Теорема протилежні кути паралелограма рівні. Теореми паралелограма

Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто. лежать на паралельних прямих

Властивості паралелограма:
Теорема 22. Протилежні сторони паралелограма рівні.
Доведення. У паралелограмі АВСD проведемо діагональ АС. Трикутники АСD та АСВ рівні, як мають спільну сторону АС та дві пари рівних кутів. прилеглих до неї: ∠ САВ = ∠ АСD, ∠ АСВ = ∠ DAC (як навхрест лежачі кути при паралельних прямих AD і ВС). Значить, АВ=CD та ВС=AD, як відповідні сторони рівних трикутників, ч.т.д. З рівності цих трикутників також випливає рівність відповідних кутів трикутників:
Теорема 23. Протилежні кути паралелограма рівні: ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D.
Рівність першої пари йде з рівності трикутників АВD та CBD, а другої – АВС та ACD.
Теорема 24. Сусідні кути паралелограма, тобто. кути, що прилягають до одного боку, становлять у сумі 180 градусів.
Це так, тому що вони є односторонніми внутрішніми кутами.
Теорема 25. Діагоналі паралелограма ділять один одного в точці їхнього перетину навпіл.
Доведення. Розглянемо трикутники ВОС та АОD. За першою властивістю AD=ВС ∠ ОАD=∠ ОСВ і ∠ ОDА=∠ ОВС як навхрест, що лежать при паралельних прямих AD і ВС. Тому трикутники ВОС і АОD рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Отже, ВО=ОD і АО=ОС, як відповідні сторони рівних трикутників, т.д.

Ознаки паралелограма
Теорема 26. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Доведення. Нехай у чотирикутника АВСD сторони AD і ВС, АВ та CD відповідно рівні (рис2). Проведемо діагональ АС. Трикутник АВС і ACD рівні по трьох сторонах. Тоді кути ВАС та DСА рівні і, отже, АВ паралельна CD. Паралельність сторін ЗС і AD випливає з рівності кутів CAD та АСВ.
Теорема 27. Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Нехай ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D. Т.к. ∠ А+∠ В+∠ С+∠ D=360 про, то ∠ А+∠ В=180 про сторони AD і ВС паралельні (за ознакою паралельності прямих). Також доведемо і паралельність сторін АВ і CD і зробимо висновок, що АВСD є паралелограмом за визначенням.
Теорема 28. Якщо сусідні кути чотирикутника, тобто. кути, прилеглі до однієї стороні, становлять у сумі 180 градусів, він є паралелограмом.
Якщо внутрішні односторонні кути у сумі становлять 180 градусів, то прямі пралельні. Значить АВ парал CD і НД парал AD. Чотирьохкутник виявляється паралелограмом за визначенням.
Теорема 29. Якщо діагоналі чотирикутника взаємно діляться у точці перетину навпіл, то чотирикутник – паралелограм.
Доведення. Якщо АО=ОС, ВО=ОD, то трикутники АOD і ВОС рівні, що мають рівні кути (вертикальні) при вершині О, укладені між парами рівних сторін. З рівності трикутників укладаємо, що AD і НД рівні. Також рівні сторони АВ та CD, і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 1.
Теорема 30. Якщо чотирикутник має пару рівних, паралельних між собою сторін, він є паралелограмом.
Нехай у чотирикутнику АВСD сторони АВ і CD паралельні та рівні. Проведемо діагоналі АС та ВD. З паралельності цих прямих випливає рівність навхрест лежачих кутів АВО=СDО і ВАО=ОСD. Трикутники АВО і СДО рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Тому АТ = ОС, ВО = ОD, тобто. діагоналі точкою перетину діляться навпіл і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 4.

У геометрії розглядають окремі випадки паралелограма.

Тема урока

• Властивість діагоналей паралелограма.

Цілі уроку

• Познайомитися з новими визначеннями та згадати деякі вже вивчені.
• Сформулювати та довести властивість діагоналей паралелограма.
• Навчитися застосовувати властивості фігур під час вирішення завдань.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

1. Вступне слово.
2. Повторення раніше вивченого матеріалу.
3. Паралелограм, його властивості та ознаки.
4. Приклади завдань.
5. Самостійна перевірка.

