Рівняння лапласу для потенціалу електростатичного поля. Рівняння лапласу та пуасону

ВИЗНАЧЕННЯ

Описує адіабатний процес, що протікає в . Адіабатним називають такий процес, при якому відсутній теплообмін між аналізованою системою та навколишнім середовищем: .

Рівняння Пуассона має вигляд:

Тут – обсяг, зайнятий газом, – його , а величина називається показником адіабати.

Показник адіабати у рівнянні Пуассона

У практичних розрахунках зручно пам'ятати, що з ідеального газу показник адіабати дорівнює , для двоатомного – , а триматомного – .

Як же бути з реальними газами, коли важливу роль грають сили взаємодії між молекулами? В цьому випадку показник адіабати для кожного газу, що досліджується, можна отримати експериментально. Один із таких методів був запропонований у 1819 році Клеманом та Дезормом. Ми наповнюємо балон холодним газом, доки тиск у ньому не досягне. Потім відкриваємо кран, газ починає адіабатично розширюватися, а тиск у балоні падає до атмосферного. Після того, як газ ізохорно прогріється до температури навколишнього середовища, тиск у балоні підвищиться до . Тоді показник адіабати можна розрахувати за формулою:

Показник адіабати завжди більший за 1, тому при адіабатичному стисканні газу – як ідеального, так і реального – до меншого обсягу температура газу завжди зростає, а при розширенні газ охолоджується. Ця властивість адіабатичного процесу, звана пневматичним огнивом, застосовується в дизельних двигунах, де горюча суміш стискається в циліндрі і запалюється від високої температури. Згадаймо перший закон термодинаміки: , де - , а А - виконувана над нею робота. Оскільки робота, що здійснюється газом, йде тільки на зміну його внутрішньої енергії - а значить, температури. З рівняння Пуассон можна отримати формулу для розрахунку роботи газу в адіабатному процесі:

Тут n – кількість газу на молях, R – універсальна газова стала, Т – абсолютна температура газу.

p align="justify"> Рівняння Пуассона для адіабатичного процесу застосовується не тільки при розрахунках двигунів внутрішнього згоряння, але і в проектуванні холодильних машин.

Варто пам'ятати, що рівняння Пуассона точно описує лише рівноважний адіабатний процес, що складається з станів рівноваги, що безперервно змінюють один одного. Якщо ж ми насправді відкриємо кран у балоні, щоб газ адіабатично розширився, виникне нестаціонарний перехідний процес із завихреннями газу, які згаснуть через макроскопічне тертя.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2

Рівняння Пуассона та Лапласа є основними рівняннями електростатики. Вони випливають із теореми Гауса в диференційній формі. Дійсно, відомо, що Е = - grad j. Водночас згідно з теоремою Гауса

Підставимо у (11.22) E з (11.7). Отримаємо

.

Винесемо мінус за знак дивергенції

.

Замість писати gradj,запишемо його еквівалент Ñj. Замість div напишемо Ñ. Тоді

Рівняння (11.27) називається рівнянням Пуассона. Приватний вид рівняння Пуассона, коли ρ свб = 0 називається рівнянням Лапласа. Рівняння Лапласа запишеться так:

Оператор називають оператором Лапласа або лапласіаном і іноді позначають ще символом D. Тому можна зустріти іноді таку форму запису рівняння Пуассона:

Розкриємо в декартовій системі координат. З цією метою добуток двох множників Ñ і запишемо у розгорнутому вигляді

Зробимо почленное множення і отримаємо

.

Таким чином, рівняння Пуассона в декартовій системі координат запишеться так:

. (11.29)

Рівняння Лапласа в системі декартової координат

. (11.30)

Наведемо без виведення виразу Ñ 2 j в циліндричній системі координат

, (11.31)

у сферичній системі координат (11.32)

Рівняння Пуассона дає зв'язок між приватними похідними другого порядку від jу будь-якій точці поля та об'ємною щільністю вільних зарядів у цій точці поля. У той же час потенціал jв будь-якій точці поля залежить, зрозуміло, від усіх зарядів, що створюють поле, а не тільки від величини вільного заряду, що знаходиться в цій точці.

