Рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва – Клапейрона). Ідеальний газ
Кожен школяр, який навчається в десятому класі, на одному з уроків фізики вивчає закон Клапейрона-Менделєєва, його формулу, формулювання, навчається застосуванню під час вирішення завдань. У технічних університетах ця тема теж входить у курс лекцій та практичних робіт, причому у кількох дисциплінах, а не лише на фізиці. Закон Клапейрона-Менделєєва активно використовується в термодинаміці при складанні рівнянь стану ідеального газу.
Термодинаміка, термодинамічні стани та процеси
Термодинаміка є розділ фізики, який присвячений вивченню загальних властивостей тіл і теплових явищ у цих тілах без урахування їх молекулярної будови. Тиск, об'єм та температура є основними величинами, що враховуються при описі теплових процесів у тілах. Термодинамічний процес називається зміна стану системи, тобто зміна її основних величин (тиск, обсяг, температура). Залежно від цього, чи відбуваються зміни основних величин, системи бувають рівноважними і неравновесными. Процеси теплові (термодинамічні) можна класифікувати. Тобто, якщо система переходить з одного рівноважного стану в інший, то такі процеси називаються відповідно рівноважними. Нерівноважні процеси, своєю чергою, характеризуються переходами нерівноважних станів, тобто основні величини зазнають змін. Однак можна їх (процеси) розділити на оборотні (можливий зворотний перехід через ті ж стани) та незворотні. Усі стани системи можна описати певними рівняннями. Для спрощення розрахунків у термодинаміці вводиться таке поняття, як ідеальний газ - абстракція, яка характеризується відсутністю взаємодії на відстані між молекулами, розмірами яких можна знехтувати через їх малий розмір. Основні газові закони та рівняння Менделєєва-Клапейрона тісно взаємопов'язані – всі закони випливають із рівняння. Вони описують ізопроцеси в системах, тобто такі процеси, в результаті яких один з основних параметрів залишається незмінним (ізохорний процес – не змінюється об'єм, ізотермічний – постійна температура, ізобарний – відбувається зміна температури та об'єму при сталості тиску). Закон Клапейрона-Менделєєва варто розібрати докладніше.
Рівняння стану ідеального газу
Закон Клапейрона-Менделєєва виражає залежність між тиском, обсягом, температурою, кількістю речовини саме ідеального газу. Можна також виразити залежність тільки між основними параметрами, тобто абсолютною температурою, молярним об'ємом і тиском. Суть не змінюється, оскільки молярний обсяг дорівнює відношенню обсягу кількості речовини.
Закон Менделєєва-Клапейрона: формула
Рівняння стану ідеального газу записується у вигляді твору тиску на молярний об'єм, прирівняний до твору універсальної газової постійної та абсолютної температури. Універсальна газова стала - коефіцієнт пропорційності, константа (постійна величина), що виражає роботу розширення молячи в процесі збільшення значення температури на 1 Кельвін в умовах ізобарного процесу. Її величина становить (приблизно) 8,314 Дж/(моль*К). Якщо виразити молярний об'єм, то вийде рівняння виду: р*V=(m/М)*R*Т. Або можна привести до вигляду: р = nkT, де n – концентрація атомів, до – постійна Больцмана (R/N А).
Розв'язання задач
Закон Менделєєва-Клапейрона, вирішення завдань за його допомогою значно полегшують розрахункову частину під час проектування обладнання. Закон при вирішенні завдань застосовується у двох випадках: задано один стан газу та його маса та за невідомості величини маси газу відомий факт її зміни. Необхідно враховувати, що у разі багатокомпонентних систем (суміші газів) записується рівняння стану кожного компонента, т. е. кожного газу окремо. Для встановлення зв'язку між тиском суміші та тисками компонентів використовується закон Дальтона. Також варто пам'ятати, що для кожного стану газу описується окремим рівнянням, далі вирішується вже отримана система рівнянь. І, нарешті, потрібно завжди пам'ятати, що у разі рівняння стану ідеального газу температура є абсолютною величиною, її значення обов'язково береться в Кельвінах. Якщо в умовах завдання температура вимірюється в градусах Цельсія або в будь-яких інших, необхідно провести переведення в градуси Кельвіна.
