Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом онлайн. Калькулятор онлайн

Кутовий коефіцієнт прямий. У цій статті ми з вами розглянемо завдання, пов'язані з координатною площиною, включені до ЄДІ з математики. Це завдання на:

- Визначення кутового коефіцієнта прямої, коли відомі дві точки через які вона проходить;
- Визначення абсциси або ординати точки перетину двох прямих на площині.

Що таке абсцисса та ордината точки було описано в даній рубриці. У ній ми вже розглянули кілька завдань, пов'язаних з координатною площиною. Що необхідно розуміти для такого типу завдань? Трохи теорії.

Рівняння прямої на координатній площині має вигляд:

де k – це і є кутовий коефіцієнт прямий.

Наступний момент! Кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу прямої. Це кут між даною прямою та віссюох.

Він лежить у межах від 0 до 180 градусів.

Тобто якщо ми приведемо рівняння прямої до вигляду y = kx + b, далі завжди зможемо визначити коефіцієнт k (кутовий коефіцієнт).

Так само, якщо ми виходячи з умови зможемо визначити тангенс кута нахилу прямої, то цим знайдемо її кутовий коефіцієнт.

Наступний теоретичний момент!Рівняння прямої походить через дві дані точки.Формула має вигляд:

Розглянемо завдання (аналогічні завданням з відкритого банку завдань):

Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки з координатами (–6;0) та (0;6).

У цьому задачі найраціональніший шлях вирішення це знайти тангенс кута між віссю ох і даної прямої. Відомо, що він дорівнює кутовому коефіцієнту. Розглянемо прямокутний трикутник утворений прямою і осями ох і оу:

Тангенсом кута у прямокутному трикутнику є відношення протилежного катета до прилеглого:

*Обидва катета дорівнюють шести (це їх довжини).

Звичайно, це завдання можна вирішити використовуючи формулу знаходження рівняння прямої проходить через дві дані точки. Але це буде більш тривалий шлях вирішення.

Відповідь: 1

Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки з координатами (5; 0) і (0; 5).

Наші точки мають координати (5; 0) та (0; 5). Значить,

Наведемо формулу до виду y = kx + b

Отримали, що кутовий коефіцієнт k = – 1.

Відповідь: -1

Пряма aпроходить через точки з координатами (0; 6) і (8; 0). Пряма bпроходить через точку з координатами (0; 10) і паралельна прямий a bз віссю оx.

У цій задачі можна знайти рівняння прямої a, Визначити кутовий коефіцієнт для неї. У прямий bкутовий коефіцієнт буде такий самий, оскільки вони паралельні. Далі можна знайти рівняння прямої b. А потім, підставивши в нього значення y = 0, знайти абсцис. АЛЕ!

В даному випадку простіше використовувати властивість подібності трикутників.

Прямокутні трикутники, утворені даними (паралельними) прямими осями координат подібні, а це означає, що відносини їхніх відповідних сторін рівні.

Шукана абсциса дорівнює 40/3.

Відповідь: 40/3

Пряма aпроходить через точки з координатами (0; 8) і (-12; 0). Пряма bпроходить через точку з координатами (0; -12) і паралельна прямий a. Знайдіть абсцису точки перетину прямої bз віссю оx.

Для цього завдання найоптимальніший шлях розв'язання — застосування властивості подоби трикутників. Але ми вирішимо її іншим шляхом.

Нам відомі точки, через які проходить пряма а. Можемо скласти рівняння прямої. Формула рівняння прямої походить через дві дані точки має вигляд:

За умовою точки мають координати (0; 8) і (-12; 0). Значить,

Приведемо до вигляду y = kx + b:

Отримали, що кутовий k = 2/3.

*Кутовий коефіцієнт можна було знайти через тангенс кута у прямокутному трикутнику з катетами 8 та 12.

Відомо, що у паралельних прямих кутові коефіцієнти рівні. Значить рівняння прямої проходить через точку (0;-12) має вигляд:

Знайти величину bми можемо підставивши абсцису та ординату в рівняння:

Таким чином, пряма має вигляд:

Тепер щоб знайти абсцису точки перетину прямої з віссю ох, необхідно підставити у = 0:

Відповідь: 18

Знайдіть ординату точки перетину осі оyі прямий, що проходить через точку (10; 12) і паралельної прямий, що проходить через початок координат і точку А (10; 24).

