Кут між двома площинами - координатний метод. Кут між двома площинами, що перетинаються, - визначення, приклади знаходження

Задача 1. Основа прямої чотирикутної призми АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – прямокутник АВСD, в якому АВ = 5, AD = 11. Знайти тангенс кута між площиною основи призми та площиною, що проходить через середину ребра AD перпендикулярно до прямої BD 1, якщо відстань між прямими АС та B 1 D 1 дорівнює 12. Рішення. Введемо систему координат. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Координати нормалі до площини перерізу: Координати нормалі до площини основи: – гострий кут, то D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 х у z N Кут між площинами Відповідь: 0,5. Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 2. В основі трикутної піраміди SABC лежить прямокутний трикутник АВС. Кут А – прямий. АС = 8, ВС = 219. Висота піраміди SA дорівнює 6. На ребері АС взято точку М так, що АМ = 2. Через точку М, вершину В і точку N – середину ребра SC – проведено площину α. Знайти двогранний кут, утворений площиною і площиною основи піраміди. A S x B C M N y z Рішення. Введемо систему координат. Тоді А (0; 0; 0), С (0; 8; 0), М (0; 2; 0), N (0; 4; 3), S (0; 0; 6), Нормаль до площини ( АВС) вектор Нормаль до площини (ВМN) Кут між площинами Відповідь: 60 °. Рівняння площини (ВМN): Ненашев Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 3. Основа чотирикутної піраміди PABCD квадрат зі стороною, що дорівнює 6, бічне ребро PD перпендикулярно площині основи і дорівнює 6. Знайдіть кут між площинами (BDP) та (BCP). Рішення. 1. Проведемо медіану DF рівнобедреного трикутника CDP (ВС = PD = 6) Значить DF PC. І з того, що BC (CDP), випливає, що DF BC, означає DF (PCB) A D C B P F 2. Так як AC DB і AC DP, то AC (BDP) 3. Таким чином, кут між площинами (BDP) і (BCP ) знаходиться з умови: Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 3. Основа чотирикутної піраміди PABCD квадрат зі стороною, що дорівнює 6, бічне ребро PD перпендикулярно площині основи і дорівнює 6. Знайдіть кут між площинами (BDP) та (BCP). Рішення.4. Виберемо систему координат. Координати точок: 5. Тоді вектори матимуть наступні координати: 6. Обчислюючи значення, знаходимо:, отже, A D C B P F z x y Кут між площинами Відповідь: Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 4. У одиничному кубі АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть кут між площинами (AD 1 E) і (D 1 FC), де точки E і F - середини ребер А 1 В 1 і В 1 С 1 відповідно. Рішення: 1. Введемо прямокутну систему координат і визначимо координати точок: 2. Складемо рівняння площини (AD 1 E): 3. Складемо рівняння площини (D 1 FC): - Нормальний вектор площини (AD 1 Е). - Нормальний вектор площини (D 1 FС). Кут між площинами х у z Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 4. У одиничному кубі АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 знайдіть кут між площинами (AD 1 E) і (D 1 FC), де точки E і F - середини ребер А 1 В 1 і В 1 С 1 відповідно. Рішення: 4. Знайдемо косинус кута між площинами за формулою Відповідь: Кут між площинами х у z Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z 1. Введемо прямокутну систему координат і визначимо координати точок А, В, С: К Нехай сторона основи дорівнює 1. Для визначеності розглянемо межі SAC та SBC 2. Знайдемо координати точки S: Е Кут між площинами Ненашева Н.Г . вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z К Е SO знайдемо з OSB: Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z К Е 3. Рівняння площини (SAC): - Нормальний вектор площини (SAC). 4. Рівняння площини (SBC): - Нормальний вектор площини (SBC). Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Завдання 5. Відрізок, що з'єднує центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти кут між суміжними бічними гранями піраміди. Рішення: х у z К Е 5. Знайдемо косинус кута між площинами за формулою Відповідь: Кут між площинами Ненашева Н.Г. вчитель математики ДБОУ ЗОШ 985

Ця стаття присвячена розі між площинами та його знаходженням. Спочатку наведено визначення кута між двома площинами та дана графічна ілюстрація. Після цього розібраний принцип знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, методом координат, отримана формула, що дозволяє обчислювати кут між площинами, що перетинаються, за відомими координатами нормальних векторів цих площин. Наприкінці показані докладні рішення характерних завдань.

Навігація на сторінці.

Кут між площинами – визначення.