Анотація:традиційний виклад теми, доповнений демонстрацією комп'ютерної моделі.
З трьох агрегатних станів речовини найпростішим є газоподібний стан. У газах сили, що діють між молекулами, малі і за певних умов ними можна знехтувати.
Газ називається ідеальним , якщо:
Можна знехтувати розмірами молекул, тобто. вважатимуться молекули матеріальними точками;
Можна знехтувати силами взаємодії між молекулами (потенційна енергія взаємодії молекул набагато менша від їх кінетичної енергії);
Удари молекул одна з одною і зі стінками судини вважатимуться абсолютно пружними.
Реальні гази близькі за властивостями до ідеального при:
Умови, близькі до нормальних умов (t = 0 0 C, p = 1.03 · 10 5 Па);
За високих температур.
Закони, яким підпорядковується поведінка ідеальних газів, були відкриті досвідченим шляхом досить давно. Так, закон Бойля – Маріотта встановлено ще у 17 столітті. Дамо формулювання цих законів.
Закон Бойля – Маріотта.Нехай газ перебуває в умовах, коли його температура підтримується постійною (такі умови називаються ізотермічними ).Тоді для даної маси газу добуток тиску на обсяг є величина постійна:
Цю формулу називають рівнянням ізотерми. Графічно залежність p від V для різних температур зображено малюнку.
Властивість тіла змінювати тиск при зміні об'єму називається стисливістю. Якщо зміна обсягу відбувається при T = const, то стисливість характеризується ізотермічним коефіцієнтом стисливостіякий визначається як відносна зміна обсягу, що викликає зміну тиску на одиницю.
Для ідеального газу легко визначити його значення. З рівняння ізотерми отримуємо:
Знак мінус вказує на те, що зі збільшенням обсягу тиск зменшується. Т.ч., ізотермічний коефіцієнт стисливості ідеального газу дорівнює зворотній величині його тиску. Зі зростанням тиску він зменшується, т.к. що більший тиск, то менше газу можливостей для подальшого стиснення.
Закон Гей – Люссака.Нехай газ перебуває в умовах, коли постійним підтримується його тиск (такі умови називаються ізобаричними ). Їх можна здійснити, якщо помістити газ у циліндр, закритий рухомим поршнем. Тоді зміна температури газу призведе до переміщення поршня та зміни обсягу. Тиск газу залишиться постійним. При цьому для даної маси газу його обсяг буде пропорційний температурі:
де V 0 - об'єм при температурі t = 0 0 C - коефіцієнт об'ємного розширеннягазів. Його можна уявити у вигляді, аналогічному коефіцієнту стисливості:
Графічно залежність V від T до різних тисків зображено малюнку.
Перейшовши від температури в шкалі Цельсія до абсолютної температури, закон Гей-Люссака можна записати у вигляді:
Закон Шарля.Якщо газ перебуває в умовах, коли постійним залишається його обсяг ( ізохоричні умови), то для даної маси газу тиск буде пропорційно температурі:
де р 0 - Тиск при температурі t = 0 0 C, - коефіцієнт тиску. Він показує відносне збільшення тиску газу при нагріванні його на 10:
Закон Шарля також можна записати у вигляді:
Закон Авогадро:один моль будь-якого ідеального газу при однакових температурі та тиску займає однаковий обсяг. За нормальних умов (t = 0 0 C, p = 1.03 · 10 5 Па) цей обсяг дорівнює м -3 / моль.
Число частинок, що містяться в 1 молі різних речовин, зв. постійна Авогадро :
Легко обчислити число n 0 частинок в 1 м 3 за нормальних умов:
Це число називається числом Лошмідта.
Закон Дальтона:тиск суміші ідеальних газів дорівнює сумі парціальних тисків входять до неї газів, тобто.
де - парціальний тиск- тиску, які б чинили компоненти суміші, якби кожен із них займав об'єм, рівний обсягу суміші при тій же температурі.
Рівняння Клапейрона – Менделєєва.Із законів ідеального газу можна отримати рівняння стану , що зв'язує Т, р та V ідеального газу в стані рівноваги. Це рівняння вперше було отримано французьким фізиком та інженером Б. Клапейроном та російським ученими Д.І. Менделєєвим, тому носить їхнє ім'я.
