Вершини чотирикутної піраміди. Формули та властивості правильної трикутної піраміди

• апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на 1-ну з його сторін);
• бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
• бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
• вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
• висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
• діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
• основа (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.

Властивості піраміди.

1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
• крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.

2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• висоти бічних граней мають рівну довжину;
• площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.

3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у будь-якої правильної піраміди можна описати сферу.

4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.

Найпростіша піраміда.

За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.

Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.

Гіпотеза:ми вважаємо, що досконалість форми піраміди зумовлено математичними законами, закладеними у її форму.

Ціль:вивчивши піраміду як геометричне тіло, дати пояснення досконалості її форми.

Завдання:

1. Дати математичне визначення піраміді.

2. Вивчити піраміду як геометричне тіло.

3. Зрозуміти, які математичні знання єгиптяни заклали у своїх пірамідах.

Приватні питання:

1. Що таке піраміда як геометричне тіло?

2. Як можна пояснити унікальність форми піраміди з математичної точки зору?

3. Чим пояснюються геометричні дива піраміди?

4. Чим пояснюється досконалість форми піраміди?

Визначення піраміди.

ПІРАМІДА (від грецьк. pyramis, рід. п. pyramidos) - багатогранник, основа якого багатокутник, інші грані - трикутники, мають загальну вершину (рисунок). За кількістю кутів основи розрізняють піраміди трикутні, чотирикутні і т.д.

ПІРАМІДА - монументальна споруда, що має геометричну форму піраміди (іноді також ступінчасту або баштоподібну). Пірамідами називають гігантські гробниці давньоєгипетських фараонів 3-2 тис. до н. е., і навіть давньоамериканські постаменти храмів (у Мексиці, Гватемалі, Гондурасі, Перу), пов'язані з космологічними культами.

Можливо, що грецьке слово “піраміда” походить від єгипетського виразу per-em-us, тобто від терміна, що означав висоту піраміди. Визначний російський єгиптолог У. Струве вважав, що грецьке “puram…j” походить від давньоєгипетського “p"-mr".

З історії. Вивчивши матеріал у підручнику "Геометрія" авторів Атанасяна. Бутузова та інших., ми довідалися, що: Багатогранник, складений з п - косинця А1А2А3 … Аn і п трикутників РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – називається пірамідою. Багатокутник А1А2А3 … Аn – основа піраміди, а трикутники РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – бічні грані піраміди, Р – вершина піраміди, відрізки РА1, РА2,…, РАn – бічні ребра.

Проте таке визначення піраміди не завжди існувало. Наприклад, давньогрецький математик, автор теоретичних трактатів з математики Евклід, що дійшли до нас, піраміду визначає як тілесну фігуру, обмежену площинами, які від однієї площини сходяться до однієї точки.

Але це визначення піддавалися критиці вже в давнину. Так Герон запропонував таке визначення піраміди: "Це фігура, обмежена трикутниками, що сходяться в одній точці і основою якої є багатокутник".

Наша група, порівнявши ці визначення, дійшла висновку, що в них немає чіткого формулювання поняття “основа”.

Ми дослідили ці визначення та знайшли визначення Адрієна Марі Лежандра, який у 1794 році у своїй праці “Елементи геометрії” піраміду визначає так: “Піраміда – тілесна фігура, утворена трикутниками, що сходяться в одній точці і закінчується на різних сторонах плоскої основи”.

Нам здається, що останнє визначення дає чітке уявлення про піраміду, тому що в ньому йдеться про те, що основа – плоска. У підручнику 19 століття фігурувало ще одне визначення піраміди: "піраміда - тілесний кут, перетнутий площиною".

Піраміда як геометричне тіло.

Т. о. пірамідою називається багатогранник, одна з граней якого (основа) - багатокутник, інші грані (бічні) - трикутники, що мають одну загальну вершину (вершину піраміди).

Перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини основи, називається заввишкиhпіраміди.

Крім довільної піраміди, існують правильна піраміда,в основі якої правильний багатокутник і усічена піраміда.

На малюнку – піраміда PABCD, ABCD – її основа, PO – висота.

Площею повної поверхні піраміди називається сума площ усіх її граней.

