Взаємне становище двох прямих. Взаємне розташування прямих

Паралельні прямі. До властивостей паралельного проектування належить таке: проекції двох паралельних прямих паралельні між собою. Якщо (рис. 78) пряма АВ паралельна до прямої CD, то проеціруючі площини? і? паралельні між собою і при перетині цих площин з площиною проекцій π 0 виходять паралельні між собою проекції А 0 0 і C 0 D 0 .

Проте, хоча А 0 0 || C 0 D 0 (рис. 78), прямі, для яких А 0 В 0 і C 0 D 0 є проекціями, можуть бути паралельні між собою: наприклад, пряма АВ не паралельна прямий C 1 D 1 .

З зазначення властивості паралельного проектування випливає, що горизонтальні проекції паралельних прямих паралельні між собою, фронтальні проекції паралельні між собою та профільні проекції паралельні між собою.

Чи справедливий зворотний висновок, тобто чи будуть паралельні дві прямі у просторі, якщо на кресленні їхні однойменні проекції попарно паралельні?

Так, якщо дані паралельні між собою проекції на кожній із трьох площин проекцій π 1 , π 2 і π 3 . Але якщо дані паралельні між собою проекції прямих лише двох площинах проекцій, цим паралельність прямих у просторі підтверджується завжди для прямих загального становища і може підтвердитися для прямих, паралельних однієї з площин проекцій.

Приклад дано на рис. 79. Хоча профільні прямі АВ і CD задані проекціями А "В", А "В" і CD", C"D", між собою паралельними, але найпряміші не паралельні - це видно з взаємного розташування їх профільних проекцій, побудованих за заданими проекцій.

Отже, питання було вирішено за допомогою проекцій прямих на тій площині проекцій, по відношенню до якої дані прямі паралельні.

На рис. 80 показаний випадок, коли можна встановити, що профільні прямі АВ і CD не є паралельними між собою, не вдаючись до побудови третьої проекції: достатньо звернути увагу на чергування літерних позначень.

Якщо через цю точку А потрібно провести пряму, паралельну даній прямий LM, то (рис. 81, ліворуч) побудова зводиться до проведення через точку А" прямий, паралельної L"M", і через точку А" прямий, паралельної L"M" .

У випадку, зображеному на рис. 81 праворуч, паралельні прямі розташовані у спільній для них проецірующей площині, перпендикулярній пл. π 1 . Тому горизонтальні проекції цих прямих розташовані на одній прямій.

Пересічні прямі.Якщо прямі лінії перетинаються, то їх однойменні проекції перетинаються між собою в точці, яка є проекцією точки перетину цих прямих.

Дійсно (рис. 82), якщо точка К належить обох прямих АВ і CD, то проекція цієї точки повинна бути точкою перетину проекцій даних прямих.

Висновок про те, що дані на кресленні прямі перетинаються між собою, можна зробити завжди по відношенню до прямим загального становищанезалежно від того, чи дано проекції на трьох або двох площинах проекцій. Необхідною та достатньою умовою є лише те, щоб точки перетину однойменних

проекцій знаходилися на тому самому перпендикулярі до відповідної осі проекцій (рис. 83) або, на кресленні без осі проекцій (рис. 84), ці точки опинилися б на лінії зв'язку встановленого для неї напрямку. Але якщо одна з даних прямих паралельна будь-якій із площин проекцій, а на кресленні не дано проекції на цій площині, то не можна стверджувати, що такі прямі перетинаються між собою, хоча б і було дотримано зазначену вище умову. Наприклад, у разі, даному на рис. 85, прямі АВ та CD, з яких пряма CD паралельна пл.π 3 , не перетинаються між собою; це може бути підтверджено побудовою профільних проекцій або застосуванням правила про розподіл відрізків у цьому відношенні.

Зображені на рис. 84 прямі, що перетинаються, розташовані в загальному дні них проецірующей площині, перпендикулярної до пл. π 2 . Тому фронтальні проекції цих прямих розташовані на одній прямій.

