Усунення невизначеності «одиниця ступеня нескінченність. Нескінченна нескінченність

Розкриття невизначеностей виду 0/0 або ∞/∞ та деяких інших невизначеностей, що виникають під час обчислення межівідносини двох нескінченно малих чи нескінченно великих функцій значно спрощується за допомогою правила Лопіталя (насправді двох правил та зауважень до них).

Суть правил Лопіталя полягає в тому, що у випадку, коли обчислення межі відносин двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дає невизначеності видів 0/0 або ∞/∞, межу відношення двох функцій можна замінити межею відношення їх похіднихі, таким чином, одержати певний результат.

Перейдемо до формулювань правил Лопіталя.

Правило Лопіталя для випадку межі двох нескінченно малих величин. Якщо функції f(x) та g(x aa, причому в цій околиці g"(x aрівні між собою і дорівнюють нулю

().

Правило Лопіталя для випадку межі двох нескінченно великих величин. Якщо функції f(x) та g(x) диференційовані в деякій околиці точки a, за винятком, можливо, самої точки a, причому в цій околиці g"(x)≠0 і якщо та якщо межі цих функцій при прагненні ікса до значення функції у точці aрівні між собою та рівні нескінченності

(),

то межа відношення цих функцій дорівнює межі відношення їх похідних

().

Іншими словами, для невизначеностей виду 0/0 або ∞/∞ межа відношення двох функцій дорівнює межі відношення їх похідних, якщо останній існує (кінцевий або нескінченний).

Зауваження.

1. Правила Лопіталя застосовні і тоді, коли функції f(x) та g(x) не визначені при x = a.

2. Якщо при обчисленні межі відношення похідних функцій f(x) та g(x) знову приходимо до невизначеності виду 0/0 або ∞/∞, то правила Лопіталя слід застосовувати багаторазово (мінімум двічі).

3. Правила Лопіталя застосовні і тоді, коли аргумент функцій (ікс) прагне не до кінцевого числа a, а до нескінченності ( x → ∞).

До невизначеності видів 0/0 та ∞/∞ можуть бути зведені і невизначеності інших видів.

Розкриття невизначеностей видів "нуль ділити на нуль" і "нескінченність ділити на нескінченність"

приклад 1.

x=2 призводить до невизначеності виду 0/0. Тому похідну кожної функції і отримуємо

У чисельнику обчислювали похідну многочлена, а знаменнику - похідну складної логарифмічної функції. Перед останнім знаком рівності обчислювали звичайний межа, підставляючи замість ікса двійку.

приклад 2.Обчислити межу відношення двох функцій, користуючись правилом Лопіталя:

Рішення. Підстановка у задану функцію значення x

приклад 3.Обчислити межу відношення двох функцій, користуючись правилом Лопіталя:

Рішення. Підстановка у задану функцію значення x=0 призводить до невизначеності виду 0/0. Тому обчислюємо похідні функцій у чисельнику та знаменнику та отримуємо:

приклад 4.Обчислити

Рішення. Підстановка в задану функцію значення ікса, що дорівнює плюсу нескінченності, призводить до невизначеності виду ∞/∞. Тому застосуємо правило Лопіталя:

Зауваження. Переходимо до прикладів, у яких правило Лопіталя доводиться застосовувати двічі, тобто приходити до межі відносин других похідних, оскільки межа відношення перших похідних є невизначеністю виду 0/0 або ∞/∞.

Застосувати правило Лопіталя самостійно, а потім переглянути рішення

Розкриття невизначеностей виду "нуль помножити на нескінченність"

приклад 12.Обчислити

.

Рішення. Отримуємо

У цьому прикладі використано тригонометричну тотожність.

Розкриття невизначеностей видів "нуль у ступені нуль", "нескінченність у ступені нуль" та "один у ступені нескінченність"

Невизначеності виду, або зазвичай наводяться до вигляду 0/0 або ∞/∞ за допомогою логарифмування функції виду

Щоб обчислити межу виразу, слід використовувати логарифмічну тотожність, окремим випадком якого є і властивість логарифму .

Використовуючи логарифмічну тотожність та властивість безперервності функції (для переходу за знак межі), межу слід обчислювати таким чином:

Окремо слід знаходити межу вираження у показнику ступеня та зводити eу знайдений ступінь.

