Рівняння пуассона у сферичних координатах. Рівняння пуассона та математична постановка задач електростатики

Рівняння Лапласа та Пуассона

Рівняння

Якщо ввести оператор званий оператором Лапласа, то рівняння (1.110) та (1.111) запишуться відповідно

та .

До дослідження рівнянь Лапласа та Пуассона наводить розгляд завдань про стаціонарний процес: це завдання гідродинаміки, дифузії, фільтрації, розподілу температури, електростатики та ін.

Ці рівняння відносяться до рівнянь еліптичного типу.

Ті завдання, які призводять до рівнянь, що містять час, називаються динамічнимиабо нестаціонарнимизадачами математичної фізики; задачі, що призводять до рівнянь, що не містять час, називаються стаціонарнимиабо статичними.

Про постановку завдання математичної фізики

І її коректності

Як було показано, рівняння математичної фізики мають безліч рішень, що залежить від двох довільних функцій (мова йде про рівняння другого порядку для функції двох змінних). Для того, щоб з безлічі рішень виділити певний процес, що характеризує процес, необхідно на потрібну функцію накласти додаткові умови, які диктуються фізичними міркуваннями. Тут можна провести аналогію зі звичайними диференціальними рівняннями, коли виділення із загального рішення приватного, що задовольняє деяким додатковим умовам, знаходилися за цими умовами довільні постійні. Такими умовами рівнянь у приватних похідних є, найчастіше, початкові і граничні умови. Граничні умови– це умови, задані межі аналізованого середовища; початкові умови- Умови, що відносяться до якогось моменту часу, з якого починається вивчення даного фізичного явища. Додаткові умови,

як і саме диференціальне рівняння, повинні вводитися з урахуванням фізичних міркувань, що з самим процесом. Разом про те додаткові умови мають бути такими, щоб забезпечити виділення з безлічі рішень єдиного рішення. Число граничних та початкових умов визначається типом рівняння, а їх вид – заданим вихідним станом на межі об'єкта та зовнішнього середовища. Для рівнянь, що ми розглядаємо, число початкових умов дорівнює порядку старшої похідної за часом, що входить до рівняння, а число граничних умов – порядку старшої похідної за координатою.

Сукупність диференціального рівняння та додаткових умов є математичним формулюванням фізичного завдання і називається завданням математичної фізики.

Фізичне завдання вирішується за схемою:

1) реальний фізичний процес (явище, об'єкт) замінюється деяким ідеальним процесом (явленням, об'єктом) отже останній значно простіше першого і водночас зберігає його основні риси (ідеалізація процесу);

2) вибирається величина (функція), що характеризує процес, та використовуються закони, за якими він відбувається;

3) на підставі обраних законів виводиться диференціальне рівняння для величини, що характеризує процес;

4) виводяться додаткові умови – початкові та граничні – також відповідно до обраних законів.

Отже, завдання математичної фізики полягає у пошуку рішень рівнянь у приватних похідних, які задовольняють деяким додатковим умовам, скажімо, граничним і початковим.

Завдання математичної фізики вважається поставленою коректно, якщо розв'язання задачі, що задовольняє всім її умовам, існує єдино і стійко; останнє означає, що малі зміни будь-якого з даних завдання викликають малу зміну рішення. Вимога стійкості потрібна з наступної причини. У даних будь-якої конкретної задачі, особливо якщо вони отримані з досвіду, завжди міститься деяка похибка, і потрібно, щоб мала похибка у вихідних даних призводила до малої неточності у вирішенні. Ця вимога виражає фізичну визначеність поставленого завдання.

Приклади

ПРИКЛАД 2.36. З'ясувати, чи наведені нижче рівності диференціальними рівняннями у приватних похідних:

Рішення.Перетворимо рівняння а)

Дане рівняння є рівнянням у приватних похідних, оскільки до нього входять приватні похідні другого порядку

і .

