Зведення у ступінь із негативним показником. Що таке ступеня з раціональним показником

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n / b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.

Початковий рівень

Ступінь та її властивості. Вичерпний гід (2019)

Навіщо потрібні ступені? Де вони тобі стануть у пригоді? Чому тобі потрібно витрачати час на їхнє вивчення?

Щоб дізнатися все про ступені, про те, для чого вони потрібні, як використовувати свої знання в повсякденному житті читай цю статтю.

І, звичайно ж, знання ступенів наблизить тебе до успішної здачі ОДЕ або ЄДІ та до вступу до ВНЗ твоєї мрії.

Let"s go... (Поїхали!)

Важливе зауваження! Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Для цього потрібно натиснути CTRL+F5 (Windows) або Cmd+R (Mac).

ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ

Зведення в ступінь - це така сама математична операція, як додавання, віднімання, множення або поділ.

Наразі поясню все людською мовою на дуже простих прикладах. Будь уважний. Приклади елементарні, але пояснюють важливі речі.

Почнемо зі складання.

Пояснювати тут нема чого. Ти й так усе знаєш: нас вісім чоловік. У кожного по дві пляшки коли. Скільки всього коли? Правильно – 16 пляшок.

Тепер множення.

Той самий приклад із колою можна записати інакше: . Математики - люди хитрі та ліниві. Вони спочатку помічають якісь закономірності, а потім вигадують спосіб якнайшвидше їх «рахувати». У нашому випадку вони помітили, що у кожного з восьми чоловік однакова кількість пляшок коли і придумали прийом, який називається множенням. Погодься, вважається легше і швидше, ніж.

Отже, щоб вважати швидше, легше і без помилок, потрібно лише запам'ятати таблицю множення. Ти, звичайно, можеш робити все повільніше, важче та з помилками! Але...

Ось таблиця множення. Повторюй.

І інший, красивіший:

А які ще хитрі прийоми рахунку вигадали ліниві математики? Правильно - зведення числа в ступінь.

Зведення числа до ступеня

Якщо тобі потрібно помножити число на себе п'ять разів, то математики кажуть, що тобі потрібно звести це число в п'яту ступінь. Наприклад, . Математики пам'ятають, що два в п'ятому ступені – це. І вирішують такі завдання в умі - швидше, легше і без помилок.

Для цього потрібно лише запам'ятати те, що виділено кольором у таблиці ступенів чисел. Повір, це дуже полегшить тобі життя.

До речі, чому другий ступінь називають квадратомчисла, а третю - кубом? Що це означає? Дуже добре питання. Нині будуть тобі і квадрати, і куби.

Приклад із життя №1

Почнемо з квадрата чи з другого ступеня числа.

Уяви собі квадратний басейн розміром метра на метр. Басейн стоїть у тебе на дачі. Спека і дуже хочеться купатися. Але… басейн без дна! Потрібно застелити дно басейну плиткою. Скільки тобі треба плитки? Для того, щоб це визначити, тобі потрібно дізнатися площу дна басейну.

Ти можеш просто порахувати, тикаючи пальцем, що дно басейну складається із кубиків метр на метр. Якщо у тебе плитка метр на метр, тобі потрібно буде шматків. Це легко… Але де ти бачив таку плитку? Плитка швидше буде див на див. І тоді «пальцем рахувати» замучуєшся. Тоді доведеться множити. Отже, з одного боку дна басейну в нас поміститься плиток (штук) і з іншого теж плиток. Помноживши на ти отримаєш плиток ().

Ти помітив, що для визначення площі дна басейну ми помножили одне й те саме саме на себе? Що це означає? Якщо множиться те саме число, ми можемо скористатися прийомом «зведення в ступінь». (Звичайно, коли в тебе всього два числа, все одно перемножити їх або звести в ступінь. Але якщо в тебе їх багато, то зводити в ступінь значно простіше і помилок при розрахунках виходить теж менше. Для ЄДІ це дуже важливо).
Отже, тридцять другою мірою буде (). Або ж можна сказати, що тридцять у квадраті буде. Іншими словами, другий ступінь числа завжди можна подати у вигляді квадрата. І навпаки, якщо ти бачиш квадрат - це ЗАВЖДИ другий ступінь якогось числа. Квадрат – це зображення другого ступеня числа.

