Обчислити інтеграл шляхом інтегрування частинами. Калькулятор онлайн. Обчислити невизначений інтеграл (первоподібну)

Складні інтеграли

Ця стаття завершує тему невизначених інтегралів і до неї включені інтеграли, які я вважаю досить складними. Урок створений на неодноразові прохання відвідувачів, які висловлювали побажання, щоб на сайті були розібрані і складніші приклади.

Передбачається, що читач цього тексту добре підготовлений та вміє застосовувати основні прийоми інтегрування. Чайникам і людям, які не дуже впевнено розуміються на інтегралах, слід звернутися до першого уроку – Невизначений інтеграл. Приклади рішеньде можна освоїти тему практично з нуля. Більш досвідчені студенти можуть ознайомитися з прийомами та методами інтегрування, які ще не зустрічалися в моїх статтях.

Які інтеграли буде розглянуто?

Спочатку ми розглянемо інтеграли з корінням, для вирішення яких послідовно використовується заміна змінноїі інтегрування частинами. Тобто, в одному прикладі комбінуються одразу два прийоми. І навіть більше.

Потім ми познайомимося з цікавим та оригінальним методом зведення інтеграла до себе. Цим способом вирішується не так вже й мало інтегралів.

Третім номером програми підуть інтеграли від складних дробів, які пролетіли повз касу в попередніх статтях.

По-четверте, буде розібрано додаткові інтеграли від тригонометричних функцій. Зокрема, існують методи, які дозволяють уникнути трудомісткої універсальної тригонометричної підстановки.

(2) У підінтегральній функції почленно ділимо чисельник на знаменник.

(3) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтегралу. В останньому інтегралі відразу підводимо функцію під знак диференціалу.

(4) Беремо інтеграли, що залишилися. Зверніть увагу, що в логарифмі можна використовувати дужки, а не модуль, оскільки .

(5) Проводимо зворотну заміну, висловивши із прямої заміни «те»:

Студенти-мазохісти можуть продиференціювати відповідь і отримати вихідну підінтегральну функцію, як тільки це зробив я. Ні-ні, я в правильному сенсі виконав перевірку =)

Як бачите, в ході рішення довелося використовувати навіть більше двох прийомів рішення, таким чином, для розправи з подібними інтегралами потрібні впевнені навички інтегрування та не найменший досвід.

На практиці, звичайно, частіше зустрічається квадратний корінь, ось три приклади для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл

Ці приклади однотипні, тому повне рішення наприкінці статті буде лише для Прикладу 2, у Прикладах 3-4 – одні відповіді. Яку заміну застосовувати на початку рішень, гадаю, очевидно. Чому я підібрав однотипні приклади? Часто зустрічаються у своєму амплуа. Найчастіше, мабуть, тільки щось на зразок .

Не завжди, коли під арктангенсом, синусом, косинусом, експонентою та інших. функціями перебуває корінь з лінійної функції, доводиться застосовувати відразу кілька методів. У ряді випадків вдається "легко відбутися", тобто відразу після заміни виходить простий інтеграл, який елементарно береться. Найлегшим із запропонованих вище завдань є Приклад 4, у ньому після заміни виходить відносно нескладний інтеграл.

Методом зведення інтеграла до себе

Дотепний та красивий метод. Негайно розглянемо класику жанру:

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл

Під коренем знаходиться квадратний двочлен, і при спробі проінтегрувати цей приклад чайник може страждати годинами. Такий інтеграл береться частинами і зводиться до себе. У принципі, не складно. Якщо знаєш як.

Позначимо аналізований інтеграл латинською літерою і почнемо рішення:

Інтегруємо частинами:

(1) Готуємо підінтегральну функцію для почленного поділу.

(2) Почленно ділимо підінтегральну функцію. Можливо, не всім зрозуміло, розпишу докладніше:

(3) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтегралу.

(4) Беремо останній інтеграл («довгий» логарифм).

Тепер дивимося на початок рішення:

І наприкінці:

Що сталося? Внаслідок наших маніпуляцій інтеграл звівся до самого себе!

