Обчислення меж числових послідовностей приклади з розв'язком. Межі онлайн

Член послідовності.

Число а називається межею послідовності (xn), якщо будь-якого ε>0 існує номер n=n(ε), починаючи з якого виконується |xn-a |

Приклад 2. Довести, що приклад 1 число а=1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростіть загальний член послідовності. Візьміть ε=1 (це будь-яке число >

Завдання безпосереднього обчислення межі послідовності досить однакові. Всі вони містять відносини поліномів щодо n або виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (символ радикала) складову, що знаходиться у старшій. Нехай для чисельника вихідного виразу це призведе до появи множника a^p, а знаменника b^q. Очевидно, що всі складові, що залишилися, мають вигляд С/(n-k) і прагнуть до нуля при n>

Перший спосіб обчислення межі послідовності ґрунтується на її визначенні. Правда слід запам'ятати, що шляхів безпосереднього пошуку межі він не дає, а дозволяє лише довести, що якесь число а є (або не є) межею. -1) / (n ^ 2-n-2)) має межу а = 3. Рішення. Проводьте шляхом застосування визначення у зворотному порядку. Тобто справа наліво. Попередньо перевірте - чи немає можливості спростити формулу для xn.хn = (3n 2 + 4n + 2) / (n 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Розгляньте нерівність |(3n+1)/(n+2)-3|0 можна знайти будь-яке натуральне число nε, більше -2+ 5/ε.

Приклад 2. Довести, що приклад 1 число а=1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростіть загальний член послідовності. Візьміть ε=1 (це будь-яке число >0). Запишіть нерівність загального визначення, що укладає |

Завдання безпосереднього обчислення межі послідовності досить однакові. Всі вони містять відносини поліномів щодо n або виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (символ радикала) складову, що знаходиться у старшій. Нехай для чисельника вихідного виразу це призведе до появи множника a^p, а знаменника b^q. Очевидно, що всі складові, що залишилися, мають вигляд С/(n-k) і прагнуть до нуля при n>k (n прагне до нескінченності). Після цього напишіть відповідь: 0, якщо pq.

Вкажемо не традиційний спосіб знаходження межі послідовності та нескінченних сум. Будемо використовувати функціональні послідовності (їх члени функції, визначені на деякому проміжку (a, b)). Приклад 3. Знайти суму виду 1+1/2! +1/3! +…+1/n! + ... = S. Рішення. Будь-яке число а 0 = 1. Покладіть 1=exp(0) і розгляньте функціональну послідовність (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Порада 2: У якій послідовності дивитися фільми Марвел про месників?

Всесвіт «Марвел» заснований на коміксах видавництва Marvel, але далеко не всі екранізації коміксів – частина кіновселеної. До неї входить лише зняте Marvel Studios або разом із нею. Кіновселен «Марвел» розділена на фази, кожен фільм у ній має своє місце. Однак серіали та короткометражки, будучи частиною всесвіту, у хронології можуть бути між фазами. Тобто. можуть належати до конкретних частин киновселенной.

Серіали Netflix і каналу abc відрізняються від всесвіту "Марвел". У кіноселен є дві особливості:

• кожен фільм наділений своєю історією;
• Світовий сюжет переходить з одного фільму в інший, у результаті кожен із них рухає цей сюжет вперед.

Серіали каналу abc пов'язані з глобальним сюжетом кіновсесвіту, але не просувають, а лише доповнюють його. Серіали Netflix - це зовсім самостійні історії, зі своїм сюжетом і своїм глобальним світом.

За роки існування всесвіт «Марвел» розрісся, і продовжує розширюватися. Тому розібратися з хронологією її фільмів непідготовленій людині складно, адже не кожному зрозуміло, що не можна дивитися «Залізну людину 3» одразу після «Залізної людини 2». А щоб розібратися, треба вивчити хронологію, що включає три фази.