приклад 13.

Рішення. Отримуємо

.

.

приклад 14.Обчислити, користуючись правилом Лопіталя

Рішення. Отримуємо

Обчислюємо межу вираження у показнику ступеня

.

.

приклад 15.Обчислити, користуючись правилом Лопіталя

1. Для того, щоб число А було межею f(x) при x->a, необхідно і достатньо, щоб ця функція була представлена ​​у вигляді f (x) = A + альфа (х), де альфа (х) - нескінченно мала.

2. Межа постійної величини дорівнює найпостійнішій.LimC,x->a=C.

3. Якщо f(x)>= 0 (f(x)<=0) в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а, и в этой точке имеет предел, то пределlimf(x),x->a>=0 (limf(x)x->a,<=0)

4. Якщо функції f1 (x), f2 (x) мають межі в точці а, то і їх сума, добуток і приватна має межі, причому lim (f1 (x) + f2 (x)), x-> ),x->a+limf2(x),x->a, так само з твором та приватним

5. Якщоf(x) має межу в точці а, тоlim(f(x))^n,x->a= (limf(x),x->a)^n, деn– натуральне число

6. Постійний множник можна виносити за знак межі.

7. Якщо для функцій f(x), f1 (x), f2 (x) в околиці в точці а виконується нерівність f1 (x)<=f(x)<=f2(x) и пределlimf1(x),x->a=limf2(x),x->a=A, тоlimf(x),x->a=A.

8. Limc^x,x->б = нескінченності, якщоc>1 і 0, якщо 0

Невизначеність виду нескінченність на нескінченність

Розділити все на х найвищою мірою, враховуючи зменшення ступеня докорінно.

Lim(x->0) sin 5x/sin3x = lim(x->0) x sin5x/x sin3x = lim(x->0) sin5x/x*lim(x->0) x/sin3x=lim( x->0) 5sin5x/5x*lim 3sin3x/3x)=5/3

Lim(x-unl) (1+1/x) x = e;

1/x=a=>x=1/a, a->0

Lim(a-0) (1+a) 1/2 =e

Lim (x-0) (log a (1 + x)) / x = lim (x-0) 1 / x * log a (1 + x) = lim (x-0) log a (1 + x) 1 / x = log a lim (x-0) (1 + x) 1 / x = log a e

Lim(x-0) ln(1+x)/x=ln e=1

Lim(x-0) x -1/x=|a x -1=t;a x =t+1;ln a x =ln(t+1)

Порівняння нескінченно малих функцій

Нехай a(x,b(x) – нескінченно малі ф-ції при х->a

1. Lim(x->a)a(x)/b(x)=0 =>a(x) – нескінченно мала більш високого порядку, ніж b(x)

2. Lim(x->a)a(x)/b(x) =c<>0=>aіb– нескінченно малі функції одного порядку

3. Lim(x->a)a(x)/b(x) = 1 =>aub– еквівалентні нескінченно малі функції

4. Lim(x->a)d(x)/b n (x) =c<>0 => a - нескінченно мала функція н-ного порядку відносно b (x)

Cos2x=1-2sin 2 x

Теорема: якщо б. а(х) еквівалентна а 1 (х) і b(x) ~b 1 (x) ilim(x->a)a(x)/b(x) =>lim(x->a)a 1 (x) /b 1 (x)

6. A kx ~kx ln a

8. 1-cos kx ~kx 2 /2

23. Межа функції, теореми про межі. Невизначеність виду 0/0. Нескінченно великі та нескінченно малі.

Функція f(x) прагне до нескінченності при xтим, хто прагне a, якщо для будь-кого M> 0 можна вказати таке значення  > 0, що всім xякі задовольняють нерівності  xa <  имеет место неравенство f(x) > M.

lim x  a =

 Функція обмежена при x a.

 Функція обмежена при x .

 Теорема. Якщо lim x  a f(x)=b, то функція f(x) обмежена при x a.

 Нескінченно малі та їх властивості. lim x  a (x)=0

Теорема. 1. Якщо f(x)=b+ , де  - б.м. при x a, то lim x  a f(x)=bі назад, якщо lim x  a f(x)=b, то можна записати f(x)=b+(x).