Рівняння Лапласа (1780) спочатку було застосовано для опису потенційних полів небесної механіки і згодом було використано для опису електричних полів. Рівняння Пуассона застосовується до дослідження потенційних полів (електричних та магнітних) з 1820 року.

Розглянемо питання, як у загальному вигляді може бути записано рішення рівняння Пуассона. Нехай обсягом Vє об'ємні (r), поверхневі (s) та лінійні (t) заряди. Ці заряди представимо у вигляді сукупностей точкових зарядів rdV, sds, tdl; dV- Елемент об'єму, ds-Елемент зарядженої поверхні, dl- Елемент довжини зарядженої осі. Складова потенціалу djв деякій точці простору, віддаленої від rdVна відстань R, відповідно до формули (11.20) дорівнює

Складові потенціалу від поверхневого та лінійного зарядів, розглядаючи їх як точкові, визначимо аналогічним чином:

Повне значення jвизначиться як сума (інтеграл) складових потенціалу від усіх зарядів у полі:

. (11.33)

У формулі (11.33) r,sі tє функції радіусу R. Практично формулою (11.33) користуються рідко, оскільки розподіл sпо поверхні, tпо довжині та rза обсягом складним чином залежить від конфігурації електродів і, зазвичай, перед проведенням розрахунку невідомо. Іншими словами, невідомо, як r, sі tзалежать від радіусу R.

Граничні умови

Під граничними умовами розуміють умови, яким підпорядковується поле межі розділу середовищ із різними електричними властивостями. При вивченні розділу «перехідні процеси» винятково велике значення мало питання про початкові умови і закони комутації. Початкові умови та закони комутації дозволяли визначити постійні інтегрування під час вирішення завдань класичним методом. У класичному методі вони використовувалися у явному вигляді, в операторному методі – у прихованому. Без використання їх не можна вирішити жодного завдання на перехідні процеси.

Можна провести паралель між роллю граничних умов в електричному (і в будь-якому іншому) полі та роллю початкових умов та законів комутації при перехідних процесах. При інтегруванні рівняння Лапласа (або Пуассона) до рішення увійдуть постійні інтегрування. Їх і визначають, з граничних умов. Перш ніж перейти до детального обговорення граничних умов, розглянемо питання про поле всередині провідного тіла в умовах електростатики.

Теорема Гауса застосовна лише тіл простої конфігурації. Рівняння Пуассона - Лапласа дозволяє вирішувати набагато складніші завдання, ці рівняння використовуються у всіх стаціонарних полях як електричних так і магнітних.

Винесемо знак "-" за знак дивергенції:

.

Замінимо divі gradна :

.

- Рівняння Пуассона;

- Рівняння Лапласа;

- Лапласан.

У декартовій системі координат:

- Рівняння Лапласа;

- Рівняння Пуассона.

Якщо залежить тільки від 1-ї координати, то завдання вирішується 2-х кратним інтегруванням по цій координаті, при 2-х і більше координат для вирішення рівняння існують спеціальні методи: метод сіток, числовий метод розрахунку.

Теорема єдиності рішення

Рівняння Пуассона Лапласа, що описує електричне поле, є рівнянням приватних похідних. Отже, існує безліч незалежних рішень один від одного.

Існує теорема єдиності рішення:

З усієї безлічі функцій, що задовольняють рівняння Пуассона – Лапласа існує лише одна, що задовольняє граничним умовам.

До неї формулюють два наслідки:

Поле в деякій частині простору не зміниться, якщо з іншого боку межі розділу двох середовищ проводиться перерозподіл зарядів так, щоб граничні умови не змінилися

Еквіпотенційну поверхню можна замінити на металеву, повідомивши останній деякий потенціал.

Метод дзеркальних зображень

Якщо електричні заряди розташовані поблизу кордону двох різнорідних середовищ, то вектор поля можна визначити, застосувавши штучний метод розрахунку, який називається методом дзеркальних зображень.

Ідея методу полягає в тому, що замість неоднорідного середовища розглядається однорідне середовище, вплив неоднорідності враховується введенням фіктивних зарядів, записують граничні умови основного завдання і, користуючись ними, знаходять шукані вектори поля. Найбільш зручний цей метод для розрахунку межі розділу двох середовищ правильної форми.