Прирівнюємо початок і кінець:

Переносимо до лівої частини зі зміною знака:

А двійку зносимо у праву частину. В результаті:

Константу, строго кажучи, треба було додати раніше, але приписав її наприкінці. Настійно рекомендую прочитати, у чому тут строгість:

Примітка: Суворіше заключний етап рішення виглядає так:

Таким чином:

Константу можна перепозначити через . Чому можна перепозначити? Тому що все одно приймає будь-якізначення, і в цьому сенсі між константами немає жодної різниці.
В результаті:

Подібний трюк з перепозначенням константи широко використовується в диференціальних рівняннях. І там я буду суворий. А тут така вільність допускається мною тільки для того, щоб не плутати вас зайвими речами та акцентувати увагу саме на методі інтегрування.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл

Ще один типовий інтеграл для самостійного вирішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Різниця з відповіддю попереднього прикладу буде!

Якщо під квадратним коренем знаходиться квадратний тричлен, то рішення у будь-якому випадку зводиться до двох розібраних прикладів.

Наприклад, розглянемо інтеграл . Все, що потрібно зробити – попередньо виділити повний квадрат:
.
Далі проводиться лінійна заміна, яка обходиться «без жодних наслідків»:
, у результаті виходить інтеграл . Щось знайоме, правда?

Або такий приклад із квадратним двочленом:
Виділяємо повний квадрат:
І, після лінійної заміни, отримуємо інтеграл, який також вирішується за вже розглянутим алгоритмом.

Розглянемо ще два типові приклади на прийом відомості інтеграла до самого себе:
- Інтеграл від експоненти, помноженої на синус;
- Інтеграл від експоненти, помноженої на косинус.

У перерахованих інтегралах частинами доведеться інтегрувати вже двічі:

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл

Підінтегральна функція – експонента, помножена на синус.

Двічі інтегруємо частинами і зводимо інтеграл до себе:

В результаті дворазового інтегрування частинами інтеграл звівся до самого себе. Прирівнюємо початок та закінчення рішення:

Переносимо в ліву частину зі зміною знака та виражаємо наш інтеграл:

Готово. Принагідно бажано зачесати праву частину, тобто. винести експоненту за дужки, а в дужках розташувати синус із косинусом у «красивому» порядку.

Тепер повернемося до початку прикладу, а точніше – до інтегрування частинами:

За ми окреслили експоненту. Виникає питання, чи саме експоненту завжди потрібно позначати за ? Не обов'язково. Насправді у розглянутому інтегралі принципово без різниці, Що позначати за , можна було піти іншим шляхом:

Чому таке можливе? Тому що експонента перетворюється сама на себе (і при диференціюванні, і при інтегруванні), синус з косінусом взаємно перетворюються один на одного (знов-таки – і при диференціюванні, і при інтегруванні).

Тобто, можна позначити і тригонометричну функцію. Але у розглянутому прикладі це менш раціонально, оскільки з'являться дроби. За бажання можете спробувати вирішити цей приклад другим способом, відповіді обов'язково повинні збігтися.

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. Перед тим як вирішувати, подумайте, що вигідніше в даному випадку позначити за експоненту, тригонометричну функцію? Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І, звичайно, не забувайте, що більшість відповідей цього уроку досить легко перевірити диференціюванням!

Приклади були розглянуті не найскладніші. Насправді частіше зустрічаються інтеграли, де константа є у показнику експоненти й у аргументі тригонометричної функції, например: . Поплутатися в подібному інтегралі доведеться багатьом, часто плутаюсь і я сам. Справа в тому, що у вирішенні велика ймовірність появи дробів, і дуже просто що-небудь через неуважність втратити. Крім того, велика ймовірність помилки у знаках, зверніть увагу, що у показнику експоненти є знак «мінус», і це вносить додаткову трудність.

На завершальному етапі часто виходить приблизно таке:

Навіть наприкінці рішення слід бути дуже уважним і грамотно розібратися з дробами:

Інтегрування складних дробів

Потроху підбираємось до екватора уроку і починаємо розглядати інтеграли від дробів. Знову ж таки, не всі вони суперскладні, просто з тих чи інших причин приклади були трохи «не в тему» ​​в інших статтях.

Продовжуємо тему коріння

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

У знаменнику під коренем знаходиться квадратний тричлен плюс за межами кореня доважок у вигляді ікса. Інтеграл такого виду вирішується за допомогою стандартної заміни.

