Завдання з комбінаторики. Приклади рішень

Слід зазначити, що комбінаторика є самостійним розділом вищої математики (а не частиною тервера) і з цієї дисципліни написані важкі підручники, зміст яких часом анітрохи не легше абстрактної алгебри. Однак нам буде достатньо невеликої частки теоретичних знань, і в цій статті я постараюся у доступній формі розібрати основи теми з типовими комбінаторними завданнями. А багато хто з вас мені допоможуть;-)

Чим будемо займатися? У вузькому значенні комбінаторика - це підрахунок різних комбінацій, які можна скласти з деякої множини дискретнихоб'єктів. Під об'єктами розуміються якісь відокремлені предмети чи живі істоти – люди, звірі, гриби, рослини, комахи тощо. При цьому комбінаторику зовсім не хвилює, що безліч складається з тарілки манної каші, паяльника та болотяної жаби. Принципово важливо, що ці об'єкти піддаються перерахуванню – їх три (Дискретність)і суттєво те, що серед них немає однакових.

З безліччю розібралися, тепер про комбінації. Найпоширенішими видами комбінацій є перестановки об'єктів, їх вибірка з множини (поєднання) і розподіл (розміщення). Давайте прямо зараз подивимося, як це відбувається:

Перестановки, поєднання та розміщення без повторень

Не лякайтеся малозрозумілих термінів, тим більше деякі з них дійсно не дуже вдалі. Почнемо з хвоста заголовка – що означає « без повторень»? Це означає, що в даному параграфі будуть розглядатися множини, які складаються з різнихоб'єктів. Наприклад, … ні, кашу з паяльником і жабою пропонувати не буду, краще щось смачніше =) Уявіть, що перед вами на столі матеріалізувалося яблуко, груша і банан (за наявності таких ситуацію можна змоделювати і реально). Викладаємо фрукти зліва направо у такому порядку:

яблуко / груша / банан

Питання перше: Скільки способами їх можна переставити?

Одна комбінація вже записана вище та з іншими проблемами не виникає:

яблуко / банан / груша
груша / яблуко / банан
груша / банан / яблуко
банан / яблуко / груша
банан / груша / яблуко

Разом: 6 комбінацій або 6 перестановок.

Добре, тут не склало особливих труднощів перерахувати всі можливі випадки, але як бути, якщо предметів більше? Вже із чотирма різними фруктами кількість комбінацій значно зросте!

Будь ласка, відкрийте довідковий матеріал (методичку зручно роздрукувати)та у пункті № 2 знайдіть формулу кількості перестановок.

Жодних мук – 3 об'єкти можна переставити способами.

Питання друге: Скільки способами можна вибрати а) один фрукт, б) два фрукти, в) три фрукти, г) хоча б один фрукт?

Навіщо обирати? Так нагуляли апетит у попередньому пункті – для того, щоб з'їсти! =)

а) Один фрукт можна вибрати, очевидно, трьома способами - взяти або яблуко, грушу або банан. Формальний підрахунок проводиться за формулі кількості поєднань:

Запис у разі слід розуміти так: «скількими способами можна вибрати 1 фрукт з трьох?»

б) Перерахуємо всі можливі поєднання двох фруктів:

яблуко та груша;
яблуко та банан;
груші та банан.

Кількість комбінацій легко перевірити за тією самою формулою:

Запис розуміється аналогічно: «скільки можна вибрати 2 фрукти з трьох?».

в) І, нарешті, три фрукти можна вибрати єдиним способом:

До речі, формула кількості поєднань зберігає сенс і для порожньої вибірки:
способом можна вибрати жодного фрукта - власне, нічого не взяти і все.

г) Скільки способами можна взяти хоча б одинфрукт? Умова «хоча б один» передбачає, що нас влаштовує 1 фрукт (будь-який) або 2 будь-яких фрукти або всі 3 фрукти:
способами можна вибрати хоча б один фрукт.

Читачі, які уважно вивчили вступний урок з теорії ймовірностей, вже дещо здогадалися. Але про сенс знака "плюс" пізніше.

Для відповіді на наступне запитання мені потрібні два добровольці… …Ну що ж, якщо ніхто не хоче, тоді викликатиму до дошки =)

Питання третє: Скільки способами можна роздати по одному фрукту Даші та Наташі?

Для того, щоб роздати два фрукти, спочатку потрібно їх вибрати. Відповідно до пункту «бе» попереднього питання, зробити це можна засобами, перепишу їх заново:

яблуко та груша;
яблуко та банан;
груші та банан.

Але комбінацій зараз буде вдвічі більше. Розглянемо, наприклад, першу пару фруктів:
яблуком можна пригостити Дашу, а грушею – Наташу;
або навпаки – груша дістанеться Даші, а яблуко – Наталці.

І така перестановка можлива кожної пари фруктів.

Розглянемо ту саму студентську групу, яка пішла на танці. Скількими способами можна скласти пару з юнака та дівчини?

Способами можна вибрати 1 юнака;
способами можна вибрати 1 дівчину.

Таким чином, одного юнака іодну дівчину можна вибрати: методами.

Коли з кожної множини вибирається по 1 об'єкту, то справедливий наступний принцип підрахунку комбінацій: « коженоб'єкт з однієї множини може скласти пару з кожнимоб'єктом іншої множини».

Тобто Олег може запросити на танець будь-яку з 13 дівчат, Євген – теж будь-яку з тринадцяти, і аналогічний вибір має решта молодих людей. Разом: можливі пари.

Слід зазначити, що у цьому прикладі немає значення «історія» утворення пари; однак якщо взяти до уваги ініціативу, то кількість комбінацій треба подвоїти, оскільки кожна з 13 дівчат також може запросити на танець будь-якого юнака. Все залежить від умови того чи іншого завдання!