Розрахунок на межі поділу двох середовищ

Поле зарядженої осі, розташованої поблизу площини, що проводить.

(Діелектрик - Провідник)

Заряджена вісь розташована в діелектриці паралельно поверхні провідного середовища. Потрібно визначити характер поля у верхній напівплощині (діелектриці).

В результаті електростатичної індукції на поверхні провідного тіла виступають заряди. Щільність їх змінюється із зміною координати x. Ці заряди впливають на полі та їх вплив треба враховувати. Врахувати вплив зарядів, що виступили на поверхні провідного тіла внаслідок електростатичної індукції, дуже складно, тому що треба знати закон розподілу їх по поверхні провідного тіла. Це завдання легко можна вирішити, використовуючи метод дзеркальних зображень. Відповідно до методу вплив зарядів, розташованих на поверхні провідного тіла, враховується введенням фіктивного зосередженого заряду, розташованого в дзеркальному відображенні щодо кордону, при цьому вважається, що весь простір заповнений діелектриком. Фіктивний заряд дорівнює модулю дійсному і має протилежний знак.

Доведемо це. Напруженість поля від двох зарядів
і
у будь-якій точці поля має лише нормальну до кордону складову (виконано граничну умову
). Потенціал від кожної осі задовольняє рівняння Лапласа
(Висновок уч. Безсонів ТОЕ стор. 42 (формула для потенціалу зарядженої осі підставляється в рівняння Лапласа в циліндричній системі координат)). З теореми єдиності рішення отримане рішення є істинним.

Заряджена вісь, розташована в діелектриці паралельно поверхні провідного середовища. Потрібно визначити напруженість електростатичного поля та потенціал у точці А.

Застосуємо метод дзеркальних зображень. А напруженість поля та потенціал у точці А знайдемо, використовуючи метод накладання

;

;

;
.

для точки
:
.

Визначимо силу тяжіння дроту до провідної поверхні:

.

Поле зарядженої осі, розташованої поблизу плоскої межі розділу двох діелектриків з різними діелектричними проникненнями

(Діелектрик - Діелектрик)

У цьому випадку індуковані на межі розділу не скомпенсовані пов'язані заряди впливають на поле в обох сферах, для обліку їх вводять два фіктивні заряди. У цьому завдання треба задовольнити двома граничними умовами.

а) Якщо реальний провід та досліджувана точка знаходяться в одному середовищі, то поле розраховують від двох зарядів: дійсного , весь простір заповнений діелектриком, в якому знаходиться точка, що досліджується.

б) Якщо реальний провід і досліджувана точка перебувають у різних середовищах, то полі у будь-якій точці нижнього напівпростору визначають як поле деякого додаткового заряду . Весь простір заповнений діелектриком того середовища, де знаходиться точка, що досліджується.

З умови рівності тангенційних складових напруженості поля:

.

З умови рівності нормальних складових вектора електричного усунення:

.

.

Вирішуючи спільно, отримуємо:

;

;
.

Знак буде збігатися з якщо
.

Знак буде завжди як .

Заряджена вісь розташована в діелектриці паралельно поверхні іншого діелектрика. Потрібно визначити напруженість електростатичного поля та потенціал у точці А та В. Нехай
.

Розглянемо точку А. Вона лежить в одному середовищі із зарядженою віссю. Застосовуємо метод дзеркальних відбитків. Все заповнюємо середовищем з діелектричною проникністю . Поле розраховуємо від двох зарядів: дійсного та дзеркально відбитого фіктивного заряду . Застосуємо метод дзеркальних зображень. Напруженість поля та потенціал у точці А знайдемо, використовуючи метод накладання:

;

;

;
.

Приймемо точку з нульовим потенціалом на межі розділу під одним із дротів

.

Розглянемо точку В. Вона лежить у різних середовищах із зарядженою віссю. Застосовуємо метод дзеркальних відбитків. Все заповнюємо середовищем з діелектричною проникністю . Полі розраховуємо від фіктивного заряду , розташованого в тій самій точці, де знаходився реальний заряд .

;

.

Зауваження: якщо точка, що досліджується, лежить на поверхні проводу, то відстань від проводу до досліджуваної точки дорівнює радіусу проводу.

