Усі формули з математики. Деякі математичні позначення та скорочення

На цій сторінці зібрані всі формули, необхідні для складання контрольних та самостійних робіт, іспитів з алгебри, геометрії, тригонометрії, стереометрії та інших розділів математики.

Тут ви можете завантажити або подивитися онлайн всі основні тригонометричні формули, формулу площі кола, формули скороченого множення, формула довжини кола, формули приведення та багато інших.

Можна також роздрукувати необхідні збірки математичних формул.

Успіхів в навчанні!

Формули Арифметики:

Формули Алгебри:

Геометричні Формули:

Арифметичні формули:

Закони дій над числами

Переміщувальний закон складання: a + b = b + a.

Сполучний закон складання: (a + b) + c = a + (b + c).

Переміщувальний закон множення: ab = ba.

Сполучний закон множення: (ab) з = a (bc).

Розподільний закон множення щодо складання: (a + b) с = aс + bс.

Розподільний закон множення щодо віднімання: (a - b) с = aс - bс.

Деякі математичні позначення та скорочення:

Ознаки подільності

Ознаки подільності на «2»

Число, що ділиться на «2» без залишку називається парним, що не ділиться - непарним. Число ділиться на «2» без залишку, якщо його остання цифра парна (2, 4, 6, 8) або нуль

Ознаки подільності на «4»

Число ділиться на «4» без залишку, якщо дві останні його цифри нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «4»

Ознаки подільності на «8»

Число ділиться на «8» без залишку, якщо три останні його цифри нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «8» (приклад: 1000 - три останні цифри «00», а при розподілі 1000 на 8 виходить 125; 104 - дві останні цифри "12" діляться на 4, а при розподілі 112 на 4 виходить 28; і т.д.)

Ознаки подільності на «3» та на «9»

Без залишку на «3» діляться лише ті числа, які мають суму цифр ділиться без залишку на «3»; на «9» — лише ті, у яких сума цифр ділиться без залишку на «9»

Ознаки подільності на «5»

Без залишку на "5" діляться числа, остання цифра яких "0" або "5"

Ознаки подільності на «25»

Без залишку на «25» діляться числа, дві останні цифри яких нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «25» (тобто числа, що закінчуються на «00», «25», «50», «75») »

Ознаки подільності на «10», «100» та «1 000»

Без залишку на «10» діляться лише ті числа, остання цифра яких нуль, на «100» — лише ті числа, які мають дві останні цифри нулі, на «1000» — лише ті числа, у яких три останні цифри нулі

Ознаки подільності на «11»

Без залишку на «11» діляться лише ті числа, у яких сума цифр, що займають непарні місця, або дорівнює сумі цифр, що займають парні місця, або відрізняється від неї на число, що ділиться на «11»

Абсолютна величина - формули (модуль)

|a| ? 0, причому | a | = 0, тільки якщо a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 | ab | = | a | * | b | |a/b|=|a|/|b|, причому b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Формули Дії з дробами

Формула обігу кінцевого десяткового дробу в раціональний дріб:

Пропорції

Два рівні відносини утворюють пропорцію:

Основна властивість пропорції

Знаходження членів пропорції

Пропорції, рівносильні пропорції : Похідна пропорція- Наслідок даної пропорціїу вигляді

Середні величини

Середнє арифметичне

Двох величин: nвеличин:

Середнє геометричне (середнє пропорційне)

Двох величин: nвеличин:

Середнє квадратичне

Двох величин: nвеличин:

Середнє гармонійне

Двох величин: nвеличин:

Деякі кінцеві числові ряди

Властивості числових нерівностей

1) Якщо a< b , то за будь-якого c: a + с< b + с .

2) Якщо a< b і з > 0, то aс< bс .

3) Якщо a< b і c< 0 , то aс > bс.

4) Якщо a< b , aі bодного знака, то 1/a > 1/b.

5) Якщо a< b і c< d , то a + с< b + d , a - d< b — c .

6) Якщо a< b , c< d , a > 0, b > 0, з > 0, d > 0, то ac< bd .

7) Якщо a< b , a > 0, b > 0, то

8) Якщо , то

• Формули Прогресії:

• 

• Похідна

• Логарифми:
• Координати та вектори

  1. Відстань між точками A1(x1;y1) та A2(x2;y2) знаходиться за формулою:

  2. Координати (x; y) середини відрізка з кінцями A1 (x1; y1) і A2 (x2; y2) знаходиться за формулами:

  

  3. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та початковою ординатою має вигляд:

  Кутовий коефіцієнт k являє собою значення тангенса кута, утвореного прямою з позитивним напрямом осі Ox, а початкова ордината q – значення ординати точки перетину прямої з віссю Oy.

