Віднімання дробів з різними знаменниками. Складання та віднімання звичайних дробів

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

Події з дробами.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Отже, що являють собою дроби, види дробів, перетворення - ми згадали. Займемося основним питанням.

Що можна робити із дробами?Та все те, що і зі звичайними числами. Складати, віднімати, множити, ділити.

Всі ці дії з десятковимидробами нічим не відрізняються від дій із цілими числами. Власне, цим вони й добрі, десяткові. Єдино, кому правильно поставити треба.

Змішані числаЯк я вже казав, малопридатні для більшості дій. Їх все одно треба переводити у звичайні дроби.

А ось дії з звичайними дробамихитрішими будуть. І набагато важливіше! Нагадаю: всі дії з дробовими виразами з літерами, синусами, невідомими та інші та інші нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами! Дії зі звичайними дробами – це основа для всієї алгебри. Саме тому ми дуже докладно розберемо тут всю цю арифметику.

Складання та віднімання дробів.

Скласти (відібрати) дроби з однаковими знаменниками кожен зможе (дуже сподіваюся!). Ну вже зовсім забудькуватим нагадаю: при складанні (відніманні) знаменник не змінюється. Чисельники складаються (віднімаються) і дають чисельник результату. Типу:

Коротше, у загальному вигляді:

А якщо знаменники різні? Тоді, використовуючи основну властивість дробу (ось воно і знову знадобилося!), робимо знаменники однаковими! Наприклад:

Тут нам із дробу 2/5 довелося зробити дріб 4/10. Винятково з метою зробити знаменники однаковими. Зауважу, про всяк випадок, що 2/5 та 4/10 це один і той же дріб! Тільки 2/5 нам незручно, а 4/10 дуже нічого.

До речі, у цьому є суть рішень будь-яких завдань з математики. Коли ми з незручноговирази робимо те саме, але вже зручне для вирішення.

Ще приклад:

Ситуація є аналогічною. Тут ми із 16 робимо 48. Простим множенням на 3. Це все зрозуміло. Але ось нам трапилося щось типу:

Як бути?! З сімки дев'ятку важко зробити! Але ми розумні, ми знаємо правила! Перетворюємо кожнудріб так, щоб знаменники стали однаковими. Це називається «приведемо до спільного знаменника»:

Ось як! Звідки я дізнався про 63? Дуже просто! 63 це число, яке ціле ділиться на 7 і 9 одночасно. Таке число можна отримати перемноженням знаменників. Якщо ми якесь число помножили на 7, наприклад, то результат точно на 7 ділитися буде!

Якщо треба скласти (відняти) кілька дробів, немає потреби робити це попарно, по кроках. Просто треба знайти знаменник, загальний для всіх дробів, і привести кожен дріб до цього знаменника. Наприклад:

І який спільний знаменник буде? Можна, звичайно, перемножити 2, 4, 8 і 16. Отримаємо 1024. Кошмар. Простіше прикинути, що число 16 відмінно ділиться і на 2, і на 4, і на 8. Отже, з цих чисел легко отримати 16. Це число буде спільним знаменником. 1/2 перетворимо на 8/16, 3/4 на 12/16, ну і так далі.

До речі, якщо за загальний знаменник взяти 1024, теж все вийде, наприкінці все скорочується. Тільки до цього кінця не всі дістануться, через обчислення...

Дорішайте приклад самостійно. Чи не логарифм який... Повинно вийти 29/16.

Отже, зі складанням (відніманням) дробів ясно, сподіваюся? Звичайно, простіше працювати в скороченому варіанті з додатковими множниками. Але це задоволення є тим, хто чесно працював у молодших класах... І нічого не забув.

А зараз ми поробимо ті самі дії, але не з дробами, а з дробовими виразами. Тут виявляться нові граблі, та...

Отже, нам треба скласти два дробові вирази:

Потрібно зробити знаменники однаковими. Причому лише за допомогою множення! Така основна властивість дробу велить. Тому я не можу в першому дробі у знаменнику до ікса додати одиницю. (А ось би добре було!). А от якщо перемножити знаменники, дивишся, все й зростеться! Так і записуємо, межу дробу, зверху порожнє місце залишимо, потім допишемо, а знизу пишемо твір знаменників, щоб не забути:

І, звичайно, нічого у правій частині не перемножуємо, дужки не відкриваємо! А тепер, дивлячись на загальний знаменник правої частини, розуміємо: щоб у першому дробі вийшов знаменник х(х+1), треба чисельник та знаменник цього дробу помножити на (х+1). А у другому дробі – на х. Вийде ось що:

Зверніть увагу! Тут з'явилися дужки! Це і є ті граблі, на які багато хто наступає. Не дужки, звісно, ​​а їхня відсутність. Дужки з'являються тому, що ми множимо весьчисельник та весьзнаменник! А не їхні окремі шматочки...