Sповн = Sбок + Sосн,де Sбік- Сума площ бічних граней.

Об'єм піраміди знаходиться за формулою:

V=1/3Sосн. h, де Sосн. - площа основи, h- Висота.

Площа бічної грані правильної піраміди виражається так: Sбік. =1/2P h, де Р - периметр основи, h- Висота бічної грані (апофема правильної піраміди). Якщо піраміда перетнута площиною A'B'C'D', паралельною підставі, то:

1) бічні ребра та висота діляться цією площиною на пропорційні частини;

2) у перерізі виходить багатокутник A'B'C'D', подібний до основи;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Підстави усіченої піраміди– подібні багатокутники ABCD та A`B`C`D`, бічні грані – трапеції.

Висотаусіченої піраміди – відстань між основами.

Об'єм зрізаноїпіраміди знаходиться за формулою:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди виражається так: Sбок. = ½(P+P') h, де P і P'- периметри основ, h- висота бічної грані (апофема правильної усіченої бенкетами

Перетин піраміди.

Перерізи піраміди площинами, що проходять через її вершину, є трикутниками.

Перетин, що проходить через два несусідні бічні ребра піраміди, називається діагональним перетином.

Якщо перетин проходить через точку на бічному ребрі і бік основи, його слідом на площину основи піраміди буде ця сторона.

Перетин, що проходить через точку, що лежить на межі піраміди, і заданий слід перерізу на площину основи, то побудування треба проводити так:

· Знаходять точку перетину площини даної грані та сліду перерізу піраміди та позначають її;

· будують пряму проходить через задану точку та отриману точку перетину;

· Повторюють ці дії і для наступних граней.

що відповідає відношенню катетів прямокутного трикутника 4:3. Таке відношення катетів відповідає добре відомому прямокутному трикутнику зі сторонами 3:4:5, який називають "досконалим", "священним" чи "єгипетським" трикутником. За свідченням істориків, "єгипетському" трикутнику надавали магічного сенсу. Плутарх писав, що єгиптяни порівнювали природу Всесвіту зі "священним" трикутником; вони символічно уподібнювали вертикальний катет чоловікові, основу - дружині, а гіпотенузу - тому, що народжується від обох.

Для трикутника 3:4:5 справедлива рівність: 32 + 42 = 52, яка виражає теорему Піфагора. Чи не цю теорему хотіли увічнити єгипетські жерці, зводячи піраміду на основі трикутника 3:4:5? Важко знайти вдалий приклад для ілюстрації теореми Піфагора, яка була відома єгиптянам задовго до її відкриття Піфагором.

Таким чином, геніальні творці єгипетських пірамід прагнули вразити далеких нащадків глибиною своїх знань, і вони досягли цього, вибравши як "головну геометричну ідею" для піраміди Хеопса - "золотий" прямокутний трикутник, а для піраміди Хефрена - "священний" або "єгипет" трикутник.

Дуже часто у своїх дослідженнях вчені використовують властивості пірамід із пропорціями Золотого перетину.

У математичному енциклопедичному словнику дається таке визначення Золотого перерізу – це гармонійне розподіл, розподіл у крайньому та середньому відношенні – розподіл відрізка АВ на дві частини таким чином, що більша його частина АС є середнім пропорційним між усім відрізком АВ та меншою його частиною СВ.

Алгебраїчне знаходження Золотого перерізу відрізка АВ = азводиться до розв'язання рівняння а: х = х: (а – х), звідки х приблизно 0,62а. Відношення х можна виразити дробами 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... = 0,618, де 2, 3, 5, 8, 13, 21 - числа Фібоначчі.

Геометрична побудова Золотого перерізу відрізка АВ здійснюється так: у точці відновлюється перпендикуляр до АВ, на ньому відкладають відрізок ВЕ = 1/2 АВ, з'єднують А і Е, відкладають ДЕ = ВЕ і, нарешті, АС = АТ, тоді виконується рівність АВ: СВ = 2:3.