  4. Загальне рівняння прямої має вигляд: ax + by + c = 0.

  5. Рівняння прямих, паралельних відповідно до осей Oy і Ox, мають вигляд:

  Ax+by+c=0.

  6. Умови паралельності та перпендикулярності прямих y1=kx1+q1 та y2=kx2+q2 відповідно мають вигляд:

  

  7. Рівняння кіл з радіусом R і з центром відповідно в точках O(0;0) і C(xo;yo) мають вигляд:

  8. Рівняння:

  являє собою рівняння параболи з вершиною в точці, абсцис якої

• Прямокутна декартова система координат у просторі

  1. Відстань між точками A1(x1;y1;z1) та A2(x2;y2;z2) знаходиться за формулою:

  2. Координати (x;y;z) середини відрізка з кінцями A1(x1;y1;z1) і A2(x2;y2;z2) знаходяться за формулами:

  3. Модуль вектора, заданого своїми координатами, знаходиться за формулою:

  

  4. При складанні векторів їх відповідні координати складаються, а при множенні вектора число всі його координати множаться цього число, тобто. справедливі формули:

  5. Одиничний вектор, спрямований з вектором, знаходиться за формулою:

  6. Скалярним твором векторів називається число:

  

  де - Кут між векторами.

  7. Скалярне твір векторів

  

  8. Косинус кута між векторами і знаходиться за формулою:

  9. Необхідна та достатня умова перпендикулярності векторів і має вигляд:

  10. Загальне рівняння площини, перпендикулярної вектору має вигляд:

  Ax+by+cz+d=0.

  11. Рівняння площини, перпендикулярної вектору і проходить через точку (xo; yo; zo), має вигляд:

  A(x - xo) + b (y - yo) + c (z - zo) = 0.

  12. Рівняння сфери із центром O(0;0;0) записується у вигляді.

Сесія наближається, і час нам переходити від теорії до практики. На вихідних ми сіли і подумали, що багатьом студентам було б непогано мати під рукою добірку основних фізичних формул. Сухі формули з поясненням: стисло, лаконічно, нічого зайвого. Дуже корисна штука під час вирішення завдань, чи знаєте. Та й на іспиті, коли з голови може «вискочити» саме те, що напередодні було найжорстокіше визубрене, така добірка буде чудовою службою.

Найбільше завдань зазвичай задають за трьома найпопулярнішими розділами фізики. Це механіка, термодинамікаі молекулярна фізика, електрика. Їх і візьмемо!

Основні формули з фізики динаміка, кінематика, статика

Почнемо з найпростішого. Старий-добрий улюблений прямолінійний і рівномірний рух.

Формули кінематики:

Звичайно, не забуватимемо про рух по колу, а потім перейдемо до динаміки та законів Ньютона.

Після динаміки саме час розглянути умови рівноваги тіл і рідин, тобто. статику та гідростатику

Тепер наведемо основні формули на тему «Робота та енергія». Куди ж нам без них!

Основні формули молекулярної фізики та термодинаміки

Закінчимо розділ механіки формулами з коливань і хвиль і перейдемо до молекулярної фізики та термодинаміки.

Коефіцієнт корисної дії, закон Гей-Люссака, рівняння Клапейрона-Менделєєва - всі ці милі серцю формули зібрані нижче.

До речі! Для всіх наших читачів зараз діє знижка 10% на .

Основні формули з фізики: електрика

Час переходити до електрики, хоч його і люблять менше термодинаміки. Починаємо з електростатики.

І, під барабанний дріб, закінчуємо формулами для закону Ома, електромагнітної індукції та електромагнітних коливань.

На цьому все. Звичайно, можна було б привести ще цілу гору формул, але це ні до чого. Коли формул стає занадто багато, можна легко заплутатися, а там і зовсім розплавити мозок. Сподіваємося, наша шпаргалка основних формул з фізики допоможе вирішувати улюблені завдання швидше та ефективніше. А якщо хочете уточнити щось чи не знайшли потрібної формули: запитайте експертів студентського сервісу. Наші автори пам'ятають сотні формул і клацають завдання, як горішки. Звертайтеся, і незабаром будь-яке завдання буде вам «по зубах».

"Випадковості не випадкові"... Звучить так, ніби сказав філософ, але на ділі вивчати випадковості долю великої науки математики. У математиці випадковостями займається теорія ймовірності. Формули та приклади завдань, а також основні визначення цієї науки будуть представлені у статті.

Що таке теорія ймовірності?

Теорія ймовірності – це одна з математичних дисциплін, яка вивчає випадкові події.