Вирішуємо:

Заміна тут проста:

Дивимося на життя після заміни:

(1) Після підстановки приводимо до спільного знаменника доданки під коренем.
(2) Виносимо з-під кореня.
(3) Чисельник і знаменник скорочуємо на . Заодно під коренем я переставив доданки у зручному порядку. При певному досвіді кроки (1) (2) можна пропускати, виконуючи прокоментовані дії усно.
(4) Отриманий інтеграл, як ви пам'ятаєте з уроку Інтегрування деяких дробіввирішується методом виділення повного квадрата. Виділяємо повний квадрат.
(5) Інтегруванням отримуємо пересічний «довгий» логарифм.
(6) Проводимо зворотну заміну. Якщо спочатку , то назад: .
(7) Заключна дія спрямована на зачіску результату: під коренем знову наводимо доданки до спільного знаменника і виносимо з-під кореня.

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. Тут до самотнього «ікса» додано константу, і заміна майже така сама:

Єдине, що потрібно додатково зробити – висловити «ікс» із заміни, що проводиться:

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Іноді в такому інтегралі під коренем може бути квадратний двочлен, це не змінює спосіб вирішення, воно буде навіть простіше. Відчуйте різницю:

Приклад 11

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 12

Знайти невизначений інтеграл

Короткі рішення та відповіді наприкінці уроку. Слід зазначити, що приклад 11 є в точності біноміальним інтегралом, метод вирішення якого розглядався на уроці Інтеграли від ірраціональних функцій.

Інтеграл від нерозкладного багаточлена 2-го ступеня

(багаточлен у знаменнику)

Більш рідкісний, проте, що зустрічає у практичних прикладах вид інтеграла.

Приклад 13

Знайти невизначений інтеграл

Але повернемося, наприклад, зі щасливим номером 13 (чесне слово, не підгадав). Цей інтеграл теж із розряду тих, з якими можна неабияк промучитися, якщо не знаєш, як вирішувати.

Рішення починається зі штучного перетворення:

Як почленно розділити чисельник на знаменник, гадаю, вже всі розуміють.

Отриманий інтеграл береться частинами:

Для інтеграла виду ( – натуральне число) виведено рекурентнаформула зниження ступеня:
, де - Інтеграл ступенем нижче.

Переконаємося у справедливості цієї формули для вирішеного інтеграла.
В даному випадку: , , використовуємо формулу:

Як бачите, відповіді збігаються.

Приклад 14

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. У зразку рішення двічі послідовно використана вищезгадана формула.

Якщо під ступенем знаходиться нерозкладний на множникиквадратний тричлен, то рішення зводиться до двочлена шляхом виділення повного квадрата, наприклад:

Що робити, якщо додатково в чисельнику є багаточлен? У цьому випадку використовується метод невизначених коефіцієнтів і підінтегральна функція розкладається у суму дробів. Але у моїй практиці такого прикладу не зустрічалося жодного разутому я пропустив цей випадок у статті Інтеграли від дробово-раціональної функції, пропущу і зараз. Якщо такий інтеграл таки зустрінеться, дивіться підручник – там просто. Не вважаю за доцільне включати матеріал (навіть нескладний), ймовірність зустрічі з яким прагне до нуля.

Інтегрування складних тригонометричних функцій

Прикметник «складний» більшість прикладів знову носить багато в чому умовний характер. Почнемо з тангенсів та котангенсів у високих ступенях. З погляду використовуваних методів вирішення тангенс і котангенс – майже одне й теж, тому я більше говоритиму про тангенс, маючи на увазі, що продемонстрований прийом рішення інтеграла справедливий і для котангенсу теж.

На вищезгаданому уроці ми розглядали універсальну тригонометричну підстановкуна вирішення певного виду інтегралів від тригонометричних функцій. Недолік універсальної тригонометричної підстановки у тому, що з її застосуванні часто виникають громіздкі інтеграли з важкими обчисленнями. І у ряді випадків універсальної тригонометричної підстановки можна уникнути!

Розглянемо ще один канонічний приклад, інтеграл від одиниці, поділеної на синус:

Приклад 17

Знайти невизначений інтеграл

Тут можна використовувати універсальну тригонометричну підстановку та отримати відповідь, але існує більш раціональний шлях. Я наведу повне рішення з коментами до кожного кроку:

(1) Використовуємо тригонометричну формулу синуса подвійного кута.
(2) Проводимо штучне перетворення: У знаменнику ділимо та множимо на .
(3) За відомою формулою у знаменнику перетворюємо дріб на тангенс.
(4) Підводимо функцію під знак диференціала.
(5) Беремо інтеграл.

Пара простих прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 18

Знайти невизначений інтеграл

Вказівка: Найпершою дією слід використовувати формулу приведення та акуратно провести аналогічні попередньому прикладу дії.