Наведемо міркування, які дозволять поступово підійти до визначення кута між двома площинами, що перетинаються.

Нехай нам дано дві площини, що перетинаються, і . Ці площини перетинаються прямою, яку позначимо буквою c . Побудуємо площину, що проходить через точку М прямої c і перпендикулярну до прямої c. При цьому площина перетинатиме площини і . Позначимо пряму, якою перетинаються площини як a , а пряму, якою перетинаються площині як і b . Вочевидь, прямі a і b перетинаються у точці М .

Легко показати, що кут між прямими a і b, що перетинаються, не залежить від розташування точки М на прямій c , через яку проходить площину .

Побудуємо площину, перпендикулярну до прямої c і відмінну від площини. Площина перетинають площини і за прямими, які позначимо a 1 і b 1 відповідно.

З способу побудови площин і випливає, що прямі a і b перпендикулярні до прямої c , і прямі a 1 і b 1 перпендикулярні до прямої c . Так як прямі a і a 1 лежать в одній площині і перпендикулярні до прямої c , то вони паралельні. Аналогічно, прямі b і b 1 лежать в одній площині і перпендикулярні до прямої c , отже, вони паралельні. Таким чином, можна виконати паралельне перенесення площини на площину , при якому пряма a збігається з прямою a , а пряма b з прямою b 1 . Отже, кут між двома прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 дорівнює куту між прямими, що перетинаються, a і b .

Цим доведено, що кут між прямими, що перетинаються a і b , що лежать в площинах, що перетинаються і , не залежить від вибору точки M , через яку проходить площину . Тому, логічно цей кут прийняти за кут між двома площинами, що перетинаються.

Тепер можна озвучити визначення кута між двома площинами, що перетинаються, і .

Визначення.

Кут між двома перетинаються по прямій c площинами і– це кут між двома прямими, що перетинаються, a і b , за якими площини і перетинаються з площиною , перпендикулярною до прямої c .

Визначення кута між двома площинами можна дати трохи інакше. Якщо на прямій з , по якій перетинаються площини і відзначити точку М і через неї провести прямі а і b , перпендикулярні прямий c і лежать у площинах і відповідно, то кут між прямими і b являє собою кут між площинами і . Зазвичай практично виконують саме такі побудови, щоб отримати кут між площинами.

Так як кут між прямими, що перетинаються, не перевищує , то з озвученого визначення слід, що градусна міра кута між двома перетинаються площинами виражається дійсним числом з інтервалу . При цьому, площини, що перетинаються, називають перпендикулярнимиякщо кут між ними дорівнює дев'яноста градусам. Кут між паралельними площинами або зовсім не визначають, або вважають його рівним нулю.

Знаходження кута між двома площинами, що перетинаються.

Зазвичай при знаходженні кута між двома площинами, що перетинаються, спочатку доводиться виконувати додаткові побудови, щоб побачити прямі, що перетинаються, кут між якими дорівнює шуканому куту, і після цього зв'язувати цей кут з вихідними даними за допомогою ознак рівності, ознак подібності, теореми косинусів або визначень синуса, косин та тангенсу кута. У курсі геометрії середньої школи зустрічаються такі завдання.

Наприклад наведемо розв'язання задачі С2 з ЄДІ з математики за 2012 рік (умова має намір змінено, але це не впливає на принцип вирішення). У ній якраз треба було знайти кут між двома площинами, що перетинаються.

приклад.

Рішення.

Для початку зробимо креслення.

Виконаємо додаткові побудови, щоб побачити кут між площинами.

Для початку визначимо пряму лінію, якою перетинаються площини АВС і BED 1 . Точка В – це одна з їхніх спільних точок. Знайдемо другу загальну точку цих площин. Прямі DA і D 1 E лежать у одній площині АDD 1 , причому вони паралельні, отже, перетинаються. З іншого боку, пряма DA лежить у площині АВС , а пряма D 1 E – площині BED 1 , отже, точка перетину прямих DA і D 1 E буде загальною точкою площин АВС і BED 1 . Отже, продовжимо прямі DA і D 1 E до їхнього перетину, позначимо точку їхнього перетину літерою F . Тоді BF – пряма, якою перетинаються площини АВС і BED 1 .

Залишилося побудувати дві прямі, що лежать у площинах АВС і BED 1 відповідно, проходять через одну точку на прямій BF і перпендикулярні прямий BF - кут між цими прямими за визначенням буде дорівнює куту між площинами АВС і BED 1 . Зробимо це.