Нехай деяка маса газу займає об'єм V 1 має тиск p 1 і знаходиться при температурі Т 1 . Ця ж маса газу в іншому стані характеризується параметрами V 2 p 2 Т 2 (див. малюнок). Перехід із стану 1 у стан 2 здійснюється у вигляді двох процесів: ізотермічного (1 - 1") та ізохоричного (1" - 2).
Для даних процесів можна записати закони Бойля – Маріотта та Гей – Люссака:
Виключивши з рівнянь p 1 ", отримаємо
Так як стани 1 і 2 були обрані довільно, останнє рівняння можна записати у вигляді:
Це рівняння називається рівнянням Клапейрона , В якому - постійна, різна для різних мас газів.
Менделєєв об'єднав рівняння Клапейрона із законом Авогадро. Відповідно до закону Авогадро, 1 моль будь-якого ідеального газу при однакових p і T займає один і той же обсяг V m , тому постійна буде однаковою для всіх газів. Ця загальна для всіх газів постійна позначається R і називається універсальної газової постійної. Тоді
Це рівняння і є рівнянням стану ідеального газу , яке також має назву рівняння Клапейрона - Менделєєва .
Числове значення універсальної газової постійної можна визначити, підставивши в рівняння Клапейрона - Менделєєва значення p, T і V m за нормальних умов:
Рівняння Клапейрона – Менделєєва можна записати для будь-якої маси газу. Для цього пригадаємо, що об'єм газу маси m пов'язаний з об'ємом одного моля формулою V=(m/M)V m де М - молярна маса газу. Тоді рівняння Клапейрона - Менделєєва для газу масою m матиме вигляд:
де - Число молей.
Часто рівняння стану ідеального газу записують через постійну Больцмана :
Виходячи з цього, рівняння стану можна уявити як
де – концентрація молекул. З останнього рівняння видно, що тиск ідеального газу прямо пропорційно його температурі та концентрації молекул.
Невелика демонстраціязаконів ідеального газу Після натискання кнопки "Почнемо"Ви побачите коментарі, що веде до того, що відбувається на екрані (чорний колір) і опис дій комп'ютера після натискання Вами кнопки "Далі"(коричневий колір). Коли комп'ютер "зайнятий" (тобто йде досвід), ця кнопка не активна. Переходьте до наступного кадру лише осмисливши результат, отриманий у поточному досвіді. (Якщо Ваше сприйняття не збігається із коментарями ведучого, напишіть!)
Ви можете переконатися у справедливості законів ідеального газу на наявній
Як зазначалося, стан деякої маси газу визначається трьома термодинамическими параметрами: тиском р, обсягом Vта температурою Т. Між цими параметрами існує певний зв'язок, що називається рівнянням стану, який у загальному вигляді дається виразом.
f (p, V, T) = 0 ,
де кожна із змінних є функцією двох інших.
Французький фізик та інженер Б. Клапейрон (1799-1864) вивів рівняння стану ідеального газу, об'єднавши закони Бойля – Маріотта та Гей-Люссака. Нехай деяка маса газу займає обсяг V 1 , має тиск p 1 і знаходиться при температурі Т 1 . Ця ж маса газу в іншому довільному стані характеризується параметрами p 2 , V 2, Т2 (рис.63). Перехід із стану 1 у стан 2 здійснюється у вигляді двох процесів:
1) ізотермічного (ізотерма 1 - 1/),
2) ізохорного (ізохора 1/- 2).
Відповідно до законів Бойля - Маріотта (41.1) та Гей-Люссака (41.5) запишемо:
(42.1)
(42.2)
Виключивши з рівнянь (42.1) та (42.2) , отримаємо
Так як стани 1 і 2 були обрані довільно, то для цієї маси газу
.
(42.3)
Вираз (42.3) є рівнянням Клапейрона, в якому У- Постійна газова, різна для різних газів.
Російський вчений Д. І. Менделєєв (1834-1907) об'єднав рівняння Клапейрона із законом Авогадро, віднісши рівняння (42.3) до одного молю, використавши молярний об'єм V m.Відповідно до закону Авогадро, за однакових рі Тмолі всіх газів займають однаковий молярний об'єм V mтому постійна Убуде однаковою для всіх газів. Ця загальна для всіх газів постійна позначається Rі називається молярної газової постійної. Рівнянню
(42.4)
задовольняє лише ідеальний газ, і воно є рівнянням стану ідеального газу, званим також рівнянням Клапейрона - Менделєєва.
