Тотожне визначення. Значення слова тотожність

Ця стаття дає початкове уявлення про тотожності. Тут ми визначимо тотожність, введемо позначення, що використовується, і, звичайно ж, наведемо різні приклади тотожностей.

Навігація на сторінці.

Що таке тотожність?

Логічно почати виклад матеріалу з визначення тотожності. У підручнику Макарічева Ю. Н. алгебра для 7 класів визначення тотожності дається так:

Визначення.

Тотожність– це рівність, правильне за будь-яких значеннях змінних; будь-яке правильне числове рівність – це теж тотожність.

При цьому автор відразу застерігається, що надалі це визначення буде уточнено. Це уточнення відбувається у 8 класі, після знайомства з визначенням допустимих значень змінних та ОДЗ. Визначення стає таким:

Визначення.

Тотожності– це вірні числові рівності, і навіть рівності, які правильні за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них.

То чому, визначаючи тотожність, у 7 класі ми говоримо про будь-які значення змінних, а 8 класі починаємо говорити про значення змінних їх ОДЗ? До 8 класу робота ведеться виключно з цілими виразами (зокрема, з одночленами та багаточленами), а вони мають сенс для будь-яких значень змінних, що входять до них. Тому в 7 класі ми й говоримо, що тотожність – це рівність, вірна за будь-яких значень змінних. На 8 класі з'являються висловлювання, які мають сенс задля всіх значень змінних, лише для значень їх ОДЗ. Тому тотожностями ми починаємо називати рівності, вірні за всіх допустимих значень змінних.

Отже, тотожність – це окремий випадок рівності. Тобто будь-яка тотожність є рівністю. Але не всяка рівність є тотожністю, а тільки така рівність, яка вірна для будь-яких значень змінних з їхньої області допустимих значень.

Знак тотожності

Відомо, що в записі рівностей використовується знак рівності виду =, зліва і праворуч від якого стоять деякі числа або вирази. Якщо до цього знака додати ще одну горизонтальну межу, то вийде знак тотожності«≡», або як його ще називають знак тотожної рівності.

Знак тотожності зазвичай застосовують лише тоді, коли потрібно особливо наголосити, що перед нами не просто рівність, а саме тотожність. В інших випадках записи тотожності на вигляд нічим не відрізняються від рівностей.

Приклади тотожностей

Настав час привести приклади тотожностей. У цьому нам допоможе визначення тотожності, дане у першому пункті.

Числові рівності 2=2 є прикладами тотожностей, оскільки ці рівності вірні, а будь-яке правильне числове рівність за визначенням є тотожністю. Їх можна записати як 2≡2 та .

Тотожності є і числові рівності виду 2+3=5 і 7−1=2·3 , оскільки ці рівності є вірними. Тобто, 2+3≡5 і 7−1≡2·3 .

Переходимо до прикладів тотожностей, які у своєму запису як числа, а й змінні.

Розглянемо рівність 3 · (x + 1) = 3 · x +3. При будь-якому значенні змінної x записана рівність є вірною з розподільчої властивості множення щодо додавання, тому вихідна рівність є прикладом тотожності. Ось ще один приклад тотожності: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, тут область допустимих значень змінних x і y становлять усі пари (x, y) , де x і y - будь-які числа, крім нуля.

І це рівності x+1=x−1 і a+2·b=b+2·a є тотожностями, оскільки є значення змінних, у яких ці рівності будуть неправильні. Наприклад, при x=2 рівність x+1=x−1 звертається до невірної рівності 2+1=2−1 . Понад те, рівність x+1=x−1 взагалі досягається за жодних значеннях змінної x . А рівність a+2·b=b+2·a звернеться у неправильну рівність, якщо взяти будь-які різні значення змінних a і b . Наприклад, при a = 0 і b = 1 ми прийдемо до невірної рівності 0 +2 · 1 = 1 +2 · 0 . Рівність | x | = x, де | x | - Змінної x , також не є тотожністю, так як воно неправильне для негативних значень x .