Вступ

«Велике наукове відкриття дає вирішення великої проблеми, але й у вирішенні будь-якого завдання присутня крихта відкриття».

Властивість протилежних сторін паралелограма

У паралелограма протилежні сторони рівні.

Доведення.

Нехай ABCD – цей паралелограм. І нехай його діагоналі перетинаються у точці O.
Так як Δ AOB = Δ COD за першою ознакою рівності трикутників (AOB = ∠ COD, як вертикальні, AO = OC, DO = OB, за властивістю діагоналей паралелограма), то AB = CD. Так само з рівності трикутників ВОС і DOA, випливає, що BC=DA. Теорему доведено.

Властивість протилежних кутів паралелограма

У паралелограма протилежні кути рівні.

Доведення.

Нехай ABCD - даний паралелограм. І нехай його діагоналі перетинаються у точці O.
З доведеного в теоремі про властивості протилежних сторін паралелограма ABC = CDA по трьох сторонах (AB = CD, BC = DA з доведеного, AC - загальна). З рівності трикутників випливає, що ∠ABC = ∠CDA.
Також доводиться, що ∠ DAB = ∠ BCD, яке випливає з ∠ ABD = ∠ CDB. Теорему доведено.

Властивість діагоналей паралелограма

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення.

Нехай ABCD – цей паралелограм. Проведемо діагональ AC. Відзначимо на ній середину O. На продовженні відрізка DO відкладемо відрізок OB 1 , що дорівнює DO.
По попередній теоремі AB 1 CD – паралелограм. Тому пряма AB 1 паралельна DC. Але через точку A можна провести лише одну пряму, паралельну DC. Отже, пряма AB 1 збігається із прямою AB.
Також доводиться, що BC 1 збігається із BC. Отже, точка З збігається з 1 . Паралелограм ABCD збігається з паралелограмом AB 1 CD. Отже, діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Теорему доведено.

У підручниках для звичайних шкіл (наприклад, у Погорєлові) доводиться вона так: діагоналі ділять паралелограм на 4 трикутники. Розглянемо одну пару і з'ясуємо - вони рівні: підстави у них - протилежні сторони, що прилягають до нього відповідні кути, рівні як вертикальні при паралельних прямих. Тобто відрізки діагоналей попарно рівні. Всі.

Чи все?
Вище доведено, що точка перетину ділить діагоналі навпіл – якщо існує. Саме її існування наведене міркування не доводить жодною мірою. Тобто частина теореми "діагоналі паралелограма перетинаються" залишається недоведеною.

Цікаво, що довести цю частину набагато складніше. Слід це, до речі, із більш загального результату: у будь-якого опуклого чотирикутника діагоналі перетинатимуться, у будь-якого непуклого – не будуть.

Про рівність трикутників по стороні та двом прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників) та інші.

Теоремі про рівність двох трикутників з обох боків та двох прилеглих до неї кутів Фалес знайшов важливе практичне застосування. У гавані Мілета було збудовано далекомір, що визначає відстань до корабля в морі. Він був три вбиті кілочки А, В і С (АВ = ВС) і розмічену пряму СК, перпендикулярну.СА. З появою корабля на прямій СК знаходили точку D таку, щоб точки D, .В та Е виявлялися на одній прямій. Як зрозуміло з креслення, відстань CD землі є шуканою відстанню до корабля.

Запитання

1. Діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл?
   
2. Діагоналі паралелограма рівні?
3. Протилежні кути паралелограма рівні?
4. Чи сформулюйте визначення паралелограма?
5. Скільки ознак паралелограма?
   
6. Чи може бути ромб паралелограмом?
   

Список використаних джерел

1. Кузнєцов О. В., учитель математики (5-9 клас), м. Київ
2. «Єдиний державний іспит 2006 року. Математика. Навчально-тренувальні матеріали для підготовки учнів / Рособрнагляд, ІСОП - М.: Інтелект-Центр, 2006 »
3. Мазур К. І. «Рішення основних конкурсних завдань з математики збірника за редакцією М. І. Сканаві»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна «Геометрія, 7 - 9: підручник для загальноосвітніх установ»

Над уроком працювали

Кузнєцов А. В.

Потурнак С.А.