Приклад 19

Знайти невизначений інтеграл

Ну, це дуже простий приклад.

Повні рішення та відповіді наприкінці уроку.

Думаю, тепер ні в кого не виникне проблем із інтегралами:
і т.п.

У чому полягає ідея методу? Ідея полягає в тому, щоб за допомогою перетворень, тригонометричних формул організувати в підінтегральній функції тільки тангенси та похідну тангенсу. Тобто йдеться про заміну: . У Прикладах 17-19 ми фактично й застосовували цю заміну, але інтеграли були настільки прості, що справа обійшлася еквівалентною дією – підведенням функції під знак диференціалу.

Аналогічні міркування, як я вже говорив, можна провести для котангенсу.

Існує і формальна передумова для застосування вищезазначеної заміни:

Сума ступенів косинуса та синуса – ціле негативне ЧЕТНЕ число, наприклад:

для інтеграла – ціле негативне ЧЕТНЕ число.

! Примітка Якщо підінтегральна функція містить ТІЛЬКИ синус або ТІЛЬКИ косинус, то інтеграл береться і при негативному непарному ступені (найпростіші випадки – у Прикладах №№17, 18).

Розглянемо пару більш змістовних завдань цього правила:

Приклад 20

Знайти невизначений інтеграл

Сума ступенів синуса та косинуса: 2 – 6 = –4 – ціле негативне ЧЕТНЕ число, отже, інтеграл можна звести до тангенсів та його похідної:

(1) Перетворимо знаменник.
(2) За відомою формулою отримуємо .
(3) Перетворимо знаменник.
(4) Використовуємо формулу .
(5) Підбиваємо функцію під знак диференціала.
(6) Проводимо заміну. Досвідченіші студенти заміну можуть і не проводити, але все-таки краще замінити тангенс однією літерою – менше ризик заплутатися.

Приклад 21

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення.

Тримайтеся, починаються чемпіонські раунди =)

Найчастіше в підінтегральній функції знаходиться «солянка»:

Приклад 22

Знайти невизначений інтеграл

У цьому інтегралі спочатку є тангенс, що відразу наштовхує на вже знайому думку:

Штучне перетворення на самому початку та інші кроки залишу без коментарів, оскільки про все вже говорилося вище.

Пара творчих прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 23

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 24

Знайти невизначений інтеграл

Так, у них, звичайно, можна знизити ступеня синуса, косинуса, використовувати універсальну тригонометричну підстановку, але рішення буде набагато ефективнішим і коротшим, якщо його провести через тангенси. Повне рішення та відповіді наприкінці уроку

Визначений інтеграл. Приклади рішень

І знову здрастуйте. На цьому уроці ми докладно розберемо таку чудову річ як певний інтеграл. На цей раз вступ буде коротким. Всі. Бо снігова хуртовина за вікном.

Для того, щоб навчитися вирішувати певні інтеграли необхідно:

1) Вміти знаходитиневизначені інтеграли.

2) Вміти обчислитивизначений інтеграл.

Як бачите, щоб освоїти певний інтеграл, потрібно досить добре орієнтуватися в «звичайних» невизначених інтегралах. Тому якщо ви тільки починаєте занурюватися в інтегральне числення, і чайник ще зовсім не закипів, то краще почати з уроку Невизначений інтеграл. Приклади рішень. Крім того, є pdf-курси для надшвидкої підготовки- Якщо у вас в запасі буквально день, пів дня.

У загальному вигляді певний інтеграл записується так:

Що побільшало порівняно з невизначеним інтегралом? Додалися межі інтегрування.

Нижня межа інтегрування
Верхня межа інтегруваннястандартно позначається літерою.
Відрізок називається відрізком інтегрування.

Перш ніж ми перейдемо до практичних прикладів, невеликий faq за певним інтегралом.

Що означає вирішити певний інтеграл?Вирішити певний інтеграл – це означає знайти число.

Як вирішити певний інтеграл?За допомогою знайомої зі школи формули Ньютона-Лейбніца:

Формулу краще переписати на окремий листочок, вона має бути перед очима протягом усього уроку.

Етапи вирішення певного інтеграла такі:

1) Спочатку знаходимо первісну функцію (невизначений інтеграл). Зверніть увагу, що константа у певному інтегралі не додається. Позначення є суто технічним, і вертикальна паличка несе ніякого математичного сенсу, насправді – це просто отчёркивание. Навіщо потрібна сама запис? Підготовка до застосування формули Ньютона-Лейбніца.