Перша фаза:

1. Фільм "Залізна людина", 2008 року. Ця картина закладає фундамент та загальний тон наступним екранізаціям, її дія відбувається у 2010 році.
2. Фільм "Неймовірний Халк", 2008 року. У цій екранізації глядачі розуміють, що історії двох різних героїв трапляються в одному всесвіті, оскільки і в «Залізній людині», і в «Неймовірному Халку» згадають Щ.І.Т., програма «суперсолдат», зустрічається логотип StarkIndusries тощо. . Дія фільму розгортається у 2011 році. Картина не продовжує історію фільму "Халк" 2003 року.
3. Фільм "Залізна людина 2", 2010 року. Ця історія - щось на кшталт затравки до Мстителів, вона вводить у сюжет Чорну Вдову, дає багато передумов до майбутніх проектів та розповідає про нові проблеми Тоні Старка, з якими він зіткнувся через рік після першої частини «Залізної людини».
4. Фільм "Тор", 2011 року. Це теж підготовка до Месників, і головна мета картини – познайомити глядача з Тором та Локі. Дія сюжету відбувається паралельно з історією «Неймовірного Халка» та «Залізної людини 2».
5. Фільм "Перший месник", 2011 року. У ньому розповідають про Капітана Америка – першого супергероя Землі, який, як і Халк, з'явився через сироватку «суперсолдат». Перша та остання сцени фільму відбуваються у 2011 році, а основні дії – у період з 1943 по 1945 роки. У фільмі з'являється Тессеракт, один із шести каменів нескінченності, і з'ясовується, що «батьком» Щ.І.Т.а була організація СНР (Стратегічний Науковий Резерв).
6. Короткометражка "Консультант", 2011 року. Тут роз'яснюється фінальна сцена фільму "Неймовірний Халк".
7. Короткометражка «Кумедний випадок на шляху до молота Тора», 2011 року.
8. Фільм "Месники", 2012 року. Дія сюжету розгортається у 2012 році, коли Щ.І.Т. заради порятунку світу оголошує «загальний збір».

Друга фаза:

1. Фільм "Залізна людина 3", 2013 року. Дія відбувається взимку 2012 року, коли Тоні Старк повертається додому після «Битви за Нью-Йорк», але його мучать кошмари. Спати він не може і присвячує свій час створенню нових костюмів.
2. Серіал "Агенти Щ.І.Т.а", 2013 року.
3. Фільм "Тор 2: Царство Темряви", 2013 року. У картині розповідають, як Тор повернувся додому та виявив, що всі дев'ять світів занурені у хаос. І про те, як Тор наводив лад.
4. Короткометражка «Хай живе король», 2014 рік. Це історія про Тревора Слеттера, яка відбувається після подій фільму «Залізна людина 3».
5. Фільм "Перший месник: Інша Війна", 2014 року. Це історія про Капітана Америка, який не може повернутися додому, тому шукає собі нову справу і стає агентом Щ.І.Т.а, працюючи в команді з Чорною Вдовою. Фільм краще дивитися між 16 та 17 серіями «Агентів Щ.І.Т.а».
6. Фільм «Вартові Галактики», 2014 рік. Дивитися треба після 1 сезону серіалу "Агенти Щ.І.Т.а". Це історія про злочинців поза Землею, які створили команду, щоб зупинити більш небезпечного злочинця Ронана, і не дати йому отримати Камінь Безкінечності.
7. Серіал "Агенти Щ.І.Т.а", другий сезон, 2014 рік.
8. Серіал "Агент Картер", 2016 рік. Це історія про те, як Пеггі Картер та дворецький Едвін Джарвіс допомагають Говарду Старку повернути його добре ім'я.
9. Фільм "Месники: Ера Альтрона", 2015 року. У цій картині месники знову зібралися, щоб врятувати світ, але цього разу вони стали повноцінною командою. Дивитись краще між 19 та 20 серіями другого сезону «Агентів Щ.І.Т.а».
10. Фільм «Людина-Мураха», 2015 року. Дивитись після 2 сезону серіалу «Агенти Щ.І.Т.а».