Прикладами найбільш відомих тотожностей є види sin 2 α+cos 2 α=1 та a log a b =b .

На закінчення цієї статті хочеться зазначити, що з вивченні математики ми постійно зіштовхуємося з тотожностями. Записи властивостей дій з числами є тотожності, наприклад, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 та a+(−a)=0 . Також тотожними є

Тотожність- це філософсько-логічне поняття, що виражає рівність(однаковість) предмета чи явища із собою або рівність кількох предметів чи явищ між собою. Тотожність зазвичай представлено у природному мові чи формі « a(є) те саме, що і b» або « aтотожно b», що може бути символізовано як « a = b(таке твердження зазвичай називають абсолютним тотожністю), або у формі « aє те ж за властивістю Φ, що і b(затвердження подібного виду називаються відносним тотожністю і можуть бути символізовані як « a = Φ b»).

Твердження тотожності, як правило, тлумачаться по-різному. Найбільш обмежувальною є пропозиція Л. Вітгенштейна, висунута в його «Логіко-філософському трактаті» (1921): елімінувати утвердження тотожності шляхом введення спеціальних обмежень на одиничні терміни, коли кожному предмету зіставляється не більше одного одиничного терміну. Альтернативний підхід представлений класичною теорією тотожності (Дж. Перрі, Дж. Нельсон), що зводить всі тотожності природної мови до абсолютних тотожностей (зазвичай у цьому випадку тотожність визначається за допомогою закону Г. В. Лейбниця x = y= Df ∀ F(F(x) = F(y))), і релятивістською теорією (П. Гіч), що зводить всі тотожності до відносних.

Існує і змішана нередукціоністська стратегія (Д. Одегард), коли беруться до уваги обидва види тотожності. Класична теорія тотожності базується на твердженні про те, що все тотожно самому собі, ніщо не є тотожним чомусь ще, крім самого себе (Д. Льюїс). Однак при подібному розумінні тотожності для фізичних об'єктів виникають проблеми спадкоємності (чи самототожні предмети, що тривають у часі, чи зберігаються предмети після заміни їх частин). Відповідно до Г. Фреге, ми маємо вміти розпізнавати об'єкт, позначений введеним нами символом, як і той самий. У зв'язку з цим вводиться принцип нерозрізненості тотожних предметів, який свідчить, що тотожні об'єкти невиразні за властивостями. Таке поняття тотожності зручне для математичних цілей, де об'єкти задані жорстко і змінюються з часом.

Теорія відносної тотожності приймає наступний постулат: два предмети можуть збігатися по відношенню до одного властивості і відрізнятися по відношенню до іншого. Тим не менш, теорія відносної тотожності зводиться до класичної теорії абсолютної тотожності, якщо ввести двомісний предикат тотожності за допомогою визначення x = y= Df ∃ψ( x = ψ y) (Л. Стівенсон), або вважати закон Лейбніца визначенням тотожності та прийняти аксіому х = Φ y ⊃ ∀Ψ (Ψ( x) ≡ Ψ( y)).

Формальні теорії відносного тотожності здебільшого будуються у рамках другопорядкової логіки, оскільки доводиться говорити про сукупність властивостей. Відношенню відносної тотожності в цьому випадку зіставляється безліч властивостей Δ Φ , таке, що Φ-тотожність тягне за нерозрізненість по відношенню до властивостей з Δ Φ . Повна специфікація Δ Φ для даного Φ у загальному випадку скрутна (при конструктивістському підході вдаються до абстракції ототожнення, при якій виділяються загальні властивості та відносини при одночасному відволіканні від деяких характеристик об'єктів, що досліджуються). Зазвичай вводять як новий константний (реляційний) символ відношення на властивостях і визначають відносну тотожність як x= Φ у тоді і тільки тоді, коли для кожного Ψ, такого, що Δ Φ (Ψ), Ψ( x) тоді і лише тоді, коли Ψ( y). Інтуїтивно Δ Φ (Ψ) означає, що Ψ є членом безлічі властивостей Δ Φ , що визначається для Φ і замкнутого щодо заперечення, кон'юнкції та імплікації. Гнучкіше трактування виходить при переході до некласичної другопорядкової логіки, наприклад тризначної другопорядкової логіки (Р. Роутлі і Н. Гріффін).

