Зведення числа до ступеня. Ступінь з негативною основою

У цій статті ми розберемося, що таке степінь числа. Тут ми дамо визначення ступеня числа, у своїй докладно розглянемо все можливі показники ступеня, починаючи з натурального показника, закінчуючи ірраціональним. У матеріалі Ви знайдете масу прикладів ступенів, що покривають всі тонкощі, що виникають.

Навігація на сторінці.

Ступінь з натуральним показником, квадрат числа, куб числа

Для початку дамо. Забігаючи наперед, скажемо, що визначення ступеня числа a з натуральним показником n дається для a , яке називатимемо підставою ступеня, і n , яке називатимемо показником ступеня. Також відзначимо, що ступінь з натуральним показником визначається через добуток, так що для розуміння нижченаведеного матеріалу потрібно мати уявлення про множення чисел.

Визначення.

Ступінь числа a з натуральним показником n- це вираз виду a n, значення якого дорівнює добутку n множників, кожен з яких дорівнює a, тобто.
Зокрема, ступенем числа a з показником 1 називається саме число a тобто, a 1 =a .

Відразу варто сказати про правила читання ступенів. Універсальний спосіб читання запису a n такий: «a ступенем n ». У деяких випадках також допустимі такі варіанти: «a в n-му ступені» і «n-а ступінь числа a». Для прикладу візьмемо ступінь 8 12 , це «вісім за ступенем дванадцять», або «вісім у дванадцятому ступені», або «дванадцятий ступінь восьми».

Другий ступінь числа, а також третій ступінь числа мають свої назви. Другий ступінь числа називають квадратом числанаприклад, 7 2 читається як «сім у квадраті» або «квадрат числа сім». Третій ступінь числа називається кубом числа, Наприклад, 5 3 можна прочитати як «п'ять у кубі» або сказати «куб числа 5».

Настав час привести приклади ступенів із натуральними показниками. Почнемо зі ступеня 5 7 тут 5 - основа ступеня, а 7 - показник ступеня. Наведемо ще приклад: 4,32 є основою, а натуральне число 9 показником ступеня (4,32) 9 .

Зверніть увагу, що в останньому прикладі основа ступеня 4,32 записана в дужках: щоб уникнути різночитань ми братимемо в дужки всі основи ступеня, які відмінні від натуральних чисел. Як приклад наведемо такі ступеня з натуральними показниками , їх підстави є натуральними числами, тому вони записані в дужках. Ну і для повної ясності в цьому моменті покажемо різницю, що міститься в записах виду (-2) 3 і -2 3 . Вираз (−2) 3 – це ступінь −2 з натуральним показником 3, а вираз −2 3 (його можна записати як −(2 3) ) відповідає числу, значенню ступеня 2 3 .

Зауважимо, що є позначення ступеня числа a з показником n виду a^n . У цьому, якщо n – багатозначне натуральне число, то показник ступеня береться у дужки. Наприклад, 4^9 – це інший запис ступеня 49. А ще приклади запису ступенів за допомогою символу «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Надалі ми будемо переважно користуватися позначенням ступеня виду a n .

Однією із завдань, зворотної зведенню у ступінь з натуральним показником, є завдання знаходження основи ступеня за відомим значенням ступеня та відомим показником. Це завдання призводить до .

Відомо, що безліч раціональних чисел складається з цілих і дробових чисел, причому кожне дробове число може бути представлене у вигляді позитивного або негативного звичайного дробу. Ступінь із цілим показником ми визначили в попередньому пункті, тому, щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, потрібно надати сенсу ступеня числа a з дробовим показником m/n , де m – ціле число, а n - натуральне. Зробимо це.

Розглянемо ступінь із дробовим показником виду. Щоб зберігати силу властивість ступеня, повинна виконуватися рівність . Якщо зважити на отриману рівність і те, як ми визначили , то логічно прийняти за умови, що при даних m , n і a вираз має сенс.

Неважко перевірити, що при справедливі всі властивості ступеня з цілим показником (це зроблено у розділі якості ступеня з раціональним показником).

Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок: якщо даних m , n і a вираз має сенс, то ступенем числа a з дробовим показником m/n називають корінь n -ого ступеня з a ступенем m .

Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дрібним показником. Залишається лише розписати, за яких m, n і a має сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m, n та a існують два основні підходи.

Найпростіше накласти обмеження на a , прийнявши a≥0 для позитивних m і a>0 для негативних m (оскільки при m≤0 ступінь 0 m не визначений). Тоді ми отримуємо наступне визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Ступенем позитивного числа a з дробовим показником m/n, де m - ціле, а n - натуральне число, називається корінь n-ї з числа a в ступені m, тобто, .

Також визначається дробовий ступінь нуля з тим лише застереженням, що показник має бути позитивним.

Визначення.

Ступінь нуля із дробовим позитивним показником m/n, де m – ціле позитивне, а n – натуральне число, визначається як .
При ступінь не визначається, тобто ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.

Слід зазначити, що за такому визначенні ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних a і деяких m і n вираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, ввівши умову a≥0 . Наприклад, мають сенс запису або , а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду немає сенсу, оскільки основа має бути негативним.

Інший підхід до визначення ступеня з дробовим показником m/n полягає в роздільному розгляді парних та непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткової умови: ступінь числа a, показником якого є, вважається ступенем числа a, показником якого є відповідний нескоротний дріб (важливість цієї умови пояснимо трохи нижче). Тобто, якщо m/n – нескоротний дріб, то будь-якого натурального числа k ступінь попередньо замінюється на .

При парних n і позитивних m вираз має сенс за будь-якого неотрицательному a (корінь парного ступеня з негативного числа немає сенсу), при негативних m число a має бути ще відмінним від нуля (інакше буде розподіл на нуль). А при непарних n і позитивних m число a може бути будь-яким (корінь непарної міри визначений для будь-якого дійсного числа), а при негативних m число a має бути відмінним від нуля (щоб не було поділу на нуль).

Наведені міркування призводять нас до такого визначення ступеня з дрібним показником.

Визначення.

Нехай m/n – нескоротний дріб, m – ціле, а n – натуральне число. Для будь-якого скоротливого звичайного дробу ступінь замінюється на . Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m/n – це для



Пояснимо, навіщо ступінь із скоротитим дробовим показником попередньо замінюється ступенем із нескоротним показником. Якби ми просто визначили ступінь як , і не обмовилися про нескоротність дробу m/n , то ми зіткнулися б з ситуаціями, подібними до наступної: так як 6/10=3/5 , то повинна виконуватись рівність , але , а .

Зведення в ступінь - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an = an.

Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8 .

Взагалі зведення у ступінь часто використовується у різних формулах з математики та фізики. Ця функція має більш наукове призначення, ніж чотири основні: Додавання, Віднімання, Множення, Поділ.

Зведення числа до ступеня

Зведення числа у ступінь – операція не складна. Воно пов'язане з множенням подібно до зв'язку множення і додавання. Запис an - короткий запис n-ого кількість чисел «а» помножених один на одного.

Розглянь будівництво на найпростіших прикладах, переходячи до складних.

Наприклад, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Чотири в квадраті (другою мірою) дорівнює шістнадцяти. Якщо вам не зрозуміло множення 4*4, то читайте нашу стать про множення.

Розглянемо ще один приклад: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . П'ять у кубі (у третьому ступені) дорівнює ста двадцяти п'яти.

Ще один приклад: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Дев'ять у кубі дорівнює семи сотням двадцяти дев'яти.

Формули зведення у ступінь

Щоб грамотно зводити в ступінь, потрібно пам'ятати і знати формули, вказані нижче. У цьому немає нічого понад природне, головне зрозуміти суть і тоді вони не тільки запам'ятаються, а й видадуться легкими.

Зведення одночлена в ступінь

Що таке одночлен? Це твір чисел та змінних у будь-якій кількості. Наприклад, двох – одночлен. І саме про зведення у ступінь таких одночленів дана стаття.

Користуючись формулами зведення на ступінь обчислити зведення одночлена на ступінь буде легко.

Наприклад, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Якщо зводити одночлен у ступінь, то ступінь зводиться кожна складова одночлена.

Зводячи в ступінь змінну ступінь, що вже має, то ступеня перемножуються. Наприклад, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Зведення у негативний ступінь

Негативний ступінь – зворотне число. Що таке зворотне число? Будь-якому числу Х зворотним буде 1/X. Тобто Х-1 = 1/X. Це і є суть негативного ступеня.