Щоб було трохи зрозуміліше, наведемо невеликий приклад: якщо підкинути монету вгору, вона може впасти «орлом» або «решкою». Поки монета перебуває у повітрі, обидві ці ймовірності можливі. Тобто можливість можливих наслідків співвідноситься 1:1. Якщо з колоди з 36 картами витягнути одну, тоді ймовірність буде позначатися як 1:36. Здавалося б, тут нічого досліджувати і передбачати, тим паче з допомогою математичних формул. Проте, якщо повторювати певну дію багато разів, можна виявити певну закономірність і її основі спрогнозувати результат подій за інших умов.

Якщо узагальнити все сказане вище, теорія ймовірності в класичному розумінні вивчає можливість виникнення однієї з можливих подій у числовому значенні.

Зі сторінок історії

Теорія ймовірності, формули та приклади перших завдань з'явилися ще в далекому Середньовіччі, коли вперше виникли спроби спрогнозувати результати карткових ігор.

Спочатку теорія ймовірності не мала нічого спільного з математикою. Вона обгрунтовувалася емпіричними фактами чи властивостями події, яку можна було відтворити практично. Перші роботи у цій сфері як у математичній дисципліні з'явилися торік у XVII столітті. Родоначальниками стали Блез Паскальта П'єр Ферма. Довгий час вони вивчали азартні ігри та побачили певні закономірності, про які й вирішили розповісти суспільству.

Таку ж методику винайшов Християн Гюйгенс, хоча він не був знайомий з результатами досліджень Паскаля та Ферма. Поняття «теорія ймовірності», формули та приклади, що вважаються першими в історії дисципліни, були запроваджені саме ним.

Важливе значення мають роботи Якоба Бернуллі, теореми Лапласа і Пуассона. Вони зробили теорію ймовірності більш схожою на математичну дисципліну. Свій теперішній вид теоріяймовірностей, формули та приклади основних завдань отримали завдяки аксіомам Колмогорова. В результаті всіх змін теорія ймовірності стала одним із математичних розділів.

Базові поняття теорії ймовірностей. Події

Головним поняттям цієї дисципліни є подія. Події бувають трьох видів:

• Достовірні.Ті, що відбудуться у будь-якому випадку (монета впаде).
• Неможливі.Події, що не відбудуться за жодного розкладу (монета залишиться висіти в повітрі).
• Випадкові.Ті, що відбудуться чи не відбудуться. Вони можуть вплинути різні чинники, які передбачити дуже важко. Якщо говорити про монету, то випадкові фактори, що можуть вплинути на результат: фізичні характеристики монети, її форма, вихідне положення, сила кидка тощо.

Усі події у прикладах позначаються великими латинськими літерами, крім Р, якій відведена інша роль. Наприклад:

• А = "студенти прийшли на лекцію".
• = = «студенти не прийшли на лекцію».

У практичних завданнях події записано словами.

Одна з найважливіших характеристик подій – їхня рівноможливість. Тобто якщо підкинути монету, всі варіанти вихідного падіння можливі, поки вона не впала. Але також події бувають не рівноможливими. Це відбувається, коли хтось спеціально впливає на результат. Наприклад, «мічені» гральні карти або гральні кубики,у яких зміщений центр тяжіння.

Ще події бувають сумісними та несумісними. Сумісні події не виключають один одного. Наприклад:

• А = "студентка прийшла на лекцію".
• В = "студент прийшов на лекцію".

Ці події незалежні одна від одної, і поява одного з них не впливає на появу іншого. Несумісні події визначаються тим, що одна виключає поява іншого. Якщо говорити про ту саму монету, то випадання «решки» унеможливлює появу «орла» в цьому ж експерименті.

Дії над подіями

Події можна множити та складати, відповідно, в дисципліні вводяться логічні зв'язки «І» та «АБО».

Сума визначається тим, що може з'явитися або подія А або В, або два одночасно. Якщо вони несумісні, останній варіант неможливий, випаде або А, або У.

Множення подій полягає у появі А та В одночасно.

Тепер можна навести кілька прикладів, щоб краще запам'яталися основи, теорія ймовірності та формули. Приклади розв'язання задач далі.

Завдання 1: Фірма бере участь у конкурсі на отримання контрактів на три різновиди роботи Можливі події, які можуть статися:

• А = "фірма отримає перший контракт".
• А 1 = "фірма не отримає перший контракт".
• В = "фірма отримає другий контракт".
• У 1 = "фірма не отримає другий контракт"
• З = «фірма отримає третій договір».
• З 1 = "фірма не отримає третій контракт".

За допомогою дій над подіями спробуємо виразити такі ситуації:

• К = "фірма отримає всі контракти".