Крапка А є проекцією точки Е на площину АВС. Проведемо пряму, що перетинає під прямим кутом пряму ВF у точці М . Тоді пряма АМ є проекцією прямої ЕМ на площину АВС, і за теоремою про три перпендикуляри.

Таким чином, кут, що шукається між площинами АВС і BED 1 дорівнює .

Синус, косинус чи тангенс цього кута (отже і сам кут) ми можемо визначити з прямокутного трикутника АЕМ , якщо знатимемо довжини двох сторін. З умови легко знайти довжину АЕ : оскільки точка Е ділить сторону АА 1 щодо 4 до 3 , рахуючи від точки А , а довжина сторони АА 1 дорівнює 7 то АЕ = 4 . Знайдемо ще довжину АМ.

Для цього розглянемо прямокутний трикутник АВF із прямим кутом А , де АМ є висотою. За умовою АВ=2. Довжину сторони АF ми можемо знайти з подібності до прямокутних трикутників DD 1 F і AEF :

По теоремі Піфагора з трикутника АВF знаходимо. Довжину АМ знайдемо через площу трикутника АBF: з одного боку площа трикутника АВF дорівнює , з іншого боку , звідки .

Таким чином, із прямокутного трикутника АЕМ маємо .

Тоді шуканий кут між площинами АВС та BED 1 дорівнює (зауважимо, що ).

Відповідь:

У деяких випадках для знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, зручно задати Oxyz і скористатися методом координат. На ньому і зупинимося.

Поставимо завдання: знайти кут між двома площинами, що перетинаються, і . Позначимо шуканий кут як .

Будемо вважати, що в заданій прямокутній системі координат Oxyz нам відомі координати нормальних векторів площин, що перетинаються, і або є можливість їх знайти. Нехай - нормальний вектор площини, а - Нормальний вектор площини. Покажемо, як знайти кут між площинами, що перетинаються, і через координати нормальних векторів цих площин.

Позначимо пряму, якою перетинаються площини і як c . Через точку М на прямій c проведемо площину, перпендикулярну до прямої c. Площина перетинає площини і за прямими a і b відповідно, прямі a і b перетинаються в точці М . За визначенням кут між площинами, що перетинаються, і дорівнює куту між прямими, що перетинаються, a і b .

Відкладемо від точки М у площині нормальні вектори та площин і . При цьому вектор лежить на прямій, яка перпендикулярна до прямої a , а вектор - на прямій, яка перпендикулярна до прямої b . Таким чином, у площині вектор - нормальний вектор прямий a - нормальний вектор прямий b .

У статті знаходження кута між прямими, що перетинаються, ми отримали формулу, яка дозволяє обчислювати косинус кута між прямими, що перетинаються, за координатами нормальних векторів. Таким чином, косинус кута між прямими a і b , а, отже, і косинус кута між площинами, що перетинаються.і знаходиться за формулою , де і – нормальні вектори площин та відповідно. Тоді обчислюється як .

Розв'яжемо попередній приклад методом координат.

приклад.

Даний прямокутний паралелепіпед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , в якому АВ = 2, AD = 3, АА 1 = 7 і точка E ділить сторону АА 1 щодо 4 до 3, рахуючи від точки А. Знайдіть кут між площинами АВС та ВЕD 1 .

Рішення.

Так як сторони прямокутного паралелепіпеда при одній вершині попарно перпендикулярні, то зручно ввести прямокутну систему координат Oxyz так: почало поєднати з вершиною, а координатні осі Ox, Oy і Oz направити по сторонах CD, CB і CC 1 відповідно.

Кут між площинами АВС та BED 1 може бути знайдений через координати нормальних векторів цих площин за формулою , де і – нормальні вектори площин АВС та BED 1 відповідно. Визначимо координати звичайних векторів.

Величину кута між двома різними площинами можна визначити для будь-якого взаємного розташування площин.

Тривіальний випадок, якщо площини паралельні. Тоді кут між ними вважається рівним нулю.

Нетривіальний випадок, якщо площини перетинаються. Цьому випадку присвячено подальше обговорення. Спочатку нам знадобиться поняття двогранного кута.

9.1 Двогранний кут

Двогранний кут це дві напівплощини із загальною прямою (яка називається ребром двогранного кута). На рис. 50 зображений двогранний кут, утворений напівплощинами; ребром цього двогранного кута служить пряма a, загальна даних напівплощин.