Розглянемо приклад (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Чому так? Так як у ступеня є мінус, то просто переносимо в знаменник цей вираз, а потім зводимо до його в третій ступінь. Чи не так?

Зведення в дробовий ступінь

Розпочнемо розгляд питання на конкретному прикладі. 43/2. Що означає ступінь 3/2? 3 – чисельник, означає зведення числа (у разі 4) в куб. Число 2 - знаменник, це витяг кореня другого ступеня з числа (в даному випадку 4).

Тоді отримуємо квадратний корінь із 43 = 2^3 = 8 . Відповідь: 8.

Отже, знаменник дробового ступеня може бути, як 3, так і 4 і до нескінченності будь-яким числом і це число визначає ступінь квадратного кореня, що витягується із заданого числа. Звичайно ж, знаменник не може дорівнювати нулю.

Зведення кореня до ступеня

Якщо корінь зводиться у ступінь, що дорівнює ступеню самого кореня, то відповіддю буде підкорене вираз. Наприклад, (√х)2 = х. І так у будь-якому разі рівності ступеня кореня та ступеня зведення кореня.

Якщо (√x)^4. Те (√x) ^ 4 = x ^ 2. Щоб перевірити рішення переведемо вираз у вираз із дробовим ступенем. Оскільки корінь квадратний, то знаменник дорівнює 2. Якщо корінь зводиться четверту ступінь, то чисельник 4. Отримуємо 4/2=2. Відповідь: x = 2.

У будь-якому випадку найкращий варіант просто перевести вираз у вираз із дробовим ступенем. Якщо не скорочуватиметься дріб, значить така відповідь і буде, за умови, що корінь із заданого числа не виділяється.

Зведення до ступеня комплексного числа

Що таке комплексне число? Комплексне число - вираз, що має формулу a + b * i; a, b – дійсні числа. i - Число, яке при зведенні в квадрат дає число -1.

Розглянемо приклад. (2 + 3i) ^2.

(2 + 3i) ^ 2 = 22 + 2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 = 4 + 12i ^-9 = -5 + 12i.

Запишіться на курс "Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика", щоб навчитися швидко та правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа у квадрат і навіть добувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі приклади та корисні завдання.

Зведення в ступінь онлайн

За допомогою нашого калькулятора Ви зможете порахувати зведення числа в ступінь:

Зведення до ступеня 7 клас

Зведення у ступінь починають проходити школярі лише у сьомому класі.

Зведення в ступінь - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an = an.

Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8.

Приклади для вирішення:

Зведення у ступінь презентація

Презентація зі зведення на ступінь, розраховану на семикласників. Презентація може пояснити деякі незрозумілі моменти, але, мабуть, таких моментів не буде завдяки нашій статті.

Підсумок

Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще – записуйтесь на наш курс: Прискорюємо усний рахунок – НЕ ментальна арифметика.

З курсу ви не просто дізнаєтеся десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, складання, множення, поділу, вирахування відсотків, а й відпрацюєте їх у спеціальних завданнях та іграх, що розвивають! Усний рахунок також вимагає багато уваги та концентрації, які активно тренуються при вирішенні цікавих завдань.

Калькулятор допомагає швидко звести число в онлайн. Підставою ступеня може бути будь-які числа (як цілі, і речові). Показник ступеня також може бути цілим або речовим, а також як позитивним, так і негативним. Слід пам'ятати, що для негативних чисел зведення в нецілу ступінь не визначено і тому калькулятор повідомить про помилку у випадку, якщо ви все ж таки спробуєте це виконати.

Калькулятор ступенів

Піднести до степеня

Зведень до ступеня: 20880

Що таке натуральний ступінь числа?

Число p називають n -ою ступенем числа a якщо p дорівнює числу a , помноженому саме на себе n разів: p = a n = a ...
n - називається показником ступеня, а число a - підставою ступеня.

Як звести число до натурального ступеня?

Щоб зрозуміти, як зводити різні числа в натуральному ступені, розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Звести число три на четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 3 4
Рішення: як було сказано вище, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 .
Відповідь: 3 4 = 81 .

