Хвильова функція у квантовій механіці визначає. Спектри та фотографія

Експериментальне підтвердження ідеї Луї де Бройля про універсальність корпускулярно-хвильового дуалізму, обмеженість застосування класичної механіки до мікрооб'єктів, що диктується співвідношенням невизначеностей, а також протиріччя низки експериментів із застосовуваними на початку XX століття теоріями привели до нового етапу розвитку квантової фізики. руху та взаємодії мікрочастинок з урахуванням їх хвильових властивостей. Її створення та розвиток охоплює період з 1900 р. (формулювання Планком квантової гіпотези) до 20-х років XX століття та пов'язане, перш за все, з роботами австрійського фізика Е. Шредінгера, німецького фізика В. Гейзенберга та англійського фізика П. Дірака.

Необхідність ймовірнісного підходу до опису мікрочастинок є найважливішою відмінністю квантової теорії. Чи можна хвилі де Бройля тлумачити як хвилі ймовірності, тобто. вважати, що можливість виявити мікрочастинку в різних точках простору змінюється за хвильовим законом? Таке тлумачення хвиль де Бройля вже неправильне, хоча б тому, що тоді ймовірність виявити частинку в деяких точках простору може бути негативною, що не має сенсу.

Щоб усунути ці труднощі, німецький фізик М. Борн у 1926 р. припустив, що за хвильовим законом змінюється не сама ймовірність,а величина,названа амплітудою ймовірності і позначається. Цю величину називають також хвильовою функцією (або-функцією). Амплітуда ймовірності може бути комплексною, і ймовірність Wпропорційна квадрату її модуля:

(4.3.1)

де , Де - Функція комплексно-пов'язана з Ψ.

Таким чином, опис стану мікрооб'єкта за допомогою хвильової функції має статистичний, імовірніснийхарактер: квадрат модуля хвильової функції (квадрат модуля амплітуди хвилі де Бройля) визначає ймовірність знаходження частки в момент часу в області з координатами xі d x, yі d y, zі d z.

Отже, у квантовій механіці стан частки описується принципово по-новому – за допомогою хвильової функції, яка є основним носієм інформації про їх корпускулярні та хвильові

Величина (квадрат модуля Ψ-функції) має сенс щільності ймовірності , тобто. визначає ймовірність знаходження частки в одиниці об'єму в околиці точки,має координатиx, y, z. Таким чином, фізичний сенс має не сама Ψ-функція, а квадрат її модуля, яким визначається інтенсивність хвиль де Бройля .

Імовірність знайти частинку в момент часу tу кінцевому обсязі V, згідно з теоремою про складання ймовірностей, дорівнює:

.

Т.к. визначається як ймовірність, необхідно хвильову функцію Ψ представити так, щоб ймовірність достовірної події зверталася в одиницю, якщо за обсяг Vприйняти нескінченний обсяг всього простору. Це означає, що за даної умови частка повинна знаходитися десь у просторі. Отже, умова нормування ймовірностей:

де цей інтеграл обчислюється у всьому нескінченному простору, тобто. за координатами x, y, zвід до . Таким чином, умова нормування говорить про об'єктивне існування частки у часі та просторі.

Щоб хвильова функція була об'єктивною характеристикою стану мікрочастинки, вона повинна задовольняти низку обмежувальних умов. Функція Ψ, що характеризує ймовірність виявлення мікрочастинки в елементі об'єму, має бути:

· Кінцевою (ймовірність не може бути більше одиниці);

· Однозначною (ймовірність не може бути неоднозначною величиною);

· Безперервний (ймовірність не може змінюватися стрибком).

Хвильова функція задовольняє принцип суперпозиції: якщо система може перебувати в різних станах, що описуються хвильовими функціями , , … , то вона може перебувати в стані, що описується лінійною комбінацією цих функцій:

де ( n= 1, 2, 3 ...) - Довільні, взагалі кажучи, комплексні числа.

Складання хвильових функцій(амплітуд ймовірностей, що визначаються квадратами модулів хвильових функцій) принципово відрізняє квантову теорію від класичної статистичної теорії, у якій незалежних подій справедлива теорема складання ймовірностей.