Мал. 50. Двогранний кут

Двогранний кут можна вимірювати в градусах або радіанах словом, запровадити кутову величину двогранного кута. Робиться це так.

На ребрі двогранного кута, утвореного напівплощинами і, візьмемо довільну точку M. Проведемо промені MA і MB, що лежать відповідно в даних напівплощинах і перпендикулярні до ребра (рис. 51).

Мал. 51. Лінійний кут двогранного кута

Отриманий кут AMB – це лінійний кут двогранного кута. Кут " = \AMB і є кутовий величиною нашого двогранного кута.

Визначення. Кутова величина двогранного кута це величина лінійного кута цього двогранного кута.

Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному (адже вони виходять один з одного паралельним зрушенням). Тому це визначення коректно: величина " залежить від конкретного вибору точки M на ребре двогранного кута.

9.2 Визначення кута між площинами

При перетині двох площин виходять чотири двогранні кути. Якщо вони мають однакову величину (по 90), то площини називаються перпендикулярними; кут між площинами тоді дорівнює 90 .

Якщо не всі двогранні кути однакові (тобто є два гострі і два тупі), то кутом між площинами називається величина гострого двогранного кута (рис. 52).

Мал. 52. Кут між площинами

9.3 Приклади розв'язання задач

Розберемо три завдання. Перша проста, друга та третя приблизно на рівні C2 на ЄДІ з математики.

Завдання 1. Знайдіть кут між двома гранями правильного тетраедра.

Рішення. Нехай ABCD правильний тетраедр. Проведемо медіани AM та DM відповідних граней, а також висоту тетраедра DH (рис. 53).

Мал. 53. До задачі 1

Будучи медіанами, AM та DM є також висотами рівносторонніх трикутників ABC та DBC. Тому кут = = AMD є лінійний кут двогранного кута, утвореного гранями ABC і DBC. Знаходимо його з трикутника DHM:

Відповідь: arccos 1 3 .

Завдання 2. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (з вершиною S) бічне ребро дорівнює стороні основи. Крапка K середина ребра SA. Знайдіть кут між площинами

Рішення. Пряма BC паралельна AD і тим самим паралельна площині ADS. Тому площина KBC перетинає площину ADS прямою KL, паралельною BC (рис. 54 ).

Мал. 54. До задачі 2

При цьому KL буде паралельна прямий AD; отже, KL середня лінія трикутника ADS, і точка L середина DS.

Проведемо висоту піраміди SO. Нехай N середина DO. Тоді середня лінія LN трикутника DOS, і тому LN k SO. Значить LN перпендикуляр до площини ABC.

З точки N опустимо перпендикуляр NM на пряму BC. Пряма NM буде проекцією похилої LM на площину ABC. З теореми про три перпендикуляри випливає тоді, що LM також перпендикулярна BC.

Таким чином, кут " = \LMN є лінійним кутом двогранного кута, утвореного напівплощинами KBC і ABC. Шукатимемо цей кут із прямокутного трикутника LMN.

Нехай ребро піраміди дорівнює a. Спочатку знаходимо висоту піраміди:

Рішення. Нехай L точка перетину прямих A1 K та AB. Тоді площина A1 KC перетинає площину ABC прямою CL (рис.55 ).

A C

Мал. 55. До задачі 3

Трикутники A1 B1 K і KBL рівні по катету та гострому куту. Отже, дорівнюють інші катети: A1 B1 = BL.

Розглянемо трикутник ACL. У ньому BA = BC = BL. Кут CBL дорівнює 120; отже, \BCL = 30 . Крім того, \ BCA = 60 . Тому \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Отже, LC? AC. Але пряма AC є проекцією прямої A1 C на площину ABC. По теоремі про три перпендикуляри укладаємо тоді, що LC? A1 C.

Таким чином, кут A1 CA лінійний кут двогранного кута, утвореного напівплощинами A1 KC та ABC. Це і є шуканий кут. З рівнобедреного прямокутного трикутника A1 AC бачимо, що він дорівнює 45 .

У завданні С2 з математики найчастіше треба вирішити завдання, в якому треба визначити:

1. Відстань між двома точками
2. Відстань від точки до прямої
3. Відстань від точки до площини
4. Відстань між схрещуючими прямими
5. Кут між двома прямими
6. Кут між прямою та площиною
7. Кут між площинами

Тепер перейдемо безпосередньо до алгоритмів.