Третя фаза:

1. Фільм "Перший Месник: Протистояння", 2016 року. Після «Заковського» договору Месники зобов'язані підкорятися уряду, але це розбиває їх на два табори: тих, хто за реєстрацію, і тих, хто проти неї.

Це все фільми, які вже вийшли у прокат. Та не вся історія. У третій фазі планується ще 14 фільмів, а потім – четверта фаза.

Пов'язана стаття

Сьогодні на уроці ми розберемо суворе визначення послідовностіі суворе визначення межі функції, а також навчимося вирішувати відповідні завдання теоретичного характеру. Стаття призначена, перш за все, для студентів 1-го курсу природничо-технічних спеціальностей, які почали вивчати теорію математичного аналізу, і зіткнулися з труднощами в плані розуміння цього розділу вищої математики. Крім того, матеріал цілком доступний і учням старших класів.

За роки існування сайту я отримав недобрий десяток листів приблизно такого змісту: "Погано розумію математичний аналіз, що робити?", "Зовсім не розумію матан, думаю кинути навчання" і т.п. Саме матан часто проріджує студентську групу після першої ж сесії. Чому так справи? Тому що предмет неймовірно складний? Зовсім ні! Теорія математичного аналізу не така важка, як своєрідна. І її потрібно прийняти і полюбити такою, якою вона є =)

Почнемо з найважчого випадку. Перше та головне – не треба кидати навчання. Зрозумійте правильно, кинути, воно завжди встигнеться;-) Безумовно, якщо через рік-два від обраної спеціальності нудитиме, тоді так – слід задуматися (А не пороти гарячку!)про зміну діяльності. Але поки що варто продовжити. І, будь ласка, забудьте фразу «Нічого не розумію» – так не буває, щоб ЗОВСІМ нічого не розуміти.

Що робити, якщо з теорією погано? Це, до речі, стосується як математичного аналізу. Якщо з теорією погано, то спочатку потрібно СЕРЙОЗНО налягти на практику. При цьому вирішуються одразу два стратегічні завдання:

- По-перше, значна частка теоретичних знань з'явилася завдяки практиці. І тому багато людей розуміють теорію через… – вірно! Ні-ні, ви не про те подумали =)

– І, по-друге, практичні навички з великою ймовірністю «витягнуть» вас на іспиті, навіть якщо… але не будемо так налаштовуватися! Все реально і все реально підняти в досить короткі терміни. Математичний аналіз – це мій улюблений розділ вищої математики, і тому я просто не міг не простягнути вам ноги руку допомоги:

На початку 1-го семестру зазвичай проходять межі послідовностей та межі функцій. Чи не розумієте, що це таке і не знаєте, як їх вирішувати? Почніть зі статті Межі функцій, у якій «на пальцях» розглянуто саме поняття та розібрано найпростіші приклади. Далі опрацюйте інші уроки на тему, у тому числі урок про межах послідовностей, На якому я фактично вже сформулював суворе визначення.

Які значки крім знаків нерівностей та модуля ви знаєте?

- Довга вертикальна палиця читається так: "таке, що", "така, що", "такий, що" або "такі, що", у нашому випадку, очевидно, йдеться про номер – тому такий, що;

– для всіх «ен», більших за ;

– знак модуля означає відстань, тобто. цей запис повідомляє нам про те, що відстань між значеннями менша за епсілон.

Ну як, вбивчо складно? =)

Після освоєння практики чекаю на вас у наступному параграфі:

І справді, трохи поміркуємо – як сформулювати суворе визначення послідовності? …Перше, що спадає на думку у світлі практичного заняття: «межа послідовності – це число, якого нескінченно близько наближаються члени послідовності».

Добре, розпишемо послідовність :

Неважко вловити, що підпослідовність нескінченно близько наближаються до –1, а члени з парними номерами - До «одиниці».

А може бути межі дві? Але тоді чому якась послідовність їх не може мати десять чи двадцять? Так можна зайти далеко. У зв'язку з цим логічно вважати, що якщо у послідовності існує межа, то він єдиний.