Схожий принцип справедливий і для складніших комбінацій, наприклад: скількома способами можна вибрати двох юнаків ідвох дівчат для участі у сценці КВК?

спілка Інедвозначно натякає, що комбінації необхідно перемножити:

Можливі групи артистів.

Іншими словами, кожнапара юнаків (45 унікальних пар) може виступати з будь-якийпарою дівчат (78 унікальних пар). А якщо розглянути розподіл ролей між учасниками, то комбінацій буде ще більше. …Дуже хочеться, але все-таки утримаюсь від продовження, щоб не прищепити вам огиду до студентського життя =).

Правило множення комбінацій поширюється і на більшу кількість множників:

Завдання 8

Скільки існує трицифрових чисел, які діляться на 5?

Рішення: для наочності позначимо це число трьома зірочками: ***

У розряд сотеньможна записати будь-яку з цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 чи 9). Нуль не годиться, тому що в цьому випадку число перестає бути тризначним.

А ось у розряд десятків(«посередині») можна вибрати будь-яку з 10 цифр: .

За умовою, число має ділитися на 5. Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 5 або на 0. Таким чином, у молодшому розряді нас влаштовують 2 цифри.

Отже, існує: трицифрових чисел, які діляться на 5.

При цьому твір розшифровується так: «9 способами можна вибрати цифру в розряд сотень і 10 способами вибрати цифру в розряд десятків і 2 способами в розряд одиниць»

Або ще простіше: « кожназ 9 цифр у розряді сотенькомбінується з кожноюз 10 цифр розряду десятків і з кожноюз двох цифр у розряд одиниць».

Відповідь: 180

А зараз…

Так, мало не забув про обіцяний коментар до завдання № 5, в якому Борі, Дімі та Володі можна здати за однією картою способами. Множення тут має той самий сенс: способами можна витягти 3 карти з колоди І в кожнійвибірці переставити їх засобами.

А тепер завдання для самостійного вирішення… зараз придумаю щось цікавіше, …нехай буде про ту ж російську версію блекджека:

Завдання 9

Скільки існує виграшних комбінацій з 2 карток при грі в «очко»?

Для тих, хто не знає: виграє комбінація 10 + ТУЗ (11 очок) = 21 очко і, давайте вважатимемо виграшною комбінацію з двох тузів.

(Порядок карт у будь-якій парі не має значення)

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

До речі, не слід вважати приклад примітивним. Блекджек - це чи не єдина гра, для якої існує математично обґрунтований алгоритм, що дозволяє вигравати у казино. Бажаючі можуть легко знайти масу інформації про оптимальну стратегію та тактику. Щоправда, такі майстри досить швидко потрапляють до чорного списку всіх закладів.

Настав час закріпити пройдений матеріал парою солідних завдань:

Завдання 10

У Васі вдома живуть 4 коти.

а) скільки можна розсадити котів по кутах кімнати?
б) скільки можна відпустити гуляти котів?
в) Скільки способами Вася може взяти на руки двох котів (одного на ліву, іншого - на праву)?

Вирішуємо: по-перше, знову слід звернути увагу на те, що в задачі йдеться про різнихоб'єктах (навіть якщо коти – однояйцеві близнюки). Це дуже важлива умова!

а) Мовчання котів. Цю кару зазнають відразу всі коти
+ важливе їх розташування, тому тут мають місце перестановки:
способами можна розсадити котів по кутах кімнати.

Повторюся, що з перестановках має значення лише кількість різних об'єктів та його взаємне розташування. Залежно від настрою Вася може розсаджувати тварин півколом на дивані, ряд на підвіконні і т.д. – перестановок у всіх випадках буде 24. Бажаючі можуть для зручності уявити, що коти різнокольорові (наприклад, білий, чорний, рудий та смугастий) та перерахувати всі можливі комбінації.

б) Скільки можна відпустити гуляти котів?

Передбачається, що коти ходять гуляти тільки через двері, при цьому питання має на увазі байдужість щодо кількості тварин – на прогулянку можуть вийти 1, 2, 3 або всі 4 коти.

Вважаємо всі можливі комбінації:

Способами можна відпустити гуляти одного кота (будь-якого з чотирьох);
способами можна відпустити гуляти двох котів (варіанти перерахуйте самостійно);
способами можна відпустити гуляти трьох котів (якийсь один із чотирьох сидить удома);
способом можна випустити всіх котів.

Напевно, ви здогадалися, що отримані значення слід підсумувати:
способами можна відпустити гуляти котів.

Ентузіастам пропоную ускладнену версію завдання – коли будь-який кіт у будь-якій вибірці випадково може вийти на вулицю як через двері, так і через вікно 10 поверху. Комбінацій помітно побільшає!

в) Скільки способами Вася може взяти на руки двох котів?

Ситуація передбачає не тільки вибір 2 тварин, а й їх розміщення по руках:
способами можна взяти на руки 2 коти.

Другий варіант вирішення: способами можна вибрати двох котів іспособами посадити кожнупару на руки:

Відповідь: а) 24, б) 15, в) 12

Ну і для очищення совісті щось конкретніше на збільшення комбінацій. Нехай у Васі додатково живе 5 котів =) Скільки способами можна відпустити гуляти 2 котів і 1 кішку?

Тобто, з кожноюпарою котів можна випустити кожнукішку.

Ще один баян для самостійного вирішення:

Завдання 11

У ліфт 12-поверхового будинку сіли 3 пасажири. Кожен, незалежно від інших, з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому (починаючи з 2-го) поверсі. Скількими способами:

1) пасажири можуть вийти на тому самому поверсі (Порядок виходу не має значення);
2) дві людини можуть вийти на одному поверсі, а третя – на іншому;
3) люди можуть вийти різних поверхах;
4) пасажири можуть вийти із ліфта?