В останні десятиліття проблема тотожності часто обговорювалася через проблему семантики можливих світів. Центральними питаннями були проблема підстановки тотожних висловлювань і проблема ідентифікації індивідів крізь можливі світи. Закон підстановки тотожного свідчить, що й одне з двох тотожних об'єктів має певним властивістю, їм володіє і другий об'єкт. Однак у модальних контекстах це призводить до того, що всі тотожності є необхідними тотожностями, тобто якщо a = b, то виводиться ( a = b). Тим самим ставиться під сумнів можливість випадкових тверджень про тотожність.

Для вирішення цієї проблеми С. Крипке вводить у розгляд термін «жорсткий десигнатор», що означає той самий об'єкт у всіх можливих світах. В цьому випадку якщо aі bє жорсткими десигааторами, то твердження a = bяк істинно, а й необхідно істинно. В іншому випадку з a = bне слід ( a = b), хоча об'єкти, позначені як aі b, будуть тотожні.

Інше рішення, запропоноване Я. Хінтіккой, полягає в завданні підкласу класу індивідуальних концептів (тобто функцій, що приймають як свої аргументи можливі світи, а як значення - об'єкти відповідних предметних областей). Елементи цього підкласу (індивідуючі функції або світові лінії) служать для зв'язку індивідів з різних предметних областей, властивих різним світам (наприклад, ім'я «Сократ» означає особу, що є Сократом у різних обставинах, іншими словами, означає всіх індивідів у різних світах, пов'язаних між собою світовою лінією). Індивіди, пов'язані світовими лініями, є саме тими індивідами, які передбачаються тотожними у підході Крипке.

У уявленнях знань та епістемічних контекстах часто виникає потреба у поданні помилкових тотожностей, тобто ситуацій, у яких об'єкти, які вважаються суб'єктом тотожними, насправді різні, чи навпаки, тотожні об'єкти вважаються різними. Теорія жорстких десигнаторів не передбачає таких ситуацій, у той час як підхід Хінтікі дозволяє розглядати два різні способи ототожнення: суб'єктивний та звичайний. Суб'єктивне ототожнення пов'язує два об'єкти світової лінією тоді і лише тоді, коли вони вважаються тотожними деяким суб'єктом у певному стані знання.

Розглянемо дві рівності:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Ця рівність буде виконуватися за будь-яких значень змінної а. Областю допустимих значень у тому рівності буде все безліч дійсних чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ця нерівність буде виконуватися всім значень змінної а, крім а рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде вся множина дійсних чисел, крім нуля.

Про кожну з цих рівностей можна стверджувати, що воно буде вірним за будь-яких допустимих значень змінних а. Такі рівності в математиці називаються тотожностями.

Поняття тотожності

Тотожність - це рівність, правильне за будь-яких допустимих значеннях змінних. Якщо ця рівність підставити замість змінних будь-які допустимі значення, має вийти правильне числове рівність.

Варто відзначити, що вірні числові рівності також є тотожностями. Тотожності, наприклад, будуть властивості дій над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a * (b + c) = a * b + a * c;

11. a * (-1) = -a.

Якщо два вирази при будь-яких допустимих змінних відповідно дорівнюють, то такі вирази називають тотожно рівними. Нижче наведено кілька прикладів тотожно рівних виразів:

1. (a 2) 4 та a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) і -a 3 *b 2;

3. ((x 3 *x 8)/x) та x 10 .

Ми завжди можемо замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожно рівним першому. Така заміна буде тотожним перетворенням.

Приклади тотожностей

Приклад 1: чи тотожності такі рівності:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Не всі представлені вище вирази будуть тотожними. З цих рівностей тотожністю є лише 1,2 і 3 рівності. Які числа ми в них не підставили, замість змінних а і b у нас все одно вийдуть вірні числові рівності.