Золотий перетин часто застосовується у витворах мистецтва, архітектури, зустрічається у природі. Яскравими прикладами є скульптура Аполлона Бельведерського Парфенон. При будівництві Парфенона використовувалося відношення висоти будівлі до його довжини, і це відношення дорівнює 0,618. Навколишні предмети також дають приклади Золотого перерізу, наприклад, палітурки багатьох книг мають відношення ширини і довжини близьке до 0,618. Розглядаючи розташування листя на загальному стеблі рослин, можна помітити, що між кожними двома парами листя третя розташована у місці Золотого перерізу (слайди). Кожен із нас "носить" Золотий перетин із собою "в руках" - це відношення фаланг пальців.

Завдяки знахідці кількох математичних папірусів, єгиптологи дізналися дещо про давньоєгипетські системи обчислення та заходів. Завдання, що містилися в них, вирішувалися переписувачами. Одним із найвідоміших є «Ріндський математичний папірус». Вивчаючи ці завдання, єгиптологи довідалися, як древні єгиптяни справлялися з різними кількостями, що виникали при обчисленні заходів ваги, довжини та обсягу, у яких найчастіше використовувалися дроби, і навіть як вони справлялися з кутами.

Стародавні єгиптяни використовували спосіб обчислення кутів на основі відношення висоти до основи прямокутного трикутника. Вони виражали будь-який кут мовою градієнта. Градієнт схилу виражався ставленням цілого числа, яке називалося «секед». У книзі «Математика за часів фараонів» Річард Піллінс пояснює: «Секед правильної піраміди – це нахил будь-якої з чотирьох трикутних граней до площини основи, що вимірюється енним числом горизонтальних одиниць на одну вертикальну одиницю підйому. Таким чином, ця одиниця виміруеквівалентна нашому сучасному котангенсу кута нахилу. Отже, єгипетське слово «секед» споріднене з нашим сучасним словом «градієнт»».

Числовий ключ до пірамід укладено щодо їх висоти до основи. У практичному плані - це найлегший спосіб виготовлення шаблонів, необхідних постійної перевірки правильності кута нахилу протягом усього будівництва піраміди.

Єгиптологи були б раді переконати нас у тому, що кожен фараон жадав висловити свою індивідуальність, тому й відмінності кутів нахилу кожної піраміди. Але могла бути інша причина. Можливо, всі вони хотіли втілити різні символічні асоціації, приховані у різних пропорціях. Однак кут піраміди Хафри (заснований на трикутнику (3: 4: 5) проявляється у трьох проблемах, представлених пірамідами в «Ріндському математичному папірусі»). Так що це ставлення було добре відоме давнім єгиптянам.

Щоб бути справедливими до єгиптологів, які стверджують, що стародавнім єгиптянам не був відомий трикутник 3:4:5, скажімо, що довжина гіпотенузи 5 ніколи не згадувалася. Але математичні завдання, що стосуються пірамід, завжди вирішуються на основі секеду кута - відношення висоти до основи. Оскільки довжина гіпотенузи ніколи не згадувалася, було зроблено висновок, що єгиптяни так ніколи і не вирахували довжину третьої сторони.

Відносини висоти до основи, використані в пірамідах Гізи, безсумнівно, були відомі давнім єгиптянам. Можливо, що ці відносини кожної піраміди були обрані довільно. Однак це суперечить тому значенню, яке надавалося числовому символізму у всіх видах єгипетського образотворчого мистецтва. Цілком ймовірно, що такі відносини мали суттєве значення, оскільки висловлювали конкретні релігійні ідеї. Іншими словами, весь комплекс Гізи підпорядковувався зв'язковому задуму, покликаному відобразити божественну тему. Це б пояснило, чому проектувальники обрали різні кути нахилу трьох пірамід.

У «Таємниці Оріона» Бьювел і Джілберт представили переконливі докази зв'язку пірамід Гізи із сузір'ям Оріона, зокрема із зірками Пояса Оріона. Осіріса, Ісіди та Гора.

ЧУДОВИ "ГЕОМЕТРИЧНІ".

Серед грандіозних пірамід Єгипту особливе місце посідає Велика Піраміда фараона Хеопса (Хуфу). Перш ніж приступити до аналізу форми та розмірів піраміди Хеопса, слід згадати, якою системою заходів користувалися єгиптяни. У єгиптян було три одиниці довжини: "лікоть" (466 мм), що дорівнював семи "долоням" (66,5 мм), яка, у свою чергу, дорівнювала чотирьом "пальцям" (16,6 мм).