Числове значення молярної газової постійної визначимо з формули (42.4), вважаючи, що моль газу знаходиться за нормальних умов ( = 1,013×10 5 Па, = 273,15 K, = 22,41×10 -3 м 3 /моль): R= 8,31 Дж/(моль×К).
Від рівняння (42.4) для моляться газу можна перейти до рівняння Клапейрона - Менделєєва для довільної маси газу. Якщо при деяких заданих тиску та температурі один моль газу займає молярний об'єм V m, то за тих же умов маса mгазу займе обсяг V= (m/M) V m, де М - молярна маса(Маса одного молячи речовини). Одиниця молярної маси – кілограм на моль (кг/моль). Рівняння Клапейрона – Менделєєва для маси mгазу
(42.5)
де = m/M- кількість речовини.
Часто користуються дещо іншою формою рівняння стану ідеального газу, вводячи постійну Больцмана: = 1,38×10 -23 Дж/К.
Виходячи з цього, рівняння стану (42.4) запишемо у вигляді
де - Концентрація молекул (число молекул в одиниці об'єму). Таким чином, із рівняння
слід, що тиск ідеального газу за даної температури прямо пропорційно концентрації його молекул (або щільності газу). За однакових температур і тиску всі гази містять в одиниці об'єму однакове число молекул. Число молекул, що містяться в 1 м 3 газу за нормальних умов, називається числом Лошмідта(І. Лошмідт (1821-1895) - австрійський хімік та фізик): 
2,68×10 25 м-3.
Беремо формулу і підставляємо до неї 
. Отримуємо:
p= nkT.
Згадаймо тепер, що A , де ν - Число молей газу:
,
pV= νRT.(3)
Співвідношення (3) називається рівнянням Менделєєва - Клапейрона. Воно дає взаємозв'язок трьох найважливіших макроскопічних параметрів, що описують стан ідеального газу – тиску, об'єму та температури. Тому рівняння Менделєєва – Клапейрона називається ще рівнянням стану ідеального газу.
Враховуючи що 
, де m- маса газу, отримаємо іншу форму рівняння Менделєєва - Клапейрона:
(4)
Є ще один корисний варіант цього рівняння. Поділимо обидві частини на V:
Але 
- Щільність газу. Звідси
(5)
У завданнях із фізики активно використовуються всі три форми запису (3)-(5).
Ізопроцеси
Протягом цього розділу ми будемо дотримуватись наступного припущення: маса та хімічний склад газу залишаються незмінними. Іншими словами, ми вважаємо, що:
m= const, тобто немає витоку газу з судини або, навпаки, надходження газу в посудину;
µ = const, тобто частки газу не зазнають будь-яких змін (скажімо, відсутня дисоціація – розпад молекул на атоми).
Ці дві умови виконуються в дуже багатьох фізично цікавих ситуаціях (наприклад, у простих моделях теплових двигунів) і тому цілком заслуговують на окремий розгляд.
Якщо маса газу та його молярна маса фіксовані, то стан газу визначається трьомамакроскопічними параметрами: тиском, обсягомі температурою. Ці параметри пов'язані один з одним рівнянням стану (рівнянням Менделєєва – Клапейрона).
Термодинамічний процес
Термодинамічний процес(або просто процес) - це зміна стану газу з часом. У ході термодинамічного процесу змінюються значення макроскопічних параметрів - тиску, об'єму та температури.
Особливий інтерес представляють ізопроцеси- термодинамічні процеси, у яких значення однієї з макроскопічних параметрів залишається незмінним. По черзі фіксуючи кожен із трьох параметрів, ми отримаємо три види ізопроцесів.
1. Ізотермічний процесйде при постійній температурі газу: T= Const.
2. Ізобарний процесйде при постійному тиску газу: p= Const.
3. Ізохорний процесйде при постійному обсязі газу: V= Const.
Ізопроцеси описуються дуже простими законами Бойля – Маріотта, Гей-Люссака та Шарля. Давайте перейдемо до вивчення.