У математичному вигляді рівняння матиме такий вигляд: К = АВС.

• М = «фірма не отримає жодного договору».

М = А 1 В 1 З 1 .

Ускладнюємо завдання: H = "фірма отримає один контракт". Оскільки не відомо, який саме контракт отримає фірма (перший, другий чи третій), необхідно записати низку можливих подій:

Н = А 1 НД 1 υ АВ 1 З 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - це ряд подій, де фірма не отримує першого і третього контракту, але отримує другий. Відповідним методом записані та інші можливі події. Символ υ у дисципліні позначає зв'язку «АБО». Якщо перевести наведений приклад людською мовою, то фірма отримає або третій контракт, або другий, або перший. Подібним чином можна записувати інші умови в дисципліні «Теорія ймовірності». Формули та приклади вирішення задач, представлені вище, допоможуть зробити це самостійно.

Власне, ймовірність

Мабуть, у цій математичній дисципліні ймовірність події – це центральне поняття. Існує 3 визначення ймовірності:

• класичне;
• статистичне;
• геометричне.

Кожне має місце у вивченні ймовірностей. Теорія ймовірності, формули та приклади (9 клас) в основному використовують класичне визначення, яке звучить так:

• Імовірність ситуації А дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють її появі, до всіх можливих результатів.

Формула має такий вигляд: Р(А)=m/n.

А – власне, подія. Якщо з'являється випадок, протилежний А, його можна записувати як або А 1 .

m – кількість можливих сприятливих випадків.

n – всі події, які можуть статися.

Наприклад, А = "витягнути карту червової масті". У стандартній колоді 36 карт, 9 із них червовий масті. Відповідно, формула рішення завдання матиме вигляд:

Р(А) = 9/36 = 0,25.

У результаті ймовірність того, що з колоди витягнуть карту червової масті, становитиме 0,25.

До вищої математики

Тепер стало трохи відомо, що таке теорія ймовірності, формули та приклади вирішення завдань, що трапляються у шкільній програмі. Однак теорія ймовірностей зустрічається і у вищій математиці, яка викладається у вишах. Найчастіше там оперують геометричними та статистичними визначеннями теорії та складними формулами.

Дуже цікава теорія ймовірності. Формули та приклади (вища математика) краще починати вивчати з малого – зі статистичного (або частотного) визначення ймовірності.

Статистичний підхід не суперечить класичному, а трохи розширює його. Якщо в першому випадку потрібно було визначити, з якою ймовірністю станеться подія, то в цьому методі необхідно вказати, як часто воно відбуватиметься. Тут запроваджується нове поняття «відносна частота», яку можна позначити W n (A). Формула нічим не відрізняється від класичної:

Якщо класична формула обчислюється для прогнозування, то статистична згідно з результатами експерименту. Візьмемо, наприклад, невеличке завдання.

Відділ технологічного контролю перевіряє вироби якість. Серед 100 виробів знайшли 3 неякісні. Як знайти можливість частоти якісного товару?

А = "поява якісного товару".

W n (A) = 97/100 = 0,97

Отже, частота якісного товару становить 0,97. Звідки взяли 97? Зі 100 товарів, які перевірили, 3 виявилися неякісними. Від 100 забираємо 3, отримуємо 97, це кількість якісного товару.

Трохи про комбінаторику

Ще один метод теорії ймовірності називають комбінаторикою. Його основний принцип полягає в тому, що якщо певний вибір А можна здійснити m різними способами, а вибір - n різними способами, то вибір А і В можна здійснити шляхом множення.

Наприклад, із міста А до міста В веде 5 доріг. З міста В до міста С веде 4 шляхи. Скількими способами можна дістатися з міста А до міста С?

Все просто: 5х4 = 20, тобто двадцятьма різними способами можна дістатися з точки А до точки С.

Ускладнимо завдання. Скільки існує способів розкладання карток у пасьянсі? У колоді 36 карт – це вихідна точка. Щоб дізнатися кількість способів, потрібно від вихідної точки віднімати по одній карті і множити.

Тобто 36х35х34х33х32 ... х2х1 = результат не вміщається на екран калькулятора, тому його можна просто позначити 36! Знак «!» біля числа вказує на те, що весь ряд чисел перемножується між собою.

У комбінаториці присутні такі поняття, як перестановка, розміщення та поєднання. Кожна з них має свою формулу.

Упорядкований набір елементів множини називають розміщенням. Розміщення може бути з повтореннями, тобто один елемент можна використовувати кілька разів. І без повторень, коли елементи не повторюються. n – це всі елементи, m – елементи, які беруть участь у розміщенні. Формула для розміщення без повторень матиме вигляд:

A n m =n!/(n-m)!

