Вирази зі змінною тотожні перетворення. Урок з алгебри на тему

«Тотожності. Тотожне перетворення виразів».

Цілі уроку

Освітні:

ознайомити та первинно закріпити поняття «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожні перетворення»;

розглянути способи доказу тотожностей, сприяти виробленню навичок доказу тотожностей;

перевірити засвоєння учнями пройденого матеріалу, формувати вміння застосування вивченого сприйняття нового.

Розвиваюча : розвивати мислення, мовлення учнів

Виховна : виховувати працьовитість, акуратність, правильність запису рішення вправ.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

Устаткування : Мультимедійна дошка, дошка, підручник, робочий зошит.

П лан уроку

Організаційний момент (націлити учнів на урок)

Перевірка домашнього завдання (корекція помилок)

Усні вправи

Вивчення нового матеріалу (Ознайомлення та первинне закріплення понять «тотожність», «тотожні перетворення»).

Тренувальні вправи (Формування понять «тотожність», «тотожні перетворення»).

Підбиття підсумків уроку (Узагальнити теоретичні відомості, отримані на уроці).

Повідомлення домашнього завдання (Пояснити зміст домашнього завдання)

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Перевірка домашнього завдання.

Питання щодо домашнього завдання.

Розбирання рішення біля дошки.

Математика потрібна
Без неї ніяк не можна
Вчимо, вчимо ми, друзі,
Що ж ми пам'ятаємо з ранку?

II . Усні вправи.

Зробимо розминку.

Результат додавання. (Сума)

Скільки цифр ви знаєте? (Десять)

Сота частина числа. (Відсоток)

Результат розподілу? (Приватне)

Найменше натуральне число? (1)

Чи можна при розподілі натуральних чисел отримати нуль? (ні)

Чому дорівнює сума чисел від -200 до 200? (0)

Назвіть найбільше від'ємне число. (-1)

На яку кількість не можна ділити? (0)

Результат множення? (Твір)

Найбільше двоцифрове число? (99)

Чому дорівнює твір від -200 до 200? (0)

Результат віднімання. (Різниця)

Скільки грамів у кілограмі? (1000)

Переміщувальна властивість додавання. (Від перестановки місць доданків сума не змінюється)

Переміщувальна властивість множення. (Від перестановки місць множників твір не змінюється)

Сполучна властивість додавання. (Щоб до суми двох чисел додати якесь число, можна до першого числа додати суму другого та третього)

Сполучна властивість множення. (щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього)

Розподільча властивість. (Щоб число помножити на суму двох чисел, можна помножити це число на кожне доданок та скласти отримані результати)

III . Вивчення нового матеріалу .

Вчитель. Знайдемо значення виразів при х=5 та у=4

3(х+у)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

Ми отримали той самий результат. З розподільчого властивості випливає, що за будь-яких значеннях змінних значення виразів 3(х+у) і 3х+3у рівні.

Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. При х=1 і у=2 вони набирають рівні значення:

2х+у=2*1+2=4

2ху = 2 * 1 * 2 = 4

Однак можна вказати такі значення х і у, за яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо х = 3, у = 4, то

2х+у=2*3+4=10

2ху = 2 * 3 * 4 = 24

Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними.

Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями.

Визначення: Рівність, вірна при будь-яких змінних значеннях, називається тотожністю.

Тотожністю вважають і вірні числові рівності. З тотожністю ми вже зустрічалися. Тотожністю є рівності, що виражають основні властивості дій над числами (Учні коментують кожну властивість, промовляючи її).

a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Можна навести й інші приклади тотожності (Учні коментують кожну властивість, промовляючи її).

а + 0 = а

а * 1 = а

а + (-а) = 0

а * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Визначення: Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу.

Вчитель:

Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

Тотожні перетворення виразів широко застосовуються при обчисленні значень виразів та вирішенні інших завдань. Деякі тотожні перетворення вам доводилося виконувати, наприклад приведення подібних доданків, розкриття дужок. Нагадаємо правила цих перетворень:

Учні:

Щоб навести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і помножити результат на загальну буквену частину;

Якщо перед дужками стоїть знак «плюс», то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного у дужки;

Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужки.