Примітка : у послідовності немає межі, проте з неї можна виділити дві підпослідовності (див. вище), у кожної з яких існує своя межа.

Таким чином, висловлене вище визначення виявляється неспроможним. Так, воно працює для випадків на кшталт (Чим я не зовсім коректно користувався у спрощених поясненнях практичних прикладів), Але тепер нам необхідно знайти суворе визначення.

Спроба друга: «межа послідовності - це число, до якого наближаються ВСІ члени послідовності, за винятком, хіба що їх кінцевогокількості». Це вже ближче до істини, але все одно не зовсім точно. Так, наприклад, у послідовності половина членів зовсім не наближається до нуля - вони йому просто рівні =) До речі, «мигалка» взагалі приймає два фіксованих значення.

Формулювання неважко уточнити, але тоді виникає інше питання: як записати визначення у математичних знаках? Науковий світ довго бився над цією проблемою, доки ситуацію не вирішив відомий маестро, який, по суті, і оформив класичний матаналіз у всій його строгості. Коші запропонував оперувати околицями чим значно просунув теорію.

Розглянемо деяку точку та її довільну-околиця:

Значення «епсілон» завжди позитивне, і, більше того, ми маємо право вибрати його самостійно. Припустимо, що в околиці знаходиться безліч членів (Не обов'язково все)деякої послідовності. Як записати той факт, що, наприклад, десятий член потрапив в околицю? Нехай він знаходиться у правій її частині. Тоді відстань між точками і повинна бути меншою за «епсілон»: . Однак якщо «ікс десяте» розташоване ліворуч від точки «а», то різниця буде негативна, і тому до неї потрібно додати знак модуля: .

Визначення: число називається межею послідовності, якщо для будь-якоїйого околиці (заздалегідь обраною)існує натуральний номер – ТАКИЙ, що ВСІчлени послідовності з більшими номерами виявляться всередині околиці:

Або коротше: якщо

Іншими словами, яке б мале значення «епсілон» ми не взяли, рано чи пізно «нескінченний хвіст» послідовності ПОВНІСТТЮ опиниться в цій околиці.

Так, наприклад, "нескінченний хвіст" послідовності ПОВНІСТТЮ зайде в будь-яку скільки завгодно малу - околицю точки. Таким чином, це значення є межею послідовності визначення. Нагадую, що послідовність, межа якої дорівнює нулю, називають нескінченно малою.

Слід зазначити, що з послідовності не можна сказати «нескінченний хвіст зайде» – члени з непарними номерами за фактом дорівнюють нулю і «нікуди не заходять» =) Саме тому у визначенні використано дієслово «виявляться». І, зрозуміло, члени такої послідовності, як також «нікуди не йдуть». До речі, перевірте, чи буде її числом межею.

Тепер покажемо, що послідовність не має межі. Розглянемо, наприклад, околицю точки. Цілком зрозуміло, що немає такого номера, після якого всі члени опиняться в даній околиці – непарні члени завжди «вискакуватимуть» до «мінус одиниці». З аналогічної причини немає межі й у точці.

Закріпимо матеріал практикою:

Приклад 1

Довести, що межа послідовності дорівнює нулю. Вказати номер, після якого, всі члени послідовності гарантовано виявляться всередині будь-якої скільки завгодно малої околиці точки.

Примітка : у багатьох послідовностей шуканий натуральний номер залежить від значення - звідси і позначення.

Рішення: розглянемо довільну чи знайдетьсяномер – такий, що ВСІ члени з більшими номерами виявляться всередині цієї околиці:

Щоб показати існування шуканого номера, виразимо через.

Так як за будь-якого значення «ен» , то знак модуля можна прибрати:

Використовуємо «шкільні» дії з нерівностями, які я повторював під час уроків Лінійні нерівностіі Область визначення функції. При цьому важливою обставиною є те, що «епсілон» та «ен» позитивні:

Оскільки зліва йдеться про натуральні номери, а права частина в загальному випадку дробова, то її потрібно округлити:

Примітка : іноді для перестрахування праворуч додають одиницю, але насправді це надмірність. Умовно кажучи, якщо і ми послабимо результат округленням у менший бік, то найближчий відповідний номер («трійка») все одно задовольнятиме початкову нерівність.