Проведемо аналіз розмірів піраміди Хеопса (Рис.2), дотримуючись міркувань, наведених у чудовій книзі українського вченого Миколи Васютинського "Золота пропорція" (1990 р.).

Більшість дослідників сходяться в тому, що довжина сторони основи піраміди, наприклад, GFдорівнює L= 233,16 м. Ця величина відповідає майже точно 500 "ліктям". Повна відповідність 500 "ліктям" буде, якщо довжину "ліктя" вважати рівною 0,4663 м.

Висота піраміди ( H) оцінюється дослідниками по-різному від 146,6 до 148,2 м. І в залежності від прийнятої висоти піраміди змінюються всі відносини її геометричних елементів. У чому причина відмінностей щодо оцінки висоти піраміди? Справа в тому, що, строго кажучи, піраміда Хеопса є усіченою. Її верхній майданчик у наші дні має розмір приблизно 10 ´ 10 м, а століття тому він дорівнював 6 ´ 6 м. Очевидно, що вершину піраміди розібрали, і вона не відповідає початковій.

Оцінюючи висоту піраміди, необхідно враховувати такий фізичний фактор, як "осаду" конструкції. За тривалий час під впливом колосального тиску (що досягає 500 тонн на 1 м2 нижньої поверхні) висота піраміди зменшилася порівняно з початковою висотою.

Якою була початкова висота піраміди? Цю висоту можна відтворити, якщо знайти основну "геометричну ідею" піраміди.

Малюнок 2.

У 1837 р. англійський полковник Г. Вайз виміряв кут нахилу граней піраміди: він виявився рівним a= 51°51". Ця величина і сьогодні визнається більшістю дослідників. Вказаному значенню кута відповідає тангенс (tg a), рівний 1,27306. Ця величина відповідає відношенню висоти піраміди АСдо половини її заснування CB(Рис.2), тобто AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

І ось тут дослідників чекав великий сюрприз!.png" width="25" height="24">= 1,272. a= 1,27306, бачимо, що це величини дуже близькі між собою. Якщо ж прийняти кут a= 51°50", тобто зменшити його всього на одну кутову хвилину, то величина aстане рівною 1,272, тобто збігається з величиною . Слід зазначити, що у 1840 р. Р. Вайз повторив свої виміри та уточнив, що значення кута a= 51 ° 50 ".

Ці виміри привели дослідників до наступної дуже цікавої гіпотези: в основу трикутника АСВ піраміди Хеопса було закладено відношення AC / CB = = 1,272!

Розглянемо тепер прямокутний трикутник ABC, в якому ставлення катетів AC / CB= (Рис.2). Якщо тепер довжини сторін прямокутника ABCпозначити через x, y, z, а також врахувати, що ставлення y/x= , то відповідно до теореми Піфагора, довжина zможе бути обчислена за формулою:

Якщо прийняти x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Малюнок 3."Золотий" прямокутний трикутник.

Прямокутний трикутник, в якому сторони відносяться як t:золотим прямокутним трикутником.

Тоді, якщо прийняти за основу гіпотезу про те, що основною "геометричною ідеєю" піраміди Хеопса є "золотий" прямокутний трикутник, то легко можна обчислити "проектну" висоту піраміди Хеопса. Вона дорівнює:

H = (L/2) = 148,28 м.

Виведемо тепер деякі інші відносини для піраміди Хеопса, які з " золотої " гіпотези. Зокрема, знайдемо відношення зовнішньої площі піраміди до площі її основи. Для цього приймемо довжину катета CBза одиницю, тобто: CB= 1. Але тоді довжина сторони основи піраміди GF= 2, а площа основи EFGHбуде рівна SEFGH = 4.

Обчислимо тепер площу бічної грані піраміди Хеопса SD. Оскільки висота ABтрикутника AEFдорівнює t, то площа бічної грані дорівнюватиме SD = t. Тоді сумарна площа всіх чотирьох бічних граней піраміди дорівнюватиме 4 t, А відношення сумарної зовнішньої площі піраміди до площі основи буде дорівнює золотій пропорції! Це і є - головна геометрична таємниця піраміди Хеопса!

