X. пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику та колі

Розглянемо спочатку січні АС, проведені із зовнішньої стосовно даного кола точки А (рис. 288). З тієї ж точки проведемо дотичну АТ. Будемо називати відрізок між точкою А і найближчою до неї точкою перетину з коло зовнішньою частиною січній (відрізок АВ на рис. 288), відрізок АС до більш далекої з двох точок перетину - просто січучою. Відрізок дотичної від А до точки дотику також коротко називаємо дотичною. Тоді справедлива

Теорема. Твір січеї на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної.

Доведення. З'єднаємо крапку. Трикутники ACT і ВТА подібні, тому що кут при вершині А у них загальний, а кути ACT і рівні, оскільки обидва вони вимірюються половиною однієї і тієї ж дуги ТБ. Отже, звідси отримуємо необхідний результат:

Дотична дорівнює середньому геометричному між січною, проведеною з тієї ж точки, та її зовнішньою частиною.

Слідство. Для будь-якої січної, проведеної через дану точку А, добуток її довжини на зовнішню частину постійно:

Розглянемо тепер хорди, що перетинаються у внутрішній точці. Справедливе твердження:

Якщо дві хорди перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої (маються на увазі відрізки, на які хорда розбивається точкою перетину).

Так, на рис. 289 хорди АВ і CD перетинаються в точці М, і ми маємо Інакше кажучи,

Для цієї точки М твір відрізків, на які вона розбиває будь-яку хорду, що проходить через неї, постійно.

Для доказу зауважимо, що трикутники МВС та MAD подібні: кути СМВ та DMA вертикальні, кути MAD та МСВ спираються на ту саму дугу. Звідси знаходимо

що і потрібно було довести.

Якщо дана точка М лежить на відстані l від центру, то, провівши через неї діаметр і розглядаючи його як одну з хорд, знайдемо, що добуток відрізків діаметра, а значить, і будь-якої іншої хорди, так само воно дорівнює квадрату мінімальної півхорди (перпендикулярної до зазначеного діаметру), що проходить через М.

Теорема про сталості твори відрізків хорди і теорема про сталість твори січеї на її зовнішню частину суть два випадки того самого твердження, відмінність полягає лише в тому, чи проводяться січені через зовнішню чи внутрішню точку кола. Тепер можна вказати ще одну ознаку, яка відрізняє вписані чотирикутники:

У кожному вписаному чотирикутнику твори відрізне, куди розбиваються діагоналі точкою їх перетину, рівні.

Необхідність умови очевидна, оскільки діагоналі будуть хордами описаного кола. Можна показати, що ця умова також достатньо.

Математика. Алгебра. Геометрія. Тригонометрія

ГЕОМЕТРІЯ: Планіметрія

10. Теореми про пропорційні лінії

Доведення. Потрібно довести три пропорції: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Трикутники ABD і ADC подібні, оскільки

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Використання матеріалів сайту можливе за умови вказівки активного посилання

Трикутник ABC – прямокутний (рис. 11), C = 90°, СD перпендикулярна АВ, ВD та DА – проекції катетів ВС та АС на гіпотенузу АВ. Теореми: 1) висота, проведена з вершини прямого кута гіпотенузу, є середня пропорційна величина між проекціями катетів на гіпотенузу, тобто. ; 2) кожен катет – середня пропорційна величина між гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу, тобто .

Теорема Піфагора. Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Теорема. Якщо через точку, взяту всередині

кола, проведені діаметр і довільна хорда,

то добуток довжин відрізків діаметра рів-

Проте твору довжин відрізків хорди, тобто. (Рис. 12).

Слідство. Твори довжин відрізків хорд, що перетинаються, рівні, тобто.

Теорема. Якщо з точки поза коло проведено дотичну і січну, то добуток всієї сіючої на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної, тобто. (Рис. 13).

Визначення. Синусом гострого кута в прямокутному трикутнику називається відношення протилежного цьому куту катета до гіпотенузи, косинусом – відношення прилеглого катета до гіпотенузи, тангенсом відношення протилежного катета до прилеглого, котангенсом – відношення прилеглого катета до протилежного.