А тепер дивимося на нерівність та згадуємо, що спочатку ми розглядали довільну-околиця, тобто. «епсілон» може бути рівним будь-комупозитивного числа.

Висновок: для будь-якої малої -околиці точки знайшлося значення . Таким чином, число є межею послідовності визначення. Що й потрібно було довести.

До речі, з отриманого результату добре проглядається природна закономірність: що менше -околиця – то більше вписувалося номер , після якого ВСІ члени послідовності опиняться у цій околиці. Але яким би малим не було «епсілон» – усередині завжди буде «нескінченний хвіст», а зовні – хай навіть велике, проте кінцевеЧисло членів.

Як враження? =) Згоден, що дивно. Але ж суворо!Будь ласка, перечитайте та осмисліть все ще раз.

Розглянемо аналогічний приклад та познайомимося з іншими технічними прийомами:

Приклад 2

Рішення: за визначенням послідовності потрібно довести, що (Промовляємо вголос!).

Розглянемо довільну-околиця точки і перевіримо, чи існуєнатуральний номер – такий, що для всіх великих номерів виконано нерівність:

Щоб показати існування такого, потрібно висловити "ен" через "епсілон". Спрощуємо вираз під знаком модуля:

Модуль знищує знак "мінус":

Знаменник позитивний за будь-якого «ен», отже, палиці можна прибрати:

Перетасування:

Тепер треба б витягти квадратний корінь, але проблема полягає в тому, що при деяких «епсілон» права частина буде негативною. Щоб уникнути цієї неприємності посилимонерівність модулем:

Чому можна так зробити? Якщо, умовно кажучи, виявиться, що , то буде виконано і умова . Модуль може тільки збільшитиномер, що розшукується, і це нас теж влаштує! Грубо кажучи, якщо підходить сотий, то підійде і двохсот! Відповідно до визначення, потрібно показати сам факт існування номера(хоча якогось), після якого всі члени послідовності виявляться в околиці. До речі, саме тому нам не страшне фінальне округлення правої частини у більший бік.

Вилучаємо корінь:

І округляємо результат:

Висновок: т.к. значення «епсілон» вибиралося довільно, то для будь-якої скільки завгодно малої околиці точки знайшлося значення , таке, що для всіх великих номерів виконано нерівність . Таким чином, за визначенням. Що й потрібно було довести.

Раджу особливоРозібратися у посиленні та ослабленні нерівностей – це типові та дуже поширені прийоми математичного аналізу. Єдине, слід стежити за коректністю тієї чи іншої дії. Так, наприклад, нерівність ні в якому разі не можна послаблювати, віднімаючи, скажімо, одиницю:

Знову ж умовно: якщо номер точно підійде, попередній може вже й не підійти.

Наступний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 3

Використовуючи визначення послідовності, довести, що

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Якщо послідовність нескінченно великато визначення межі формулюється схожим чином: точка називається межею послідовності, якщо для будь-якого, скільки завгодно великогочисла існує номер , такий, що для всіх більших номерів буде виконано нерівність . Число називають околицею точки «плюс нескінченність»:

Іншими словами, яке б велике значення ми не взяли, «нескінченний хвіст» послідовності обов'язково зайде в околицю точки, залишивши зліва лише кінцеве число членів.

Черговий приклад:

І скорочений запис: якщо

Для випадку запишіть визначення самостійно. Правильна версія наприкінці уроку.

Після того, як ви набили руку на практичних прикладах і розібралися з визначенням межі послідовності, можна звернутися до літератури з математичного аналізу та/або свого зошита з лекціями. Рекомендую закачати 1-й том Бохана (простіше – для заочників)та Фіхтенгольця (Детальніше і докладніше). З інших авторів раджу Піскунова, курс якого орієнтований на технічні вузи.