А ось 4 рівність вже не є тотожністю. Тому що не за всіх допустимих значень ця рівність виконуватиметься. Наприклад, при значеннях a = 5 та b = 2 вийде наступний результат:

Ця рівність не так, оскільки число 3 не дорівнює числу -3.

те, за допомогою чого одна річ абсолютно подібна до іншої. Розуміння зазвичай передбачає підбиття («ідентифікацію») нового знання під те, що ми вже знаємо. Саме в цьому сенсі тотожність – форма будь-якого розуміння. Мейєрсон бачив у синтезі всіх знань про універсум, в їх редукції до тотожності ідеал науки: саме наука має прийти в результаті до єдиної формули (представленої сьогодні формулою відносності), з якої ми зможемо вивести всі приватні закони науки. Цей ідеал постає швидше як філософський, ніж як науковий, тому що науковий прогрес веде скоріше до нескінченної диверсифікації методів науки (спеціалізація), і її безпосередня мета полягає скоріше у вічній можливості пізнання нових об'єктів, ніж уніфікації методів (ця робота з уніфікації становить мету роздуми про науку, епістемологію).

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

ТОЧНІСТЬ

Поняття Т. є осн. поняттям філософії, логіки та математики, тому до нього відносяться всі труднощі, пов'язані з з'ясуванням та визначенням вихідних (основних, фундаментальних) понять науки. У комплексі питань, що належать до поняття Т., на особливу увагу заслуговують два: питання про Т. "... самого по собі. Визнаємо ми, що воно існує, або не визнаємо?" (Plato, Phaed. 74 b; рус. пров. тв., т. 2, 1970) і питання про Т. речей. (Т. речей виражають зазвичай символом "=", який зустрічається вперше у Р. Рекорду в його "The whetstone of witte", L., 1557.) Перше з цих питань є частиною питання про онтологіч. статус абстрактних об'єктів (див., напр., Ставлення, Універсалії), другий має самостійність. значення. Як би ці питання не вирішувалися у філософії, для логіки та математики їх вирішення завжди еквівалентне вирішенню питання про визначення поняття Т. Однак неважко переконатися, проаналізувавши будь-яке з відомих логічних (математичних) визначень Т. (замість зі способом його обґрунтування), що "ідея Т." і так чи інакше певне "поняття Т." - Це не одне і те ж. Ідея Т. п е д в а р яет будь-яке визначення поняття (предикату) Т., так само як і поняття "тотожні речі", що вводиться визначенням. Це пов'язано з тим, що судження про Т. к.-л. об'єктів завжди передбачає, що вже виконані (або мають бути виконані) якісь інші, допоміжні, але необхідні – аж ніяк не сторонні для цього судження – ототожнення. Саме у зв'язку з проблемою "допустимих ототожнення" філос. аналіз може стати корисною передумовою для логічного та матем. аналізу поняття Т. Принцип індивідуації Відповідно до філос. т. зр. слід розрізняти онтологічні., гносеологічні. та семантич. проблеми Т. речей. Онтологічна проблема Т. - це проблема Т. речей "самих по собі" або in se - по їхньому "внутрішньому обстановці" (Г. Кантор). Вона ставиться і вирішується на основі п р і н ц і п а і н д і в і д у а ц і (principium individuationis): всяка річ універсуму є єдностей. річ; двох різних речей, з яких брало кожна була б тією ж річчю, що й інша, не існує. Саме "...відповідно до початків індивідуації, які походять від матерії" ми приймаємо, що "... всяка самосуща річ, складена з матерії та форми, складена з індивідуальної форми та індивідуальної матерії" (Фома Аквінський, цит. за кн. .: "Антологія світової філософії", т. 1, ч. 2, М., 1969, с.847, 862). Принцип індивідуації не містить у собі жодної вказівки на те, як індивідуалізувати предмети універсуму або як вони індивідуалізовані самі по собі, оскільки це вже має місце; він лише постулює абстрактну можливість такої індивідуалізації. І це природно, якщо ми розуміємо