Хвильова функціяΨ є основною характеристикою стану мікрооб'єктів. Наприклад, середня відстань електрона від ядра обчислюється за формулою

,

Хвильова функція(Або вектор стану) – комплексна функція, що описує стан квантово-механічної системи. Її знання дозволяє отримати повні відомості про систему мікросвіту. Так з її допомогою можна розрахувати всі вимірювані фізичні характеристики системи, ймовірність перебування її в певному місці простору та еволюцію в часі. Хвильова функція може бути знайдена в результаті розв'язання хвильового рівняння Шредінгера.

Розмір |ψ(x,y,z,t)| 2 dV пропорційна ймовірності того, що частка буде виявлена ​​в момент часу t в об'ємі dV в околиці точки (x, y, z).

Квадрат модуля хвильової функції визначає ймовірністьтого, що частка буде виявлена ​​в межах обсягу dV:dP=(|Y|^2) 2 dV=YY * dV.

де Y * - комплексно – пов'язана хвильова функція.

Величина (|Y| ^2) = YY * = dP / dV -має сенс густини ймовірності.

Інтеграл, взятий по всьому простору, повинен дорівнювати одиниці (імовірність достовірної події Р=1). – умова нормування:Виявлення частки у всьому просторі є достовірною подією, ймовірність якої дорівнює одиниці.

19. Рівняння Шредінгера та його застосування до вільного електрона.

Ψ – хвильова функція.

i = -уявна одиниця; m -- Маса частки; ∆ − оператор Лапласа, який у декартовій системі має вигляд = , U(x, y, z, t) – потенційна енергія частки у зовнішньому силовому полі в точці з координатами ( x,y,z).

Для опису поведінки електрона в атомі, у ряді випадків важливо вміти знаходити стаціонарні рішення рівняння Шредінгера, які не містять часу. Для вирішення цього завдання потрібно отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера, в якому виключено залежність від часу.

Рівняння Шред. для стаціонарних станів

Поле стаціонарно, коли його характеристики не залежать від часу, наприклад, станів з фіксованими значеннями енергії.

Інший запис.

Для вільного електрона:

20. Застосування рівняння Шредінгера до електрона в потенційній ямі.

Ур-ієШред.:

Частка не проникає межі ями, тому ймовірність її виявлення поза ями дорівнює нулю. На межах ями хвильова функція також має перетворюватися на нуль. Отже, граничні умови у такому разі мають вигляд:

В межах ями рівняння Шредінгера 0

Загальне рішення диференціального рівняння:

Т.к. B= 0 (з ), то

Ур-ие: виконується тільки за kl = nπ.Тобто. необхідно, щоб: .

Виходить, що енергія залежить від n:

Тобто. стаціонарне рівняння Шредінгера, що описує рух частинки в потенційній ямі з нескінченно високими стінками, задовольняється лише за власних значень En, що залежать від цілого числа n. Отже, енергія En частинки у потенційній ямі з нескінченно високими стінками приймає лише певні дискретні значення, тобто. квантується. Квантові значення енергії En називаються рівнями енергії, А число п, що визначає енергетичні рівні - основним квантовим числом.

Таким чином, мікрочастинкав «потенційній ямі» з нескінченно високими стінками може перебувати лише на певному енергетичному рівні En, або, як кажуть, частка знаходиться в квантовому станіп.

Застосування рівняння Шредінгера до частки потенційної ямі з нескінченно високими стінками призводить до квантовим значенням енергіїі координат, тоді як класична механіка на енергію цієї частки зайвих обмежень не накладає.

корпускулярно - хвильовим дуалізмом у квантовій фізиці стан частки описується за допомогою хвильової функції ($\psi (\overrightarrow(r),t)$-псі-функція).

Визначення 1

Хвильова функція- це функція, яка використовується у квантовій механіці. Вона визначає стан системи, яка має розміри у просторі. Вона є вектором стану.

Ця функція є комплексною та формально має хвильові властивості. Рух будь-якої частинки мікросвіту визначений імовірнісними законами. Розподіл ймовірності виявляється під час проведення великої кількості спостережень (вимірювань) чи великої кількості часток. Отриманий розподіл аналогічний розподілу інтенсивності хвилі. Тобто в місцях із максимальною інтенсивністю відзначено максимальну кількість частинок.

Набір аргументів хвильової функції визначає її представлення. Так, можливе координатне уявлення: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, імпульсне уявлення: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ і т.д.

У квантовій фізиці метою ставиться не точність передбачення події, а оцінка ймовірності тієї чи іншої події. Знаючи величину ймовірності знаходять середні значення фізичних величин. Хвильова функція дозволяє знаходити подібні можливості.