Схрещувальні прямі. Прямі лінії, що схрещуються, не перетинаються і не паралельні між собою. На рис. 86 зображені дві схрещувальні прямі загального положення: хоча однойменні проекції і перетинаються між собою, але точки їх перетину не можуть бути з'єднані лінією зв'язку, паралельною лініям зв'язку L"L" і М"М", тобто ці прямі не перетинаються між собою . Прямі, зображені на рис. 79, 80 і 85, також схрещуються.

Як треба розглядати точку перетину однойменних проекцій прямих, що схрещуються? Вона є проекцією двох точок, з яких одна

належить першої, а інша - другий з цих прямих, що схрещуються. Наприклад, на рис. 87 точка з проекціями К” і К” належить прямий АВ, а точка з проекціями L” і L” належить прямій CD. Ці точки однаково віддалені від пл. π 2 , але відстані від пл. π 1 різні: точка з проекціями L "і L" далі від π 1 ніж точка з проекціями К" і К" (рис. 88).

Точки з проекціями М", М" та N”, N" однаково віддалені від пл. π 1 але відстані цих точок від пл. π 2 різні.

Точка з проекціями L" і L", що належить прямий CD, закриває собою точку з проекціями К" і К" прямий АВ по відношенню до пл. π 1; відповідний напрямок погляду показано стрілкою у проекції L". По відношенню до пл. π 2 точка з проекціями N" і N" прямий CD закриває собою точку з проекціями М" і М" прямий АВ; напрямок погляду вказано стрілкою внизу, у проекції N" .

Позначення проекцій «закритих» точок вміщено у дужках 1).

Визначення паралельних прямих. Паралельними називаються дві прямі лінії, що лежать в одній площині і не перетинаються по всьому своєму протязі.

Прямі AB та CD (чорт. 57) будуть паралельними. Те, що вони паралельні, виражають іноді письмово: AB || CD.

Теорема 34. Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї ж третьої, паралельні.

Дані прямі CD та EF перпендикулярні до AB (чорт. 58)

CD ⊥ AB та EF ⊥ AB.

Потрібно довести, що CD || EF.

Доведення. Якби прямі CD і EF були паралельні, вони перетнулися в якійсь точці M. У цьому випадку з точки M на пряму AB були б опущені два перпендикуляри, що неможливо (теорема 11), отже пряма CD || EF (ЧТД).

Теорема 35. Дві прямі, у тому числі одна перпендикулярна, іншу похильна до третьої, завжди перетинаються.

Дано дві прямі EF і CG, з яких EF ⊥ AB, а CG похильна до AB (чорт. 59).

Потрібно довести, що CG зустрінеться з лінією EF або CG не паралельна EF.

Доведення. З точки C відновимо до лінії AB перпендикуляр CD, тоді при точці C утворюється кут DCG, який повторюватимемо стільки разів, щоб лінія CK впала нижче лінії AB. Припустимо, що ми для цього кут DCG повторимо n разів, як що

Подібним чином відкладемо на прямий AB пряму CE теж n разів так що CN = nCE.

З точок C, E, L, M, N відновимо перпендикуляри LL", MM", NN". Простір, що міститься між двома паралельними відрізками CD, NN" і відрізком CN, буде в n разів більше простору, що полягає між двома перпендикулярами CD, EF та відрізком CE, так що DCNN" = nDCEF.

Простір, що полягає в кут DCK, містить простір DCNN", отже,

DCK > CDNN" або
nDCG > nDCEF, звідки
DCG > DCEF.

Остання нерівність може мати місце лише тоді, коли пряма CG вийде при своєму продовженні з меж простору DCEF, тобто коли пряма CG зустрінеться з прямою EF, отже пряма CG не паралельна CF (ЧТД).

Теорема 36. Пряма, перпендикулярна до однієї з паралельних, перпендикулярна до іншої.

Дано дві паралельні прямі AB і CD та пряма EF перпендикулярна до CD (чорт. 60).