Євген Петров

Поставити питання про сучасну освіту, висловити ідею або вирішити проблему, що назріла Ви можете на Освітній форум, де на міжнародному рівні збирається освітня рада свіжої думки та дії. Створивши блог,Ви не тільки підвищите свій статус як компетентного викладача, а й зробите вагомий внесок у розвиток школи майбутнього. Гільдія Лідерів Освітавідчиняє двері для фахівців вищого рангу та запрошує до співпраці у напрямку створення найкращих у світі шкіл.

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

Савинська середня загальноосвітня школа

Дослідницька робота

Паралелограм та його нові властивості

Виконала: учениця 8Б класу

МБОУ Савінська ЗОШ

Кузнєцова Світлана, 14 років

Керівник: учитель математики

Тульчевська Н.А.

п. Савине

Іванівська область, Росія

2016р.

I. Вступ __________________________________________________стор 3

II. З історії паралелограма ___________________________________стор 4

III Додаткові властивості паралелограма ______________________стор 4

IV. Доказ властивостей _____________________________________ стор 5

V. Розв'язання задач з використанням додаткових властивостей __________стор 8

VI. Застосування властивостей паралелограма у житті ___________________Стор 11

VII. Висновок _________________________________________________стор 12

VIII. Література _________________________________________________стор 13

Вступ

"Серед рівних умів

при однаковості інших умов

перевершує той, хто знає геометрію.

(Блез Паскаль).

Під час вивчення теми «Паралелограм» на уроках геометрії ми розглянули дві властивості паралелограма і три ознаки, але коли ми почали вирішувати завдання, виявилося, що цього недостатньо.

У мене виникло питання, а чи має паралелограма ще властивості, і як вони допоможуть при вирішенні завдань.

І я вирішила вивчити додаткові властивості паралелограма та показати, як їх можна застосувати для вирішення завдань.

Предмет дослідження : паралелограм

Об'єкт дослідження : властивості паралелограма
Мета роботи:

формулювання та доказ додаткових властивостей паралелограма, які не вивчаються у школі;

застосування цих властивостей на вирішення завдань.

Завдання:

Вивчити історію виникнення паралелограма та історію розвитку його властивостей;

Знайти додаткову літературу з питання, що досліджується;

Вивчити додаткові властивості паралелограма та довести їх;

Показати застосування цих властивостей на вирішення завдань;

Розглянути застосування властивостей паралелограма у житті.
Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково – популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет;

Вивчення теоретичного матеріалу;

Виділення кола завдань, які можна розв'язувати з використанням додаткових властивостей паралелограма;

Спостереження, порівняння, аналіз, аналогія.

Тривалість дослідження : 3 місяці: січень-березень 2016р.

1. З історії паралелограма

У підручнику геометрії ми читаємо таке визначення паралелограма: паралелограм – це такий чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні

Слово «паралелограм» перекладається як «паралельні лінії» (від грецьких слів Parallelos – паралельний та gramme – лінія), цей термін було введено Евклідом. У своїй книзі «Початку» Евклід довів такі властивості паралелограма: протилежні сторони та кути паралелограма рівні, а діагональ ділить його навпіл. Про точку перетину паралелограма Евклід не згадує. Тільки до кінця середньовіччя була розроблена повна теорія паралелограмів І лише в XVII столітті в підручниках з'явилися теореми про паралелограми, які доводяться за допомогою теореми Евкліда про властивості паралелограма.

III Додаткові властивості паралелограма

У підручнику з геометрії дано лише 2 властивості паралелограма:

Протилежні кути та сторони рівні

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

У різних джерелах з геометрії можна зустріти такі додаткові властивості:

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник;

Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих;

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом;

Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник;

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Якщо в паралелограмі з'єднати протилежні вершини із серединами протилежних сторін, то вийде ще один паралелограм.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

IV Доказ властивостей паралелограма

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Дано:

ABCD – паралелограм

Довести:

A +
B =

Доведення:

А й
B – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих ПС АD і січній АВ, отже,
A +
B =

2

Дано:АBCD - паралелограм,

АК-бісектриса
А.

Довести: АВК – рівнобедрений

Доведення:

1)
1=
3 (навхрест лежать при ВС AD і січній AK),

2)
2=
3 т. до. АК - бісектриса,

означає 1 =
2.