1. Для визначення відстані між двома точками А та В використовуємо один із двох способів:

• Включаємо АВ до деякого трикутника і знаходимо його довжину як сторону трикутника
• За формулою

При чому координатний метод, на мій погляд, найпростіший, треба лише акуратно визначити координати кожної точки.

2. Для визначення відстані від точки до прямої обчислюється

• як довжина відрізка перпендикуляра, якщо вдасться включити цей відрізок у деякий трикутник як одна з висот

3. Відстань від точки до площини дорівнює

• довжиною перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину. Для цього акуратно будуємо перетин, який перпендикулярний до площини і проходить через задану точку. Шукана відстань дорівнює висоті отриманого нового багатогранника.
• З використанням координатного методу

Рівняння знаходиться шляхом встановлення координат трьох точок, що належать цій площині.

• З використанням векторного методу

• Методом обсягів, якщо є піраміда АВСМ, то відстань від точки М до площини, що містить трикутник АВС, обчислюється за формулою

• Методом опорних завдань, які можна переглянути

4.1. Поетапно-обчислювальний метод:

• побудувати загальний перпендикуляр двох прямих, що схрещуються, і знайти його довжину;
• побудувати площину, що містить одну з прямих і паралельну до другої. Тоді відстань, що шукається, буде дорівнює відстані від точки до прямої, побудованої в площині;
• укласти дані прямі в паралельні площині, що проходять через дані прямі, що схрещуються, знайти відстань між цими площинами
• побудувати площину, перпендикулярну до однієї з цих прямих і побудувати ортогональну проекцію другої прямої

4.2. Векторно-координатний метод

• Знаходимо координати кінців відрізка, що є загальним перпендикуляром двох прямих, що схрещуються
• Знаходимо відстань між двома точками

6. Кут між прямою та площиноювизначається шляхом включення його в прямокутний трикутник як один з гострих кутів, або векторно-координаторним методом

Або

Як визначається кут між площинами, розглянемо в наступному уроці. Дані алгоритми розв'язання С2 сприяють комплексному розумінню методу розв'язання поставленого завдання. " На допомогу школяреві журнал для школярів та його батьків " . Read more: http://education-club.ru/#ixzz2IXf5GOJU

7. Кут між площинами(Геометричний метод)

• 1. Знайти пряму, якою перетинаються площини.
• 2. Вибрати на цій прямій точку і провести до неї два перпендикуляри, що лежать у цих площинах. Або провести площину, перпендикулярну до лінії перетину площин.
• 3. Знайти тригонометричну функцію кута, утвореного перпендикулярами до лінії перетину площин. Як правило, ми робимо це через трикутник, в який входить кут, що шукається.
• 4. У відповіді записати значення кута або тригонометричної функції кута.

Кут між площинами. Метод координат. Завдання С2

Дві площини, що перетинаються, утворюють дві пари рівних між собою двогранних кутів:

Розмір двогранного кута вимірюється величиною відповідного лінійного кута.

Щоб побудувати лінійний кут двогранного кута, потрібно взяти на лінії перетину площин довільну точку, і в кожній площині провести до цієї точки промінь перпендикулярно лінії перетину площин. Кут, утворений цими променями і є лінійним кутом двогранного кута:

Величиною кута між площинами називається величина меншерічного кута.

Нехай наші площини та задані рівняннями:

Косинус кута між площинами знаходиться за такою формулою:

У відповіді записуємо , оскільки величиною кута між площинами називається величина меншого двогранного кута.

У правильній чотирикутній призмі зі стороною основи 12 і висотою 21 на ребрі взята точка М так, що . На ребрі взято точку K так, що . Знайдіть кут між площиною та площиною.

Зробимо креслення. Оскільки ми будемо використовувати метод координат, одразу введемо систему координат:

Тепер перед нами стоїть завдання написати рівняння площини та площини.

Докладний алгоритм знаходження рівняння площини за трьома точками я описувала.

Після того, як ми знайдемо коефіцієнти в рівняннях площини та площини, підставимо їх у формулу для знаходження косинуса кута між площинами і знайдемо кут.