Спробуйте сумлінно вивчити теореми, що стосуються межі послідовності, їх доказів, наслідків. Спочатку теорія може здаватися "каламутною", але це нормально - просто потрібно звикнути. І багато хто навіть увійдуть у смак!

Суворе визначення межі функції

Почнемо з того самого – як сформулювати це поняття? Словесне визначення межі функції формулюється значно простіше: «число є межею функції , якщо при «ікс», що прагне (І зліва, і праворуч), відповідні значення функції прагнуть до » (Див. креслення). Все начебто нормально, але словами словами, сенс змістом, значок значком, а строгих математичних позначень замало. І в другому параграфі ми познайомимося із двома підходами до вирішення цього питання.

Нехай функція визначена на деякому проміжку, за винятком, можливо, точки . У навчальній літературі вважають, що функція там невизначено:

Такий вибір наголошує суть межі функції: «ікс» нескінченно близьконаближається до , і відповідні значення функції – нескінченно близькодо. Іншими словами, поняття межі має на увазі не «точний захід» у крапки, а саме нескінченно близьке наближення, при цьому не важливо – чи визначено функцію в точці чи ні.

Перше визначення межі функції, що не дивно, формулюється за допомогою двох послідовностей. По-перше, поняття споріднені, і, по-друге, межі функцій зазвичай вивчають після меж послідовностей.

Розглянемо послідовність точок (на кресленні відсутні), що належать проміжку та відмінних від, яка сходитьсядо. Тоді відповідні значення функції також утворюють числову послідовність, члени якої розташовуються на осі ординат.

Межа функції по Гейні для будь-якоїпослідовності точок (належних та відмінних від ), яка сходить до точки , відповідна послідовність значень функції сходить до .

Едуард Гейне – німецький математик. …І не треба тут нічого такого думати, гей у Європі лише один – це Гей-Люссак =)

Друге визначення межі спорудив… так-так, ви маєте рацію. Але спочатку розберемося у його конструкції. Розглянемо довільну околицю точки («чорна» околиця). За мотивами попереднього параграфа запис означає, що деяке значенняФункція знаходиться всередині «епсілон»-околиці.

Тепер знайдемо -околиця, яка відповідає заданій -околиці (подумки проводимо чорні пунктирні лінії зліва направо і потім зверху донизу). Зверніть увагу, що значення вибирається по довжині меншого відрізка, у разі – по довжині більш короткого лівого відрізка. Більш того, «малинову» -окраїну точки можна навіть зменшити, оскільки в наступному визначенні важливий сам факт існуванняцієї околиці. І, аналогічно, запис означає, що деяке значення знаходиться всередині «дельта»-околиці.

Межа функції по Коші: число називається межею функції у точці , якщо для будь-якої заздалегідь обраноюоколиці (як завгодно малої), існує-околиця точки, ТАКА, що: ЯК ТІЛЬКИ значення (належні)входять у цю околицю: (червоні стрілки)- ТАК ВІДРАЗУ відповідні значення функції гарантовано зайдуть в околицю: (сині стрілки).

Повинен попередити, що з метою більшої зрозумілості я трохи симпровізував, тому не зловживайте =)

Короткий запис: якщо

У чому суть визначення? Образно кажучи, нескінченно зменшуючи околиця, ми «супроводжуємо» значення функції до своєї межі, не залишаючи їм альтернативи наближатися кудись ще. Досить незвично, але знову ж таки суворо! Щоб як слід перейнятися ідеєю, перечитайте формулювання ще раз.

! Увага: якщо вам потрібно сформулювати тільки визначення по Гейнічи тільки визначення по Коші, будь ласка, не забувайте про суттєвомупопередньому коментарі: "Розглянемо функцію , яка визначена на деякому проміжку за винятком, можливо, точки". Я позначив це одного разу на самому початку і щоразу не повторював.