Так, ймовірність присутності мікрочастинки в обсязі dV в момент часу t може бути визначена як:

де $\psi^*$- комплексно пов'язана функція до функції $\psi.$ Щільність ймовірності (ймовірність в одиниці об'єму) дорівнює:

Імовірність є величиною, яку можна спостерігати у експерименті. У цей час хвильова функція не доступна спостереження, оскільки вона є комплексної (у класичній фізиці параметри, які характеризують стан частки, доступні спостереження).

Умова нормування $\psi$-функції

Хвильова функція визначена з точністю до постійного постійного множника. Даний факт не впливає на стан частки, яку $\psi$-функція описує. Однак хвильову функцію вибирають таким чином, що вона задовольняє умову нормування:

де інтеграл беруть по всьому простору або області, в якій хвильова функція не дорівнює нулю. Умова нормування (2) означає те, що у всій області, де $\psi\ne 0$ частка достовірно є. Хвильову функцію, яка підкоряється умові нормування, називають нормованою. Якщо $(\left|\psi\right|)^2=0$, то ця умова означає, що частки в досліджуваній області напевно немає.

Нормування типу (2) можливе при дискретному діапазоні своїх значень.

Умова нормування може виявитися неможливим. Так, якщо $\psi$ -- функція є плоскою хвилею де Бройля і ймовірність знаходження частки є однаковою для всіх точок простору. Дані випадки розглядають як ідеальну модель, в якій частка є у великій, але має обмеження області простору.

Принцип суперпозиції хвильової функції

Цей принцип є одним з основних постулатів квантової теорії. Його сенс у наступному: якщо для деякої системи можливі стани, що описуються хвильовими функціями $\psi_1\(\rm і)\$$\psi_2$, то для цієї системи існує стан:

де $ C_ (1 \) і \ C_2 $ - постійні коефіцієнти. Принцип суперпозиції підтверджується емпірично.

Можна говорити про складання будь-якої кількості квантових станів:

де $(\left|C_n\right|)^2$ -- ймовірність того, що система виявляється в стані, який описується хвильовою функцією $\psi_n.$ Для хвильових функцій, підпорядкованих умові нормування (2) виконується умова:

Стаціонарні стани

У квантовій теорії особливу роль відіграють стаціонарні стани (стани в яких усі фізичні параметри, що спостерігаються, не змінюються в часі). (Сама хвильова функція принципово не спостерігається). У стаціонарному стані $\psi$- функція має вигляд:

де $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ не залежить від часу, $E$- енергія частки. Побачивши (3) хвильової функції щільність ймовірності ($P$) є постійною часу:

З фізичних властивостей стаціонарних станів випливають математичні вимоги до хвильової функції $ psi left (overrightarrow (r) right) to (psi (x, y, z)) $.

Математичні вимоги до хвильової функції для стаціонарних станів

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- функція повинна бути у всіх точках:

• безперервна,
• однозначна,
• кінцева.

Якщо потенційна енергія має поверхню розриву, то на подібних поверхнях функція $psileft(overrightarrow(r)right)$ і її перша похідна повинні залишатися безперервними. В області простору, де потенційна енергія стає нескінченною, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ повинна дорівнювати нулю. Безперервність функції $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ вимагає, щоб на будь-якому кордоні цієї області $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Умова безперервності накладається на приватні похідні від хвильової функції ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \psi)(\ partial z) $).

Приклад 1

Завдання:Для деякої частки задана хвильова функція виду: $ \ psi = \ frac (A) (r) e ^ (- (r) / (a)) $, де $ r $ - відстань від частки до центру сили (рис.1 ), $ a = const $. Застосуйте умову нормування, знайдіть нормувальний коефіцієнт A.

Малюнок 1.

Рішення:

Запишемо умову нормування для нашого випадку у вигляді:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]

де $dV=4\pi r^2dr$ (див.рис.1 З умов зрозуміло, що завдання має сферичну симетрію). З умов завдання маємо:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a )) \ left (1.2 \ right).

Підставимо $dV$ і хвильові функції (1.2) за умови нормування:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\) right).)\]

Проведемо інтегрування у лівій частині:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a = 1 \ left (1.4 \ right).) \]

З формули (1.4) виразимо шуканий коефіцієнт:

Відповідь:$A=\sqrt(\frac(1)(2pi a)).$

Приклад 2

Завдання:Якою є найбільш ймовірна відстань ($r_B$) електрона від ядра, якщо хвильова функція, яка описує основний стан електрона в атомі водню може бути визначена як: $\psi=Ae^(-(r)/(a))$, де $ r$- відстань від електрона до ядра, $a$ -- перший Борівський радіус?