Пропоную вам переглянути докладне відеовирішення цієї задачі:

Ще одне завдання від Інни Володимирівни Фельдман

Відео уроки "Координатний метод розв'язання задач с-2"

Урок 2 http://youtu.be/dKQWG8OZRGo
урок 3 http://youtu.be/ddgr0PnbFno
урок 4 http://youtu.be/n6yx2pQC0Lo
урок 5 http://youtu.be/JkWbxAw1YLI
урок 6 http://youtu.be/gybIqCMKBiI
урок 7 http://youtu.be/_LpARpYxp5g
урок 8 http://youtu.be/XJhyZQoofD8

\(\blacktriangleright\) Двогранний кут - кут, утворений двома напівплощинами і прямою \(a\) , яка є їх спільним кордоном.

\(\blacktriangleright\) Щоб знайти кут між площинами \(\xi\) і \(\pi\) потрібно знайти лінійний кут (причому гострийабо прямий) двогранного кута, утвореного площинами \(\xi\) і \(\pi\) :

Крок 1: нехай \(\xi\cap\pi=a\) (лінія перетину площин). У площині \(\xi\) відзначимо довільну точку \(F\) і проведемо \(FA\perp a\);

Крок 2: проведемо (FG perp );

Крок 3: за ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) – похила, (AG) – проекція) маємо: (AG perpa);

Крок 4: кут \(\angle FAG\) називається лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами \(\xi\) і \(\pi\) .

Зауважимо, що трикутник (AG) - прямокутний.
Зауважимо також, що площина (AFG), побудована таким чином, перпендикулярна обох площин ((xi)) і (pi). Отже, можна сказати інакше: кут між площинами\(\xi\) і \(\pi\) - це кут між двома пересічними прямими \(c\in \xi\) і \(b\in\pi\) , що утворюють площину, перпендикулярну і \(\xi\) ) і \(\pi\) .

Завдання 1 #2875

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Дано чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні, причому основа є квадратом. Знайдіть \(6\cos \alpha\) , де \(\alpha\) - кут між її суміжними бічними гранями.

Нехай \(SABCD\) - дана піраміда (\(S\) - вершина), ребра якої рівні \(a\). Отже, всі бічні грані є рівними рівносторонні трикутники. Знайдемо кут між гранями (SAD) і (SCD).

Проведемо \(CH\perp SD\). Так як \(\triangle SAD=\triangle SCD\), то \(AH\) також буде висотою \(\triangle SAD\) . Отже, за визначенням \(\angle AHC=\alpha\) - лінійний кут двогранного кута між гранями \(SAD\) і \(SCD\).
Так як в основі лежить квадрат, то (AC = a sqrt2). Зауважимо також, що \(CH=AH\) - висота рівностороннього трикутника зі стороною \(a\), отже, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Тоді за теоремою косінусів з \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Відповідь: -2

Завдання 2 #2876

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Площини \(\pi_1\) і \(\pi_2\) перетинаються під кутом, косинус якого дорівнює \(0,2\). Площини \(\pi_2\) і \(\pi_3\) перетинаються під прямим кутом, причому лінія перетину площин \(\pi_1\) і \(\pi_2\) паралельна лінії перетину площин \(\pi_2\) і \(\ pi_3 \). Знайдіть синус кута між площинами \(\pi_1\) і \(\pi_3\) .

Нехай лінія перетину \(\pi_1\) і \(\pi_2\) - пряма \(a\) , лінія перетину \(\pi_2\) і \(\pi_3\) - пряма \(b\) , а лінія перетину \(\pi_3\) та \(\pi_1\) - пряма \(c\) . Оскільки \(a\parallel b\) , то \(c\parallel a\parallel b\) (за теоремою з розділу теоретичної довідки "Геометрія в просторі" (rightarrow\) "Введення в стереометрію, паралельність").

Зазначимо точки \(A\in a, B\in b\) так, щоб \(AB\perp a, AB\perp b\) (це можливо, тому що \(a\parallel b\) ). Зазначимо \(C\in c\) так, щоб \(BC\perp c\) , отже, \(BC\perp b\) . Тоді \(AC\perp c\) і \(AC\perp a\) .
Справді, оскільки \(AB\perp b, BC\perp b\) , то \(b\) перпендикулярна площині (ABC\) . Оскільки \(c\parallel a\parallel b\) , то прямі \(a\) і \(c\) теж перпендикулярні площині \(ABC\) , а значить і будь-який прямий з цієї площини, зокрема, прямий \ (AC) .