Рівняння б) не є рівнянням у приватних похідних, тому що до нього входить лише функція . Дійсно, розкриваючи , отримаємо

ПРИКЛАД 2.37. З'ясувати, які з наступних рівнянь є лінійними (однорідними чи неоднорідними) та які нелінійними:

Рішення.Порівнюючи дані рівняння з формою (1.4), укладаємо, що

Рівняння а) є неоднорідне лінійне рівняння другого порядку, котрим ;

Рівняння б) нелінійне, оскільки воно є лінійним щодо старших приватних похідних;

Рівняння є однорідним лінійним рівнянням третього порядку.

ПРИКЛАД 2.38. Вирішити рівняння .

Рішення.Ясно, що функція не залежить від змінної , але може бути будь-якою функцією від : , Оскільки, диференціюючи по , отримаємо нуль, а це означає, що ця рівність виконується. Таким чином, рішення рівняння містить одну довільну функцію.

ПРИКЛАД 2.39. Вирішити рівняння , де задана функція.

Рішення.Інтегруючи по , відновимо потрібну функцію

Де довільна функція.

Отже, рішення рівнянь у прикладах 2.38 та 2.39 містять одну довільну функцію . Таке рішення називається загальним. На відміну від загального рішення звичайного диференціального рівняння першого порядку, яке містить одну довільну постійну, рішення рівняння у приватних похідних першого порядку містить одну довільну функцію.

ПРИКЛАД 2.40. Вирішити рівняння .

Рішення.Перепишемо рівняння так: . Припустимо, після чого дане рівняння набуває вигляду. Як було встановлено у прикладі 2.38, загальне рішення останнього рівняння має вигляд: де довільна функція. Вихідне рівняння набуде вигляду: . Проінтегрувавши отриманий результат по , отримаємо

де і довільні функції, що двічі диференціюються.

Легко перевірити, що знайдена функція задовольняє це рівняння.

Отже, рішення рівняння у приватних похідних другого порядку містить дві довільні функції. Таке рішення називають загальним.

Наведені як приклади рівняння дають підстави зробити висновок: загальне рішення рівняння у приватних похідних першого порядку містить одну довільну функцію, а загальне рішення рівняння другого порядку – дві довільні функції. У цьому полягає докорінна відмінність загального рішення рівняння у приватних похідних від загального рішення звичайного диференціального рівняння, яке містить одну і дві довільні постійні.

Надалі буде з'ясовано, які додаткові умови треба поставити, щоб з їхньою допомогою можна було виділити приватне рішення, тобто функцію, яка задовольняє як рівняння, так і додаткові умови.

Рівняння Пуассона та Лапласа є основними рівняннями електростатики. Вони випливають із теореми Гауса в диференційній формі. Дійсно, відомо, що Е = - grad j. Водночас згідно з теоремою Гауса

Підставимо у (11.22) E з (11.7). Отримаємо

.

Винесемо мінус за знак дивергенції

.

Замість писати gradj,запишемо його еквівалент Ñj. Замість div напишемо Ñ. Тоді

Рівняння (11.27) називається рівнянням Пуассона. Приватний вид рівняння Пуассона, коли ρ свб = 0 називається рівнянням Лапласа. Рівняння Лапласа запишеться так:

Оператор називають оператором Лапласа або лапласіаном і іноді позначають ще символом D. Тому можна зустріти іноді таку форму запису рівняння Пуассона:

Розкриємо в декартовій системі координат. З цією метою добуток двох множників Ñ і запишемо у розгорнутому вигляді

Зробимо почленное множення і отримаємо

.

Таким чином, рівняння Пуассона в системі декартової координат запишеться наступним чином:

. (11.29)

Рівняння Лапласа в системі декартової координат

. (11.30)

Наведемо без виведення виразу Ñ 2 j в циліндричній системі координат

, (11.31)

у сферичній системі координат (11.32)

Рівняння Пуассона дає зв'язок між приватними похідними другого порядку від jу будь-якій точці поля та об'ємною щільністю вільних зарядів у цій точці поля. У той же час потенціал jв будь-якій точці поля залежить, зрозуміло, від усіх зарядів, що створюють поле, а не тільки від величини вільного заряду, що знаходиться в цій точці.