AB || CD, EF ⊥ CD

Потрібно довести, що EF ⊥ AB.

Доведення. Якби пряма AB була похильна до EF, то дві прямі CD і AB перетнулися б, бо CD ⊥ EF і AB похильна до EF (теорема 35), і прямі AB і CD не були б паралельні, що суперечило б цій умові, отже, пряма EF перпендикулярна до CD (ЧТД).

Кути, що утворюються перетином двох прямих третьої прямої. При перетині двох прямих AB і CD третьої прямої EF (чорт. 61) утворюється вісім кутів α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ . Ці кути набувають особливих назв.

Чотири кути α, β, ν та ρ називаються зовнішніми.

Чотири кути γ, δ, λ, μ називаються внутрішніми.

Чотири кути β, γ, μ, ν та чотири кути α, δ, λ, ρ називаються одностороннімиБо лежать по одну сторону прямої EF.

Крім того, кути, будучи взяті попарно, одержують такі назви:

Кути β і μ називаються відповідними . Крім цієї пари такими ж відповідними кутами будуть пари кутів:γ та ν, α та λ, δ та ρ.

Пара кутів δ і μ , а також γ і λ називаються внутрішніми навхрест-лежачими .

Пари кутів β і ρ, а також α і ν називаються зовнішніми навхрест-лежачими .

Пари кутів γ і μ , а також δ і λ називаються внутрішніми односторонніми .

Пари кутів β і ν, а також α і ρ називаються зовнішніми односторонніми .

Умови паралельності двох прямих

Теорема 37. Дві прямі паралельні, якщо при перетині їх третьої у них рівні: 1) відповідні кути; 2) внутрішні навхрест-лежачі; 3) зовнішні навхрест-лежачі, і, нарешті, якщо 4) сума внутрішніх односторонніх дорівнює двом прямим; одностороння дорівнює двом прямим.

Доведемо кожну із цих частин теореми окремо.

1-й випадок. Відповідні кути рівні(чорт. 62).

Дано. Кути β та μ рівні.

Доведення. Якби лінії AB і CD перетиналися в точці Q, то вийшов би трикутник GQH, у якого зовнішній кут β дорівнював би внутрішньому куту μ, що суперечило б теоремі 22, отже, прямі AB і CD не перетинаються або AB || CD (ЧТД).

2-й випадок. Внутрішні навхрест-лежачі кути рівнітобто δ = μ.

Доведення. δ = β як вертикальні, δ = μ за умовою, отже, β = μ. Тобто відповідні кути рівні, а цьому випадку лінії паралельні (1-й випадок).

3-й випадок. Зовнішні навхрест-лежачі кути рівнітобто β = ρ.

Доведення. β = ρ за умовою, μ = ρ як вертикальні, отже, β = μ, тому що відповідні кути рівні. Звідси випливає, що AB || CD (перший випадок).

4-й випадок. Сума внутрішніх односторонніх дорівнює двом прямимабо γ + μ = 2d.

Доведення. β + γ = 2d як сума суміжних, γ + μ = 2d за умовою. Отже, β+γ=γ+μ, звідки β=μ. Відповідні кути дорівнюють, отже, AB || CD.

5-й випадок. Сума зовнішніх односторонніх дорівнює двом прямимтобто β + ν = 2d.

Доведення. μ + ν = 2d як сума суміжних, β + ν = 2d за умовою. Отже, μ + ν = β + ν, звідки μ = β. Відповідні кути дорівнюють, отже, AB || CD.

Отже, завжди AB || CD (ЧТД).

Теорема 38(Зворотна 37). Якщо дві прямі паралельні, то при перетині їх третьої прямої будуть рівні: 1) внутрішні навхрест-лежачі кути, 2) зовнішні навхрест-лежачі, 3) відповідні кути і рівні двом прямим 4) сума внутрішніх односторонніх і 5) сума зовнішніх односторонніх кутів.