Звідси слідує що \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Виходить, що \(\triangle ABC\) прямокутний, отже \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Відповідь: 0,2

Завдання 3 #2877

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Дано прямі \(a, b, c\) , що перетинаються в одній точці, причому кут між будь-якими двома з них дорівнює \(60^\circ\) . Знайдіть \(\cos^(-1)\alpha\) , де \(\alpha\) – кут між площиною, утвореною прямими \(a\) і \(c\) , і площиною, утвореною прямими \(b\) ) і (c) . Відповідь дайте у градусах.

Нехай прямі перетинаються в точці (O). Так як кут між будь-якими двома з них дорівнює \(60^\circ\), то всі три прямі не можуть лежати в одній площині. Зазначимо на прямій \(a\) точку \(A\) і проведемо \(AB\perp b\) та \(AC\perp c\) . Тоді \(\triangle AOB=\triangle AOC\)як прямокутні з гіпотенузи та гострого кута. Отже, \(OB=OC\) і (AB=AC\) .
Проведемо \(AH\perp (BOC)\). Тоді за теоремою про три перпендикуляри \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Оскільки \(AB=AC\) , то \(\triangle AHB=\triangle AHC\)як прямокутні з гіпотенузи та катету. Отже, (HB = HC). Значить, \(OH\) ​​- бісектриса кута \(BOC\) (оскільки точка \(H\) рівновіддалена від сторін кута).

Зауважимо, що таким чином ми до того ж побудували лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною, утвореною прямими (a) і (c), і площиною, утвореною прямими (b) і (c). Це кут (ACH).

Знайдемо цей кут. Оскільки точку (A) ми вибирали довільно, то нехай ми вибрали її так, що (OA = 2). Тоді в прямокутному \(\triangle AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]Так як \(OH\) ​​- бісектриса, то \(\angle HOC=30^\circ\) , Отже, в прямокутному \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]Тоді з прямокутного \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Відповідь: 3

Завдання 4 #2910

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

Площини \(\pi_1\) і \(\pi_2\) перетинаються по прямій \(l\) , де лежать точки \(M\) і \(N\) . Відрізки \(MA\) і \(MB\) перпендикулярні до прямої \(l\) і лежать у площинах \(\pi_1\) і \(\pi_2\) відповідно, причому \(MN = 15\) , \(AN = 39 \), \ (BN = 17 \), \ (AB = 40 \). Знайдіть \(3\cos\alpha\) , де \(\alpha\) - кут між площинами \(\pi_1\) і \(\pi_2\).

Трикутник \(AMN\) прямокутний, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), звідки \ Трикутник \(BMN\) прямокутний, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , звідки \ Запишемо для трикутника \(AMB\) теорему косінусів: \ Тоді \ Так як кут \(\alpha\) між площинами - це гострий кут, а \(\angle AMB\) вийшов тупим, то \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Тоді \

Відповідь: 1,25

Завдання 5 #2911

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – паралелепіпед, \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(a\) , точка \(M\) – основа перпендикуляра, опущеного з точки \(A_1\) на площину \((ABCD)\) , крім того (M) - точка перетину діагоналей квадрата (ABCD). Відомо що \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Знайдіть кут між площинами \((ABCD)\) і \((AA_1B_1B)\) . Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо (MN) перпендикулярно (AB) як показано на малюнку.

Так як \(ABCD\) - квадрат зі стороною \(a\) і \(MNperp AB\) і \(BCperp AB\) , то \(MNparallel BC\) . Так як \(M\) - точка перетину діагоналей квадрата, то \(M\) - середина \(AC\), отже, \(MN\) - середня лінія і \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) – проекція \(A_1N\) на площину \((ABCD)\) , причому \(MN\) перпендикулярний \(AB\) , тоді за теоремою про три перпендикуляри \(A_1N\) перпендикулярний \(AB \) і кут між площинами \((ABCD)\) і \((AA_1B_1B)\) є \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Відповідь: 60

Завдання 6 #1854

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

У квадраті \(ABCD\): \(O\) - точка перетину діагоналей; \(S\) - не лежить у площині квадрата, \(SO \perp ABC\) . Знайдіть кут між площинами \(ASD\) і \(ABC\) , якщо \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .

Прямокутні трикутники \(\triangle SAO\) і \(\triangle SDO\) рівні по обидва боки і кут між ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \ (AO = DO \), т.к. \(O\) - точка перетину діагоналей квадрата, \(SO\) - загальна сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) - рівнобедрений. Точка \(K\) - середина \(AD\) , тоді \(SK\) - висота в трикутнику \(\triangle ASD\) , а \(OK\) - висота в трикутнику \(AOD\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOK\) перпендикулярна площинам \(ASD\) і \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) - лінійний кут, що дорівнює шуканому двогранному куту.