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки з координатами (0; 0) і (10; 24).

Формула рівняння прямої походить через дві дані точки має вигляд:

Наші точки мають координати (0; 0) та (10; 24). Значить,

Приведемо до вигляду y = kx + b

Кутові коефіцієнти паралельних прямих рівні. Значить, рівняння прямої, що проходить через точку (10; 12) має вигляд:

Значення bзнайдемо підставивши на це рівняння координати точки В(10;12):

Отримали рівняння прямої:

Щоб знайти ординату точки перетину цієї прямої з віссю оупотрібно підставити у знайдене рівняння х= 0:

* Найпростіший спосіб вирішення. За допомогою паралельного перенесення зрушуємо дану пряму вниз уздовж осі оудо точки (10; 12). Зрушення відбувається на 12 одиниць, тобто точка А (10; 24) "перейшла" в точку В (10; 12), а точка О (0; 0) "перейшла" в точку (0; -12). Отже, отримана пряма перетинатиме вісь оуу точці (0;-12).

Шукана ордината дорівнює -12.

Відповідь: -12

Знайдіть ординату точки перетину прямої, заданої рівнянням

3х + 2у = 6, з віссю Ой.

Координата точки перетину заданої прямої з віссю оумає вигляд (0; у). Підставимо в рівняння абсцису х= 0, і знайдемо ординату:

Ордината точки перетину прямої з віссю оудорівнює 3.

*Вирішується система:

Відповідь: 3

Знайдіть ординату точки перетину прямих, заданих рівняннями

3х + 2у = 6і у = - х.

Коли задані дві прямі і стоїть питання про знаходження координат точки перетину цих прямих, вирішується система з даних рівнянь:

У першому рівнянні підставляємо – хзамість у:

Ордината дорівнює мінус шести.

Відповідь: – 6

Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки з координатами (–2;0) та (0;2).

Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки з координатами (2; 0) і (0; 2).

Пряма a проходить через точки з координатами (0; 4) і (6; 0). Пряма b проходить через точку з координатами (0; 8) і паралельна прямий a. Знайдіть абсцис точки перетину прямої b з віссю Ox.

Знайдіть ординату точки перетину осі оy і пряму, яка проходить через точку B (6;4) і паралельна пряма, що проходить через початок координат і точку A (6;8).

1. Необхідно чітко засвоїти, що кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу прямої. Це допоможе вам при вирішенні багатьох завдань цього типу.

2. Формулу знаходження прямої проходить через дві дані точки потрібно розуміти обов'язково. З її допомогою завжди знайдете рівняння прямої, якщо дані координати двох її точок.

3. Пам'ятайте, що кутові коефіцієнти паралельних прямих рівні.

4. Як ви зрозуміли, у деяких завданнях зручно використовувати ознаку подоби трикутників. Завдання вирішуються практично усно.

5. Завдання в яких дано дві прямі і потрібно знайти абсцису або ординату точки їх перетину можна вирішити графічним способом. Тобто побудувати їх на координатній площині (на аркуші в клітину) та визначити точку перетину візуально. *Але цей спосіб застосовується не завжди.

6. І останнє. Якщо дана пряма і координати точок її перетину з осями координат, то таких завданнях зручно знаходити кутовий коефіцієнт через знаходження тангенса кута в утвореному прямокутному трикутнику. Як «побачити» цей трикутник при різних прямих розташуваннях на площині схематично показано нижче:

>> Кут нахилу прямий від 0 до 90 градусів<<

>> Кут нахилу прямий від 90 до 180 градусів<<

На цьому все. Успіху Вам!

З повагою, Олександр.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Навчіться брати похідні від функцій.Похідна характеризує швидкість зміни функції у певній точці, що лежить на графіку цієї функції. У разі графіком може бути як пряма, і крива лінія. Тобто похідна характеризує швидкість зміни функції у конкретний час. Згадайте загальні правила, за якими беруться похідні, і лише потім переходьте до наступного кроку.

• Прочитайте статтю.
• Як брати найпростіші похідні, наприклад похідну показового рівняння, описано . Обчислення, подані в наступних кроках, будуть ґрунтуватися на описаних у ній методах.