З'єднання з n елементів, які відрізняються лише порядком розміщення, називають перестановкою. У математиці це має вигляд: Рn = n!

Поєднаннями з n елементів по m називають такі з'єднання, в яких важливо, які це були елементи і яка їхня загальна кількість. Формула матиме вигляд:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернуллі

Теоретично ймовірності, як і у кожній дисципліні, є праці видатних у сфері дослідників, які вивели її нового рівня. Одна з таких праць – формула Бернуллі, що дозволяє визначати ймовірність появи певної події за незалежних умов. Це говорить про те, що поява А в експерименті не залежить від появи або появи тієї ж події в раніше проведених або наступних випробуваннях.

Рівняння Бернуллі:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Імовірність (р) появи події (А) є незмінною для кожного випробування. Імовірність того, що ситуація відбудеться рівно m разів у кількості експериментів, буде обчислюватися формулою, що представлена ​​вище. Відповідно, виникає питання, як дізнатися число q.

Якщо подія А настає кількість разів, відповідно, вона може і не наступити. p align="justify"> Одиниця - це число, яким прийнято позначати всі результати ситуації в дисципліні. Тому q - число, що означає можливість ненастання події.

Тепер вам відома формула Бернуллі (теорія ймовірності). Приклади розв'язання задач (перший рівень) розглянемо далі.

Завдання 2:Відвідувач магазину зробить покупку із ймовірністю 0,2. До магазину зайшли незалежно 6 відвідувачів. Якою є ймовірність того, що відвідувач зробить покупку?

Рішення: Оскільки невідомо, скільки відвідувачів мають зробити покупку, один чи всі шість, необхідно прорахувати всі можливі ймовірності, користуючись формулою Бернуллі.

А = "відвідувач здійснить покупку".

У цьому випадку: р = 0,2 (як зазначено у завданні). Відповідно, q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (оскільки у магазині 6 відвідувачів). Число m змінюватиметься від 0 (жоден покупець не здійснить покупку) до 6 (всі відвідувачі магазину щось куплять). У результаті отримаємо рішення:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Жоден із покупців не здійснить покупку з ймовірністю 0,2621.

Як використовується формула Бернуллі (теорія ймовірності)? Приклади розв'язання задач (другий рівень) далі.

Після наведеного вище прикладу виникають питання про те, куди поділися С і р. Відносно р число в ступені 0 дорівнюватиме одиниці. Що стосується С, то його можна знайти формулою:

Cnm=n! /m!(n-m)!

Оскільки у першому прикладі m = 0, відповідно, С=1, що у принципі впливає результат. Використовуючи нову формулу, спробуємо дізнатися, якою є можливість купівлі товарів двома відвідувачами.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не така вже й складна теорія ймовірності. Формула Бернуллі, приклади якої представлені вище, є прямим тому доказом.

Формула Пуассона

Рівняння Пуассона використовують для обчислення малоймовірних випадкових ситуацій.

Основна формула:

P n (m) = m /m! e (-λ) .

При цьому = n х p. Ось така проста формула Пуассона (теорія ймовірності). Приклади розв'язання задач розглянемо далі.

Завдання 3: На заводі виготовили деталі у кількості 100000 штук Поява бракованої деталі = 0,0001. Якою є ймовірність, що в партії буде 5 бракованих деталей?

Як бачимо, шлюб - це малоймовірна подія, у зв'язку з чим обчислення використовується формула Пуассона (теорія ймовірності). Приклади розв'язання подібних завдань нічим не відрізняються від інших завдань дисципліни, в наведену формулу підставляємо необхідні дані:

А = "випадково обрана деталь буде бракованою".

р = 0,0001 (відповідно до умови завдання).

n = 100000 (кількість деталей).

m = 5 (браковані деталі). Підставляємо дані у формулу та отримуємо:

Р 100 000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так само як і формула Бернуллі (теорія ймовірності), приклади рішень за допомогою якої написані вище, рівняння Пуассон має невідоме е. По суті його можна знайти формулою:

е -λ = lim n -> ∞ (1-λ/n) n .

Проте є спеціальні таблиці, у яких перебувають майже всі значення е.

Теорема Муавра-Лапласа

Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань досить велика, а ймовірність появи події А у всіх схемах однакова, то ймовірність появи події А певну кількість разів у серії випробувань можна знайти формулою Лапласа:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Щоб краще запам'яталася формула Лапласа (теорія ймовірності), приклади завдань нижче.