Вчитель:

Приклад 1. Наведемо такі доданки

5х +2х-3х = х (5 +2-3) = 4х

Яким правилом ми користувалися?

Учень:

Ми скористалися правилом приведення подібних доданків. Це перетворення ґрунтується на розподільчій властивості множення.

Вчитель:

Приклад 2. Розкриємо дужки у виразі 2а + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Застосували правило розкриття дужок, перед якими стоїть знак плюс.

Учень:

Проведене перетворення ґрунтується на комбінаційній властивості додавання.

Вчитель:

Приклад 3. Розкриємо дужки у виразі а – (4b- с) =a – 4 b + c

Скористалися правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак мінус.

На якій властивості засноване це перетворення?

Учень:

Виконане перетворення засноване на розподільчій властивості множення та сполучній властивості додавання.

IV . Тренувальні вправи

(Перед початком проводимо фізкультхвилинку

Швидко встали, посміхнулись.

Вище-вище потяглися.

Ану, плечі розпряміть,

Підніміть, опустіть.

Вправо, вліво поверніть,

Сіли, встали. Сіли, встали.

І на місці побігли.

(Молодці, сідайте).

Проведемо міні самостійну роботу – відповідності, а ті хто вважає, що тема добре засвоєна – вирішує онлайн – тестування.

1) 5 (3х -2) - (4х + 9) А) 5-10: х

2) 5х-4 (2х-5) +5 Б) 11х -19

3) (5х-10): х В) 3х +25

4) 11х-4 (х - 3) + 5х Г) -3х +25

Д) 12х +12

V . Підбиття підсумків уроку .

Вчитель ставить запитання, а учні відповідають ними за бажанням.

Які два вирази називаються тотожно рівними? Наведіть приклади.

Яка рівність називається тотожністю? Навести приклад.

Які тотожні перетворення вам відомі?

VI . Домашнє завдання . п.5, знайти старовинні тотожні вирази, користуючись мережею інтернету

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Тотожності. Тотожні перетворення виразів. 7 клас.

Знайдемо значення виразів при х=5 і у=4 3(х+у)= 3(5+4)=3*9=27 3х+3у= 3*5+3*4=27 Знайдемо значення виразів при х=6 і у=5 3(х+у)= 3(6+5)=3*11=33 3х+3у= 3*6+3*5=33

ВИСНОВОК: Ми отримали той самий результат. З розподільчого властивості випливає, що за будь-яких значеннях змінних значення виразів 3(х+у) і 3х+3у рівні. 3(х+у) = 3х+3у

Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. при х=1 і у=2 вони приймають рівні значення: 2х+у=2*1+2=4 2ху=2*1*2=4 при х=3, у=4 значення виразів різні 2х+у=2* 3+4=10 2ху=2*3*4=24

ВИСНОВОК: Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними. Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

ТОЖНІСТЬ Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями. Визначення: Рівність, вірна при будь-яких змінних значеннях, називається тотожністю. Тотожністю вважають і вірні числові рівності. З тотожністю ми вже зустрічалися.

Тотожністю є рівності, що виражають основні властивості дій над числами. a + b = b + ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) a (b + c) = ab + ac

Можна навести й інші приклади тотожностей: а + 0 = а а * 1 = а а + (-а) = 0 а * (- b) = - ab а- b = a + (- b) (-a) * ( -b) = ab Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу.

Щоб навести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і помножити результат на загальну буквену частину. Приклад 1. Наведемо такі складові 5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х

Якщо перед дужками стоїть знак «плюс», то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного у дужки. Приклад 2. Розкриємо дужки у виразі 2а + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c

Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужки. Приклад 3. Розкриємо дужки у виразі а – (4 b – с) = a – 4 b + c

Домашнє завдання: п. 5, №91, 97, 99 Дякуємо за урок!

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Методика підготовки учнів до ЄДІ у розділі "Вирази та перетворення виразів"

Даний проект розроблено з метою підготовки учнів до державних іспитів у 9 класі та надалі до єдиного державного іспиту в 11 класі.

