники АВС та ОВ1С1 рівні як трикутники з відповідно рівними сторонами. Кути А та Про є відповідними кутами цих трикутників. Треба: відкласти від даної напівпрямої в дану напівплощину кут, що дорівнює даному куту. З 1. В 1. О. 1. Проведемо довільне коло з центром у вершині А даного кута. 2. Нехай В і С – точки перетину кола зі сторонами кута. 3. Радіусом АВ проведемо коло з центром у точці О – початковій точці даної напівпрямої. 4. Точку перетину цього кола з даною напівпрямою позначимо В1. 5. Опишемо коло з центром В1 та радіусом ВС. 6. Точка С1 перетину побудованих кіл у зазначеній напівплощині лежить на стороні шуканого кута.

Геометрія 7 клас

«Рівностегновий трикутник» - Теорема. Трикутник - найпростіша замкнута прямолінійна фігура. Вирішення задач. Знайдіть кут KBA. Рівність трикутників. Відгадайте ребус. ABC -рівностегновий. Перерахуйте рівні елементи трикутників. Класифікація трикутників на всі боки. У рівнобедреному трикутнику АМК АМ = АК. Класифікація трикутників за величиною кутів. Бічні сторони. Трикутник, усі сторони якого рівні. Рівнобедрений трикутник.

«Вимірювання відрізків та кутів» - Порівняння відрізків. http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg. Ф3 = ф4. MN > CD. 1м =. Середина відрізка. 1км. На яке найбільше частин можуть розбити площину 4 різні прямі? Інші одиниці виміру. Порівняння фігур за допомогою накладання. Порівняння кутів. Поєдналися сторони ВМ та ЄС. На скільки частин можуть розбити площину 3 різні прямі? http://www.robertagor.it/calibro.jpg.

"Прямокутний трикутник, його властивості" - Один з кутів прямокутного трикутника. Рішення. Який трикутник називається прямокутним. Прямокутний трикутник. Властивості прямокутного трикутника. Розминка. Розвиток логічного мислення. Бісектриса. Катет прямокутного трикутника. Складемо рівняння. Уважно розглянемо креслення. Властивість прямокутного трикутника. Мешканці трьох будинків. Трикутник.

"Визначення кута" - Поняття кутів. Проведіть промені. Підготовчий етап уроку. Кут. Пояснення нового матеріалу. Кут розділяє площину. Поняття внутрішньої та зовнішньої областей кута. Зацікавити предметом. Промінь малюнку ділить кут. Визначення розгорнутого кута. Розвиток логічного мислення. Тупий кут. Гострий кут. Вступні слова. Зафарбуйте внутрішню ділянку кута. Кути. Промінь BM ділить кут ABC на два кути.

«Друга і третя ознаки рівності трикутників» - Сторони. Медіана в рівнобедреному трикутнику. Друга і третя ознаки рівності трикутників. Рішення. Три сторони одного трикутника. Заснування. Довести. Властивості рівнобедреного трикутника. Ознаки рівності трикутників. Вирішення задач. Математичний диктант. Кути. Завдання. Периметр рівнобедреного трикутника.

«Декартова система координат на площині» - Площина, де задана декартова система координат. Координати у житті людей. Система географічних координат. Декартова система координат на площині. Проект з алгебри. Вчені, які є авторами координат. Давньогрецький астроном Клавдій. Клітини на ігровому полі. Точка перетину осей. Введення більш простих позначень у алгебру. Місце у кінотеатрі. Значення декартової системи координат.

Мета уроку: Формування вміння будувати кут, що дорівнює цьому. Завдання: Створити умови для засвоєння алгоритму побудови за допомогою циркуля та лінійки кута, що дорівнює даному; створити умови для засвоєння послідовності дій під час вирішення завдання побудова (аналіз, побудова, доказ); удосконалювати навичку використання властивостей кола, ознак рівності трикутників на вирішення завдання доказ; забезпечити можливість застосування нових умінь під час вирішення завдань

У геометрії виділяють завдання на побудову, які можна вирішити лише за допомогою двох інструментів: циркуля та лінійки без масштабних поділів. Лінійка дозволяє провести довільну пряму, а також побудувати пряму через дві дані точки; за допомогою циркуля можна провести коло довільного радіусу, а також коло з центром у даній точці та радіусом, рівним даному відрізку. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I III III III III III III III III III III III III III III III III III

Дано: кут А. А Побудували: кут О. В С О D E Довести: А = О Доказ: розглянемо трикутники АВС та ОDE. 1.АС=ОЕ, як радіуси одного кола. 2.АВ=ОD, як радіуси одного кола. 3.ВС=DE, як радіуси одного кола. АВС = ОDЕ (3 приз.) А = О Завдання 2. Відкласти від даного променя кут, рівний даному

Доведемо, що промінь АВ – бісектриса А 3. Доказ: Додаткова побудова (з'єднаємо точку з точками D і C). Розглянемо АСВ і АDB: АВС D 1.АС=АD, як радіуси одного кола. 2.СВ=DB, як радіуси одного кола. 3. АВ – загальна сторона. АСВ = АDВ, за III ознакою рівності трикутників Промінь АВ - бісектриса 4. Дослідження: Завдання завжди має єдине рішення.

Схема розв'язання задач на побудову: Аналіз (малюнок шуканої фігури, встановлення зв'язків між заданими та шуканими елементами, план побудови). Побудова за наміченим планом. Доказ, що ця постать задовольняє умовам завдання. Дослідження (коли та скільки завдання має розв'язків?).