Відповідно до відповідної теореми математичного аналізу, визначення по Гейні та Коші еквівалентні, проте найбільш відомий другий варіант (ще б!), який також називають «кордон на мові»:

Приклад 4

Використовуючи визначення межі, довести, що

Рішення: функція визначена на всій числовій прямій крім точки. Використовуючи визначення , доведемо існування межі у цій точці.

Примітка : величина «дельта»-околиці залежить від «епсілон», звідси і позначення

Розглянемо довільну-околиця. Завдання полягає в тому, щоб за цим значенням перевірити, чи існує-околиця, ТАКА, що з нерівності слідує нерівність .

Припускаючи, що , перетворимо останню нерівність:
(розклали квадратний тричлен)

Межі завдають всім студентам, які вивчають математику, чимало клопоту. Щоб вирішити межу, часом доводиться застосовувати масу хитрощів і вибирати з багатьох способів розв'язання саме той, який підійде для конкретного прикладу.

У цій статті ми не допоможемо вам зрозуміти межі своїх можливостей чи осягнути межі контролю, але постараємося відповісти на запитання: як зрозуміти межі у вищій математиці? Розуміння приходить з досвідом, тому зараз наведемо кілька докладних прикладів вирішення меж з поясненнями.

Поняття межі математики

Перше питання: що це взагалі за межу та межу чого? Можна говорити про межі числових послідовностей та функцій. Нас цікавить поняття межі функції, оскільки саме з ними найчастіше стикаються студенти. Але спочатку - загальне визначення межі:

Припустимо, є певна змінна величина. Якщо ця величина у процесі зміни необмежено наближається до певного числа a , то a - Межа цієї величини.

Для певної в інтервалі функції f(x)=y межею називається таке число A , якого прагне функція при х , що прагне до певної точки а . Крапка а належить інтервалу, у якому визначено функція.

Звучить громіздко, але записується дуже просто:

Lim- від англійської limit- Межа.

Існує також геометричне пояснення визначення межі, але тут ми не лізтимемо в теорію, оскільки нас більше цікавить практична, ніж теоретична сторона питання. Коли ми говоримо, що х прагне якогось значення, це означає, що змінна не приймає значення числа, але нескінченно близько до нього наближається.

Наведемо конкретний приклад. Завдання – знайти межу.

Щоб вирішити такий приклад, підставимо значення x=3 у функцію. Отримаємо:

До речі, якщо Вас цікавлять, читайте окрему статтю на цю тему.

У прикладах х може прагнути будь-якого значення. Це може бути будь-яке число чи нескінченність. Ось приклад, коли х прагне нескінченності:

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше число у знаменнику, тим менше значення прийматиме функція. Так, за необмеженого зростання х значення 1/х буде зменшуватись і наближатися до нуля.

Як бачимо, щоб вирішити межу, потрібно просто підставити на функцію значення, якого прагнути х . Однак це найпростіший випадок. Часто перебування межі негаразд очевидне. У межах зустрічаються невизначеності типу 0/0 або нескінченність/нескінченність . Що робити у таких випадках? Вдаватися до хитрощів!

Невизначеності в межах

Невизначеність виду нескінченність/нескінченність

Нехай є межа:

Якщо спробуємо у функцію підставити нескінченність, то отримаємо нескінченність як і чисельнику, і у знаменнику. Взагалі варто сказати, що у вирішенні таких невизначеностей є певний елемент мистецтва: треба помітити, як можна перетворити функцію в такий спосіб, щоб невизначеність пішла. У нашому випадку розділимо чисельник і знаменник на х у старшому ступені. Що вийде?

З уже розглянутого вище прикладу ми знаємо, що члени, які містять у знаменнику х, прагнутимуть нуля. Тоді рішення межі:

Для розкриття невизначеностей типу нескінченність/нескінченністьділимо чисельник і знаменник на ху найвищому ступені.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Ще один вид невизначеностей: 0/0

Як завжди, підстановка у функцію значення х=-1 дає 0 у чисельнику та знаменнику. Подивіться трохи уважніше і Ви помітите, що у чисельнику у нас квадратне рівняння. Знайдемо коріння та запишемо:

Скоротимо та отримаємо:

Отже, якщо ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0 - Розкладайте чисельник і знаменник на множники.