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».

Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).

Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Приклади:

Рішення:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.

Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

Відповіді:

b) Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й самі множники, лише з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоб одержати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».

Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер наводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

У загальний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та розподіл дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Рішення:

Насамперед визначимо порядок дій.

Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.

Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.

Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Відповіді:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквену частину.
Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.
ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
Додавання та віднімання дробів:
;
Розмноження та розподіл дробів:
;

7 клас

«Тотожності. Тотожне перетворення виразів».

Абдулкерімова Хадіжат Махмудівна,

учитель математики

Цілі уроку

ознайомити та первинно закріпити поняття «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожні перетворення»;

розглянути способи доказу тотожностей, сприяти виробленню навичок доказу тотожностей;

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

Устаткування : дошка, підручник, робочий зошит.

П лан уроку

Організаційний момент

Перевірка домашнього завдання

Актуалізація знань

Тренувальні вправи (Формування понять «тотожність», «тотожні перетворення»).

Рефлексія уроку (Узагальнити теоретичні відомості, одержані на уроці).

Повідомлення домашнього завдання (Пояснити зміст домашнього завдання)

Хід уроку

I. Організаційний момент.

II . Перевірка домашнього завдання.

III . Актуалізація знань.

Наведіть приклад числового виразу та виразу зі змінними

Порівняйте значення виразів х+3 та 3х при х=-4; 1,5; 5

На яку кількість не можна ділити? (0)

Результат множення? (Твір)

Найбільше двоцифрове число? (99)

Чому дорівнює твір від -200 до 200? (0)

Результат віднімання. (Різниця)

Скільки грамів у кілограмі? (1000)

Переміщувальна властивість додавання. (Від перестановки місць доданків сума не змінюється)

Переміщувальна властивість множення. (Від перестановки місць множників твір не змінюється)

IV. Пояснення нової теми:

Знайдемо значення виразів при х=5 та у=4

3(х+у)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. При х=1 і у=2 вони набирають рівні значення:

2х+у=2*1+2=4

2ху = 2 * 1 * 2 = 4

Однак можна вказати такі значення х і у, за яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо х = 3, у = 4, то

2х+у=2*3+4=10

2ху = 2 * 3 * 4 = 24

Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними.

Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями.

Визначення: Рівність, вірна при будь-яких змінних значеннях, називається тотожністю.

a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Можна навести й інші приклади тотожності (Учні коментують кожну властивість, промовляючи її).

а + 0 = а

а * 1 = а

а + (-а) = 0

а * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Вчитель:

Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

Учні:

Вчитель:

Приклад 1. Наведемо такі доданки

5х +2х-3х = х (5 +2-3) = 4х

Яким правилом ми користувалися?

Учень:

Вчитель:

Приклад 2. Розкриємо дужки у виразі 2а + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Застосували правило розкриття дужок, перед якими стоїть знак плюс.

Учень:

Проведене перетворення ґрунтується на комбінаційній властивості додавання.

Вчитель:

Приклад 3. Розкриємо дужки у виразі а – (4b- с) =a – 4 b + c

Скористалися правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак мінус.

На якій властивості засноване це перетворення?

Учень:

Виконане перетворення засноване на розподільчій властивості множення та сполучній властивості додавання.

V . Виконання вправ.

№85 Усно

№86 Усно

№88 Усно

№93

№94

№90ав

№96

№97

VI . Рефліксія уроку .

Вчитель ставить запитання, а учні відповідають ними за бажанням.

Які два вирази називаються тотожно рівними? Наведіть приклади.

Яка рівність називається тотожністю? Навести приклад.

Які тотожні перетворення вам відомі?

VII . Домашнє завдання . п.5, № 95, 98,100 (а, в)

Отже, друзі, у минулому уроці ми познайомилися з Зрозуміли, що означають слова "вираз не має сенсу". А тепер настав час розібратися, що ж таке перетворення виразів.І найголовніше - навіщо воно потрібне.

Що таке перетворення виразу?

Відповідь проста, до непристойності.) Це будь-яку дію з виразом.І все. Усі ці перетворення ви робили з першого класу. Будь-яке не буквально, звичайно… Про це трохи нижче буде.

