Зведення квадрат в розумі. Швидке зведення чисел у квадрат без калькулятора

У книзі «Магія чисел» розповідається про десятки трюків, які спрощують звичні математичні операції. Виявилося, що множення та розподіл у стовпчик - це минуле століття, а є набагато більш ефективні способи розподілу в умі.

Ось 10 найцікавіших та найкорисніших трюків.

Множення «3 на 1» в думці

Примноження тризначних чисел на однозначні - це дуже проста операція. Все, що потрібно зробити, - це розбити велике завдання на кілька маленьких.

приклад: 320 × 7

1. Розбиваємо число 320 на два простіші числа: 300 і 20.
2. Помножуємо 300 на 7 та 20 на 7 окремо (2 100 та 140).
3. Складаємо числа, що вийшли (2 240).

Зведення у квадрат двоцифрових чисел

Зводити у квадрат двоцифрові числа не набагато складніше. Потрібно розбити число на два та отримати наближену відповідь.

приклад: 41^2

1. Віднімемо 1 з 41, щоб отримати 40, і додамо 1 до 41, щоб отримати 42.
2. Множимо два числа, що вийшли, скориставшись попередньою порадою (40 × 42 = 1 680).
3. Додаємо квадрат числа, на величину якого ми зменшували та збільшували 41 (1680 + 1^2 = 1681).

Ключове правило тут - перетворити число, що шукається, в пару інших чисел, які перемножити набагато простіше. Наприклад, для числа 41 це числа 42 і 40, для числа 77 - 84 і 70. Тобто ми віднімаємо і додаємо те саме число.

Миттєве зведення у квадрат числа, що закінчується на 5

З квадратами чисел, що закінчуються на 5, взагалі не потрібно напружуватись. Все, що потрібно зробити, - це помножити першу цифру на число, яке на одиницю більше, і додати до кінця числа 25.

приклад: 75^2

Розподіл на однозначне число

Поділ в умі - це досить корисна навичка. Подумайте про те, як часто ми ділимо числа щодня. Наприклад, рахунок у ресторані.

приклад: 675: 8

1. Знайдемо наближені відповіді, помноживши 8 на зручні числа, що дають останні результати (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Наша відповідь – 80 з хвостиком.
2. Віднімемо 640 з 675. Отримавши число 35, потрібно розділити його на 8 і отримати 4 із залишком 3.
3. Наша фінальна відповідь – 84,3.

Ми отримуємо не максимально точну відповідь (правильна відповідь - 84,375), але погодьтеся, що навіть такої відповіді буде більш ніж достатньо.

Просте отримання 15%

Щоб швидко дізнатися 15% від будь-якого числа, потрібно спочатку порахувати 10% від нього (перенісши кому на один знак вліво), потім поділити число, що вийшло на 2 і додати його до 10%.

приклад: 15% від 650

1. Знаходимо 10% – 65.
2. Знаходимо половину від 65 – це 32,5.
3. Додаємо 32,5 до 65 та отримуємо 97,5.

Банальний трюк

Мабуть, усі ми натикалися на такий трюк:

Задумайте будь-яке число. Помножте його на 2. Додайте 12. Розділіть суму на 2. Відніміть з неї вихідне число.

Ви отримали 6, так? Що б ви не загадали, ви все одно отримаєте 6. І ось чому:

1. 2x (подвоїти число).
2. 2x + 12 (додати 12).
3. (2x + 12): 2 = x + 6 (розділити на 2).
4. x + 6 − x (відняти початкове число).

Цей трюк збудований на елементарних правилах алгебри. Тому, якщо ви коли-небудь почуєте, що хтось його загадує, натягніть свою саму гордовиту усмішку, зробіть зневажливий погляд і розкажіть усім розгадку. 🙂

Магія числа 1089

Цей трюк існує не одне століття.

Запишіть будь-яке тризначне число, цифри якого йдуть у порядку зменшення (наприклад, 765 або 974). Тепер запишіть його у зворотному порядку і відніміть його з вихідного числа. До отриманої відповіді додайте її, тільки у зворотному порядку.

Яке число ви не обрали, в результаті отримаєте 1 089.

Швидке кубічне коріння

Як тільки ви запам'ятаєте ці значення, знаходити кубічний корінь із будь-якого числа буде просто.

приклад: кубічний корінь з 19 683

1. Беремо величину тисяч (19) і дивимося, між якими числами вона (8 і 27). Відповідно, першою цифрою у відповіді буде 2, а відповідь лежить у діапазоні 20+.
2. Кожна цифра від 0 до 9 з'являється в таблиці один раз у вигляді останньої цифри куба.
3. Оскільки остання цифра завдання - 3 (19 683), це відповідає 343 = 7^3. Отже, остання цифра відповіді – 7.
4. Відповідь – 27.