Спочатку знайдемо X m , підставляємо дані (вони зазначені вище) у формулу і отримаємо 0,025. За допомогою таблиць знаходимо число ϕ(0,025), значення якого 0,3988. Тепер можна підставляти всі дані у формулу:

Р 800 (267) = 1/√ (800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким чином, ймовірність того, що рекламна листівкаспрацює рівно 267 разів, становить 0,03.

Формула Байєса

Формула Байєса (теорія ймовірності), приклади вирішення завдань за допомогою якої будуть наведені нижче, є рівнянням, яке описує ймовірність події, спираючись на обставини, які могли бути пов'язані з ним. Основна формула має такий вигляд:

Р(А|B) = Р(В|А) х Р(А)/Р(В).

А і є певними подіями.

Р(А|B) - умовна ймовірність, тобто може статися подія А за умови, що подія істинна.

Р (В|А) - умовна ймовірність події Ст.

Отже, заключна частина невеликого курсу «Теорія ймовірності» - формула Байєса, приклади розв'язання задач з якою нижче.

Завдання 5: На склад привезли телефони від трьох компаній При цьому частка телефонів, що виготовляються на першому заводі, становить 25%, на другому – 60%, на третьому – 15%. Відомо також, що середній відсоток бракованих виробів у першої фабрики становить 2%, другий - 4%, і в третьої - 1%. Необхідно знайти ймовірність того, що випадково вибраний телефон виявиться бракованим.

А = "випадково взятий телефон".

У 1 – телефон, який виготовила перша фабрика. Відповідно, з'являться вступні В 2 і В 3 (для другої та третьої фабрик).

У результаті отримаємо:

Р (1) = 25%/100% = 0,25; Р(2) = 0,6; Р (У 3) = 0,15 - таким чином ми знайшли ймовірність кожного варіанта.

Тепер потрібно знайти умовні ймовірності події, що шукається, тобто ймовірність бракованої продукції у фірмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В3) = 0,01.

Тепер підставимо дані у формулу Байєса та отримаємо:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01 = 0,0305.

У статті представлена ​​теорія ймовірності, формули та приклади вирішення завдань, але це лише вершина айсберга великої дисципліни. І після всього написаного логічно запитатиме, чи потрібна теорія ймовірності в житті. Простій людині складно відповісти, краще запитати про це у того, хто з її допомогою не раз зривав джек-пот.

Математик Анрі Пуанкаре в книзі «Наука і метод» писав: «Якби природа не була прекрасною, вона не коштувала б того, щоб її знати, життя не коштувало б того, щоб її переживати. Я тут говорю, звичайно, не про ту красу, яка впадає у вічі... Я маю на увазі ту глибшу красу, яка відкривається в гармонії частин, яка осягається тільки розумом. Це вона створює грунт, створює каркас для гри видимих ​​фарб, що пестять наші почуття, і без цієї підтримки краса швидкоплинних вражень була б недосконала як усе невиразне і минуще. Навпаки інтелектуальна краса дає задоволення сама по собі».

П.А.М. Дірак писав: "У теоретичної фізики є ще один вірний шлях розвитку. Природі властива та фундаментальна особливість, що найголовніші фізичні закони описуються математичною теорією, апарат якої має незвичайну силу і красу. Щоб зрозуміти цю теорію, потрібно мати надзвичайно високу математичну кваліфікацію. можете запитати: чому природа влаштована саме так? На це можна відповісти лише одне: згідно з нашими сучасними знаннями, природа влаштована саме так, а не інакше".