3) АВК - рівнобедрений т. до. 2 кута трикутника рівні

3

Дано:АВСD – паралелограм,

АК - бісектриса A,

СР - бісектриса C.

Довести:АК ║ СР

Доведення:

1) 1=2 т. до. АК-бісектриса

2) 4 = 5 т.к. СР - бісектриса

3) 3=1 (навхрест лежачі кути при

НД ║ АD і АК-січній),

4) A = C (за властивістю паралелограма), значить 2 = 3 = 4 = 5.

4) З п. 3 і 4 випливає, що 1=4, а ці кути відповідні при прямих АК і СР і ВС,

означає, АК ║ СР (за ознакою паралельності прямих)

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом

Дано:АВСD - паралелограм,

АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D

Довести: DР АК.

Доведення:

1) 1 = 2, т.к. АК - бісектриса

Нехай, 1 = 2 = x, тоді А = 2x,

2) 3 = 4, т.к. D Р – бісектриса

Нехай, 3 = 4 = у, тоді D = 2y

3) A + D = 180 0 т.к. сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180

2) Розглянемо A ОD

1+3=90 0 тоді
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник

Дано:АВСD - паралелограм, АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D,

CM-бісектриса C,

BF-бісектриса B .

Довести: KRNS-прямокутник.

Доведення:

Виходячи з попередньої властивості 8=7=6=5=90 0

означає KRNS-прямокутник.

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Дано: ABCD-паралелограм, АС-діагональ.

ВК АС, DP AC

Довести: BК=DР

Доведення: 1)DCР=КAB, як внутрішні навхрест що лежать при АВ ║ СD і січній АС.

2) AКB= CDР (на стороні та двох прилеглих до неї кутах АВ=СD CD Р=AB К).

На рівних трикутниках відповідні сторони рівні, отже DР=BК.

Якщо в паралелограмі з'єднати протилежні вершини із серединами протилежних сторін, то вийде ще один паралелограм.

Дано: ABCD-паралелограм.

Довести:ВКDР – паралелограм.

Доведення:

1) BР=КD (AD=BC, точки К та Р

ділять ці сторони навпіл)

2) ВР ║ КD (лежать на АD BC)

Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні та паралельні, значить, цей чотирикутник -паралелограм.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Дано: ABCD – паралелограм. BD та AC - діагоналі.

Довести: АС 2 +ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

Доведення: 1)АСК: AC ²=
+

2)B РD : BD 2 = B Р 2 + РD 2 (за теоремою Піфагора)

3) AC ²+ BD ²=СК²+A К²+B Р²+РD ²

4) СК = ВР = Н(висота )

5) АС 2 +УD 2 = H 2 + A До 2 + H 2 +РD 2

6) Нехай D К=A Р=хтоді C ДоD : H 2 = CD 2 - х 2 за теоремою Піфагора )

7) АС²+ВD ² = СD 2 - х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +РD 2 ,

АС²+ВD ²=2СD 2 -2х 2 + A До 2 +РD 2

8) A До=AD+ х, РD=AD- х,

АС²+ВD ² =2CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,

АС²+ УD²=2 ЗD²-2 х² +AD 2 +2AD х+ х 2 +AD 2 -2AD х+ х 2 ,
АС²+ УD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Розв'язання задач із використанням цих властивостей

Точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, належить протилежній стороні. Менша сторона паралелограма дорівнює 5 . Знайдіть його більшу сторону.

Дано: ABCD - паралелограм,

АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D, АВ=5

Знайти: НД

єшення

Рішення

Т.к. АК - бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 5

Тоді, ВС = ВК + СК = 5 + 5 = 10

Відповідь: 10

2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса одного з його кутів ділить сторону паралелограма на відрізки 7 см та 14 см.

1 випадок

Дано:
А,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти:Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. АК – бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

АВ = ВК = 14 см

Тоді Р = 2 (14 +21) = 70 (см)

Дано: ABCD - паралелограм,

D К – бісектриса
D ,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти: Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 7

Тоді, Р = 2 (21 +7) = 56 (см)

Відповідь: 70см або 56 см

3.Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 3 см. Бісектриси двох кутів, що належать до більшої сторони, ділять протилежну сторону на три відрізки. Знайдіть ці відрізки.