І тут часто перепитують, уточнюю: якщо 2 чи 3 особи виходять на одному поверсі, то черговість виходу не має значення. ДУМАЙТЕ, використовуйте формули та правила додавання/множення комбінацій. У разі труднощів пасажирам корисно дати імена та поміркувати, у яких комбінаціях вони можуть вийти з ліфта. Не треба засмучуватися, якщо щось не вийде, наприклад, пункт № 2 досить підступний.

Повне рішення із докладними коментарями наприкінці уроку.

Заключний параграф присвячений комбінаціям, які теж зустрічаються досить часто – за моєю суб'єктивною оцінкою, приблизно 20-30% комбінаторних завдань:

Перестановки, поєднання та розміщення з повтореннями

Перелічені види комбінацій законспектовані у пункті № 5 довідкового матеріалу Основні формули комбінаторикиПроте деякі з них за першим прочитанням можуть бути не дуже зрозумілими. І тут спочатку доцільно ознайомитися з практичними прикладами, і лише потім осмислювати загальне формулювання. Поїхали:

Перестановки із повтореннями

У перестановках із повтореннями, як і в «звичайних» перестановках, бере участь відразу все безліч об'єктів, але є одне але: в даному множині один або більша кількість елементів (об'єктів) повторюються. Зустрічайте черговий стандарт:

Завдання 12

Скільки різних буквосполучень можна отримати перестановкою карток із наступними літерами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, І, К?

Рішення: у тому випадку, якби всі літери були різні, то слід було б застосувати тривіальну формулу , проте цілком зрозуміло, що для запропонованого набору карток деякі маніпуляції спрацьовуватимуть «вхолосту», наприклад, якщо поміняти місцями будь-які дві картки з літерами «К » у будь-якому слові, то вийде те саме слово. Причому фізично картки можуть сильно відрізнятися: одна бути круглою з надрукованою літерою «К», інша – квадратною з намальованою літерою «К». Але за змістом завдання навіть такі картки вважаються однаковими, оскільки в умові питається про буквосполучення.

Все дуже просто – всього: 11 карток, серед яких літера:

К - повторюється 3 рази;
Про - повторюється 3 рази;
Л – повторюється двічі;
Ь - повторюється 1 раз;
Ч – повторюється 1 раз;
І – повторюється один раз.

Перевірка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, що потрібно перевірити.

За формулою кількості перестановок із повтореннями:
різних буквосполучень можна отримати. Більше півмільйона!

Для швидкого розрахунку великого факторіального значення зручно використовувати стандартну функцію Екселю: забиваємо в будь-яку комірку =ФАКТР(11)і тиснемо Enter.

На практиці цілком допустимо не записувати загальну формулу і, крім того, опускати поодинокі факторіали:

Але попередні коментарі про літери, що повторюються, обов'язкові!

Відповідь: 554400

Інший типовий приклад перестановок з повтореннями зустрічається в задачі про розміщення шахових фігур, яку можна знайти на складі готових рішеньу відповідній pdf-ці. А для самостійного рішення я вигадав менш шаблонне завдання:

Завдання 13

Олексій займається спортом, причому 4 дні на тиждень – легкою атлетикою, 2 дні – силовими вправами та 1 день відпочиває. Скільки способами він може скласти собі розклад занять на тиждень?

Формула тут не годиться, оскільки враховує збігаються перестановки (наприклад, коли міняються місцями силові вправи у середу із силовими вправами у четвер). І знову - за фактом ті ж 2 силові тренування можуть сильно відрізнятися один від одного, але за контекстом завдання (з точки зору розкладу) вони вважаються однаковими елементами.

Дворядкове рішення та відповідь наприкінці уроку.

Поєднання з повтореннями

Характерна риса цього виду комбінацій у тому, що вибірка проводиться із кількох груп, кожна у тому числі складається з однакових об'єктів.

Сьогодні всі добре попрацювали, тому настав час підкріпитись:

Завдання 14

У студентській їдальні продають сосиски в тесті, ватрушки та пончики. Скільки можна придбати п'ять пиріжків?

Рішення: відразу зверніть увагу на типовий критерій поєднань із повтореннями – за умовою на вибір запропоновано не безліч об'єктів як таке, а різні видиоб'єктів; при цьому передбачається, що у продажу є не менше п'яти хот-догів, 5 ватрушок та 5 пончиків. Тістечка в кожній групі, зрозуміло, відрізняються - бо абсолютно ідентичні пончики можна змоделювати хіба що на комп'ютері =) Проте фізичні характеристики пиріжків за змістом завдання не суттєві, і хот-доги/ватрушки/пончики у своїх групах вважаються однаковими.

Що може бути у вибірці? Насамперед, слід зазначити, що у вибірці обов'язково будуть однакові пиріжки (обираємо 5 штук, а на вибір запропоновано 3 види). Варіанти тут на будь-який смак: 5 хот-догів, 5 ватрушок, 5 пончиків, 3 хот-доги + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончики і т.д.

Як і при «звичайних» поєднаннях, порядок вибору та розміщення пиріжків у вибірці не має значення – просто вибрали 5 штук та все.

Використовуємо формулу кількості поєднань із повтореннями:
способом можна придбати 5 пиріжків.

Смачного!

Відповідь: 21

Який висновок можна зробити із багатьох комбінаторних завдань?

Іноді найважче – це розібратися в умові.

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Завдання 15

У гаманці знаходиться досить велика кількість 1-, 2-, 5- та 10-рублевих монет. Скільки способами можна витягти три монети з гаманця?

З метою самоконтролю дайте відповідь на кілька простих питань:

1) Чи можуть у вибірці всі монети бути різними?
2) Назвіть найдешевшу і найдорожчу комбінацію монет.