Приклад із життя №2

Ось тобі завдання, порахувати, скільки квадратів на шахівниці за допомогою квадрата числа... З одного боку клітин і з іншого теж. Щоб порахувати їх кількість, потрібно вісім помножити на вісім або якщо помітити, що шахова дошка - це квадрат зі стороною, то можна звести вісім у квадрат. Вийде клітини. () Так?

Приклад із життя №3

Тепер куб чи третій ступінь числа. Той самий басейн. Але тепер тобі потрібно дізнатися, скільки води доведеться залити у цей басейн. Тобі треба порахувати обсяг. (Обсяги та рідини, до речі, вимірюються в кубічних метрах. Несподівано, правда?) Намалюй басейн: дно розміром на метр і глибиною метра і спробуй порахувати, скільки всього кубів розміром метр на метр увійде в твій басейн.

Прямо показуй пальцем і рахуй! Раз, два, три, чотири… двадцять два, двадцять три… Скільки вийшло? Чи не збився? Важко пальцем рахувати? Так то! Бери приклад із математиків. Вони ліниві, тому помітили, що щоб порахувати обсяг басейну, треба перемножити один на одного його довжину, ширину та висоту. У нашому випадку обсяг басейну дорівнюватиме кубів… Легше правда?

А тепер уяви, наскільки математики ліниві та хитрі, якщо вони і це спростили. Звели все до однієї дії. Вони помітили, що довжина, ширина і висота дорівнює і що те саме число перемножується саме на себе… А що це означає? Це означає, що можна скористатися ступенем. Отже, те, що ти вважав пальцем, вони роблять в одну дію: три в кубі одно. Записується це так: .

Залишається тільки запам'ятати таблицю ступенів. Якщо ти, звичайно, такий же лінивий і хитрий як математики. Якщо любиш багато працювати і робити помилки – можеш продовжувати вважати пальцем.

Ну і щоб остаточно переконати тебе, що мірою придумали ледарі та хитрюги для вирішення своїх життєвих проблем, а не для того, щоб створити тобі проблеми, ось тобі ще пара прикладів із життя.

Приклад із життя №4

У тебе є мільйон рублів. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще один мільйон. Тобто, кожен твій мільйон на початку кожного року подвоюється. Скільки грошей у тебе буде за роки? Якщо ти зараз сидиш і «вважаєш пальцем», значить ти дуже працьовита людина і дурна. Але швидше за все ти даси відповідь через пару секунд, бо ти розумний! Отже, у перший рік – два помножити на два… на другий рік – те, що вийшло, ще на два, на третій рік… Стоп! Ти помітив, що число перемножується саме на себе один раз. Значить, два в п'ятому ступені - мільйон! А тепер уяви, що у вас змагання і ці мільйони отримає той, хто швидше порахує... Варто запам'ятати ступеня чисел, як вважаєш?

Приклад із життя №5

У тебе є мільйон. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще два. Здорово правда? Кожен мільйон потроюється. Скільки грошей у тебе буде за рік? Давай рахувати. Перший рік – помножити на, потім результат ще на… Вже нудно, бо ти вже все зрозумів: три множиться саме на себе рази. Значить четвертою мірою дорівнює мільйон. Треба просто пам'ятати, що три в четвертому ступені це або.

Тепер ти знаєш, що за допомогою зведення числа в ступінь ти полегшить собі життя. Давай подивимося на те, що можна робити зі ступенями і що тобі потрібно знати про них.

Терміни та поняття... щоб не заплутатися

Отже, спочатку давай визначимо поняття. Як думаєш, що таке показник ступеня? Це дуже просто - це число, яке знаходиться «вгорі» ступеня числа. Не науково, зате зрозуміло і легко запам'ятати.

Ну і заразом, що така підстава ступеня? Ще простіше - це число, яке знаходиться внизу, в основі.

Ось тобі рисунок для вірності.

Ну і в загальному вигляді, щоб узагальнити і краще запам'ятати.

Ступінь числа з натуральним показником

Ти вже напевно здогадався: бо показник ступеня – це натуральне число. Так, але що таке натуральне число? Елементарно! Натуральні це числа, які використовуються в рахунку при перерахуванні предметів: один, два, три... Ми ж коли вважаємо предмети не говоримо: «мінус п'ять», «мінус шість», «мінус сім». Ми так само не говоримо: "одна третя", або "нуль цілих, п'ять десятих". Це не натуральні цифри. А які це числа, як ти думаєш?