Теорема. 2. Якщо lim x  a (x)=0 і ( x)  0, то 1/ .

Теорема. 3. Сума кінцевого числа б. є б.м.

Теорема. 4. Добуток б.м. на обмежену функцію є б.

 Теореми про межі.

Теорема. 1. Межа суми є сумою меж.

Теорема. 2. Межа твору є добуток меж.

Теорема. 3. Межа приватного є приватною межею (якщо знаменник не звертається до 0).

Теорема. 4. Якщо u(x)  z(x)  v(x), і lim x  a u(x)=lim x  a v(x)=b, то lim x  a z(x)=b. ("Теорема про двох міліціонерів").

 Перша чудова межа.

при n має межу, укладену між 2 і 3. У цій роботі ми розглянемо невизначеність виду для функції. Для знаходження межі функції ми застосовуємо метод перетворення, метод заміни та визначення нескінченно малих величин.

Нехай потрібно знайти межу дробу

де P(x) і Q(x) функції, визначені в околиці граничного аргументу a, але в граничному значенні звертаються в нуль.

Теорема 1. Нехай число a для багаточлена n-го ступеня P(x) = P n (x) є k кратним рішенням, а для многочлена m-го ступеня Q(x) = Q n (x) є r кратним рішенням тоді

(2)

де P n-k (a) та Q m-r (a) значення відповідних багаточленів P n-k (x) та Q m-r (x) у точці x = a.

Доведення. Оскільки число a є рішенням многочленів P n (x) і Q m (x), то їх у будь-який час можна представити у вигляді:

Біноми (x – a) k та (x – a) r в околиці точки x = a нескінченно малі, а їх підстави еквівалентні нескінченно малі. Звідси

Покладаючись на останню рівність, можна з (3) одержати формулу (2). 25. Перший Чудовий ліміт.

До третього року життя більшість із нас уже вміють рахувати. З того часу, як ми осягаємо магію чисел, нас ніщо не може зупинити. Хоча концепція нескінченності і виглядає досить нешкідливо, просто продовжуйте рахувати, і світ представиться в зовсім іншому світлі! Математикам вдалося виявити величезну кількість нескінченностей, причому кожна наступна виявляється більшою за попередню. Якщо Всесвіт справді нескінченний, наслідки можуть бути ще більш непередбачуваними та дивовижними. У нескінченному Всесвіті може існувати нескінченна кількість копій Землі та... Ваших копій! Можливо, що є нескінченні мульти-всесвіти, які містять наш Всесвіт і які старші за наш час. Цей фільм, заснований на математичних теоріях, - спроба побудови уявлення про нескінченність всього сущого.

Рік зробити: 2010
Виробництво: BBC Horizon, Великобританія
Режисер: Стівен Бекофф (Steven Berkoff)

У 1980 році Книга рекордів Гіннесса повторила твердження Гарднера, ще більше підігрівши інтерес публіки до цього числа. Число Грехема в неймовірну кількість разів більше, ніж інші добре відомі великі числа, такі, як гугол, гуголплекс і навіть більше, ніж число Скьюза і Мозера. Насправді весь спостерігається всесвіт занадто мала у тому, щоб умістити у собі звичайну десяткову запис числа Грехема.

Математика - універсальна мова Всесвіту, фундамент, на якому засновані всі інші науки. Як людство змогло відкрити таємниці цієї універсальної мови? Починаючи з найдавніших часів, простежується історія математики до наших днів і завершується розповіддю про найважливіші проблеми сучасності. Їхнє рішення дозволить краще зрозуміти устрій нашого світу.

Останнім часом вченим вдається все краще вивчити, як виглядає мікросвіт. Мікроскопи дозволили збільшити об'єкти у сто разів, у тисячу, у десять тисяч разів. Нарешті вдалося побудувати електронні мікроскопи, здатні показати окремі атоми. Але вченим цікаво побачити як атоми, а й зазирнути всередину атомів. Ядро атома - у сто тисяч разів менше від самого атома. Для вивчення матерії цьому масштабі потрібні прискорювачі частинок. Все потужніші і витонченіші. І, нарешті, дійшовши до найглибшого рівня, куди неможливо зазирнути навіть з допомогою найпотужніших прискорювачів, вченим доводиться братися за несподіваний інструмент - телескоп. Фільм розповідає про те, якими методами ведеться вивчення структури нашого всесвіту у різних мікромасштабах.