У \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) - рівнобедрений прямокутний трикутник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Відповідь: 45

Завдання 7 #1855

Рівень завдання: Складніше ЄДІ

У квадраті \(ABCD\): \(O\) - точка перетину діагоналей; \(S\) - не лежить у площині квадрата, \(SO \perp ABC\) . Знайдіть кут між площинами \(ASD\) і \(BSC\) якщо \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .

Прямокутні трикутники \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) і \(\triangle SOC\) рівні по двох сторонах і кут між ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \ (AO = OD = OB = OC \), т.к. \(O\) - точка перетину діагоналей квадрата, \(SO\) - загальна сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) та \(\triangle BSC\) - рівнобедрені. Точка \(K\) - середина \(AD\) , тоді \(SK\) - висота в трикутнику \(\triangle ASD\) , а \(OK\) - висота в трикутнику \(AOD\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOK\) перпендикулярна площині \(ASD\) . Точка \(L\) - середина \(BC\) , тоді \(SL\) - висота в трикутнику \(\triangle BSC\) , а \(OL\) - висота в трикутнику \(BOC\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOL\) (вона ж площина \(SOK\)) перпендикулярна площині \(BSC\). Таким чином отримуємо, що (angle KSL) - лінійний кут, рівний шуканому двогранному куті.

\(KL = KO + OL = 2 \ cdot OL = AB = 10 \)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\); \(SK = SL\) – висоти в рівних рівнобедрених трикутниках, які можна знайти за теоремою Піфагора: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Можна помітити, що \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) для трикутника \(\triangle KSL\) виконується зворотна теорема Піфагора \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) - прямокутний трикутник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circ) .

Відповідь: 90

Підготовка учнів до здачі ЄДІ з математики, як правило, починається з повторення основних формул, у тому числі й тих, що дозволяють визначити кут між площинами. Незважаючи на те, що цей розділ геометрії досить докладно висвітлюється в рамках шкільної програми, багато випускників потребують повторення базового матеріалу. Розуміючи, як знайти кут між площинами, старшокласники зможуть оперативно вирахувати правильну відповідь у ході вирішення завдання та розраховувати на отримання гідних балів за підсумками складання єдиного державного іспиту.

Основні нюанси

Щоб питання, як знайти двогранний кут, не викликало труднощів, рекомендуємо дотримуватися алгоритму рішення, який допоможе впоратися із завданнями ЄДІ.

Спочатку необхідно визначити пряму, якою перетинаються площини.

Потім на цій прямій потрібно вибрати точку і провести до неї два перпендикуляри.

Наступний крок – знаходження тригонометричної функції двогранного кута, який утворений перпендикулярами. Робити це найзручніше за допомогою трикутника, що вийшов, частиною якого є кут.

Відповіддю буде значення кута або його тригонометричної функції.

Підготовка до екзаменаційного випробування разом зі «Школковим» - запорука вашого успіху

У процесі занять напередодні здачі ЄДІ багато школярів стикаються з проблемою пошуку визначень і формул, які дозволяють обчислити кут між двома площинами. Шкільний підручник не завжди є під рукою саме тоді, коли це потрібно. А щоб знайти потрібні формули та приклади їх правильного застосування, у тому числі і для знаходження кута між площинами в Інтернеті в режимі онлайн, часом потрібно витратити чимало часу.

Математичний портал «Школкове» пропонує новий підхід до підготовки до державного іспиту. Заняття на нашому сайті допоможуть учням визначити найскладніші для себе розділи та заповнити прогалини у знаннях.

Ми підготували та зрозуміло виклали весь необхідний матеріал. Базові визначення та формули представлені у розділі «Теоретична довідка».

Для того, щоб краще засвоїти матеріал, пропонуємо також попрактикуватися у виконанні відповідних вправ. Велика добірка завдань різного ступеня складності, наприклад, на , представлена ​​розділ «Каталог». Усі завдання містять докладний алгоритм знаходження правильної відповіді. Перелік вправ на сайті постійно доповнюється та оновлюється.

Практикуючись у розв'язанні завдань, у яких потрібно знайти кут між двома площинами, учні мають можливість в онлайн-режимі зберегти будь-яке завдання у «Вибраному». Завдяки цьому вони зможуть повернутися до нього необхідну кількість разів та обговорити хід його рішення зі шкільним учителем чи репетитором.