Приклад 2. Звести число п'ять на п'яту ступінь. Тобто необхідно обчислити 5 5
Рішення: аналогічно, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125 .
Відповідь: 5 5 = 3125 .

Таким чином, щоб звести число в натуральний ступінь, достатньо лише помножити його саме на себе n разів.

Що таке негативний рівень числа?

При цьому негативний ступінь існує тільки для відмінних від нуля чисел, тому що в іншому випадку відбувалося б поділ на нуль.

Як звести число в цілий негативний ступінь?

Щоб звести відмінне від нуля число в негативний ступінь, потрібно обчислити значення цього числа в тій же позитивній мірі та розділити одиницю на отриманий результат.

Приклад 1. Звести число два мінус четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 2-4

Відповідь: 2 -4 = 0.0625 .

Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.

Навігація на сторінці.

Що означає «зведення у ступінь»?

Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.

Визначення.

Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r і зведення числа a у ступінь r – це те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.

Зведення числа до натурального ступеня

Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дрібний ступінь m/n спочатку витягується корінь n-ого ступеня з числа a, після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.

Розглянемо рішення прикладів зведення на дробовий ступінь.

приклад.

Обчисліть значення ступеня.

Рішення.

Покажемо два способи розв'язання.

Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником та на підставі властивостей коренів справедливі рівністі . Тепер витягаємо корінь , нарешті, зводимо в цілий ступінь .

Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.

Відповідь:

Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення в ступінь.

приклад.

Обчисліть (44,89) 2,5.

Рішення.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь:

Відповідь:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні ступені є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться досить великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного змісту: якщо маємо , а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дробовому позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, . А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .

Зведення в ірраціональний ступінь

Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу відзначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ірраціональний ступінь вручну вимагає великої кількості громіздких обчислень. Але все ж таки опишемо в загальних рисах суть дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це значення є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точніше десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим точніше значення ступеня буде отримано в результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти точніше десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо точніше значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Количисло множиться саме на себе, твірназивається ступенем.

Так 2.2 = 4, квадрат або другий ступінь 2-х
2.2.2 = 8, куб або третій ступінь.
2.2.2.2 = 16, четвертий ступінь.

Також, 10.10 = 100, другий ступінь 10.
10.10.10 = 1000, третій ступінь.
10.10.10.10 = 10000 четвертий ступінь.

І a.a = aa, другий ступінь a
a.a.a = aaa, третій ступінь a
a.a.a.a = aaaa, четвертий ступінь a

Початкове число називається коріннямступеня цього числа, тому що це число, з якого були створені ступені.

Однак не зовсім зручно, особливо у разі високих ступенів, записувати всі множники, з яких складаються ступені. Тому використовується скорочений метод позначення. Корінь ступеня записується лише один раз, а праворуч і трохи вище біля нього, але трохи меншим шрифтом записується скільки разів виступає корінь як множник. Це число або буква називається показником ступеняабо ступенемчисла. Так, а 2 дорівнює a.a або aa, тому що корінь a двічі має бути помножений сам на себе, щоб вийшло ступінь aa. Також, a 3 означає aaa, тобто тут a повторюється три разияк множник.

Показник першого ступеня є 1, але зазвичай не записується. Так, a1 записується як a.

Ви не повинні плутати ступеня з коефіцієнтами. Коефіцієнт показує, як часто величина береться як частинацілого. Ступінь показує, як часто величина береться як множнику творі.
Так, 4a = a + a + a + a. Але a 4 = a.a.a.a

Схема позначення зі ступенями має своєрідну перевагу, дозволяючи нам висловлювати невідомуступінь. Для цього в показник ступеня замість числа записується літера. У процесі вирішення завдання ми можемо отримати величину, яка, як ми можемо знати, є деякоюступенем іншої величини. Але поки що ми не знаємо, це квадрат, куб чи інший, вищий ступінь. Так, у виразі a x показник ступеня означає, що цей вираз має деякуступінь, хоча не визначено який ступінь. Так, b m і d n зводяться ступенем m і n. Коли показник ступеня знайдено, числопідставляється замість літери. Тож якщо m=3, тоді b m = b 3 ; якщо m = 5, тоді b m =b 5 .