Числа типу "мінус п'ять", "мінус шість", "мінус сім" відносяться до цілим числам.Взагалі, до цілих чисел відносяться всі натуральні числа, протилежні числа натуральним (тобто взяті зі знаком мінус), і число. Нуль зрозуміти легко – це коли нічого немає. А що означає негативні («мінусові») числа? А ось їх придумали в першу чергу для позначення боргів: якщо у тебе баланс на телефоні рублів, це означає, що ти винен оператору рублів.

Будь-які дроби – це раціональні числа. Як вони виникли, як гадаєш? Дуже просто. Декілька тисяч років тому наші предки виявили, що їм не вистачає натуральних чисел для вимірювання довжини, ваги, площі тощо. І вони вигадали раціональні числа… Цікаво, правда ж?

Є ще ірраціональні числа. Що це за числа? Якщо коротко, то нескінченний десятковий дріб. Наприклад, якщо довжину кола розділити на її діаметр, то вийде ірраціональне число.

Резюме:

Визначимо поняття ступеня, показник якого — натуральне число (тобто ціле та позитивне).

1. Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі:
2. Звести число в квадрат - значить помножити його саме на себе:
3. Звести число в куб - значить помножити його на себе три рази:

Визначення.Звести число в натуральну міру - значить помножити число саме на себе раз:
.

Властивості ступенів

Звідки ці властивості взялися? Зараз покажу.

Подивимося: що таке і ?

За визначенням:

Скільки тут множників всього?

Дуже просто: до множників ми дописали множників, разом вийшло множників.

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто: що і потрібно довести.

приклад: Спростіть вираз

Рішення:

Приклад:Спростіть вираз.

Рішення:Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковоповинні бути однакові підстави!
Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

тільки для створення ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

2. то й є -а ступінь числа

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі:

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати?

Але це не так, адже.

Ступінь з негативною основою

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показник ступеня.

Але якою має бути підстава?

У ступенях з натуральним показникомоснова може бути будь-яким числом. І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть.

Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ? З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо, вийде.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

Впорався?

Ось відповіді: У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним.

Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий!

6 прикладів для тренування

Розбір рішення 6 прикладів

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило.

Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках.

Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні їм (тобто узяті зі знаком «») та число.

ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.

А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:

Як завжди, запитаємо себе: чому це так?

Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:

Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А на яку кількість треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.

Можемо зробити те саме вже з довільним числом:

Повторимо правило:

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.

Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є - це число (як основа).

З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль у нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не тільки ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.

Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, дійдемо як минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативне:

Звідси вже нескладно висловити:

Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:

Отже, сформулюємо правило:

Число негативною мірою назад такому ж числу позитивно. Але при цьому основа не може бути нульовою:(Бо на ділити не можна).

Підведемо підсумки:

I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.

ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .

ІІІ. Число, що не дорівнює нулю, негативною мірою назад такому ж числу в позитивному ступені: .

Завдання для самостійного вирішення:

Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:

Розбір завдань для самостійного розв'язання:

Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!

Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.

Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?

Відповідь: всі, які можна подати у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.

Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:

Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:

Тепер згадаємо правило про «ступінь ступеня»:

Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?

Це формулювання - визначення кореня ступеня.

Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.

Тобто, корінь ступеня - це операція, зворотна зведенню в ступінь: .

Виходить що. Зрозуміло, цей окремий випадок можна розширити: .

Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь ступеня»:

Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.

Жодне!

Згадуємо правило: будь-яке число, зведене парний ступінь - число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!

А це означає, що не можна такі числа зводити в дрібний ступінь з парним знаменником, тобто вираз не має сенсу.

А що щодо висловлювання?

Але тут постає проблема.

Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.

І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи одного і того ж числа.

Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).

Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.

Отже, якщо:

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Ступені з раціональним показником дуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:

5 прикладів для тренування

Розбір 5 прикладів для тренування

Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.

Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком

Адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це все дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах.

Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе;

...число в нульовому ступені- це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число;

...ступінь із цілим негативним показником- це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число.

Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))

Наприклад:

Виріши самостійно:

Розбір рішень:

1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:

Тепер подивися на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:

В даному випадку,

Виходить що:

Відповідь: .

2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового виду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:

Відповідь: 16

3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Визначення ступеня

Ступенем називається вираз виду: , де:

• — основа ступеня;
• - показник ступеня.

Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)

Звести число в натуральний ступінь n - значить помножити число саме на себе:

Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)

Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:

Зведення у нульовий ступінь:

Вислів невизначений, т.к., з одного боку, будь-якою мірою - це, з другого - будь-яке число -ою мірою - це.

Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:

(Бо на ділити не можна).

Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.

Приклади:

Ступінь із раціональним показником

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Властивості ступенів

Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.

Подивимося: що таке та?

За визначенням:

Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто:

Що і потрібно було довести.

приклад : Спростіть вираз

Рішення : .

приклад : Спростіть вираз

Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Перегрупуємо цей твір так:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.

Ступінь із негативною основою.

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .

І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?

З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо (), вийде - .

І так нескінченно: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:

1. парнуступінь - число позитивне.
2. Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
3. Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
4. Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

Впорався? Ось відповіді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що, стає ясно, що, отже, підстава менша за нуль. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.

І знову використовуємо визначення ступеня:

Все як завжди - записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари і отримуємо:

Перш ніж розібрати останнє правило, розв'яжемо кілька прикладів.

Обчисли значення виразів:

Рішення :

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів!

Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило 3. Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Якщо примножити його на, нічого не зміниться, чи не так? Але тепер виходить таке:

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках. Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Отже, тепер останнє правило:

Як доводитимемо? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:

Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках - що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:

Приклад:

Ступінь з ірраціональним показником

На додаток до інформації про ступені для середнього рівня, розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком - адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це усі дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені - це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь із цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показник ступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)

Наприклад:

Виріши самостійно:

Відповіді:

1. Згадуємо формулу різниця квадратів. Відповідь: .
2. Наводимо дроби до однакового виду: або обидві десяткові або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад: .
3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

ступенемназивається вираз виду: , де:

Ступінь із цілим показником

ступінь, показник якого - натуральне число (тобто ціле і позитивне).

Ступінь із раціональним показником

ступінь, показник якого - негативні та дробові числа.

Ступінь з ірраціональним показником

ступінь, показник якої - нескінченний десятковий дріб або корінь.

Властивості ступенів

Особливості ступенів.

• Негативне число, зведене в парнуступінь - число позитивне.
• Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
• Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
• Нуль будь-якою мірою дорівнює.
• Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.

ТЕПЕР ТЕБЕ СЛОВО...

Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.

Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.

Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.

Напиши коментарі.

І удачі на іспитах!

Однією з основних показників в алгебрі, та й у всій математиці є ступінь. Звичайно, в 21 столітті всі розрахунки можна проводити на онлайн-калькуляторі, але краще для розвитку мозку навчитися робити це самому.

У цій статті розглянемо найважливіші питання щодо цього визначення. А саме, зрозуміємо, що це взагалі таке і які основні його функції, які є властивості математики.

Розглянемо на прикладах те, як виглядає розрахунок, які є основні формули. Розберемо основні види величини та те, чим вони відрізняються від інших функцій.

Зрозуміємо, як вирішувати з допомогою цієї величини різні завдання. Покажемо на прикладах, як зводити в нульовий ступінь, ірраціональний, негативний та ін.

Онлайн-калькулятор зведення в ступінь

Що таке ступінь числа

Що ж мають на увазі під виразом «звести число до ступеня»?

Ступенем n числа а є добуток множників завбільшки а n-раз поспіль.

Математично це виглядає так:

a n = a * a * a * … a n.

Наприклад:

• 2 3 = 2 у третій степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 у степ. два = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 у степ. чотири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 степ. = 10*10*10*10*10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 степ. = 10*10*10*10 = 10000.

Нижче буде представлена ​​таблиця квадратів та кубів від 1 до 10.

Таблиця ступенів від 1 до 10

Нижче будуть наведені результати зведення натуральних чисел позитивно – «від 1 до 100».

Властивості ступенів

Що ж притаманно такої математичної функції? Розглянемо базові характеристики.

Вченими встановлено наступні ознаки, характерні для всіх ступенів:

• a n * a m = (a) (n + m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b * m).

Перевіримо на прикладах:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. З іншого боку 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Аналогічно: 23: 22 = 8 / 4 =2. Інакше 23-2 = 21 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. А якщо інакше? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Як бачимо, правила працюють.

А як же бути зі складанням та відніманням? Все просто. Виконується спочатку зведення у ступінь, а вже потім додавання та віднімання.

Подивимося на прикладах:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Зверніть увагу: правило не виконуватиметься, якщо спочатку віднімати: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

А ось у цьому випадку треба обчислювати спочатку додавання, оскільки є дії в дужках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Як виготовляти обчислення у складніших випадках? Порядок той самий:

• за наявності дужок – починати треба з них;
• потім зведення у ступінь;
• потім виконувати дії множення, розподілу;
• після додавання, віднімання.