Ізотермічний процес
При ізотермічному процесі температура газу є постійною. У ході процесу змінюються лише тиск газу та його обсяг.
Встановимо зв'язок між тиском pта обсягом Vгазу в ізотермічному процесі Нехай температура газу дорівнює T. Розглянемо два довільні стани газу: в одному з них значення макроскопічних параметрів рівні p 1 ,V 1 ,T, а у другому - p 2 ,V 2 ,T. Ці значення пов'язані рівнянням Менделєєва – Клапейрона:
Як ми сказали від початку, маса газу mта його молярна маса µ передбачаються незмінними. Тому праві частини виписаних рівнянь рівні. Отже, рівні та ліві частини: p 1V 1 = p 2V 2.
Оскільки два стани газу були обрані довільно, ми можемо зробити висновок, що в ході ізотермічного процесу тиск тиску газу на його обсяг залишається постійним:
pV= const .
Це твердження називається законом Бойля - Маріотта. Записавши закон Бойля - Маріотта у вигляді
p= ,
можна дати і таке формулювання: в ізотермічному процесі тиск газу обернено пропорційно його обсягу. Якщо, наприклад, при ізотермічному розширенні газу його обсяг збільшується втричі, то тиск газу при цьому втричі зменшується.
Як пояснити зворотну залежність тиску від обсягу з фізичного погляду? При постійній температурі залишається незмінною середня кінетична енергія молекул газу, тобто, просто кажучи, не змінюється сила ударів молекул об стінки судини. При збільшенні обсягу концентрація молекул зменшується і відповідно зменшується число ударів молекул в одиницю часу на одиницю площі стінки - тиск газу падає. Навпаки, при зменшенні обсягу концентрація молекул зростає, їх удари сипляться частіше і тиск газу збільшується.
Як зазначалося, стан деякої маси газу визначається трьома термодинамическими параметрами: тиском р,обсягом Vта температурою Т.Між цими параметрами існує певний зв'язок, що називається рівнянням стану, який у загальному вигляді дається виразом.
де кожна із змінних є функцією двох інших.
Французький фізик та інженер Б. Клапейрон (1799-1864) вивів рівняння стану ідеального газу, об'єднавши закони Бойля – Маріотта та Гей-Люссака. Нехай деяка маса газу займає об'єм V 1 , має тиск p 1 і знаходиться при температурі T 1 . Ця ж маса газу в іншому довільному стані характеризується параметрами р2, V2, Т2 (рис. 63). Перехід із стану 1 у стан 2 здійснюється у вигляді двох процесів: 1) ізотермічного (ізотерма 1 - 1¢, 2) ізохорного (ізохора 1¢ - 2).
Відповідно до законів Бойля - Маріотта (41.1) та Гей-Люссака (41.5) запишемо:
(42.1) (42.2)
Виключивши з рівнянь (42.1) та (42.2) p¢ 1 , отримаємо
Так як стани 1 і 2 були обрані довільно, то для цієї маси газу величина pV/Tзалишається незмінною, тобто.
Вираз (42.3) є рівнянням Клапейрона, у якому У- газова постійна, різна для різних газів.
Російський вчений Д. І. Менделєєв (1834-1907) об'єднав рівняння Клапейрона із законом Авогадро, віднісши рівняння (42.3) до одного молю, використавши молярний об'єм V m.Відповідно до закону Авогадро, за однакових рі Тмолі всіх газів займають однаковий молярний об'єм V m ,тому постійна Bбуде однаковою всім газів.Ця загальна для всіх газів постійна позначається Rі називається молярною газовою постійною. Рівнянню
(42.4)
задовольняє лише ідеальний газ, і є рівнянням стану ідеального газу, званим також рівнянням Клапейрона - Менделєєва.
Числове значення молярної газової постійної визначимо з формули (42.4), вважаючи, що моль газу знаходиться за нормальних умов (Р 0 = 1,013×10 5 Па, T 0 = 273,15 К, V m = 22,41×10 -3 м е /моль): R = 8,31 Дж/(моль×К).