його як принцип суто онтологічний. Питання, як індивідуалізувати предмети універсуму, є вже гносеологич. питання. Але в цьому випадку ніяка можлива індивідуалізація не виводить нас за межі того інтервалу абстракції, яким визначається універсум міркування (див. Універсум). Хоча принцип індивідуації є давнім філософом. твердженням про світ, його аналоги можна знайти і в (сучасних) власне наукових (математичних, фізичних та ін) теоріях. У зв'язку з цим можна послатися на ідею "субстанційних", або світових, точок (просторових точок у певний момент часу) у чотиривимірному (абстрактному) "світі Мінковського" і пов'язану з нею ідею просторово-часової моделі фізичної. реальності, що дозволяє індивідуалізувати кожен її об'єкт, або на принцип Паулі, або, нарешті, на гіпотезу Г. Кантора про те, що будь-які два елементи довільної множини помітні між собою. Можна навіть вважати, що принцип індивідуації лежить в основі всієї класич. математики з її - у певному сенсі онтологічним - "зрозумілим" постулатом упорядкованого (за величиною) числового континууму. Принцип Т. невиразний. Приймаючи принцип індивідуації, ми, як у повсякденній практиці, і у теорії, постійно ототожнюємо різні предмети, тобто. говоримо про різні предмети так, ніби вони були однією і тією ж річчю. Абстракція ототожнення різного, що виникає при цьому, була вперше явно відзначена Лейбніцем в його знаменитому принципі Т. нерозрізнених (Principium identitatis indiscernibilium). Здається протиріччя між принципом індивідуації і принципом Т. нерозрізнених легко пояснити. Суперечність виникає лише тоді, коли, вважаючи, що, напр., x і у – різні речі, у формулюванні принципу Т. нерозрізнених мають на увазі їхню абсолютну, або онтологічну, нерозрізненість, а саме, коли думають, що нерозрізненість x і у передбачає , Що x і в "самі по собі" не відрізняються за будь-якою ознакою. Однак, якщо мати на увазі відносну або гносеологічну, нерозрізненість x і у, напр. їхня нерозрізненість "для нас", хоча б ту, з якою ми можемо зустрітися в результаті практично здійсненного порівняння х і у (див. Про це в ст. Порівняння), то ніякого протиріччя не виникає. Якщо розрізняти поняття "річ", або предмет універсуму "сам собою", і "об'єкт", або предмет універсуму в пізнанні, в практиці, у відношенні до інших предметів, то сумісність принципу Т. нерозрізнений і принцип індивідуації повинен означати, що немає тотожних речей, але є тотожні об'єкти. Очевидно, що з онтологіч. т. зр., вираженої у принципі індивідуації, Т. представляється абстракцією і, отже, ідеалізацією. Тим не менш воно має об'єктивну підставу в умовах існування речей: практика переконує нас у тому, що існують ситуації, в яких брало "різні" речі поводяться як "одна і та ж" річ. У цьому сенсі принцип Т. невиразних висловлює емпірично підтверджуваний, заснований на досвіді, факт нашої діяльності, що абстрагує. Тому "ототожнення різного" за принципом Лейбніца не слід розуміти як спрощення або огрубіння дійсності, не відповідне, взагалі кажучи, і стінному порядку. Інтервал абстракції ототожнення. Нерозрізненість об'єктів, ототожнюваних згідно з принципом Т. нерозрізняються, може виражатися операційно - в їх "поведінці", тлумачитися в термінах властивостей, взагалі визначатися сукупністю деяких фіксиров. умов нерозрізненості. Ця сукупність умов (функцій або предикатів), щодо яких брало к.