Сім років тому український фізик (і художник) Наталія Кондратьєва звернулася до низки провідних математиків світу із запитанням: «Які три математичні формули, на вашу думку, найкрасивіші?»
У розмові про красу математичних формул взяли участь сер Міхаель Атья та Девід Елварсі з Британії, Яків Сінай та Олександр Кирилов зі США, Фрідріх Херцебрух та Юрій Манін з Німеччини, Давид Рюель із Франції, Анатолій Вершик та Роберт Мінлос із Росії та інші математики з різних країн. З українців у дискусії взяли участь академіки НАНУ Володимир Королюк та Анатолій Скороход. Частина отриманих таким чином матеріалів і лягла в основу виданої Наталією Кондратьєвою наукової роботи «Три найкрасивіші математичні формули».
— Яку мету ви ставили, звертаючись до математиків із питанням про гарні формули?
— Кожне нове століття дає оновлення наукової парадигми. На самому початку століття з відчуттям, що ми стоїмо біля порогу нової науки, її нової ролі в житті людського суспільства, я звернулася до математиків із питанням краси ідей, які стоять за математичними символами, тобто. про красу математичних формул.
Вже зараз можна назвати деякі особливості нової науки. Якщо у науці ХХ століття дуже важливу роль відігравала «дружба» математики з фізикою, то зараз математика ефективно співпрацює з біологією, генетикою, соціологією, економікою… Отже, наука досліджуватиме відповідності. Математичні структури досліджуватимуть відповідності між взаємодіями елементів різних галузей та планів. І багато що раніше ми сприймали на віру як філософські констатації, буде затверджено наукою як конкретне знання.
Цей процес розпочався вже у ХХ столітті. Так Колмогоров математично показав, що випадковості немає, а є дуже велика складність. Фрактальна геометрія підтвердила принцип єдності у різноманітті тощо.
— Які ж формули були названі найкрасивішими?
— Відразу скажу, що мети зробити конкурс формулам не було. У своєму листі до математиків я писала: «Люди, які хочуть зрозуміти, якими законами керується світ, стають на шлях пошуку гармонії світу. Шлях цей йде в нескінченність (бо рух вічний), але люди однаково йдуть їм, т.к. є особлива радість зустріти чергову ідею чи уявлення. З відповідей на запитання про гарні формули, можливо, вдасться синтезувати нову грань краси світу. Крім того, ця робота може виявитися корисною для майбутніх учених як думка про велику гармонію світу та математики як спосіб відшукання цієї краси».
Проте серед формул виявились явні фаворити: формула Піфагора та формула Ейлера.
Слідом за ними розташувалися скоріше фізичні, ніж математичні формули, які в ХХ столітті змінили наше уявлення про світ - Максвелла, Шредінгера, Ейнштейна.
Також до найкрасивіших потрапили формули, які ще перебувають на стадії дискусії, такі, наприклад, як рівняння фізичного вакууму. Називались інші красиві математичні формули.
— Як ви вважаєте, чому на рубежі другого і третього тисячоліть формула Піфагора названа однією з найкрасивіших?
— За часів Піфагора ця формула сприймалася як вираз принципу космічної еволюції: два протилежні початку (два квадрати, що торкаються ортогонально) породжують третє, рівне їх сумі. Можна дати геометрично дуже гарні інтерпретації.
Можливо, існує якась підсвідома, генетична пам'ять тих часів, коли поняття «математика» означало — «наука», й у синтезі вивчалися арифметика, живопис, музика, філософія.
Рафаїл Хасмінський у своєму листі написав, що в школі він був вражений красою формули Піфагора, що багато в чому визначило його долю як математика.
- А що можна сказати про формулу Ейлера?
— Деякі математики звертали увагу, що в ній зібралися всі, тобто. всі чудові математичні числа, і одиниця таїть у собі нескінченності! — це має глибоке філософське значення.
Недаремно цю формулу відкрив Ейлер. Великий математик багато зробив, щоб ввести красу в науку, він навіть ввів у математику поняття "градус краси". Точніше, він увів це поняття в теорію музики, яку вважав частиною математики.
Ейлер вважав, що естетичне почуття можна розвивати і що це почуття необхідне вченому.
Пошлюся на авторитети… Гротендик: «Розуміння тієї чи іншої речі в математиці настільки досконале, наскільки можна відчути її красу».
Пуанкаре: «У математиці є почуття». Він порівнював естетичне почуття в математиці з фільтром, який з багатьох варіантів рішення вибирає найбільш гармонійний, який, як правило, і є вірним. Краса і гармонія — синоніми, а найвищий прояв гармонії є світовим законом рівноваги. Математика досліджує цей закон на різних планах буття та в різних аспектах. Недарма кожна математична формула містить знак рівності.
Думаю, що найвища людська гармонія є гармонією думки і почуття. Можливо тому Ейнштейн сказав, що письменник Достоєвський дав йому більше, ніж математик Гаусс.
Формулу Достоєвського «Краса врятує світ» я взяла як епіграф до роботи про красу в математиці. І він також обговорювався математиками.
— І вони погодились із цим твердженням?
— Математики не затверджували та не спростовували цього твердження. Вони його уточнили: "Усвідомлення краси врятує світ". Тут одразу згадалася робота Юджина Вігнера про роль свідомості у квантових вимірах, написана ним майже п'ятдесят років тому. У цій роботі Вігнер показав, що людська свідомість впливає на навколишнє середовище, тобто, що ми не тільки отримуємо інформацію ззовні, але й посилаємо наші думки та почуття у відповідь. Ця робота досі актуальна і має як своїх прихильників, і противників. Я дуже сподіваюся, що у ХХI столітті наука доведе: усвідомлення краси сприяє гармонізації нашого світу.

1. Формула Ейлера. Багато хто бачив у цій формулі символ єдності всієї математики, бо в ній "-1 представляє арифметику, i – алгебру, π – геометрію та e – аналіз".