Навчіться розрізняти завдання, в яких кутовий коефіцієнт потрібно обчислити через похідну функцію.У завданнях не завжди пропонується знайти кутовий коефіцієнт або похідну функцію. Наприклад, вас можуть попросити знайти швидкість зміни функції у точці А(х,у). Також вас можуть попросити знайти кутовий коефіцієнт, що стосується в точці А(х,у). В обох випадках необхідно брати похідну функцію.

У попередньому розділі було показано, що, обравши певну систему координат на площині, ми можемо геометричні властивості, що характеризує точки лінії, що розглядається, виразити аналітично рівнянням між поточними координатами. Таким чином, ми отримаємо рівняння лінії. У цьому розділі розглядатимуться рівняння прямих ліній.

Щоб скласти рівняння прямої в декартових координатах, потрібно якимось чином задати умови, що визначають положення щодо координатних осей.

Попередньо ми введемо поняття про кутовий коефіцієнт прямої, який є однією з величин, що характеризують положення прямої на площині.

Назвемо кутом нахилу прямої до осі Ох той кут, на який потрібно повернути вісь Ох, щоб вона збіглася з цією прямою (або виявилася паралельною їй). Як завжди, кут розглядатимемо з урахуванням знака (знак визначається напрямком повороту: проти або за годинниковою стрілкою). Так як додатковий поворот осі Ох на кут в 180 ° знову поєднає її з прямою, то кут нахилу прямої до осі може бути обраний не однозначно (з точністю до доданку, кратного).

Тангенс цього кута визначається однозначно (оскільки зміна кута не змінює його тангенса).

Тангенс кута нахилу прямої до осі Ох називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Кутовий коефіцієнт характеризує напрямок прямої (ми тут не розрізняємо двох взаємно протилежних напрямків прямої). Якщо кутовий коефіцієнт прямий дорівнює нулю, то пряма паралельна осі абсцис. При позитивному кутовому коефіцієнті кут нахилу прямої до осі Ох буде гострим (ми розглядаємо найменше позитивне значення кута нахилу) (рис. 39); при цьому чим більший кутовий коефіцієнт, тим більший кут її нахилу до осі Ох. Якщо кутовий коефіцієнт негативний, то кут нахилу прямої до осі Ох буде тупим (рис. 40). Зауважимо, що пряма, перпендикулярна до осі Ох, немає кутового коефіцієнта (тангенс кута немає).

У математиці одним із параметрів, що описують положення прямої на декартовій площині координат, є кутовий коефіцієнт цієї прямої. Цей параметр характеризує нахил прямої осі абцис. Щоб зрозуміти, як знайти кутовий коефіцієнт, спочатку пригадаємо загальний вигляд рівняння прямої системи координат XY.

У загальному вигляді будь-яку пряму можна уявити виразом ax+by=c, де a, b та c - довільні дійсні числа, але обов'язково a 2 + b 2 ≠ 0.

Подібне рівняння за допомогою нескладних перетворень можна довести до виду y=kx+d, у якому k і d – дійсні числа. Число k є кутовим коефіцієнтом, а саме рівняння прямої подібного виду називається рівнянням з кутовим коефіцієнтом. Виходить, що для знаходження кутового коефіцієнта необхідно просто привести вихідне рівняння до зазначеного вище виду. Для більш повного розуміння розглянемо конкретний приклад:

Завдання: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, заданої рівнянням 36x – 18y = 108

Рішення: Перетворимо вихідне рівняння.

Відповідь: Шуканий кутовий коефіцієнт цієї прямої дорівнює 2.

У разі, якщо в ході перетворень рівняння ми отримали вираз типу x = const і не можемо в результаті уявити y у вигляді функції x, то маємо справу з прямою, паралельною осі Х. Кутовий коефіцієнт подібної прямої дорівнює нескінченності.

Для прямих, яких виражені рівнянням типу y = const, кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Це притаманно прямих, паралельних осі абцис. Наприклад:

Завдання: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, заданої рівнянням 24x + 12y - 4 (3y + 7) = 4

Рішення: Наведемо вихідне рівняння до загального вигляду

24x + 12y - 12y + 28 = 4

З отриманого виразу виразити y неможливо, отже кутовий коефіцієнт даної прямої дорівнює нескінченності, а пряма буде паралельна осі Y.