-л. предмети універсуму невиразні, визначає інтервал абстракції про одержання цих предметів. Так, якщо на безлічі предметів визначено властивість А і предмет x ним володіє, то для ототожнення х і в інтервалі абстракції, що визначається властивістю А, необхідно і достатньо, щоб предмет також мав властивість А, що символічно можна виразити наступною аксіомою: A( x)? ((x = y)? A (y)). Зауважимо, що за наявності "надлишкової" інформації про явне (природно - "поза" даного інтервалу абстракції) відмінність предметів їх ототожнення "всередині" даного інтервалу абстракції може навіть здаватися парадоксальним. Типовий приклад з теорії множин – "парадокс Сколема". Якщо дивитися "зсередини" інтервалу абстракції, що визначається властивістю А, то х і у - абсолютно один і той же об'єкт, а не два предмети, як передбачається в наведеному вище міркуванні. Справа в тому, що міркування про Т. двох і, отже, різних предметів можливе тільки в деякому метаінтервалі, що вказує також на можливість індивідуалізації x і у. Очевидно, що нерозрізненість x і еквівалентна тут їх взаємозамінності щодо властивості А, але, зрозуміло, не щодо будь-якої властивості. У зв'язку з цим вкажу на абстракцію актуальної помітності, що випливає з принципу індивідуації і пов'язану з таким тлумаченням цього принципу, при якому він зводиться до твердження про існування умов, в яких брало індивідуалізація завжди здійсненна (напр. , умов, в яких брало x і у вже не будуть взаємозамінні, що і дозволить, природно, говорити про їх індивідуальність). У цьому сенсі принцип індивідуації відрізняється тим самим характером, як і т.зв. "Чисті" постулати існування в математиці, і може розглядатися як абстракція індивідуалізації. Не кажучи вже про "абстрактні" матем. об'єктах, очевидно, що й " конкретних " физич. предметів природи умови індивідуалізації будь-якого їх зовсім не завжди можуть бути знайдені або явно вказані в к.-л. конструктивному значенні. Понад те, завдання їх розвідки іноді принципово нездійсненна, як це свідчить, напр., принцип " неподільності квантових станів " і зумовлена ​​ним, запропонована самої природою, невизначеність у описі " індивідуального поведінки " елементарних частинок. Доповнення. Інтервал абстракції ототожнення може бути настільки (але як завгодно) широкий, що до нього увійдуть всі (вихідні) поняття (функції або предикати) аналізованої в тому чи іншому випадку теорії. Тоді кажуть, що х=у для будь-якого поняття А. У цьому випадку і квантор "для будь-якого", і Т. мають відносний характер - вони p е л я т і в і з і р о в а н і безліччю понять теорії, яке обмежено, у свою чергу, осмисленістю цих понять (інтервалом значення) по відношенню до предметів універсуму даної теорії. Наприклад, предикат "червоний" не визначений на безлічі натуральних чисел і тому до нього не можуть належати слова "для будь-якого предикату", коли говорять про Т. в арифметиці. Такі думки про граніювання по суті справи завжди мають місце в додатках теорії, чим і виключаються протиріччя, пов'язані з порушенням інтервалу абстракції ототожнення. Оскільки у ототожненнях мають на увазі лише предикати цієї теорії – інтервал абстракції ототожнення фіксовано. Предмети універсуму, невиразні щодо кожного предикату теорії, невиразні абсолютно в даному інтервалі-абстракції і можуть розглядатися як "один і той же" об'єкт, що якраз і відповідає звичайному тлумаченню Т. Якщо щодо кожного такого предикату невиразні всі предмети універсуму, то останній в цьому випадку буде нам одночленной сукупністю, хоча у ін. інтервалі абстракції може і бути таким. Так, якщо умова А - тавтологія, то в предметної області всі предмети тотожні в інтервалі А. Інакше кажучи, тавтології не можуть служити критерієм помітності об'єктів, вони як би проектують універсум в точку, виробляючи абстракцію ототожнення елементів множини будь-якої потужності, різні елементи в "один і той же" абстрактний об'єкт. Тому не дивно, що до аксіом "чистого" предикатів обчислення першого ступеня можна без суперечності приєднувати формулу?