У чисельнику правої частини записуємо суму чисельників, як у числових дробах, потім розкриваємо дужки в чисельнику правої частини, тобто. перемножуємо все та наводимо подібні. Розкривати дужки у знаменниках, перемножувати щось не потрібно! Взагалі, у знаменниках (будь-яких) завжди приємніший твір! Отримаємо:

Ось і отримали відповідь. Процес здається довгим та важким, але це від практики залежить. Розв'язуєте приклади, звикніть, все стане просто. Ті, хто освоїв дроби в належний час, всі ці операції однією лівою роблять на автоматі!

І ще одне зауваження. Багато хто хвацько розправляються з дробами, але зависають на прикладах з цілимичислами. Типу: 2+1/2+3/4=? Куди пристебнути двійку? Нікуди не треба пристібати, треба з двійки дріб зробити. Це не просто, а дуже просто! 2 = 2/1. Ось так. Будь-яке ціле число можна записати як дробу. У чисельнику - саме число, у знаменнику - одиниця. 7 це 7/1, 3 це 3/1 тощо. З літерами – те саме. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 тощо. А далі працюємо з цими дробами за всіма правилами.

Ну, за додаванням - віднімання дробів знання освіжили. Перетворення дробів з одного виду на інший - повторили. Можна й перевіритись. Вирішуємо трохи?)

Обчислити:

Відповіді (безладно):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Множення/розподіл дробів - у наступному уроці. Там же завдання на всі дії з дробами.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Тут ми розберемося, як проводиться віднімання звичайних дробів. Спочатку отримаємо правило віднімання дробів з однаковими знаменниками. Далі розглянемо віднімання дробів з різними знаменниками і наведемо приклади віднімання з докладними рішеннями. Після цього зупинимося на відніманні дробу з натурального числа і відніманні числа з дробу. На закінчення покажемо, як проводиться віднімання звичайних дробів з використанням властивостей цієї дії.

Відразу зауважимо, що в цій статті ми говоритимемо лише про віднімання меншого дробу з більшого дробу. Інші випадки розібрані у статті віднімання раціональних чисел.

Навігація на сторінці.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Для початку наведемо приклад, який дозволить нам з'ясувати, як проводиться віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Нехай на тарілці знаходилося п'ять восьмих часток яблука, тобто 5/8 яблука, після чого дві восьми частки забрали. За змістом віднімання (дивіться загальне уявлення про віднімання), зазначене дію описується так: . Зрозуміло, що при цьому на тарілці залишається 5-2 = 3 восьмих частки яблука. Тобто, .

Розглянутий приклад ілюструє правило віднімання дробів з однаковими знаменниками: при відніманні дробів з однаковими знаменниками з чисельника зменшуваного віднімається чисельник віднімається, а знаменник залишається тим самим.

Озвучене правило за допомогою букв записується так: . Цю формулу і будемо використовувати при відніманні дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо приклади віднімання дробів з однаковими знаменниками.

приклад.

Виконайте віднімання звичайного дробу 17/15 із звичайного дробу 24/15 .

Рішення.

Знаменники віднімаються дробів рівні. Чисельник зменшуваного дорівнює 24 , а чисельник віднімається дорівнює 17 їх різниця дорівнює 7 (24-17=7 при необхідності дивіться віднімання натуральних чисел). Тому віднімання дробів з однаковими знаменниками 24/15 та 17/15 дає дріб 7/15 .

Короткий варіант рішення виглядає так: .

Відповідь:

.

При можливості потрібно проводити скорочення дробу та (або) виділення цілої частини з неправильного дробу, який виходить при відніманні дробів з однаковими знаменниками.

приклад.

Обчисліть різницю.

Рішення.

Скористаємося формулою віднімання дробів з однаковими знаменниками: .

Вочевидь, чисельник і знаменник отриманого дробу діляться на 2 (дивіться ), тобто, 22/12 – скоротитий дріб . Виконавши скорочення цього дробу на 2, приходимо до дробу 11/6.