1 випадок:бісектриси перетинаються поза паралелограмом

Дано: ABCD – паралелограм, АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D , АВ=3 см, НД=10 см

Знайти: ВМ, МN, NC

Рішення

Т.к. АМ - бісектриса
А, то АВМ – рівнобедрений.

Т.к. DN – бісектриса
D , то DCN - рівнобедрений

DC = CN = 3

Тоді, МN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 +3) = 4 см

2 випадок:бісектриси перетинаються всередині паралелограма

Т.к. АN - бісектриса
А, то АВN – рівнобедрений.

АВ = ВN = 3 D

А розсувні грати – відсувати на необхідну відстань у дверях

Паралелограмний механізм- Чотирьохланковий механізм, ланки якого складають паралелограм. Застосовується реалізації поступального руху шарнірними механізмами.

Паралелограм із нерухомою ланкою- одна ланка нерухома, протилежне здійснює коливальний рух, залишаючись паралельним нерухомому. Два паралелограми, з'єднаних один за одним, дають кінцевій ланці два ступені свободи, залишаючи його паралельним нерухомому.

Приклади: склоочисники автобусів, навантажувачі, штативи, підвіси, автомобільні підвіски.

Паралелограм із нерухомим шарніром- використовується властивість паралелограма зберігати постійне співвідношення відстаней між трьома точками. Приклад: креслярський пантограф - прилад масштабування креслень.

Ромб- всі ланки однакової довжини, наближення (стягування) пари протилежних шарнірів призводить до розсування двох інших шарнірів. Усі ланки працюють на стиск.

Приклади – автомобільний ромбоподібний домкрат, трамвайний пантограф.

Ножичнийабо X-подібний механізм, також відомий як Нюрнберзькі ножиці- Варіант ромба - дві ланки, з'єднані посередині шарніром. Переваги механізму – компактність та простота, недолік – наявність двох пар ковзання. Два (і більше) таких механізми, з'єднані послідовно, утворюють у середині ромб(и). Застосовується у витягах, дитячих іграшках.

VII Висновок

Хто з дитячих років займається математикою,

той розвиває увагу, тренує свій мозок,

свою волю, виховує у собі наполегливість

і завзятість у досягненні мети

О. Маркушевич

У ході роботи я довела додаткові властивості паралелограма.

Я переконалася, що застосовуючи ці властивості можна вирішувати завдання швидше.

Я показала, як застосовуються ці властивості на прикладах вирішення конкретних завдань.

Я дізналася багато нового про паралелограму, чого немає в нашому підручнику геометрії

Я переконалася, що знання геометрії дуже важливі в житті на прикладах застосування властивостей паралелограма.

Мета моєї дослідницької роботи виконана.

Про те, наскільки важливими є математичні знання, говорить той факт, що була заснована премія тому, хто видасть книгу про людину, яка все життя прожила без допомоги математики. Цю премію досі не отримала жодна людина.

VIII Література

1. ПогореловА.В. Геометрія 7-9: підручник для загальноосвіт. установ-М.: Просвітництво, 2014р

   Л.С.Атанасян та ін. Геометрія. Дод. Розділи до підручника 8 кл.: навч. посібник для учнів шкіл та класів з поглибл. вивч.математики. - М.: Віта-прес, 2003

   Ресурси мережі Інтернет

   матеріали Вікіпедії

Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих (рис.1).

Теорема 1. Про властивість сторін та кутів паралелограма.У паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні сума кутів, прилеглих до однієї стороні паралелограма, дорівнює 180°.

Доведення. У даному паралелограмі ABCD проведемо діагональ АС та отримаємо два трикутники ABC та ADC (рис.2).

Ці трикутники рівні, оскільки ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (нахрест лежачі кути при паралельних прямих), а сторона АС загальна. З рівності ΔABC = ΔADC випливає, що АВ = CD, ВС = AD, ∠B = ∠D. Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, наприклад кутів А і D, дорівнює 180° як односторонніх при паралельних прямих. Теорему доведено.

Зауваження. Рівність протилежних сторін паралелограма означає, що відрізки паралельних, що відсікаються паралельними, рівні.

Наслідок 1. Якщо дві прямі паралельні, то всі точки однієї прямої знаходяться на тій самій відстані від іншої прямої.

Доведення. Справді, нехай || b (рис.3).