Безкрайній, неоглядний і складний Всесвіт вже кілька тисяч років є предметом захоплення та об'єктом наукових досліджень. Її загадки можуть здатися далекими та незбагненними, але нам на допомогу приходить професор Джим Аль-Халілі. Він спробує пояснити все, що відомо про всесвіт, і трохи більше.

Звідки з'явився наш Всесвіт? Як це все почалося? Протягом майже ста років ми думали, що Великий вибух був близько 14 мільярдів років тому. Але тепер деякі вчені вважають, що було насправді не «початок», наш Всесвіт, можливо, був знищений «до». Цей фільм віднесе Вас у невідомість, щоб вивчити запаморочливий світ космосу та численних всесвітів, і Ви дізнаєтесь, що було до Великого вибуху.

Коректно відповісти на це питання не можна, оскільки числовий ряд не має верхньої межі. Так, до будь-якого числа достатньо лише додати одиницю, щоб отримати число ще більше. Хоча самі числа нескінченні, власних назв у них не так вже й багато, оскільки більшість із них задовольняються іменами, складеними з менших чисел. Зрозуміло, що в кінцевому наборі чисел, яких людство нагородило власним ім'ям, має бути якесь найбільше. Але як воно називається і чому воно рівне? Давайте ж, спробуємо в цьому розібратися і заразом дізнатися, наскільки великі числа придумали математики.

Математик, професор Маркус дю Сатель розповідає у цьому фільмі про те, як закони математики пронизують своєю суворою красою усі форми нашого світу.

Цю невизначеність «обслуговує» друга чудова межа, і в другій частині того уроку ми докладно розглянули стандартні приклади рішень, які найчастіше зустрічаються практично. Зараз картина з експонентами буде завершена, крім того, заключні завдання уроку будуть присвячені межам-«обманкам», в яких ЗДАЄТЬСЯ, що необхідно застосувати другу чудову межу, хоча це зовсім не так.

Недолік двох робочих формул 2-го чудового краю у тому, що аргумент має прагнути «плюс нескінченності» чи нулю. Але що робити, якщо аргумент прагне іншого числа?

На допомогу приходить універсальна формула (яка насправді є наслідком другої чудової межі):

Невизначеність можна усунути за такою формулою:

Десь начебто вже пояснював, що позначають квадратні дужки. Нічого особливого, дужки як дужки. Зазвичай їх використовують, щоб чіткіше виділити математичний запис.

Виділимо суттєві моменти формули:

1) Мова йде тільки про певність і жодну іншу.

2) Аргумент «ікс» може прагнути до довільному значенню(а не тільки до нуля або ), зокрема, до «мінус нескінченності» або до будь-комукінцевого числа.

За допомогою цієї формули можна вирішити усі приклади уроку Чудові межі, які відносяться до 2-ї чудової межі. Наприклад, обчислимо межу:

В даному випадку , і за формулою :

Щоправда, робити так не раджу, у традиціях таки застосовувати «звичайне» оформлення рішення, якщо його можна застосувати. Однак за допомогою формули дуже зручно виконувати перевірку«класичних» прикладів на другий чудовий рубіж.

Все це добре, правильно, але зараз у кадрі цікавіші кадри:

Приклад 18

Обчислити межу

На першому кроці, не втомлюся повторювати, підставляємо значення «ікс» у вираз під знаком межі. А раптом ніякої невизначеності взагалі немає? Так буває! Але не цього разу. Підставляючи «трійку», приходимо до висновку, що тут невизначеність

Використовуємо формулу

Щоб не тягати за собою букву «е» і не дрібніти, показник зручніше обчислити окремо:

В даному випадку:

Таким чином:

З точки зору техніки обчислень все рутинно: спочатку наводимо перший доданок до спільного знаменника, потім виносимо константи і проводимо скорочення, позбавляючись невизначеності 0:0.