До групи "геометричних чудес" піраміди Хеопса можна віднести реальні та надумані властивості відносин між різними вимірами у піраміді.

Як правило, вони отримані в пошуках деяких "постійних", зокрема числа "пі" (лудольфове число), рівного 3,14159 ...; основи натуральних логарифмів "е" (Неперове число), що дорівнює 2,71828...; числа "Ф", числа "золотого перерізу", що дорівнює, наприклад, 0,618 ... і т. д.

Можна назвати, наприклад: 1) Властивість Геродота: (Висота)2 = 0,5 ст. осн. х Апофема; 2) Властивість В. Прайсу: Висота: 0.5 ст. осн = Корінь квадратний із "Ф"; 3) Властивість М. Ейста: Периметр основи: 2 Висота = "Пі"; в іншій інтерпретації – 2 ст. осн. : Висота = "Пі"; 4) Властивість Г. Ребера: Радіус вписаного кола: 0,5 ст. осн. = "Ф"; 5) Властивість К. Клеппіша: (Ст. осн.) 2: 2 (ст. осн. х Апофема) = (ст. осн. У. Апофема) = 2 (ст. осн. х Апофема): ((2 ст. осн.X Апофема) + (ст. осн.)2). І тому подібне. Таких властивостей можна придумати безліч, особливо якщо підключити сусідні дві піраміди. Наприклад, як "Властивості А. Ареф'єва" можна згадати, що різниця обсягів піраміди Хеопса і піраміди Хефрена дорівнює подвоєному обсягу піраміди Мікеріна.

Багато цікавих положень, зокрема, про побудову пірамід по "золотому перерізу" викладено у книгах Д. Хембідж "Динамічна симетрія в архітектурі" та М. Гіка "Естетика пропорції в природі та мистецтві". Нагадаємо, що "золотим перетином" називається розподіл відрізка в такому відношенні, коли частина А в стільки разів більша частини В, у скільки разів А менше всього відрізка А + В. Відношення А/В при цьому дорівнює числу "Ф"==1,618. .. Вказується на використання "золотого перерізу" не тільки в окремих пірамідах, а й у всьому комплексі пірамід у Гізі.

Найцікавіше, однак, те, що та сама піраміда Хеопса просто "не може" вмістити в себе стільки чудових властивостей. Взявши якесь властивість поодинці, його можна "підігнати", але всі разом вони не підходять - не збігаються, суперечать один одному. Тому, якщо, наприклад, при перевірці всіх властивостей, брати вихідно ту саму сторону основи піраміди (233 м), то висоти пірамід з різними властивостями також будуть різними. Іншими словами, існує якась "родина" пірамід, зовні подібних до Хеопсової, але відповідають різним властивостям. Зауважимо, що в "геометричних" властивостях нічого особливо чудового немає - багато виникає суто автоматично, з властивостей самої фігури. "Чудом" слід вважати лише щось явно неможливе для древніх єгиптян. Сюди, зокрема, відносять "космічні" чудеса, в яких виміри піраміди Хеопса або комплексу пірамід у Гізі зіставляються з деякими астрономічнимивимірами і вказуються "рівні" числа: у мільйон разів, у мільярд разів менше, і таке інше. Розглянемо деякі "космічні" співвідношення.

Одне із тверджень таке: "якщо розділити бік заснування піраміди на точну довжину року, то отримаємо точно 10-мільйонну частку земної осі". Обчисли: розділимо 233 на 365, отримаємо 0,638. Радіус Землі 6378 км.

Інше твердження фактично обернено попередньому. Ф. Ноетлінг вказував, що й скористатися придуманим ним самим " єгипетським ліктем " , сторона піраміди буде відповідати " найточнішої тривалості сонячного року, вираженої з точністю до однієї мільярдної дня " - 365.540.903.777.

Твердження П. Сміта: "Висота піраміди становить рівно одну мільярдну частку відстані від Землі до Сонця". Хоча зазвичай береться висота 146,6 м, Сміт брав її 148,2 м. За сучасними радіолокаційними вимірюваннями велика піввісь земної орбіти становить 149,597.870 + 1,6 км. Такою є середня відстань від Землі до Сонця, але в перигелії вона на 5.000.000 кілометрів менша, ніж в афелії.