Є специфічні властивості, характерні не для всіх ступенів:

1. Корінь n-ого ступеня з числа a ступенем m запишеться у вигляді: a m / n .
2. При зведенні дробу в ступінь: цій процедурі схильні як чисельник, і його знаменник.
3. При зведенні добутку різних чисел у ступінь, вираз буде відповідати добутку цих чисел у заданому ступені. Тобто: (a * b) n = a n * b n.
4. При зведенні числа в негативну степ., Потрібно поділити 1 на число в тій же ст-ні, але зі знаком «+».
5. Якщо знаменник дробу перебуває у негативному ступені, це вираз дорівнюватиме твору чисельника на знаменник у позитивної степени.
6. Будь-яке число в ступені 0 = 1, а в степу. 1 = самому собі.

Ці правила важливі окремих випадках, їх розглянемо докладніше нижче.

Ступінь із негативним показником

Що робити за мінусового ступеня, тобто коли показник негативний?

Виходячи з властивостей 4 та 5(дивися вище), виходить:

A(-n) = 1/An, 5(-2) = 1/5 2 = 1/25.

І навпаки:

1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

А якщо дріб?

(A/B) (-n) = (B/A) n , (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Ступінь із натуральним показником

Під нею розуміють ступінь із показниками, рівними цілим числам.

Що потрібно запам'ятати:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... і т. д.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... і т. д.

Крім того, якщо (-a) 2 n +2 , n = 0, 1, 2 ... то результат буде зі знаком «+». Якщо негативне число зводиться в непарну міру, то навпаки.

Загальні властивості, та й усі специфічні ознаки, описані вище, також характерні їм.

Дробовий ступінь

Цей вид можна записати схемою: A m/n. Читається як: корінь n-ого ступеня з числа A до ступеня m.

З дрібним показником можна робити, що завгодно: скорочувати, розкладати на частини, зводити в інший ступінь і т.д.

Ступінь з ірраціональним показником

Нехай α – ірраціональне число, а А 0 .

Щоб зрозуміти суть ступеня з таким показником, розглянемо різні можливі випадки:

• А = 1. Результат дорівнюватиме 1. Оскільки існує аксіома – 1 у всіх ступенях дорівнює одиниці;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – раціональні числа;

• 0˂А˂1.

У цьому випадку навпаки: А r 2 ? А ?

Наприклад, показник ступеня число π.Воно раціональне.

r 1 - у цьому випадку дорівнює 3;

r 2 – дорівнюватиме 4.

Тоді, за А = 1, 1 π = 1.

А = 2, то 2 3 2 π 2 4 , 8 2 π 16.

А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Для таких ступенів характерні всі математичні операції та специфічні властивості, описані вище.

Висновок

Підіб'ємо підсумки — навіщо потрібні ці величини, у чому перевага таких функций? Звичайно, насамперед вони спрощують життя математиків та програмістів при вирішенні прикладів, оскільки дозволяють мінімізувати розрахунки, скоротити алгоритми, систематизувати дані та багато іншого.

Де ще можуть знадобитися ці знання? У будь-якій робочій спеціальності: медицина, фармакологія, стоматологія, будівництво, техніка, інженерія, конструювання і т.д.

Зведення в негативний ступінь – один із основних елементів математики, який часто зустрічається при вирішенні завдань алгебри. Нижче наведено докладну інструкцію.

Як зводити в негативний ступінь – теорія

Коли ми числом у звичайний ступінь, ми множимо його значення кілька разів. Наприклад, 3 3 = 3×3×3 = 27. З негативним дробом усе навпаки. Загальний вигляд за формулою матиме такий вигляд: a -n = 1/a n . Таким чином, щоб звести число в негативний ступінь, потрібно одиницю поділити на це число, але вже позитивно.

Як зводити в негативний ступінь – приклади на звичайних числах

Тримаючи вищенаведене правило розумі, вирішимо кілька прикладів.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Відповідь: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Відповідь -4 -2 = 1/16.

