Випуклі та неопуклі багатокутники. Багатокутник, опуклий багатокутник, чотирикутник

Визначення 1.Ламаною лінією називається кінцева послідовність відрізків, така, що один з кінців першого відрізка служить кінцем другого, інший кінець другого відрізка служить кінцем третього і т.п.

Відрізки, що становлять ламану лінію, називаються ланками. Сусідні відрізки не лежать на одній прямій. Якщо кінці ламаної збігаються, вона називається замкненою. Ламана може перетинати сама себе, торкатися сама себе та налягати сама на себе. Якщо таких особливостей у ламаної немає, вона називається простий.

Визначення 2.Проста замкнута ламана разом із частиною площини, обмеженою нею, називається багатокутником.

Сама ламана при цьому називається межею багатокутника, ланки ламаної – сторонамибагатокутника, кінці ланок – вершинами багатокутника. Дві сусідні сторони багатокутника утворюють кут. Число кутів у багатокутнику дорівнює числу сторін. Кожен багатокутник має кути менше 180°. Сторони та кути багатокутника називають елементамибагатокутник.

Відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника, називається діагоналлю. У будь-якому n-кутнику можна провести n-2 діагоналі.

Визначення 3.Багатокутник називається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його бік. Багатокутники, які відповідають цій умові, називаються невипуклими.

Властивості опуклих багатокутників.

Властивість 1.У опуклого багатокутника всі кути менше 180 °.

Доказ: Візьмемо будь-який кут А опуклого багатокутника Р та його сторону а, що йде з вершини А. Нехай l – пряма, що містить сторону а. Так як багатокутник Р опуклий, він лежить по одну сторону від прямої l. Тому кут А лежить по одну сторону від прямої l. Отже, кут А менший за розгорнутий, тобто ÐA< 180°.

Властивість 2.Відрізок, який з'єднує будь-які дві точки опуклого багатокутника, міститься в цьому багатокутнику.

Доказ: Візьмемо будь-які дві точки М та N опуклого багатокутника Р. Багатокутник Р є перетином кількох напівплощин. Відрізок MN лежить у кожній із цих напівплощин. Тому він міститься і в багатокутнику Р.

Властивість 3.Сума кутів опуклого багатокутника дорівнює (n – 2) 180°.

Доказ: Візьмемо всередині опуклого багатокутника Р довільну точку Про з'єднаємо її з усіма вершинами багатокутника. Утворюється n трикутників, сума кутів кожного з яких дорівнює 180 °. Кути при вершині О в сумі дають 360 ° = 2 180 °. Тому сума кутів багатокутника дорівнює n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

Концепція паралелограма. Властивості паралелограма.

Визначення 1.Чотирьохкутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, називається паралелограмом.

У кожного паралелограма чотири вершини, чотири сторони, чотири кути. Дві сторони, що мають спільні кінці, називаються суміжними. У кожного паралелограма дві діагоналі – відрізки, що з'єднують протилежні вершини паралелограма. Сума кутів паралелограма дорівнює 360 °.

Властивості паралелограма.

Властивість 1.У паралелограма протилежні сторони рівні та протилежні кути попарно рівні.

Доказ: Проведемо діагональ АС. АС – загальна;

ÐВАС = ÐАСD (внутрішні навхрест що лежать при АВ II BC і січній АС);

ÐВСА = ÐСАD (внутрішні навхрест лежать при АD II BC і січній АС);

Þ DАВС = DАDС (за 2 ознаками).

АВ = CD; BC = AD; ÐВ = ÐD.

ÐА = ?ВАС + ?СAD; ÐС = ÐАСB + ÐАСD; Þ ÐА = ÐС.

Властивість 2.У паралелограма кути, що належать до однієї сторони, у сумі дають 180°.

Доведення:

ÐВ + ?А =180° (внутрішні односторонні при ВС II AD і січній АB).

ÐB + ÐС =180° (внутрішні односторонні при AВ II CD і BC).

ÐD + ÐC =180° (внутрішні односторонні при ВС II AD і січній CD).

ÐA + ÐD =180° (внутрішні односторонні при AВ II CD і січній AD).

Властивість 3.Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Доказ: Проведемо діагоналі АС та BD, що перетинаються у точці О.

АВ = СD (за першим св-ву паралелограма);

ÐAВO = ÐODC (внутрішні навхрест що лежать при АВ II CD і січній BD);

ÐВАO = ÐOСD (внутрішні навхрест що лежать при АB II CD і січній АС);

Þ DАВO = DODС (за 2 ознаками).

O = OD; AO = OC.

Ознаки паралелограма.

Ознака 1.Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.

Дано: ABCD – чотирикутник; АD II BC,

Поняття багатокутника

Визначення 1

Багатокутникомназивається геометрична фігура в площині, яка складається з попарно з'єднаних між собою відрізків, сусідні з яких не лежать на одній прямій.