Рішення та відповіді наприкінці уроку.

З мого особистого досвіду, можу сказати, що поєднання з повтореннями – найрідкісніший гість на практиці, чого не скажеш про такий вид комбінацій:

Розміщення з повтореннями

З множини, що складається з елементів, вибирається елементів, при цьому важливий порядок елементів у кожній вибірці. І все було б нічого, але досить несподіваний прикол полягає в тому, що будь-який об'єкт вихідної множини ми можемо вибирати скільки завгодно разів. Образно кажучи, від «багато не убуде».

Коли таке буває? Типовим прикладом є кодовий замок з кількома дисками, але через розвиток технологій актуальніше розглянути його цифрового нащадка:

Завдання 16

Скільки існує чотиризначних пін-кодів?

Рішення: насправді для розрулювання завдання достатньо знань правил комбінаторики: способами можна вибрати першу цифру пін-коду іспособами – другу цифру пін-коду істільки ж способами – третю істільки ж – четверту. Таким чином, за правилом множення комбінацій, чотиризначний пін-код можна скласти: способами.

А тепер за допомогою формули. За умовою нам запропоновано набір із цифр, з якого вибираються цифри та розташовуються у визначеному порядку, при цьому цифри у вибірці можуть повторюватися (тобто будь-якою цифрою вихідного набору можна користуватися довільну кількість разів). За формулою кількості розміщень із повтореннями:

Відповідь: 10000

Що тут спадає на думку… …якщо банкомат «з'їдає» картку після третьої невдалої спроби введення пін-коду, то шанси підібрати його навмання дуже примарні.

І хто сказав, що у комбінаториці немає жодного практичного сенсу? Пізнавальне завдання для всіх читачів сайт:

Завдання 17

Згідно з державним стандартом, автомобільний номерний знак складається з 3 цифр та 3 літер. При цьому неприпустимий номер із трьома нулями, а літери вибираються з набору А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (використовуються лише ті літери кирилиці, написання яких збігається з латинськими літерами).

Скільки номерних знаків можна скласти для регіону?

Не так їх, до речі, багато. У великих регіонах такої кількості не вистачає, і тому для них існує кілька кодів до напису RUS.

Рішення та відповідь наприкінці уроку. Не забуваємо використовувати правила комбінаторики;-) …Хотів похвалитися ексклюзивом, та виявилося не ексклюзивом =) Заглянув у Вікіпедію – там є розрахунки, щоправда, без коментарів. Хоча у навчальних цілях, напевно, мало хто вирішував.

Наше захоплююче заняття добігло кінця, і насамкінець я хочу сказати, що ви не дарма витратили час – з тієї причини, що формули комбінаторики знаходять ще одне насущне практичне застосування: вони зустрічаються в різних завданнях теорії ймовірностей,
і в завдання на класичне визначення ймовірності- Особливо часто =)

Дякую всім за активну участь і до швидких зустрічей!

Рішення та відповіді:

Завдання 2: Рішення: знайдемо кількість всіх можливих перестановок 4 карток:

Коли картка з нулем розташовується на 1-му місці, то число стає тризначним, тому ці комбінації слід виключити. Нехай нуль знаходиться на 1-му місці, тоді 3 цифри, що залишилися, в молодших розрядах можна переставити способами.

Примітка : т.к. карток небагато, то тут нескладно перерахувати всі такі варіанти:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким чином, із запропонованого набору можна скласти:
24 - 6 = 18 чотиризначних чисел
Відповідь : 18

Завдання 4: Рішення: способами можна вибрати 3 карти з 36
Відповідь : 7140

Завдання 6: Рішення: методами.
Інший варіант вирішення : способами можна вибрати двох осіб з групи та
2) «Найдешевший» набір містить 3 рублеві монети, а «найдорожчий» – 3 десятирублеві.

Завдання 17: Рішення: способами можна скласти цифрову комбінацію автомобільного номера, причому одну з них (000) слід виключити: .
способами можна скласти літерну комбінацію автомобільного номера.
За правилом множення комбінацій, всього можна скласти:
автомобільних номерів
(кожнацифрова комбінація поєднується з кожноюлітерною комбінацією).
Відповідь : 1726272

Пропоную читачам "Хабрахабра" переклад публікації "100 Prisoners Escape Puzzle", яку я знайшов на сайті компанії DataGenetics. Усі помилки за цією статтею надсилайте, будь ласка, в особисті повідомлення.

За умовою завдання у в'язниці перебуває 100 ув'язнених, кожен із яких має особистий номер від 1 до 100. Тюремник вирішує дати ув'язненим шанс на звільнення та пропонує пройти вигадане випробування. Якщо всі ув'язнені впораються, то вони вільні, якщо хоча б один провалиться – усі помруть.

Завдання

Змагання починається, тюремник відводить кожного ув'язненого по одному в кімнату з коробками і каже ув'язненим, що вони повинні знайти коробку, в якій буде табличка з номером ув'язненого. Ув'язнені намагаються знайти табличку зі своїм номером, відкриваючи коробки. Кожному дозволяється відкрити до 50 коробок; якщо кожен із ув'язнених знайде свій номер, то ув'язнених відпустять, якщо хоча б один із них не знайде свій номер за 50 спроб, то всі ув'язнені помруть.

Для того, щоб ув'язнених було звільнено, ВСІ ув'язнені мають пройти випробування успішно.

То який же шанс, що в'язнів помилують?

• Після відкриття коробки ув'язненим та перевірки ним таблички вона поміщається назад у коробку і кришка знову закривається;
• Місцями таблички міняти не можна;
• В'язні не можуть залишати один одному підказки або взаємодіяти один з одним після початку випробування;
• Ув'язненим дозволяється обговорити стратегію на початок випробування.

Яка оптимальна стратегія для ув'язнених?

Додаткове питання:

Якщо товариш ув'язнених (не учасник випробування) матиме можливість проникнути в секретну кімнату до початку випробування, вивчити всі таблички у всіх коробках і (за бажанням, але не обов'язково) поміняти місцями дві таблички з двох коробок (при цьому у товариша не буде можливості як повідомити ув'язненим про результат своїх дій), то яку стратегію він має зробити, щоб збільшити шанси ув'язнених на порятунок?

Рішення малоймовірне?

Шанси одного в'язня – 50:50. Всього 100 коробок і він може відкрити до 50 коробок у пошуках своєї таблички. Якщо він відкриватиме коробки навмання і відкриє половину всіх коробок, то знайде свою табличку у відкритій половині коробок, або її табличка залишиться в закритих 50 коробках. Його шанси на успіх – ½.

Візьмемо двох ув'язнених. Якщо обидва вибирають коробки навмання, для кожного шанси будуть ½, а для двох ½x½=¼.
(Для двох ув'язнених успіх буде в одному випадку з чотирьох).

Для трьох ув'язнених шанси будуть ½ × ½ × ½ = ⅛.

Для 100 ув'язнених шанси наступні: ½ × ½ × … ½ × ½ (перемноження 100 разів).

Це дорівнює

Pr ≈ 0.0000000000000000000000000000008

Тобто, це дуже маленький шанс. За такого розкладу, швидше за все, всі ув'язнені будуть мертві.

Неймовірна відповідь

Більше 30% для всіх 100 ув'язнених! Та це навіть більше, ніж шанси для двох ув'язнених, за умови, що ті відкриватимуть ящики навмання. Але як це можливо?

Зрозуміло, що по одному у кожного ув'язненого шанси не можуть бути вищими за 50% (адже немає способу спілкування між ув'язненими). Але не варто забувати, що інформація зберігається в розташуванні табличок усередині коробок. Ніхто не перемішує таблички між відвідуваннями кімнати окремими ув'язненими, тому ми можемо використовувати цю інформацію.

Рішення

Стратегія вкрай легка. Перший із ув'язнених відкриває коробку з номером, який написаний на його одязі. Наприклад, ув'язнений номер 78 відкриває коробку з номером 78. Якщо він знаходить свій номер на табличці всередині коробки, то це чудово! Якщо ні, то він дивиться номер на табличці у своїй коробці і потім відкриває наступну коробку з цим номером. Відкривши другу коробку, він дивиться номер таблички всередині цієї коробки та відкриває третю коробку з цим номером. Далі просто переносимо цю стратегію на ящики, що залишилися. Для наочності дивимося картинку:

Зрештою, ув'язнений або знайде свій номер, або дійде до 50 коробок. На перший погляд, це виглядає безглуздо, в порівнянні з простим вибором коробки навмання (і для одного окремого ув'язненого це так), але так як всі 100 ув'язнених будуть використовувати той же набір коробок, це має сенс.

Краса цього математичного завдання - не тільки знати результат, але й зрозуміти, чомуця стратегія працює.

То чому ж стратегія працює?

Якщо подумати над цим, то коробки утворюють замкнутий круглий ланцюжок. Одна коробка може бути частиною лише одного ланцюжка, тому що всередині коробки лише один покажчик на наступну і, відповідно, у попередній коробці лише один покажчик на дану коробку (програмісти можуть побачити аналогію зі зв'язаними списками).

Якщо коробка не вказує на себе (номер коробки дорівнює номеру таблички в ній), то вона буде в ланцюжку. Деякі ланцюжки можуть складатися з двох коробок, деякі довші.

Оскільки всі ув'язнені починають із коробки з тим самим номером, що й на їхньому одязі, вони, за визначенням, потрапляють на ланцюжок, який містить їхню табличку (є лише одна табличка, яка вказує на цю коробку).

Досліджуючи коробки по цьому ланцюжку по колу, вони гарантовано зрештою знайдуть свою табличку.

Єдине питання залишається у тому, чи знайдуть вони свою табличку за 50 ходів.

Довжина ланцюжків

Якщо максимальна довжина найдовшого ланцюжка менша, ніж 50 коробок, тоді всі ув'язнені пройдуть випробування!

Подумайте про це на секунду. Виходить, що може бути тільки один ланцюжок, який довший за 50 коробок при будь-якому розкладі табличок (у нас всього 100 коробок, так що якщо один ланцюжок довший за 50, то решта буде коротшою, ніж 50 в результаті).

Шанси на розклад з довгим ланцюжком

Ще трохи математики

Для ланцюжка з довжиною l, ймовірність того, що коробки будуть поза цим ланцюжком дорівнює:

У цій колекції чисел існує (l-1)! способів розташувати таблички.

Таблички, що залишилися, можуть бути розташовані (100-l)! методами (не забуваємо, що довжина ланцюжка вбирається у 50).

З огляду на це число перестановок, які містять ланцюжок точної довжини l: (>50)

Виходить, є 100(!) способів розкладок табличок, тому ймовірність існування ланцюжка довжиною l дорівнює 1/l. До речі, цей результат залежить від кількості коробок.

Як ми вже знаємо, може бути тільки один варіант, при якому існує ланцюжок довжиною > 50, так що ймовірність успіху розраховується за цією формулою:

Результат

Імовірність того, що всі ув'язнені знайдуть свої таблички та пройдуть випробування 31.18%

Нижче наведено графік, що показує ймовірності (осі ординат) для всіх ланцюгів довжини l (на осі абсцис). Червоний колір означає всі "невдачі" (дана крива тут - це просто графік 1/l). Зелений колір означає «успіх» (розрахунок трохи складніший для цієї частини графіка, оскільки існує кілька способів визначення максимальної довжини<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Гармонійне число (ця частина статті для гіків)

Порахуємо межу, якщо замість 100а коробок ми маємо довільну велику кількість коробок (давайте вважати, що у нас є 2n коробок у результаті).