Проведемо з якихось двох точок В і С прямої b перпендикуляри ВА і CD до прямої а. Оскільки АВ || CD, то фігура ABCD - паралелограм, а отже, АВ = CD.

Відстанню між двома паралельними прямими називається відстань від довільної точки однієї з прямих до іншої прямої.

За доведеним воно дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з якоїсь точки однієї з паралельних прямих до іншої прямої.

приклад 1.Периметр паралелограма дорівнює 122 см. Одна з його сторін більша за іншу на 25 см. Знайти сторони паралелограма.

Рішення. За теоремою 1 протилежні сторони паралелограма рівні. Позначимо одну сторону паралелограма через х, іншу через у. Тоді за умовою $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Вирішуючи цю систему, отримаємо х = 43, у = 18. Таким чином, сторони паралелограма дорівнюють 18, 43, 18 і 43 см.

приклад 2.

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 4.

Позначимо АВ через х, а ПС через у. За умовою периметр паралелограма дорівнює 10 см, тобто 2(x + у) = 10 або х + у = 5. Периметр трикутника ABD дорівнює 8 см. А так як АВ + AD = х + у = 5 то BD = 8-5 = 3 . Отже, BD = 3 див.

приклад 3.Знайти кути паралелограма, знаючи, що один з них більший за інший на 50°.

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 5.

Позначимо градусний захід кута А через х. Тоді градусна міра кута D дорівнює х + 50 °.

Кути BAD та ADC внутрішні односторонні при паралельних прямих АВ та DC та січній AD. Тоді сума цих названих кутів становитиме 180°, тобто.
х + х + 50 ° = 180 °, або х = 65 °. Таким чином, ∠A = ∠C = 65°, a ∠B = ∠D = 115°.

приклад 4.Сторони паралелограма дорівнюють 4,5 дм та 1,2 дм. З вершини гострого кута проведено бісектрису. На які частини вона ділить велику сторону паралелограма?

Рішення. Нехай умові завдання відповідає рисунок 6.

АЕ - бісектриса гострого кута паралелограма. Отже, ∠1 = ∠2.

Для того, щоб визначити, чи ця фігура є паралелограмом, існує ряд ознак. Розглянемо три основні ознаки паралелограма.

1 ознака паралелограма

Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник буде паралелограммом.

Доведення:

Розглянемо чотирикутник ABCD. Нехай у ньому сторони AB та СD паралельні. І нехай AB = CD. Проведемо у ньому діагональ BD. Вона розділить цей чотирикутник на два рівні трикутники: ABD і CBD.

Ці трикутники рівні між собою по двох сторонах і кут між ними (BD - загальна сторона, AB = CD за умовою, кут1 = кут2 як навхрест лежачі кути при січній BD паралельних прямих AB і CD.), а отже кут3 = кут4.

А ці кути будуть навхрест лежать при перетині прямих BC і AD BD. З цього випливає, що BC і AD паралельні між собою. Маємо, що у чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно паралельні, і, отже, чотирикутник ABCD є паралелограмом.

2 ознака паралелограма

Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник буде паралелограммом.

Доведення:

Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо у ньому діагональ BD. Вона розділить цей чотирикутник на два рівні трикутники: ABD і CBD.

Ці два трикутники будуть рівними між собою по трьох сторонах (BD - загальна сторона, AB = CD і BC = AD за умовою). З цього можна дійти невтішного висновку, що кут1 = кут2. Звідси випливає, що AB паралельна до CD. Оскільки AB = CD і AB паралельна CD, то за першою ознакою паралелограма, чотирикутник ABCD буде паралелограмом.

3 ознака паралелограма

Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник буде паралелограммом.

Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо в ньому дві діагоналі AC і BD, які перетинатимуться в точці О і діляться цією точкою навпіл.

Трикутники AOB і COD дорівнюють між собою, за першою ознакою рівності трикутників. (AO = OC, BO = OD за умовою, кут AOB = кут COD як вертикальні кути.) Отже, AB = CD та кут1 = кут 2. З рівності кутів 1 та 2 маємо, що AB паралельна CD. Тоді маємо, що у чотирикутнику ABCD сторони AB рівні CD і паралельні, і за першою ознакою паралелограма чотирикутник ABCD буде паралелограмом.