Щоб Вам було простіше вирішувати приклади, наведемо таблицю за межами деяких функцій:

Правило Лопіталя в межах

Ще один потужний спосіб дозволяє усунути невизначеності обох типів. У чому полягає суть методу?

Якщо межі є невизначеність, беремо похідну від чисельника і знаменника до того часу, поки невизначеність не зникне.

Наочно правило Лопіталя виглядає так:

Важливий момент : межа, в якій замість чисельника та знаменника стоять похідні від чисельника та знаменника, має існувати.

А тепер – реальний приклад:

В наявності типова невизначеність 0/0 . Візьмемо похідні від чисельника та знаменника:

Вуаля, невизначеність усунена швидко та елегантно.

Сподіваємося, що Ви зможете з користю застосувати цю інформацію на практиці та знайти відповідь на питання "як вирішувати межі у вищій математиці". Якщо Вам потрібно обчислити межу послідовності або межу функції в точці, а часу на цю роботу немає від слова «зовсім», зверніться до швидкого та детального рішення.

Функція f(x) називається функцією цілісного аргументу,якщо безліч значень x, для яких вона визначена, є безліччю всіх натуральних чисел1, 2, 3, ... Прикладом функції цілісного аргументу може бути сума n перших чисел натурального ряду. В даному випадку

Числовою послідовністю називається нескінченна безліч чисел

наступних одне одним у порядку і побудованих за певним законом, з допомогою якого задається як функція цілісного аргументу, тобто. .

Число А називається межею послідовності (1), якщо для будь-кого існує кількість , таке, що при виконується нерівність . Якщо число А є межа послідовності (1), пишуть

Числова послідовність не може мати більше однієї межі. Послідовність, що має межу, називається схожою.

Для послідовностей, що сходяться, мають місце теореми:

приклад 1.

Знайти загальний член послідовності 1, 4, 9, 16, 25, …

Рішення: неважко бачити, що

Отже

приклад 2.

Знайти спільний член послідовності

Рішення: не важко бачити, що

,

, і т.д.

Отже:

приклад 3.

Довести, що послідовність із загальним членом має межу, що дорівнює нулю.

Розв'язання: запишемо ряд членів послідовності

і покладемо. Для всіх членів даної послідовності, починаючи з четвертого, виконується рівність

Дійсно

В даному випадку N (див. визначення межі послідовності) можна прийняти рівним трьом (або будь-якому числу, більше трьох), оскільки, якщо порядковий номер члена послідовності n більше трьох, то виконується нерівність

.

Покладемо тепер. Зрозуміло, що для всіх членів послідовності, починаючи з сьомого,

.

Тепер за Nможна прийняти шість (або будь-яке число, більше шести). Якщо , то й т.д.

У цьому випадку можна знайти загальний вираз для числа Nзалежно від . Загальний член даної послідовності. Задавшись довільним позитивним числом, ми повинні відповідно до визначення межі, зажадати, щоб при n > Nвиконувалася нерівність, якщо.

Вирішуючи нерівність щодо n, отримуємо . Отже, за Nможна прийняти число (або будь-яке більше). Таким чином, ми показали, що для будь-якого існує таке, що при виконується нерівність, а це і доводить, що межею послідовності є нуль.

Зазначимо, що у цьому завдання члени послідовності наближалися до своєї межі, залишаючись більше цієї межі, як то кажуть, праворуч.

2.Способи завдання функції.

1. Аналітичний метод

Щоб встановити функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш уживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у = f(х), де f(х) - деякий вираз зі змінною х. У такому разі кажуть, що функція задана формулою або функція задана аналітично.

Для аналітично заданої функції іноді явно не вказують область визначення функції. У такому разі мають на увазі, що область визначення функції у = f(х) збігається з областю визначення виразу f(х), тобто з безліччю тих значень х, при яких вираз f(х) має сенс.