Дано дві паралельні прямі AB і CD, тобто AB || CD (чорт. 63).

Потрібно довести, що це вищеописані умови виконуються.

1-й випадок. Перетнемо дві паралельні прямі AB і CD третьої похилої прямої EF. Позначимо через G і Н точки перетину прямих AB та CD прямий EF. З точки O середини прямої GH опустимо перпендикуляр на пряму CD і продовжимо його до перетину з прямої AB у точці P. Пряма OQ перпендикулярна до CD перпендикулярна до AB (теорема 36). Прямокутні трикутники OPG і OHQ рівні, бо OG = OH за побудовою, ∠ HOQ = ∠ POG як вертикальні кути, отже, OP = OQ.

Звідси випливає, що = μ, тобто. внутрішні навхрест-лежачі кути рівні.

2-й випадок. Якщо AB || CD, то δ = μ, оскільки δ = β, і μ = ρ, то β = ρ, тобто. зовнішні навхрест-лежачі кути рівні.

3-й випадок. Якщо AB || CD, то δ = μ, а так як δ = β, то і β = μ, отже, відповідні кути рівні.

4-й випадок. Якщо AB || CD, то δ = μ, а так як δ + γ = 2d, то μ + γ = 2d, тобто. сума внутрішніх односторонніх дорівнює двом прямим.

5-й випадок. Якщо AB || CD, то δ = μ.

Оскільки μ + ν = 2d, μ = δ = β, отже, ν + β = 2d, тобто. сума зовнішніх односторонніх дорівнює двом прямим.

З цих теорем випливає слідство. Через точку можна провести тільки одну пряму, паралельну до іншої прямої.

Теорема 39. Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Дано три прямі (чорт. 64) AB, CD та EF, з яких AB || EF, CD | EF.

Потрібно довести, що AB || CD.

Доведення. Перетнемо ці прямі четвертої прямої GH.

Якщо AB || EF, то ∠ α = ∠ γ як відповідні. Якщо CD || EF, то ∠ β = ∠ γ також як відповідні. Отже, ∠ α = ∠ β .

Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні, отже, AB || CD (ЧТД).

Теорема 40. Однойменні кути з паралельними сторонами рівні.

Дано однойменні (обидва гострі або обидва тупі) кути ABC і DEF, їх сторони паралельні, тобто AB | DE, BC | EF (чорт. 65).

Потрібно довести, що ∠ B = ∠ E.

Доведення. Продовжимо бік DE до перетину її з прямою BC у точці G, тоді

∠ E = ∠ G як відповідні від перетину сторін паралельних BC та EF третьої прямої DG.

∠ B = ∠ G як відповідні від перетину паралельних сторін AB та DG прямий BC, отже,

∠ E = ∠ B (ЧТД).

Теорема 41. Різноіменні кути з паралельними сторонами доповнюють один одного до двох прямих.

Дано два різноіменні кути ABC і DEF (чорт. 66) з паралельними сторонами, отже, AB || DE та BC || EF.

Потрібно довести, що ABC + DEF = 2d.

Доведення. Продовжимо пряму DE до перетину із прямою BC у точці G.

∠ B + ∠ DGB = 2d як сума внутрішніх односторонніх кутів, що утворюються перетином паралельних AB та DG третьої прямої BC.

∠ DGB = ∠ DEF як відповідні, отже,

∠ B + ∠ DEF = 2d (ЧТД).

Теорема 42. Однойменні кути з перпендикулярними сторонами дорівнюють і різноіменні один одного до двох прямих.

Розглянемо два випадки: коли А) кути однойменні та коли B) вони різноїменні.

1-й випадок. Сторони двох однойменних кутів DEF та ABC (чорт. 67) перпендикулярні, тобто DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.

Потрібно довести, що ∠DEF = ∠ABC.

Доведення. Проведемо з точки B прямі BM та BN паралельно прямим DE та EF так, що

BM || DE, BN | EF.

Прямі ці також перпендикулярні сторонам даного кута ABC, тобто.