Точковий заряд поблизу кордону

Діелектрик – Провідник та Діелектрик – Діелектрик

Якщо поле створюється не зарядженою віссю, а точковим зарядом, вся методика розрахунків зберігається.

Точковий заряд лежить поблизу межі діелектрика – провідника. Знайти напруженість та потенціал поля у точці А.

Рівняння (10.2) встановлює зв'язок між потенціалом електростатичного поля та напруженістю цього поля. З цього рівняння можна отримати співвідношення між потенціалом та щільністю заряду. Для цього потрібно утворити дивергенцію обох частин цього рівняння і потім скористатися формулою (6.5):

Відповідно до правил векторного аналізу [див. рівняння (40)

так що рівняння (11.1) може бути записано так:

Це диференціальне рівняння зветься рівняння Пуассона. У тих ділянках поля, де немає електричних зарядів

Рівняння це звертається до наступного:

Цей окремий вид рівняння Пуассона зветься рівняння Лапласа.

Рівняння Пуассона дозволяє визначити потенціал поля об'ємних зарядів, якщо відомо розташування цих зарядів. Рішення (інтеграл) цього диференціального рівняння (за певних граничних умов) має, очевидно, збігатися з виведеною раніше формулою (8.8):

Надалі ми доведемо це безпосереднім обчисленням. Поки що зазначимо, що з вирішення деяких завдань зручніше виходити з інтеграла (8.8), а безпосередньо з диференціального рівняння (11.3).

приклад. Визначити густину термоіонного струму між двома нескінченними плоскими електродами у вакуумі. Приклад цей застосування рівняння Пуассона взятий немає з електростатики, та якщо з вчення про струмі має значення для теорії катодних (підсилювальних) ламп.

Відомо, що розжарені метали випускають зі своєї поверхні навколишній простір потік вільних електронів. Якщо до двох металевих електродів прикласти певну різницю потенціалів і розжарити негативний електрод (катод), то електрони, що безперервно випромінюються розжареним катодом, будуть притягуватися до поверхні позитивного електрода (анода). Потік електронів, що рухаються від катода до анода, еквівалентний електричному струму. Струм цей називається термоіонним.

Виберемо осі декартових координат так, щоб їх початок знаходилося на катоді, а вісь х була перпендикулярна площині електродів і спрямована до анода. Приймемо потенціал катода рівним нулю, а потенціал анода рівним.

Якщо позначити через число електронів, що припадають на одиницю об'єму у просторі між електродами на відстані х від катода, а через абсолютну величину заряду електрона, то щільність заряду на

цій відстані буде:

Припустимо для простоти, що електрони, що випускаються катодом, при виході з його поверхні не володіють ніякою початковою швидкістю. На шляху від катода до анода сили електричного поля виконуватимуть над електронами заряду роботу - яка, очевидно, переходитиме в кінетичну енергію руху електронів. Позначаючи через швидкість електрона на відстані х від катода, а через потенціал на тій самій відстані, отримаємо

де 771 – маса електрона. Нарешті, щільність електричного струму, тобто заряд, що протікає за одиницю часу через перпендикулярну струму (тобто перпендикулярну осі майданчик дорівнює, очевидно:

бо є кількість електронів, що проходять за одиницю часу через цей майданчик. На відміну від щільність струму є постійна величина, яка не залежить від х, бо після досягнення стаціонарного стану через будь-яку паралельну електродам площина проходить, очевидно, однакове число електронів.

Виключимо з рівняння (11.5) усі невідомі функції х, крім насамперед.

Але з (11.6) випливає, що

стало бути,

Вводячи позначення А - отримаємо

Як легко переконатися підстановкою, рішення цього диференціального рівняння, яке, згідно з умовою завдання, звертається на катоді в нуль і, крім того, задовольняє умові

Якщо позначити відстань від анода до катода через I, то при потенціал повинен звертатися в так,

Таким чином, щільність термоіонного струму не підпорядковується закону Ома, а зростає пропорційно до ступеня 3/2 прикладеного до електродів напруги і обернено пропорційно квадрату відстані між ними. Ця відмінність законів термоіонного струму від законів струму в металах обумовлюється двома причинами. По-перше, електрони в металах стикаються з позитивними іонами, що утворюють твердий скелет металу, і зазнають завдяки цьому опір своєму руху, відсутнє при русі у вакуумі 1). По-друге, при термоіонному струмі в просторі між електродами знаходяться лише вільні електрони, заряд яких не компенсується зарядом позитивних іонів, як це має місце в металах, внаслідок чого поле цього так званого просторового заряду спотворює поле електродів.