При цьому відрізки називаються сторонами багатокутника, а їх кінці - вершинами багатокутника.

Визначення 2

$n$-кутником називається багатокутник, у якого $n$ вершин.

Види багатокутників

Визначення 3

Якщо багатокутник завжди лежатиме по одну сторону від будь-якої прямої, що проходить через його сторони, то багатокутник називається опуклим(Рис. 1).

Малюнок 1. Випуклий багатокутник

Визначення 4

Якщо багатокутник лежить по різні боки хоча б однієї прямої, що проходить через його сторони, то багатокутник називається неопуклим (рис. 2).

Малюнок 2. Неопуклий багатокутник

Сума кутів багатокутника

Введемо теорему про суму кутів-кутника.

Теорема 1

Сума кутів опуклого -кутника визначається наступним чином

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доведення.

Нехай нам дано опуклий багатокутник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. З'єднаємо його вершину $A_1$ з іншими вершинами даного багатокутника (рис. 3).

Малюнок 3.

За такого з'єднання ми отримаємо $n-2$ трикутника. Просумувавши їх кути ми отримаємо суму кутів даного -кутника. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $(180)^0,$ отримаємо, що сума кутів опуклого -кутника визначається за формулою

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теорему доведено.

Поняття чотирикутника

Використовуючи визначення $2$, легко ввести визначення чотирикутника.

Визначення 5

Чотирьохкутником називається багатокутник, у якого $4$ вершини (рис. 4).

Малюнок 4. Чотирьохкутник

Для чотирикутника аналогічно визначено поняття опуклого чотирикутника та неопуклого чотирикутника. Класичними прикладами опуклих чотирикутників є квадрат, прямокутник, трапеція, ромб, паралелограм (рис. 5).

Рисунок 5. Випуклі чотирикутники

Теорема 2

Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює $(360)^0$

Доведення.

За теоремою $1$, ми знаємо, що сума кутів опуклого -кутника визначається за формулою

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Отже, сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теорему доведено.

Поняття багатокутника

Визначення 1

Багатокутникомназивається геометрична фігура в площині, яка складається з попарно з'єднаних між собою відрізків, сусідні з яких не лежать на одній прямій.

При цьому відрізки називаються сторонами багатокутника, а їх кінці - вершинами багатокутника.

Визначення 2

$n$-кутником називається багатокутник, у якого $n$ вершин.

Види багатокутників

Визначення 3

Якщо багатокутник завжди лежатиме по одну сторону від будь-якої прямої, що проходить через його сторони, то багатокутник називається опуклим(Рис. 1).

Малюнок 1. Випуклий багатокутник

Визначення 4

Якщо багатокутник лежить по різні боки хоча б однієї прямої, що проходить через його сторони, то багатокутник називається неопуклим (рис. 2).

Малюнок 2. Неопуклий багатокутник

Сума кутів багатокутника

Введемо теорему про суму кутів-кутника.

Теорема 1

Сума кутів опуклого -кутника визначається наступним чином

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Доведення.

Нехай нам дано опуклий багатокутник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. З'єднаємо його вершину $A_1$ з іншими вершинами даного багатокутника (рис. 3).

Малюнок 3.

За такого з'єднання ми отримаємо $n-2$ трикутника. Просумувавши їх кути ми отримаємо суму кутів даного -кутника. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює $(180)^0,$ отримаємо, що сума кутів опуклого -кутника визначається за формулою

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теорему доведено.

Поняття чотирикутника

Використовуючи визначення $2$, легко ввести визначення чотирикутника.

Визначення 5

Чотирьохкутником називається багатокутник, у якого $4$ вершини (рис. 4).

Малюнок 4. Чотирьохкутник

Для чотирикутника аналогічно визначено поняття опуклого чотирикутника та неопуклого чотирикутника. Класичними прикладами опуклих чотирикутників є квадрат, прямокутник, трапеція, ромб, паралелограм (рис. 5).

Рисунок 5. Випуклі чотирикутники

Теорема 2

Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює $(360)^0$

Доведення.

За теоремою $1$, ми знаємо, що сума кутів опуклого -кутника визначається за формулою

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Отже, сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теорему доведено.

На цьому уроці ми приступимо до нової теми і введемо нове для нас поняття «багатокутник». Ми розглянемо основні поняття, пов'язані з багатокутниками: сторони, вершини кути, опуклість та невипуклість. Потім доведемо найважливіші факти, такі як теорема про суму внутрішніх кутів багатокутника, теорема про суму зовнішніх кутів багатокутника. У підсумку ми підійдемо до вивчення окремих випадків багатокутників, які будуть розглядатися на подальших уроках.