2) Підставляємо значення верхньої межі в первинну функцію: .

3) Підставляємо значення нижньої межі в первинну функцію: .

4) Розраховуємо (без помилок!) Різницю, тобто, знаходимо число.

Чи завжди існує певний інтеграл?Ні не завжди.

Наприклад, інтеграла немає, оскільки відрізок інтегрування не входить у область визначення подынтегральной функції (значення під квадратним коренем неможливо знайти негативними). І це менш очевидний приклад: . Такого інтеграла теж немає, оскільки у точках , відрізка немає тангенса. До речі, хто ще не прочитав методичний матеріал Графіки та основні властивості елементарних функцій- Саме час зробити це зараз. Допомагатиме протягом усього курсу вищої математики.

Для того щоб певний інтеграл взагалі існував, достатньо, щоб підінтегральна функція була безперервною на відрізку інтегрування.

З вищесказаного випливає перша важлива рекомендація: перед тим, як приступити до рішення будь-якого певного інтеграла, потрібно переконатися в тому, що підінтегральна функція безперервна на відрізку інтегрування. За студентською молодістю в мене неодноразово бував казус, коли я довго мучився з знаходженням важкої первісної, а коли нарешті її знаходив, то ламав голову ще над одним питанням: «що за нісенітниця вийшла?». У спрощеному варіанті ситуація виглядає приблизно так:

???! Не можна підставляти негативні числа під корінь! Що за фігня?! Початкова неуважність.

Якщо для вирішення (у контрольній роботі, на заліку, іспиті) Вам запропоновано неіснуючий інтеграл на кшталт , то потрібно дати відповідь, що інтеграла не існує та обґрунтувати – чому.

Чи може певний інтеграл дорівнювати негативному числу?Може. І негативному числу. І нулю. Може навіть вийти нескінченність, але це вже буде невласний інтеграл, яким відведено окрему лекцію.

Чи може нижня межа інтегрування бути більшою за верхню межу інтегрування?Може, і така ситуація реально трапляється на практиці.

- Інтеграл спокійнісінько обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца.

Без чого не обходиться найвища математика? Звісно ж, без усіляких властивостей. Тому розглянемо деякі властивості певного інтегралу.

У певному інтегралі можна переставити верхню та нижню межу, змінивши при цьому знак:

Наприклад, у певному інтегралі перед інтегруванням доцільно змінити межі інтегрування на «звичний» порядок:

– у такому вигляді інтегрувати значно зручніше.

- Це справедливо не тільки для двох, але і для будь-якої кількості функцій.

У певному інтегралі можна проводити заміну змінної інтегрування, Щоправда, проти невизначеним інтегралом тут є своя специфіка, яку ми ще поговоримо.

Для певного інтегралу справедлива формула інтегрування частинами:

Приклад 1

Рішення:

(1) Виносимо константу за знак інтегралу.

(2) Інтегруємо по таблиці за допомогою найпопулярнішої формули. Константу, що з'явилася, доцільно відокремити від і винести за дужку. Робити це не обов'язково, але бажано – навіщо зайві обчислення?

. Спочатку підставляємо у верхню межу, потім – нижню межу. Проводимо подальші обчислення та отримуємо остаточну відповідь.

Приклад 2

Обчислити певний інтеграл

Це приклад для самостійного рішення, рішення та відповіді в кінці уроку.

Трохи ускладнюємо завдання:

Приклад 3

Обчислити певний інтеграл

Рішення:

(1) Використовуємо властивості лінійності певного інтегралу.

(2) Інтегруємо за таблицею, при цьому всі константи виносимо – вони не братимуть участі у підстановці верхньої та нижньої межі.

(3) Для кожного з трьох доданків застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца:

Слабка ланка в певному інтегралі - це помилки обчислень і ПУТАНИЦЯ, що часто зустрічається в знаках. Будьте уважні! Особливу увагу загострюю на третьому доданку: – перше місце у хіт-параді помилок через неуважність, дуже часто машинально пишуть (особливо, коли підстановка верхньої та нижньої межі проводиться усно і не розписується так докладно). Ще раз уважно вивчіть приклад.

Слід зазначити, що розглянутий спосіб вирішення певного інтегралу не єдиний. За певного досвіду, рішення можна значно скоротити. Наприклад, я сам звик вирішувати такі інтеграли так:

Тут я усно використав правила лінійності, усно проінтегрував за таблицею. У мене вийшла лише одна дужка з викресленням меж: (На відміну від трьох дужок у першому способі). І в «цілікову» первинну функцію, я спочатку підставив спочатку 4, потім -2, знову ж таки виконавши всі дії в умі.