Останнє цікаве твердження:

"Чим пояснити, що маси пірамід Хеопса, Хефрена і Мікеріна ставляться одна до одної, як маси планет Земля, Венера, Марс?" Обчислимо. Маси трьох пірамід відносяться як: Хефрена – 0,835; Хеопса – 1,000; Мікеріна – 0,0915. Відносини мас трьох планет: Венера – 0,815; Земля – 1,000; Марс – 0,108.

Отже, незважаючи на скепсис, відзначимо відому стрункість побудови тверджень: 1) висота піраміди, як лінія, "що йде в простір" - відповідає відстані від Землі до Сонця; 2) сторона заснування піраміди, найближча "до субстрату", тобто до Землі, відповідає за земний радіус та земне звернення; 3) обсяги піраміди (читай – маси) відповідають відношенню мас найближчих до Землі планет. Схожий "шифр" простежується, наприклад, у бджолиній мові, проаналізованій Карлом фон Фрішем. Втім, поки що утримаємося від коментарів з цього приводу.

ФОРМА ПІРАМІД

Знаменита чотиригранна форма пірамід виникла не відразу. Скіфи робили поховання у вигляді земляних пагорбів – курганів. Єгиптяни ставили "пагорби" з каменю – піраміди. Вперше це сталося після об'єднання Верхнього та Нижнього Єгипту, у XXVIII столітті до нашої ери, коли перед засновником ІІІ династії фараоном Джосером (Зосером) стояло завдання зміцнення єдності країни.

І тут, на думку істориків, важливу роль у зміцненні центральної влади відіграла "нова концепція обожнювання" царя. Хоча царські поховання і відрізнялися більшою пишністю, вони в принципі не відрізнялися від придворних гробниць. вельмож, були одні й самі споруди - мастаби. Над камерою з саркофагом, що містить мумію, насипався прямокутний пагорб із дрібного каміння, де ставилася потім невелика будівля з великих кам'яних блоків - "мастаба" (арабською - "лава"). На місці мастабу свого попередника, Санахта, фараон Джосер і поставив першу піраміду. Була вона ступінчастою та була зримим перехідним етапом від однієї архітектурної форми до іншої, від мастаби – до піраміди.

У такий спосіб "підняв" фараона мудрець і архітектор Імхотеп, який згодом вважався чарівником і ототожнюваний греками з богом Асклепієм. Було споруджено як би шість мастаб поспіль. Причому перша піраміда займала площу 1125 х 115 метрів, з імовірною висотою 66 метрів (за єгипетськими заходами - 1000 "долонів"). Спочатку архітектор задумував побудувати мастабу, але не довгасту, а квадратну в плані. Пізніше її розширили, але оскільки прибудову зробили нижче, утворилося як би два щаблі.

Така ситуація не задовольнила архітектора, і на верхньому майданчику величезної плоскої мастаби Імхотеп поставив ще три, що поступово зменшуються до верху. Усипальниця була під пірамідою.

Відомо ще кілька ступінчастих пірамід, але надалі будівельники перейшли до будівництва більш звичних для нас чотиригранних пірамід. Чому ж, однак, не тригранні чи, скажімо, восьмигранні? Непряма відповідь дає той факт, що практично всі піраміди чудово зорієнтовані по чотирьох сторонах світла, тому мають чотири сторони. До того ж піраміда була "будинком", оболонкою чотирикутного похоронного приміщення.

Але чим було зумовлено кут нахилу граней? У книзі "Принцип пропорцій" цьому присвячено цілу главу: "Що могло зумовити кути нахилів пірамід". Зокрема, вказується, що "образ, якого тяжіють великі піраміди Стародавнього царства - трикутник з прямим кутом у вершині.

У просторі це напівоктаедр: піраміда, в якій ребра та сторони основи рівні, грані - рівносторонні трикутники". Певні розгляди наведені з цього приводу в книгах Хембіджу, Гіка та інших.