математика геометрія навик урок

Конспект уроку «Побудова кута, що дорівнює цьому. Побудова бісектриси кута»

навчальна: познайомити учнів із завданнями на побудову, під час вирішення яких, використовуються лише циркуль та лінійка; навчити виконувати побудову кута, що дорівнює даному, будувати бісектрису кута;

розвиваюча: розвиток просторового мислення, уваги;

виховна: виховання працьовитості та акуратності.

Обладнання:таблиці з порядком розв'язання завдань на побудову; циркуль та лінійка.

Хід уроку:

1. Актуалізація основних теоретичних понять (5 хв).

Спочатку можна провести фронтальне опитування з таких питань:

• 1. Яка фігура називається трикутником?
• 2. Які трикутники називаються рівними?
• 3. Сформулюйте ознаки рівності трикутників.
• 4. Який відрізок називається бісектрисою трикутника? Скільки бісектрис має трикутник?
• 5. Дайте визначення кола. Що таке центр, радіус, хорда та діаметр кола?

Для повторення ознак рівності трикутників можна запропонувати.

Завдання: вкажіть на якому малюнку (рис. 1) є рівні трикутники.

Мал. 1

Повторення поняття кола та його елементів можна організувати, запропонувавши класу наступне завдання, З виконанням його одним учнем на дошці: дана пряма а і точка А, що лежить на прямій і точка, не лежача на прямій. Провести коло з центром у точці А, що проходить через точку В. Позначте точки перетину кола з прямою а. Назвіть радіуси кола.

2. Вивчення нового матеріалу (практична робота) (20 хв)

Побудова кута, що дорівнює даному

Для розгляду нового матеріалу вчителю корисно мати таблицю (таблиця №1 додатка 4). Роботу з таблицею можна організувати по-різному: вона може ілюструвати розповідь вчителя чи зразок запису рішення; можна запропонувати учням, користуючись таблицею, розповісти про розв'язання завдання, та був самостійно його виконати у зошитах. Таблиця може бути використана при опитуванні учнів та при повторенні матеріалу.

Завдання.Відкласти від даного променя кут, що дорівнює даному.

Рішення.Даний кут з вершиною А та промінь ОМ зображені на малюнку 2.

Мал. 2

Потрібно побудувати кут, що дорівнює куту А, так, щоб одна зі сторін збіглася з променем ОМ. Проведемо коло довільного радіусу з центром у вершині А даного кута. Це коло перетинає сторони кута в точках і С (рис. 3, а). Потім проведемо коло того ж радіуса з центром на початку даного променя ЗМ. Вона перетинає промінь у точці D (Рис. 3, б). Після цього побудуємо коло з центром D, радіус якого дорівнює ВС. Кола з центрами Про і D перетинаються у двох точках. Одну з цих точок позначимо буквою Е. Доведемо, що кут МОЄ – шуканий.

Розглянемо трикутники АВС та ОDЕ. Відрізки АВ і АС є радіусами кола з центром А, а ОD і ОЕ - радіусами кола з центром О. Оскільки за побудовою ці кола мають рівні радіуси, то АВ=ОD, АС=ОЕ. Також з побудови ВС = DЕ. Отже, АВС = ОDЕ по трьох сторонах. Тому DОЕ=ВАС, тобто. побудований кут МОЄ дорівнює цьому куту А.

Мал. 3

Побудова бісектриси даного кута

Завдання. Побудувати бісектрису даного кута.

Рішення. Проведемо коло довільного радіусу з центром у вершині А даного кута. Вона перетне сторони кута в точках В і С. Потім проведемо два кола однакового радіусу ВС з центрами в точках В і С (на малюнку 4 зображені лише частини цих кіл). Вони перетнуться у двох точках. Ту з цих точок, що лежить усередині кута ВАС, позначимо буквою Е. Доведемо, що промінь АЕ є бісектрисою даного кута.

Розглянемо трикутники АСЕ та АВЕ. Вони рівні з трьох сторін. Справді, АЕ – спільна сторона; АС і АВ рівні, як радіуси одного і того кола; СЕ=ВЕ з побудови. З рівності трикутників АСЕ і АВЕ слід, що САЕ=ВАЕ, тобто. промінь АЕ - бісектриса даного кута.

Мал. 4

Вчитель може запропонувати учням по даній таблиці (таблиця №2 додатка 4) побудувати бісектрису кута.

Учень біля дошки виконує побудову, обґрунтовуючи кожен крок дій, що виконуються.

Доказ показує вчитель, необхідно докладно зупинитись на доказі того факту, що в результаті побудови дійсно вийдуть рівні кути.

3. Закріплення (10 хв)

Корисно запропонувати учням наступне завдання для закріплення пройденого матеріалу:

Завдання.Даний тупий кут АОВ. Побудуйте промінь ОХ так, щоб кути ХОА і ХОВ були рівними тупими кутами.

Завдання.Побудувати за допомогою циркуля та лінійки кути в 30є та 60є.

Завдання.Побудуйте трикутник по стороні, куту, що прилягає до його сторони, та бісектрисі трикутника, що виходить з вершини даного кута.

• 4. Підбиття підсумку (3 хв)
• 1. У ході уроку ми вирішили два завдання на побудову. Навчалися:
  • а) будувати кут, що дорівнює цьому;
  • б) будувати бісектрису кута.
• 2. У ході вирішення цих завдань:
  • а) згадали ознаки рівності трикутників;
  • б) використовували побудови кіл, відрізків, променів.
• 5. Додому (2 хв): №150-152 (див. додаток 1).