В результаті:

Обіцяний подарунок з різницею логарифмів та невизначеністю:

Приклад 19

Обчислити межу

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

(1)-(2) На перших двох кроках використовуємо формули . У складних похіднихми «розвалюємо» логарифми, а тут навпаки – їх потрібно «зібрати».

(3) Значок межі переміщуємо під логарифм. Це можна зробити, оскільки даний логарифм безперервнийна "мінус нескінченності". Крім того, межа ж відноситься до "начинки" логарифму.

(4)-(5) Стандартним прийомом, розглянутим на базовому уроці про чудові межі, Перетворимо невизначеність до виду.

(6) Використовуємо формулу .

(7) Експонентна та логарифмічна функція – взаємно зворотні функції, тому і «е» і логарифм можна прибрати. Справді, відповідно до якості логарифма: . Мінус перед дробом вносимо до знаменника:

(8) Без коментарів =)

Розглянутий тип межі не такий рідкісний, прикладів 30-40 знайшов у себе.

Приклад 20

Обчислити межу

Це приклад самостійного рішення. Крім використання формули, можна уявити межу як та заміною звести рішення до випадку .

На закінчення розглянемо межі-фальшивки.

Повернемося до невизначеності. Цю невизначеність далеко не завждиможна звести до невизначеності і користуватися другою чудовою межею або формулою-наслідком. Перетворення можна здійснити в тому випадку, якщо чисельник та знаменник основи ступеня – еквівалентнінескінченно великі функції. Наприклад: .

Відвернемося від показника та обчислимо межу основи:

У межі отримано одиницяотже, чисельник і знаменник не просто одного порядку зростання, а ще й еквівалентні. На уроці Чудові межі. Приклади рішеньми без проблем звели цей приклад до невизначеності та отримали відповідь.

Аналогічних меж можна вигадати дуже багато:
і т.д.

Дроби даних прикладів поєднує вищезазначена особливість: . В інших випадках при невизначеності Друга чудова межа не застосовується.

Приклад 21

Знайти межі

Як не намагайся, а невизначеність не вдасться перетворити на невизначеність

Тут чисельники та знаменники підстав одного порядку зростання, але не еквіваленти: .

Таким чином, друга чудова межа і, тим більше формулу, ЗАСТОСУВАТИ НЕ МОЖНА.

! Примітка: не плутайте з Прикладом №18, в якому чисельник та знаменник основи не еквівалентні. Там готова невизначеність, тут же йдеться про невизначеність.

Метод вирішення меж-«підробок» простий і знак Ом: потрібно чисельник та знаменник основирозділити на «ікс» у старшому ступені (попри показник):

Якщо чисельник і знаменник підстави різного порядку зростання, то ухвалення рішення такий самий:

Приклад 22

Знайти межі

Це короткі приклади для самостійного вивчення

Іноді невизначеності може не бути взагалі:

Подібні фокуси особливо улюблені упорядниками збірки Кузнєцова. Ось чому дуже важливо ЗАВЖДИ на першому кроці виконувати підстановку «ікса» у вираз під знаком межі!

Приклад 2

Старший ступінь чисельника: 2; старший ступінь знаменника: 3.
:

Приклад 4

Розділимо чисельник та знаменник на :


Примітка : найостаннішою дією помножили чисельник і знаменник , щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику.

Приклад 6

Розділимо чисельник та знаменник на :

Приклад 8

Розділимо чисельник та знаменник на :

Примітка : доданок прагнути до нуля повільніше, ніж тому є «головним» нулем знаменника. .

Приклад 22


Примітка : нескінченно мала функція прагне до нуля повільніше, ніж тому «більший» нуль знаменника грає визначальну роль:

Межа функції на нескінченності:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Визначення межі по Коші
Нехай функція f (x)визначена в околиці нескінченно віддаленої точки, при |x| > Число a називається межею функції f (x)при x, що прагне до нескінченності (), якщо для будь-якого, скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує таке число N ε > K, залежить від ε , що всім x, |x| > N ε, значення функції належать ε - околиці точки a:
|f (x) - a |< ε .
Межа функції на нескінченності позначається так:
.
Або при .

Також часто використовується таке позначення:
.