BM ⊥ AB та BN ⊥ BC.

Так як ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, то

∠ NBC = ∠ MBA (a)

Віднімаючи з обох частин рівності (а) по розі NBA, знаходимо

∠ MBN = ∠ ABC

Оскільки кути MBN і DEF однойменні і з паралельними сторонами, всі вони рівні (теорема 40).

∠ MBN = ∠ DEF (b)

З рівностей (a) і (b) випливає рівність

∠ ABC = ∠ DEF (ЧТД).

2-й випадок. Кути GED та ABC з перпендикулярними сторонами різноіменні.

Потрібно довести, що ∠ GED + ∠ ABC = 2d (чорт. 67).

Доведення. Сума кутів GED та DEF дорівнює двом прямим.

GED + DEF = 2d
DEF = ABC, отже,
GED + ABC = 2d (ЧТД).

Теорема 43. Частини паралельних прямих між іншими паралельними рівні.

Дано чотири прямі AB, BD, CD, AC (чорт. 68), з яких AB || CD та BD || AC.

Потрібно довести, що AB = CD та BD = AC.

Доведення. З'єднавши точку C з точкою B відрізком BC, отримаємо два рівні трикутники ABC і BCD, бо

BC - сторона загальна,

∠ α = β (як внутрішні навхрест-лежачі від перетину паралельних прямих AB і CD третьої прямої BC),

∠ γ = ∠δ (як внутрішні навхрест-лежать від перетину паралельних прямих BD і AC прямий BC).

Таким чином, трикутники мають по рівній стороні та по двох рівних кутах, що лежать на ній.

Проти рівних кутів α і β лежать рівні сторони AC і BD, і проти рівних кутів γ і δ - рівні сторони AB і CD, отже,

AC = BD, AB = CD (ЧТД).

Теорема 44. Паралельні прямі по всьому своєму протязі перебувають у рівній відстані друг від друга.

Відстань точки від прямої визначається за довжиною перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. Щоб визначити відстань будь-яких двох точок A і B паралельної AB від CD, з точок A і B опустимо перпендикуляри AC і BD.

Дана пряма AB паралельна CD, відрізки AC та BD перпендикулярні до прямої CD, тобто AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (чорт. 69).

Потрібно довести, що AC = BD.

Доведення. Прямі AC і BD, будучи обидві перпендикулярними CD, паралельні, отже, AC і BD як частини паралельних між паралельними, рівні, т. е. AC = BD (ЧТД).

Теорема 45(Зворотна 43). Якщо протилежні частини чотирьох прямих, що перетинаються, рівні, то ці частини паралельні.

Дано чотири прямі, що перетинаються, протилежні частини яких рівні: AB = CD і BD = AC (чорт. 68).

Потрібно довести, що AB || CD та BD || AC.

Доведення. З'єднаємо точки B та C прямої BC. Трикутники ABC та BDC рівні, бо

BC - спільна сторона,
AB = CD та BD = AC за умовою.

Звідси

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

Отже,

AC || BD, AB | CD (ЧТД).

Теорема 46. Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим.

Дано трикутник ABC (чорт. 70).

Потрібно довести, що A+B+C=2d.

Доведення. Проведемо з точки C пряму CF паралельну стороні AB. При точці C утворюється три кути BCA, α та β. Сума їх дорівнює двом прямим:

BCA + α + β = 2d

α = B (як внутрішні навхрест-лежачі кути при перетині паралельних прямих AB і CF прямий BC);

β = A (як відповідні кути при перетині прямих AB та CF прямий AD).

Замінюючи кути α та β їх величинами, отримаємо:

BCA + A + B = 2d (ЧТД).

З цієї теореми випливають такі наслідки:

Наслідок 1. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх не суміжних із ним.

Доведення. Дійсно, з креслення 70,

∠ BCD = ∠ α + ∠ β

Оскільки ∠α = ∠B, ∠β = ∠A, то

∠ BCD = ∠A + ∠B.