Тема: Чотирикутники

Урок: Багатокутники

В курсі геометрії ми вивчаємо властивості геометричних фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники та кола. При цьому ми обговорювали і конкретні окремі випадки цих фігур, такі як прямокутні, рівнобедрені та правильні трикутники. Тепер настав час поговорити про більш загальні та складні фігури - багатокутниках.

З окремим випадком багатокутниківми вже знайомі – це трикутник (див. рис. 1).

Мал. 1. Трикутник

У самій назві вже підкреслюється, що це постать, яка має три кути. Отже, в багатокутникуїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, зобразимо п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фігури з п'ятьма кутами.

Мал. 2. П'ятикутник. Випуклий багатокутник

Визначення.Багатокутник- фігура, що складається з декількох точок (більше двох) та відповідної кількості відрізків, які їх послідовно з'єднують. Ці точки називаються вершинамибагатокутника, а відрізки - сторонами. При цьому жодні дві суміжні сторони не лежать на одній прямій і жодні дві несуміжні сторони не перетинаються.

Визначення.Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, у якого всі боки та кути рівні.

Будь-який багатокутникподіляє площину на дві області: внутрішню та зовнішню. Внутрішню область також відносять до багатокутнику.

Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутник, мають на увазі і всю його внутрішню область, і кордон. До внутрішньої області ставляться і всі точки, що лежать усередині багатокутника, тобто. точка теж відноситься до п'ятикутника (див. мал. 2).

Багатокутники ще іноді називають n-кутниками, щоб наголосити, що розглядається загальний випадок наявності якоїсь невідомої кількості кутів (n штук).

Визначення. Периметр багатокутника- Сума довжин сторін багатокутника.

Тепер треба познайомитись із видами багатокутників. Вони поділяються на опукліі невипуклі. Наприклад, багатокутник, зображений на рис. 2 є опуклим, а на Рис. 3 неопуклим.

Мал. 3. Неопуклий багатокутник

Визначення 1. Багатокутникназивається опуклим, якщо при проведенні прямої через будь-яку з його сторін багатокутниклежить лише з одного боку від цієї прямої. Невипуклимиє всі інші багатокутники.

Легко уявити, що з продовження будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він виявиться по одну сторону від цієї прямої, тобто. він опуклий. А ось при проведенні прямої через чотирикутник на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона поділяє на дві частини, тобто. він невипуклий.

Але є й інше визначення опуклості багатокутника.

Визначення 2. Багатокутникназивається опуклим, якщо при виборі будь-яких двох внутрішніх точок і при з'єднанні їх відрізком всі точки відрізка є також внутрішніми точками багатокутника.

Демонстрацію використання цього визначення можна побачити з прикладу побудови відрізків на Рис. 2 та 3.

Визначення. Діагоналлюбагатокутника називається будь-який відрізок, що з'єднує дві не сусідні його вершини.

Для опису властивостей багатокутників існують дві найважливіші теореми про їх кутах: теорема про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутникаі теорема про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника. Розглянемо їх.

Теорема. Про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де – кількість його кутів (сторон).

Доказ 1. Зобразимо на рис. 4 опуклий n-кутник.

Мал. 4. Випуклий n-кутник

З вершини проведемо усі можливі діагоналі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. кожна зі сторін багатокутника утворює трикутник, крім сторін, що належать до вершини . Легко бачити на малюнку, що сума кутів всіх цих трикутників якраз дорівнюватиме сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника - то сума внутрішніх кутів n-кутника:

Що й потрібно було довести.

Доказ 2. Можливий і інший доказ цієї теореми. Зобразимо аналогічний n-кутник Рис. 5 і з'єднаємо будь-яку його внутрішню точку з усіма вершинами.

Мал. 5.

Ми отримали розбиття n-кутника на n трикутників (скільки сторін, стільки та трикутників). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника та сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:

Що й потрібно було довести.

Доведено.

По доведеній теоремі видно, що сума кутів n-кутника залежить кількості його сторін (від n). Наприклад, у трикутнику , а сума кутів . У чотирикутнику, а сума кутів - і т.д.

Теорема. Про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де - кількість його кутів (сторон), а , ..., - Зовнішні кути.

Доведення. Зобразимо опуклий n-кутник на Мал. 6 і позначимо його внутрішні та зовнішні кути.

Мал. 6. Випуклий n-кутник із позначеними зовнішніми кутами

Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внутрішнім як суміжні, то і аналогічно інших зовнішніх кутів. Тоді:

У ході перетворень ми скористалися вже доведеною теоремою сумі внутрішніх кутів n-кутника .

Доведено.

З доведеної теореми випливає цікавий факт, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює від кількості його кутів (сторон). До речі, на відміну суми внутрішніх кутів.

Список літератури

1. Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашнє завдання