Рішення:

Використовуємо формулу, яка визначає можливість присутності мікрочастинки в обсязі $dV$ в момент часу $t$:

де $dV=4\pi r^2dr.\ $Отже, маємо:

У такому випадку $p=\frac(dP)(dr)$ запишемо як:

Для визначення найбільш ймовірної відстані похідну $\frac(dp)(dr)$ дорівнює до нуля:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

Оскільки рішення $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ (\rm при)\ r_B\to \infty $, нам не підходить, то відсмоктується:

корпускулярно - хвильовим дуалізмом у квантовій фізиці стан частки описується за допомогою хвильової функції ($\psi (\overrightarrow(r),t)$-псі-функція).

Визначення 1

Хвильова функція- це функція, яка використовується у квантовій механіці. Вона визначає стан системи, яка має розміри у просторі. Вона є вектором стану.

Ця функція є комплексною та формально має хвильові властивості. Рух будь-якої частинки мікросвіту визначений імовірнісними законами. Розподіл ймовірності виявляється під час проведення великої кількості спостережень (вимірювань) чи великої кількості часток. Отриманий розподіл аналогічний розподілу інтенсивності хвилі. Тобто в місцях із максимальною інтенсивністю відзначено максимальну кількість частинок.

Набір аргументів хвильової функції визначає її представлення. Так, можливе координатне уявлення: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, імпульсне уявлення: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ і т.д.

У квантовій фізиці метою ставиться не точність передбачення події, а оцінка ймовірності тієї чи іншої події. Знаючи величину ймовірності знаходять середні значення фізичних величин. Хвильова функція дозволяє знаходити подібні можливості.

Так, ймовірність присутності мікрочастинки в обсязі dV в момент часу t може бути визначена як:

де $\psi^*$- комплексно пов'язана функція до функції $\psi.$ Щільність ймовірності (ймовірність в одиниці об'єму) дорівнює:

Імовірність є величиною, яку можна спостерігати у експерименті. У цей час хвильова функція не доступна спостереження, оскільки вона є комплексної (у класичній фізиці параметри, які характеризують стан частки, доступні спостереження).

Умова нормування $\psi$-функції

Хвильова функція визначена з точністю до постійного постійного множника. Даний факт не впливає на стан частки, яку $\psi$-функція описує. Однак хвильову функцію вибирають таким чином, що вона задовольняє умову нормування:

де інтеграл беруть по всьому простору або області, в якій хвильова функція не дорівнює нулю. Умова нормування (2) означає те, що у всій області, де $\psi\ne 0$ частка достовірно є. Хвильову функцію, яка підкоряється умові нормування, називають нормованою. Якщо $(\left|\psi\right|)^2=0$, то ця умова означає, що частки в досліджуваній області напевно немає.

Нормування типу (2) можливе при дискретному діапазоні своїх значень.

Умова нормування може виявитися неможливим. Так, якщо $\psi$ -- функція є плоскою хвилею де Бройля і ймовірність знаходження частки є однаковою для всіх точок простору. Дані випадки розглядають як ідеальну модель, в якій частка є у великій, але має обмеження області простору.

Принцип суперпозиції хвильової функції

Цей принцип є одним з основних постулатів квантової теорії. Його сенс у наступному: якщо для деякої системи можливі стани, що описуються хвильовими функціями $\psi_1\(\rm і)\$$\psi_2$, то для цієї системи існує стан:

де $ C_ (1 \) і \ C_2 $ - постійні коефіцієнти. Принцип суперпозиції підтверджується емпірично.

Можна говорити про складання будь-якої кількості квантових станів:

де $(\left|C_n\right|)^2$ -- ймовірність того, що система виявляється в стані, який описується хвильовою функцією $\psi_n.$ Для хвильових функцій, підпорядкованих умові нормування (2) виконується умова:

Стаціонарні стани

У квантовій теорії особливу роль відіграють стаціонарні стани (стани в яких усі фізичні параметри, що спостерігаються, не змінюються в часі). (Сама хвильова функція принципово не спостерігається). У стаціонарному стані $\psi$- функція має вигляд:

де $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ не залежить від часу, $E$- енергія частки. Побачивши (3) хвильової функції щільність ймовірності ($P$) є постійною часу:

З фізичних властивостей стаціонарних станів випливають математичні вимоги до хвильової функції $ psi left (overrightarrow (r) right) to (psi (x, y, z)) $.