Примітка: трюк працює лише тоді, коли вихідне число є кубом цілого числа.

Правило 70

Щоб знайти число років, необхідних для подвоєння грошей, потрібно розділити число 70 на річну відсоткову ставку.

приклад: число років, необхідне подвоєння грошей з річною відсотковою ставкою 20%.

70: 20 = 3,5 роки

Правило 110

Щоб знайти кількість років, необхідних для потроєння грошей, потрібно розділити число 110 на річну відсоткову ставку.

приклад: кількість років, необхідне для потроєння грошей з річною процентною ставкою 12%.

110: 12 = 9 років

Математика – чарівна наука. Якщо навіть такі прості трюки дивують, то які фокуси можна придумати?

Одним з найчастіших математичних дій, що застосовуються в інженерних та інших обчисленнях, є зведення числа у другий ступінь, який інакше називають квадратним. Наприклад, цим способом розраховується площа об'єкта чи фігури. На жаль, у програмі Excel немає окремого інструменту, який би зводив задане число саме в квадрат. Тим не менш, цю операцію можна виконати, використовуючи самі інструменти, які застосовуються для зведення в будь-яку іншу ступінь. Давайте з'ясуємо, як слід використовувати їх для обчислення квадрата від заданого числа.

Як відомо, квадрат числа обчислюється його множенням самого себе. Дані принципи, природно, лежать в основі обчислення зазначеного показника та в Excel. У цій програмі звести число в квадрат можна двома способами: використавши знак зведення у ступінь формул «^» та застосувавши функцію СТУПЕНЬ. Розглянемо алгоритм застосування даних варіантів практично, щоб оцінити, який їх краще.

Спосіб 1: зведення за допомогою формули

Перш за все, розглянемо найпростіший і найчастіше використовуваний спосіб зведення в другий ступінь в Excel, який передбачає використання формули із символом «^» . При цьому, як об'єкт, який буде зведений у квадрат, можна використовувати число або посилання на комірку, де це числове значення розташоване.

Загальний вигляд формули для зведення у квадрат наступний:

У ній замість "n"Необхідно підставити конкретне число, яке слід звести у квадрат.

Подивимося, як це працює на конкретних прикладах. Для початку зведемо у квадрат число, яке буде складовою формули.

Тепер давайте подивимося, як звести квадрат значення, яке розташоване в іншому осередку.

Спосіб 2: використання функції СТУПЕНЬ

Також для зведення числа у квадрат можна використовувати вбудовану функцію Excel СТУПЕНЬ. Цей оператор входить у категорію математичних функцій та її завданням є зведення певного числового значення в зазначену степень. Синтаксис у функції наступний:

СТУПЕНЬ (число; ступінь)

Аргумент «Кількість»може являти собою конкретне число або посилання елемент листа, де воно розташоване.

Аргумент «Ступінь»свідчить про ступінь, у якому необхідно звести число. Так як перед нами поставлено питання зведення в квадрат, то в нашому випадку цей аргумент дорівнюватиме 2 .

Тепер подивимося на конкретному прикладі, як здійснюється зведення в квадрат за допомогою оператора СТУПЕНЬ.

Також для вирішення поставленої задачі замість числа у вигляді аргументу можна використовувати посилання на комірку, в якій вона розташована.

Як відомо, площа прямокутника обчислюється перемноженням довжин двох різних сторін. У квадрата всі сторони рівні, тому потрібно перемножити бік саму себе. Звідси і виник вислів "звести до квадрата". Мабуть, найпростіший спосіб звести будь-яке число до квадрата – взяти звичайний калькулятор і перемножити потрібне число саме на себе. Якщо під рукою немає калькулятора, можна використовувати вбудований калькулятор у мобільному телефоні. Для більш просунутих користувачів можна порадити скористатися програмою Office Microsoft Excel, особливо, якщо такі обчислення потрібно проводити досить часто. Для цього необхідно виділити довільну комірку, наприклад G7, і вписати до неї формулу = F7 * F7. Далі в комірку F7 ввести будь-яке число, а в комірці G7 отримати результат.

Як звести до квадрата число, остання цифра якого 5. Для зведення у квадрат цього числа потрібно відкинути останню цифру числа. Отримане число необхідно перемножити з числом на 1 більшим. Потім потрібно дописати число 25 праворуч після отриманого результату. приклад. Нехай потрібно отримати квадрат числа 35. Після того, як буде відкинуто останню цифру 5, залишається число 3. Додається 1- виходить число 4.3х4=12. Дописується 25 і виходить результат 1225. 35х35 = 3 * 4 дописати 25 = 1225.