Наслідок 2. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює прямому.

Дійсно, у прямокутному трикутнику (чорт. 40)

A + B + C = 2d, A = d, отже,
B + C = d.

Наслідок 3. У трикутнику не може бути більше одного прямого або одного тупого кута.

Слідство 4. У рівносторонньому трикутнику кожен кут дорівнює 2/3 d .

Справді, у рівносторонньому трикутнику

A+B+C=2d.

Так як A = B = C, то

3A = 2d, A = 2/3 d.

Пересічні прямі- Прямі, що мають одну загальну точку. На епюрі однойменні проекції цих прямих перетинаються в точках, що лежать на одній лінії проекційного зв'язку (рис. 200, а).

Якщо однойменні проекції прямих перетинаються, але точки перетину лежать різних лініях проекційного зв'язку (рис 200,б), то прямі не перетинаються, а схрещуються. Точки перетину однойменних проекцій (рис. 200, б, точки 1 "і 2) являють собою проекції різних точок, які знаходяться на одному проєційному промені і належать різним прямим.

На рис. 201 показано, як можуть розташовуватися дві прямі схрещуються АВі CDщодо площини V, щоб їх фронтальні проекції а "Ь"і c"d"перетиналися і точка перетину була фронтальною проекцією одночасно двох точок Мі N.Точка перетину горизонтальних проекцій цих прямих є проекцією одночасно точки Е, що лежить на прямий CD,і точки лежить на прямій АВ

Взаємне розташування двох точок, проекції яких однією з площин проекцій збіглися, можна визначити, порівнявши їх треті координати. На рис. 201,6 фронтальні проекції т"і п"точок Мі Nзбіглися. Їхні координати Xі Zмають однакову величину. Порівнявши координати Yцих точок ( Y N > Y M), бачимо, що точка Nзнаходиться далі від площини К, ніж точка М.Крапка Nщодо площини V- видима точка.

Видимість точок Еі Fщодо горизонтальної площини проекцій визначають порівнянням їх координат Z.

Точки, проекції яких збігаються, т. е. точки перебувають у одному проецирующем промені, називають конкуруючими точками, а спосіб визначення видимості геометричних елементів на епюрі з допомогою цих точок - способом конкуруючих точок.

Паралельні прямізображуються на епюрі отже їх однойменні проекції взаємно паралельні. При проектуванні відрізків прямих на площину проекцій проєкуючі промені утворюють дві площини, що проеціюють. Рі R,перпендикулярні цій площині та паралельні між собою (P||R).Вони перетинають площину проекцій (рис. 202а, площину Н)по паралельним прямим - аbі cd.

Отже, якщо прямі паралельні, їх однойменні проекції є паралельними. На рис. 202, бгоризонтальні проекції abі cdта фронтальні проекції а "b"і c"d"взаємно паралельні, отже, і прямі АВі CDпаралельні.

Слід зазначити, що взаємне розташування прямих на епюрі можна визначити за допомогою двох площин проекцій, крім тих випадків, коли одна з прямих або обидві прямі паралельні будь-якій площині проекцій. У цих випадках для того, щоб визначити взаємне розташування прямих, необхідно мати їх зображення на площині проекцій, якою паралельна одна з прямих або обидві.

На рис. 203 проекції c"d"і l"q", cdі lqпрямих CDі LQперетинаються. Пряма CDпаралельна профільній проекції. На площині Wвидно, що прямі CDі LQне перетинаються, оскільки їх профільні проекції не перетинаються.

На рис. 204 показаний епюр двох горизонтальні"; прямих АВі CD.Їхні фронтальні проекції а "b"і c"d"та профільні проекції а "b"і c"d"паралельні. За проекціями на площині Нвидно, що прямі схрещуються.

На рис. 205 показаний епюр двох профільних прямих. Їхні фронтальні проекції а "b"і c"d"та горизонтальні проекції аbі cdпаралельні. На площині Wвидно, що прямі схрещуються.