Математичні вимоги до хвильової функції для стаціонарних станів

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- функція повинна бути у всіх точках:

• безперервна,
• однозначна,
• кінцева.

Якщо потенційна енергія має поверхню розриву, то на подібних поверхнях функція $psileft(overrightarrow(r)right)$ і її перша похідна повинні залишатися безперервними. В області простору, де потенційна енергія стає нескінченною, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ повинна дорівнювати нулю. Безперервність функції $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ вимагає, щоб на будь-якому кордоні цієї області $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Умова безперервності накладається на приватні похідні від хвильової функції ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \psi)(\ partial z) $).

Приклад 1

Завдання:Для деякої частки задана хвильова функція виду: $ \ psi = \ frac (A) (r) e ^ (- (r) / (a)) $, де $ r $ - відстань від частки до центру сили (рис.1 ), $ a = const $. Застосуйте умову нормування, знайдіть нормувальний коефіцієнт A.

Малюнок 1.

Рішення:

Запишемо умову нормування для нашого випадку у вигляді:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]

де $dV=4\pi r^2dr$ (див.рис.1 З умов зрозуміло, що завдання має сферичну симетрію). З умов завдання маємо:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a )) \ left (1.2 \ right).

Підставимо $dV$ і хвильові функції (1.2) за умови нормування:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\) right).)\]

Проведемо інтегрування у лівій частині:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a = 1 \ left (1.4 \ right).) \]

З формули (1.4) виразимо шуканий коефіцієнт:

Відповідь:$A=\sqrt(\frac(1)(2pi a)).$

Приклад 2

Завдання:Якою є найбільш ймовірна відстань ($r_B$) електрона від ядра, якщо хвильова функція, яка описує основний стан електрона в атомі водню може бути визначена як: $\psi=Ae^(-(r)/(a))$, де $ r$- відстань від електрона до ядра, $a$ -- перший Борівський радіус?

Рішення:

Використовуємо формулу, яка визначає можливість присутності мікрочастинки в обсязі $dV$ в момент часу $t$:

де $dV=4\pi r^2dr.\ $Отже, маємо:

У такому випадку $p=\frac(dP)(dr)$ запишемо як:

Для визначення найбільш ймовірної відстані похідну $\frac(dp)(dr)$ дорівнює до нуля:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

Оскільки рішення $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ (\rm при)\ r_B\to \infty $, нам не підходить, то відсмоктується:

· Квантова спостерігається · Хвильова функція· Квантова суперпозиція · Квантова заплутаність · Змішаний стан · Вимір · Невизначеність · Принцип Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунельний ефект

Хвильова функція, або псі-функція $\backslash psi$- Комплекснозначна функція, що використовується в квантовій механіці для опису чистого стану системи. Є коефіцієнтом розкладання вектора стану за базисом (зазвичай координатним):

$\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle=\backslash int\; \backslash Psi(x,t)\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; dx$

де $\backslash left|x\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left|x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots\; ,\; x\_n\backslash right\backslash rangle$- координатний базисний вектор, а $\backslash Psi(x,t)=\; \backslash langle\; x\backslash left|\backslash psi(t)\backslash right\backslash rangle$- хвильова функція в координатному поданні.

Нормованість хвильової функції

Хвильова функція $\backslash Psi$за своїм змістом має задовольняти так звану умову нормування, наприклад, у координатному поданні має вигляд:

$(\backslash int\backslash limits\_(V)(\backslash Psi^\backslash ast\backslash Psi)dV)=1$

Ця умова висловлює той факт, що можливість виявити частинку з цією хвильовою функцією десь у просторі дорівнює одиниці. У випадку інтегрування має здійснюватися за всіма змінними, яких залежить хвильова функція у цьому представленні.

Принцип суперпозиції квантових станів

Для хвильових функцій справедливий принцип суперпозиції, що полягає в тому, що якщо система може перебувати в станах, що описуються хвильовими функціями $\backslash Psi\_1$і $\backslash Psi\_2$, то вона може перебувати і в стані, що описується хвильовою функцією

$\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2$за будь-яких комплексних $c\_1$і $c\_2$.