Чим вигідний кут напівоктаедра? Згідно з описами археологів та істориків, деякі піраміди обвалилися під власним тягарем. Потрібен був "кут довговічності", кут, найбільш енергетично надійний. Чисто емпірично цей кут можна взяти з вершинного кута в купі сухого піску, що обсипається. Але, щоб отримати точні дані, потрібно скористатися моделлю. Взявши чотири міцно закріплені кулі, потрібно покласти на них п'яту і виміряти кути нахилу. Втім, і тут можна помилитися, тому рятує теоретичний розрахунок: слід з'єднати лініями центри куль (подумки). В основі вийде квадрат зі стороною, що дорівнює подвоєному радіусу. Квадрат буде якраз підставою піраміди, довжина ребер якої також дорівнюватиме подвоєному радіусу.

Таким чином щільна упаковка куль за типом 1: 4 дасть нам правильний напівоктаедр.

Однак, чому ж багато пірамід, тяжіючи до подібної форми, проте не зберігають її? Мабуть, піраміди старіють. Всупереч знаменитій приказці:

"Все у світі бояться часу, а час бояться пірамід", будівлі пірамід повинні старіти, в них можуть і повинні відбуватися не тільки процеси зовнішнього вивітрювання, а й процеси внутрішньої "усадки", від чого піраміди, можливо, стають нижчими. Усадка можлива і тому, що, як з'ясовано роботами Д. Давидовиця, стародавні єгиптяни застосовували технологію виготовлення блоків з вапняної крихти, простіше кажучи, з бетону. Саме подібні процеси могли б пояснити причину руйнування Медумської піраміди, розташованої за 50 км на південь від Каїра. Їй 4600 років, розміри основи 146 х 146 м, висота – 118м. "Чому вона так понівечена? - Запитує В. Замаровський. - Звичайні посилання на згубний вплив часу і "використання каменю для інших будівель" тут не підходять.

Адже більшість її блоків і облицювальних плит і досі залишилася на місці, в руїнах біля її підніжжя". Як побачимо, ряд положень змушує замислитися навіть над тим, що і знаменита піраміда Хеопса теж "усохла". ...

Форму пірамід могло породити і наслідування: деяким природним зразкам, "нерукотворної досконалості", скажімо, деяких кристалів у вигляді октаедра.

Подібними кристалами могли виявитися кристали алмазу та золота. Характерна велика кількість ознак, що "перетинаються", для таких понять, як Фараон, Сонце, Золото, Алмаз. Скрізь - благородний, блискучий (блискучий), великий, бездоганний і таке інше. Подібності не випадкові.

Сонячний культ, як відомо, становив важливу частину релігії Стародавнього Єгипту. "Хоч би ми перекладали назву найбільшої з пірамід, - зазначається в одному з сучасних посібників - "Небосхил Хуфу" або "Небосхильний Хуфу", воно означало, що цар є сонцем". Якщо Хуфу у блиску своєї могутності уявив себе другим сонцем, його син Джедеф-Ра став першим з єгипетських царів, хто став іменувати себе " сином Ра " , тобто сином Сонця. Сонце практично в усіх народів символізувалося " сонячним металом " , золотом. "Великий диск яскравого золота" - так єгиптяни називали наше денне світило. Золото єгиптяни знали чудово, знали його самородні форми, де кристали золота можуть бути у вигляді октаедрів.

Як "зразок форм" цікавий тут і "сонячний камінь" – алмаз. Назва алмазу прийшла саме з арабського світу, "алмас" - найтвердіший, найтвердіший, незламний. Стародавні єгиптяни знали алмаз та його властивості дуже непогано. Згідно з деякими авторами, вони навіть використовували для буріння бронзовітрубки з діамантовими різцями.

Нині основним постачальником алмазів є Південна Африка, але на алмази багата і Африка Західна. Територію Республіки Малі там називають навіть "Діамантовим краєм". Тим часом саме на території Малі проживають наздоганяння, з якими прихильники гіпотези палеовізіту пов'язують чимало надій (див. далі). Алмази не могли спричинити контакти стародавніх єгиптян з цим краєм. Однак, так чи інакше, але, можливо, що саме копіюючи октаедри кристалів алмазу і золота, древні єгиптяни обожнювали тим самим "незламних" як алмаз і "блискучих" як золото фараонів, синів Сонця, порівнянних лише з чудовими творами природи.

Висновок:

Вивчивши піраміду як геометричне тіло, познайомившись з її елементами та властивостями, ми переконалися у справедливості думки про красу форми піраміди.