Але чому відповідь у першому та другому прикладах однакова? Справа в тому, що при зведенні негативного числа в парний ступінь (2, 4, 6 і т.д.) знак стає позитивним. Якби ступінь був парним, то мінус зберігся:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Як зводити у негативний ступінь – числа від 0 до 1

Згадаймо, що при зведенні числа в проміжку від 0 до 1 у позитивний ступінь значення зменшується зі зростанням ступеня. Так, наприклад, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Приклад 3: Обчислити 0,5 -2
Рішення: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Відповідь: 0,5 -2 = 4

Розбір (послідовність дій):

• Перекладаємо десятковий дріб 0,5 в дробовий 1/2. Так легше.
  Зводимо 1/2 в негативний ступінь. 1/(2) -2. Ділимо 1 на 1/(2) 2 , отримуємо 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Приклад 4: Обчислити 0,5 -3
Рішення: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Приклад 5: Обчислити -0,5 -3
Рішення: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Відповідь: -0,5 -3 = -8

Виходячи з 4-го та 5-го прикладів, зробимо кілька висновків:

• Для позитивного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 4), що зводиться в негативний ступінь, парність або непарність ступеня не важлива, значення виразу буде позитивним. При цьому чим більше ступінь, тим більше значення.
• Для негативного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 5), що зводиться в негативний ступінь, парність або непарність ступеня не має значення значення виразу буде негативним. При цьому чим більше ступінь, тим менше значення.

Як зводити у негативний ступінь – ступінь у вигляді дробового числа

Вирази цього типу мають такий вид: a -m/n , де a – звичайне число, m – чисельник ступеня, n – знаменник ступеня.

Розглянемо приклад:
Обчислити: 8 -1/3

Рішення (послідовність дій):

• Згадуємо правило зведення числа у негативний ступінь. Отримаємо: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Зауважте, у знаменнику число 8 в дрібній мірі. Загальний вид обчислення дробового ступеня такий: a m/n = n √8 m.
• Таким чином, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Отримуємо кубічний корінь із восьми, який дорівнює 2. Виходячи звідси, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Відповідь: 8 -1/3 = 2

Урок та презентація на тему: "Ступінь з негативним показником. Визначення та приклади вирішення завдань"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Муравіна Г.К. Посібник до підручника Алімова Ш.А.

Визначення ступеня з негативним показником

Ми добре знаємо, що будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці. $a^0=1$, $a≠0$.
Виникає питання, а що буде, якщо звести число в негативний ступінь? Наприклад, чому дорівнюватиме число $2^(-2)$?
Перші математики, що задалися цим питанням, вирішили, що винаходити велосипед заново не варто, і добре, щоб усі властивості ступенів залишалися колишніми. Тобто при множенні ступенів з однаковою основою показники ступеня складаються.
Розгляньмо такий випадок: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Отримали, що добуток таких чисел має давати одиницю. Одиниця у творі виходить при перемноженні зворотних чисел, тобто $ 2 ^ (-3) = \ frac (1) (2 ^ 3) $.

Такі міркування привели до такого визначення.
Визначення. Якщо $n$ – натуральне число і $а≠0$, то виконується рівність: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Важлива тотожність, яка часто використовується: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Зокрема, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Приклади рішення

Рішення.
Розглянемо кожне доданок окремо.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Залишилося виконати операції додавання і віднімання: $frac(1)(8)+frac(25)(4)-frac(1)(8)=frac(25)(4)=6frac(1) (4) $.
Відповідь: $ 6 \ frac (1) (4) $.

приклад 2.
Подати задане число у вигляді ступеня простого числа $ frac (1) (729) $.

Рішення.
Очевидно, що $ frac (1) (729) = 729 ^ (-1) $.
Але 729 - не просте число, яке закінчується на 9. Можна припустити, що це число є ступенем трійки. Послідовно розділимо 729 на 3.
1) $ \ frac (729) (3) = 243 $;
2) $ frac (243) (3) = 81 $;
3) $ frac (81) (3) = 27 $;
4) $ frac (27) (3) = 9 $;
5) $ frac (9) (3) = 3 $;
6) $ frac (3) (3) = 1 $.
Виконано шість операцій і означає $729=3^6$.
Для нашого завдання:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Відповідь: $3^(-6)$.

Приклад 3. Подайте вираз у вигляді ступеня: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Рішення. Першу дію виконується завжди всередині дужок, потім множення $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Відповідь: $a$.

Приклад 4. Доведіть тотожність:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Рішення.
У лівій частині розглянемо кожен співмножник у дужках окремо.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\) frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) )=\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Перейдемо до дробу, на який ділимо.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Виконаємо поділ.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Здобули вірну тотожність, що й потрібно було довести.

Наприкінці уроку ще раз запишемо правила дій зі ступенями, тут показник ступеня – це ціле число.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Завдання для самостійного вирішення