Постійна Ейлера-Маскероні - константа, що визначається як межа різниці між частковою сумою гармонійного ряду та натуральним логарифмом числа.

Оскільки кількість ув'язнених збільшується, то за умови, якщо наглядач дозволяє ув'язненим відкривати половину всіх коробок, то шанс на порятунок прагне 30.685%.

(Якщо ви ухвалили рішення, при якому ув'язнені випадково вгадують коробки, то зі збільшенням кількості ув'язнених ймовірність порятунку прагне нуля!)

Додаткове питання

Зараз ми вже знаємо рішення, так що стратегія тут проста: він повинен вивчити всі таблички і знайти найдовший ланцюжок із коробок. Якщо найдовший ланцюжок менше 50-ти, то йому взагалі не потрібно міняти таблички, або поміняти їх так, щоб найдовший ланцюжок не став довшим за 50-ти. Тим не менш, якщо він знайшов ланцюжок довше 50 коробок, все, що йому потрібно - це поміняти вміст двох коробок з цього ланцюга, щоб розбити цей ланцюжок на два короткі ланцюги.

В результаті цієї стратегії не буде довгих ланцюжків і всі ув'язнені гарантовано знайдуть свою табличку та порятунок. Отже, помінявши місцями дві таблички, ми зводимо можливість порятунку до 100%!

20? У скільки разкілометр більшеміліметра? ... двасудини ємністю 3 та 5 літрів, набрати 4 літри води? 7) Дан ... радіус) 78. Твердження, яке треба довести (теорема) 79. Саме менше... кола циркуль Об `ємодного... розрізняча Кордон кулісфера Незалежна...

Автомобілі з механічною коробкою передач, яку скорочено називають МКПП, донедавна становили абсолютну більшість серед інших ТС з різними.

Більш того, механічна (ручна) коробка і сьогодні залишається досить поширеним пристроєм для зміни та передачі крутного моменту двигуна. Далі ми поговоримо про те, як влаштована та працює «механіка», як виглядає схема КПП даного типу, а також які переваги та недоліки має дане рішення.

Читайте у цій статті

Схема механічної коробки передач та особливості

Почнемо з того, що механічним даний тип КПП називається тому, що подібний агрегат передбачає ручне перемикання передач. Іншими словами, на машинах із МКПП передачі перемикає сам водій.

Ідемо далі. Коробка «механіка» є ступінчастою, тобто момент, що крутить, змінюється ступенями. Багато автолюбителів знають, що фактично коробка передач має шестерні та вали, проте не всі розуміють, як працює агрегат.

Отже, ступенем (вона ж передача) є пара шестерень (провідна та ведена шестерня), що взаємодіють між собою. Кожен такий ступінь забезпечує обертання з тією чи іншою кутовою швидкістю, тобто має своє передатне число.

Під передавальним числом слід розуміти відношення числа зубів веденої шестерні до зубів на провідній шестерні. При цьому різні ступені коробки одержують різні передавальні числа. Найнижчий ступінь (знижена передача) має найбільше передавальне число, а найвищий ступінь (підвищена передача) має найменше передавальне число.

Стає зрозуміло, що кількість щаблів дорівнює кількості передач на тій чи іншій коробці (чотириступінчаста КПП, п'ятиступінчаста і т.д.). Раніше 4-х ступінчасті механічні коробки поступово відійшли на задній план.

Влаштування механічної коробки передач

Отже, хоча конструкцій такої коробки з тими чи іншими особливостями може бути багато, проте на початковому етапі можна виділити два основні типи:

• тривальні КПП;
• двовальні коробки;

На автомобілі із заднім приводом зазвичай встановлюється тривальна механічна коробка передач, тоді як двовальна КПП ставиться на передньопривідні легкові авто. При цьому пристрій механічних коробок як першого, так і другого типу може помітно відрізнятися.

Почнемо з тривальної механічної коробки. Така коробка складається з:

• провідного валу, який ще називається первинним;
• проміжного валу КПП;
• веденого валу (вторинного);

На валах встановлені шестірні із синхронізаторами. Також пристрій КПП включений механізм перемикання передач. Зазначені складові елементи розташовані в корпусі коробки, який ще називають картером КПП.

Завданням провідного валу є створення з'єднання зі зчепленням. На провідному валу виконані шліци для веденого диска зчеплення. Що стосується моменту, що крутить, зазначений момент від провідного валу передається через шестерню, яка знаходиться з ним в жорсткому зачепленні.

Торкаючись роботи проміжного валу, цей вал розташовується паралельно до первинного валу КПП, на ньому встановлена ​​група шестерень, яка знаходиться в жорсткому зачепленні. У свою чергу ведений вал встановлений на одній осі з провідним валом.

Така установка реалізована за допомогою торцевого підшипника на провідному валу. У цей підшипник входить ведений вал. Група шестерень на веденому валу не має жорсткого зачеплення з самим валом і тому вільно обертається на ньому. При цьому група шестерень проміжного валу, веденого валу та шестерня ведучого валу знаходяться у постійному зачепленні.

Синхронізатори (муфти синхронізаторів) встановлені між шестернями веденого валу. Їх завданням є вирівнювання кутових швидкостей шестерень веденого валу з кутовою швидкістю самого валу за допомогою сили тертя.

Синхронізатори знаходяться в жорсткому зачепленні з веденим валом, а також мають можливість переміщатися по валу в поздовжньому напрямку завдяки наявності шліцевого з'єднання. Сучасні коробки мають муфти синхронізаторів на всіх передачах.

Якщо розглядати механізм перемикання передач на тривальних КПП, найчастіше цей механізм встановлений на корпусі агрегату. Конструкція включає важеля управління, повзуни і виделки.