Від рівняння (42.4) для моляться газу можна перейти до рівняння Клапейрона - Менделєєва для довільної маси газу. Якщо при деяких заданих тиску та температурі один моль газу займає молярний об'єм V m ,то за тих же умов маса m газу займе об'єм V= (т/М)× V m ,де М- молярна маса (маса одного молячи речовини). Одиниця молярної маси – кілограм на моль (кг/моль). Рівняння Клапейрона – Менделєєва для маси тгазу
(42.5)
де v=m/M- кількість речовини.
Часто користуються дещо іншою формою рівняння стану ідеального газу, запроваджуючи постійну Больцмана:
Виходячи з цього, рівняння стану (42.4) запишемо у вигляді
де N A / V m = n-концентрація молекул (число молекул в одиниці об'єму). Таким чином, із рівняння
(42.6)
слід, що тиск ідеального газу за даної температури прямо пропорційно концентрації його молекул (або щільності газу). За однакових температур і тиску всі гази містять в одиниці об'єму однакове число молекул. Число молекул, що містяться в 1 м 3 газу при нормальних умов,називається числом Лошмндта*:
Основне рівняння
Молекулярно-кінетична теорія
Ідеальних газів
Для виведення основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії розглянемо один атомний ідеальний газ. Припустимо, що молекули газу рухаються хаотично, число взаємних зіткнень між молекулами газу зневажливо мало в порівнянні з числом ударів об стінки судини, а зіткнення молекул зі стінками судини абсолютно пружні. Виділимо на стінці судини деякий елементарний майданчик D S(рис. 64) і обчислимо тиск, що чиниться на цей майданчик. При кожному зіткненні молекула, що рухається перпендикулярно до майданчика, передає їй імпульс m 0 v -(- т 0) = 2т 0 v,де m 0 – маса молекули, v – її швидкість. За час D tмайданчики D Sдосягнуто тільки ті молекули, які укладені в об'ємі циліндра з основою D Sта висотою vDt (рис. 64). Число цих молекул дорівнює nDSvDt (n-концентрація молекул).
Необхідно, однак, враховувати, що реально молекули рухаються до майданчика DS під різними кутами і мають різні швидкості, причому швидкість молекул при кожному зіткненні змінюється. Для спрощення розрахунків хаотичний рух молекул замінюють рухом вздовж трьох взаємно перпендикулярних напрямків, так що в будь-який момент часу вздовж кожного з них рухається 1/3 молекул, причому половина молекул - 1/6 - рухається вздовж даного напрямку в один бік, половина - у протилежний . Тоді число ударів молекул, що рухаються в заданому напрямку, про майданчик D Sбуде
l/6 nDSvDt . При зіткненні з майданчиком ці молекули передадуть їй імпульс
Тоді тиск газу, що чиниться їм на стінку судини,
Якщо газ в обсязі Vмістить Nмолекул, що рухаються зі швидкостями v 1 ,v 2 , ..., v n , то доцільно розглядати середню квадратичну швидкість
що характеризує всю сукупність молекул тазу. Рівняння (43.1) з урахуванням (43.2) набуде вигляду
Вираз (43.3) називається основним рівнянням молекулярно-кінентської теорії ідеальних газів. Точний розрахунок з урахуванням руху молекул у різних напрямках дає таку ж формулу.
(43.4) (43.5)
Враховуючи що n=N/V,отримаємо
де Е- Сумарна кінетична енергія поступального руху всіх молекул газу.
Оскільки маса газу m=Nm 0 ,то рівняння (43.4) можна переписати у вигляді
Для одного молячи газу т = М (М- молярна маса), тому
де F m – молярний об'єм. З іншого боку, за рівнянням Клапейрона - Менделєєва, pV m = RT.Таким чином,
(43.6)
Оскільки M = m 0 N A - маса однієї молекули, а N А - постійна Авогадро, то з рівняння (43.6) випливає, що
(43.7)
де k = R/N A - стала Больцмана. Звідси знайдемо, що за кімнатної температури молекули кисню мають середню квадратичну швидкість 480 м/с, водню - 1900 м/с. При температурі рідкого гелію ті самі швидкості будуть відповідно 40 і 160 м/с.
Середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули ідеального газу
(використовували формули (43.5) та (43.7)) пропорційна термодинамічній температурі і залежить тільки від неї. З цього рівняння випливає, що за Т=0