2. Ця проста рівність показує, що величина 0,999 (і так до нескінченності) еквівалентна одиниці. Багато людей не вірять, що це може бути правдою, хоча є кілька доказів, заснованих на теорії меж. Проте рівність показує принцип нескінченності.


3. Це рівняння було сформульовано Ейнштейном у рамках новаторської загальної теорії відносності у 1915 році. Права частина цього рівняння описує енергію, що міститься у нашому Всесвіті (у тому числі "темну енергію"). Ліва сторона описує геометрію простору-часу. Рівність відбиває те що, що у загальної теорії відносності Ейнштейна, маса і енергія визначають геометрію, і водночас кривизну, що є проявом гравітації. Ейнштейн говорив, що ліва частина рівнянь тяжіння в загальній теорії відносності, що містить гравітаційне поле, красива і ніби вирізана з мармуру, тоді як права частина рівнянь, що описує матерію, все ще потворна, ніби зроблена зі звичайного дерева.


4. Ще одна домінуюча теорія фізики – Стандартна модель – описує електромагнітну, слабку та сильну взаємодію всіх елементарних частинок. Деякі фізики вважають, що вона відображає всі процеси, що відбуваються у Всесвіті, крім темної матерії, темної енергії і не включає гравітацію. У Стандартну модель вписується і невловимий до минулого року бозон Хіггса, хоча не всі фахівці впевнені у його існуванні.


5. Теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Її ми пам'ятаємо ще зі школи та вважаємо, що автор теореми – Піфагор. Насправді цією формулою користувалися ще у Стародавньому Єгипті під час будівництва пірамід.


6. Теорема Ейлера. Ця теорема заклала фундамент нового розділу математики – топології. Рівняння встановлює зв'язок між числом вершин, ребер та граней для багатогранників, топологічно еквівалентних сфері.


7. Спеціальна теорія відносності описує рух, закони механіки та просторово-часові відносини при довільних швидкостях руху, менших швидкості світла у вакуумі, зокрема близьких до швидкості світла. Ейнштейн склав формулу, яка описує, що час і простір є абсолютними поняттями, а скоріше є відносними залежно від швидкості спостерігача. Рівняння показує, як розширюється чи уповільнюється час залежно від цього, як і куди рухається людина.


8. Рівняння було отримано у 1750-х роках Ейлером та Лагранжем при вирішенні задачі про ізохрон. Це проблема визначення кривої, через яку важка частка потрапляє у фіксовану точку за фіксований час, незалежно від початкової точки. Загалом, якщо ваша система має симетрію, є відповідний закон збереження симетрії.


9. Рівняння Каллана - Сіманзіка. Воно являє собою диференціальне рівняння, що описує еволюцію н-кореляційної функції при зміні масштабу енергій, при яких теорія визначена і включає бета-функції теорії та аномальні розмірності. Це рівняння допомогло краще зрозуміти квантову фізику.


10. Рівняння мінімальної поверхні. Ця рівність пояснює формування мильних бульбашок.


11. Пряма Ейлера. Теорема Ейлера було доведено 1765 року. Він виявив, що середини сторін трикутника та основи його висот лежать на одному колі.


12. У 1928 році П.А.М. Дірак запропонував свій варіант рівняння Шредінгера – яке відповідало теорії А. Ейнштейна. Вчений світ був приголомшений - Дірак відкрив своє рівняння для електрона шляхом суто математичних маніпуляцій із вищими математичними об'єктами, відомими як спинори. І це було сенсацією – досі всі великі відкриття у фізиці мають стояти на міцній базі експериментальних даних. Але Дірак вважав, що чиста математика, якщо вона досить гарна, є надійним критерієм правильності висновків. «Краса рівнянь важливіша, ніж їхня відповідність експериментальним даним. ... Звісно ж, якщо прагнеш отримати в рівняннях красу і маєш здорову інтуїцію, то ти на вірному шляху». Саме завдяки його викладкам було відкрито позитрон – антиелектрон, і передбачив наявність у електрона «спина» – обертання елементарної частки.


13. Дж. Максвелл отримав дивовижні рівняння, що об'єднали всі явища електрики, магнетизму та оптики. Чудовий німецький фізик, один із творців статистичної фізики, Людвіг Больцман, сказав про рівняння Максвелла: «Чи не Бог написав ці письмена?»


14. Рівняння Шредінгера.Рівняння, що описує зміну в просторі і в часі чистого стану, що задається хвильовою функцією, в квантових гамільтонових системах. Відіграє в квантовій механіці таку ж важливу роль, як рівняння другого закону Ньютона у класичній механіці.