Корпус коробки (картер) виготовлений з алюмінієвих або магнієвих сплавів, необхідний для встановлення валів із шестернями та механізмів, а також ряду інших деталей. Ще в картері коробки знаходиться трансмісійне масло (масло коробки передач).

• Щоб зрозуміти, як працює механічна (ручна) коробка передач тривального типу, давайте розглянемо принцип її дії. Коли важіль перемикання передач знаходиться в нейтральному положенні, передачі моменту, що крутить, від двигуна на провідні колеса автомобіля не відбувається.

Після того, як водій здійснить переміщення важеля, вилка перемістить муфту синхронізатора тієї чи іншої передачі. Потім синхронізатор вирівняє кутові швидкості потрібної шестерні та веденого валу. Потім зубчастий вінець муфти увійде в зачеплення з аналогічним вінцем шестірні, що забезпечить блокування шестірні на веденому валу.

Додамо, що задній хід автомобіля забезпечує задня передача КПП. У цьому випадку проміжна шестерня заднього ходу, встановлена ​​на окремій осі, дозволяє змінити напрямок обертання.

Двохвальна механічна коробка передач: пристрій та принцип роботи

Розібравшись з тим, з чого складається коробка передач із трьома валами, перейдемо до двовальних коробок. Даний тип КПП має у своєму пристрої два вали: первинний та вторинний. Первинний вал є провідним, вторинним веденим. На валах закріплені шестірні та синхронізатори. Також у картері коробки знаходиться головна передача та диференціал.

Ведучий вал відповідає за з'єднання зі зчепленням, також на валу знаходиться блок шестерень у жорсткому зачепленні з валом. Ведомий вал розташований паралельно ведучому, при цьому шестерні веденого валу в постійному зачепленні з шестернями ведучого валу, а також вільно обертаються на самому валу.

Також на веденому валу жорстко закріплюється провідна шестерня головної передачі, а між самими шестернями веденого валу розташовані муфти синхронізаторів. Додамо, щоб зменшити розміри КПП, а також збільшити кількість передач, в сучасних коробках нерідко замість одного веденого валу може бути встановлений 2 або навіть 3 вали.

На кожному такому валу жорстко закріплена шестерня головної передачі, при цьому така шестерня має жорстке зачеплення з шестернею. Виходить, конструкція практично реалізує три основні передачі.

Сама головна передача, а також диференціал у пристрої КПП здійснюють передачу моменту, що крутить, від вторинного валу на провідні колеса. При цьому диференціал може забезпечити таке обертання коліс, коли провідні колеса обертаються з різними кутовими швидкостями.

Щодо механізму перемикання передач, на двовальних КПП він винесений окремо, тобто за межі корпусу. Коробка пов'язана з механізмом перемикання тросами або спеціальними тягами. Найчастіше зустрічається з'єднання за допомогою тросів.

Сам механізм перемикання 2-х вальної коробки має важіль, який з'єднується тросами з важелем вибору та важелем включення передачі. Зазначені важелі з'єднуються із центральним штоком перемикання передач, який також має вилки.

• Якщо говорити про принцип роботи двовальної механічної коробки, він схожий на принцип тривальної КПП. Відмінності полягають у тому, як працює механізм перемикання передач. У двох словах, важіль може здійснювати як поздовжні, так і поперечні рухи щодо осі автомобіля. Під час поперечного руху відбувається вибір передачі, оскільки зусилля йде на трос вибору передач, який впливає на важіль вибору передач.

Далі важіль рухається поздовжньо, а зусилля йде вже на трос перемикання передач. Відповідний важіль горизонтально переміщує шток з вилками, вилка на штоку зміщує синхронізатор, що призводить до блокування шестерні веденого валу.

Насамкінець відзначимо, що також механічні коробки різних типів мають додаткові блокувальні пристрої, які перешкоджають включенню одночасно двох передач або непередбачуваного вимкнення передачі.

Читайте також

Вижимання зчеплення перед запуском мотора: коли потрібно вичавлювати зчеплення і в яких випадках робити це не рекомендується. Корисні поради та рекомендації.

Комбінаторні завдання

1 . Катя, Маша та Іра грають із м'ячем. Кожна з них має по одному разу кинути м'яч у бік кожної подруги. Скільки разів кожна дівчинка повинна кидати м'яч? Скільки разів буде підкидатися м'яч? Визначте, скільки разів підкидатиметься м'яч, якщо у грі візьмуть участь: четверо дітей; п'ятеро дітей.

2 . Дано три фасади і два дахи, що мають однакову форму, але розфарбовані в різні кольори: фасади - у жовтий, синій та червоний кольори, а дахи - у синій та червоний кольори. Які будиночки можна звести? Скільки всього комбінацій?

3 . Дано три однакові за формою фасади будиночка: синій, жовтий і червоний - і три дахи: синій, жовтий і червоний. Які будиночки можна звести? Скільки всього комбінацій?

4 . Малюнки на прапорцях можуть мати вигляд кола, квадрата, трикутника чи зірки, причому їх можна розфарбувати у зелений чи червоний колір. Скільки всього може бути різних прапорців?

5. У шкільній їдальні на обід приготували як другі страви м'ясо, котлети та рибу. На солодке - морозиво, фрукти та пиріг. Можна вибрати одну другу страву та одну страву на десерт. Скільки є різних варіантів обіду?

6. У шкільній їдальні на обід приготували як перші страви суп з м'ясом і вегетаріанський суп, на друге - м'ясо, котлети та рибу, на солодке - морозиво, фрукти та пиріг. Скільки існує різних варіантів обіду із трьох страв?

7. Скільки можна розсадити в ряд на стільці трьох учнів? Виписати усі можливі випадки.