Наприклад, візьмемо якесь суперкруте числове вираз Скажемо, 3+2. Як його можна перетворити? Так, дуже просто! Хоча б взяти та порахувати:

3+2 = 5

Ось цей розрахунок дитячого садка і буде перетворенням виразу.Можна записати те саме вираз по-іншому:

3+2 = 2+3

А тут ми взагалі нічого не рахували. Просто взяли та переписали наш вираз у іншому вигляді.Це також буде перетворенням висловлювання.Можна записати і по-іншому. Наприклад, ось так:

3+2 = 10-5

І цей запис – теж перетворення висловлювання.

Або так:

3+2 = 10:2

Теж перетворення висловлювання!

Якщо ми з вами старші, з алгеброю дружимо, то напишемо:

Хто на "ти" з алгеброю, той, навіть особливо не напружуючись і нічого не рахуючи, в умі зрозуміє, що ліворуч і праворуч стоїть звичайна п'ятірка. Напружтеся і спробуйте.)

А якщо ми вже зовсім старші, то можемо записати й такі жахіття:

log 2 8+ log 2 4 = log 2 32

Або навіть такі:

5 sin 2 x+5 cos 2 x=5 tgx·ctgx

Вселяє? І таких перетворень, очевидно, можна наробити, скільки хочеш! Наскільки дозволяє фантазія? І набір знань математики.

Вловили сенс?

Будь-якедія над виразом, будь-яказапис його в іншому вигляді називається перетворенням виразу.І всі справи. Все дуже просто.

Простота, звичайно, справа завжди хороша та приємна, але за будь-яку простоту десь треба платити, так…. Є тут одне суттєве "але". Всі ці загадкові перетворення завжди підкоряються одному дуже важливому правилу. Правило це настільки важливе, що його можна назвати сміливо головним правиломвсієї математики. І порушення цього простого правила неминучепризводитиме до помилок. Вникаємо?)

Припустимо, ми перетворили наш вираз абияк, від балди, якось ось так:

3+2 = 6+1

Перетворення? Звичайно. Ми ж записали вираз у іншому вигляді! Але що тут не так?

Відповідь: все не так.) Справа все в тому, що перетворення "як потрапило івід балди"математику не цікавлять взагалі.) Чому? Тому, що вся математика побудована на перетвореннях, у яких змінюється зовнішній вигляд, але суть висловлювання не змінюється.Такою є її жорстка вимога. І порушення цієї вимоги призводитиме до помилок. Три плюс два можна записати в будь-якому вигляді. У якому прикладі вимагає, в тому вигляді і запишемо. Але за своєю суттюце завжди має бути п'ять.У якому б вигляді ми ці 3+2 не записали. А от якщо, раптом, після запису виразу 3+2 в іншому вигляді, у вас замість п'яти виявиться двадцять п'ять,десь ви помилилися дорогою. Поверніться та ляп-то і усуньте.)

А тепер настав час мудрих зелених думок.)

Запам'ятовуємо:

1. Будь-яка дія над виразом, запис його в іншому вигляді, називається перетворенням виразу.

2. Перетворення,не мінливі суті вираження, називаються тотожними.

3. Вся математика побудована на тотожних перетвореннях виразів.

Саме тотожні перетворенняі дозволяють нам, крок за кроком, потихеньку-помаленьку, перетворювати складний приклад на простий, білий і пухнастий вираз, зберігаючи суть прикладу.Якщо, раптом, у ланцюжку наших перетворень ми десь помилимося, і на якомусь кроці зробимо НЕ ТОЖНЕ перетворення, то далі ми вирішуватимемо вже зовсім іншийприклад. З іншими відповідями, так… Які вже не матимуть жодного відношення до правильних.) Порушимо тотожність і накосячим ще десь - приступимо до вирішення вже третьогоприклад. І так далі, в залежності від кількості косяків, від завдання про поїзд і автомобіль можна прийти до завдання про півтора землекопа.)