Дріб 11/6 – неправильна (дивіться правильні та неправильні дроби). Тому з неї необхідно виділити цілу частину: .

Отже, різниця дробів, що обчислюється, з однаковими знаменниками дорівнює .

Ось все рішення: .

Відповідь:

.

Віднімання дробів з різними знаменниками

Віднімання дробів з різними знаменниками зводиться до віднімання дробів з однаковими знаменниками. Для цього дробу з різними знаменниками достатньо привести до спільного знаменника.

Отже, щоб провести віднімання дробів з різними знаменниками, Треба:

• привести дроби до спільного знаменника (зазвичай дроби призводять до найменшого спільного знаменника);
• відняти отримані дроби з однаковими знаменниками.

Розглянемо приклади віднімання дробів з різними знаменниками.

приклад.

Відніміть від звичайного дробу 2/9 звичайний дріб 1/15.

Рішення.

Так як знаменники віднімаються дробів різні, то спочатку виконаємо приведення дробів до найменшого спільного знаменника: так як НОК (9, 15) = 45, то додатковим множником дробу 2/9 є число 45:9 = 5, а додатковим множником дробу 1/15 є число 45:15=3 тоді і .

Залишилося відняти з дробу 10/45 дріб 3/45 , отримуємо що дає нам потрібну різницю дробів з різними знаменниками.

Коротко рішення записується так: .

Відповідь:

Не слід забувати про скорочення отриманого після віднімання дробу, а також про виділення цілої частини.

приклад.

Відніміть з дробу 19/9 дріб 7/36 .

Рішення.

Після приведення дробів із різними знаменниками до найменшого спільного знаменника 36, маємо дроби 76/9 та 7/36. Обчислюємо їх різницю: .

Отримана дроб скоротима, після її скорочення на 3, отримуємо 23/12. А цей дріб неправильний, виділивши з нього цілу частину, маємо .

Зберемо докупи всі виконані дії при відніманні вихідних дробів з різними знаменниками: .

Відповідь:

.

Віднімання натурального числа від звичайного дробу

Віднімання натурального числа з дробуможна звести до віднімання звичайних дробів. Для цього достатньо уявити натуральне число у вигляді дробу зі знаменником 1 . Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Виконайте віднімання числа 3 з дробу 83/21 .

Рішення.

Так як число 3 дорівнює дробу 3/1, то.

Відповідь:

Однак віднімання натурального числа з неправильного дробу зручніше проводити, представивши дріб у вигляді змішаного числа. Покажемо рішення попереднього прикладу у такий спосіб.

Віднімання звичайного дробу з натурального числа

Віднімання звичайного дробу з натурального числаможна звести до віднімання звичайних дробів, представивши натуральне число як дріб. Розберемо рішення прикладу, що ілюструє такий підхід.

приклад.

Заберіть звичайний дріб 5/3 від натурального числа 7 .

Рішення.

Представимо число 7 як дріб 7/1, після чого виконаємо віднімання: .

Виділивши цілу частину отриманого дробу, отримуємо остаточну відповідь .

Відповідь:

Однак існує раціональніший спосіб віднімання дробу з натурального числа. Його переваги особливо помітні, коли натуральне число, що зменшується, і знаменник віднімається дробу є великими числами. Все це буде видно із прикладів нижче.

Якщо віднімається дріб правильний, то натуральне число, що зменшується, можна замінити сумою двох чисел, одне з яких дорівнює одиниці, відібрати правильний дріб від одиниці, після чого завершити обчислення.

приклад.

Виконайте віднімання звичайного дробу 13/62 з натурального числа 1065 .

Рішення.

Віднімається звичайний дріб – правильний. Замінимо число 1065 сумою 1064 +1, при цьому отримаємо . Залишилося обчислити значення отриманого виразу (докладніше про обчислення таких виразів ми поговоримо в).

В силу властивостей віднімання, отриманий вираз можна переписати як . Обчислимо значення різниці у дужках, замінивши одиницю дробом 1/1 , маємо . Таким чином, . На цьому віднімання дробу 13/62 з натурального числа 1065 завершено.

Ось все рішення:

А тепер для порівняння покажемо, з якими числами нам довелося б працювати, якби ми вирішили звести віднімання вихідних чисел до віднімання дробів:

Відповідь:

.