З точки А поза коло проведено дотичну та січну. Відстань від А до точки дотику 16 см, а від А до однієї з точок перетину січної з колом 32 см. Знайдіть радіус кола, якщо січна віддалена від її центру на 5 см.

На рис. 14 АВ - дотична до кола з центром O, AD - сітка. OK перпендикулярна DC, АВ = 16 см, АD = 32 см, ОК = 5 см. По теоремі про дотичну і січну або , АС = 8 см. По теоремі про хорди, що перетинаються всередині кола, але DK = KC, так як EP – діаметр, перпендикулярний хорді DС. Отримаємо. Замінимо в цій рівності ЕК на , КР на , DК на 12, отримаємо: OE = 13 см - радіус.

104. Сторони прямокутника 30 і 40 см. Знайдіть відстань

від вершини прямокутника до діагоналі, що не проходить через цю вершину.

105. Периметр ромба дорівнює 1 м. Одна діагональ довша за іншу на

1 дм. Обчисліть діагоналі ромба.

У колі з різних боків від центру проведено паралельні хорди довжиною 36 і 48 мм, відстань між ними 42 мм. Обчисліть радіус кола.

Катети прямокутного трикутника відносяться як 5: 6, гіпотенуза 122 см. Знайдіть відрізки гіпотенузи, що відсікаються заввишки.

Дотична та січна, проведені з однієї точки до кола, взаємно перпендикулярні. Дотична дорівнює 12, внутрішня частина січної дорівнює 10. Знайдіть радіус кола.

До кола з радіусом 7 см проведено дві дотичні з однієї точки, віддаленої від центру на 25 см. Знайдіть відстань між точками торкання.

Ширина кільця, утвореного двома концентричними колами, дорівнює 8 дм, хорда більшого кола, дотична до меншого, дорівнює 4 м. Знайдіть радіуси кіл.

Радіус кола 7 см. З точки, віддаленої від центру на

9 см, проведена січна так, що вона ділиться коло на рівні частини. Знайдіть довжину цієї січної.

Дотична до кола дорівнює 20 см, а найбільша січна, проведена з тієї ж точки, дорівнює 50 см. Знайдіть радіус.

З однієї точки до кола проведені дотична і січна, довжина якої а, а її внутрішній відрізок більший за зовнішній на довжину дотичної. Знайдіть довжину дотичної.

У коло радіусом R вписаний рівнобедрений трикутник, у якого сума висоти та основи дорівнює діаметру кола. Знайдіть висоту трикутника.

У рівнобедреному трикутнику основа та бічна сторона рівні відповідно 48 і 30 дм. Обчисліть радіуси кіл, описаного та вписаного, та відстань між їхніми центрами.

Властивість 1 . Якщо хорди АВ і CD кола перетинаються у точці S, AS BS = CS DS, тобто DS/BS = AS/CS.

Доведення. Доведемо спочатку, що трикутники ASD та CSB подібні.

Вписані кути DCB і DAB рівні, як такі, що спираються на ту саму дугу.

Кути ASD та BSC рівні як вертикальні.

З рівності зазначених кутів випливає, що трикутники ASD та СSB подібні. З подоби трикутників випливає пропорція

DS/BS = AS/CS, або AS BS = CS DS,

що і потрібно було довести.

Властивість 2. Якщо з точки Р до кола проведено дві січні, що перетинають коло в точках А, В і С, D відповідно, то АР/СР = DP/BP.

Доведення. Нехай А і С - найближчі до точки Р точки перетину січуть з колом. Трикутники PAD та РСВ подібні. У них кут при вершині Р загальний, а кути В і D рівні як вписані, що спираються на ту саму дугу. З подоби трикутників випливає пропорція АР/СР = DP/BP, що потрібно було довести.

Властивість бісектриси кута трикутника

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

Доведення.Нехай CD бісектриса трикутника ABC. Якщо трикутник ABC - рівнобедрений з основою АВ, то зазначена властивість бісектриси очевидна, тому що в цьому випадку бісектриса є і медіаною. Розглянемо загальний випадок, коли АС не дорівнює ПС. Опустимо перпендикуляри AF та BE з вершин А та В на пряму CD. Прямокутні трикутники ACF і ВСІ подібні, оскільки вони рівні гострі кути при вершині З.

З подоби трикутників випливає пропорційність сторін: АС/ВС = AF/BE. Прямокутні трикутники ADF і BDE також подібні. Вони кути при вершині D рівні як вертикальні. З подібності випливає: AF/BE = AD/BD. Порівнюючи цю рівність з попереднім, отримаємо: АС/ВС = AD/BD або AC/AD = BC/BD, тобто AD та BD пропорційні сторонам АС та ВС.

§ 11. Пропорційні відрізки у колі.

1. Ферма мосту обмежена дугою кола (чорт. 38); висота ферми MK= h= 3 м; радіус дуги АМВ прольоту R = 8,5 м. Обчислити довжину АВ прольоту моста.

2. У склепінчастому підвалі, що має форму напівциліндра, треба поставити дві стійки, кожну на однаковій відстані від найближчої стіни. Визначити висоту стійок, якщо ширина підвалу внизу дорівнює 4 м, а відстань між стійками 2 м.

3. 1) З точки кола проведено перпендикуляр на діаметр. Визначити його довжину при наступній довжині відрізків діаметра: 1) 12 см та 3 см; 2) 16см і 9 см, 3) 2 м та 5 дм.

2) З точки діаметра проведено перпендикуляр до перетину з колом. Визначити довжину цього перпендикуляра, якщо діаметр дорівнює 40 см, а проведений перпендикуляр віддалений від одного з кінців діаметра на 8 см.

4. Діаметр поділено на відрізки: АС= 8 дм і СВ=5 м, і з точки С проведений до нього перпендикуляр CD даної довжини. Вказати положення точки D щодо кола, коли CD дорівнює: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.

5. АСВ-півколо; CD – перпендикуляр на діаметр АВ. Потрібно:

1) визначити DB, якщо AD = 25 та CD = 10;

2) визначити АВ, якщо AD: DB = 4: 9 та CD = 30;

3) визначити AD, якщо CD = 3AD, а радіус дорівнює r;

4) визначити AD, якщо A = 50 і CD = 15.

6. 1) Перпендикуляр, опущений з точки кола на радіус, рівний 34 см, ділить його щодо 8:9 (починаючи від центру). Визначити довжину перпендикуляра.

2) Хорда BDC перпендикулярна радіусу ODA. Визначити ПС, якщо ОA = 25 см і AD=10 см.

3) Ширина кільця, утвореного двома концентричними колами, дорівнює 8 дм; хорда більшого кола, дотична до меншого, дорівнює 4 м. Визначити радіуси кіл.

7. За допомогою порівняння відрізків довести, що середнє арифметичне двох нерівних чисел більше від їхнього середнього геометричного.

8. Побудувати відрізок середній пропорційний між відрізками 3 см і 5 см.

9. Побудувати відрізок, що дорівнює: √15; √10; √6; √3.

10. ADB-діаметр; АС-хорд; CD-перпендикуляр до діаметру. Визначити хорду АС: 1) якщо АВ = 2 м та AD = 0,5 м; 2) якщо AD = 4 см та DB = 5 см; 3) якщо AB=20 м та DB= 15 м.

11. АВ-діаметр; АС-хорд; AD-їє проекція на діаметр АВ. Потрібно:

1) визначити AD, якщо АB = 18 см та АС = 12 см;

2) визначити радіус, якщо АС = 12 м і AD = 4 м;

3) визначити DB, якщо AС = 24 см і DB = 7/9 AD.

12. АВ-діаметр; АС-хорд; AD-їє проекція на діаметр АВ. Потрібно:

1) визначити АС, якщо АВ = 35 см та AC = 5AD;

2) визначити АС, якщо радіус дорівнює rта AC=DB.

13. Дві хорди перетинаються всередині кола. Відрізки однієї хорди дорівнюють 24 см і 14 см; один із відрізків іншої хорди дорівнює 28 см. Визначити другий її відрізок.

14. Мостова ферма обмежена дугою кола (чорт. 38); довжина моста АВ = 6 м, висота А = 1,2 м. Визначити радіус дуги (OM = R).

15. Два відрізки АВ і CD перетинаються в точці М так, що МА = 7 см, MB = 21 см,
МС = 3 см і MD = 16 см. Чи лежать точки А, В, С та D на одному колі?

16. Довжина маятника MA = l= 1 м (чорт. 39), висота його підйому, при відхиленні на кут α, CA = h= 10 см. Знайти відстань НД точки В від МА (ВС = х).

17. Для переведення залізничної колії шириною b= 1,524 м у місці АВ (чорт. 40) зроблено заокруглення; у своїй виявилося, ; що BС= а= 42,4 м. Визначити радіус заокруглення OA = R.

18. Хорда АМВ повернута біля точки М так, що відрізок МА збільшився у 2 1/2 рази. Як змінився відрізок МБ?

19. 1) З двох хорд, що перетинаються, одна розділилася на частини в 48 см і 3 см, а інша - навпіл. Визначити довжину другої хорди.

2) З двох хорд, що перетинаються, одна розділилася на частини в 12 м і 18 м, а інша-відносно 3:8. Визначити довжину другої хорди.

20. З двох хорд, що перетинаються, перша дорівнює 32 см, а відрізки іншої хорди рівні
12 см та 16 см. Визначити відрізки першої хорди.

21. Поточна ABC повернена біля зовнішньої точки А так, що її зовнішній відрізок АВ зменшився втричі. Як змінилася довжина січної?

22. Нехай ADB і AЕС-дві прямі, що перетинають коло: перша в точках D і В, друга в точках E і С. Потрібно:

1) визначити АЕ, якщо AD = 5 см, DB = 15 см та АС = 25 см;

2) визначити BD, якщо АВ = 24 м, АС = 16 м та ЄС = 10м;

3) визначити АВ та АС, якщо АВ+АС=50 м, a AD: AE = 3:7.

23. Радіус кола дорівнює 7 см. З точки, віддаленої від центру на 9 см, проведена січна так, що вона ділиться коло навпіл. Визначити довжину цієї січної.

24. МАВ та MCD-дві ​​січучі до одного кола. Потрібно:

1) визначити CD, якщо МВ = 1 м, MD = 15 дм та CD = MA;

2) визначити MD, якщо MA = 18 см, АВ = 12 см та MC:CD = 5:7;

3) визначити АВ, якщо АВ = МС, МА = 20 та CD = 11.

25. Дві хорди продовжені до взаємного перетину. Визначити довжину отриманих продовжень, якщо хорди дорівнюють аі b, А їх продовження відносяться, як т: п.

26. З однієї точки проведені до кола січна та дотична. Визначити довжину дотичної, якщо зовнішній та внутрішній відрізки сіючої відповідно виражаються такими числами: 1) 4 та 5; 2) 2,25 та 1,75; 3) 1 та 2.

27. Дотична дорівнює 20 см, а найбільша січна, проведена з тієї ж точки, дорівнює 50 см. Визначити радіус кола.

28. Секція більша за свій зовнішній відрізок у 2 1 / 4 рази. У скільки разів вона більша за дотичну, проведену з тієї ж точки?

29. Загальна хорда двох кіл, що перетинаються, продовжена, і з точки, взятої на продовженні, проведені до них дотичні. Довести, що вони є рівними.

30. На одній стороні кута А відкладені один за одним відрізки: A = 6 см і ВС = 8 см; а на іншій стороні відкладено відрізок AD = 10 см. Через точки В, С і D проведено коло. Дізнатися, чи стосується цього кола пряма AD, а якщо ні, то буде точка D першою (вважаючи A) або другою точкою перетину.

31. Нехай буде: АВ-дотик і ACD-секучий того ж кола. Потрібно:

1) визначити CD, якщо АВ = 2 см та AD = 4 см;

2) визначити AD, якщо AC:CD = 4:5 та АВ=12 см;

3) визначити АВ, якщо AB = CD та АС = а.

32. 1) Як далеко видно з повітряної кулі (рис. 41), що піднялася на висоту 4 км над землею (радіус землі дорівнює = 6370 км)?

2) Гора Ельбрус (на Кавказі) піднімається над рівнем моря на 5600 м. Як далеко можна бачити з вершини цієї гори?

3) М – спостережний пункт висотою А метрів над землею (чорт. 42); радіус землі R, МТ= dє найбільша видима відстань. Довести, що d= √2R h+ h 2

Зауваження.Так як h 2 внаслідок своєї дрібниці порівняно з 2R hна результат майже не впливає, то можна користуватися наближеною формулою d≈ √2R h .

33. 1) Дотична і січна, що виходять з однієї точки, відповідно дорівнюють 20 см і 40 см; січна віддалена від центру на 8 см. Визначити радіус кола.

2) Визначити відстань від центру до тієї точки, з якої виходять дотична та січна, якщо вони відповідно дорівнюють 4 см та 8 см, а січна віддалена від центру на
12 см.

34. 1) Із загальної точки проведені до кола дотична та січна. Визначити довжину дотичної, якщо вона на 5 см більша від зовнішнього відрізка січної та на стільки ж менша від внутрішнього відрізка.

2) З однієї точки проведені до кола січна та дотична. Поточна рівна а, та її внутрішній відрізок більше зовнішнього відрізка на довжину дотичної. Визначити дотичну.

36. З однієї точки проведено до одного кола дотичне та січене. Відносна більше внутрішнього і зовнішнього відрізків січної відповідно на 2 см і 4 см. Визначити довжину січної.

36. З однієї точки проведені до кола дотична та січна. Визначити їх довжину, якщо дотична на 20 см менша від внутрішнього відрізка січної та на 8 см більша від зовнішнього відрізка.

37. 1) З однієї точки проведені до кола січна та дотична. Сума їх дорівнює 30 см, а внутрішній відрізок січе на 2 см менше дотичної. Визначити січну та дотичну.

2) З однієї точки проведені до кола січна та дотична. Сума їх дорівнює 15 см, а зовнішній відрізок січе на 2 см менше дотичної. Визначити січну та дотичну.

38. Відрізок АВ продовжено на відстань ПС. На АВ та АС, як на діаметрах, побудовані кола. До відрізка АС у точці В проведено перпендикуляр BD до перетину з більшим колом. З точки З проведено дотичну СК до меншого кола. Довести, що CD = СК.

39. До цього кола проведено дві паралельні дотичні та третя дотична, що перетинає їх. Радіус є середня пропорційна між відрізками третьої дотичної. Довести.

40. Дано дві паралельні прямі на відстані 15 дм одна від одної; між ними дано точку М на відстані 3 дм від однієї з них. Через точку М проведено коло, що стосується обох паралелей. Визначити відстань між проекціями центру та точки М на одну з даних паралелей.

41. У коло радіусу rвписаний рівнобедрений трикутник, у якого сума висоти та основи дорівнює діаметру кола. Визначте висоту.

42. Визначити радіус кола, описаного біля рівнобедреного трикутника: 1) якщо основа дорівнює 16 см, а висота 4 см; 2) якщо бічний бік дорівнює 12 дм, а висота 9 дм; 3) якщо бічна сторона дорівнює 15 м, а основа 18 м.

43. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 48 дм, а бічна сторона дорівнює 30 дм. Визначити радіуси кіл, описаного та вписаного, та відстань між їхніми центрами.

44. Радіус дорівнює r, хорда цієї дуги дорівнює а. Визначити хорду подвоєної дуги.

45. Радіус кола дорівнює 8 дм; хорда АВ дорівнює 12 дм. Через точку А проведена дотична, а з точки В-хорду ВС, паралельна дотичній. Визначити відстань між дотичною та хордою ПС.

46. ​​Точка А віддалена від прямої MN на відстань з. Даним радіусом rописано коло так, що вона проходить через точку А і стосується лінії MN. Визначити відстань між отриманою точкою торкання та цією точкою А.