Рівняння Лапласа (1780) спочатку було застосовано для опису потенційних полів небесної механіки і згодом було використано для опису електричних полів. Рівняння Пуассона застосовується до дослідження потенційних полів (електричних та магнітних) з 1820 року.

Розглянемо питання, як у загальному вигляді може бути записано рішення рівняння Пуассона. Нехай обсягом Vє об'ємні (r), поверхневі (s) та лінійні (t) заряди. Ці заряди представимо у вигляді сукупностей точкових зарядів rdV, sds, tdl; dV- Елемент об'єму, ds-Елемент зарядженої поверхні, dl- Елемент довжини зарядженої осі. Складова потенціалу djв деякій точці простору, віддаленої від rdVна відстань R, відповідно до формули (11.20) дорівнює

Складові потенціалу від поверхневого та лінійного зарядів, розглядаючи їх як точкові, визначимо аналогічним чином:

Повне значення jвизначиться як сума (інтеграл) складових потенціалу від усіх зарядів у полі:

. (11.33)

У формулі (11.33) r,sі tє функції радіусу R. Практично формулою (11.33) користуються рідко, оскільки розподіл sпо поверхні, tпо довжині та rза обсягом складним чином залежить від конфігурації електродів і, зазвичай, перед проведенням розрахунку невідомо. Іншими словами, невідомо, як r, sі tзалежать від радіусу R.

Граничні умови

Під граничними умовами розуміють умови, яким підпорядковується поле межі розділу середовищ із різними електричними властивостями. При вивченні розділу «перехідні процеси» винятково велике значення мало питання про початкові умови і закони комутації. Початкові умови та закони комутації дозволяли визначити постійні інтегрування під час вирішення завдань класичним методом. У класичному методі вони використовувалися у явному вигляді, в операторному методі – у прихованому. Без використання їх не можна вирішити жодного завдання на перехідні процеси.

Можна провести паралель між роллю граничних умов в електричному (і в будь-якому іншому) полі та роллю початкових умов та законів комутації при перехідних процесах. При інтегруванні рівняння Лапласа (або Пуассона) до рішення увійдуть постійні інтегрування. Їх і визначають, з граничних умов. Перш ніж перейти до детального обговорення граничних умов, розглянемо питання про поле всередині провідного тіла в умовах електростатики.

Я хотів би з пізнавальною метою розповісти про рівняння, які застосовувалися при виведенні рівняння Дебая-Хюккеля. Це рівняння Пуассона та розподіл Больцмана.

Рівняння Пуассона

Ми з'ясували, що плазма квазінейтральна в рівноважному стані і що під дією електричного поля від зарядів, що рухаються, заряджені частинки зміщуються на дебаївську довжину і поле в межах цієї довжини згасає. В електростатиці взаємодія заряджених частинок описується кулонівським рівнянням:

Де – величини точкових зарядів, що взаємодіють, – квадрат відстані між зарядами. Коефіцієнт k є константою. Якщо ми використовуємо систему в електростатичних одиницях СГС, що позначаються СГСЕq, то k = 1. Якщо використовується система СІ, то де - діелектрична проникність середовища, в якому розташовані заряди, - електрична постійна, рівна 8,86 ∙ .

У фізиці безпосередньо силою не користуються, а вводять поняття електростатичного поля розподілених зарядів та вимірюють поле завбільшки напруженості електричного поля. Для цього в кожну точку поля подумки поміщають одиничний пробний заряд і вимірюють силу, з якою поле зарядів діє на пробний заряд:

Звідси випливає глибоке значення різниці потенціалів. Якщо зафіксувати точку Р1 і переміщувати заряд змінну точку Р2, то робота залежить тільки від положення другої точки Р2. У такий спосіб ми можемо запровадити поняття потенціалу. Потенціал - це силова функція, що показує яку необхідно виконати роботу полю, щоб перемістити заряд з нескінченності в цю точку P2, де умовно приймають потенціал у нескінченності рівним нулю.