Ще приклад. Для школярів, які вже щосили вивчають алгебру. Допустимо, нам треба знайти значення виразу (40+7) 2 . Як можна викрутитись, тобто. перетворити наш злий вираз? Можна просто порахувати вираз у дужках (отримаємо 47), перемножити стовпчиком саме на себе і отримати (якщо порахувати) 2209. А можна скористатися формулою

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

Отримаємо: (40+7) 2 = 40 2 +2 ∙ 40 ∙ 7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

Але! Є спокуса (скажімо, через незнання формули) при зведенні в квадрат записати просто:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

На жаль, на цьому простому і, здавалося б, очевидному переході, тотожність наших перетворень порушується. Зліва все як треба, 2209, а ось справа – вже інше число. 1649. Порахуйте і все стане зрозуміло. Ось вам типовий приклад не тотожного перетворення. І відповідно вилізла помилки.)

Ось і головне правило вирішення будь-яких завдань: дотримання тотожності перетворень.

Приклад із числовими виразами 3+2 та (40+7) 2 я навів чисто для наочності.

А що ж із алгебраїчними виразами?Все теж саме! Тільки в алгебраїчних виразах тотожні перетворення задаються формулами та правилами.Скажімо, в алгебрі є формула:

a(b-c) = ab - ac

Отже, у будь-якому прикладі ми маємо повне право замість виразу a(b-c)сміливо написати альтернативний вираз ab - ac. І навпаки. Це Математика надає нам на вибір ці два вирази. А яке з них писати - від конкретного прикладу залежить.

Або популярне:

a 2 - b 2 = (a- b)(a+ b)

Знову ж таки, два можливі варіанти. Обидва правильні.) Це теж тотожне перетворення.Що вигідніше писати - різницю квадратів або твір дужок - приклад сам підкаже.)

Ще приклад. Одне з найголовніших і необхідних перетворень у математиці – це основна властивість дробу. Детальніше можна (буде) по посиланню почитати і подивитися (коли урок зроблю), а тут я просто нагадаю правило:

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на одне і тежчисло, або нерівний нуль вираз, дріб не зміниться.

Ось вам приклад тотожних перетворень за цією властивістю:

Як ви, напевно, здогадалися, цей славний ланцюжок можна продовжувати нескінченно...) Наскільки вистачить творчого пориву. Будь-які там мінуси, коріння, нехай вас не бентежить. Це все одна і таждріб. за своєї суті.Дві третини. 2/3. Просто записана у різному вигляді.:) Дуже важлива властивість. Саме воно дуже часто дозволяє перетворювати всякі монстри-приклади на білі та пухнасті.)

Звичайно ж, формул і правил, що задають тотожні перетворення, багато. Я навіть сказав би, дуже багато. Але найголовніших, без яких у математиці хоча б трійкового рівня обійтися не можна, - Цілком розумна кількість.

Ось одні з базових перетворень:

1. Робота з одночленами та багаточленами. Приведення подібних доданків (або коротко – подібних);

2. Розкриття дужок та укладання у дужки ;

3. Розкладання на множники ;

4. та розкладання квадратного тричлена.

5. Робота з дробами та дробовими виразами.

Ці п'ять базових перетворень широко використовуються у всій математиці. Від елементарної до вищої. І, якщо ви не володієте хоча б однією з цих п'яти простих речей, то на вас неминуче чекають великі проблеми як у всій математиці середньої школи, так і у старших класах, а вже у ВНЗ – тим більше. Тому саме з них і почнемо. Наступні уроки цього розділу.)

Є й крутіші перетворення. Для просунутих школярів та студентів.) Будь то:

6. , і що з ними пов'язано;

7. Виділення повного квадрата із квадратного тричлена;

8. Розподіл багаточленів куточкомабо за схемою Горнера ;

9. Розкладання раціонального дробу на суму елементарних (найпростіших) дробів. Найкорисніша фішка для студентів під час роботи

Отже, все ясно щодо тотожності перетворень та важливості її дотримання? Чудово! Тоді настав час рухатися на наступний рівень і крокувати з примітивної арифметики в більш серйозну алгебру остаточно. І з блиском в очах.)