Як звести до квадрата число, остання цифра якого 6. Цей алгоритм підійде для тих, хто розібрався з питанням, як звести до квадрата число, що закінчується на цифру 5. Як відомо з математики, квадрат двочлена можна розрахувати за формулою (А+В) х (А + В) = АхА + 2хАхВ + ВхВ. У випадку зі зведенням у квадрат числа A, остання цифра якого 6, це число можна уявити як А=В+1, де В - число, яке на 1 менше від числа А, тому його остання цифра - 5. У цьому випадку формулу можна уявити у простішому вигляді (В+1) х(B+1) =ВхВ+2хВх1+1х1=ВхВ + 2хВ+1. Нехай для прикладу це число буде 16. Рішення 16 х16=15 х15+2х15 х1+1х1=225+30+1=256Усне правило: для того, щоб знайти квадрат числа, що закінчується на 6: потрібно попереднє число звести в квадрат, додати два рази попереднє число та додати 1.

Як звести в квадрат числа від 11 до 29. Для зведення в квадрат чисел від 11 до 19, потрібно до вихідного числа додати число одиниць, результат, що вийшов, помножити на 10 і приписати праворуч зведене в квадрат число одиниць. приклад. Звести до квадрата 13. Число одиниць у цьому числі – 3. Далі потрібно обчислити проміжне число 13+3=16. Потім помножити його на 10. Виходить 160. Квадрат числа одиниць 3х3=9. Підсумковий результат 169. Для чисел третього десятка застосовується аналогічний алгоритм, тільки множити потрібно на 20 і одиниць додавати, а не приписувати. приклад. Обчислити квадрат числа 24. Знаходиться число одиниць – 4. Обчислюється проміжне число – 24+4=28. Після множення на 20 утворюється 560. Квадрат числа одиниць 4х4=16. Підсумковий результат 560+16=576.

Як звести до квадрата числа від 40 до 60. Алгоритм досить простий. Спочатку потрібно знайти, наскільки це число більше або менше середини діапазону числа 50. До отриманого результату додати (якщо число більше 50) або відняти (якщо число менше 50) 25. Отриману суму (або різницю) помножити на 100. До отриманого результату додати квадрат різниці між числом, квадрат якого необхідно визначити, і числом 50. Приклад: необхідно визначити квадрат числа 46. Різниця 50-46=4.5-4=1.1х100=0.4х4=6.0+16=2116. Підсумок: 46х46 = 2116.

Ще один прийом як звести в квадрат числа від 40 до 60. Для того щоб обчислити квадрат числа від 40 до 49, необхідно число одиниць збільшити на 15, отриманий результат помножити на 100, праворуч від нього приписати квадрат різниці між останньою цифрою заданого числа і 10. Приклад. Обчислити квадрат числа 42. Число одиниць цього числа - 2. Додається 15: 2+15=17. Знаходиться різниця цього числа одиниць і 10. Вона дорівнює 8. Зводиться в квадрат: 8х8=64. Число 64 приписується праворуч до попереднього результату 17. Виходить підсумкове число 1764. Якщо число знаходиться в діапазоні від 51 до 59, то для зведення його в квадрат використовується той же алгоритм, тільки до одиниць потрібно додавати 25.

Як зводити в квадрат в думці будь-яке двозначне число. Якщо людина знає, як зводити в квадрат однозначні числа, тобто - знає таблицю множення, то він не виникне проблем при обчисленні квадратів двоцифрових чисел. приклад. Потрібно звести двозначне число 36 квадратний. Це число множиться на кількість своїх десятків. 36х3 = 8. Далі потрібно знайти добуток цифр числа: 3х6 = 18. Потім скласти обидва результати. 108 +18 = 126. Наступний крок: необхідно звести квадрат одиниці вихідного числа: 6х6=36. В отриманому творі визначається кількість десятків – 3 та додається до попереднього результату: 126+3=129. І останній крок. Праворуч отриманого результату приписується кількість одиниць вихідного числа, у цьому прикладі - 6. Кінцевий результат – число 1296.

Існує безліч способів, як зводити в квадрат різні числа. Деякі з наведених алгоритмів досить прості, деякі досить громіздкі і на перший погляд незрозумілі. Багато людей користуються століттями. Кожна людина може сама розробити свої власні більш зрозумілі та цікаві алгоритми. Але якщо є проблеми з усним рахунком чи виникли інші труднощі – доведеться залучити технічні засоби.