Геометричний зміст

Для кращого розуміння звернемося до картинки:

На малюнку бачимо графік функції типу y = kx. Для спрощення приймемо коефіцієнт с = 0. У трикутнику ОАВ відношення сторони ВА до АО дорівнює кутовому коефіцієнту k. Водночас відношення ВА/АТ - це тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику ОАВ. Виходить, що кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута, який становить ця пряма з віссю абцис координатної сітки.

Вирішуючи завдання, як знайти кутовий коефіцієнт прямої, ми знаходимо тангенс кута між нею та віссю Х сітки координат. Граничні випадки, коли пряма паралельна осям координат, що розглядається, підтверджують вищенаписане. Дійсно для прямої, описаної рівнянням y=const, кут між нею та віссю абцис дорівнює нулю. Тангенс нульового кута також дорівнює нулю і кутовий коефіцієнт також дорівнює нулю.

Для прямих, перпендикулярних до осі абцис і описуваних рівнянням х=const, кут між ними і віссю Х дорівнює 90 градусів. Тангенс прямого кута дорівнює нескінченності, так само і кутовий коефіцієнт подібних прямих дорівнює нескінченності, що підтверджує написане вище.

Кутовий коефіцієнт дотичної

Поширеною, що часто зустрічається на практиці, завданням є також знаходження кутового коефіцієнта щодо графіку функції в деякій точці. Стосовна - це пряма, отже до неї також застосовується поняття кутового коефіцієнта.

Щоб розібратися, як знайти кутовий коефіцієнт, нам буде необхідно згадати поняття похідної. Похідна від будь-якої функції в деякій точці - це константа, чисельно рівна тангенсу кута, який утворюється між дотичною у зазначеній точці до графіка цієї функції та віссю абцис. Виходить, що для визначення кутового коефіцієнта дотичної в точці x 0 нам необхідно розрахувати значення похідної вихідної функції в цій точці k = f "(x 0). Розглянемо на прикладі:

Завдання: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, що стосується функції y = 12x 2 + 2xe x при х = 0,1.

Рішення: Знайдемо похідну від вихідної функції у загальному вигляді

y"(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Відповідь: Шуканий кутовий коефіцієнт у точці х = 0,1 дорівнює 4,831

Ця математична програма знаходить рівняння щодо графіку функції \(f(x) \) в заданій користувачем точці \(a \).

Програма не лише виводить рівняння дотичної, а й відображає процес розв'язання задачі.

Цей калькулятор онлайн може бути корисним учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо вам потрібно знайти похідну функції, то для цього ми маємо завдання Знайти похідну.

Якщо ви не знайомі з правилами введення функцій, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Кутовий коефіцієнт прямий

Нагадаємо, що графіком лінійної функції (y=kx+b) є пряма. Число \ (k = tg \ alpha \) називають кутовим коефіцієнтом прямої, а кут \(\alpha \) - кутом між цією прямою та віссю Ox

Якщо \(k>0\), то \(0 Якщо \(kРівняння щодо графіки функції)

Якщо точка М(а; f(a)) належить графіку функції у = f(x) і якщо в цій точці до графіка функції можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то з геометричного сенсу похідної випливає, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f (a). Далі ми виробимо алгоритм складання рівняння щодо графіку будь-якої функції.

Нехай дані функція у = f(x) і точка М(а; f(a)) на графіку цієї функції; нехай відомо, що існує f"(a). Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функції в заданій точці. Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд y = kx + b, тому завдання полягає у знаходженні значень коефіцієнтів k та b.

З кутовим коефіцієнтом k все зрозуміло: відомо, що k = f"(a). Для обчислення значення b скористаємося тим, що пряма пряма проходить через точку М(а; f(a)). Це означає, що якщо підставити координати точки М в рівняння прямий, отримаємо правильну рівність: \(f(a)=ka+b \), тобто \(b = f(a) - ka \).

Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів k і b рівняння прямої:

Нами отримано рівняння дотичної до графіка функції\(y = f(x) \) у точці \(x=a \).

Алгоритм знаходження рівняння щодо графіка функції \(y=f(x) \)
1. Позначити абсцис точки торкання буквою \(a \)
2. Обчислити \(f(a) \)
3. Знайти \(f"(x) \) та обчислити \(f"(a) \)
4. Підставити знайдені числа \(a, f(a), f"(a) \) у формулу \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)