Які недоліки у короткого способу розв'язання? Тут все не дуже добре з точки зору раціональності обчислень, але особисто мені все одно - прості дроби я вважаю на калькуляторі.
Крім того, існує підвищений ризик припуститися помилки у обчисленнях, таким чином, студенту-чайнику краще використовувати перший спосіб, при «моєму» способі рішення точно десь загубиться знак.

Однак безперечними перевагами другого способу є швидкість вирішення, компактність запису і той факт, що первісна знаходиться в одній дужці.

Порада: перед тим, як використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, корисно провести перевірку: а сама первісна знайдена правильно?

Так, стосовно прикладу, що розглядається: перед тим, як у першорядну функцію підставляти верхню і нижню межі, бажано на чернетці перевірити, а чи правильно взагалі знайдено невизначений інтеграл? Диференціюємо:

Отримана вихідна підінтегральна функція, отже, невизначений інтеграл знайдено правильно. Тепер можна і формулу Ньютона Лейбніца застосувати.

Така перевірка буде не зайвою при обчисленні будь-якого певного інтегралу.

Приклад 4

Обчислити певний інтеграл

Це приклад самостійно рішення. Спробуйте вирішити його коротким та докладним способом.

Заміна змінної у певному інтегралі

Для певного інтеграла справедливі всі типи замін, як і для невизначеного інтеграла. Таким чином, якщо із замінами у Вас не дуже, слід уважно ознайомитись із уроком Метод заміни у невизначеному інтегралі.

У цьому параграфі немає нічого страшного чи складного. Новизна полягає у питанні, як змінити межі інтегрування під час заміни.

У прикладах я намагатимусь навести такі типи замін, які ще ніде не зустрічалися на сайті.

Приклад 5

Обчислити певний інтеграл

Головне питання тут зовсім не у певному інтегралі, а у тому, як правильно провести заміну. Дивимося в таблицю інтеграліві прикидаємо, на що у нас найбільше схожа підінтегральна функція? Очевидно, що на довгий логарифм: . Але є одна проблема, в табличному інтегралі під коренем , а нашому – «ікс» в четвертої степени. З міркувань випливає і ідея заміни – непогано б наш четвертий ступінь якось перетворити на квадрат. Це реально.

Спочатку готуємо наш інтеграл до заміни:

З вищевказаних міркувань цілком природно напрошується заміна:
Таким чином, у знаменнику буде все гаразд: .
З'ясовуємо, на що перетвориться частина підінтегрального вираження, що залишилася, для цього знаходимо диференціал:

Порівняно із заміною у невизначеному інтегралі у нас додається додатковий етап.

Знаходимо нові межі інтегрування.

Це досить просто. Дивимося на нашу заміну та старі межі інтегрування.

Спочатку підставляємо у вираз заміни нижню межу інтегрування, тобто нуль:

Потім підставляємо у вираз заміни верхню межу інтегрування, тобто, корінь із трьох:

Готово. І всього лише...

Продовжуємо рішення.

(1) Відповідно до заміни записуємо новий інтеграл із новими межами інтегрування.

(2) Це найпростіший табличний інтеграл, який інтегрується за таблицею. Константу краще залишити за дужками (можна цього й не робити), щоб вона не заважала подальшим обчисленням. Праворуч відкреслюємо лінію із зазначенням нових меж інтегрування – це підготовка до застосування формули Ньютона-Лейбніца.

(3) Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца .

Відповідь прагнемо записати в максимально компактному вигляді, тут використовував властивості логарифмів.

Ще одна відмінність від невизначеного інтеграла полягає в тому, що після того, як ми провели заміну, ніяких зворотних замін проводити не треба.

А зараз кілька прикладів для самостійного рішення. Які заміни проводити - постарайтеся здогадатися самостійно.

Приклад 6

Обчислити певний інтеграл

Приклад 7

Обчислити певний інтеграл

Це приклади самостійного рішення. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

І насамкінець параграфа пара важливих моментів, розбір яких з'явився завдяки відвідувачам сайту. Перший із них стосується правомірності заміни. У деяких випадках її не можна проводити!Так, Приклад 6, здавалося б, дозволимо за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, проте верхня межа інтегрування («пі»)не входить до область визначенняцього тангенсу і тому ця підстановка нелегальна! Таким чином, функція-«заміна» має бути безперервною у всіхточках відрізка інтегрування.