Розглянемо тепер зведення в квадрат двочлена і, застосовуючись до арифметичної точки зору, говоритимемо про квадрат суми, тобто (a + b)² і квадрат різниці двох чисел, тобто (a – b)².

Оскільки (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

то знайдемо: (a + b) ∙ (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2 ab + b ², тобто.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Цей результат корисно запам'ятати і у вигляді вищеописаної рівності і словами: квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс добуток двійки на перше число та на друге число плюс квадрат другого числа.

Знаючи цей результат, ми можемо відразу написати, наприклад:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Розберемо другий із цих прикладів. Нам потрібно звести до квадрата суму двох чисел: перше число є 3ab, друге 1. Повинно вийти: 1) квадрат першого числа, тобто (3ab)², що дорівнює 9a²b²; 2) добуток двійки на перше число і на друге, тобто 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) квадрат 2-го числа, тобто 1² = 1 – всі ці три члени мають скласти між собою.

Цілком також отримаємо формулу для зведення у квадрат різниці двох чисел, тобто для (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

тобто квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа, мінус добуток двійки на перше число і на друге плюс квадрат другого числа .

Знаючи цей результат, ми можемо одразу виконувати зведення у квадрат двочленів, які представляють з погляду арифметики різницю двох чисел.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 тощо.

Пояснимо другий приклад. Тут ми маємо у дужках різницю двох чисел: перше число 5ab 3 і друге число 3a 2 b. В результаті має вийти: 1) квадрат першого числа, тобто (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6 , 2) добуток двійки на 1-е та на 2-е число, тобто 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 і 3) квадрат другого числа, тобто (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; перший і третій члени треба взяти з плюсом, а другий з мінусом, отримаємо 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 . У пояснення 4-го прикладу зауважимо лише, що 1) (a n-1)2 = a 2n-2 … треба показника ступеня помножити на 2 і 2) добуток двійки на 1-е число і на 2-ге = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Якщо стати на думку алгебри, то обидві рівності: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² і 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² виражають те саме, а саме: квадрат двочлена дорівнює квадрату першого члена плюс добуток числа (+2) на перший член і на другий плюс квадрат другого члена. Це ясно, тому що наші рівності можна переписати у вигляді:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

У деяких випадках так і зручно тлумачити отримані рівності:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Тут зводиться квадрат двочлен, перший член якого = –4a і другий = –3b. Далі ми отримаємо (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² і остаточно:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Можливо було б також отримати і запам'ятати формулу для зведення у квадрат тричлена, чотиричлена та взагалі будь-якого багаточлена. Однак, ми цього робити не будемо, бо застосовувати ці формули доводиться рідко, а якщо знадобиться якийсь багаточлен (крім двочлена) звести в квадрат, то зводитимемо справу до множення. Наприклад:

31. Застосуємо отримані 3 рівності, а саме:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

до арифметики.

Нехай треба 41 ∙ 39. Тоді ми можемо це уявити у вигляді (40 + 1) (40 – 1) і звести справу до першої рівності – отримаємо 40² – 1 або 1600 – 1 = 1599. Завдяки цьому легко виконувати в розумі множення на кшталт 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 тощо.

Нехай треба 41 ∙ 41; це однаково, що 41² або (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Також 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. то це дорівнює (40 - 3) ² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Подібні множення (або зведення в квадрат двоцифрових чисел) легко виконувати, при певній навичці, в умі.

Сьогодні ми навчимося швидко без калькулятора зводити великі вирази у квадрат. Під великими я маю на увазі числа в межах від десяти до ста. Великі висловлювання вкрай рідко зустрічаються у справжніх завданнях, а значення менше десяти ви й так вмієте рахувати, бо це звичайна таблиця множення. Матеріал сьогоднішнього уроку буде корисний досить досвідченим учням, тому що учні-початківці просто не оцінять швидкість і ефективність цього прийому.

Спочатку давайте розберемося взагалі, про що йдеться. Пропоную для прикладу зробити зведення довільного числового виразу, як ми зазвичай це робимо. Скажімо, 34. Зводимо його, помноживши саме на себе стовпчиком:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))]]

1156 - це і є квадрат 34.

Проблему цього способу можна описати двома пунктами:

1) він вимагає письмового оформлення;

2) у процесі обчислення дуже легко припуститися помилки.

Сьогодні ми навчимося швидкого множення без калькулятора, усно та практично без помилок.