Очевидно, що можна говорити і про суперпозицію (накладення) будь-якої кількості квантових станів, тобто про існування квантового стану системи, що описується хвильовою функцією $\backslash Psi\_\backslash Sigma\; =\; c\_1\; \backslash Psi\_1\; +\; c\_2\; \backslash Psi\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; (c)\_N(\backslash Psi)\_N=\backslash sum\_(n=1)^(N)\; (c)\_n(\backslash Psi)\_n$.

У такому стані квадрат модуля коефіцієнта $(c)\_n$визначає ймовірність того, що при вимірі система буде виявлена ​​в стані, що описується хвильовою функцією $(\backslash Psi)\_n$.

Тому для нормованих хвильових функцій $\backslash sum\_(n=1)^(N)\backslash left|c\_(n)\backslash right|^2=1$.

Умови регулярності хвильової функції

Імовірнісний зміст хвильової функції накладає певні обмеження, або умови, на хвильові функції у задачах квантової механіки. Ці стандартні умови часто називають умовами регулярності хвильової функції

1. Умова кінцівки хвильової функції.Хвильова функція не може набувати нескінченних значень, таких, що інтеграл $(1)$стане розбіжним. Отже, ця умова вимагає, щоб хвильова функція була квадратично функцією, що інтегрується, тобто належала гільбертовому простору $L^2$. Зокрема, у завданнях із нормованою хвильовою функцією квадрат модуля хвильової функції має прагнути нуля на нескінченності.
2. Умова однозначності хвильової функції.Хвильова функція має бути однозначною функцією координат і часу, оскільки щільність ймовірності виявлення частки повинна визначатися в кожному завданні однозначно. У задачах із використанням циліндричної чи сферичної системи координат умова однозначності призводить до періодичності хвильових функцій за кутовими змінними.
3. Умова безперервності хвильової функції.У будь-який момент часу хвильова функція має бути безперервною функцією просторових координат. Крім того, безперервними повинні бути приватні похідні хвильової функції $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; x)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; y)$, $\backslash frac(\backslash partial\; \backslash Psi)(\backslash partial\; z)$. Ці приватні похідні функцій лише в окремих випадках задач з ідеалізованими силовими полями можуть зазнавати розриву в тих точках простору, де потенційна енергія, що описує силове поле, в якому рухається частка, відчуває розрив другого роду.

Хвильова функція у різних уявленнях

Набір координат, які у ролі аргументів функції , є повну систему коммутирующих спостерігаються . У квантовій механіці можна вибрати кілька повних наборів спостережуваних, тому хвильова функція того самого стану може бути записана від різних аргументів. Вибраний для запису хвильової функції повний набір величин визначає подання хвильової функції. Так, можливі координатне уявлення, імпульсне уявлення, у квантовій теорії поля використовується вторинне квантування та подання чисел заповнення або уявлення Фока та ін.

Якщо хвильова функція, наприклад, електрона в атомі, задана в координатному поданні, то квадрат модуля хвильової функції є щільністю ймовірності виявити електрон в тій чи іншій точці простору. Якщо ця ж хвильова функція задана в імпульсному уявленні, то квадрат її модуля є щільністю ймовірності виявити той чи інший імпульс.

Матричне та векторне формулювання

Хвильова функція одного й того ж стану в різних уявленнях - відповідатиме виразу одного й того ж вектора в різних системах координат. Інші операції з хвильовими функціями також матимуть аналоги мовою векторів. У хвильовій механіці використовується уявлення, де аргументами псі-функції є повна система безперервнихкомутують спостережуваних, а матричній використовується уявлення, де аргументами пси-функции є повна система дискретнихкомутують спостерігаються. Тому функціональне (хвильове) і матричне формулювання очевидно математично еквівалентні.

Філософський сенс хвильової функції

Хвильова функція є методом опису чистого стану квантовомеханічної системи. Змішані квантові стани (у квантовій статистиці) слід описувати оператором типу матриці щільності. Тобто, якась узагальнена функція від двох аргументів має описати кореляцію знаходження частки у двох точках.

Слід розуміти, що проблема, яку вирішує квантова механіка - це проблема самої суті наукового методу пізнання світу.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Хвильова функція"

Література

• Фізичний енциклопедичний словник/Гол. ред. А. М. Прохоров. ред. кільк. Д. М. Алексєєв, А. М. Бонч-Бруєвич, А. С. Боровик-Романов та ін - М.: Рад. Енциклопедія, 1984. – 944 с.

Посилання

• Квантова механіка- стаття з Великої радянської енциклопедії.