В іншому електронному листі надійшло таке запитання: «А чи потрібно змінювати межі інтегрування, коли ми підводимо функцію під знак диференціала?». Спочатку я хотів «відмахнутися від нісенітниці» і автоматично відповісти «звичайно, ні», але потім задумався про причину появи такого питання і раптом виявив, що інформації-то не вистачає. Адже вона, хай і очевидна, але дуже важлива:

Якщо ми підводимо функцію під знак диференціалу, змінювати межі інтегрування не потрібно! Чому? Тому що в цьому випадку немає фактичного переходу до нової змінної. Наприклад:

І тут підведення набагато зручніше за академічну заміну з наступним «розписом» нових меж інтегрування. Таким чином, якщо певний інтеграл не дуже складний, завжди намагайтеся підвести функцію під знак диференціала! Це швидше, це компактніше, і це буденно - у чому ви переконаєтеся ще десятки разів!

Дуже дякую за ваші листи!

Метод інтегрування частинами у певному інтегралі

Тут новизни ще менше. Усі викладки статті Інтегрування частинами в невизначеному інтеграліцілком справедливі й у певного інтеграла.
Плюсом йде лише одна деталь, у формулі інтегрування частинами додаються межі інтегрування:

Формулу Ньютона-Лейбніца тут необхідно застосувати двічі: для твору і після того, як ми візьмемо інтеграл.

Тип інтеграла для прикладу я знову підібрав такий, що ще ніде не зустрічався на сайті. Приклад не найпростіший, але дуже пізнавальний.

Приклад 8

Обчислити певний інтеграл

Вирішуємо.

Інтегруємо частинами:

У кого виникли труднощі з інтегралом, загляньте на урок Інтеграли від тригонометричних функцій, Там він детально розібраний.

(1) Записуємо рішення відповідно до формули інтегрування частинами.

(2) Для твору застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца. Для інтегралу використовуємо властивості лінійності, поділяючи його на два інтеграли. Не плутаємось у знаках!

(4) Застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца для двох знайдених первісних.

Якщо чесно, я недолюблю формулу і, по можливості, … обходжусь взагалі без неї! Розглянемо другий спосіб рішення, на мій погляд він раціональніший.

Обчислити певний інтеграл

На першому етапі знаходжу невизначений інтеграл:

Інтегруємо частинами:

Первісна функція знайдена. Константу у разі додавати немає сенсу.

У чому перевага такого походу? Не потрібно «тягати за собою» межі інтегрування, справді, замучитися можна десяток разів записувати дрібні значки меж інтегрування

На другому етапі я проводжу перевірку(зазвичай на чернетці).

Теж логічно. Якщо я неправильно знайшов першорядну функцію, то неправильно вирішу певний інтеграл. Це краще з'ясувати негайно, диференціювати відповідь:

Отримана вихідна підінтегральна функція, отже, первинна функція знайдена правильно.

Третій етап - застосування формули Ньютона-Лейбніца:

І тут є суттєва вигода! У «моєму» способі рішення набагато менший ризик заплутатися в підстановках та обчисленнях – формула Ньютона-Лейбніца застосовується лише один раз. Якщо чайник вирішить подібний інтеграл за формулою (першим способом), то стопудово де-небудь припуститься помилки.

Розглянутий алгоритм рішення можна застосувати для будь-якого певного інтегралу.

Шановний студенте, роздрукуй та збережи:

Що робити, якщо дано певний інтеграл, який здається складним чи не одразу зрозуміло, як його вирішувати?

1) Спочатку знаходимо невизначений інтеграл (перша функція). Якщо на першому етапі стався облом, далі рипатися з Ньютоном і Лейбніцем безглуздо. Шлях тільки один – підвищувати свій рівень знань та навичок у вирішенні невизначених інтегралів.

2) Перевіряємо знайдену первинну функцію диференціюванням. Якщо її знайдено неправильно, третій крок буде марною тратою часу.

3) Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца. Всі обчислення проводимо гранично уважно - тут найслабша ланка завдання.

І на закуску інтеграл для самостійного рішення.

Приклад 9

Обчислити певний інтеграл

Рішення та відповідь десь поруч.

Наступний рекомендований урок на тему – Як обчислити площу фігури за допомогою певного інтегралу?
Інтегруємо частинами:

Ви точно їх вирішували та отримали такі відповіді? ;-) І на стару буває порнуха.