хА(х)^/xA(x), що виражає тотожність (або абсолютну нерозрізненість) всіх предметів універсуму. Очевидно, ця неповнота чистого обчислення предикатів (елементарної логіки) обумовлена ​​саме його неонтологічному характері. . У цих випадках Т., оскільки йдеться про ототожнення тільки в даній системі понять, може бути введено кінцевим списком аксіом Т. для конкретних функцій та предикатів цієї теорії. Але постулюючи т.ч. ті чи інші ототожнення, ми як би формуємо універсум відповідно до принципу Т. невиразних. Значить універсум у цьому сенсі є епістемологічним. поняттям, що залежать від наших абстракцій. Питання, що вважати "одним і тим же" об'єктом, яке число "різних" індивідуумів у предметній області (яка потужність області індивідуумів), - це у відомому сенсі питання про те, як ми застосовуємо наші абстракції і які саме, а також яка об'єктивна область їх застосування. Зокрема це завжди питання про інтервал абстракції. Ось чому з нашої т. зр. вказівку на інтервал абстракції ототожнення у визначенні Т. слід вважати необхідною умовою осмисленого застосування "поняття Т.". Поняття "інтервал абстракції ототожнення" є гносеологічним. доповненням до поняття абстракції ототожнення та, у певному сенсі (змістовним), його уточненням. Крім того, вводячи поняття Т. в інтервалі абстракції, ми легко досягаємо необхідної спільності в побудові теорії Т., уникаючи звичайного "множення понять", пов'язаного з розрізненням термінів "тотожний", "подібний", "рівний", "еквівалентний" та ін. У зв'язку з вищесказаним визначення предикату Т. у формулюванні Гільберта - Бернайса, що задається, як відомо, умовами: 1) х = х 2) х = y? (A(x)? А(у)), можна інтерпретувати так, що умова 2) виражатиме Т. предметів універсуму в інтервалі абстракції, що визначається безліччю аксіом, що задаються схемою аксіом 2). Що ж до умови 1), то, висловлюючи властивість рефлексивності Т., воно у сенсі відповідає принципу індивідуації. Принаймні, очевидно, що з принципу індивідуації не випливає заперечення умови х=х, оскільки між принципом індивідуації та традиц. принципом Т. (абстрактним Т. - lex identitatis), що виражається формулою х = х, є наступна певна "зв'язок за змістом": якби індивідуальний предмет універсуму не був тотожний із самим собою, то він не був би самим собою, а був би іншим предметом, що, звичайно, веде до заперечення принципу індивідуації (пор. - Маркс К. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва, т. 20, с. 530). Т.ч., принцип індивідуації передбачає затвердження х = х, яке є його необхідною умовою - логічної основної поняття індивідуального. Достатньо констатувати сумісність х = х з принципом індивідуації, щоб, ґрунтуючись на сумісності 1) і 2), стверджувати сумісність принципу індивідуації з принципом Т. нерозрізнених, а беручи до уваги незалежність 1) та 2), дійти висновку про незалежність цих же принципів , принаймні, у цьому випадку. Та обставина, що принцип індивідуації у зазначеному значенні відповідає традиціям. закону Т. (див. Тотожності закон), представляє особливий інтерес з т. зр. проблеми "реалізованості" абстрактного Т. у природі, а отже. та онтологіч. статус абстракцій взагалі. Принцип Т. невиразних у тому його тлумаченні, яке дано вище - як принцип Т. в інтервалі абстракції, - висловлює по суті філософську гносеологічну ідею Т., заснованого на понятті практики. Що ж до математики, де однак оперують з предикатом Т., з умовою, що тотожне можна замінювати тотожним (див. Правило заміни рівного рівним), то тут, приймаючи принцип індивідуації, тобто. вважаючи, що кожен матем. об'єкт в універсумі міркування індивідуальний, очевидно, легко можна уникнути рішення гносеологич. проблеми Т., тому що в пропозиціях матем. теорій матем. об'єкти фігурують не "самі по собі", а через своїх представників - символи, що позначають їх. Звідси можливість побудов, які істотно ігнорують умову індивідуальності цих об'єктів; Так, відома побудова взаємно-однозначної відповідності між сукупністю натуральних чисел та її частиною – сукупністю всіх парних чисел (парадокс Галілея) ігнорує єдиність кожного натурального числа, задовольняючись Т. його представників: інакше як можлива вказана побудова? Аналогічних побудов у математиці безліч. Затвердження "предмет x тотожний предмету y" математик зазвичай приписує наступний зміст: "символи x і у позначають один і той же предмет" або "символ x позначає той же предмет, який позначений символом у". Очевидно, що таке Т. ставиться швидше до мови відповідних обчислень (взагалі до формалізованої мови) і висловлює, по суті, випадок мовної синонімії, а зовсім не філософський гносеологічний. сенс Т. Проте характерно, що й у разі не вдається уникнути относит. ототожнення, заснованого на застосуванні принципу абстракції, оскільки синоніми виникають як результат абстракції ототожнення за позначенням (див. Синоніми у логіці). До того ж при інтерпретації обчислень будь-яке таке семантичне визначення Т. як "відносини між виразами мови" необхідно доповнювати роз'ясненням того, що? у цій семантич. формулюванні Т. означають слова "один і той самий предмет". У зв'язку з цим формулювання принципу Т., відоме як лейбніцовсько-расселівське (див. Рівність у логіці та математиці), навряд чи відповідає філос. т. зр. самого Лейбниця. Відомо, що Лейбніц приймав принцип індивідуації: "Якби два індивіди були зовсім... не помітні самі по собі, то...в цьому випадку не було б індивідуальної відмінності або різних індивідів" ("Нові досліди про людський розум", М .-Л., 1936, с. 202). Відомо також, що будь-яке нетривіальне вживання Т., що відповідає принципу Т. нерозрізнених, передбачає, що x і у - різні предмети, які лише відносно нерозрізняються, нерозрізняються в деякому інтервалі абстракції, що визначається або вирішальною здатністю наших засобів розрізнення, або прийнятої нами абстракцією ототожнення, або, нарешті, що задається природою. Але у формулюванні Рассела наявність необмежених. квантора спільності за предикатною змінною, надаючи визначенню абсолютний характер ("абсолютність" тут слід розуміти як антипод "відносності" в указ. вище сенсі), нав'язує ідею абс. нерозрізненості x і у, що суперечить принципу індивідуації, хоча з визначення Рассела виводиться формула х = х, яка, як було зазначено вище, сумісна і з принципом Т. нерозрізняються і з принципом індивідуації. У світлі ідеї Т. в інтервалі абстракції з'ясовується ще одна гносеологічна. роль принципу абстракції: якщо у визначенні Т. предикат (хоча б і довільний) характеризує клас абстракції предмета х, і у – елемент цього класу, то тотожність x і у силу принципу абстракції не передбачає, що x і у повинні бути одним і тим ж предметом в онтологічні. сенсі. З цієї т. зр., два предмети універсуму, що належать до одного класу абстракції, розглядаються як "один і той же" предмет не в онтологічному, а в гносеологічному. значенні: вони тотожні тільки як абстрактні представники одного класу абстракції і тільки в цьому значенні вони невиразні. У цьому, власне, і полягає діалектика поняття Т., і навіть відповідь питанням: " Як можуть бути тотожні різні предмети? " . Літ.:Жегалкін І. І., Арифметизація символічної логіки, "Матем. Зб.", 1929, т. 36, вип. 3–4; Яновська С. ?., Про так звані "визначення через абстракцію", в кн.: Зб. статей з філософії математики, М., 1936; Лазарєв Ф. Ст, Сходження від абстрактного до конкретного, в кн.: Зб. робіт аспірантів та студентів філософського факультету МДУ, М., 1962; Вейль Р., Доповнення, в сб: Прикладна комбінаторна математика, пров. з англ., М., 1968. М. Новосьолов. Москва.