Запишемо це визначення, використовуючи логічні символи існування та загальності:
.
Тут мається на увазі, що значення належать області визначення функції.

Односторонні межі

Ліва межа функції на нескінченності:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Часто трапляються випадки, коли функція визначена тільки для позитивних або негативних значень змінної x (точніше, в околиці точки або ). Також межі на нескінченності для позитивних та негативних значень x можуть мати різні значення. Тоді використовують односторонні межі.

Ліва межа в нескінченно віддаленій точціабо межа при x що прагне мінус нескінченності () визначається так:
.
Права межа в нескінченно віддаленій точціабо межа при x прагне до плюс нескінченності () :
.
Односторонні межі на нескінченності часто позначають так:
; .

Нескінченна межа функції на нескінченності

Нескінченна межа функції на нескінченності:
|f(x)| > M за |x| > N

Визначення нескінченної межі по Коші
Нехай функція f (x)визначена в околиці нескінченно віддаленої точки, при |x| > K де K - позитивне число. Межа функції f (x)при x, що прагне до нескінченності (), дорівнює нескінченностіякщо для будь-якого, скільки завгодно великого числа M > 0 , існує таке число N M > K, залежить від M , що всім x, |x| > N M , значення функції належать околиці нескінченно віддаленої точки:
|f (x) | > M.
Нескінченну межу при x, що прагне до нескінченності, позначають так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності, визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.

Аналогічно вводяться визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.

Визначення односторонніх меж на нескінченності.
Ліві межі.
.
.
.
Праві межі.
.
.
.

Визначення межі функції за Гейном

Нехай функція f (x)визначена на деякій околиці нескінченно віддаленої точки x 0 , де або .
Число a (кінцеве або нескінченно віддалене) називається межею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо для будь-якої послідовності ( x n ), що сходить до x 0 : ,
елементи якої належать околиці , послідовність (f(x n))сходиться до a:
.

Якщо в якості околиці взяти околицю нескінченно віддаленої точки без знака: , то отримаємо визначення межі функції при стрімкому нескінченності, що . Якщо взяти лівосторонню або правосторонню околицю нескінченно віддаленої точки x 0 : або , то отримаємо визначення межі при x, що прагне мінус нескінченності і плюс нескінченності, відповідно.

Визначення межі по Гейні та Коші еквівалентні.

Приклади

Приклад 1

Використовуючи визначення Коші показати, що
.

Введемо позначення:
.
Знайдемо область визначення функції. Оскільки чисельник і знаменник дробу є многочленами, то функція визначена всім x крім точок, у яких знаменник перетворюється на нуль. Знайдемо ці точки. Вирішуємо квадратне рівняння. ;
.
Коріння рівняння:
; .
Оскільки, то й.
Тому функція визначена за . Це ми будемо використовувати надалі.

Випишемо визначення кінцевої межі функції на нескінченності по Коші:
.
Перетворюємо різницю:
.
Розділимо чисельник і знаменник на та помножимо на -1 :
.

Нехай.
Тоді
;
;
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
.
Звідси слідує що
при , і .

Оскільки завжди можна збільшити, візьмемо . Тоді для будь-кого,
при .
Це означає, що .

Приклад 2

Нехай.
Використовуючи визначення межі по Коші показати, що:
1) ;
2) .

1) Рішення при x прагне до мінус нескінченності

Оскільки, то функція визначена всім x .
Випишемо визначення межі функції при , що дорівнює мінус нескінченності:
.

Нехай. Тоді
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
Вводимо позитивні числа та:
.
Звідси випливає, що для будь-якого позитивного числа M є число , так що при ,
.

Це означає, що .

2) Рішення у x прагне до плюс нескінченності

Перетворимо вихідну функцію. Помножимо чисельник і знаменник дробу і застосуємо формулу різниці квадратів:
.
Маємо:

.
Випишемо визначення правої межі функції при:
.

Введемо позначення: .
Перетворюємо різницю:
.
Помножимо чисельник і знаменник на :
.

Нехай
.
Тоді
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
Вводимо позитивні числа та:
.
Звідси слідує що
при і.

Оскільки це виконується для будь-якого позитивного числа, то
.

Використана література:
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.