Інтегрування частинами- метод, який застосовується для вирішення певних і невизначених інтегралів, коли одна з підінтегральних функцій легко інтегрована, а інша диференційована. Досить поширений метод знаходження інтегралів як невизначених, і певних. Головна ознака, коли потрібно використовувати його - це деяка функція, що складається з твору двох функцій, яку не можна проінтегрувати в упор.

Формула

Для того, щоб успішно використовувати цей метод необхідно розібрати та вивчити формули.

Формула інтегрування частинами в невизначеному інтегралі:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Формула інтегрування частинами у певному інтегралі:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Приклади рішень

Розглянемо практично приклади рішень інтегрування частинами, які часто пропонуються викладачами на контрольних роботах. Зверніть увагу, що під позначкою інтеграла стоїть добуток двох функцій. Це як ознака того, що для вирішення підійде цей метод.

Формула інтегрування частинами має вигляд:
.

Метод інтегрування частинами полягає у застосуванні цієї формули. При практичному застосуванні слід зазначити, що u та v є функціями від змінної інтегрування. Нехай змінна інтегрування позначена як x (символ після знаку диференціала d наприкінці запису інтеграла) . Тоді u та v є функціями від x : u(x) та v(x) .
Тоді
, .
І формула інтегрування частинами набуває вигляду:
.

Тобто підінтегральна функція має складатися з двох функцій:
,
одну з яких позначаємо як u: g(x) = u , а в іншої повинен обчислюватися інтеграл (точніше знаходитися первісна):
тоді dv = f(x) dx .

У деяких випадках f(x) = 1 . Тобто в інтегралі
,
можна покласти g(x) = u, x = v.

Резюме

Отже, у цьому методі, формулу інтегрування частинами варто запам'ятати і застосовувати у двох видах:
;
.

Інтеграли, що обчислюються інтегруванням частинами

Інтеграли, що містять логарифм та зворотні тригонометричні (гіперболічні) функції

Частинами часто інтегруються інтеграли, що містять логарифм і зворотні тригонометричні або гіперболічні функції. При цьому ту частину, яка містить логарифм або зворотні тригонометричні (гіперболічні) функції позначають через u, частину, що залишилася - через dv .

Ось приклади таких інтегралів, які обчислюються методом інтегрування частинами:
, , , , , , .

Інтеграли, що містять добуток багаточлена і sin x, cos x або e x

За формулою інтегрування частин знаходяться інтеграли виду:
, , ,
де P(x) - багаточлен від x. При інтегруванні багаточлен P(x) позначають через u , а e ax dx , cos ax dxабо sin ax dx- Через dv.

Ось приклади таких інтегралів:
, , .

Приклади обчислення інтегралів методом інтегрування частинами

Приклади інтегралів, що містять логарифм та зворотні тригонометричні функції

приклад

Обчислити інтеграл:

Докладне рішення

Тут підінтегральний вираз містить логарифм. Робимо підстановки
u = ln x,
dv = x 2 dx.
Тоді
,
.

Обчислюємо інтеграл, що залишився:
.
Тоді
.
Наприкінці обчислень потрібно обов'язково додати постійну C , оскільки невизначений інтеграл - це множина всіх первісних. Також її можна було додавати і в проміжних обчисленнях, але це лише захаращувало б викладки.

Коротше рішення

Можна уявити рішення у більш короткому варіанті. Для цього не потрібно робити підстановки з u і v, а можна згрупувати співмножники і застосувати формулу інтегрування частинами у другому вигляді.

Відповідь

Приклади інтегралів, що містять добуток багаточлена та sin x, cos x або ex

приклад

Обчислити інтеграл:
.

Рішення

Введемо експоненту під знак диференціалу:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Інтегруємо частинами.
.
Також застосовуємо метод інтегрування частинами.
.
.
.
Остаточно маємо.

Рішення інтегралів – завдання легке, але тільки для обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли? Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати інтеграли і чому без цього не можна обійтися.

Вивчаємо поняття "інтеграл"

Інтегрування було відоме ще у Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж таки. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася. Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про , необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первісні елементарні функції, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями:

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції. Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції?

За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішувати невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

• Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

• Лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значення під час вирішення прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів. Пропонуємо самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться до професійного сервісу для студентів, і будь-який потрійний чи криволінійний інтеграл по замкнутій поверхні стане вам під силу.