Якщо ж віднімається дріб неправильний, то його можна замінити змішаним числом, після чого провести віднімання змішаного числа з натурального числа.

Зверніть увагу!Перед тим як написати остаточну відповідь, подивіться, чи можна скоротити дріб, який ви отримали.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками, приклади:

,

,

Віднімання правильного дробу з одиниці.

Якщо необхідно відняти від одиниці дріб, який є правильним , одиницю переводять до виду неправильного дробу , у неї знаменник дорівнює знаменнику дробу, що віднімається.

Приклад віднімання правильного дробу з одиниці:

Знаменник відрахованого дробу = 7 , тобто одиницю представляємо у вигляді неправильного дробу 7/7 і віднімаємо за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Віднімання правильного дробу з цілого числа.

Правила віднімання дробів -правильної з цілого числа (натурального числа):

• Перекладаємо задані дроби, які містять цілу частину, неправильні. Отримуємо нормальні доданки (не важливо якщо вони з різними знаменниками), які рахуємо за правилами, наведеними вище;
• Далі обчислюємо різницю дробів, які ми отримали. У результаті майже знайдемо відповідь;
• Виконуємо зворотне перетворення, тобто позбавляємося від неправильного дробу - виділяємо в дроби цілу частину.

Віднімемо з цілого числа правильний дріб: подаємо натуральне число у вигляді змішаного числа. Тобто. займаємо одиницю в натуральному числі і переводимо її до виду неправильного дробу, знаменник при цьому такий же, як у дробу, що віднімається.

Приклад віднімання дробів:

У прикладі одиницю ми замінили неправильним дробом 7/7 і замість 3 записали змішане число і від дробової частини відібрали дріб.

Віднімання дробів з різними знаменниками.

Або, якщо сказати іншими словами, віднімання різних дробів.

Правило віднімання дробів із різними знаменниками.Для того, щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно, для початку, привести ці дроби до найменшого загального знаменника (НОЗ), і тільки після цього зробити віднімання як з дробами з однаковими знаменниками.

Загальний знаменник кількох дробів – це НОК (найменше загальне кратне)натуральних чисел, які є знаменниками цих дробів.

Увага!Якщо в кінцевому дробі чисельник і знаменник мають спільні множники , то дріб необхідно скоротити. Неправильний дріб краще подати у вигляді змішаного дробу. Залишити результат віднімання, не скоротивши дріб, де є можливість, це незакінчене рішення прикладу!

Порядок дій при відніманні дробів з різними знаменниками.

• знайти НОК для всіх знаменників;
• поставити всім дробів додаткові множники;
• помножити всі чисельники на додатковий множник;
• одержані твори записуємо в чисельник, підписуючи під усіма дробами спільний знаменник;
• зробити віднімання чисельників дробів, підписуючи під різницею загальний знаменник.

Так само проводиться додавання і віднімання дробів за наявності в чисельнику букв.

Віднімання дробів, приклади:

Віднімання змішаних дробів.

При віднімання змішаних дробів (чисел)окремо з цілої частини віднімають цілу частину, а з дробової частини віднімають дробову частину.

Перший варіант віднімання змішаних дробів.

Якщо у дробових частин однаковізнаменники і чисельник дробової частини зменшуваного (з нього віднімаємо) ≥ чисельнику дробової частини віднімається (його віднімаємо).

Наприклад:

Другий варіант віднімання змішаних дробів.

Коли у дробових частин різнізнаменники. Для початку приводимо до спільного знаменника дробові частини, а після цього виконуємо віднімання цілої частини з цілої, а дробової з дробової.

Наприклад:

Третій варіант віднімання змішаних дробів.

Дробна частина меншого дробу, що зменшується, віднімається.

Приклад:

Т.к. у дробових елементів різні знаменники, отже, як і за другому варіанті, спочатку наводимо прості дроби до спільного знаменника.

Чисельник дробової частини меншого числа чисельника дробової частини віднімається.3 < 14. Отже, займаємо одиницю з цілої частини та наводимо цю одиницю до виду неправильного дробу з однаковим знаменником та чисельником = 18.

У чисельнику від правої частини пишемо суму чисельників, далі розкриваємо дужки у чисельнику від правої частини, тобто множимо все і наводимо подібні. У знаменнику дужки не розкриваємо. У знаменниках заведено залишати твір. Отримуємо: