Чи є корінь із 1 6 ірраціональним. Теорія чисел - Як прямо довести, що √2 є число ірраціональне? Визначення та приклади ірраціональних чисел

Які числа є ірраціональними? Ірраціональне число— це раціональне речове число, тобто. воно не може бути представлене як дріб (як відношення двох цілих чисел), де m- ціле число, n- натуральне число . Ірраціональне числоможна уявити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб.

Ірраціональне числонеспроможна мати точного значення. Тільки у форматі 3,333333. Наприклад, квадратний корінь із двох - є числом ірраціональним.

Яке число ірраціональне? Ірраціональним числом(на відміну від раціональних) називається нескінченна десяткова неперіодична дріб.

Безліч ірраціональних чиселнайчастіше позначають великою латинською літерою в напівжирному накресленні без заливання. Т.о.:

Тобто. безліч ірраціональних чисел це різниця множин речових і раціональних чисел.

Властивості ірраціональних чисел.

• Сума 2-х неотрицательных ірраціональних чисел то, можливо раціональним числом.
• Ірраціональні числа визначають дедекіндові перерізи в безлічі раціональних чисел, у нижньому класі у яких немає найбільшого числа, а у верхньому немає меншого.
• Будь-яке речовинне трансцендентне число - це ірраціональне число.
• Усі ірраціональні числа є або алгебраїчними або трансцендентними.
• Безліч ірраціональних чисел скрізь щільно на числовій прямий: між кожною парою чисел є ірраціональне число.
• Порядок на безлічі ірраціональних чисел ізоморфний порядку на безлічі речових трансцендентних чисел.
• Безліч ірраціональних чисел нескінченно є безліччю 2-ї категорії.
• Результатом кожної арифметичної операції з раціональними числами (крім поділу на 0) є раціональні числа. Результатом арифметичних операцій над ірраціональними числами може стати як раціональне, і ірраціональне число.
• Сума раціонального та ірраціонального чисел завжди буде ірраціональним числом.
• Сума ірраціональних чисел може бути раціональним числом. Наприклад,нехай xірраціональне, тоді y=x*(-1)також ірраціональне; x+y=0,а число 0 раціональне (якщо, наприклад, скласти корінь будь-якого ступеня з 7 і мінус корінь такого ж ступеня із семи, то отримаємо раціональне число 0).

Ірраціональні числа, приклади.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Визначення ірраціонального числа

Ірраціональними називають такі числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Так, наприклад, числа, отримані шляхом отримання квадратного кореня з натуральних чисел, є ірраціональними і не є квадратами натуральних чисел. Але не всі ірраціональні числа отримують шляхом вилучення квадратних коренів, адже отримане методом поділу, число «пі», також є ірраціональним, і його ви навряд чи отримаєте, намагаючись витягти квадратний корінь із натурального числа.

Властивості ірраціональних чисел

На відміну від чисел, записаних нескінченним десятковим дробом, лише ірраціональні числа записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
Сума двох неотрицательных ірраціональних чисел у результаті то, можливо раціональним числом.
Ірраціональні числа визначають дедекіндові перерізи в безлічі раціональних чисел, у нижньому класі у яких немає найбільшого числа, а у верхньому немає меншого.
Будь-яке речовинне трансцендентне число є ірраціональним.
Усі ірраціональні числа є або алгебраїчними, або трансцендентними.
Багато ірраціональних чисел на прямій розташовуються щільно, і між його будь-якими двома числами обов'язково знайдеться ірраціональне число.
Безліч ірраціональних чисел нескінченно, незліченно і є безліччю 2-ї категорії.
За виконання будь-якої арифметичної операції з раціональними числами, крім розподілу на 0, його результатом буде раціональне число.
При складанні раціонального числа з ірраціональним, у результаті виходить ірраціональне число.
При додаванні ірраціональних чисел у результаті ми можемо отримати раціональне число.
Безліч ірраціональних чисел не є парним.

Числа, які не є ірраціональними

Іноді досить складно відповісти на питання, чи є число ірраціональним, особливо у випадках, коли число має вигляд десяткового дробу або у вигляді числового виразу, кореня чи логарифму.

Тому не зайвим буде знати, які числа не належать до ірраціональних. Якщо слідувати визначення ірраціональних чисел, то вже відомо, що раціональні числа неможливо знайти ірраціональними.

Ірраціональними числами не є:

По-перше, усі натуральні числа;
По-друге, цілі числа;
По-третє, прості дроби;
По-четверте, різні мішані числа;
По-п'яте, це нескінченні періодичні десяткові дроби.

Крім всього перерахованого, ірраціональним числом не може бути будь-яка комбінація раціональних чисел, яка виконується знаками арифметичних операцій, як +, -, , :, тому що при цьому підсумком двох раціональних чисел буде також раціональне число.

А тепер подивимося, які ж із чисел є ірраціональними:

А чи відомо вам про існування фан-клубу, де шанувальники цього загадкового математичного феномену шукають нові відомості про Пі, намагаючись розгадати його таємницю. Членом цього клубу може стати будь-яка людина, яка знає напам'ять певну кількість чисел Пі після коми;

Чи знаєте ви, що в Німеччині під охороною ЮНЕСКО знаходиться палац Кастадель Монте, завдяки пропорціям якого можна обчислити Пі. Цілий палац присвятив цьому числу король Фрідріх II.

Виявляється, число Пі намагалися використати під час будівництва Вавилонської вежі. Але на превеликий жаль, це призвело до краху проекту, тому що на той момент було недостатньо вивчене точне обчислення Пі.

Співачка Кейт Буш у своєму новому диску записала пісню під назвою «Пі», в якій прозвучало сто двадцять чотири числа зі знаменитого числового ряду 3, 141.

З відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.

Ірраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу, де і - цілі числа. Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді

Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і – ірраціональне число.

Двійковий логарифм числа 3

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді дробу, де і - цілі числа. Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас доводив, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що й гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить цілу кількість одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:

• Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
• За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
• Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
• Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
• Так як aпарне, позначимо a = 2y.
• Тоді a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
• Однак було доведено, що bнепарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Див. також

Примітки

Саме поняття ірраціонального числа так влаштоване, що воно визначається через заперечення властивості "бути раціональним", тому доказ протилежного тут є найбільш природним. Можна, проте запропонувати ось яке міркування.

Чим відрізняються принципово раціональні числа від ірраціональних? Як ті, так і інші, можна наблизити раціональними числами з будь-якою заданою точністю, але для раціональних чисел є наближення з нульовою точністю (самим цим числом), а для ірраціональних чисел це вже не так. Спробуємо на цьому зіграти.

Насамперед, відзначимо такий простий факт. Нехай $%\alpha$%, $%\beta$% -- два позитивні числа, які наближають один одного з точністю $%\varepsilon$%, тобто $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Що станеться, якщо замінимо числа на зворотні? Як зміниться точність? Легко бачити, що $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|alpha-beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\alpha\ beta),$$ що буде строго менше $%\varepsilon$% при $%\alpha\beta>1$%. Це твердження можна розглядати як самостійну лему.

Тепер покладемо $%x=\sqrt(2)$%, і нехай $%q\in(\mathbb Q)$% - раціональне наближення числа $%x$% з точністю $%\varepsilon$%. Ми знаємо, що $%x>1$%, а щодо наближення $%q$% вимагатимемо виконання нерівності $%q\ge1$%. У всіх чисел, менших $%1$%, точність наближення буде гіршою, ніж у самої $%1$%, і тому ми не будемо їх розглядати.

До кожного з чисел $%x$%, $%q$% додамо по $%1$%. Очевидно, точність наближення залишиться тією ж. Тепер у нас є числа $% alfa=x+1$% і $%beta=q+1$%. Переходячи до зворотних чисел і застосовуючи "лему", ми прийдемо до висновку, що точність наближення у нас покращилася, ставши строго меншою за $%\varepsilon$%. Необхідна умова $% alpha beta>1$% у нас дотримано навіть із запасом: насправді ми знаємо, що $% alpha>2$% і $% betage2$%, звідки можна зробити висновок, що точність покращується як мінімум у $%4$% разу, тобто не перевищує $%\varepsilon/4$%.

І тут - основний момент: за умовою, $%x^2=2$%, тобто $%x^2-1=1$%, а це означає, що $%(x+1)(x- 1)=1$%, тобто числа $%x+1$% і $%x-1$% обернені один одному. А це означає, що $%\alpha^(-1)=x-1$% буде наближенням до (раціонального) числа $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% з точністю строго менше $%\varepsilon$%. Залишилося додати по $%1$% до цих чисел, і виявиться, що у $%x$%, тобто у $%\sqrt(2)$%, з'явилося нове раціональне наближення, що дорівнює $%\beta^(- 1)+1$%, тобто $%(q+2)/(q+1)$%, з "покращеною" точністю. Це завершує доказ, оскільки у раціональних чисел, як ми зазначали вище, існує "абсолютно точне" раціональне наближення з точністю $% \ varepsilon = 0 $ %, де точність у принципі підвищити не можна. А ми зуміли це зробити, що говорить про ірраціональність нашого числа.

Фактично, ця міркування показує, як будувати конкретні раціональні наближення для $%\sqrt(2)$% з точністю, що все погіршується. Треба спочатку взяти наближення $%q=1$%, і далі застосовувати одну й ту саму формулу заміни: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. У ході цього процесу виходить наступне: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ і так далі.

Приклад:
\(4\) - раціональне число,т.к.його можна записати як \(\frac(4)(1)\);
\(0,0157304\) - теж раціональне,т.к.його можна записати у вигляді \(\frac(157304)(10000000)\);
\(0,333(3)…\)-і це раціональне число: можна уявити як \(\frac(1)(3)\);
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) - раціональне, тому що можна уявити як \(\frac(1)(2)\) . Справді, ми можемо провести ланцюжок перетворень \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(=\) \ (\frac(1)(2)\)

Ірраціональне число- Це число, яке неможливо записати у вигляді дробу з цілим чисельником і знаменником.

Неможливо, бо це нескінченнідроби, та ще й неперіодичні. Тому немає таких цілих чисел, які поділилися б один на одного, дали б ірраціональне число.

Приклад:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) -ірраціональне число;
\(π≈3,1415926 ... \) -ірраціональне число;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\)-ірраціональне число.

приклад (Завдання з ОДЕ). Значення якого з виразів є числом раціональним?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2) ((sqrt (9)-sqrt (14)) (sqrt (9) + sqrt (14)));
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Рішення:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) - корінь з \(14\) взяти не можна, значить і уявити число як дробу з цілими числами теж не можна, отже число ірраціонально.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14 = -5 \) - Коренів не залишилося, число легко уявити у вигляді дробу, наприклад такий \(\frac(-5)(1)\) , означає воно раціональне.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - Корінь не можна отримати - число ірраціональне.

4) \(sqrt(54)+3sqrt(6)=sqrt(9cdot 6)+3sqrt(6)=3sqrt(6)+3sqrt(6)=6sqrt (6) \) - теж ірраціональне.