Щоб зрозуміти рівняння Пуассона, необхідно розумітися на «особливій» векторній математиці. Я коротко розповім про такі поняття як градієнт поля та дивергенції (маю на увазі, що читач знайомий з математичним аналізом)
Нехай f(x,y,z) є деякою безперервною функцією координат, що диференціюється. Знаючи її похідні в кожній точці простору можна побудувати вектор, компоненти якого x, y, z рівні відповідним приватним похідним:

Тепер повернемося до електростатичного поля E. З одного боку зміна потенціалу при переході з однієї точки до іншої має такий вигляд:

Перш ніж показати, як виходить рівняння Пуассона, важливо знати закон Гауса та теорему Гауса. Уявімо сферу, всередині якої знаходиться заряд q. Заряд створює навколо себе електричне поле напруженості E. Візьмемо потік вектора E

Теорема Гауса (повна назва теорема Гауса-Остроградського) є суто математичною теоремою про дивергенцію. Перепишемо повний потік вектора F наступним чином:

Ми розберемо важливий розподіл з математичної статистики - розподіл Больцмана.

Теги:

• фізика
• електростатики

ВИЗНАЧЕННЯ

Описує адіабатний процес, що протікає в . Адіабатним називають такий процес, при якому відсутній теплообмін між аналізованою системою та навколишнім середовищем: .

Рівняння Пуассона має вигляд:

Тут – обсяг, зайнятий газом, – його , а величина називається показником адіабати.

Показник адіабати у рівнянні Пуассона

У практичних розрахунках зручно пам'ятати, що з ідеального газу показник адіабати дорівнює , для двоатомного – , а триматомного – .

Як же бути з реальними газами, коли важливу роль грають сили взаємодії між молекулами? В цьому випадку показник адіабати для кожного газу, що досліджується, можна отримати експериментально. Один із таких методів був запропонований у 1819 році Клеманом та Дезормом. Ми наповнюємо балон холодним газом, доки тиск у ньому не досягне. Потім відкриваємо кран, газ починає адіабатично розширюватися, а тиск у балоні падає до атмосферного. Після того, як газ ізохорно прогріється до температури навколишнього середовища, тиск у балоні підвищиться до . Тоді показник адіабати можна розрахувати за формулою:

Показник адіабати завжди більший за 1, тому при адіабатичному стисканні газу – як ідеального, так і реального – до меншого обсягу температура газу завжди зростає, а при розширенні газ охолоджується. Ця властивість адіабатичного процесу, звана пневматичним огнивом, застосовується в дизельних двигунах, де горюча суміш стискається в циліндрі і запалюється від високої температури. Згадаймо перший закон термодинаміки: , де - , а А - виконувана над нею робота. Оскільки робота, що здійснюється газом, йде тільки на зміну його внутрішньої енергії - а значить, температури. З рівняння Пуассон можна отримати формулу для розрахунку роботи газу в адіабатному процесі:

Тут n – кількість газу на молях, R – універсальна газова стала, Т – абсолютна температура газу.

p align="justify"> Рівняння Пуассона для адіабатичного процесу застосовується не тільки при розрахунках двигунів внутрішнього згоряння, але і в проектуванні холодильних машин.

Варто пам'ятати, що рівняння Пуассона точно описує лише рівноважний адіабатний процес, що складається з станів рівноваги, що безперервно змінюють один одного. Якщо ж ми насправді відкриємо кран у балоні, щоб газ адіабатично розширився, виникне нестаціонарний перехідний процес із завихреннями газу, які згаснуть через макроскопічне тертя.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2