Метод запису значень за допомогою ступенів є також великою перевагою у разі використання виразів. Так, (a + b + d) 3 є (a + b + d). (a + b + d). (a + b + d), тобто куб тричлену (a + b + d). Але якщо записати цей вираз після зведення в куб, він матиме вигляд
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Якщо ми візьмемо ряд ступенів, чиї показники збільшуються або зменшуються на 1, ми виявимо, що твір збільшується на загальний множникабо зменшується на спільний дільник, і цей множник чи дільник є початковим числом, яке зводиться у ступінь.

Так, у ряді aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
або a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
показники, якщо рахувати праворуч наліво, дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5; і різниця між їх значеннями дорівнює 1. Якщо ми почнемо справа множитина a ми успішно отримаємо кілька значень.

Так a.a = a 2 другий член. І a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третій член. a 4 .a = a 5 .

Якщо ми почнемо зліва ділитина a,
ми отримаємо a 5:a = a 4 та a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Але такий процес розподілу може бути продовжений і надалі, і ми отримуємо новий набір значень.

Так, a: a = a/a = 1. (1/a): a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Повний ряд буде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Або a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Тут значення справавід одиниці є зворотнимизначенням ліворуч від одиниці. Тому ці ступені можуть бути названі зворотними ступенями a. Можна також сказати, що ліворуч є зворотними до ступенів праворуч.

Так, 1: (1/a) = 1. (a/1) = a. І 1: (1/a 3) = a 3 .

Той самий план запису може застосовуватися до багаточленам. Так, для a + b, ми отримаємо безліч,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для зручності використається ще одна форма запису зворотних ступенів.

Відповідно до цієї форми, 1/a або 1/a 1 = a -1 . І 1/aaa чи 1/a 3 = a -3 .
1/aa чи 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa або 1/a 4 = a -4.

А щоб зробити з показниками закінчений ряд із 1 як загальна різниця, a/a або 1, розглядається як таке, що не має ступеня та записується як a 0 .

Тоді, враховуючи прямі та зворотні ступені
замість aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можна записати a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
Або a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.

А ряд лише окремо взятих ступенів матиме вигляд:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корінь ступеня може бути виражений більш ніж однією літерою.

Так, aa.aa або (aa) 2 є другим ступенем aa.
І aa.aa.aa або (aa) 3 є третім ступенем aa.

Усі ступеня цифри 1 однакові: 1.1 чи 1.1.1. дорівнюватиме 1.

Зведення в ступінь є знаходження значення будь-якого числа шляхом множення цього числа саме на себе. Правило зведення у ступінь:

Помножуйте величину саму себе стільки разів, скільки зазначено у ступеня числа.

Це є загальним всім прикладів, які можуть виникнути у процесі зведення ступінь. Але правильно дати пояснення, яким чином воно застосовується до окремих випадків.

Якщо ступінь зводиться лише один член, він множиться сам він стільки разів, скільки показує показник ступеня.

Четвертий ступінь a є a 4 або aaaa. (Art. 195.)
Шоста ступінь y є y 6 або yyyyyy.
N-а ступінь x є x n або xxx ... n раз повторене.

Якщо необхідно звести у ступінь вираз із кількох членів, застосовується принцип, згідно з яким ступінь твору кількох множників дорівнює добутку цих множників, зведених у ступінь.

Так (ay) 2 = a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Але ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2.
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Тому в знаходженні ступеня твору ми можемо або оперувати з усім твором відразу, або ми можемо оперувати з кожним множником окремо, а потім помножити їх значення зі ступенями.

Приклад 1. Четвертий ступінь dhy є (dhy) 4 або d 4 h 4 y 4 .

Приклад 2. Третій ступінь 4b, є (4b) 3 або 4 3 b 3 або 64b 3 .

Приклад 3. N-а ступінь 6ad є (6ad) n або 6 n a n d n .

Приклад 4. Третій ступінь 3m.2y є (3m.2y) 3 або 27m 3 .8y 3 .

Ступінь двочлена, що з членів, з'єднаних знаком + і -, обчислюється множенням його членів. Так,

(a + b) 1 = a + b, перший ступінь.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 другий ступінь (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 третій ступінь.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 четвертий ступінь.

Квадрат a - b є a 2 - 2ab + b 2 .