Отже, почнемо. Для роботи нам знадобиться формула квадрата суми та різниці. Давайте запишемо їх:

\[((((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Що це нам дає? Справа в тому, що будь-яке значення в межах від 10 до 100 представимо у вигляді числа $a$, яке ділиться на 10, і числа $b$, яке є залишком від поділу на 10.

Наприклад, 28 можна подати у такому вигляді:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\end(align)\]

Аналогічно представляємо приклади, що залишилися:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\end(align)\]

Що дає нам таку виставу? Справа в тому, що при сумі або різниці ми можемо застосувати вищеописані викладки. Зрозуміло, щоб скоротити обчислення, для кожного з елементів слід вибрати вираз із найменшим другим доданком. Наприклад, із варіантів $20+8$ і $30-2$ слід вибрати варіант $30-2$.

Аналогічно вибираємо варіанти для інших прикладів:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

Чому слід прагнути до зменшення другого доданку при швидкому множенні? Вся справа у вихідних викладках квадрата суми та різниці. Справа в тому, що доданок $2ab$ з плюсом або мінусом найважче вважається при вирішенні справжніх завдань. І якщо множник $a$, кратний 10, завжди перемножується легко, то з множником $b$, який є числом у межах від однієї до десяти, у багатьох учнів регулярно виникають труднощі.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Отак за три хвилини ми зробили множення восьми прикладів. Це менше 25 секунд на кожен вираз. Насправді після невеликого тренування ви вважатимете ще швидше. На підрахунок будь-якого двозначного виразу у вас йтиме не більше п'яти-шести секунд.

Але це ще не все. Для тих, кому показаний прийом здається недостатньо швидким і недостатньо крутим, пропоную ще швидший спосіб множення, який проте працює не для всіх завдань, а лише для тих, які на одиницю відрізняються від кратних 10. У нашому уроці таких значень чотири: 51 21, 81 та 39.

Здавалося б, куди вже швидше, ми й так вважаємо їх буквально за кілька рядків. Але, насправді, можна прискоритися, і робиться це так. Записуємо значення, кратне десяти, яке найближче до потрібного. Наприклад, візьмемо 51. Тому для початку зведемо п'ятдесят:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Значення, кратні десяти, піддаються зведенню квадрат набагато простіше. А тепер до вихідного виразу просто додаємо п'ятдесят і 51. Відповідь вийде та сама:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

І так із усіма числами, що відрізняються на одиницю.

Якщо значення, яке ми шукаємо, більше, ніж те, що ми вважаємо, то до отриманого квадрата ми додаємо числа. Якщо ж число, яке шукається менше, як у випадку з 39, то при виконанні дії, з квадрата потрібно відняти значення. Давайте потренуємося без використання калькулятора:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Як бачите, завжди відповіді виходять однаковими. Більш того, цей прийом застосовується до будь-яких суміжних значень. Наприклад:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\end(align)\]

При цьому нам зовсім не потрібно згадувати викладки квадратів суми та різниці та використовувати калькулятор. Швидкість роботи вище за всякі похвали. Тому запам'ятовуйте, тренуйтеся та використовуйте на практиці.

Ключові моменти

За допомогою цього прийому ви зможете легко робити множення будь-яких натуральних чисел від 10 до 100. Причому всі розрахунки виконуються усно, без калькулятора і навіть без паперу!

Для початку запам'ятайте квадрати значень, кратних 10:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80) ^ (2)) = 6400, ((90) ^ (2)) = 8100. \\end(align)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4) ^ (2)) = \ \ & = 900 +240 +16 = 1156; \\end(align)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3) ^ (2)) = \ \ & = 900-180 +9 = 729. \\end(align)\]

Як вважати ще швидше

Але це ще не все! За допомогою даних виразів миттєво можна зробити зведення в квадрат чисел, суміжних з опорними. Наприклад, ми знаємо 152 (опорне значення), а треба знайти 142 (суміжне число, яке на одиницю менше опорного). Давайте запишемо:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\end(align)\]

Зверніть увагу: жодної містики! Квадрати чисел, що відрізняються на 1, дійсно виходять з множення самих на себе опорних чисел, якщо відняти або додати два значення:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \&& =900+61=961. \\end(align)\]

Чому так відбувається? Давайте запишемо формулу квадрата суми (і різниці). Нехай $n$ - наше опорне значення. Тоді вони вважаються так:

\[\begin(align)& ((((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- Це і є формула.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]

- Аналогічна формула для чисел, більших на 1.

Сподіваюся, цей прийом заощадить вам час на всіх відповідальних контрольних та іспитах з математики. А маю на цьому все. До зустрічі!