Зазначимо, що формула (11.9) перестає бути справедливою за великих щільностей струму 2). При підвищенні потенціалу анода настає момент, коли всі електрони, що виділяються катодом, негайно ж захоплюються до анода. Подальше підвищення потенціалу анода не може, очевидно, повести до збільшення щільності струму, яка таким чином досягає постійного значення (струм насичення).

Завдання 10. Нехай означає відстань даної точки простору від деякої довільно обраної початкової точки. Показати, що скаляр

задовольняє рівняння Лапласа

Крапка не розглядається.

Завдання 11. Нескінченна плоска пластина товщиною 2а рівномірно заряджена електрикою з об'ємною щільністю. Показати, що потенціал поля всередині та поза пластиною дорівнює відповідно:

а вектор спрямований уздовж осі х від серединної площини і чисельно дорівнює:

Порівняти цей випадок із граничним випадком нескінченної зарядженої площини (§ 4).

Завдання 12. Знайти потенціал поля кулі, рівномірно зарядженого за своїм обсягом [формула (8.12)], виходячи з рівняння Пуассона у сферичних координатах.

Я хотів би з пізнавальною метою розповісти про рівняння, які застосовувалися при виведенні рівняння Дебая-Хюккеля. Це рівняння Пуассона та розподіл Больцмана.

Рівняння Пуассона

Ми з'ясували, що плазма квазінейтральна в рівноважному стані і що під дією електричного поля від зарядів, що рухаються, заряджені частинки зміщуються на дебаївську довжину і поле в межах цієї довжини згасає. В електростатиці взаємодія заряджених частинок описується кулонівським рівнянням:

Де – величини точкових зарядів, що взаємодіють, – квадрат відстані між зарядами. Коефіцієнт k є константою. Якщо ми використовуємо систему в електростатичних одиницях СГС, що позначаються СГСЕq, то k = 1. Якщо використовується система СІ, то де - діелектрична проникність середовища, в якому розташовані заряди, - електрична постійна, рівна 8,86 ∙ .

У фізиці безпосередньо силою не користуються, а вводять поняття електростатичного поля розподілених зарядів та вимірюють поле завбільшки напруженості електричного поля. Для цього в кожну точку поля подумки поміщають одиничний пробний заряд і вимірюють силу, з якою поле зарядів діє на пробний заряд:

Звідси випливає глибоке значення різниці потенціалів. Якщо зафіксувати точку Р1 і переміщувати заряд змінну точку Р2, то робота залежить тільки від положення другої точки Р2. У такий спосіб ми можемо запровадити поняття потенціалу. Потенціал - це силова функція, що показує яку необхідно виконати роботу полю, щоб перемістити заряд з нескінченності в цю точку P2, де умовно приймають потенціал у нескінченності рівним нулю.

Щоб зрозуміти рівняння Пуассона, необхідно розумітися на «особливій» векторній математиці. Я коротко розповім про такі поняття як градієнт поля та дивергенції (маю на увазі, що читач знайомий з математичним аналізом)
Нехай f(x,y,z) є деякою безперервною функцією координат, що диференціюється. Знаючи її похідні в кожній точці простору можна побудувати вектор, компоненти якого x, y, z рівні відповідним приватним похідним:

Тепер повернемося до електростатичного поля E. З одного боку зміна потенціалу при переході з однієї точки до іншої має такий вигляд:

Перш ніж показати, як виходить рівняння Пуассона, важливо знати закон Гауса та теорему Гауса. Уявімо сферу, всередині якої знаходиться заряд q. Заряд створює навколо себе електричне поле напруженості E. Візьмемо потік вектора E

Теорема Гауса (повна назва теорема Гауса-Остроградського) є суто математичною теоремою про дивергенцію. Перепишемо повний потік вектора F наступним чином:

Ми розберемо важливий розподіл з математичної статистики - розподіл Больцмана.

Теги:

• фізика
• електростатики