В результаті наших досліджень ми дійшли висновку, що єгиптяни, зібравши найцінніші математичні знання, втілили їх у піраміді. Тому піраміда воістину – найдосконаліший витвір природи та людини.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

«Геометрія: Навч. для 7 - 9 кл. загальноосвіт. установ \, та ін - 9-е вид. - М.: Просвітництво, 1999

Історія математики у шкільництві, М: «Просвіта», 1982 р.

Геометрія 10-11 клас, М: «Освіта», 2000

Пітер Томпкінс "Таємниці великої піраміди Хеопса", М: "Центрополіграф", 2005 р.

Інтернет ресурси

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Відеоурок 2: Завдання на піраміду. Об'єм піраміди

Відеоурок 3: Завдання на піраміду. Правильна піраміда

Лекція: Піраміда, її основа, бічні ребра, висота, бічна поверхня; трикутна піраміда; правильна піраміда

Піраміда- це об'ємне тіло, яке має в основі багатокутник, а всі її грані складаються з трикутників.

Окремим випадком піраміди є конус, в основі якого лежить коло.

Розглянемо основні елементи піраміди:

Апофема– це відрізок, який з'єднує вершину піраміди із серединою нижнього ребра бічної грані. Інакше кажучи, це висота грані піраміди.

На малюнку можна побачити трикутники ADS, ABS, BCS, CDS. Якщо уважно подивитися на назви, можна побачити, що кожен трикутник має у своїй назві одну загальну літеру – S. Тобто це означає, що всі бічні грані (трикутники) сходяться на одній точці, яка називається вершиною піраміди.

Відрізок ОS, який з'єднує вершину з точкою перетину діагоналей основи (у разі трикутників – у точці перетину висот), називається заввишки піраміди.

Діагональним перетином називають площину, яка проходить через вершину піраміди, а також одну з діагоналей основи.

Так як бічна поверхня піраміди складається з трикутників, то для знаходження загальної площі бічної поверхні необхідно знайти площі кожної грані та скласти їх. Кількість і форма граней залежить від форми та розмірів сторін багатокутника, що лежить в основі.

Єдина площина у піраміді, якій не належить її вершина, називається основоюпіраміди.

На малюнку ми бачимо, що в основі лежить паралелограм, проте може бути будь-який довільний багатокутник.

Властивості:

Розглянемо перший випадок піраміди, у якому вона має ребра однакової довжини:

• Навколо основи такої піраміди можна описати коло. Якщо спроектувати вершину такої піраміди, то її проекція буде в центрі кола.
• Кути при основі піраміди у кожної грані однакові.
• При цьому достатньою умовою до того, що навколо основи піраміди можна описати коло, а так само вважати, що всі ребра різної довжини, можна вважати однакові кути між основою та кожним рубом граней.

Якщо Вам трапилася піраміда, у якої кути між бічними гранями та основою рівні, то справедливі такі властивості:

• Ви зможете описати коло навколо основи піраміди, вершина якої проектується точно в центр.
• Якщо провести у кожній бічній грані висоти до основи, вони будуть рівної довжини.
• Щоб знайти площу бічної поверхні такої піраміди, достатньо знайти периметр основи та помножити його на половину довжини висоти.
• S бп = 0,5P oc H.
• Види піраміди.
• Залежно від того, який багатокутник лежить в основі піраміди, вони можуть бути трикутними, чотирикутними та ін. Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник (з рівними сторонами), то така піраміда називатиметься правильною.

Правильна трикутна піраміда

Визначення. Бічна грань- Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).

Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.

Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.

Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.

Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.

Об'єм та площа поверхні піраміди

Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:

Властивості піраміди

Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).

Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.

Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.

Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.

Властивості правильної піраміди

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.

2. Усі бічні ребра рівні.

3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.

4. Апофеми всіх бічних граней рівні.

5. Площі всіх бічних граней рівні.

6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.

7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.

8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.

9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.

Зв'язок піраміди зі сферою

Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.

Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.

У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.

Зв'язок піраміди з конусом

Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.

Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.

Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.

Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.

Зв'язок піраміди з циліндром

Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.

Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.

Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.

Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).

Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).

Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.

Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.

Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.

Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.

Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.

Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.

Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.

Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.