8 . Скільки способами можуть чотири (п'ять) чоловік стати в ряд?

9 . З різних боків на пагорб піднімаються три стежки та сходяться на вершині. Складіть безліч маршрутів, якими можна піднятися на пагорб і спуститися з нього. Розв'яжіть те саме завдання, якщо вгору і вниз треба йти різними стежками.

10 . З Акулово до Рибниці ведуть три дороги, а з Рибниці до Китового – чотири дороги. Скільки способами можна проїхати з Акулово в Китове через Рибницю?

11 . Склад називається відкритим, якщо він починається із приголосної літери, а закінчується голосною. Скільки відкритих дволітерних складів можна написати, використовуючи літери "а", "б", "в", "г", "е", "і", "о"? Випишіть ці склади.

12. Скільки різних варіантів костюмів з блузки та спідниці можна скласти, якщо є 4 блузки та 4 спідниці?

13. Коли Петя йде до школи, він іноді зустрічає одного чи кількох своїх приятелів: Васю, Леню, Толю. Перелічити всі можливі випадки, які можуть бути.

14 . Записати всі можливі двоцифрові числа, використовуючи цифри 7 і 4.

15 . Мишко запланував купити: олівець, лінійку, блокнот та зошит. Сьогодні він купив лише два різні предмети. Що міг купити Мишко, якщо вважати, що в магазині були всі необхідні йому навчальні приналежності?

16 . Чотири особи обмінялися рукостисканнями. Скільки було всього рукостискань?

17 . Скільки існує двоцифрових чисел, у запису яких відсутня цифра 0?

18 . Записати всі можливі трицифрові числа, які можна скласти з цифр 1 і 2.

19 . Виписати всі можливі парні трицифрові числа, складені з цифр 1 і 2.

20 . Записати всі можливі двоцифрові числа, при записі яких використовуються цифри 2, 8 і 5.

21 . Скільки існує різних двоцифрових чисел, усі цифри яких непарні?

22 . Які трицифрові числа можна записати за допомогою цифр 3, 7 та 1 за умови, що в записі числа не повинно бути однакових цифр? Скільки таких чисел?

23 . Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1, 2, 4, 6, якщо жодну цифру не використовувати більше одного разу? Скільки серед цих чисел буде парних? Скільки непарних?

24 . В машині п'ять місць. Скільки способами п'ять людей можуть сісти в цю машину, якщо зайняти місце водія можуть лише двоє з них?

25. У класі 5 одномісних парт. Скількими способами можна розсадити на них двох (трьох) школярів, що знову прибули?

26 . Згадайте байку І. Крилова «Квартет»:

Проказниця Мавпа, Осел, Козел і клишоногий Ведмедик почали грати Квартет. Вдарили в смички, б'ють, а толку немає. «Стій, братики, стій! - кричить Мавпа. - Стривайте! Як йти музиці? Ви ж не так сидите». Скільки у різний спосіб можуть спробувати сісти ці музиканти? Чи може це покращити якість їхньої гри?

27 . Хлопчиків і дівчаток розсаджують у ряд на розташовані місця, причому хлопчики сідають на непарні місця, а дівчатка - на парні. Скільки способами можна це зробити, якщо:

а) на 6 місць розсаджують 3 хлопчиків та 3 дівчаток;

б) на 10 місць розсаджують 5 хлопчиків та 5 дівчаток?

28 . На порожню шашкову дошку треба помістити дві шашки – чорну та білу. Скільки різних положень можуть займати на дошці?

29. Нехай номер автомобіля складається з двох букв, за якими йдуть дві цифри, наприклад АВ-53. Скільки різних номерів можна скласти, якщо використовувати 5 літер та 6 цифр?

30 . Номер автомобіля складається з трьох літер та чотирьох цифр. Скільки існує різних автомобільних номерів (три літери беруться із 29 літер російського алфавіту)?

31 . Нехай вам потрібно було сходити до бібліотеки, ощадного банку, на пошту і віддати в ремонт черевики. Щоб вибрати найкоротший маршрут, необхідно розглянути всі можливі варіанти. Скільки існує варіантів шляху, якщо бібліотека, ощадна каса, пошта та шевська майстерня розташовані далеко один від одного?

32. Нехай вам потрібно було сходити до бібліотеки, ощадного банку, на пошту і віддати в ремонт черевики. Щоб вибрати найкоротший маршрут, необхідно розглянути всі можливі варіанти. Скільки існує розумних варіантів шляху, якщо бібліотека та пошта знаходяться поруч, але значно віддалені від ощадної каси та шевської майстерні, які розташовані далеко один від одного?

33. Серед пасажирів, що їдуть у вагоні, йшло жваве обговорення чотирьох журналів. Виявилося, що кожен виписує два журнали, причому кожна з можливих комбінацій двох журналів виписується однією людиною. Скільки людей було у цій групі?

34 . Є п'ять кубиків, які відрізняються один від одного лише кольором: 2 червоні, 1 білий і 2 чорні. Є два ящики А і Б, причому в А міститься 2 кубики, а в Б - 3. Скільки різними способами можна розмістити ці кубики в ящиках А і Б?

35. Щоб принести цареві-батюшці молодильні яблука, повинен Іван-царевич знайти єдиний вірний шлях до чарівного саду. Зустрів Іван-царевич на роздоріжжі трьох доріг старого ворона і ось які поради від нього почув:

1) йди зараз правою стежкою;

2) на наступному роздоріжжі не вибирай праву стежку;

3) на третій розвилці не ходи лівою стежкою.

Голуб, що пролітав повз, шепнув Івану-царевичу, що тільки одна порада ворона вірна і що обов'язково треба пройти стежками різних напрямків. Наш герой виконав завдання та потрапив у чарівний сад. Яким маршрутом він скористався?